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Fisica per MedicinaLezione 25 - Ottica e Fisica Moderna

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

12 dicembre 2017

Indice

OndeOttica

Fisica modernaStruttura atomicaStruttura nucleare

2/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna – Dr. Cristiano Fontana – 12 dicembre 2017

Lavoro e potenziale elettrostatico

Abbiamo visto che il lavoro compiuto per muovere una carica in duepunti di un campo elettrostatico è

W = −∆U = −q∆V (1)

Il lavoro si misura in Joule, ma quando si ha a che fare con caricheelementari (i.e. singoli elettroni) il Joule diventa poco pratico dautilizzare. Se calcoliamo il lavoro fatto su un elettrone con unadifferenza di potenziale di 1 V otteniamo

W = −e−∆V = 1.6 · 10−19 C · 1 V = 1.6 · 10−19 J (2)

Quindi quando si accelerano cariche elementari si utilizza, per motividi praticità, l’elettronvolt che corrisponde all’energia che si ottieneaccelerando la carica elementare di 1 V:

1 eV = −e−∆V = 1.6 · 10−19 C · 1 V = 1.6 · 10−19 J (3)


Lenti I

Distanza focalef > 0

f < 0

Il principio della rifrazione è sfruttato anche nellelenti, perché la loro forma arrotondata è in gradodi deviare i fasci luminosi in modo da concentrarli.

Formula delle lenti sottiliPer delle lenti sottili vale la formula

1f=

1p+

1q

(4)

ove p è la distanza di un oggetto, q è la distanzadi messa a fuoco e f è la lunghezza focale dellalente


Lenti II


f < 0

Le lenti possono essere di diversi tipi, ma il lorocomportamento dipende dalla lunghezza focale:

I Lenti convergenti: hanno lunghezza focalepositiva, f > 0.

I Lenti divergenti: hanno lunghezza focalenegativa, f < 0.


Lenti III

ff

Lente dilunghezza focale f

p q

I raggi che sono creati da una sorgente posta in p sono concentrati inq, secondo la legge delle lenti sottili

1f=

1p+

1q

(5)


Lenti IV

f

Orizzontale: p = ∞ ⇒ q = f

f

Passante per f: p = f ⇒ q= ∞

Passante per il centro:nessuna deviazione


Per determinare l’immagine di un oggetto si intersecano diversi raggiche provengono dall’oggetto stesso.


Lenti V


f < 0

È definito anche il potere diottrico di una lentecome l’inverso della focale

D =1f

(6)

Si misura in diottrie

[D] =1[f ]

= m−1 (7)

Per un sistema di lenti, il potere risultante è lasomma

D = D1 + D2 (8)


Lenti VI

ff


θ

θh

h'p

q

Osservando che hp = tan θ = h′

q , vediamo che l’ingrandimento M dellalente è

M =h′

h=

qp

(9)


Occhio

Pupilla

Iride

Cristallino

Cornea

Coroide

Retina

Nervo ottico

Corpociliare

Figura: Schema dell’occhio umano [wiki].

L’occhio è molto simile aduna macchina fotografica:

I Cornea e cristallino:lente;

I corpo ciliare: messa afuoco;

I pupilla ed iride:diaframma;

I retina: sensore di luce;I coroide: strato opaco

scuro per evitareriflessioni.


https://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Schematic_diagram_of_the_human_eye_it.svg

Potere dell’occhio I

L’occhio contiene due lenti, la cornea ed il cristallino

Docchio = Dcornea︸︷︷︸fissa

+Dcristallino︸︷︷︸variabile

(10)

≈ 22 m−1 + 23 m−1︸︷︷︸infinito

↔ 33 m−1︸︷︷︸vicino

(11)

≈ 45 m−1 ↔ 55 m−1 (12)


Potere dell’occhio II

Se p = ∞ allora f = q; quindi col potere diottrico per la messa a fuocoall’infinito possiamo calcolare la dimensione interna dell’occhio:

d =1

Dinfinito=

145 m−1 = 0.0222 m = 2.22 cm (13)

e quindi calcolare la posizione di messa a fuoco più vicina p, colpotere diottrico per la messa a fuoco da vicino

1p+

1d

= Dvicino (14)

p =d

Dvicinod − 1= 0.1 m = 10 cm (15)


Difetti dell’occhio I

Occhio normale

Occhio miope Occhio ipermetrope

Nell’occhio normale il punto di messa a fuoco è la retina, nell’occhiomiope il punto di messa a fuoco è anteriore alla retina, nell’occhioipermetrope o nell’occhio presbite è posteriore alla retina.


Difetti dell’occhio IICorrezioni

Occhio miope

Dlente < 0

Occhio ipermetrope

Dlente > 0

Nel caso della miopia le lenti devono essere divergenti per allontanarei punti troppo vicini. Nel caso dell’ipermetropia o della presbiopia lelenti devono essere convergenti.


La struttura dell’atomo

1 Å = 100,000 fm

1 fm

- -++

L’atomo è costituito da un nucleo di carica positiva ed un insieme dielettroni (carica negativa). Rispetto alla dimensione complessivadell’atomo il nucleo è molto più piccolo. Gli elettroni si distribuiscono inuna nube attorno al nucleo, in delle strutture chiamati orbitali.


Esperimento di Rutherford ISchema dell’esperimento

Nei primi anni del ’900 si pensava che l’atomo fosse costituito da unacarica positiva distribuita in cui sono immersi gli elettroni. Conl’esperimento di Rutherford si scoprì che la carica è tutta concentratain un nucleo di dimensioni molto più piccole dell’atomo.


Esperimento di Rutherford IIRisultato per il modello di Thomson

Modello di Thomson



Esperimento di Rutherford IIIRisultato per il modello di Rutherford

Modello di Rutherford



Esperimento di Rutherford IVModelli a confronto

Modello di Thomson Modello di Rutherford



Livelli atomici

Sperimentalmente si vede che gli atomi possono avere delle energiequantizzate. Ovvero il sistema dell’atomo può liberare o assorbire soloparticolari valori di energia. In prima approssimazione, i livellienergetici possibili sono descritti da

En = −ERZ 2

n2 (16)

ove Z è la carica del nucleo, n è un numero naturale diverso da zero eER è detta energia di Rydberg ed è pari a

ER =e4me

8ε20h2

= 13.6 eV. (17)


Emissione ed assorbimento

Essendo l’energia quantizzata le transizioni possibili hanno soloenergie possibilidescritte dalla formula: In prima approssimazione, ilivelli energetici possibili sono descritti da

∆E = ERZ 2[

1n2

1− 1

n22

](18)

E.g. La serie di Lyman è la serie di transizioni possibili con n1 = 1, perl’idrogeno:

∆ELymann2=2 = ER

[1 − 1

n22

]= 10.2 eV ⇒ λ =

hc

∆ELyman2

= 121 nm (19)

che è nell’ultravioletto. La serie di Balmer ha n1 = 2 ed ha quattro lineenel visibile, la serie di Paschen ha n1 = 3 e si trova nell’infrarosso.


La struttura del nucleo

Il nucleo è costituito da protoni e neutroni, che sono tenuti insiemedalla forza nucleare forte. Il numero di protoni è anche chiamato Z , ilnumero di neutroni N e la loro somma A è il numero di massa

Z + N = ANumero di Numero di Numero di

protoni neutroni massa


Massa del nucleoProtoni e neutroni hanno una massa circa uguale tra di loro

mp = 1.673 · 10−27 kg = 938 MeV/c2 (20)

mn = 1.675 · 10−27 kg = 940 MeV/c2 (21)

La massa degli elettroni è molto più piccola

me− = 9 · 10−31 kg = 0.511 MeV/c2 (22)

Essendo molto grande il rapporto tra massa dei protoni ed elettroni lamassa dell’atomo è circa uguale alla massa del nucleo

mp

me−=

938 MeV/c2

0.511 MeV/c2 ≈ 1800 (23)

Le masse sono tipicamente espresse con l’unità elettronvolt, che èun’energia, per mezzo della legge di equivalenza tra massa ed energia

E = mc2 (24)


Isotopi

Gli isotopi sono dei nuclei con lo stesso numero di protoni (e quindistesso Z ) ma diverso numero di neutroni.

1. Chimicamente si comportano tutti allo stesso modo (a parte raricasi).

2. Dal punto di vista nucleare però sono molto diversi tra di loro.

E.g. gli isotopi del potassioI 39K: è stabile, ha un’abbondaza del 93%;I 40K: è una sorgente radioattiva naturale perché è instabile, ha

un’abbondanza del 0.012%;I 41K: è stabile, ha un’abbondaza del 7%.


Tavola dei nuclei I

N=1 N=2 N=3 N=5N=4 ...

Z=0

Z=1

Z=2

Z=3

...

1H 2H 3H 4H 5H 6H

1n

3He 4He 5He 6He 7He 8He 9He

6Li 7Li4Li 5Li 8Li 9Li 10Li 11Li

9Be5Be 5Be 5Be5Be 10Be

10He

11Be12Be 14Be13Be

N=0

Figura: Ingrandimento della tavola dei nuclei [IAEA NDS]

In analogia alla tavola periodica degli elementi si definisce una tavoladei nuclei, che sono disposti secondo i numeri Z ed N. In questarappresentazione i nuclei stabili sono disegnati in nero, gli altri colorirappresentano la vita media.


Tavola dei nuclei II

Vite medie

N

Z

N=Z

Figura: Tavola dei nuclei [IAEA NDS]

I nuclei stabili si raggruppano lungo la cosiddetta valle di stabilità; piùci si allontana e minore diventa la vita media. I nuclei stabili sono al disotto della retta Z = N ovvero hanno il numero N superiore a Z ,perché i neutroni compensano la forza repulsiva elettrostatica tra iprotoni.


https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html

https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html

Forza nucleare forte

I protoni sono carichi positivamente e quindi tendono a respingersi.Tenendo in considerazione la dimensione tipica del raggio di un nucleo

r0 ≈ 1.5 · 10−15 m (25)

le forze repulsive sono molto intense

FC =1

4πε0e2r2

0 ≈ 100 N. (26)

La repulsione è compensata da una forza attrattiva detta forza forte.Per stabilizzare un nucleo quindi si possono aggiungere neutroni chenon sono carichi ma si attraggono per la forza forte.


Decadimenti I

Cosa vuol dire che un nucleo è instabile? Vuol dire che decade in unaltro nucleo, tramutandosi nel nuovo materiale.

Il tecnezio usato in medicina nucleareIl 99Mo decade in 99mTc con una vita media τ = 66 h. A sua voltadecade con una vita media τ = 6 h in 99gTc emettendo un raggio γ conenergia E = 140 keV. Il gamma prodotto è utilizzato in diversetecniche di medicina nucleare.

Radon-222L’uranio naturale 238U decade alpha con una vita media τ = 4 · 109 yr,dopo una serie di decadimenti raggiunge il 226Ra. Questo decadealpha con una vita media τ = 1600 yr in 222Rn. Il radon è un gasnobile che decade alpha ed è quindi pericoloso se inalato.


Decadimenti IIPossibili decadimenti

1. Fissione: Il nucleo si spacca in molti altri nuclei più leggeri, tipicoper i nuclei molto pesanti (e.g. Uranio).

2. Decadimento alpha: Il nucleo emette una particella alpha, che èun nucleo di 4He (N = 2,Z = 2):

Z 7→ Z − 2, N 7→ N − 2 & A 7→ A − 4 (27)

3. Decadimento beta-: Un neutrone si trasforma in un protoneemettendo un elettrone (n → p + e− + ν̄e):

Z 7→ Z + 1, N 7→ N − 1 & A′ = A (28)

4. Decadimento beta+: Un protone si trasforma in un neutroneemettendo un positrone (p → n + e+ + νe):

Z 7→ Z − 1, N 7→ N + 1 & A′ = A (29)

5. Decadimento gamma: Un nucleo eccitato (come può essereanche un atomo eccitato) torna allo stato fondamentaleemettendo un fotone molto energetico chiamato raggio gamma(raggio γ). I valori di N e Z non cambiano.


Decadimenti IIIDecadimenti e tabella dei nuclidi

N-1N-2 N+1N

Z-2

Z-1

Z

Z+1

α

β+

β-I processi di decadimento possonoessere visualizzati sulla tavola deinuclei, in funzione della variazionedei numeri N e Z . E.g. Ildecadimento alpha cambia il valoredi N e Z di due e quindi ci si spostain diagonale di due posizioni.


Decadimento alpha

Il decadimento alpha è tipico per gli elementi più pesanti. È dovutoall’interazione forte e quindi ha tempi di vita medi tipicamente piccoli.E.g. Il gas nobile radon-222 decade alpha in polonio-218.

222Rn →218 Po + α (30)


Decadimenti beta

I due decadimenti beta sono dovuti all’interazione debole e quindihanno tipicamente tempi di vita medi lunghi. Si osservi come noncambia il numero di massa degli elementi, perché si tratta di unatrasmutazione di un protone in un neutrone o viceversa.E.g. Il carbonio-14 decade in azoto-14 per decadimento beta-

14C →14 N + e− + ν̄e (31)

E.g. Il fluoro-18 decade in ossigeno-18 per decadimento beta+

18F →18 O + e+ + νe (32)

Il positrone emesso dal 18F è usato in medicina nucleare per laPositron Emission Tomography (PET).


Decadimento gamma

Il decadimento gamma è un decadimento che si ha quando un nucleoeccitato si diseccita emettendo un fotone molto energetico (chiamatoanche raggio gamma).E.g. Il tecnezio-99m decade in tecnezio-99g emettendo un gamma da140 keV. Il 99mTc è uno stato eccitato del tecnezio, mentre il 99gTc è lostato fondamentale del nucleo.

99mTc →99g Tc + e− + ν̄e (33)

Il gamma emesso dal 99mTc è usato in medicina nucleare per lescintigrafie e la Single Photon Emission Tomography (SPET).


Energia di legame del nucleo

U235

U238

Fe56O16

C12

He4

Li6Li7

He3H3

H2

H1

Number of nucleons in nucleus

Avera

ge b

ind

ing

energ

y p

er

nucl

eon (

MeV

)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 30 60 90 120 150 180 210 240 270

L’energia di legame delnucleo dipende dal numerodi protoni e neutroni.Tipicamente si rappresentacome positiva, ma il realtàdovrebbe essere negativaperché i nuclei sono deglistati legati. Più è altal’energia di legame e più èdifficile spaccare il nucleonei singoli costituenti.


Fusione ed energia di legame

U235

U238

Fe56O16

C12

He4

Li6Li7

He3H3

H2

H1


Avera

ge b

ind

ing

energ

y p

er

nucl

eon (

MeV

)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 30 60 90 120 150 180 210 240 270

H3

+

ΔE>0

H3

+ΔE<0

Figura: Grafico dell’energia di legame peralcuni isotopi comuni [wiki].

Nella fusione si fondononuclei leggeri per averenuclei più pesanti, ma nonsempre il processo rilasciaenergia. Fondendo nucleitroppo pesanti è necessariofornire energia al sistemaperché l’energia di legamedel nucleo somma diventapiù bassa di quella deinuclei iniziali.


Fissione ed energia di legame

U235Fe56O16

C12

He4

Li6Li7

He3H3

H2

H1


Avera

ge b

ind

ing

energ

y p

er

nucl

eon (

MeV

)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 30 60 90 120 150 180 210 240 270

H3

ΔE>0

U238

H3

ΔE<0

Figura: Grafico dell’energia di legame peralcuni isotopi comuni [wiki].

Nella fissione un nucleo sispacca per generare nucleipiù leggeri. Quando i nucleipiù pesanti si scindonopossono liberare energia,mentre per i nuclei piùleggeri è necessario fornireenergia.


https://en.wikipedia.org/wiki/File:Binding_energy_curve_-_common_isotopes.svg

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Binding_energy_curve_-_common_isotopes.svg

Legge dei decadimenti I

Un nucleo instabile ha una probabilità costante nel tempo di decadere.Se la probabilità di vedere un decadimento in un istante di tempo è λallora la probabilità di vederlo per un insieme di N nuclei è Nλ. Ma undecadimento comporta la variazione del numero di nuclei e quindi lavariazione nell’istante di tempo è proporzionale al numero di nuclei:

dNdt

= −λN (34)

ove abbiamo messo un meno perché si tratta di una riduzione delnumero di nuclei. Questa è un’equazione differenziale che ha comerisultato

N(t) = N0e−λt (35)

che rappresenta il numero di nuclei sopravvissuti all’istante t .


Legge dei decadimenti II

In genere si definisce la vita media τ come

τ =1λ

(36)

e quindi la (35) diventa

N(t) = N0e− tτ (37)

La vita media rappresenta il tempo che impiega il campione di nucleiinstabili a ridursi al 37% del numero iniziale.


Tempo di dimezzamento I

Calcoliamo il tempo che impiega il campione a ridursi al 50% dei nucleiiniziali

N0

2= N0e−

t 12τ (38)

12= e−

t 12τ (39)

log[

12

]= −

t 12

τ(40)

− log 2 = −t 1

2

τ(41)

t 12= τ log 2 (42)

t 12

è comunemente chiamato tempo di dimezzamento.


Tempo di dimezzamento II

Invertiamo la relazione

τ =t 1

2

log 2(43)

e vediamo cosa succede se mettiamo nella legge dei decadimenti iltempo di dimezzamento

N(t) = N0e− tτ (44)

= N0e− log 2 t

t 12 (45)

= N02− t

t 12 (46)

ove abbiamo applicato le proprietà dell’esponenziale. Questa è lalegge dei decadimenti espressa in termini del tempo di dimezzamento.


Attività di una sorgente

Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti alsecondo, ovvero

A = −dNdt

= λN (47)

L’attività si misura in Becquerel:

1 Bq = 1 1/s (48)

Comunemente si usano anche i Curie:

1 Ci = 3.7 · 1010 Bq. (49)


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