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Meccanica

Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardini

La Meccanica è quella branca della Fisica che si occupa della descrizione dei moti dei corpi e delle forze che sono responsabili dei moti stessi. !

La Meccanica si divide in:!•  Cinematica !•  Dinamica!•  Statica!

Cinematica: moto dei corpi indipendentemente dalle cause.!

Dinamica: relazione fra forze applicate e moto dei corpi.!

Statica: condizioni di equilibrio dei corpi.!

1

Punto materiale


La Cinematica di questo capitolo si riferisce al moto del così detto punto materiale.!

Il punto materiale è una approssimazione del corpo stesso in cui si immagina che tutta la massa del corpo sia concentrata nel suo centro (centro di massa per lʼesattezza).!

Questa approssimazione funziona se il corpo non si deforma (corpo rigido) e non ruota intorno a se stesso in modo significativo (momento angolare trascurabile).!Lʼapprossimazione è valida soprattutto se le dimensioni del corpo che si muove sono piccole rispetto agli spazi percorsi. !

2

Cinematica


Le grandezze trattate nella cinematica sono: la posizione, la velocità e lʼaccelerazione del punto materiale. !

3

Per potere descrivere la posizione di un corpo è necessario definire un sistema di tre assi cartesiani di riferimento che consideriamo fisso. !

Traiettoria e legge oraria


Chiamiamo traiettoria la linea percorsa dal punto durante il suo moto. !

4

Si chiama legge oraria lo spazio percorso dal punto in funzione del tempo. Bisogna naturalmente definire un punto di partenza che normalmente è la posizione del punto allʼistante t=0. !

Posizione


La posizione di un punto durante il suo moto sarà descritta interamente dalle tre componenti cartesiane del vettore che parte dallʼorigine del riferimento cartesiano e finisce sul punto materiale. !

5

Le componenti cartesiane saranno funzioni del tempo: !

Velocità media


La velocità media di un punto è semplicemente il rapporto fra lo spostamento e lʼintervallo di tempo impiegato per lo spostamento del punto. !

6

La velocità ha tre componenti come la posizione. Dato un intervallo di tempo da t1 a t2 la velocità media sarà un vettore con componenti cartesiane date dalla relazione: !

€

vx =x(t2) − x(t1)t2 − t1

vy =y(t2) − y(t1)t2 − t1

vz =z(t2) − z(t1)t2 − t1

Se chiamiamo r il vettore posizione, la tabella a fianco può essere riscritta come: !

€

r(t) = (x(t),y(t),z(t))v(t) = (vx (t),vy (t),vz (t))

v =r(t2) − r(t1)t2 − t1

Velocità istantanea


La velocità media ha il difetto di dipendere sia dallʼistante iniziale che dallʼistante finale dellʼintervallo.!

7

Nella Meccanica si preferisce il concetto di velocità istantanea. La velocità istantanea non è altro che un caso particolare della velocità media in cui lʼintervallo di tempo Δt = t1 - t2 è così piccolo (infinitamente piccolo) che la velocità dipende di fatto solo dal tempo iniziale t1. !

Il vantaggio di avere una velocità che dipende solo dal tempo iniziale t1 è che possiamo associare la velocità non solo al tempo t1 ma anche alla posizione r(t1) occupata dal punto allʼistante t1. Naturalmente questo richiede che la traiettoria sia percorsa una volta sola. !

€

r(t1) = (x1,y1,z1)v(t) = (vx (t),vy (t),vz (t))v(x1,y1,z1) = v(t1)

Velocità istantanea


La velocità istantanea v(t1) ha la caratteristica di avere una direzione tangente alla traiettoria nel punto r(t1) occupato dal nostro punto materiale nellʼistante t1. !

8

Essendo il quoziente fra una lunghezza ed un tempo la velocità si misura in metri/secondo (m/s). !

Accelerazione media


Utilizzando lo stesso approccio impiegato per definire la velocità media di un punto si può definire lʼaccelerazione media come un vettore a tre componenti dato da:!

9

€

ax =vx (t2) − vx (t1)

t2 − t1

ay =vy (t2) − vy (t1)

t2 − t1

az =vz(t2) − vz(t1)

t2 − t1

Se chiamiamo v il vettore velocità, la tabella a fianco può essere riscritta come: !

€

v(t) = (vx (t),vy (t),vz (t))a(t) = (ax (t),ay (t),az (t))

a =v(t2) − v(t1)t2 − t1

Accelerazione istantanea


Se lʼintervallo di tempo Δt = t2 – t1 diviene infinitamente piccolo possiamo definire lʼaccelerazione istantanea a(t1) ed associare questa grandezza alla posizione r(t1) occupato dal nostro punto materiale nellʼistante t1. Naturalmente lʼassociazione fra accelerazione e posizione richiede che la traiettoria sia percorsa una sola volta.!

10

Essendo il quoziente fra una velocità ed un tempo lʼaccelerazione si misura in (metri/secondo)/secondo (m/s2).!Questo è un buon esercizio di equazione dimensionale: !

Lʼaccelerazione istantanea a(t1) a differenza della velocità istantanea v(t1) non è tangente alla traiettoria del punto materiale. !

€

[v] = [L][T −1]

[a] = [v]/[T] = [L][T −2]

Moto rettilineo uniforme


Il moto rettilineo uniforme è un moto con velocità costante in modulo, direzione e verso. Si intuisce facilmente che la traiettoria è una retta. !La posizione del punto sarà data nel caso più generale (moto tridimensionale) da:!

11

€

x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt

Nel caso in cui la direzione della velocità è parallela allʼasse delle x, la tabella si riduce al solo primo termine ed il moto è di fatto un moto unidimensionale. !

€

x(t) = x0 + vxt

Moto rettilineo uniformemente accelerato


Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto con una accelerazione costante in modulo, direzione e verso. Si intuisce facilmente che anche in questo caso la traiettoria è una retta.!La velocità è parallela allʼaccelarazione ed è data nel caso più generale da:!

12

€

vx (t) = vx0 + axtvy (t) = vy0 + ayt

vz(t) = vz0 + azt

Nel caso in cui la traiettoria è parallela allʼasse delle x, la tabella si riduce al solo primo termine ed il moto è di fatto un moto unidimensionale. !

€

vx (t) = vx0 + axt

Moto rettilineo uniformemente accelerato


La posizione del punto nel moto rettilineo uniformemente accelerato è data nel caso più generale da:!

13

€

x(t) = x0 + vx0t +12axt

2

y(t) = y0 + vy0t +12ayt

2

z(t) = z0 + vz0t +12azt

2

Nel caso unidimensionale abbiamo: !

€

x(t) = x0 + vx0t +12axt

2

Questa tabella può essere scritta in maniera compatta anche come: !

€

r(t) = r0 + v0t +12at 2

Moto parabolico uniformemente accelerato


Il moto parabolico uniformemente accelerato si ha quando la velocità iniziale del punto e diversa da zero ed ha una direzione diversa (non parallela) a quella dallʼaccelarazione che è costante. !Nel caso semplice in cui la velocità iniziale è parallela allʼasse delle x e lʼaccelerazione costante e parallela allʼasse delle y la posizione del punto è data da:!

14

€

x(t) = x0 + vx0t

y(t) = y0 + vy0t +12ayt

2

Notiamo che questo moto è la combinazione di un moto rettilineo uniforme lungo la x e di un moto uniformemente accelerato lungo la y. !

Moto parabolico uniformemente accelerato


Nel caso del moto parabolico uniformemente accelerato è facile ricavare la traeittoria. Si esprime innanzitutto il tempo in funzione di x e poi lo si sostituice nella definizione di y. !Per semplicità abbiamo posto x e y iniziali uguali a zero.!

15

€

x = vx0txvx0

= t

y = vy0t +12ayt

2 = vy0xvx0

+12ay

xvx0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

=vy0vx0

x +ay2vx

20

x 2

Moto circolare uniforme


Nel moto circolare uniforme il punto percorre una circonferenza con velocità costante in modulo. In questo moto la direzione della velocità non è costante.!Il modulo della velocità è detto velocità lineare o periferica. !

16

Il punto percorrerà in un intervallo di tempo Δt = t1 - t2 una distanza Δs. Lʼangolo Δθ varierà di una quantità: !

€

Δs = vΔt

Δθ =ΔsR

=vRΔt

È molto utile definire la velocità angolare come rapporto fra variazione dellʼangolo Δθ ed intervallo di tempo Δt. Lʼunità di misura della velocità angolare è il s-1. !

€

ω =vR

=ΔθΔt

v =ωR



Notiamo che nel moto circolare uniforme la velocità è sempre perpendicolare al vettore posizione. Questa condizione può essere scritta tramite una semplice tabella:!

17

€

vx (t) = −ωy(t)vy (t) = +ωx(t)

Per verificare la perpendicolarità basta fare il prodotto dei due vettori: !

€

r⋅ v = xvx + yvy = −x(ωy) + y(ωx) = 0

Moto circolare uniforme: accelerazione


Mentre in un caso generale lʼaccelerazione ha una direzione qualunque nel moto circolare uniforme lʼaccelerazione è diretta parallelamente al raggio della circonferenza. !

18

La figura mostra come la velocità debba essere parallela a Δs e lʼaccelarazione sia parallela a Δv. Ma Δv è parallelo a R quindi lʼaccelarazione è diretta lungo il raggio che congiunge il punto al centro del cerchio. !

€

a =v(t2) − v(t1)t2 − t1

=ΔvΔt

Moto circolare uniforme: accelerazione


La matematica ci aiuta a calcolare lʼaccelerazione nel moto circolare uniforme con pochi passaggi. !

19

Lʼaccelarazione è parallela al raggio, di verso opposto, con un modulo ω2 volte il raggio.!

€

a =ΔvΔt

€

ax =ΔvxΔt

ay =ΔvyΔt

€

vx (t) = −ωy(t)vy (t) = +ωx(t)

€

Δvx (t) = −ωΔy(t)Δvy (t) = +ωΔx(t)

€

Δvx (t)Δt

= −ωΔy(t)Δt

Δvy (t)Δt

= +ωΔx(t)Δt

€

ax (t) = −ωvy (t) = −ω 2x(t)

ay = +ωvx (t) = −ω 2y(t)

€

a(t) = −ω 2r(t)



Riassumendo possiamo dire che nel caso del moto circolare uniforme esistono delle relazioni molto semplici fra le tre grandezze cinematiche. !

20

Perpendicolarità!

€

a(t)⊥v(t)v(t)⊥r(t)

€

a(t) //r(t)

€

a(t) =ω v(t) =ω 2 r(t)v(t) =ω r(t)

a(t) =v(t) 2

r(t)=v 2

R

Parallelismo!

Moduli!

Moto curvilineo


È un moto in cui la velocità cambia sia in modulo che in direzione.!

21

€

aT (t) =d v(t)dt

aN (t) =v(t) 2

R

La velocità è sempre tangente alla traiettoria. Lʼaccelerazione avrà una direzione arbitraria. Si usa dividere lʼaccelerazione in due componenti, tangenziale e normale. !

Lʼaccelerazione tangenziale è la componente della accelerazione parallela alla velocità.!Lʼaccelerazione normale è la componente dellʼaccelerazione perpendicolare alla velocità. Per le due componenti valgono le relazioni:!

Moto curvilineo: vettore velocità angolare


Dato un punto di osservazione esiste una maniera semplice dal punto di vista matematico per calcolare la velocità angolare di un punto. Basta applicare la seguente formula:!

22

€

ω(t) =r ∧ vr2

=rr2v⊥ =

v⊥r

=sinθrv

Nellʼuso comune si ama definire un vettore tridimensionale detto vettore velocità angolare definito mediante la seguente relazione:!

€

ω (t) =

r ∧ vr2

È un vettore che nel caso di un moto circolare è perpendicolare al piano contenente la circonferenza.!È orientato verso lʼalto se in moto è antiorario altrimenti è orientato verso il basso. !

Moto armonico


Il moto armonico è un moto oscillante con la seguente legge oraria di tipo sinusoidale:!

23

€

x(t) = Asin(ωt + φ)

Il moto armonico è molto importante poichè il moto circolare uniforme può essere immaginato come la combinazione di due moti armonici su due assi cartesiani differenti sfasati di 90 gradi (π/2 in radianti).!

€


y(t) = Asin(ωt + φ +π2)

€

x(t) = Asin(ωt + φ)y(t) = Acos(ωt + φ)

€

x 2(t) + y 2(t) = A2 sin(ωt + φ) + A2 cos2(ωt + φ) = A2

Moto armonico

Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardini 24

Questa animazione mostra visivamente perchè Il moto armonico è molto importante poichè il moto circolare uniforme può essere immaginato come la combinazione di due moti armonici su due assi cartesiani differenti sfasati di 90 gradi (π/2 in radianti).!

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_harmonic_motion_animation_2.gif

Moto armonico


Il il parametro A è lʼampiezza della oscillazione, equivalente al raggio del moto circolare. ω e la pulsazione, equivalente alla velocità angolare del moto circolare. ϕ si chiama fase iniziale.!

€


Il tempo impiegato per effettuare una oscillazione intera è detto periodo: T. La frequenza ν=1/T del moto è il numero di volte che il punto percorre un ciclo completo in un secondo. !

€

T =2πω

€

ν =1T

Moto armonico: posizione e velocità


Nel moto armonico anche la velocità oscilla in modo sinusoidale con una fase iniziale che differisce di 90° (π/2) da quella della posizione !

€


La velocità raggiunge il suo valore massimo quando x=0. !

€

v(t) =dx(t)dt

= Aω sin(ωt + φ +π2) = Aω cos(ωt + φ)

Moto armonico: posizione e accelerazione


Nel moto armonico anche lʼaccelerazione oscilla in modo sinusoidale con una fase iniziale che differisce di 90° (π/2) da quella della velocità e di 180° (π) da quella della posizione. !

Il risultato finale è che come nel caso del moto circolare anche nel moto armonico lʼaccelerazione è proporzionale a –ω2 volte la posizione!!!

€

a(t) =dv(t)dt

= Aω 2 sin(ωt + φ +π ) = −Aω 2 sin(ωt + φ)

a(t) = −ω 2x(t)

Dinamica: principi di Newton


I corpi interagiscono fra di loro tramite le forze che sono la causa del movimento dei corpi.!La meccanica classica che si occupa del movimento dei corpi la cui velocità è piccola rispetto alla velocità della luce (300 000 Km/s). La meccanica è basata sui tre principi enunciati da Newton nel 1687:!

•  Primo Principio detto Principio di Inerzia (Galileo)!

•  Secondo Principio detto Principio di Proporzionalità (Newton)!

•  Terzo Principio detto Principio di Azione e Reazione!

Principio di Inerzia


Il Principio di Inerzia stabilisce che: !“Un corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché una forza non agisce su di esso”!

In termini matematici possiamo dire che F=0 vuol dire v(t) costante cioè moto rettilineo uniforme. !

Questo principio appare un pò contro-intuitivo poichè siamo abituati a pensare che per mantenere (ad esempio) una automobile a velocità costante dobbiamo applicare una forza costate (motore acceso). In realtà questo è vero perchè esistono le forze di attrito. Se non ci fosse attrito basterebbe tenere prenuta la frizione per mantenere la velocità dellʼautomobile costante.!

Principio di Propozionalità


Il Principio di Proporzionalità stabilisce che: !“L'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale e nella stessa direzione della forza agente su di esso, mentre invece è inversamente proporzionale alla sua massa”.!

In termini matematici possiamo dire che F=ma!

Questo principio è una svolta epocale perchè gli antichi (Aristotele) credevano che le forze agissero sulla velocità. Invece le forze agiscono determinando lʼaccelerazione che poi a sua volta indirettamente modifica la velocità.!

Principio di Azione e Reazione


Il Principio di Azione e Reazione stabilisce che: !“Per ogni forza che un corpo A esercita su di un altro corpo B, ne esiste istantaneamente un'altra uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, causata dal corpo B che agisce sul corpo A.”!

In termini matematici possiamo dire che se abbiamo due corpi isolati allora FA=-FB!

È il principio che fà muovere gli aerei a reazione. Se io spingo un corpo (del gas) in una direzione ottengo una forza di reazione nella direzione opposta (aereo).!

Sistemi di riferimento inerziali


Il Principio di Inerzia è quello che non ci permette di conoscere la velocità di un corpo in maniera assoluta. Infatti non cʼè nulla che distingua due sistemi di riferimento che si muovono fra loro di moto rettilineo uniforme. Chi è quello che si muove e chi è quello fermo ? !

I principi della dinamica meritano qualche commento. !Affinchè le leggi appena viste siano valide dobbiamo utilizzare un sistema di riferimento di assi cartesiani che sia opportunamente scelto.!

È lʼesperienza che abbiamo tutte le volte che voliamo. Se lʼaereo vola dritto (velocità costante) non siamo in grado di dire a che velocità stia andando poichè nella cabina tutto si comporta come se lʼaereo fosse fermo.!

Possiamo invece accorgerci che un sistema sta girando. Per verificare basta usare il pendolo di Foucault.!

Pendolo di Foucault


Il Pendolo di Foucault è un semplice pendolo che serve per verificare se un certo ambiente stia ruotando su se stesso o no.!Il metodo è così sensibile che si può misurare la rotazione della Terra.!

Cosa importante il Pendolo di Foucault non è in grado di dire se la Terra si stia spostando. La Terra infatti viaggia rispetto al Sole ad una velocità di 106 mila km/h, e rispetto al centro della galassia ad una velocità di 792 mila km/h. Noi però non ci accorgiamo di questa velocità. Questo perchè la velocità è una grandezza relativa al sistema di riferimento utilizzato. !

Sistemi di riferimento inerziali


Un sistema di riferimento inerziale è un sistema i cui assi cartesiani non stanno girando.!Come si fà in pratica a scegliere un sistema di riferimento che sia inerziale ?!

Si usano le stelle. In particolare quelle lontane (dette stelle fisse). Se da un sistema di riferimento le stelle lontane appaiono ferme allora il sistema non sta ruotando quindi al massimo si sta muovendo di moto rettilineo rispetto alle stelle. !Tutti i sistemi di riferimento che non ruotano e non accelerano sono sistemi inerziali.!

Durante la notte possiamo osservare che le stelle si spostano nel cielo. Questa è unʼaltra prova che la Terra non è un sistema inerziale perchè ruota intorno al suo asse che passa per i poli facendo un giro ogni 24 ore.!Lʼeffetto della rotazione è cosi piccolo che gli antichi credevano che la Terra fosse ferma. !

Definizione di forza


Il Principio di Proporzionalità permette di mettere in relazione due grandezze molto diverse: la forza e la massa. !

La massa è una delle grandezze fondamentali del Sistema Internazionale di misura. Lʼunità di misura della massa è il kg. Lʼaccelerazione è misurata in m/s2. Siccome la forza è il prodotto di una massa per una accelerazione nel consegue che la forza si misura in una unità che è: kg m/s2. In onore del secondo principio della dinamica questa unità è detta Newton.!

Il Newton non è la forza peso di un corpo di massa un kg !!!!È invece la forza necessaria per ottenere una accelerazione costante di 1 m/s2 per una massa di 1 kg. !

Sistema isolato


Definiamo un sistema isolato un sistema tale che le uniche forze esistenti sono quelle fra i corpi che appartengono al sistema.!

Se i corpi sono due e chiaro che la somma delle forze che agiscono sui due corpi è nulla. !

La stessa cosa è valida quando abbiamo 3 o più corpi. !€

FA = −FBFtot = FA +FB = 0

€

FAB = −FBAFAC = −FCAFCB = −FBCFtot = FAB +FAC( ) + FBC +FBA( ) + FCB +FCA( ) = FAB +FAC( ) + FBC −FAB( ) + −FBC −FAC( ) = 0

Quantità di moto


Definiamo quantità di moto una grandezza vettoriale data da prodotto fra massa e velocità:!

Lʼunità di misura è il prodotto fra massa kg e velocità m/s, quindi: !kg m/s .!

Esiste una relazione che lega la variazione della quantità di moto alla forza:!

€

q = mv

€

Δq = FΔt

€

q = mvΔq = mΔvΔqΔt

= m ΔvΔt

= ma = F

Δq = FΔt

La quantità di moto varia se applico una forza. La variazione è proporzionale alla forza e alla durata della forza. !

Teorema dell’impulso


La relazione fra quantità di moto e forza è così importante che la si chiama teorema dellʼimpulso. Lʼimpulso è una grandezza vettoriale data dal prodotto fra forza e tempo: !

Lʼunità di misura dellʼimpulso è il prodotto fra forza kg m/s2 e tempo s, quindi: kg m/s . Notiamo che è la stessa unità di misura della quantità di moto. Questo è giusto poichè posso eguagliare fra loro solo quantità omogenee. !

Lʼimpulso è legato alla quantità di moto dalla relazione:!

€

I = FΔt

€

I = Δq

Lʼimpulso è legato alla La variazione della quantità di moto in un intevallo Δt è uguale allʼ impulso applicato per quellʼintervallo.!

Conservazione della quantità di moto


Una delle conseguenze del Principio di Azione e Reazione è che un sistema isolato conserva la sua quantità di moto totale. !

La quantità di moto è una grandezza addittiva. La quantità di moto di un sistema è semplicemente la somma delle singole quantità di moto dei corpi che la compongono.!

€

qtot = q1 +q2 +q3 +q4 + ... = m1v1 +m2v2 +m3v3 +m4v4 + ...

La dimostrazione è semplice:!

€

Δqtot = Δq1 + Δq2 + Δq3 + Δq4 + ... = m1Δv1 +m2Δv2 +m3Δv3 +m4Δv4 + ...

F = ma = m ΔvΔt

mΔv = FΔtΔqtot = F1Δt +F2Δt +F3Δt +F4Δt + ... = F1 +F2 +F3 +F4 + ...( )Δt = FtotΔt = 0

Campi di forze


Per descrivere le forze di interazione fra i corpi che appartengono ad un sistema è molto comodo usare il concetto di campo di forze. !Il campo di forze è una funzione che ad ogni punto associa una forza secondo una regola del tipo:!

In pratica il campo di forze è un sistema di 3 equazioni (nel caso generale) che al vettore tridimensionale posizione associa il vettore tridimensionale forza.!

€

F = f(r) = f(x,y,z)

€

Fx = fx (x,y,z)Fy = fy (x,y,z)Fz = fz (x,y,z)

Ogni corpo emette uno o più di un campo di forze (gravitazionale, elettrico, magnetico … !

Principio di sovrapposizione


Per i campi di forze (tranne casi particolari) vale il principio di sovrapposizione il quale stabilisce che il campo di forze generato da due o più corpi è la somma vettoriale dei singoli campi di forze. !

€

F1 = f1(x,y,z)F2 = f2(x,y,z)Ftot = f1(x,y,z) + f2(x,y,z)

Linee di forza


Per disegnare un campo di forze si usano delle linee dette linee di forza. Le linee di forza sono disegnate in modo tale da essere sempre tangenti al vettore forza del campo.!

Campo gravitazionale


Il campo di forze più famoso è il campo gravitazionale terrestre. !

Newton per spiegare il moto dei pianeti capì che ogni corpo attira gli altri corpi. Questa forza di attrazione è diretta lungo la congiungente i corpi. Il modulo della forza è:!•  proporzionale a prodotto delle masse!•  inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra i corpi !

Come si esprime questo concetto in matematica ?!

€

F =G m1m2

r2

€

r2 = x1 − x2( )2 + y1 − y2( )2 + z1 − z2( )2

Dalla formula si intuisce che la costante G è pari alla forza che agisce fra due masse di un kg ciascuna poste alla distanza di un metro. !G si chiama costante di gravitazione universale.!

Costante di gravitazione universale


La costante G è uguale per tutti i corpi indipendentemente dal loro contenuto. Per determinare lʼ unità di misura di G dobbiamo riscrivere la formula precedente in modo più utile ad un calcolo dimensionale: !

La costante G è una distanza al quadrato per una forza diviso una massa al quadrato: m2 kg m s-2 kg-2 = m3 s-2 kg-1 .!

Il valore di G è : 6.67 .10-11 m3 s-2 kg-1 !€

F =G m1m2

r2

G =r2

m1m2F

Accelerazione di gravità e peso


I peso di un corpo è dato quindi dalla forza gravitazionale della Terra: !

Se dividiamo il peso per la massa del corpo otteniamo lʼacceleazione del corpo durante la caduta:!

€

F =GMTmRT2

€

MT = 5.972 ⋅ 1024 kg

€

RT = 6371 km

€

a =Fm

=G MT

RT2 = g = 9.81 m/s2

Lʼaccelerazione con cui cade un corpo è chiamata accelerazione di gravità.!Notiamo che la forza peso che agisce su un Kg di massa non è un Newton ma è sulla Terra 9.81 N. Sulla Luna che ha un raggio diverso ed una massa diversa il peso sarà diverso. Per questo motivo il peso non è stato scelto come unità fondamentale dellʼ Sistema Internazionale.!

Linee di forza di gravità


Sulla superficie terrestre le linee di campo sono parallele ed il vettore è diretto lungo lʼasse perpendicolare alla superficie terrestre:!

Lontano dalla superficie terrestre si nota però che le linee divergono. La formula precedente va quindi sostituita con una formula più precisa:!

€

Fx = 0Fy = 0FZ = −mg

€

F = −GMTmr2

rr

Questa formula contiene un segno meno ad indicare che la forza è attrattiva. Contiene poi un termine r/|r| detto versore che indica la direzione della forza.!

Concetto di versore


Il versore è un concetto matematico semplice che serve per indicare una direzione. Si tratta di un vettore di lunghezza uno ottenuto prendendo un vettore e dividendolo per il suo modulo. Vediamo un esempio:!

€

r = (x,y,z)

ˆ r = rr

=xr

, yr

, zr

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

F = F FF

= F ˆ F

F = −G m1m2

r 3 r = −G m1m2

r 2rr

€

r = x 2 + y 2 + z2

Se ho un vettore posso sempre scriverlo come il prodotto del suo versore per il suo modulo:!

Lʼuso del versore evidenzia meglio il valore del modulo del vettore !

Dalle forze alla legge oraria


A questo punto utilizzando il Principio di Proporzionalità (F=ma) possiamo trovare le leggi del moto di un punto dotato di massa a partire dal campo di forze applicato.!Lʼequazione da risolvere è:!

Nel caso in cui la forza non varia nel tempo la soluzione è semplice: !

€

Fx = maxFy = mayFz = maz

€

F = ma

€

x(t) = x0 + vx0t +12Fxmt 2

y(t) = y0 + vy0t +12Fymt 2

z(t) = z0 + vz0t +12Fzmt 2

La posizione e la velocità iniziali non sono determinate dalle forze ma dalla storia precedente del moto del corpo. Queste si dicono condizioni iniziali. !

Forze centrali


Un caso particolare è rappresentato dai campi di forze centrali. Questi campi hanno la forza sempre diretta verso un punto centrale. Esempi di campo centrale sono il campo gravitazionale ed il campo elettrostatico. !

Nei campi centrali lʼaccelerazione è diretta sempre verso il centro del sistema. La soluzione generale del moto è data da un moto ellittico oppure iperbolico. Un caso particolare è dato dal moto circolare.!Questo è il caso di molti satelliti artificiali che viaggiano ad altezza costante dal terreno. !

€

F = ma

a =v 2

R

F(R) = m v 2

R

Essendo lʼaccelerazione diretta lungo il raggio della circonferenza la velocità periferica sarà costante e lʼaccelerazione sarà legata alla velocità e quindi alla forza da: !

Forze elastiche


Un materiale elastico (molla) esercita su un corpo una forza proporzionale alla sua deformazione (allungamento). Questa è detta legge di Hooke.!

Risolvendo lʼequazione F=ma si ottienene: !

€

Fx = −kxFy = −kyFz = −kz

K è la costante elastica del mezzo. Lʼunità di misura di k è una forza diviso una lunghezza: N/m = Kg/s2 !

€

x(t) = Ax sin(ωt + φx )y(t) = Ay sin(ωt + φy )z(t) = Az sin(ωt + φz)

ω =km

Lʼampiezza A e la fase iniziale non sono determinate dalle forze ma dalla storia precedente del moto del corpo. Il rapporto fra costante elastica e massa determina invece la pulsazione dellʼoscillazione. !

Lavoro, energia e potenza


Risolvere le equazioni del moto F=ma può essere molto difficile. Esistono dei metodi alternativi per la loro risoluzione che usano il concetto di energia. !

Il lavoro L è lʼenergia spesa per spostare un corpo. !Il lavoro è una grandezza scalare calcolabile tramite la seguente formula valida nel caso di una forza costante nel tempo: !

€

L = F⋅ s = F ⋅ s cos(α)

È interessante notare che il lavoro non dipende dal tempo impiegato a spostare il corpo !!!Lʼenergia impiegata per sollevare un ascensore di 4 piani è indipendente dalla velocità dellʼascensore. !

Lavoro


Il lavoro ha lʼunità di misura di una energia, ovvero una forza per uno spostamento: Nm = Kg m2/s2 . Questa unità di misura è così importante che ha un nome suo detto Joule. !

€

L = F⋅ s = F ⋅ s cos(α)

Il lavoro può avere segno positivo o negativo. Se forza e spostamento hanno un angolo acuto il lavoro è positivo se lʼangolo è ottuso il lavoro è negativo. Se forza e spostamento sono perpendicolari il lavoro è nullo.!

Energia cinetica


In meccanica un corpo possiede due tipi di energia: energia cinetica ed energia potenziale. !

€

EK =12mv 2

Il lavoro compiuto da una forza su un corpo modifica solo lʼenergia cinetica posseduta dal un corpo: !

Lʼenergia cinetica è determinata dalla massa e dalla velocità di un corpo e non dalla sua posizione o accelerazione. Lʼenergia cinetica è data da: !

Lʼenergia cinetica è una grandezza scalare ed ha le dimensioni di una massa per una velocità al quadrato: Kg m2/s2 = Joule. È quindi una energia come il lavoro.!

€

LAB = ΔEK =12m(vB

2 − vA2 )

Campi conservativi e dissipativi


Il lavoro compiuto per spostare un corpo da un punto A ad un punto B non dipende necessariamente dai dettagli della traiettoria. Esistono infatti in natura campi di forze detti campi conservativi per i quali il lavoro compiuto per spostare un corpo dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale della traiettoria.!

In particolare, se un campo è conservativo, il lavoro compiuto per percorrere una traiettoria chiusa (A=B) è sempre nullo.!

Se il lavoro compiuto per percorrere una traiettoria chiusa (A=B) è non nullo, il campo viene detto dissipativo.!

In un campo conservativo un corpo passa per lo stesso punto con la stessa energia cinetica. In un campo dissipativo lʼenergia cinetica viene persa effettuando traiettorie chiuse.!

Energia potenziale e meccanica


Nel caso in cui un corpo è soggetto ad un campo conservativo, si può definire per quel campo una funzione detta energia potenziale. !

Lʼenergia potenziale U è definita in modo tale che la differenza fra U(A) e U(B) è uguale al lavoro necessario per spostare il corpo da A a B.!

Utilizzando il teorema dellʼenergia cinetica ci accorgiamo che in un campo conservativo di forze la somma di energia potenziale ed energia cinetica è una quantità costante.!

La somma di energia cinetica ed energia potenziale è detta energia meccanica.!

€

LAB =U(xA ,yA ,zA ) −U(xB ,yB ,zB )LAB > 0 → U(xA ,yA ,zA ) <U(xB ,yB ,zB )

€

LAB = EKB − EKA =U(xA ,yA ,zA ) −U(xB ,yB ,zB )EKB +U(xB ,yB ,zB ) = EKA +U(xA ,yA ,zA )

Teorema di conservazione dell’energia meccanica


I campi di forze radiali, i campi uniformi, i campi elastici sono alcuni casi fra tanti di forze conservative. Tutti i corpi immersi in campi conservativi hanno un valore costante dellʼenergia meccanica. !

Avere lʼenergia meccanica costante vuol dire che ogni variazione dellʼenergia potenziale è compensata da una variazione opposta dellʼenergia cinetica.!

Operativamente si può scegliere un punto A nello spazio che potrebbe essere la posizione del corpo per t=0. Definire lʼenergia potenziale U in quel punto uguale a zero (UA=0). A questo punto UB diviene il lavoro necessario per andare da B ad A. !Lʼenergia cinetica in B sarà quella iniziale EKA –UB. !

Energia potenziale e meccanica


Notiamo che la definizione di energia potenziale definisce solo la differenza di U fra coppie di punti. Quindi se aggiungo ad U un termine costante ottengo una funzione potenziale ugualmente valida.!

Se definisco U in A come lʼopposto del valore dellʼenergia cinetica del mio corpo in A avrò che lʼenergia meccanica del corpo sarà nulla. !Siccome lʼenergia cinetica non può mai essere negativa, ne consegue che se lʼenergia meccanica di un corpo è nulla esso non potrà mai visitare zone dello spazio dove U > 0.!

Energia potenziale gravitazionale


Riprendendo il discorso sulla forza di gravità osserviamo che questo è il tipico caso di un campo conservativo. Il lavoro compiuto per spostare un punto sarà dato da una espressione semplice se il moto avviene in prossimità della superficie terrestre su distanze piccole rispetto al raggio della terra (RT = 6731 km):!

€

LAB = F • s = Fx • (xB − xA ) + Fy • (yB − yA ) + Fz • (zB − zA )LAB = Fz • (zB − zA ) = −mg(zB − zA )LAB = EKB − EKA =U(xA ,yA ,zA ) −U(xB ,yB ,zB )U(xB ,yB ,zB ) =U(xA ,yA ,zA ) − LABU(zB ) =U(zA ) − LAB = mgzB +U(zA )U(zA = 0) = 0U(zB ) = mgzB

€

Fx = 0Fy = 0Fz = −mg

€

U(h) = mgh

Questa formula è nota in tutti libri con la formula espressa rispetto allʼaltezza dal livello del mare h:!

Energia potenziale gravitazionale


Nel caso in cui la traiettoria sia grande rispetto al raggio terrestre bisogna rifare i calcoli con la forza data qui sotto. Ne viene una energia potenziale che dipende dallʼinverso della distanza da centro della terra. !

€

U(r = ∞) = 0

U(r) = −G MTmr

€

F = −GMTmr2

rr

Energia potenziale, cinetica e lavoro


La conservazione dellʼenergia meccanica permette di risolvere problemi altrimenti assai complessi.!

Supponiamo che io applichi una certa forza ad un corpo per spostarlo da un punto A ad un punto B e che il corpo sia anche soggetto ad un campo di forze conservativo. Esempio sposto un corpo soggetto alla gravità (peso). !In questo caso ho che il lavoro da me compiuto si aggiunge allʼenergia meccanica che il corpo aveva nel punto A. Quindi conoscendo lʼenergia potenziale in A ed in B posso determinare la velocità finale del corpi senza conoscere nulla sulla traiettoria. !

€

L + EA = EB

F⋅ sAB +12mvA

2 +UA =12mvB

2 +UB

vB2 = vA

2 +2mF⋅ sAB +UA −UB( )

La formula è così semplice solo se la forza è costante. Nel caso di una forza non costante la formula è più complicata ma il principio di base è lo stesso. !

Potenza


Istintivamente abbiamo lʼimpressione che sia più faticoso spostare un corpo rapidamente che spostarlo lentamente. !Abbiamo visto che il lavoro compiuto è indipendente dal tempo impiegato per spostare un corpo. !

Esiste però unʼaltra grandezza detta potenza che rappresenta il rapporto fra lavoro speso e lʼintervallo di tempo impiegato. !

€

W =LΔt

La potenza ha le dimensioni di una energia diviso un tempo: Joule/s = Kg m2/s3. Questa unità è così importante che ha il nome di Watt. !

€

W =LΔt

=F⋅ sΔt

= F⋅ v

La potenza può essere anche espressa comodamente come il prodotto scalare fra vettore forza e vettore velocità.!

Oscillatore armonico


Lʼ oscillatore armonico è un caso interessante di campo conservativo. !La forza sappiamo che è proporzionale allʼaccelerazione che è proporzionale a sua volta alla velocità:!

A questo punto è intuitivo capire chi sono i tre termini: energia cinetica, energia potenziale ed energia meccanica. Notare che lʼenergia meccanica è una costante e che per x=A la velocità si annulla. !

€


€

v(t) = Aω cos(ωt + φ)

€

12mv 2(t) =

12mA2ω 2 cos2(ωt + φ) =

12mA2ω 2 1− sin2(ωt + φ)[ ] =

12mω 2 A2 − A2 sin2(ωt + φ)[ ]

12mv 2(t) =

12mω 2 A2 − x 2(t)[ ]

12mv 2(t) +

12mω 2x 2(t) =

12mω 2A2

Punti di equilibrio


Un campo può avere punti in cui la forza si annulla. Questi punti sono detti punti di equilibrio. In questi punti in genere il potenziale ha un massimo o un minimo locale o un flesso.!

Il grafico unidimensionale accanto ci aiuta a capire che esistono tipi diversi di punti di equilibrio.!Punti di minimo (B e D) sono detti stabili.!Punti di massimo (C) sono detti instabili.!Punti di flesso (A) sono pure instabili.!Regioni piatte (E) sono punti di equilibrio indifferente. !

€

F(x,y,z) = 0

In generale un punto di equilibrio è stabile quando un piccolo spostamento dallʼequilibrio implica sempre un lavoro negativo. !

Equilibrio e piccole oscillazioni


In un punto di equilibrio stabile per piccoli spostamenti un corpo compie oscillazioni armoniche.!

Questo è vero perchè intorno ad un punto di minimo posso approssimare lʼenergia potenziale tramite una funzione parabolica.!La parabola ha il minimo in comune con quello del punto di equilibrio e ha come curvatura: !

Lʼultima equazione è quella della forza in un moto armonico!

€

k =U(x0 + Δx) − 2U(x0) +U(x0 − Δx)

Δx( )2

€

U(x0 + Δx) ≈U(x0) +12k Δx( )2

k = mω 2

F = −ΔUΔx

= −kΔx

a

h x

L

Il pendolo


Il pendolo è una utile applicazione delle piccole oscillazioni.!

€

x 2 + a2 = L2

h + a = LL2 = a2 + 2ah + h2 = a2 + 2(L − h)h + h2 = a2 + 2Lh − h2

Dimostriamo che lʼenergia potenziale del pendolo è approssimabile con una formula U(x)=½mω2x2.!

Se h << L (piccola oscillazione) h2 è trascurabile:!

€

L2 = a2 + 2Lh = x 2 + a2

2Lh = x 2

mgh =12m gLx 2 =

12mω 2x 2 =U(x)

ω =gL

a

h x

L

Isocronismo del pendolo


La formula appena ottenuta vuole significare che se lʼampiezza dellʼoscillazione è piccola, il moto del pendolo è analogo a quello dellʼoscillatore armonico. In particolare il periodo dellʼoscillazione T sarà indipendente dallʼampiezza. Questo fatto fu una delle scoperte di Galileo (isocronismo del pendolo). !

€

U(x) = mgh =12m gLx 2 =

12mω 2x 2 =

12kx 2

k =mgL

ω =gL

T =2πω

= 2π Lg

Campo gravitazionale


Il piano inclinato è un esempio in cui in principio di conservazione dellʼenergia è di facile utilizzo. Abbiamo un corpo che scivola su un piano senza attrito e senza rotolare. !Il campo gravitazionale è un campo conservativo. Il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalla variazione dellʼaltezza del corpo. !

Essendo il campo conservativo è facile calcolare la velocità a qualunque altezza. La velocità sarà parallela al piano inclinato.!

€

E =12mvA

2 +mghA =12mvC

2 +mghC

12m(vA

2 − vC2 ) = mg(hC − hA )

12mvC

2 = mg(hA − hC ) +12mvA

2

vC2 = 2g(hA − hC ) + vA

2

vC = 2g(hA − hC ) + vA2

Il proiettile


Il moto di un proiettile è il tipico esempio di moto nel campo gravitazionale. Se supponiamo per semplicità che il moto sia nel piano xy le equazioni del moto saranno:!

La componente orizzontale della velocità si conserva, quella verticale no.!Abbiamo un moto rettilineo uniforme orizzontale + un moto rettilineo uniformemente accelerato in verticale.!

€

Fx = max = 0Fy = may = −mg

€

ax = 0ay = −g

€

vx (t) = v0xvy (t) = v0y − gt

€

x(t) = x0 + v0xt

y(t) = y0 + v0yt −12gt 2

Il proiettile


Se conosciamo lʼangolo iniziale e la velocità possiamo calcolare le due componenti della velocità e la traiettoria in funzione del tempo:!

€

v0x = v0 cos(θ0)v0y = v0 sin(θ0)

vx = v0 cos(θ0)vy = v0 sin(θ0) − gt

x(t) = v0xt = v0t cos(θ0)

y(t) = v0yt −12gt 2 = v0t sin(θ0) −

12gt 2

Il proiettile


Con pochi passaggi otteniamo che la traiettoria di un proiettile è sempre una parabola:!

€

x = vxt = v0t cos(θ0)

t =x

v0 cos(θ0)

y = v0t sin(θ0) −12gt 2 =

v0x sin(θ0)v0 cos(θ0)

−12g x 2

v02 cos2(θ0)

= x tan(θ0) −g

2v02 cos2(θ0)

x 2

Il proiettile: gittata


Si chiama gittata la distanza fra il punto di sparo del proiettile e il punto di caduta. La gittata R può essere calcolata cercando la soluzione y=0 del moto parabolico. !

€

y = x tan(θ0) −g

2v02 cos2(θ0)

x 2 = 0

tan(θ0) −g

2v02 cos2(θ0)

x = 0

x =2v0

2 cos2(θ0)g

tan(θ0) = R

R =2v0

2 sin(θ0)cos(θ0)g

=v02

gsin(2θ0)

Si vede facilmente che per un angolo iniziale di 45° la gittata è massima . !

Il proiettile: quota massima


La quota massima si può ottenere osservando che in quel punto la velocità è data dalla sola componente orizzontale. Utilizzando la conservazione dellʼenergia meccanica posso scrivere:!

€

12mv0

2 =12mv0x

2 +mgh

12mv0

2 =12mv0

2 cos2(θ0) +mgh

12mv0

2 1− cos2(θ0)[ ] = mgh

mgh =12mv0

2 sin2(θ0)

h =v02

2gsin2(θ0)

La quota è massima per un angolo di 90°.!

Urti elastici fra corpi


Un urto è uno scambio di energia e di quantità di moto fra due corpi che avviene in un istante brevissimo. !

Gli urti possono essere elastici o anelastici. Negli urti elastici non cʼe dissipazione di energia per cui la quantità di moto e lʼenergia cinetica totali si conservano. Queste condizioni permettono di calcolare il risultato finale dellʼurto date le condizioni iniziali. Illustriamo il caso in una dimensione: !

€

m1v1i +m2v2i = m1v1 f +m2v2 f12m1v1i

2 +12m2v2i

2 =12m1v1 f

2 +12m2v2 f

2

€

m1 v1i2 − v1 f

2( ) = −m2 v2i2 − v2 f

2( )m1 v1i − v1 f( ) v1i + v1 f( ) = m2 v2i − v2 f( ) v2i + v2 f( )

Conservazione quantità di moto !

Conservazione energia cinetica !

Dalla conservazione dellʼ energia cinetica!

Urti elastici: inversione della velocità relativa


Con pochi passaggi si ottiene un risultato notevole: !

€

m1v1i +m2v2i = m1v1 f +m2v2 f

m1 v1i − v1 f( ) = −m2 v2i − v2 f( )

€

m1 v1i − v1 f( ) v1i + v1 f( ) = −m2 v2i − v2 f( ) v2i + v2 f( )m1 v1i − v1 f( ) v1i + v1 f( ) = m1 v1i − v1 f( ) v2i + v2 f( )v1i + v1 f( ) = v2i + v2 f( )v1i − v2i = − v1 f − v2 f( )

Dalla conservazione quantità di moto !

La velocità relativa (differenza fra le velocità) cambia di segno.!Dopo lʼurto i due corpi si allontanano con la stessa velocità con cui si stavano avvicinando prima dellʼurto: inversione della velocità relativa.!

Dalla conservazione energia cinetica !

Urti elastici fra corpi: soluzione generale


Dalla inversione della velocità relativa con pochi passaggi si ottiene: !

€

m1v1i +m2v2i = m1v1 f +m2v2 f = m1v1 f +m2 v1i − v2i + v1 f( )(m1 −m2)v1i + 2m2v2i = (m1 +m2)v1 f

v1 f =m1 −m2

m1 +m2v1i +

2m2

m1 +m2v2i

v2 f =m2 −m1m1 +m2

v2i +2m1

m1 +m2v1i

€

v1i − v2i = − v1 f − v2 f( )v1i − v2i + v1 f = v2 f

Nel caso degli urti elastici si può ottenere una semplice soluzione del problema. !

Conservazione quantità di moto !

Urti elastici fra corpi della stessa massa


È molto curioso osservare cosa succede se m1=m2. !

Semplicemente i due corpi si scambiano le velocità !!! !

Per rendrsi conto basta guardare questo spassoso video su Youtube https://www.youtube.com/watch?v=2T8qVOCBc-o!

€

v1 f =m1 −m2

m1 +m2v1i +

2m2

m1 +m2v2i = v2i

v2 f =m2 −m1m1 +m2

v2i +2m1

m1 +m2v1i = v1i

Statica e dinamica rotatoria


Finora ci siamo occupati di corpi considerandoli come se fossero dei punti materiali.!Esistono però dei casi particolari in cui questa approssimazione non è in grado di risolvere i problemi considerati.!Questi casi sono: le leve ed i corpi rigidi in rapida rotazione.!

Le leve sono studiate da quella branca della meccanica detta statica.!

I corpi rigidi fanno parte della dinamica rotatoria.!

In questi sistemi le forze non generano una traslazione dei corpi ma invece generano una rotazione.!

Momento di una forza


La grandezza più importante nello studio di leve e corpi rigidi è il momento di una forza rispetto ad un punto.!

Il momento è una grandezza vettoriale definita dal prodotto vettoriale di due vettori.!

Il il vettore OA è il vettore che parte dal punto O e finisce nel punto A dove viene applicata la forza F.!M è ortogonale sia ad OA che ad F.!Il modulo di M è dato da: !

A !O !

Momento di una forza


La grandezza b si chiama braccio della forza. Si ottiene proiettando OA su una retta perpendicolare alla forza F. !

Si intuisce che se un corpo può ruotare intorno ad O allora esso ruoterà se la somma dei momenti di tutte le forze che agiscono sul corpo è diversa da zero.!

Lʼunità di misura di M è il prodotto di una lunghezza per una forza: Newton • metro = Kg m2/s2. Notiamo che formalmente M ha le dimensioni di una energia anche se non è propriamente una energia. !

A !O !

Condizione di equilibrio: forze e momenti


Quando un corpo non è puntiforme le condizioni di equilibrio sono due:!•  Equilibrio traslazionale !•  Equilibrio rotazionale. !

Si ha equilibrio traslazionale quando la somma delle forze agenti su un corpo è nulla. Questo vuol dire che il corpo se inizialmente era fermo non si sposta. Il vettore R si chiama risultante delle forze. !

€

F1 +F2 +F3 + ... = Fi =R = 0i

∑

Si ha equilibrio rotazionale quando la somma dei momenti delle forze agenti su un corpo è nulla. Questo vuol dire che il corpo se inizialmente era fermo non si mette a ruotare. !

€

M1 +M2 +M3 + ... = M i =MT = 0i

∑

I vincoli


I vincoli sono limitazioni al moto di un corpo. !

Il caso più semplice di vincolo è il moto su un piano. !In questo caso la componente della forza perpendicolare al piano viene annullata da una forza uguale ed opposta detta forza di reazione del vincolo.!

Quello che rimane è una forza parallela al piano con un modulo: !

€

FT = F sinδ

Qui δ è lʼangolo fra la forza originale e la direzione ortogonale al piano. !

Il fulcro


Un tipo particolare di vincolo è il fulcro (o perno). Si tratta di un vincolo che permette ad un sistema di ruotare intorno ad un asse detto appunto fulcro. !

Siccome questo vincolo permette solo di ruotare se ne deduce che il fulcro genera una forza di reazione vincolare tale da annullare la risultante delle forze agenti sul corpo. A questo punto la condizione di equilibrio è solamente rotazionale.!

La leva


La leva è unʼasta rigida vincolata con un fulcro. !

Nella leva agiscono due forze: la forza motrice e quella resistente.!In condizioni di equilibrio, cioè con la leva ferma, il rapporto fra le due forze è dato da: !

€

FMbM = FRbR

Si chiama guadagno meccanico il rapporto fra le forze:!

€

G =FRFM

=bMbR

Leva del primo tipo


Le leve si possono classificare in tre tipi.!

Nella leva dei primo tipo il fulcro è in un punto fra M ed R. Il guadagno può essere sia minore che maggiore di uno.!Se G > 1 la leva e detta vantaggiosa se G < 1 è detta svantaggiosa.!

€

G =FRFM

=bMbR

Leva del secondo tipo


Nella leva del secondo tipo il punto R è fra il fulcro ed M. Il guadagno è sempre maggiore di uno.!La leva di secondo tipo e detta vantaggiosa perchè G > 1.!

€

G =FRFM

=bMbR

>1

Leva del terzo tipo


Nella leva del terzo tipo il punto M è fra il fulcro ed R. Il guadagno è sempre minore di uno.!La leva di terzo tipo e detta svantaggiosa perchè G < 1.!

€

G =FRFM

=bMbR

<1

Centro di massa


Immaginiamo di avere un corpo formato da più punti materiali. Sui punti applichiamo delle forze la cui risultante è nulla (R=0) tali da ottenere un equilibrio traslazionale ma non rotazionale. In questo caso il corpo ruotera. La sua rotazione avverra intorno ad un punto detto centro di massa definito matematicamente come:!

€

rCM =m1r1 + m2r2 + m3r3 + m4r4 + ...

m1 + m2 + m3 + m4 + ...

€

vCM = ΔrCM /Δt =m1Δr1 /Δt +m2Δr2 /Δt +m3Δr3 /Δt +m4Δr4 /Δt + ...

m1 +m2 +m3 +m4 + ...=

=m1v1 +m2v2 +m3v3 +m4v4 + ...

m1 +m2 +m3 +m4 + ...

Per dimostrare che il corpo ruota intorno al CM basta calcolare prima la sua velocità:!

Centro di massa


€

aCM =m1a1 +m2a2 +m3a3 +m4a4 + ...

m1 +m2 +m3 +m4 + ...

aCM =F1 +F2 +F3 +F4 + ...m1 +m2 +m3 +m4 + ...

=R

m1 +m2 +m3 +m4 + ...= 0

Analogamente si otterrà lʼaccelerazione:!

Lʼultima equazione dimostra che se la risultante delle forze R è nulla il centro di massa non accelera. Quindi il centro di massa avrà una velocità nulla o costante.!

€

M = m1 +m2 +m3 +m4 + ...

aCM =RM

Il CM si muove come se tutta la massa e tutte le forze del corpo fossero concentrata su di se.!

Baricentro ed energia potenziale


Unʼaltro utilizzo del concetto di CM riguarda lʼenergia potenziale di un corpo in un campo di forze uniforme. Tipico esempio il campo di gravità in prossimità della superficie terrestre. In questo caso si dimostra che lʼenergia potenziale di un sistema di punti materiali è uguale a quella associata al CM in cui si immagina concentrata tutta la massa del corpo. Questo concetto è detto baricentro. !

€

rCM =m1r1 +m2r2 +m3r3 +m4r4 + ...

m1 +m2 +m3 +m4 + ...M = m1 +m2 +m3 +m4 + ...MrCM = m1r1 +m2r2 +m3r3 +m4r4 + ...MgrCM = m1gr1 +m2gr2 +m3gr3 +m4gr4 + ...rCM = (x,y,h)MghCM = m1gh1 +m2gh2 +m3gh3 +m4gh4 + ...

Questa ultima riga dimostra che la somma delle energie potenziali di tutti i punti che formano un corpo è pari a quella che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel CM.!

Corpo rigido


Si chiama corpo rigido un insieme di punti materiali dotati di massa le cui distanze reciproche non variano durante il loro movimento. !

Ogni corpo rigido avrà un centro di massa. Il moto del CR può essere immaginato come la somma di una rotazione del CR intorno al CM + una traslazione del CM stesso. !

Il moto di traslazione del CM soddisfa lʼequazione del moto:!

€

R = F1 +F2 +F3 +F4 + ...M = m1 +m2 +m3 +m4 + ...

aCM =RM

Il moto di rotazione del CR intorno al CM dipende dal momento delle forze.!

Momento angolare e momento d’inerzia


Nel caso del moto traslatorio la velocità di un corpo non è altro che la sua quantità di moto diviso la massa:!

La velocità di rotazione di un corpo rigido è invece legata ad unʼaltra grandezza detta momento angolare. Per capire immaginiamo prima un moto su una circonfeenza di un punto materiale. La sua velocità angolare è data da:!

€

q = mvFΔt = Δq = mΔv

F =ΔqΔt

= ma

€

ω (t) =

r ∧ vr2

Moltiplicando numeratore e denominatore per la massa otteniamo:!



Il numeratore L si chiama momento angolare ed è una grandezza vettoriale con le dimensioni di una massa per una lunghezza per una velocità: Kg m2/s. !Il denominatore I si chiama momento di inerzia. È una grandezza scalare. Ha le dimensioni di una massa per una lunghezza al quadrato: kg m2. !

€

ω (t) =

mr∧ vmr2

=LI

Lʼimportanza di queste due grandezze può essere apprezzata se si fa un paragone con la forza e la massa.!

€

FΔt = mΔv

Δv =FmΔt

€

Δ ω (t) =

mr∧ Δvmr2

=mr ∧FI

Δtm

=r ∧FI

Δt =MΔtI



Si capisce subito che la variazione della velocità angolare è dovuta al momento delle forze applicato ad un corpo rigido calcolato rispetto al CM. Quindi nel caso di moto rotazionale la forza viene sostituita dal momento delle forze e il ruolo della massa viene ricoperto da una grandezza detta momento di inerzia. !

Il paragone è così preciso che esiste un analogo al secondo principio della dinamica:!

€

Δv =FmΔt

€

Δ ω (t) =

MΔtI

€

ma = m ΔvΔt

= F

€

I Δ ω (t)Δt

= IMI

=M

Lʼaccelerazione angolare moltiplicata per il momento di inerzia è uguale al momento delle forze.!

Analogie fra traslazione e rotazione


Se introduciamo lʼaccelerazione angolare definita come: !

Possiamo poi scrivere un set intero di espressioni analoghe fra moto traslazionale e moto rotazionale:!

€

α (t) =

Δ ω (t)Δt

€

F = ma

€

M = I α

€

FΔt = mΔv = Δq

€

MΔt = IΔ ω = ΔL

Un corpo isolato non solo mantiene la quantità di moto ma anche il suo momento angolare.!

€

Δq = 0

€

ΔL = 0

Energia cinetica traslazionale e rotazionale


Un corpo rigido ha una energia cinetica data non solo dalla traslazione del suo CM ma anche dalla rotazione intorno al suo CM. Lʼenergia cinetica totale è quindi la somma di due termini: lʼenergia cinetica traslazionale e lʼenergia cinetica rotazionale. !

Abbiamo detto in precedenza che un corpo può essere considerato un punto materiale se è sufficientemente piccolo. In realtà adesso possiamo dire che un corpo può essere considerato un punto materiale se la variazione della sua energia cinetica rotazionale è trascurabile rispetto alla variazione della sua energia cinetica traslazionale.!

€

EKIN =12MvCM

2 +12Iω 2

Momento di inerzia per corpi semplici


Il momento di inerzia di un corpo esteso non è facile da calcolare. Siccome tutti i corpi sono fatti di atomi e gli atomi possono essere considerati punti materiali. In linea di principio avremo per qualunque corpo che il centro di massa è: !

Dove la somma è su tutte le masse e posizioni atomiche.!Il momento di inerzia diviene quindi:!

€

rCM =m1r1 +m2r2 +m3r3 +m4r4 + ...

m1 +m2 +m3 +m4 + ...=1M

m1r1 +m2r2 +m3r3 +m4r4 + ...( )

€

I = m1 r1 − rCM( )ˆ n [ ]2

+m2 r2 − rCM( ) ˆ n [ ]2

+m3 r3 − rCM( ) ˆ n [ ]2

+m4 r4 − rCM( )ˆ n [ ]2

+ ...

Dove il vettore n è di lunghezza uno e parallelo allʼasse di rotazione del moto rotatorio considerato. Quindi il momento di inerzia dipende dallʼorientazione dellʼasse di rotazione !! !

Momento di inerzia per corpi semplici


Attenzione il momento di inerzia dipende sia dalla forma del corpo sia dalla direzione e posizione dellʼasse di rotazione.!

Nel caso di corpi con densità omogenea queste somme danno spesso risultati semplici:!

Analogie fra traslazione e rotazione


Ecco qui una breve lista delle analogie fra moto traslazionale e moto rotazionale:!

Roto-traslazione


Un caso in cui appare evidente lʼeffetto della rotazione è quello di un corpo che ruota mentre scende lungo un piano inclinato.!

Siccome lʼenergia meccanica si conserva la variazione di energia potenziale andrà tutta in energia cinetica sia traslazionale che rotazionale.!

€

mgh = Ei

12mvCM

2 +12Iω 2 = E f

€

ω =vR

12mvCM

2 +I2R2

vCM2 = E f

vCM2 =

2E f

m +IR2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Rototraslazione


Siccome una parte dellʼenergia cinetica va nella componente rotazionale la velocità traslazionale finale del corpo sarà inferiore al caso di puro slittamento. !

€

vCM2 =

2E f

m +IR2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

I =12MR2 (caso del disco pieno)

vCM2 =

2E f

m +12mR2

R2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=2E f

m +12m

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

=2E f

32m

=4

3mE f =

43gh

Elasticità


Il corpo rigido è solo una approssimazione. In realtà tutti i corpi sono deformabili. Il comportamento di un corpo è elastico se cessata la sollecitazione esso riprende la sua forma originale. Il comportamento di un corpo è plastico se la deformazione è irreversibile. !

In realtà tutti i corpi si comportano in modo elastico se la deformazione è sufficientemente piccola, come mostrato in figura. !

Robert Hooke (1635-1703) scoprì che nella regione elastica la deformazione è direttamente proporzionale alla forza applicata. Questa si chiama legge di Hooke: !

€

FA

= E Δll

Legge di Hooke


La costante E che appare nella legge di Hooke si chiama modulo di elasticità di Young. Esso ha come unità di misura N / m2. !

€

FA

= E Δll

Il rapporto fra forza ed area si chiama sforzo ( stress ). !

€

FA

=σ

Lʼallungamento relativo si chiama stiramento ( strain ). !

€

Δll

= ε

La legge di Hooke può anche essere scritta come rapporto fra sforzo e stiramento:!

€

σ = Eε

Legge di Hooke


La legge di Hooke è valida anche per deformazioni di volume e prende la forma:!

€

Δp = −K ΔVV

Dove K è il modulo di compressione ed il segno meno indica che una pressione applicata diminuisce il volume di un solido.!

Per le membrane esiste una legge analoga:!

€

Fl

= −k ΔSS

Dove F è la forza applicata ad una membrana con un perimetro di lunghezza L, che produce una variazione di area della membrana ΔS. !

Forze di attrito


Le forze di attrito sono lʼesempio più importante di forze dissipative. Quello che succede è che lʼenergia del corpo viene trasformata in calore e non è quindi più recuperabile in termini di potenziale meccanico.!

Distiguiamo due casi di forze di attrito. Il caso in cui il corpo sta attraversando un liquido o un gas. In questo caso la forza è proporzionale alla velocità con uguale direzione ma verso opposto:!

Poi cʼè il caso di un corpo che scivola sopra un piano. !€

F = − fv

In questo caso la forza si oppone alla velocità ma non è proporzionale alla velocità, è invece proporzionale alla reazione vincolare del piano. !

€

F = −µN ˆ v

Attrito statico e dinamico


Se il piano è orizzontale N è la forza peso del corpo. !

Lʼesperienza quotidiana ci insegna che per far partire un corpo da fermo ci vuole uno sforzo superiore a quello necessario per mantenerlo in moto. Esistomo infatti due equazioni per la forza di attrito. !

Se il corpo è fermo la forza minima necessaria per muoverlo sarà: !

Dove μs è il coefficiente di attrito statico. !

€

F = −µmgˆ v

€

F = µsmg

Una volta che il corpo è in movimento la forza necessaria per mantenrlo in moto è inferiore e data da:!

€

F = µcmg µc < µs

Misura del coefficiente di attrito statico


Utilizzando un piano inclinato è possibile misurare il coeffciente di attrito statico. Si parte con una inclinazione piccola e poi si va a misurare lʼangolo al quale il corpo di muove.!Se il piano è inclinato la forza di attrito sarà proporzionale alla componente perpendicolare al piano della forza peso.!

A questa forza si oppone la componente del peso parallela al piano inclinato:!

€

F = µsmgcos(θ )

€

P = mgsin(θ )

Il corpo si muove quando le due forze sono uguali:!

€

F = µsmgcos(θ ) = P = mgsin(θ )

µs =sin(θ)cos(θ)

= tan(θ)


Fine capitolo

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