Politecnico di Milano
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Fondamenti di Automatica
Presentazione del corso ed IntroduzioneDocente: Prof. Bruno Picasso
Esercitatore: Ing. Stefano Bottelli
2
Docente: Bruno PicassoUfficio: no 246 – DEI (Dip.to di Elettronica e Informazione)
Edificio no 20, presso il Campus LeonardoTelefono: 02 2399 4022E-mail: [email protected]
Recapito e orario di ricevimento
E-mail: [email protected]
Orario di ricevimento:• Giovedì ore 15.00-17.00 (presso il mio ufficio - previa
conferma via e-mail)
• In altro orario, su appuntamento (presso il mio ufficio)
• Subito prima e subito dopo le lezioni (in aula)
3
Tutte le informazioni relative al corso (orario del corso e aule, programma, bibliografia, recapiti ed orario di ricevimento, materiale didattico, date e modalità di esame…)
si trovano anche sul sito web:
Sito Web di riferimento
http://home.dei.polimi.it/picasso/>> TEACHING
4Prerequisiti
⇒
5
?
Prerequisiti
⇒
6
? ⇒
Prerequisiti
⇒
7
⇒
• Equazioni differenzialinozioni di base, problema di Cauchy
• Algebra lineareoperazioni tra matrici
(somma e prodotto “righe x colonne”), risoluzione di sistemi lineari Ax=b,
matrice inversa, cambio di base,
Prerequisiti
⇒matrice inversa, cambio di base, traccia, determinante,
polinomio caratteristico, autovalori, autovettori,
diagonalizzabilità / diagonalizzazione
• Numeri complessioperazioni (somma, prodotto,
divisione/inversione, coniugazione),forma polare (modulo e fase)
8Alcuni (pochi) consigli
• Fare domande ed esporre i propri dubbi durante le lezioni (senza timore di sbagliare)
• Venire a ricevimento, chiedere chiarimenti anche sulle cose più semplici (sia sul programma che sui prerequisiti)
• Studiare di volta in volta, rimanere “in pari” e fare gli • Studiare di volta in volta, rimanere “in pari” e fare gli esercizi. Non aspettare il compito per aprire il libro!
• Chiacchierare e fare brusio in aula durante le lezioni
• Copiare durante gli esami
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Introduzione all’Automatica• I sistemi dinamici• Il problema del controllo
Introduzione al corso: sommario
L’Automatica come disciplina ingegneristica• I sistemi dinamici come equazioni differenziali• L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automati ca• Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
10Introduzione ai Fondamenti di Automatica
L’Automatica si occupa del controllo dei sistemi dinamici
Fondamenti di Automatica studia i sistemi dinamici (con un approccio volto al loro controllo)
Un sistema dinamico è (la rappresentazione di) un oggetto caratterizzato da
grandezze che variano nel tempo ed
interagenti con l’ambiente esterno
Sistema
Ambiente “esterno”
t
y(t)
11Introduzione ai FdA : esempi di sistemi dinamici
AtmosferaGrandezze:
Temperatura: T (t)
Pressione: p(t)
Umidita: h(t)
. . .
Ambiente esterno:• Radiazione solare• Temperatura dei mari• Emissioni di gas• …
Stato patrimoniale di un’aziendaGrandezze:
Cassa e liquidita: l(t); Valore delle
scorte: v(t); Crediti: c(t); Debiti: d(t);
Capitale: C(t); . . .
Ambiente esterno:• Costo materie prime• Prezzo sul mercatodel bene prodotto
• …
12Introduzione ai Fondamenti di Automatica
Alla base dell’Automatica c’è lo studio di come i fattori esterni influenzano e modificano l’evoluzione temporale delle grandezze che descrivono lo stato di un sistema, ossia…
SistemaAzioni (cause)
y(t)Modifiche (effetti) sul
… lo studio della relazione di causa/effetto trale azioni compiute su un sistema e l’andamento
delle grandezze che lo rappresentano
Sistema(cause) “esterne” t
(effetti) sul sistema
13Introduzione ai Fondamenti di Automatica
Relazione di causa/effetto tra le azioni compiute su un sistema e l’andamento delle grandezze che lo rappresentano
Sistema
Ambiente “esterno”
t
y(t)
Sistema
…ad una formale, “logica”.
Ingressi / Uscite
Da una rappresentazione descrittiva…
14Altri esempi di sistemi dinamici
SistemaAzioni “esterne” Grandezze influenzate
• Pedale del freno / dell’acceleratore
• Pendenza della strada
Posizione: s(t)
Velocita: v(t)
Dinamica del moto di un’automobile:
• Pendenza della strada
• Approvvigionamento
• Consumi• Evaporazione / precipitazioni
Livello di H2O
nei serbatoi di
stoccaggio:
h1(t), . . . , hn(t)
Rete idrica:
15Altri esempi di sistemi dinamici
• Forze esterne Posizione: θ(t)
Velocita angolare: θ(t)
Dinamica del moto di un pendolo:
E molti altri esempi di natura estremamente varia:
µ(t)
…e sistemi derivanti: uniciclo, bracci robotici
16Altri esempi di sistemi dinamici
Dinamica di grandezze elettriche:
E molti altri esempi di natura estremamente varia:
• Generatori di f.e.m• Carichi• …
Tensioni: Vi(t)
Correnti: Ij(t)
. . .• … . . .
RC
I(t)
V (t)
…e sistemi derivanti:rete di generazione e distribuzione elettrica
17Altri esempi di sistemi dinamici
Dinamica di numerosità di popolazioni:
E molti altri esempi di natura estremamente varia:
• Flussi immigratori /emigratori
• Diffusione di malattie
Distribuzione della
popolazione per
classi di eta: ni(t)• Diffusione di malattie• …
classi di eta: ni(t)
Dinamica del PIL di una nazionedella spesa previdenzialedel tasso di occupazionedi un indice azionario…
18Altri esempi di sistemi dinamici
E molti altri ancora…
19Esempio: il sistema clima
SistemaAzioni “esterne” Grandezze influenzate
• Attività umane• Attività solare• …
Temperatura dell’aria, Umidita, Pressione
atmosferica, Temperatura degli oceani, Salinita
dei mari, Concentrazioni di inquinanti, . . .
20Esempio: il sistema clima
SistemaAzioni “esterne” Grandezze influenzate
• Attività umane• Attività solare• …
Atmosfera
Radiazione termica
Emissioni gas e vapore acqueo Formazione
ghiacci EvaporazionePrecipitazioni
Temperatura dell’aria, Umidita, Pressione
atmosferica, Temperatura degli oceani, Salinita
dei mari, Concentrazioni di inquinanti, . . .
Terra Oceani
termica
Radiazione termica
Precipitazioni
21Il clima: sistemi dinamici interconnessi
SistemaAzioni “esterne” Grandezze influenzate
Sole Atmosfera• Attività solare
Grandezze: Temperatura, Umidita,
Pressione, Concentrazione di O2, CO2, N2, . . .
Grandezze: Radiazione solare
emessa, composizione chimica . . .
• Attività umane
Terra Oceani
Radiazione termica
Emissioni gas e vapore acqueo
Formazione ghiacci
Radiazione termica
EvaporazionePrecipitazioni
Grandezze: Temperatura, Salinita,
Concentrazione di inquinanti, . . .
Grandezze: Percentuale
di copertura boschiva, . . .
Tipicamente, dietro questa rappresentazione,
ciò che si nasconde è piuttosto questo:
22
Sistema
Sistemi dinamici interconnessi
ciò che si nasconde è piuttosto questo:
un sistema dinamico è spesso costituito da numerosi sottosistemi interagenti; …
23
… o addirittura questo!
Sistemi dinamici interconnessi
Introduzione all’Automatica• I sistemi dinamici• Il problema del controllo
24Introduzione al corso: sommario
L’Automatica come disciplina ingegneristica• I sistemi dinamici come equazioni differenziali• L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automati ca• Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
25
…dai Fondamenti di Automatica all’Automatica.
Una volta compreso il funzionamento di un sistema dinamico (cioè il modo in cui le azioni esterne modificano la naturale evoluzione delle grandezze che rappresentano il sistema),siamo interessati al cosiddetto problema di controllo , cioè:
Il problema del Controllo
siamo interessati al cosiddetto problema di controllo , cioè:
studiare se e in che modo sia possibile agire dall’esternosu un sistema al fine di modificarne la naturale evoluzione
ed ottenere un comportamento desiderato
26
Problema di controllo: studiare come agire su un sistema per modificarne la naturale evoluzione ed ottenere un comportamento desiderato
Il problema del Controllo: formulazione
Sistema y(t)u(t)
Si fissa un andamento desiderato perle grandezze d’interesse del sistema:
yo(t)
yo(t)
y(t)le grandezze d’interesse del sistema:
L’evoluzione di tali variabili in assenzadi specifiche azioni di controllo sia:
Risolvo il problema di controllo se inveceun’opportuna scelta di , cioè delle azionida compiere sul sistema, garantiscono:
t
y(t)
t
t
y(t)
u(t)
y(t)
y(t)
27Il problema del Controllo: esempio
u(t) = p(t)
• Portata d’immissione( ) h
p Livello:
y(t)=h(t)
Controllo del livello di liquido in un serbatoio:
Sistema dinamico:
Problema di controllo: mantenere costante il livello al valore
Segnale di riferimento:
Azione di controllo: apertura/chiusura del rubinetto (ossia,scelta di ) in modo opportunop(t)
ho(t) ≡ h
h
t
ho(t)
h
28Il problema del Controllo
Il controllo può essere manuale (apro/chiudo il rubinetto a mano)
oppure automatico: l’azione di controllo è effettuata senza il
diretto intervento dell’uomo (un dispositivo
opportunamente progettato apre/chiude il rubinetto)
Sistema di controllo automatico:Sistema di controllo automatico:
consiste in un sistema (detto controllore) interconnessoal sistema dinamico dato in modo tale che l’interazione
tra i due sistemi induca il comportamento desiderato delle grandezze d’interessey(t)yo(t)
Esempi di architettura di sistemi di controllo automatico:
Controllo in anello aperto:
29Controllo in anello aperto/in retroazione
Sistema di controllo automatico: è un sistema (controllore) interconnesso al sistema dato in modo tale che l’interazione tra i due sistemi induca il comportamento desiderato delle grandezze d’interessey(t)yo(t)
u(t)
Controllo in anello chiuso (o in retroazione o in feedback):
Sistema y(t)Controlloreyo(t)u(t)
y(t)Sistema y(t)Controlloreyo(t) u(t)
NB: nel sistema di controllo in retroazione il controllore “conosce” y(t)
30
Il controllore: il sistema rubinetto.
h
p
Controllo del livello di liquido in un serbatoio (continuazione)
Il problema del Controllo: esempio
h
θ(t) Portata del flusso
di liquido: p(t)
• Angolo diapertura della valvola
θ(t)
31
L’interconnessione rubinetto-serbatoio:
θ(t) h
p
Il problema del Controllo: esempio
h
pθ(t)
32
Il sistema di controllo in retroazione risultante:
h
pθ(t)
yo(t) u(t)
≡≡
Il problema del Controllo: esempio
y(t)Sistema y(t)Controlloreyo(t) u(t)
θ(t)u(t) = p(t)
h(t)ho(t)
h
p
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Introduzione all’Automatica• I sistemi dinamici• Il problema del controllo
Introduzione al corso: sommario
L’Automatica come disciplina ingegneristica• I sistemi dinamici come equazioni differenziali• L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automati ca• Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
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Controllare il comportamento del livello di liquidoin un serbatoio è abbastanza semplice:
• strumenti matematici rudimentali • un po’ di intuizione
possono bastare.
h
p
Studio formale dei sistemi dinamici
Non serve un corso di Fondamenti di Automatica!
MA…
35
Per studiare e/o controllare altri sistemi il “buon senso” non basta!Occorrono strumenti sistematici di analisi che permettano di operare le scelte progettuali sulla base di criteri quantitativi.
Studio formale dei sistemi dinamici
36
Occorrono strumenti sistematici di analisi che permettano di operare delle scelte sulla base di criteri quantitativi.
A tal fine, occore formalizzare il problema e fornire una descrizione matematica dei sistemi oggetto di studio.
Studio formale dei sistemi dinamici
Le relazioni matematiche che descrivono il modo in cui le grandezze del sistema variano nel tempo e sono modificate dalle azioni esterne costituiscono il modello del sistema.
Il tipo di modelli che adotteremo per descrivere i sistemi dinamici sono le equazioni differenziali.
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Alcuni esempi:
• La dinamica del livello di
liquido in un serbatoio:
• La dinamica del motodi un pendolo:
h(t) = −αh(t) + βp(t)h
p
θ(t) = −kθ(t)− glsin
�θ(t)
�+ µ(t)
µ(t)
I sistemi dinamici: equazioni differenziali
• La dinamica della numerositàdi una popolazione:
• La dinamica di una tensionein un circuito elettrico:
• La dinamica della numerosità di impiegati in un’azienda (piramide gerarchica):
n(t) = an(t) +−bn2(t) + φ(t)
V (t) = −1
RCV (t) + 1
CI(t)
n1(t) = −a11n1(t) + b1ǫ(t)n2(t) = a21n1(t)− a22n2(t)n3(t) = a32n2(t)− a33n3(t)
RC
I(t)
V (t)
38Quadro riassuntivo
FENOMENO: grandezze che evolvono e interagiscono
(modellistica)
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
Livello “fisico”
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un
comportamento desiderato (sulla base del modello)
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Livello “teorico”
Livello “fisico”
39Quadro riassuntivo
FENOMENO: grandezze che evolvono e interagiscono
(modellistica)
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
Livello “fisico”
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un
comportamento desiderato (sulla base del modello)
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Livello “teorico”
Livello “fisico”
40Quadro riassuntivo
FENOMENO: grandezze che evolvono e interagiscono
(modellistica)
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello
Livello “fisico”
Livello “teorico”
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un
comportamento desiderato (sulla base del modello)
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Livello “teorico”
Livello “fisico”
L’Automatica è un insieme di strumenti matematici per lo studio e il controllo di sistemi dinamici
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FENOMENO(modellistica)
MODELLO MATEMATICO: equazioni differenziali
ANALISI: studio del fenomeno sulla base del modello• Come reagisce il sistema a determinate azioni esterne? Le grandezze che lo descrivono tendono ad un valore costante?Se sì, in che modo e in quanto tempo?
Alcune domande cui dare risposta
Oppure oscillano? Con quale ampiezza e periodo?Oppure divergono?Cosa accade in presenza di ulteriori azioni impreviste (disturbi)?
• Previsione e simulazione:Quale sarà l’andamento futuro della grandezza studiata?
CONTROLLO: agire sul sistema per ottenere un comportamento desiderato
• Garantire buone prestazioni (anche in presenza di disturbi imprevisti)• Ottimizzare le prestazioni
(IMPLEMENTAZIONE: controllo effettivo del sistema fisico)
Introduzione all’Automatica• I sistemi dinamici• Il problema del controllo
42Introduzione al corso: sommario
L’Automatica come disciplina ingegneristica• I sistemi dinamici come equazioni differenziali• L’astrazione e l’interdisciplinarietà dell’Automati ca• Fondamenti di Automatica ed Ingegneria Gestionale
43
⇒⇒⇒θ
T (t)
T = 200◦
θ(t)
Esempio: Forno
t
⇒⇒⇒θ
Tf(t) = −1Cf
Tf(t) + γeθ(t)
T = 200◦
t
⇒⇒⇒
44
⇒⇒⇒θ
v(t)θ(t)
Esempio: Automobile
v = 80km/h
t
⇒⇒⇒θ
v(t) = −γM
v(t) + λθ(t)
t
⇒⇒⇒
45
⇒⇒⇒p
h(t)
h
p(t)
h
p
Esempio: Serbatoio
t
⇒⇒⇒p
h(t) = −αh(t) + βp(t)
t
⇒⇒⇒
46
⇒⇒⇒ǫ
σ(t)ǫ(t)
Esempio: gestione del personale
σ
t
⇒⇒⇒
σ(t) = −ρσ(t) + λǫ(t)
t
⇒⇒⇒
47
Tf(t) = −1Cf
Tf(t) + γeθ(t)
Sistemi dinamici come astrazione
h
p
h(t) = −αh(t) + βp(t) v(t) = −γM
v(t) + λθ(t) σ(t) = −ρσ(t) + λǫ(t)
x(t) = ax(t) + bu(t)x(t) = ax(t) + bu(t)
⇒⇒⇒u
t
u(t) x(t)
x
t
(a < 0)
48Sistemi dinamici come astrazione
⇒⇒⇒u
u(t) x(t)
x
h
p
x(t) = ax(t) + bu(t)(a < 0)
⇒⇒⇒u
t
x
t
• Lo studio del sistema dinamico , , permette di comprendere “l’andamento della temperatura in un forno”, ma anche “del livello di liquido in un serbatoio”, “della velocità di un’automobile”, “del numero di impiegati in un’azienda” e qualunque altro fenomeno che può essere descritto per mezzo del medesimo modello matematico (sistema dinamico).
x(t) = ax(t) + bu(t) a < 0
49
Fis
ica
sper
imen
tale
Ges
tione
dei
sis
tem
i lo
gist
ici e
pro
dutti
vi
orga
niz
-
Fondamenti di Automatica
L’interdisciplinarietà di FdA
Fis
ica
sper
imen
tale
Prin
cipi
di i
ng.
elet
tric
a
Ges
tione
dei
sis
tem
i lo
gist
ici e
pro
dutti
vi
Eco
nom
ia e
or
gani
zza
zion
eaz
iend
ale
…
50
Alcuni esempi che verranno studiati nel corso:• Sistemi meccanici (pendolo, porta a spinta, sospensione, cruise contr ol)
• Reti elettriche• Sistemi idraulici• Problemi di logistica• Modelli di popolazione• Gestione del personale• Modelli di competizione tra aziende
Verso una visione sistemica
• Modelli di competizione tra aziende• Modelli di dinamica dei prezzi• Modelli macroeconomici keynesiani• Gestione di fondi d’investimento (gli ETF - Exchange Traded Funds)
Tali esempi avranno il duplice scopo di1. Illustrare i principali argomenti teorici presentati nel corso2. Mettere lo studente in grado di affrontare i problemi con un
approccio sistemico (interiorizzare e riconoscere i principali concetti e fenomeni caratteristici dei sistemi dinamici)
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La figura dell’ingegnere gestionale integra competenze tecniche e manageriali:l’ingegnere gestionale possiede sia le conoscenze tecniche dei settori tradizionali
Fondamenti di Automatica e Ing. Gestionale
Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l’ingegnere gestionale ?
conoscenze tecniche dei settori tradizionali dell’Ingegneria che la capacità di comprendere e gestire la complessità dei processi operativi ed amministrativi delle imprese che operano in tali settori.
L’ingegnere gestionale è chiamato ad operare in ambiti diversi e deve saper astrarre dai singoli oggetti di studio le caratteristiche
che permettono di descriverli e studiarli come sistemi
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Le capacità di astrazione sviluppate in questo corso aiutano l’ingegnere gestionale ad acquisire la versatilità e le conoscenze necessarie ad operare in contesti diversi.
Grazie alla sua natura fortemente interdisciplinare, Fondamenti di
Fondamenti di Automatica e Ing. Gestionale
Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l ’ingegnere gestionale ?
Grazie alla sua natura fortemente interdisciplinare, Fondamenti di Automatica offre gli strumenti necessari ad acquisire competenze trasversali di natura sia tecnica che manageriale.
Il corso di FdA contribuisce all’acquisizione di una conoscenza di “alto livello” dei processi produttivi e dei campi tecnici a contatto dei quali si troverà ad operare l’ingegnere gestionale.
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Il corso offre inoltre criteri quantitativi quali strumenti di supporto alle decisioni da operare nel contesto di sistemi complessi
Fondamenti di Automatica e Ing. Gestionale
Perché Fondamenti di Automatica è d’interesse per l ’ingegnere gestionale ?
Lo studio dell’Automatica completa le conoscenze dell’ingegnere gestionale e gli fornisce gli strumenti per affrontare i problemi con un approccio sistemico
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