Fluidi I

Stati della materia Densità e pressione

Idrostatica Idrodinamica

Stati della materia 1.  Solido: indeformabile e incomprimibile 2.  Liquido: deformabile e incomprimibile 3.  Gassoso: deformabile e comprimibile

Le proprietà della materia dipendono fortemente dalla struttura atomica, cioè dalla disposizione degli atomi gli uni rispetto agli altri e dall’entità delle forze con cui interagiscono fra loro.

Fluidi I fluidi (dal latino fluere = scorrere) sono i

corpi deformabili, cioè quei corpi che oppongono scarsa resistenza al cambiamento di forma.

Rientrano in questa definizione i liquidi e i gas:

•  i liquidi sono praticamente incomprimibili

per cui hanno un volume proprio; •  i gas sono facilmente comprimibili e il

volume che occupano dipende dalla pressione a cui sono sottoposti.

La meccanica dei fluidi si divide in due capitoli:

idrostatica e idrodinamica.

Densità

Dato un corpo di massa m distribuita in un volume V, si definisce densità volumica ρ il rapporto massa/volume:

ρ = m/V densità volumica

Nel SI la densità si misura in kg/m3.

Spesso si trova espressa anche in g/cm³ o in maniera equivalente in g/ml (1l = 1dm3).

In condizioni ambiente la densità dell’acqua è di circa 1000 kg/m³, mentre quella dell’aria è all’incirca mille

volte più piccola (~1.2 kg/m³).

Densità e fasi della materia

•  In generale la densità della materia diminuisce dalla fase solida alla fase

liquida e poi da questa a quella gassosa

•  Un materiale molto comune e conosciuto fa eccezione a questa regola…

Densità e fasi della materia

•  In generale la densità della materia diminuisce dalla fase solida alla fase

liquida e poi da questa a quella gassosa

•  Un materiale molto comune e conosciuto fa eccezione a questa regola…

Ghiaccio e acqua

Nel ghiaccio (acqua in fase solida) la struttura regolare mostra dei “buchi” che diminuiscono la

densità rispetto a quella dell’acqua allo stato liquido

Volume e Massa Siccome i fluidi non hanno volume proprio, ci si deve domandare quale sia la massa di un fluido che occupa un volume V. Esempio: abbiamo una sostanza in una siringa che occupa un volume di 3 ml. Che massa ha? Dipende dalla densità: maggiore è la densità, maggiore sarà la massa ρ=m/V => m=ρV => m=ρ⋅3ml Se abbiamo acqua allora (ρ = 1 g/cm3): m=??? Se abbiamo una sostanza con ρ = 1.2 g/cm3

m=???

Pressione atmosferica: esperienza di Torricelli

Pressione Consideriamo una forza F che agisce

su un elemento di superficie ΔS.

Si definisce pressione esercitata da F su ΔS la quantità scalare:

p = Fn/ΔS

(dove Fn è la componente di F

perpendicolare a ΔS).

Unità di misura della pressione

Nel SI la pressione si misura in Pascal (1Pa=1N/m2).

Altre unità di misura utilizzate per la pressione:

1 atmosfera (atm) = 1.013·105 Pa

1 bar = 105 Pa

1 millibar = 10-3 bar = 102 Pa

1 torr = 1/760 atm = 133 Pa

Legge di Stevino Consideriamo un fluido incomprimibile (con densità ρ

costante punto per punto). La legge di Stevino descrive la variazione della pressione con la profondità h.

Le forze laterali si controbilanciano. Consideriamo le forze che agiscono sulle superfici superiore e inferiore.

Se P è il peso dell’elemento di volume:

Finf = Fsup+ P

pinf ΔS = psup ΔS + mg

pinf ΔS = psup ΔS + ρ ΔS h g

pinf = psup + ρ g h

Legge di Stevino

La pressione esercitata da una colonna di fluido con densità costante ρ in un suo punto di profondità h (distanza dal pelo libero del fluido, ossia la superficie del liquido che è a contatto con l'aria dell'ambiente esterno pressione esterna) è direttamente proporzionale alla profondità h e alla accelerazione di gravità.

ph = psup + ρ g h

Δp = ρ g h

Esercizio Qual è la pressione esercitata su un sub che scende alla profondità di 10 m rispetto al livello del mare?

Esercizio Qual è la pressione esercitata su un sub che scende alla profondità di 10 m rispetto al livello del mare?

p = p0 + ρacqua,mare g Δh

p0=1 atm = 1.013·105 Pa = 1.013·105 N/m2

Ρacqua,mare= 1.025 · 103 Kg/m3

g = 9.81 m/s2

Δh = 10 m

P = ρacqua,mare g Δh =1.025 · 103 · 9.81 · 10 Pa = = 1.005·105 Pa ~ 1 atm.

Per ogni 10 m di acqua di profondità si ha un

incremento della pressione di circa 1 atm.

Principio di Pascal Conseguenza della legge di Stevino p = p0+ ρ g h Supponiamo di aumentare la pressione esterna sulla superficie di un liquido: p0 p0’ = p0+Δp0 Se il fluido è incomprimibile la pressione in Un punto qualunque a profondità h varierà come: p p’ = p0’+ ρ g h Δp = p’ - p = p0’ - p0 = Δp0

La pressione esercitata in una regione qualsiasi del fluido si trasmette in ogni direzione con la stessa intensità.

Principio di Pascal

Nel fare un'iniezione, si preme sul pistone della siringa esercitando una pressione sul liquido.

Tale pressione si trasmette a tutto il liquido, preme con la stessa intensità contro le pareti della siringa ed esce dall'ago

con una velocità dipendente dalla pressione esercitata.

Infatti un fluido sottoposto ad una forza di compressione esercita, sulle pareti del recipiente e su qualsiasi oggetto immerso, forze che sono sempre perpendicolari alle superfici di contatto,

indipendentemente dalla loro orientazione.

Applicazioni del principio di Pascal In un sistema di recipienti comunicanti è possibile sfruttare il principio di Pascal per ottenere forze di intensità diversa per superfici diverse del liquido.

Applicando una forza F1 sulla superficie S1, la pressione è F1/S1 Tale pressione si trasmette dal basso verso l'alto sul pistone di destra di sezione S2 su cui agisce la forza normale F2. Poiché F1/S1 = F2/S2, si ottiene

F2 = F1 (S2 /S1)

Principio dei vasi comunicanti

Il principio dei vasi comunicanti è quel principio fisico secondo il quale un liquido contenuto in due o più

contenitori comunicanti tra loro, raggiunge lo stesso livello indipendentemente dalla forma dei recipienti.

Applicazioni

Pressa idraulica, freni idraulici, sterzo idraulico, ecc…

Pressione atmosferica: esperienza di Torricelli

p0 = 1 Atm = 1.013·105 Pa ~1kg/cm2 ρHg=13.6·103 Kg/m3

p0 = pHg p0 ΔS = mHg g p0 ΔS = ρHg ΔS Δh g p0=ρHg g Δh

Δh=p0/(ρHgg) = (1.013·105)/(13.6·103·9.81)=760mm Per bilanciare la pressione p0 occorre il peso di una colonna di mercurio di 760 mmHg = 760 torr.

Principio di Archimede La spinta di Archimede è la conseguenza della diversa

pressione idrostatica agente sulle superfici inferiore (verso l’alto) e superiore (verso il basso) del corpo di altezza Δh

immerso in un fluido di densità ρ.

FA = p2 S – p1 S = ρ g h2 S - ρ g h1 S = ρ g S (h2 –h1) = ρ g S Δh = ρ g V = mg Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del fluido spostato (infatti i

corpi immersi in un liquido sembrano essere più leggeri…)

Applicazione: equilibrio dei galleggianti Si consideri un corpo di densità ρc immerso in un fluido di densità ρf. La parte di volume immersa sia Vi e sia il corpo all’equilibrio. La risultante delle forze in gioco,

forza peso P e spinta di Archimede A è nulla: FP+FA=0.

P = ρc V g A = ρf Vi g

Dall’equazione P-A=0:

Vi/V = ρc/ρf

Si consideri un corpo di densità ρc immerso in un fluido di densità ρf. La parte di volume immersa sia Vi e sia il corpo all’equilibrio. La risultante delle forze in gioco,

forza peso P e spinta di Archimede A è nulla: FP+FA=0.

P = ρc V g A = ρf Vi g

Dall’equazione P-A=0:

Vi/V = ρc/ρf < 1  

Per poter galleggiare, un corpo deve avere densità minore di quella del fluido

in cui è immerso.

Applicazione: equilibrio dei galleggianti

Esempi

Iceberg: ρghiaccio = 0.920·103 kg/m3

ρacqua,mare = 1.025·103 kg/m3

Vi/V = ρghiaccio / ρacqua,mare = 0.920/1.025 ~ 0.90 Circa il 90% del volume di un iceberg è immerso.

Fluidodinamica: fluidi in movimento Consideriamo un fluido ideale: incomprimibile (ρ non dipende dalla pressione a cui è sottoposto), privo di

viscosità (non vi è dissipazione di energia per attrito) e in moto stazionario (con velocità v che, punto per punto, non varia nel tempo). Per descriverne il moto si applica il concetto di linea di flusso, definita come la

traiettoria seguita da ciascun elemento di fluido.

Elementi di fluido che giungono in un punto vi transitano sempre con la stessa velocità.

Fluidi in movimento

Per definizione, le linee di flusso non si intersecano. Il loro insieme costituisce una superficie tubolare detta tubo di flusso.

Fluidi in movimento

Si definisce portata il volume di fluido che attraversa la sezione di un condotto nell’unità di tempo:

Q = ΔV/Δt

Nel SI la portata si misura in m3/s, ma

frequentemente si riporta in l/min.

Si dimostra che la portata può essere espressa come il prodotto fra la sezione S e la velocità v del fluido.

Infatti, se l è lo spessore dell’elemento di fluido che attraversa la sezione S nel tempo Δt, la portata è

Q = ΔV/Δt = S l/Δt = S v

Portata volumetrica

Costanza della portata (legge di Leonardo)

Legge di conservazione della portata (massa): la portata è la stessa in tutte le sezioni di

un tubo di flusso.

Il tubo di flusso si comporta come un condotto rigido, all’interno del quale non si può accumulare materia: la

massa m1 che entra nel condotto in un certo tempo Δt deve essere uguale a quella m2 che esce nello

stesso intervallo di tempo.

m1 = m2 V1 = V2

S1 l1 = S2 l2 S1 v1 Δt = S2 v2 Δt

S1v1 = S2v2 = costante

Esercizio Si consideri un condotto di raggio R che si dirama in 3 condotti derivati di stesso raggio R. Se il liquido nel

condotto primario ha velocità v, quale sarà la velocità v’ nei condotti

derivati?

Esercizio Si consideri un condotto di raggio R che si dirama in 3 condotti derivati di stesso raggio R. Se il liquido nel

condotto primario ha velocità v, quale sarà la velocità v’ nei condotti

derivati?

Dalla legge di Leonardo si ottiene la portata volumetrica in ingresso: Q = S v = (π R2) v

che deve uguagliare quella in uscita: Q’ = 3 (π R2) v’ da cui (π R2) v = 3 (π R2) v’

v’=v/3

Se S è costante anche v è costante. Se il condotto presenta variazioni di sezione allora a S maggiore corrisponde v minore e viceversa:

v1/v2=S2/S1

Teorema di Bernoulli

Esprime il principio di conservazione dell’energia meccanica per un fluido

ideale che si muove sotto l’azione delle forze di

pressione e della forza peso.

•  p: pressione esercitata sulle pareti del condotto; •  ρgh: pressione di gravità esercitata da una colonna di fluido di altezza h; •  ½ ρ v2: pressione cinetica che il fluido in scorrimento esercita contro un ostacolo che si oppone al moto.

p + ρ g h+ ½ ρ v2 = costante

Chiamiamo p1 e p2 le pressioni esercitate

rispettivamente su S1 e S2 e l1 e l2 le distanze percorse

nell'intervallo Δt. La sezione S1 verrà “spinta” dal fluido esterno al volume ΔV1 e si avrà un lavoro fatto

sul fluido interno pari a

L1 = p1 S1 l1

In S2 è il fluido interno che “spinge” in avanti la superficie e il lavoro fatto dal fluido

sarà pari a

L2 = -p2 S2 l2

Le energie in gioco sono: •  il lavoro fatto dalla pressione

•  l’energia cinetica •  l’energia potenziale

p + ρ g h+ ½ ρ v2 = costante

Teorema di Bernoulli: dimostrazione

Teorema di Bernoulli: dimostrazione Il lavoro totale compiuto sul volume di fluido compreso fra S1 e S2

sarà dunque la somma dei lavori L1 e L2:

L = p1 S1 l1 - p2 S2 l2

Ma per il principio di conservazione dell’energia meccanica L=ΔE, dove E=K+U è l’energia meccanica. Dunque si ha:

L = E2 – E1 = (1/2 m v22 + m g h2) – (1/2 m v1

2 + m g h1)

Ed essendo m = ρ S1 l1 = m = ρ S2 l2 S1 l1 = S2 l2 Si ha:

p1 S1 l1-p2 S2 l2= =(1/2m v2

2+m g h2)–(1/2m v12 + m g h1)

p1 S1 l1+1/2m v12+m g h1=

=p2 S2 l2+1/2m v22 + m g h2

p1 S1 l1+1/2ρ S1 l1 v12+ρ S1 l1 g h1=

p2 S2 l2+1/2ρ S2 l2 v22 +ρ S2 l2 g h2

p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv2

2+ρgh2=cost.

Casi particolari

p1+ρgh1+½ρv12=p2+ρgh2+½ρv2

2

•  Condotto orizzontale a S costante:

essendo h1=h2 e v1=v2 si ha p1=p2

•  Condotto obliquo a S costante: essendo h2-h1=h e v1=v2, p1=p2+ρgh

•  Condotto orizzontale a S variabile:

essendo h1=h2, si ha p1=p2+½ρ(v22-v1

2) Se S2<S1, v2>v1 e quindi p1>p2.

A sezione maggiore corrisponde pressione

maggiore e viceversa. Quando in un condotto c’è una strozzatura si ha una caduta di pressione e un aumento della

velocità (effetto Venturi).

Esempi

•  Soffiando tra due fogli di

carta questi si avvicinano.

•  Porta che sbatte con il

vento: come varia la velocità

angolare durante la chiusura?