Fisica Generale A moto - teugi.it · Forze vincolari !! Ogni vincolo impedisce certi movimenti del...

Fisica Generale A

5. Statica

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June 17, 2009 Fisica Generale A. 5. Statica. 2 Domenico Galli

Statica

!! Cinematica: descrizione del moto, trascurandone le cause.

!! Statica: studio delle forze (che sono causa dei cambiamenti dello stato di moto) nelle configurazioni di equilibrio.

!! Equilibrio: si ha quando un corpo soggetto a forze, inizialmente in quiete rispetto a un prestabilito SdR, rimane nello stato di quiete.

!! Concetto di forza: nasce dallo “sforzo” muscolare.

Forza

!! Definizione operativa (specificazione del procedimento con cui si effettua la misura): cordicella + dinamometro. !! La retta su cui si dispone la cordicella rappresenta la direzione della

forza, il dinamometro ne misura il modulo.

!! Il dinamometro è costituito da una molla a elica cilindrica e da una scala graduata che consente di misurarne l’allungamento.

!! Cordicella ideale: infinitamente sottile, perfettamente flessibile e inestensibile.

!! Molla ideale: massa nulla, segue precisamente la legge di Hooke:

!! dove k è una costante.

!F

!F = !k"l

"!"

dinamometro Fisica Generale A. 5. Statica. 3 Domenico Galli

Dinamometro e forza peso

!! Forza peso: dovuta all’attrazione gravitazionale, diretta lungo la verticale, con verso diretto in basso.

!! Forza elastica: esercitata dalla molla, proporzionale all’allungamento della molla.

!! Equilibrio di un sistema di forze applicate a un punto materiale: risultante nulla.

!F

e

!F

p

!F

p+!F

e=!0 !

!F

p" k#l"!"

=!0

!! Raddoppiando il peso (appendendo due pesetti uguali) raddoppia pure l’allungamento della molla.

Fisica Generale A. 5. Statica. 4 Domenico Galli

Natura vettoriale delle forze

!! Si trova sperimentalmente che le forze si sommano vettorialmente. !! Per 3 forze applicate a un punto materiale si ha l’equilibrio se:

!F

3= !

!F

1+!F

2( ) "

!F

1+!F

2+!F

3=!0

!F

3

!F

1

!F

2

!F

1+!F

2= !!F

3


Forze interne e forze esterne

!! In un sistema di punti materiali si definiscono: !! Forze interne: le forze esercitate da una parte del sistema

su un’altra parte dello stesso sistema.

!! Forze esterne: le forze esercitate su di una parte del sistema da parte di corpi non appartenenti al sistema.

!! Es.: !! Per il sistema costituito dalla sola Terra, l’attrazione

gravitazionale esercitata del Sole sulla Terra è una forza esterna.

!! Per il sistema costituito da Terra + Sole l’attrazione gravitazionale esercitata del Sole sulla Terra è una forza interna.


Equazioni cardinali della statica

!! Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale è che si annulli la risultante delle forze ad esso applicate (NB: questo non significa che non siano presenti forze!).

!! Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un corpo rigido è che si annullino sia la risultante sia il momento risultante delle forze esterne ad esso applicate (NB: le forze interne di coesione del corpo rigido, che mantengono invariate le distanze tra i punti, non hanno effetto)

!

R =!0

!R

e( )=!0,

!M

e( )=!0 (equazioni cardinali della statica)


Baricentro

!! Corpo rigido: si può idealmente suddividerlo in n parti sufficientemente piccole rispetto al contesto considerato, da poter essere considerate puntiformi.

!! Ogni parte è soggetta alla forza peso: .

!! Se il corpo non è troppo esteso (rispetto alla dimensione della Terra) tali forze sono parallele tra loro.

!! L’insieme delle forze peso è riducibile a una sola forza, la risultante , detta peso totale del corpo, applicata nel centro dei vettori paralleli, che in questo caso prende il nome di baricentro G.

!F

1,!F

2,...,!F

n

!

R

!

RFisica Generale A. 5. Statica. 8 Domenico Galli

G ! O =1

RF

iP

i! O( )

i=1

n

"

Baricentro (II)

!! Il baricentro (essendo il centro dei vettori paralleli) è definito da:

!! Proiettando sugli assi e prendendo O come origine si hanno le componenti cartesiane:

xG=

1

RF

ix

i

i=1

n

!

yG=

1

RF

iy

i

i=1

n

!

zG=

1

RF

iz

i

i=1

n

!

"

#

$$$

%

$$$

!

R


Baricentro (III)

!! Per un sistema costituito da 2 soli punti materiali, il baricentro si trova sul segmento che congiunge i 2 punti, a distanza da essi inversamente proporzionale al loro peso.

!! Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di una retta, il baricentro si trova sulla medesima retta.

!! Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di un piano, il baricentro si trova sul medesimo piano.

!! Se un sistema può essere diviso in più parti, il suo baricentro coincide col baricentro dei baricentri parziali.


Baricentro (IV)

!! Per un corpo omogeneo (porzioni di ugual volume hanno ugual peso), suddividendolo in n parti di ugual volume, sufficientemente piccole rispetto al contesto considerato, da poter essere considerate puntiformi, si ha:

xG=

1

RF

ix

i

i=1

n

! =1

nFF x

i

i=1

n

! =1

nFF x

i

i=1

n

! =1

nx

i

i=1

n

!

yG=

1

ny

i

i=1

n

!

zG=

1

nz

i

i=1

n

!

"

#

$$$

%

$$$

G ! O =1

nP

i! O( )

i=1

n

"


G ! O =1

VP ! O( )dV

V

"""

Baricentro (V)

!! Se chiamiamo ps il peso specifico, si può scrivere:

!! Se si fa tendere n!", la sommatoria viene sostituita da un integrale. Per un corpo omogeneo:

xG=

1

Vx d x d y d z

V

!!!

yG=

1

Vy d x d y d z

V

!!!

zG=

1

Vz d x d y d z

V

!!!

"

#

$$$

%

$$$

G ! O =1

RV

ip

sP

i! O( )

i=1

n

" =p

s

RV

iP

i! O( )

i=1

n

" =1

VV

iP

i! O( )

i=1

n

"


Forze vincolari

!! Ogni vincolo impedisce certi movimenti del corpo considerato e ne consente altri (es.: rotaia treno, cardine porta, piano su cui è appoggiato un oggetto, ecc.).

!! Per impedire i movimenti vietati dei corpi, i vincoli debbono esercitare sui corpi delle forze, dette forze vincolari o reazioni vincolari. !! Se un corpo, appoggiato su un tavolo, rimane in quiete,

allora la risultante e il momento risultante delle forze che agiscono su di esso sono entrambi nulli. Il corpo è sicuramente soggetto alla forza peso diretta lungo la verticale verso il basso. Affinché sia nulla la risultante, deve essere presente una forza, diretta lungo la verticale verso l’alto. Tale forza è la reazione vincolare

!F

p

!R

n

!R

n= !!F

p


Forze vincolari (II)

!! Le forze non vincolari sono dette forze attive.

!! Le forze vincolari sono a priori sconosciute, in quanto debbono adeguarsi alle circostanze per neutralizzare le forze attive che potrebbero causare movimenti vietati. !! Lo stesso tavolo esercita reazioni vincolari diverse su due

oggetti di peso diverso appoggiati su di esso.

!F

p1

!R

n1

!R

n2

!F

p2

!R

n1>!R

n2


Forze di attrito

!! Le forze di attrito sono forze che si sviluppano sulla superfici dei corpi, tangenzialmente ad esse, ostacolandone il movimento. !! Attrito interno: si esplica tra i vari strati di un fluido, dovuto alla

viscosità (es.: differente comportamento tra acqua e miele). !! Attrito del mezzo: resistenza viscosa (F # v) o resistenza

idraulica (F # v2) a cui è soggetto un corpo in moto entro un fluido viscoso.

!! Attrito radente: quando due corpi solidi sono sollecitati a strisciare l’uno sull’altro, sulle superfici di contatto si sviluppano forze tangenziali dovute alle asperità e alle forze di adesione che si esercitano tra le 2 superfici.

!! Attrito volvente: si osserva in un cilindro che rotola senza strisciare su di una superficie. Dovuto alle asperità e alla non perfetta elasticità dei corpi a contatto.


Attrito radente

!! Si manifesta allo strisciare di due corpi l’uno sull’altro.

!! È causato dalle asperità delle superfici striscianti (per cui le irregolarità della superficie più dura scavano solchi sulla superficie più tenera) e dall’adesione tra le due superfici che può produrre delle vere micro-saldature nei punti di contatto. !! Particolarmente intensa è l’adesione tra rame e rame e

tra alluminio e alluminio, che tendono facilmente a “ingranarsi” o “gripparsi”.

!F

!R

t


Attrito radente (II)

!! Per diminuire l’attrito radente si utilizzano lubrificanti, ovvero sostanze (olio, grafite, talco, paraffina) che si interpongono tra le due superfici che strisciano.

!! Per minimizzare l’attrito, allo scopo di eseguire esperimenti precisi di dinamica, si utilizza il “cuscino d’aria”, ovvero si interpone uno strato di aria tra le superfici.

!! Il ghiaccio secco a temperatura ambiente sublima in anidride carbonica gassosa che fuoriesce dal foro inferiore creando una pellicola di aria che si interpone tra il disco e la superficie su cui esso appoggia.


Attrito radente (III)

!! La tecnica del “cuscino d’aria” viene utilizzata anche in particolari veicoli anfibi per trasporto passeggeri denominati hovercraft.


Attrito radente (IV)

!! Nello studio dell’attrito radente si distingue tra attrito statico e attrito dinamico.

!! Se un corpo pesante appoggia con una faccia su di un piano orizzontale e sia applica ad esso una forza diretta orizzontalmente, se il modulo della forza è sufficientemente piccolo il corpo non si muove (attrito statico).

!! Quando invece si aumenta oltre una certa soglia, il corpo comincia a muoversi, ma con accelerazione inferiore a quella che avrebbe in assenza di attrito (attrito dinamico)

!F

!R

t

!F

!F

!F


Attrito radente statico

!! Si osserva sperimentalmente che esiste un valore di soglia $ del modulo della forza: il corpo non si muove se:

!! Se il corpo non si muove, significa che si trova in equilibrio statico, dunque la risultante deve essere nulla:

!! La forza di attrito statico è uguale e opposta alla forza attiva applicata finché l’intensità F della forza si mantiene entro certi limiti.

!F

!R

t

(s)

!F

!F < !

!R =

!F +!R

t

(s)=!0 se

!F < !

!R

t

(s)= !!F se

!F < "


Attrito radente statico (II)

!! Si trova sperimentalmente che:

!! dove è la reazione vincolare della superficie (forza d’appoggio), uguale e opposta alla forza peso . Il coefficiente adimensionale f è detto coefficiente di attrito statico. Dunque:

! = f

!R

n

!R

n

!p

!R

t

(s)= !!F se

!F < f

!R

n!R

t

(s)" f

!R

n

!! f dipende dai materiali di cui sono composte le superfici e dalla loro scabrosità ed è approssimativamente indipendente dalla superficie di appoggio.

!R

n

!F

!R

t

(s)

!p


Attrito radente dinamico

!! Se il corpo inizia a muoversi. !! Si può studiare staticamente il problema, muovendo il

piano di appoggio e tenendo fermo il corpo con un opportuno valore di .

!! Si osserva sperimentalmente che il corpo rimane in quiete soltanto per un determinato valore di :

!F ! "

!R

n

!F

!R

t

(d )

!p

!v

!F

!F

!F = !"

!! Se il corpo non si muove, significa che si trova in equilibrio statico, dunque la risultante deve essere nulla:

!R =

!F +!R

t

(d )=!0 se

!F = !"

!R

t

(d )= !!F se

!F = "#


Attrito radente dinamico (II)

!! Sperimentalmente si trova inoltre che:

!! dove è la reazione vincolare della superficie (forza d’appoggio), uguale e opposta alla forza peso . Il coefficiente adimensionale µ è detto coefficiente di attrito dinamico. Dunque:

!" = µ

!R

n

!R

n

!p

!R

t

(d )= µ

!R

n


!R

n

!F

!R

t

(d )

!p

!v

Attrito statico e attrito dinamico

!! Sperimentalmente risulta sempre:

!! L’attrito dinamico è sempre minore del limite massimo dell’attrito statico.

!! Una semplice esperienza mette in evidenza questa proprietà: asta appoggiata sui diti indici di due mani. Le due forze d’appoggio possono essere trovate dalle equazioni cardinali della statica:

µ < f !

!R

t

(d ) < max!R

t

(s){ }

!R

nA

!R

nB G

A B

a

0 b

0 !p

!R =

!p +!R

nA+!R

nB=!0

!M

G( )= G ! G( )"

!p + A! G( )"

!R

nA+ B ! G( )"

!R

nB=!0

#$%

&%


Attrito statico e attrito dinamico (II)

!! Avviciniamo le dita. Il dito A (forza d’appoggio minore perché a

0>b

0) inizia a slittare.

!! Se fosse µ=f, quando diventa a=b0 (forza d’appoggio

uguale) le due dita inizierebbero a muoversi insieme.

!R =

!p +!R

nA+!R

nB=!0

!M

G( )= A! G( )"

!R

nA+ B ! G( )"

!R

nB=!0

#$%

&%'

p = RnA+ R

nB

a0R

nA= b

0R

nB

#$%

&%

RnB=

a0

b0

RnA

p = RnA+

a0

b0

RnA=

a0+ b

0

b0

RnA

!

"

##

$

##

%

RnA=

b0

a0+ b

0

p

RnB=

a0

a0+ b

0

p

!

"

##

$

##


!R

nA

!R

nB G

A B

a

0 b

0 !p

!R

tA

(d ) = max!R

tB

(s){ } ! µ!R

nA= f

!R

nB! µ

b0

a1+ b

0

= fa

1

a1+ b

0a1

b0

=µ

f< 1 ! a

1=µ

fb

0< b

0

Attrito statico e attrito dinamico (III)

!! Si osserva invece che il dito A prosegue oltre. Il motivo è che, quando a=b

0 (forze d’appoggio uguali),

l’attrito in A, essendo dinamico è inferiore all’attrito in B, che è statico.

!! La distanza a1 in cui A si ferma rispetto all’asta

(mentre B inizia a muoversi) è quella per cui l’attrito dinamico in A diventa uguale al massimo possibile attrito statico in B:

!R

nA

!R

nB

A B

a

0 b

0 !p

b

0

a

1


Attrito statico e attrito dinamico (IV)

!! A questo punto l’asta inizia a slittare sul dito B finché l’attrito dinamico in B diventa uguale al massimo possibile attrito statico in A.

!R

nA

!R

nB

A B

b

0

b

1

a

1

a

1

!R

tB

(d ) = max!R

tA

(s){ } ! µ!R

nB= f

!R

nA! µ

a1

a1+ b

1

= fb

1

a1+ b

1

b1

a1

=µ

f< 1 ! b

1=µ

fa

1< a

1


Attrito statico e attrito dinamico (V)

!! Dunque si avrà la successione di punti:

!! Si tratta di una progressione geometrica che tende ai valori limite a = b = 0, corrispondenti al baricentro G.

!R

nA

!R

nB

A B

!p

G

a1=µ

fb

0

b1=µ

fa

1=µ2

f 2b

0

a2=µ

fb

1=µ2

f 2a

1=µ3

f 3b

0

.........................................


Attrito statico e attrito dinamico (VI)

!! Evidenze pratiche del fatto che l’attrito dinamico è sempre minore del limite massimo dell’attrito statico: !! Quando si sposta, strisciandolo, un mobile pesante, per

metterlo in movimento (cioè per vincere il massimo attrito statico) occorre imprimergli una forza maggiore di quella necessaria per mantenerlo in movimento (che serve per vincere l’attrito dinamico).

!! Le automobili recenti sono dotate di un dispositivo anti-patinamento (ABS). Se la ruota patina, ovvero striscia, sull’asfalto, la forza di attrito diviene dinamica, e dunque l’azione frenante risulta inferiore. Il dispositivo ABS, quando la ruota patina rilascia un po’ il freno, in modo da ripristinare le condizioni di attrito statico.


Attrito volvente

!! Un cilindro che rotola senza strisciare su di un piano è soggetto alla forza di attrito radente statico che impedisce lo strisciamento.

!! La forza di attrito radente statico non ostacola il rotolamento del cilindro.

!! Il rallentamento del moto di rotolamento (come vedremo in dinamica) è dovuto a una coppia di forze. Tale coppia è detta coppia di attrito volvente. Si tratta di forze assolutamente diverse da quelle di attrito radente statico.

!F

!R

t

(s)


Attrito volvente (II)

!! L’attrito volvente ha origine in una asimmetria delle forze elastiche vincolari.

!! Quando il cilindro rotola su di una superficie, si crea sulla superficie una avvallamento che procede insieme al cilindro.

!! Dove si forma l’avvallamento sono presenti forze che si oppongono alla deformazione.

!! Dove l’avvallamento scompare sono presenti forze di ripristino.

!! Se le forze che si oppongono alla deformazione non sono esattamente uguali alle forze di ripristino, si ha un’asimmetria che genera l’attrito volvente.

!F


Attrito volvente (III)

!! L’attrito volvente risulta molto inferiore all’attrito radente (dalle 100 alle 1000 volte).

!! Per questo motivo, dove si debba minimizzare l’attrito nella rotazione di un asse, si preferiscono i cuscinetti a rotolamento (come il cuscinetto a sfere mostrato in figura) ai cuscinetti a strisciamento (p.es.: bronzine).

!! Tra le due superfici cilindriche in figura sono poste 9 sfere ingabbiate che rotolano quando una superficie cilindrica si muove rispetto all’altra.


Forze di attrito (note)

!! Un corpo che striscia su di una superficie è soggetto alla forza di attrito radente dinamico.

!! Un corpo che rotola senza strisciare su di una superficie è soggetto alla forza di attrito radente statico e alla forza di attrito volvente.

!! In assenza di attrito radente l’uomo e gli animali non riuscirebbero a camminare e gli autoveicoli non riuscirebbero a muoversi.

!R

t

(s)

!R

t

(s)


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