Fisica x Inf 13-14 Lez.01 - x Inf_13... · Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli...

Lezione n. 1 (4 ore)

Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z)Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani

e-mail: [email protected] & [email protected]

Università degli Studi di MilanoCorso di Laurea in InformaticaAnno accademico 2013/14, Laurea Triennale

FISICA

Unità di misura e calcolo dimensionale

Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2013/14Flavia Groppi & Carlo Pagani 2

Schema del corso

Lezioni: 12 settimane, in ognuna delle quali si tengono due ore di lezione e due ore di esercizi (parte integrante delle lezioni, con la finalità non solo di preparare allo scritto d’esame ma di formare al “problem solving”).

Argomenti delle 12 unità (ogni settimana un argomento con esempi):Unità di misura e calcolo dimensionale. Sistemi di coordinate, vettori e calcolo vettoriale. Cinematica in una dimensione, 1D. Leggi di Newton - Piano inclinato - Attrito.Moti in due dimensioni, 2D - Quantità di moto e impulso. Lavoro ed energia (cinetica, potenziale gravitazionale ed elastica). Statica e dinamica dei fluidi. Termologia, calorimetria e 1° principio della termodinamica. Trasformazioni, legge dei gas perfetti e teoria cineticaForze elettriche, campi e potenziale elettrostatico. Capacità, resistenza, legge di Ohm e circuiti RC. Campo magnetico e forza di Lorentz - Induzione elettromagnetica.


Orario, testi di riferimento, esame

I due corsi diurni vanno, per quanto possibile, in parallelo. Lunedì 14.30-16.30 e mercoledì 8.30-10.30.Tutoraggio: supporto alla soluzione dei problemi con diretta partecipazione degli studenti: venerdì 8:30-10:30

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fondamenti di Fisica (Casa Editrice Ambrosiana).Jewett & Serway. Fondamenti di Fisica. Vol. I (EdiSES).Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione(EdiSES).

Modalità di esame: Prova scritta + breve orale di verifica (facoltativa)Prova scritta: 4 esercizi in 2 ore. Le due prove in itinere durante il corso sono sostitutive della prova scritta

Sito web: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/teaching


Che cos’è la Fisica ?

È il tentativo dell’essere umano di descrivere in maniera quantitativa i fenomeni che osserviamo

– L’osservazione inizia attraverso i sensi e da essi è limitata.– La fisica ci ha dato strumenti per estendere le osservazioni al di là

dei nostri sensi, dal quark (10-19 m), all’universo (1026 m).

La Fisica non può affrontare il problema ontologico– Significato della fisica quantistica: “zitto e calcola”

(Richard Feynman / D. Mermin).


Metodo Scientifico e sue Basi

Metodo scientifico:– Acquisire i dati necessari a descrivere un sistema oggetto di studio.– Costruire un modello matematico del sistema in esame.– Utilizzare il modello per predire il comportamento del sistema.– Verificare la correttezza delle previsioni (nuovo esperimento).

Conoscenze necessarie– Capacità di utilizzare strumentazione complessa per l’acquisizione

dei dati.– Conoscere gli strumenti matematici necessari per la costruzione del

modello e per la predizione di nuovi comportamenti.– Conoscenze tecnologiche per progettare e costruire l’esperimento.– Conoscere la fisica ...


La fisica NON coincide con la matematica

La fisica parte da osservabili alle quali associa grandezze reali (massa, lunghezza, velocità, temperatura, ecc.) che è possibile misurare. Il procedimento operativo per la misura è parte della definizione della grandezza !

La matematica è il linguaggio attraverso il quale la fisica può esprimere le sue leggi e calcolare altre grandezze collegate a quelle definite.

Nota: La forza esercitata da una molla è direttamente proporzionale al suo allungamento. Il coefficiente di proporzionalità, k, si dice costante elastica

F = - k x

x ⇒ allungamento della mollak ⇒ costante elastica della molla F ⇒ forza esercitata dalla molla

FisicaF = - k x

x ⇒ variabile indipendente ∊ ℛ

k ⇒ costante ∊ ℛ

F ⇒ variabile dipendente ∊ ℛ

Matematica

F

x < 0 x > 0


Definizione di una Grandezza Fisica

È necessario che ciò che osserviamo possa venire rappresentato in modo quantitativo

La definizione di una grandezza fisica deve essere operativa, essa deve cioè descrivere le operazioni da compiere per misurare la grandezza in esame.Queste operazioni devono consentire di associare alla grandezza un numero [oppure un vettore: modulo(=numero) + direzione + verso], secondo operazioni fissate da regole ben precise.Il numero esprime il rapporto tra la grandezza ed un’altra grandezza omogenea usata come unità di misura.

10 chilometri 27 mele 100 watt 50 barili 75 chilogrammi

Osservazione Grandezza Fisica


Relazioni tra grandezze fisiche

Le grandezze fisiche e le loro relazioni comunicano un’informazione.

– L’informazione deve essere “strutturata”.• Unità di Misura: fondamentali e derivate. • Sistemi di unità di misura: es. Sistema Internazionale (S.I.).

– Si deve fornire esattamente l’attendibilità di questa informazione.• Cifre significative !

– L’informazione deve essere coerente.• Calcolo dimensionale.

– L’informazione deve essere completa.

massa = 57.3 kg = 573 hg = 57.3 ·103 g ……

velocità = 72 km/ora = 20 m/s = ……v


Unità di Misura: Sistema Internazionale (SI)

Il SI è un insieme minimo di grandezze di riferimento (7) dalle quali tutte le altre possono essere derivate attraverso relazioni coerenti.

Granzezza Unità di riferimento Simbolo SI– lunghezza metro m– massa (∝ al peso se c’è gravità) chilogrammo kg– tempo secondo s– intensità di corrente elettrica ampere A– temperatura kelvin K– quantità di sostanza mole mol – intensità luminosa candela cd

Tutte le altre grandezze fisiche possono essere espresse attraverso le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale.Se si usa un altro sistema di grandezze di riferimento congruente le formule possono essere diverse.Se si mischiano i sistemi di riferimento il risultato che si ottiene èsemplicemente sbagliato !http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html


Grandezze fisiche derivate

Le grandezze fisiche sono molte e la loro unità di misura (SI) ha, in molti casi, associato un nome specifico: watt, joule, volt, newton, ecc.Poiché il sistema SI è coerente, tutte possono comunque essere espresse attraverso le grandezze di riferimento: m, kg, s, A, K, mol, cd.Attenzione: in tutte le relazioni tra grandezze fisiche (equazioni):

– Si possono sommare o sottrarre solo grandezze omogenee.– In un’esponenziale, l’esponente deve sempre essere adimensionale, così

come gli argomenti dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche*.– Moltiplicando e dividendo tra loro grandezze fisiche differenti si ottengono

altre grandezze fisiche, derivate da quelle che le hanno originate.Esempi di grandezze fisiche derivate:

Nota: l’angolo è sempre espresso in radianti: rad [m/m] = adimensionale.

Velocità m/s = m s-1

Accelerazione m/s2 = m s-2

Volume m3

Forza N (newton) kg m s-2

Energia J (joule) kg m2 s-2

Potenza W (watt) kg m2 s-3

Tensione V (volt) kg m2 s-3 A-1


Il Radiante

Si rammenta la definizione: data una circonferenza di raggio r, l’angolo che sottende un arco lungo l misura l/r radianti (vedi figura).

Conversione:αrad : αdeg = 2π : 360º

αrad = (αdeg / 180º) π

Un angolo di 90º, 180º e 360ºcorrisponde rispettivamente aπ/2, π e 2π radianti.

1 radiante = 57,29578º = 57º 17´ 44,8''


Prefissi SI ed esempi di lunghezze

Prefissi delle unità SIFattore Prefisso Simbolo Esempio

1018 exa- E1015 peta- P petawatt = 1015 W1012 tera- T terawatt = 1012 W109 giga- G gigawatt = 109 W106 mega- M megajoule = 106 J103 kilo- k kilometro = 103 m102 etto- h ettolitro = 102 litri101 deca- D decametro = 101 m10-1 deci- d decimetro = 10-1 m10-2 centi- c centimetro = 10-2 m10-3 milli- m millimetro = 10-3 m10-6 micro- micrometro = 10-6 m10-9 nano- n nanosecondo = 10-9 s10-12 pico- p picosecondo = 10-12 s10-15 femto- f femtosecondo = 10-15 s10-18 atto- a attosecondo = 10-15 s

Lunghezze, ordini di grandezza

Quark 10-19 m

Elettrone 10-18 m

Protone/Neutrone 10-15 m = 1 fmAtomo 10-10 m = 1 Å

Cellula 10-8 - 10-3 m

Essere umano 100 m

Terra 107 m

Sole 109 m = 1 Gm

Sistema solare 1013 m = 10 Tm

Via lattea 1021 m

Universo 1026 m


Unità di misura del tempo, s

Per misurare un tempo è necessario un orologio, cioè un oggetto che conta qualcosa (es.: le oscillazioni di un fenomeno periodico)

Strumento Errore di misura– Pendolo (un secondo per anno)– Rotazione della terra (1 ms ogni giorno)– Oscillatore a quarzo (1 s ogni 10 anni)

Orologio atomico Cs (1 s ogni 300̇000 anni)– 1 secondo ≡ 9192631770 vibrazioni della radiazione emessa dal cesio

Limiti sperimentali:– Direttamente è possibile misurare intervalli di tempo fino a qualche ps (10-13 e 10-14 s

raggiunti recentemente)– In fisica entrano in gioco circa 40 ordini di grandezza

Fenomeni nucleari 10-22 s

Vibrazioni dei solidi 10-13 s

Un anno 3 107 s

Vita dell’Universo 5 1017 s = 15 miliardi di anni (Big bang)


Unità di misura della lunghezza, m

Per misurare una lunghezza è necessario un metro campione Esempi storici:

– Il metro è la 1/40̇000̇000 parte della circonferenza della terra all’Equatore– Il metro è la lunghezza di una barra di Platino-Iridio conservata a Parigi

• La barra di Parigi non è un campione sufficientemente preciso (~10-7)• Le copie hanno un errore maggiore (~10-6)

Definizione attuale: 1 m ≡ Lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo

pari a 1/299792458 di secondo (c ≡ 299792458 m s-1 → valore esatto)

Limiti sperimentali:– Direttamente è possibile misurare lunghezze fino a qualche nm– In fisica entrano in gioco più di 40 ordini di grandezza

10-19 m Dimensione di un quark10-15 m Dimensione di un nucleone (protone). 1 fm10-10 m Dimensione atomica. 10 nm, 1 Angstrom6.4 106 m Raggio medio della terra. 6.4 Mm9.5 1015 m Un anno luce2 1026 m Distanza tra la Terra e la Quasar più lontana


Unità di misura della massa, kg

Per misurare una massa è necessaria una massa campioneEsempi storici:

– 1 kg = la massa di un dm3 di acqua– 1 kg ≡ la massa del cilindro di Platino-Iridio conservato a Parigi

• Il cilindro di Parigi è un campione unico • Le copie hanno un errore che porta ad una precisione insufficiente (~10-8)

Una definizione sostitutiva e soddisfacente non c’è ancoraIn fisica nucleare/particelle si usa l’unità di massa atomica “u”u ≡ 1/12 della massa di un atomo di 12C

– La definizione di kg come un certo numero di “u” sarebbe ottima (vedi “s “e “m”)Il problema è che “u” è noto con solo 4 cifre significative: u = 1.661‧10-27 kg

Nota: in Fisica le masse sono 2: inerziale e gravitazionale– La massa inerziale ha una definizione dinamica– La massa gravitazionale ha una definizione gravitazionale

– La teoria della relatività generale ha come ipotesi di partenza che la massa inerziale “min” e quella gravitazionale “mgr” siano esattamente la stessa cosa

2,2,1

rmm

GF grgr

amF in


Precisione e Cifre significative - 1

In fisica è sempre necessario fornire l’ ‘errore’, cioè una stima ragionata dell’incertezza della misura che è stata effettuata (spesso èlegata alla sensibilità dello strumento (righello, cronometro, termometro, ecc.)Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili)Esprimere il risultato con più cifre di quelle che conosciamo con certezza non ne migliora la qualità. E’ solo sbagliato !Le cifre che utilizziamo per esprimere un risultato devono essere limitate a quelle di cui abbiamo certezza: cifre significative

Esempi: Misura di una massa con una bilancia con precisione di 1 gMassa = 874 ± 1 [g] = 8.74 ± 0.01 [hg] = 0.874 ± 0.001 [kg]Misura di un tavolo con un metro a nastro (precisione del millimetro)Lunghezza = 181 ± 0.1 [cm] = 1810 ± 1 [mm] = 1.81 ± 0.001 [m]



Il numero (dimensionale) associato a una misura è una informazioneE’ necessario conoscere la precisione e l’accuratezza dell’informazione.La precisione di una misura è contenuta nel numero di cifre significativefornite o, se presente, nell’errore di misura.Il numero di cifre significative, o l’errore, forniscono le potenzialità ed i limiti dell’informazione a disposizione. Non deve dipendere dalle unità di misura scelte, o dalla notazione scelta (ad esempio, esponenziale).Una manipolazione numerica non può né aumentare né diminuire la precisione di una informazione: è una grave scorrettezza

• Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla, da sinistra verso destra.

Esempi 187.3=1.873 102 4 cifre significative10.0000 6 cifre significative10.0101 6 cifre significative1 1 cifra significativa1234.584 7 cifre significative 0.00001 1 cifra significativa



Un semplice esempio per capire

Problema: Faccio una torta con questi ingredienti

310 g di farina 310 ± 1 g5 uova (1 uovo pesa 75 ± 5 g) 375 ± 25 g150 g di zucchero 150 ± 1 g15 grammi di lievito 15 ± 1 g

TOTALE 850 ± 28 gLa divido in 6 fette: quanto pesa una fetta ?

– La torta non perde peso in cottura, è un cilindro perfetto e io la taglio con una macchina perfetta

• (850 ± 28) [g] / 6 = 141.66666 ± 4.66666 [g] = 142 ± 5 g– In un caso più realistico, tagliando la torta con cura

• (850 ± 28) / 6 ± 5÷10 % = 140 ± 10 g già la 2° cifra è poco significaiva– Nel caso più realistico avremo che la fetta peserà 130÷150 g

In tutti i casi definire il peso con la precisione del grammo è sbagliato


Coerenza dimensionale

Ogni Equazione DEVE essere dimensionalmente coerente– I metri si possono sommare solo ai metri – Non posso sommare due grandezze dimensionalmente incoerenti– Gli argomenti delle funzioni trascendenti* devono essere adimensionali

(numeri puri)* funzione esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche

Esempio: Legge di Newton ( Lunghezza [m] Massa [kg] Tempo [s] )

Forza (F ) = massa (m) x accelerazione (a)

F [N] , m [kg] , a [ms-2] , [N] = [kg ms-2 ] F [N] = m [kg] a [ms-2]

posso sommare e uguagliare soltanto grandezze dimensinalmente coerenti prima di fare i conti devo convertire le grandezze che non lo sono:

– 1 litro = 1 dm3 = 10-3 [m3 ]– 1 ora = 60 minuti = 3.6 103 [s]– 1 pollice ≡ 25.4 mm = 2.54 10-2 [m]– 100 km/ora = 105 [m] / 3.6 103 [s] = 27.8 [m/s] = 27.8 [m s-1]– 50 °C = 50 + 273.15 [K] = 323.15 [K]

F = ma


Equazioni dimensionaliSupponiamo che io non conosca una legge fisica, ma che immagini per semplicità che una quantità ignota sia esprimibile come un monomio formato con quantità note (elevate ad opportuna potenza).

Esempio: il pendoloLe uniche quantità che possono intervenire sono: m, l, g m [kg] , l [m] , g [ms-2]La formula monomia è:

g x l y m z = periodo del pendolo = T [s]Nota: Le dimensioni a destra e sinistra devono essere coerenti !

Quindi, per la coerenza dimensionale:

(ms-2) x m y kg z = s = m 0 s 1 kg 0

m x+y s -2x kg z = m 0 s 1 kg 0

Soluzione: x+y=0, -2x=1, z=0

x = -1/2, y =1/2, z =0 T = (l/g)1/2

Nota: quella ottenuta è una relazione di proporzionalità, l’analisi dimensionale non può determinare le eventuali costanti, e vedremo che T = 2π (l/g)1/2.

La costante adimensionale si può determinare sperimentalmente

mg

m

l


Obiettivi esercizi Lezione 1

– Capire come in fisica spesso si possa costruire un modello relativamente semplice, schematizzando in modo opportuno la realtà.

– Capire con quante cifre significative rappresentare una misura fisica, e con quante cifre rappresentare il risultato di un’operazione tra grandezze fisiche.

– Saper gestire cambiamenti di unità di misura (per esempio da m a cm, da kg a g, ecc.).

– Saper utilizzare elementi di calcolo dimensionale (per esempio: ricavare le dimensioni di una costante o verificare la correttezza dimensionale di una relazione tra grandezze fisiche.


Esescizi Lezione 11. Un cubo molto preciso ha il lato pari ha 5.35 cm e la massa m = 856 g. Determinare la

densità del cubo in unità SI. [5.59·103 kg/m3]Nota: la densità è la massa per unità di volume. Nel sistema SI [kg/m3]

2. Determinare quanti secondi ci sono in un giorno, in un anno normale e in un anno bisestile. [86400 s, 31536000 s, 31622400 s]

3. Un'unità astronomica (UA) vale 150 milioni di Km, un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. Quanti anni luce vale 1 UA ? Cifre significative e stime. [1.59·10-5]

4. Determinare la massa della terra sapendo che il suo diametro e la sua densità sono rispettivamente: D = 12.75·103 km, = 5.515 kg/dm3. [5.99·1024 kg]

5. Determinare nelle unità di misura del sistema SI le seguenti velocità:130 km/ora [36.1 m/s o anche 36 m/s]20 miglia/minuto (1 ml = 1.609 km = 1609 m) [536 m/s non 536.33 m/s]1.5 105 pollici/ora (1 in ≡ 2.54 cm = 2.54·10-2 m) [1.1 m/s non 1.058 m/s]

6. Determinare nell’unità di misura [miglia/ora] le seguenti velocità:130 km/ora (1 m = 1/1609 ml = 6.214·10-4 ml) [80.8 ml/h o anche 81 ml/h]20 miglia/minuto [1.2·103 ml/h]1.5 105 pollici/ora (1 m = 1/0.0254 in = 39.37 in) [2.37 ml/h o meglio 2.4 ml/h]

7. Determinare nell’unità di misura [iarde/s] le seguenti velocità:Nota: 1 miglio ≡ 1760 iarde, 1 iarda ≡ 3 piedi, 1 piede ≡ 12 pollici, 1 pollice ≡ 25.4 mm

130 km/ora (1 ya = 0.9144 m) [39.5 ya/s o anche 40 ya/s o anche 39 ya/s]20 miglia/minuto (1 ml = 1760 ya) [587 ya/s o meglio 590 ya/s1.5 105 pollici/ora (1 in = 1/36 ya = 0.0278 ya) [1.16 ya/s o meglio 1.2 ya/s]


Esescizi Lezione 1 - continua

8. Sapendo che F [N] = m [kg] ·a [m/s2], cioè che la forza è uguale alla massa moltiplicata per l’accelerazione, si determini quale forza si deve applicare ad un corpo di massa pari a 10kg perché subisca un’accelerazione pari a 5g. [490 N = 490 kg m s-2]Nota: g è l’accelerazione di gravità sulla superficie della terra e vale: g = 9.83 m/s2

9. Sapendo che la legge di gravitazione universale è la seguente:

determinare le unità di misura della costante G [G] = [N m2 kg-2][G] = [m3 kg-1 s-2]

Nota: F è la forza gravitazionale con cui le due masse m1 e m2 si attraggono, r è la loro distanza

10. Utilizzando il risultato dell’esercizio 4. e la legge di gravitazione, in cui G = 6.67·10-11 [Nm2 kg-2], determinare il valore della forza e dell’accelerazione a cui è sottoposto un corpo di massa m = 103 kg che si trovi a 104 km dal centro della terra. [F=4.00·103 N ; a= 4.00 m/s2]

11. Discutere brevemente i risultati degli esercizi precedenti sulla base delle cifre significative dei dati. Nota: di ogni dato si suppone che tutte le cifre indicate siano significative. In generale, se non è indicato esplicitamente l’errore, si suppone che l’ultima cifra sia stata approssimata alla cifra più vicina al vero, per eccesso o per difetto (1.3454 1.345, 372.8 373)

12. Ripetere l’esercizio 4. usando come dati del diametro della terra e della sua densità i valori: D = 13·103 km, = 5.5 kg/dm3. Confrontare i risultati e discutere il significato delle cifre significative [6.327·1024 kg 6.3·1024 kg o anche 6·1024 kg]

221

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