MODELLI NON PARAMETRICI. Uso dei Modelli in Statistica Modelli come generalizzazione delle procedure...

MODELLI NON PARAMETRICI

Uso dei Modelli in Statistica

• Modelli come generalizzazione delle procedure

* Modello Lineare Generale (GLM)* Regressione Logistica

• Modelli come descrizione di realtà sperimentali complesse

* Analisi Fattoriale* MDS* Analisi delle corrispondenze* Modello di Rasch

Analisi dei Modelli

1. Definizione del modello2. Stima dei parametri3. Valutazione della bontà del modello4. (**Calcolo della significatività**)

Modelli a struttura PREDETERMINATA

• Definizione della struttura del modello sulla base di ipotesi a priori

• Stima del valore dei parametri• Calcolo dei limiti di confidenza dei

parametri• Calcolo della significatività

* Ipotesi nulla: parametri = 0

* Possibile inferenza

Modelli a struttura STIMATA

• Stima della struttura del modello sulla base dei dati sperimentali

• Stima del valore dei parametri• *Calcolo dei limiti di confidenza dei

parametri• *Calcolo della significatività (su nuovi

dati sperimentali)* opzionale: calcolato solo in alcune situazioni

* Ipotesi nulla: valori sperimentali = valori del modello* Solo valore descrittivo

Ipotesi nulla

• Test statistici creati per la falsificazione dell’ipotesi nulla

• Asimmetria delle zone di falsificazione e non-falsificazione dell’ipotesi nulla

• Inadeguatezza dei test per la conferma dell’ipotesi nulla

Analisi della Regressione Lineare

Analisi della Regressione Polinomiale

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

potenza 1

potenza 3

potenza 5

Materiali e metodi

• 116 studenti divisi in modo random in due sottogruppi

• Questionario sulle modalità di utilizzo di Internet a cinque sottoscale con punteggi da -4 a +4

• Analisi Fattoriale e Analisi della Regressione

Analisi FattorialeGruppo 1

Componenti Sottoscale 1 2

A 0.792 -0.015 B 0.002 0.804 C 0.001 0.825 D 0.608 0.109 E 0.743 -0.109

Gruppo 2

Componenti Sottoscale 1 2 3

A 0.761 -0.239 0.051 B 0.083 0.884 0.247 C -0.066 0.197 0.925 D 0.823 0.310 -0.073 E 0.461 -0.569 0.514

Gruppo 1 Unstandardized CoefficientsStandardized Coefficientst Sig. 95% Confidence Interval for BModel B Std. Error Beta Lower BoundUpper Bound

1 (Constant) 0.971 0.443 2.191 0.033 0.082 1.860B 0.018 0.117 0.020 0.154 0.878 -0.217 0.254C -0.014 0.121 -0.015 -0.116 0.908 -0.257 0.229D 0.176 0.118 0.189 1.489 0.142 -0.061 0.412E 0.402 0.147 0.346 2.730 0.009 0.107 0.698

Gruppo 2 Unstandardized CoefficientsStandardized Coefficientst Sig. 95% Confidence Interval for BModel B Std. Error Beta Lower BoundUpper Bound

1 (Constant) 1.388 0.528 2.626 0.011 0.328 2.448B -0.033 0.109 -0.044 -0.307 0.760 -0.252 0.185C -0.043 0.115 -0.051 -0.374 0.710 -0.274 0.188D 0.217 0.109 0.263 1.985 0.052 -0.002 0.435E 0.331 0.162 0.287 2.052 0.045 0.007 0.655

Regressione Multipla

Conclusione

Nei modelli a struttura PREDETERMINATA l’affidabilità dei parametri viene misurata dalla loro variabilità, dai limiti di confidenza che delimitano la regione entro cui potrebbe trovarsi la ‘vera’ relazione, se le ipotesi sul modello sono corrette

Nei modelli a struttura STIMATA, la struttura del modello viene determinata sui dati sperimentali ma la variabilità del numero dei parametri non viene fornita. Viene fornita una misura della loro capacità di rappresentare in modo ‘ADEGUATO’ i dati sperimentali

Conclusione

CONFRONTO FRA MODELLI PARAMETRICI E

NON PARAMETRICI

“Accuracy and certainty are competitors:

The surer we want to be,

the less we must demand”

Basic Ideas of Scientific Sampling di Alan Stuart, Griffin, London 1968

Variabili Qualitative

• In alcuni casi il fenomeno in esame può essere valutato solo da variabili qualitative (Es. dipendenza o non dipendenza da droga)

• VANTAGGI: corrispondono a situazioni più definite (presenza o assenza di una patologia)

• SVANTAGGI: minor precisione nella misura

TEST NON PARAMETRICIUna serie di dati

- Binomiale- Chi quadrato

Due serie di dati correlati- McNemar (proporzioni)

- Segno (distribuzione dei valori)- Wilcoxon

Più serie di dati correlati- Friedman

Due serie di dati indipendenti- Mann-Whitney

- Kolmogorov-SmirnovPiù serie di dati indipendenti

- Kruskall-Wallis

MODELLI NON PARAMETRICIMisure di associazione• Tavole di contingenza: associazione fra due variabili

qualitative• Modelli Log-Lineari: associazione fra più variabili

qualitative

Modelli Regressivi• Regressione Logistica: modello generale in cui è

possibile esprimere una variabile qualitativa (dicotomica) come funzione di una o più variabili sia qualitative che quantitative.

Regressione Logistica

• Modello a struttura PREDETERMINATA per variabili qualitative dicotomiche

• Tecnica non parametrica

Procedura1. La variabile è trasformata in logit ovvero

legata ai fattori che la influenzano da una funzione logaritmica

logit (variabile)= b0 + b1 x1 + b2 x2 …

Regressione LogisticaRegressione Logistica


Trasforma la variabile qualitativa dicotomica (evento, non evento) in una variabile quantitativa utilizzando il parametro odds

• 1.Variabile0,1

• 2.Probabilità 0 1

• 3.Odds 0

)(

)(

eventononp

eventopodds

Per poter utilizzare una equazione nel campo dei numeri reali si esegue una ulteriore trasformazione

logarimica che prende il nome di logit

Odds logit (valore - --- 0 --- +)

)(

)(loglogit

noneventop

eventop


Regressione LogisticaRegressione Logistica• Logaritmo: funzione inversa dell’esponente

• Logaritmo naturale (Ln) di x è l’esponente da dare a e (numero naturale e = 2.718) per ottenere x

• Ln 5 = 1.6 perché 2.718 1.6 = 5


Proprietà dei logaritmi

• Ln 1 = 0

• Ln 0 = - • Ln + = +

La variabile può essere vista come funzione dei fattori in un modello regressivo:

logit (variabile)= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3

110(var) xbb eeodds


2. Procedura: VALUTAZIONE della Bontà del modello - stima dei

parametri b

Diversi metodi di approssimazione– A blocchi: valuta tutti i parametri assieme tramite il

criterio di tolleranza (esclude le variabili che apportano poca informazione al modello)

– Per passi o per esclusione: toglie o aggiunge i parametri a seconda dell’apporto di questi alla significatività del modello


Procedura2. Stima dei Parametri (b)

viene fatta con metodo a successive approssimazioni.

Il loro significato si può dedurre dall’odds ratio:


1

0

10

1

1

1

0

1.. bb

bb

x

x ee

ee

odds

oddsRO

• Nella regressione logistica il modello non è lineare ma esponenziale e i parametri vengono scelti attraverso il principio del massimo likelyhood

• Il likelyhood ratio, utilizzato anche per il modello Log lineare, è la probabilità che i dati sperimentali siano stati generati dal modello


3. Valutazione della bontà del modello

Statistica Wald

2

SE

bWald


Tuttavia, la statistica Wald non può esser usata da sola poiché quando il valore assoluto di b diventa molto grande, l’errore standard sarà anche esso grande e la statistica Wald assumerà valori molto piccoli che facilmente falsificheranno l’ipotesi nulla anche quando non sarebbe da falsificare.

Significatività

La significatività dei parametri relativi ai fattori si può anche verificare attraverso l’intervallo di confidenza attorno all’esponenziale di b per ciascun fattore


La regressione logistica fornisce le significatività per:

il modello globale i singoli parametri, togliendo gli effetti dei

parametri già considerati


Il contributo di ciascun fattore e il senso della sua influenza sulla variabile dipendente è stimato attraverso l’esponenziale di b (odds ratio)

1

0

10

0

10

0

1

1

1

0

11

b

b

bb

b

bb

b

b

b

b ee

ee

e

e

odds

odds

odds

oddsbExp


Esempiologit (risposta aggressiva)= b0 + b1 x1 + b2 x2+ b3

x3

Dove il logit della probabilità di rispondere in modo aggressivo è visto in funzione di una costante b0

sommata al contributo dato da ciascun fattore al quale il modello ha attribuito il valore 1 moltiplicato per il suo coefficiente bn

Attraverso la regressione logistica tutte le variabili categoriche vengono trasformate in variabili dicotomiche (con valori 0,1)

B1 è il parametro relativo all’essere maschiB2 è il parametro relativo all’etàB3 è il parametro relativo alla professione di dipendente



Categorical Variables Codings

18 1.000

19 .000

16 1.000

21 .000

1.00

2.00

professione

maschio

femmina

genere

Frequency (1)

Parameter coding


Variables in the Equation

1.410 .724 3.800 1 .051 4.098 .992 16.921

.000 .034 .000 1 .993 1.000 .936 1.068

-.093 .725 .017 1 .898 .911 .220 3.769

-.856 1.121 .582 1 .445 .425

genere(1)

eta

professione(1)

Constant

Step1

a

B S.E. Wald df Sig. Exp(B) Lower Upper

95.0% C.I.for EXP(B)

Variable(s) entered on step 1: genere, eta, professione.a.

Exp(b)L’esponenziale di b relativo al genere è dato dal rapporto fra l’odds di rispondere con un comportamento aggressivo essendo femmina diviso l’odds di rispondere con un comportamento aggressivo essendo maschi.


• SCOPO: studia la relazione fra più di due variabili qualitative categoriche

• TIPO DI PROCEDURA: modello logistico applicato a una tavola di contingenza multidimensionale

Analisi Log - lineare

Analisi Log lineareAnalisi Log lineare

Tavola di contingenza multidimensionale: ogni cella è vista come combinazione di due o più variabili

Esempio

120 46 38

14 7 11

28 64 147

17 22 80

Terapia

farmacologica

integrata

Esitonegativo

farmacologica

integrata

Esitopositivo

A B C

Tipo di personalità


• Applicare più test χ² per analizzare ciascuna combinazione sarebbe una procedura non corretta perché:

• Aumento dell’errore alpha• Lettura dei risultati non

comprensibile


• Date le tre variabili da studiare nella loro relazione è possibile analizzare:

• Ogni confronto binario

• L’interazione fra tutte le variabili


Modello Log lineare attraverso un’unica procedura di analisi rappresenta tutte le possibili combinazioni in modo indipendente le une dalle altre.

1. Struttura modello2. Stima dei parametri e valutazione

della bontà del modello

Analisi Log lineareAnalisi Log lineareStruttura: logaritmo delle frequenze di ogni combinazione possibile in funzione dei valori delle varie componenti di classificazione

Tuttavia…Scopo del modello è rappresentare adeguatamente i dati sperimentali con il numero minore di relazioni fra le variabili.


Tutte le variabili sono considerate come variabili indipendenti o fattori, la variabile dipendente è il numero di casi in ogni cella, ovvero la frequenza osservata, che è proprio l’indice dell’interazione fra le variabili in studio.

Stima dei parametri:1. Calcolo del logaritmo delle frequenze

osservate in base al modello2. Calcolo delle frequenze attese3. Confronto frequenze attese con le

frequenze osservate4. Valutazione della bontà del modello


• Una volta calcolate le frequenze attese per ogni cella si calcolano i punti z dal rapporto di ciascun parametro e il suo errore standard.

• Per verificare se il modello rappresenta sufficientemente i dati si può considerare il test sull’ipotesi nulla che λ sia uguale a zero attraverso i limiti di falsificazione della distribuzione z.



• I dati sperimentali possono produrre diversi modelli Log Lineari.

• Il modello è definito saturo quando rappresenta tutte le possibili combinazioni fra le celle;

• non saturato quando solo alcune delle interazioni sono considerate.

• Nel modello gerarchico l’effetto interazione (definito termine di ordine superiore in quanto comprende in sé più termini) è accostato a termini di ordine inferiore.

• Attraverso questo modello è possibile considerare solo gli effetti di ordine superiore o inferiore



Il Goodness of fit test è basato sul Χ2 e testa la probabilità che quel particolare modello (Fij ) rappresenti bene i dati sperimentali (Fij ). È calcolato tramite la formula:

i j ijF

ijFFijˆ

ˆ 2

2


Il Likelyhood ratio test: la probabilità che raccolti quei dati sperimentali essi siano generati dal modello ed è dato dal logaritmo del rapporto fra valori sperimentali e teorici per tutte le possibili condizioni.

i j ij

ij

F

FFL

ˆln22

Tecniche descrittive

• Utilizzano modelli matematici per semplificare le relazioni fra le variabili in studio

• Il fine è la descrizione semplificata del fenomeno attraverso il modello di riferimento


• Metodo: il modello è creato ad hoc sui dati sperimentali

• Diversi livelli di complessità del modello a seconda del fenomeno in studio

• Esempi: distribuzioni di probabilità, analisi fattoriale, analisi discriminante, cluster analysis


Applicazioni:

• Indagini esplorative sui dati sperimentali per la successiva formulazione di idee

• Verifica della validità interna e esterna di test psicometrici

Analisi Discriminante

Fine: suddividere il campione in gruppi

Metodo1. Fase di addestramento 2. Fase di analisi

Analisi DiscriminanteAnalisi Discriminante

Assunti:

• I fattori predittivi devono avere distribuzione gaussiana

• I fattori devono essere scarsamente correlati fra loro

• Le correlazioni devono essere costanti all’interno dei gruppi

• Le medie e deviazioni standard dei fattori non devono essere correlate fra loro


La fase di addestramento utilizza un campione di soggetti, di cui si conosce l’appartenenza a uno dei gruppi considerati, per calcolare i parametri necessari alla classificazione di un nuovo soggetto


I valori prodotti dalla funzione discriminante hanno media = zero, varianza = 1 e garantiscano la massima differenza possibile fra le medie di gruppo


La fase di analisi applica i parametri calcolati per la classificazione di nuovi soggetti in una delle classi possibili

La classificazione si basa sul calcolo di una funzione in grado di fornire un valore soglia opportunamente determinato che discrimini i gruppi

Analisi DiscriminanteAnalisi DiscriminanteFunzione ottenuta come combinazione lineare

dei parametri misurati, cioè come somma dei parametri moltiplicati per opportuni coefficienti

dik= b0k+bjkxi1+…bpkxip

dik è il valore della k funzione discrimante relativa al soggetto i

bjk è il valore del coefficiente j per la funzione k

p è il numero dei fattori predittivixij è il valore dovuto al fattore j per il

soggetto i


Parametri determinati in modo che:1. i valori prodotti dalla funzione

discriminante abbiano media zero, varianza unitaria

2. garantiscano la massima differenza possibile fra le medie di gruppo


Per ogni soggetto viene calcolata la probabilità di appartenere a ciascun gruppo e si procede all’assegnazione del soggetto al gruppo per cui è maggiore la probabilità di appartenenza


2 gruppi: la soglia che divide i due gruppi è situata nel punto di mezzo delle due medie di gruppo

Più di 2 gruppi: le funzioni utilizzate sono tante quante il numero dei gruppi meno uno (non è possibile usare una sola soglia ma occorre calcolare la probabilità di appartenenza del soggetto al gruppo)


• Al termine della fase di apprendimento è possibile riassegnare i soggetti ai gruppi di appartenenza utilizzando le funzioni discriminanti calcolate

• Questa operazione permette di valutare l’efficienza del sistema di classificazione


Successo dipende:

• dall’efficienza con cui abbiamo creato le funzioni di classificazione

• dalle ipotesi che abbiamo formulato

• dai parametri che abbiamo conseguentemente considerato


Utilizzo:

• Sistema di classificazione in grado di classificare ogni nuovo soggetto senza conoscere realmente a quale gruppo appartiene

• Individuare quali fattori incidono maggiormente nella discriminazione fra più gruppi

Cluster Analysis

Scopo: individuare la miglior suddivisione in gruppi del campione in esame

Cluster: addensamento attorno a un valore centrale in uno spazio a n dimensioni

Cluster Analysis

Assunti: • Variabili che determinano la

suddivisione devono essere a distribuzione gaussiana

• Individua i gruppi in modo che siano massimamente omogenei al loro interno e eterogenei fra loro

Cluster Analysis

La distanza fra i gruppi viene calcolata sulle medie dei gruppi che devono essere il più diverse possibili

Metodo per creare la distanza:Distanza euclidea: la somma dei quadrati delle

differenze di tutte le variabili utilizzate (trsformate in variabili z)

Cluster Analysis

Il numero dei gruppi è stabilito dal ricercatore in base alle considerazioni teoriche sul fenomeno in studio

Cluster Analysis

La funzione dell’analisi dei cluster è quella di classificare i casi in un certo numero di gruppi senza che venga richiesta una preliminare identificazione dei gruppi.

Questi gruppi possono essere utilizzati in ulteriori analisi statistiche per la verifica di ipotesi riguardanti nuove variabili non utilizzate nella classificazione

ANALISI FATTORIALE

Tecnica esplorativa che indaga la relazione fra più variabili al fine di individuare un modello in grado di sintetizzare l’informazione

Il modello di riferimento ha puro valore descrittivo in quanto determinato dalla procedura matematica con cui è stimato

Cos’è l’analisi fattoriale?

Statistica descrittiva

Rappresentazione delle variabili in studio.

Aumentare la quantità di informazioni relative ai dati raccolti ed alle variabili considerate.

Rappresentazione più efficace ed utile possibile dei dati.

Semplificazione dei dati per migliorare la loro interpretazione.

Statistica inferenziale vs

Confermare, dimostrare un’ipotesi di partenza.

- H di partenza

- Variabili dipendenti

- Fattori

- Strumenti di raccolta dati

- Analisi dei dati

- Eventuale falsificazione dell’H0

Nasce in ambito medico-psicologico:

Utilizzata soprattutto per validare i questionari perché fornisce informazioni relative alla struttura dei dati.

E’ una procedura matematica.

Spesso viene sovrastimata da molti autori.

Non ci permette di arrivare alla conferma di un’H di partenza ma è una tecnica vantaggiosa, per questo ampiamente usata, che ci fornisce informazioni difficili da ottenere in altro modo.

Cos’è l’analisi fattoriale?

Come lavora l’Analisi Fattoriale

Variabili di partenza

Operazioni matematiche

Quantitative, gaussiane, correlate fra loro che vengono analizzate allo stesso livello.

Matrice di correlazione

Estrazione di fattori ortogonali

Rotazione

Scopi principali

2. Trasformazione delle varabili in studio in variabili indipendenti fra loro*

1. Riduzione del numero di variabili in studio (ma non dell’informazione).

3. Individuazione delle sorgenti delle variabili**

4. Assegnazione di significato reale a tali variabili***

Trova variabili artificiali, aleatorie, è possibile rintracciarne un numero infinito.

Sono indipendenti tra loro, per questo non riflettono la realtà psicologica dove è difficile trovare fenomeni non correlati.

Validazione di questionari e riduzione del numero di variabili in studio, non correlate tra loro

- Riduzione delle variabili ma non dell’informazione utile.

- Creazione di fattori che rappresentano la stessa realtà ma che sono indipendenti fra loro.

- Non vengono considerate le differenze fra le diverse variabili.

Ruolo indiscusso:

Vantaggi:

Critiche:

I OPERAZIONE: Creazione della Matrice di Correlazione

La prima matrice di correlazione estratta dall’analisi è la matrice di correlazione R.

Mostra tutte le relazioni possibili tra le variabili.

Le variabili vengono correlate a due a due.

Due variabili sono statisticamente correlate fra loro quando al variare di una anche l’altra varia.

Avremo un numero di nuove variabili, fattori, corrispondente al numero delle variabili iniziali, item.

Avremo una varianza complessiva uguale al numero delle variabili iniziali, perché ogni item ha varianza 1 e media 0.

II OPERAZIONE: Estrazione dei Fattori

Metodi di estrazione:

- Metodo delle componenti principali

- Metodo della massima verosimiglianza

- Metodo dei minimi quadrati

- ….

I punteggi grezzi vengono trasformati in punti z, ovvero vengono standardizzati

Standardizzazione dei dati raccolti

x Una variabile gaussiana è detta variabile Z quando ha:

= 0 ; S = 1 (N = 0; 1)

Semplifica i conti.

Permette il confronto di punteggi appartenenti a diversi questionari.

Cos’è la varianza? Può essere vista come la quantità d’informazione trasportata da ogni parametro.

Maggiore è la variabilità e maggiore è l’informazione.

La varianza complessiva risulta ora uguale al numero totale delle variabili considerate.

Metodo delle componenti principali

Tale metodo permette di creare variabili artificiali, dette fattori, fra loro ortogonali (correlazione = 0).

I fattori sono combinazioni lineari delle variabili sperimentali, si ottengono cioè dalla somma dei prodotti delle singole variabili sperimentali, o meglio dei loro valori z, per gli opportuni coefficienti. Il valore e il segno di questi coefficienti indicano quanto e come il singolo fattore sia legato alle diverse variabili sperimentali.

I fattori non hanno più varianza = 1

Utilizza un processo a cascata per cui il primo fattore spiega il massimo della varianza, ed è il più importante.

Si avvale del calcolo degli AUTOVALORI e degli AUTOVETTORI dalla matrice di correlazione.

Cosa sono gli AUTOVALORI e gli AUTOVETTORI?

Vengono calcolati direttamente dalla matrice di correlazione R attraverso un processo algebrico.

Autovalori = la quantità di varianza di un fattore, la comunalità.

Autovettori = sono i fattori o componenti.

R x AUTOVETTORE = AUTOVETTORE x AUTOVALORE

AUTOVETTORE x R dev’essere uguale a se stesso a meno di una costante che si chiama AUTOVALORE.

Come decidere quanti fattori tenere?

1. Posso decidere un numero preciso da tenere (sottoscale).

2. Posso decidere la percentuale di informazione spiegata che voglio tenere (60-65%).

3. Tengo solo i fattori con varianza maggiore o uguale ad 1.

A cosa mi servono le nuove variabili?

- Compattazione dei dati.

- Tengo un numero inferiore di dati, perdo una parte accettabile d’informazione ed ho una interpretazione delle variabili in studio.

- Guardo il legame tra fattori e variabili di partenza.

- Osservando la matrice per colonna posso indagare quanto i singoli fattori sono correlati alle variabili di partenza.

- Osservando la matrice per riga è possibile decidere quali sono gli item da scartare in relazione alla loro correlazione con i fattori (quelli meno correlati).

E’ possibile calcolare il valore ad ogni fattore soggetto per soggetto.

Tali punteggi saranno variabili Z con media = 0 e varianza = 1.

Punteggio grezzo del soggetto 1 all’item 1

Coefficiente di correlazione tra item 1 e fattore 1

Faccio la stessa cosa con tutti gli item (1, 2, 3, …), sommo tutti i prodotti ed ottengo il punteggio del soggetto 1 al fattore 1.

X

Metodo dei minimi quadrati

Minimizza la somma dei quadrati degli scarti fra i dati osservati e la matrice di correlazione prodotta dal modello.

Metodo della Massima Verosimiglianza

Questa tecnica affronta la casualità in termini inversi rispetto alla probabilità:

Parte dai dati sperimentali e si chiede che probabilità c’è di avere una distribuzione del fenomeno di un certo tipo.

Lavora per approssimazioni successive e stima una matrice di correlazione e un’insieme di varianze che rappresentano i dati sperimentali, eliminando la ridondanza con la minima dispersione d’informazione.

Lo sopo principale è quello di rappresentare al meglio la realtà.

L’Analisi Fattoriale è utilizzata per studiare modelli che rappresentino al meglio la realtà, caratterizzati da legami tra item e fattori, in altre parole modelli a variabili artificiali, latenti.

La tecnica della Massima Verosimiglianza ci offre la miglior rappresentazione della realtà possibile e ci da anche la misura di quanto bene riesca a rappresentarla!

Tale tecnica parte dall’estrazione dei fattori delle Componenti Principali.

Vengono modificati i fattori per rappresentare al meglio gli item sperimentali.

Aumenta e diminuisce la varianza dei fattori e contemporaneamente vengono modificati anche gli altri fattori finchè non trova la combinazione di fattori, varianze, che rappresentano al meglio la realtà.

Quando fermarsi?

Ogni volta che si fa una modifica viene applicato il test del Chi2 per misurare la bontà dell’adattamento dei dati. La significatività indica che la modifica apportata è significativamente migliore rispetto ai fattori delle Componenti Principali (e della modifica precedente).

Il valore reale (dati grezzi) è differente dal valore dei fattori (calcolato), così il Chi2 confronta le due situazioni relative agli stessi dati e ci dice quanto è reale la rappresentazione attuale.

Ottengo anche in questo caso delle variabili ortogonali ma non avrò il primo fattore con la maggior quantità d’informazione spiegata e i fattori successivi con varianza man mano sempre minore.

C’è una distribuzione equa, più simile possibile alla realtà dell’informazione.

Per creare fattori non ridondanti non è necessario creare un fattore principale con effetto a cascata sulla quantità di varianza degli altri, anzi la maggior parte dei questionari distribuisce in modo equo l’informazione fra i diversi item..

Componenti Principali

Massima Verosimiglianza

• Calcola i fattori attraverso una formula diretta.

• Offre la miglior condensazione di varianza,con la minima dispersione d’informazione; questo non significa che rappresenta la realtà nel miglior modo.

• Al variare del numero di fattori da tenere l’ analisi non cambia

• Usa la tecnica delle approssimazioni successive.

• Trova i fattori che meglio rappresentano la realtà.

• Non lavora con troppe o troppo poche variabili.

• Se vario il numero di fattori che sono interessato a tenere devo rifare l’analisi.

Maggiore sarà il numero delle variabili di partenza e maggiore sarà la differenza dei risultati delle due analisi.

Modifica la relazione esistente tra item e fattori attraverso una rotazione dei fattori.

Con la rotazione operiamo una combinazione lineare dei fattori di partenza in modo da modificare la loro relazione con gli item.

Tali fattori possono rimanere fra loro ortogonali oppure divenire non ortogonali.

III Operazione: Rotazione dei fattori

Nasce principalmente da due critiche:

1. Vengono scoperte variabili latenti indipendenti.

2. Vengono dati dei nomi ai fattori.

La rotazione rende i fattori maggiormente interpretabili.

Una diversa interpretazione dei fattori, e del loro legame con gli item, modifica l’interpretazione, il significato della ricerca!

Mentre la rotazione ORTOGONALE mantiene l’indipendenza dei fattori, la rotazione OBLIQUA rende i fattori correlati fra loro.

Con la rotazione ORTOGONALE ruoto rigidamente gli assi cartesiani ed essi rimangono ortogonali e la somma totale delle varianze rimane uguale al totale della variabili di partenza.

Con la rotazione OBLIQUA gli assi cartesiani non sono più perpendicolari fra loro ma obliqui, quindi non sono più indipendenti ma correlati e la somma totale delle varianze non corrisponderà più al numero totale delle variabili di partenza.

Le rotazioni sono meglio interpretabili attraverso un grafico cartesiano dove gli assi rappresentano i fattori e le coordinate sono date dalle correlazioni della matrice R.

La rotazione può essere ORTOGONALE oppure OBLIQUA.

Varimax Method. Effettua una rotazione ortogonale che minimizza il numero di variabili che sono fortemente correlate con ogni fattore. Il peso dei fattori è così distribuito più uniformemente e l’interpretazione dei fattori è semplificata.

Tecniche di rotazione:

Quartimax Method. Ha un funzionamento opposto a quello della Varimax. Minimizza il numero di fattori necessari a spiegare ciascuna variabile. Semplifica la spiegazione delle variabili osservate.

Equamax Method. È una combinazione fra il varimax e il quartimax.

Oblimin Rotation: Rotazione obliqua che cerca di adattare i fattori agli item e li correla.

Promax Rotation. Rotazione obliqua. E’ un metodo più diretto che cerca la rotazione che meglio si adatta a rappresentare i fattori con un singolo item e lo fa direttamente.

MISURA dellaMISURA dellaCORRELAZIONECORRELAZIONE

Correlazione fra più variabili di uno stesso

campione

• Analisi della correlazione • Analisi della regressione• Analisi della covarianza• Analisi della correlazione parziale

Analisi della Correlazione

Scopo: analizzare la relazione fra variabili quantitative (a distribuzione gaussiana o non gaussiana)

Fornisce sia il senso della relazione che la significatività


Correlazioni parametriche: • r di Pearson

Correlazioni non parametriche:• Tau di Kendall• Rho di Spearman


r di Pearson• Misura dell’associazione lineare fa due

variabili. I valori del coefficiente vanno da -1 a 1. Il segno del coefficiente indica una relazione positiva o negativa. Il suo valore assoluto indica la forza della relazione.

• Dipende dalla numerosità campionaria quindi va associato alla significatività

Analisi della Correlazione• Tau di Kendall• Rho di Spearman

Entrambi misura dell’associazione non parametrica basata su dati o ordinali o a ranghi.

• I valori di entrambi i coefficienti vanno da -1 a 1. Il segno del coefficiente indica una relazione positiva o negativa. Il suo valore assoluto indica la forza della relazione.

• Dipendono dalla numerosità campionaria quindi va associato alla significatività

Esempio


Utilizzi

• Misura dell’associazione fra variabili

• Verifica dell’attendibilità e della validità di questionari

Relazione fra risultati prodotti da diverse

ricerche• Misura dell’effect-size• Meta analisi• Review

Effect size o forza dell’effetto

• Grado con cui il fenomeno è presente nella popolazione

• Intensità della relazione fra fattore e variabile dipendente

• Confronto fra variabilità dovuta ai fattori e la variabilità totale

• Variabilità misurata come varianza spiegata• Diversi indici a seconda dei dati e dei test

utilizzati

Meta Analisi

Scopo: permette di confrontare i risultati di diverse ricerche riguardanti uno stesso argomento nonostante siano basate su numerosità campionaria diverse e diversi test statistici utilizzati

Finalità: comprendere il funzionamento del fenomeno da studi diversi a volte discordanti

Meta AnalisiPer evitare di fare confronti inutili occorre specificare ovvero delimitare l’ambito di analisi in modo da semplificare il problema e quindi l’interpretazione dei risultati

Limitare le variabili in studio e eventualmente applicare più di una metanalisi

ES. Studio dell’effetto dell’ansia sulle prestazioni cognitive: quali indici di ansia considerare?

Meta Analisi

Procedimento:

1. Raccolta e codifica degli studi

2. Calcolo degli indici di confronto

3. Sintesi: calcolo dell’effetto medio

4. Interpretazione dei risultati

Meta Analisi: 1. Raccolta e codifica

• Gli studi raccolti devono essere adeguati e di ampia numerosità per evitare l’errore dovuto alle pubblicazioni (pubblication bias) e all’errore di campionamento

• Definire l’ipotesi di riferimento che specifica le variabili da utilizzare (fattori o predittori, covariate o moderatori)

• Pesare gli studi in base alla correttezza metodologica (es attraverso intention to treat analysis)

Valutazione delle differenze fra le medie rapportate alla deviazione standard casualeTale valutazione, nel caso di due gruppi indipendenti, può essere calcolata dalla formula

effect sizex x

s

1 2

2

Meta Analisi: 2. Calcolo degli indici di

confronto

Nel caso conosciamo solo la numerosità dei gruppi e il valore del parametro t possiamo ottenere lo stesso indice dalla formula

effect size tn n

n n

1 2

1 2

Meta Analisi: 2. Calcolo degli indici di

confronto

Effetto medio: media degli effetti nelle diverse ricerche effettuate

Permette di ottenere una valutazione complessiva dei risultati

Meta Analisi: 3. Calcolo dell’effetto medio

Permette di trasformare le descrizioni delle ricerche effettuate su un particolare argomento in una valutazione obiettiva dei risultati ottenuti

Tuttavia necessitano di una interpretazione dettagliata e motivata dell’analisi

Inoltre considera solo le ricerche pubblicate

Meta Analisi: 4. Interpretazione

MODELLI NON PARAMETRICI. Uso dei Modelli in Statistica Modelli come generalizzazione delle procedure...

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