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FISICAFISICA

LE GRANDEZZE FISICHELE GRANDEZZE FISICHE

LE GRANDEZZE FISICHELE GRANDEZZE FISICHE• Sono proprietà dei corpi per le quali è possibile

eseguire operazioni di misura.• Misurare significa confrontare la grandezza con

l’unità di misura scelta e vedere quante volte tale unità di misura è contenuta nella grandezza da misurare.

• Tale procedimento, ossia aver scelto uno strumento ed un’unità di misura per valutare una grandezza fisica, significa aver dato di tale grandezza una definizione operativa.

• L’unità di misura è la grandezza a cui corrisponde il valore 1.

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CARATTERISTICHE DELLE UNITACARATTERISTICHE DELLE UNITA’’ DI DI MISURAMISURA

• Ogni unità di misura deve essere definita in modo inequivocabile.

• Deve essere materializzata mediante un campione.• Il campione deve mantenersi costante nel tempo.• Il campione deve essere riproducibile.

MisuraMisura didi unauna grandezzagrandezza

Definizione operativa:Grandezza fisica Proprietà misurabile

Misura di una grandezza:• mediante un dispositivo sperimentale• in confronto con un’altra grandezza omogenea di riferimento

costante e riproducibileEspressionedi una grandezza: numero + unità di misura

rapporto tra misura e campione di riferimento

Sensazione di caldo/freddo NO (soggettiva, diversa per ciascuno) Temperatura SI (oggettiva, uguale per tutti)

Es.

GrandezzeGrandezze fondamentalifondamentalie derivatee derivate

Fondamentaliconcetti intuitiviindipendenti l’uno dall’altronon definibili in termini di altre grandezze

Derivatedefinibili in termini delle grandezze fondamentalimediante relazioni analitiche

Lunghezza [L]Massa [M]Tempo [t]Intensità di corrente [i]Temperatura assoluta [T]

Superficie (lungh.)2 [L]2Volume (lungh.)3 [L]3Velocità (lungh./tempo) [L] [t]-1Acceleraz. (veloc./tempo) [L] [t]-2Forza (massa*acc.) [L] [M] [t]-2Pressione (forza/sup.) [L]-1 [M] [t]-2

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Le grandezze fondamentali sono indipendenti da altre grandezze e si esprimono con una sola unità di misura.Le grandezze derivate sono correlate a piùgrandezze fondamentali e si esprimono con relazioni tra più unità di misura.

SistemiSistemi didi unitaunita’’ didi misuramisura

Stabilire un sistema di unità di misura =fissare le grandezze fondamentalie il valore dei loro campioni unitari

SISTEMA METRICO DECIMALESISTEMA METRICO DECIMALE

CHILOGRAMMO ( Kg ): la massa di 1 litro d’acqua distillata alla temperaturaDi 4°C a livello del mare

MASSA

METRO QUADRATO ( m2 ) METRO CUBO ( m3 )

AREE VOLUMI

METRO: quarantamilionesima parte del meridiano terrestre

LUNGHEZZA

UNITA’ DI MISURAGRANDEZZE

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SISTEMA INTERNAZIONALE

Nel 1960 alla CONFERENZA INTERNAZIONALE DEI PESI e DELLE MISURE che si è tenuta a Parigi è stato introdotto un nuovo sistema di unità di misura più adatto alle esigenze della Fisica moderna: il SISTEMA INTERNAZIONALE.

Esso comprende 7 grandezze fondamentali, stabilisce le loro unità di

misura e quelle di tutte le grandezze da esse derivate.

Per conservare i campioni di queste grandezze fisiche e delle loro unità di misura è stato istituito un apposito Museo nella località di Sèvres, vicino Parigi, chiamato MUSEO INTERNAZIONALE DI PESI E

MISURE.

GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL SISTEMA INTERNAZIONALE

molMOLEQUANTITA’ DI SOSTANZA

AAMPERECORRENTE ELETTRICA

cdCANDELAINTENSITA’LUMINOSA

KKELVINTEMPERATURA

sSECONDOTEMPO

kgCHILOGRAMMOMASSA

mMETROLUNGHEZZA

SIMBOLOUNITA’ DI MISURA

GRANDEZZE

G. Pugliese, corso di Fisica Generale 12

Sistema Internazionale, SISistema Internazionale, SI7 grandezze fondamentali7 grandezze fondamentali

Lunghezza [L]Lunghezza [L] metrimetri (m)(m)MassaMassa [M][M] kilogrammikilogrammi (kg)(kg)Tempo Tempo [T],[T], secondisecondi (s)(s)Corrente elettrica Corrente elettrica ampereampere (A)(A)TemperaturaTemperatura kelvinkelvin (K)(K)IntensitIntensitàà luminosaluminosa candele candele (cd)(cd)QuantitQuantitàà di materiadi materia moli moli ((molmol))

PiPiùù due supplementaridue supplementariAngolo Angolo radiantiradianti ((radrad))Angolo solido Angolo solido steradiantisteradianti (sr)(sr)

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G. Pugliese, corso di Fisica Generale 13

SI multipli e sottomultipliSI multipli e sottomultiplideca 10 dahetto 100 hkilo 103 kMega 106 MGiga 109 GTera 1012 TPeta 1015 P Esa 1018 E

deci 10-1 dcenti 10-2 cmilli 10-3 mmicro 10-6 μnano 10-9 npico 10-12 pfemto 10-15 f atto 10-18 a

GRANDEZZE DERIVATE ( esempi )

N * mJJOULEENERGIA CALORE

N / m2PaPASCALPRESSIONE

Kg * m/s2NNEWTONFORZA

Kg / m3CHILOGRAMMO al METRO CUBO

DENSITA’Massa / volume

m3METRO CUBOVOLUME

m2METRO QUADRATO

AREA

DEFIN.SIMBOLOUNITA’ DI MISURA

GRANDEZZE

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UnitUnitàà di misura della lunghezza di misura della lunghezza

Il metro ha cambiato diverse volte definizione nel corso della sua esistenzaRivoluzione francese (nascita)

1 m = la decimilionesima parte della distanza tra il Polo Nord e l’equatore lungo il meridiano terrestre passante per Parigi

1889: il primo campione internazionale 1 m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino-iridio, posta alla T = °C.

19601 m = 1 650763,73 volte la lunghezza d’onda della luce rossa-arancione emessa da una lampada di 86Kr. Precisione inferiore a 1 parte su 109

19831 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/(299 792 458) secondi

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LUNGHEZZA

La grandezza fisica a cui corrispondono lunghezza, altezza, larghezza e spessore viene indicata col termine di lunghezza.

La lunghezza è la grandezza fisica che misura la distanza geometrica tra 2 punti.

Nel S.I. la lunghezza è una grandezza fondamentale e la sua unità di misura è il metro il cui simbolo è m.

LUNGHEZZAPoiché il progresso della tecnologia richiede misure sempre piùaccurate, l’inalterabilità della lega di platino – iridio, pur essendo molto elevata, non raggiunge il livello di precisione richiesto.Per tale motivo , oggi, si è preferito scegliere, per il metro, un’altra unità di misura, non più basata su un campione di riferimento, bensì su un fenomeno fisico che, come tale, èriproducibile e, quindi, invariante.Il metro, secondo questa nuova unità, corrisponde alla distanza percorsa nel vuoto dalla luce in un tempo pari a circa 1/300.000.000 di secondi.Ciò deriva dal fatto che la luce percorre 300.000 Km/s ossia 300.000.000 m/s, per cui èvalida la seguente proporzione:

300.000.000 m : 1s = 1m : x s da cui x = 1 / 300.000.000 s

OrdiniOrdini didi grandezzagrandezza: : esempiesempi didi lunghezzelunghezze

Alcune lunghezze valore in m- dist. del corpo celeste più lontano 1025 m (10000 miliardi di miliardi di km)- distanza della stella più vicina 3.9 • 1016 m (40000 miliardi di km)- anno-luce 9.46 • 1015 m (9000 miliardi di km)- distanza Terra-Sole 1.49 • 1011 m = 149 Gm (150 milioni di km)- distanza Terra-Luna 3.8 • 108 m = 380 Mm (400000 km)- raggio della Terra 6.38 • 106 m = 6.38 Mm (6000 km)- altezza del Monte Bianco 4.8 • 103 m = 4.8 km (5 km)- altezza di un uomo 1.7 • 100 m = 1.7 m - spessore di un foglio di carta 10-4 m = 100 μm (1/10 di mm)- dimensioni di un globulo rosso 10-5 m = 10 μm (1/100 di mm)- dimensioni di un virus 10-8 m = 10 nm (100 angstrom)- dimensioni di un atomo 10-10 m (1 angstrom)- dimensioni di un nucleo atomico 10-15 m (1/100000 di angstrom = 1 fermi)

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MultipliMultipli e e sottomultiplisottomultipli

multiplisottomultipli

SUPERFICIE

Alla lunghezza sono correlate altre 2 grandezze fisiche: superficie e volume.La superficie riguarda l’estensione di un oggetto. La grandezza a cui si riferisce si chiama area e la relativa unità di misura è il m2 (metro quadrato). Per misurare l’area di figure regolari (es. quadrato, rettangolo ecc..) si ricorre alle formule della geometria ( l * l ).Per misurare l’area di figure irregolari si può ricorrere, ad es. al metodo della carta millimetrata ( se la figura si può riportare sulla carta millimetrata si ottiene una misura piuttosto approssimata della sua superficie contando i quadratini in essa contenuti).

EQUIVALENZA DI AREE

106 mm2

104 cm2

102 dm2

10-2 dam21 m2

10-4 hm2

10-6 Km2

102 m21dam2

104 m21hm2

106 m21Km2

10-6 m21mm2

10-4 m21cm2

10-2 m21dm2

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VOLUMEIl volume si riferisce allo spazio occupato da un corpo oppure alla capacità di un contenitore. La grandezza a cui si riferisce si chiama volume e la relativa unità di misura è il m3 (metro cubo). Per misurare il volume di figure solide regolari (es. cubo, parallelepipedo, piramide ecc..) si ricorre alle formule della geometria .Per misurare il volume di figure solide irregolari si usa un metodo indiretto: si misura il volume dell’acqua all’interno di un cilindro graduato, si pone l’oggetto nell’acqua e si valuta la differenza di volume. Essa sarà il volume del solido irregolare.Per misurare il volume di un liquido si ricorre agli strumenti tarati.

G. Pugliese, corso di Fisica Generale 23

Massa: il chilogrammo kg.

Il campione del kg è conservato all’International Bureau di Pesi e Misure di Servres: costituito da un cilindro di platino iridio e mantenuto ad unatemperatura di 0 °C.

Le masse di altri corpi si confrontano usando una bilancia a bracci uguali con una precisione di 1 parte su 108

Unità di misura delle masse

EQUIVALENZA DI VOLUMI

109mm3

106 cm3

103 dm3

10-3 dam31 m3

10-6 hm3

10-9 Km3

103 m31dam3

106 m31hm3

109 m31Km3

10-9 m31mm3

10-6 m31cm3

10-3 m31dm3

9

OrdiniOrdini didi grandezzagrandezza: : esempiesempi didi massemasse

Alcune masse valore in kg- massa dell’Universo (stima) 1055 kg- massa del Sole 1.98 • 1030 kg (2000 miliardi di miliardi di miliardi di kg)- massa della Terra 5.98 • 1024 kg (6 milioni di miliardi di miliardi di kg)- massa di un uomo 7 • 101 kg (70 kg)- massa di un globulo rosso 10-16 kg (100 milionesimi di miliardesimo di g)- massa del protone 1.67 • 10-27 kg (1.6 milionesimi di miliardesimo di- massa dell’elettrone 9.1 • 10-31 kg miliardesimo di g)

OrdiniOrdini didi grandezzagrandezza

57800 g = 5.78 • 104 g = 5.78 • (101•103) g = 57.8 kg57.8 kg = 57.8 • 103 g = 5.78 • 104 g

0.0047 g = 4.7 • 10-3 g = 4.7 mg0.00047 g = 4.7 • 10-4 g = 4.7 • (102 • 10-6) g = 470 μg

Per esprimere brevemente grandezze fisiche grandi o piccole:numero a 1,2,3 cifre +

unità di misura con multiplo/sottomultiplo (di 3 in 3)

Per confrontare grandezze“infinitamente” grandi o piccole:Ordine di grandezza = potenza di 10 più vicinaal numero considerato

Es.

Atomo di idrogeno: raggio atomo: 10-10 m raggio nucleo: 10-15 m

10-10 m /10-15 m = 105

L’atomo di idrogeno è 100000 voltepiù grande del suo nucleo!

Es.

IL TEMPO

•Il tempo è la grandezza che misura la durata di un di fenomeno.

•L’unità di misura del tempo è il secondo.

•Inizialmente il secondo è stato definito come la 86.400esima parte del giorno solare perchè la durata di un giorno medioè di 60X60X24= 86.400 secondi.

10

28

Unità di misura del tempo

Qualsiasi fenomeno ripetitivo può essere usato con misura del tempo:

il secondo

Prima del 1960 il campione tempo era definito in termini del giorno solare medio: 1 s = 1/86400 del giorno solare medio

Gli orologi al quarzo si basano sulla vibrazione periodica di un cristallo di quarzo eccitata da un campo elettrico. Precisione di 1 s su 200 000 anni;

Dal 1967 il secondo viene definito usando la frequenza caratteristica diradiazione emessa da un atomo di cesio: come il tempo richiesto a una radiazione emessa ad un atomo di cesio-133 per compiere: 9 192 631 770 oscillazioni. Precisione di 1 s / 20 milioni di anni.

PoichPoichéé la durata del giorno solare può subire cambiamenti a la durata del giorno solare può subire cambiamenti a causa della variazione della velocitcausa della variazione della velocitàà della terra intorno al suo della terra intorno al suo asse, attualmente si preferisce misurare il tempo con un asse, attualmente si preferisce misurare il tempo con un orologio atomico che sfrutta le oscillazioni molto regolari orologio atomico che sfrutta le oscillazioni molto regolari degli atomidegli atomi. .

• Attualmente il secondo è definito come l'intervallo di tempo la cui durata è pari a quelladi 9.192.631.770 oscillazioni della radiazioneemessa da un atomo di cesio.

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OrdiniOrdini didi grandezzagrandezza: : esempiesempi didi tempitempi

Alcuni tempi valore in s- stima dell’età dell’Universo 4.7 • 1017 s (15 miliardi di anni)- comparsa dell’uomo sulla Terra 1013 s (300000 anni)- era cristiana 6.3 • 1010 s (2000 anni)- anno solare 3.15 • 107 s- giorno solare 8.64 • 104 s- intervallo tra due battiti cardiaci 8 • 10-1 s (8/10 di sec.)- periodo di vibraz. voce basso 5 • 10-2 s (2/100 di sec.)- periodo di vibraz. voce soprano 5 • 10-5 s (50 milionesimi di sec.)- periodo vib. onde radio (FM 100 MHz) 10-8 s (10 miliardesimi di sec.)- periodo di vib. raggi X 10-18 s (1 miliardesimo di miliardesimo di sec.)

MISURE DIRETTE

METODO DIRETTOMETODO DIRETTO: si attua generalmente per le : si attua generalmente per le grandezze fondamentali ponendole a contatto diretto grandezze fondamentali ponendole a contatto diretto con lcon l’’unitunitàà di misura ( es. misurare un libro, un di misura ( es. misurare un libro, un banco eccbanco ecc…… ))

Per misurare la superficie in modo diretto, si Per misurare la superficie in modo diretto, si dovrebbe disporre di dovrebbe disporre di un campione di superficieun campione di superficie. Per . Per esempio, la superficie di un foglio a quadretti può esempio, la superficie di un foglio a quadretti può essere misurata contando i quadretti e la superficie di essere misurata contando i quadretti e la superficie di un pavimento contando le mattonelleun pavimento contando le mattonelle..

12

MISURE INDIRETTE

Si usano generalmente per le grandezze derivate (es. velocità, densità, pressione) e la misura si ottiene dalla relazione matematica esistente tra le grandezze misurate direttamente e la grandezza da determinare.Altri esempi sono: le scale delle carte geografiche, i RADAR e i SONAR.I RADAR : servono a localizzare oggetti metallici in movimento (aerei, navi) utilizzando impulsi radio che emessi da un’antenna colpiscono l’oggetto e tornano alla velocità della luce.I SONAR : si sfrutta, questa volta, il fenomeno della riflessione delle onde acustiche.

METODO DEGLI STRUMENTI TARATI

STRUMENTI ANALOGICI: il valore della grandezza viene individuato dal confronto con una scala graduata la cui taratura viene compiuta dal costruttore in base alla posizione di un indice ( es. calibro, termometro, orologi, bilance ecc..).STRUMENTI DIGITALI: la misura della grandezza viene indicata direttamente in cifre (es. orologi, bilance, termometri ecc..).Anche il contachilometri delle auto è uno strumento tarato e vi leggiamo i chilometri corrispondenti ai giri effettuati dalle ruote.

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Le grandezze corrispondenti ai campioni di unità fondamentali sono anch’esse fondamentali. In meccanica:

massa, M lunghezza L, tempo, T

Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono derivate da quelle fondamentali attraverso “relazioni” che legano ciascuna grandezza a quelle fondamentali

la velocità allo spazio percorso ed al tempo impiegato è data daL’unità di misura della velocità sarà (SI): m/s v =

dΔt

Analisi Dimensionale

Ad ogni grandezza misurata o calcolata si associa una dimensione:

È sempre utile effettuare l’analisi dimensionale dell’espressione ottenuta!!!

equazione dimensionale [v] = [d][Δt] -1 = [L][T] -1

13

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Altre grandezze derivateAltre grandezze derivate

areeTriangolo: 1/2 base x altezzaParallelogramma: base x altezzaCerchio: p x raggio al quadrato

Le dimensioni [S] = [L2]L’unità di misura il m2. Il campione: un quadrato di lato 1 m.

VolumiParallelepipedo:Area di base x altezzaSfera: 4/3 p x raggio al cubo

Le dimensioni [V] = [L3]L’unità di misura il m3. Il campione: un cubo di spigolo 1 m.

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I Vettori

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Grandezze scalari e vettoriali

Grandezza scalare: univocamente determinata dal suo modulo ed unità di misura (il volume (V), la temperatura (T), la pressione (P)..etc)

Grandezza vettoriale: univocamente determinata dal modulo, direzione e verso (la velocità (v, opp. ) l’accelerazione (a), la forza (f), la quantità di moto (p), etc..)

Aρ

Bρ A e B sono due vettori uguali: se

paralleli, cioè stessa direzione e verso, e con stesso modulo.

vρ

14

40

Operazione con vettori: somma Operazione con vettori: somma

bacρρρ

+=

aρ

bρbac

ρρρ+=

L’operazione di somma è commutativa!!

Regola del parallelogramma:

abba ρρρρ+=+

Somma delle componenti

zzz

yyy

xxx

bac

bacbac

+=

+=+=

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Operazione con vettori: differenza Operazione con vettori: differenza

( )babacρρρρρ

−+=−=

aρ

bρ

bacρρρ

+=

Sottrarre un vettore b ad a equivale a sommare al vettore a il vettore opposto di b ossia -b

bρ

−bacρρρ

−=

bacρρρ

−=

Regola del parallelogramma

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Componenti di un vettoreComponenti di un vettoreLe componenti di un vettore Le componenti di un vettore AA si ottengono proiettando il vettore su due o si ottengono proiettando il vettore su due o pipiùù rette che non siano parallele fra loro. rette che non siano parallele fra loro. Se le rette sono orientate come gli assi di un sistema di coordiSe le rette sono orientate come gli assi di un sistema di coordinate cartesiane, nate cartesiane, le proiezioni si chiamano le proiezioni si chiamano componenti cartesiane del vettorecomponenti cartesiane del vettore. .

y

x

xAρ

yAρ

x

y

yx

yx

AA

AAA

AAA

1

22

tan−=Φ

+==

+=

A

ρρρ

Aρ

iρ

jρ

Φ

Ax = AcosΦ

Ay = AsenΦ

Nel piano

15

43

I versori

kAjAiAA zyx

ρρρρ++=

yO

Aρ

iρ Ax

Ay

Az

Versore: vettore di modulo unitario

jρ

kρ

44

Prodotto di un vettore per uno Prodotto di un vettore per uno scalarescalare

( ) ( )( ) ( )yy

xx

AkAk

AkAk

AkAk

Ak

=

=

=

ρ

ρ

ρρ

ρy

x

Aρ

iρ

jρ

A2ρ

k = 2

Sia k un numero reale qualunque

La direzione non cambia!!

45

ProdottoProdotto scalarescalare

Il Il prodottoprodotto scalarescalare didi due due vettorivettori aa e e bb èè unauna grandezzagrandezza scalarescalare!!!!

αcosabba =⋅ρρ

aρ

bρ

α

aρ

bρ

α

b cosα aρ

bρ

α

a cosαSi può ottenere moltiplicando a per la proiezione

di b nella direzione di a oppure, come prodotto di b per la proiezione di a su b

In coordinate cartesiane:

È commutativoabba ρρρρ

⋅=⋅

zzyyxx babababa ++=⋅ρρ

16

46

Modulo

Direzione: ortogonale al piano definito da a e b

Verso: di avanzamento di una vite che ruota concordemente ad a che si sovrappone a b

Non è commutativo:

In coordinate cartesiane:

ProdottoProdotto vettorialevettoriale

αabsenba =×ρρ

baρρ

×

abba ρρρρ×−=×

Il prodotto vettoriale di due vettori a e b è una grandezza vettoriale!!

aρ

bρ

α

baρρ

×

xyyxz

zxxzy

yzzyx

babaAbabaA

babaA

−=

−=

−=

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Prodotto scalare e vettoriale: casi particolari

φ = 0°b→

φ = 180°a→

→b

φ = 90°b→

a

→

00 ==× absenbaρρ

ababsenba ==× 90ρρ

0801 ==× absenbaρρ

ababba ==⋅ 0cosρρ

090cos ==⋅ abbaρρ

ababba −==⋅ 081cosρρ

a

→

Definizione di cinematicaDefinizione di cinematica•• La cinematica descrive il moto di un La cinematica descrive il moto di un

oggetto senza specificarne le cause oggetto senza specificarne le cause

•• Noi assumeremo che lNoi assumeremo che l’’oggetto che si muove oggetto che si muove èè una particella o una particella o èè assimilabile ad essa.assimilabile ad essa.

•• Il moto di Il moto di una particella una particella èè completamente completamente determinato se determinato se èè nota la sua posizione ad nota la sua posizione ad ogni istanteogni istante t.t.

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SISTEMI DI RIFERIMENTOSISTEMI DI RIFERIMENTOIl moto Il moto èè relativorelativoOgni moto va studiato dopo avere fissato un Ogni moto va studiato dopo avere fissato un sistema di riferimento, ciosistema di riferimento, cioèè un punto di vista un punto di vista da cui osservare il fenomenoda cui osservare il fenomenoUn sistema di riferimento Un sistema di riferimento èè rappresentato da rappresentato da una terna di assi cartesianiuna terna di assi cartesiani

LaLa traiettoriatraiettoria di un di un punto materiale punto materiale èèll’’insieme delle posizioni insieme delle posizioni occupate dal punto occupate dal punto materialemateriale

z

• Il moto di un punto materiale può essere descritto fornendo la dipendenza dal tempo del vettore posizione r = r, che individua la posizione del punto stesso rispetto ad un sistema di assi cartesiani.

L’insieme dei punti dello spazio, occupati dal punto materiale durante il suo moto, è detto traiettoria.

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La relazione che esprime la dipendenza del La relazione che esprime la dipendenza del vettore posizione in funzione del tempo vettore posizione in funzione del tempo r=rr=r(t)(t) èè detta detta equazione oraria del motoequazione oraria del moto ..

•• In generale lIn generale l’’equazione oraria del moto equazione oraria del moto èèun sistema di tre equazioni, una per ogni un sistema di tre equazioni, una per ogni coordinata cartesiana:coordinata cartesiana:

x(t) = x(t) = ffxx (t)(t)y(t) = y(t) = ffyy (t)(t) = = rr(t)(t)z(t) = z(t) = ffzz (t)(t)

Tali equazioni sono indipendenti.Tali equazioni sono indipendenti.

EquazioneEquazione orariaoraria. .

LA VELOCITALA VELOCITA’’

La velocitLa velocitàà èè una grandezza vettoriale definita comeuna grandezza vettoriale definita comerapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlopercorrerloV = V = ΔΔss//ΔΔtt = (s = (s –– ss00)/(t )/(t –– tt00))

Dove sDove s00 èè lo spazio percorso alllo spazio percorso all’’istante tistante t00 ed s lo spazio ed s lo spazio percorso allpercorso all’’istante t.istante t.LL’’unitunitàà di misura nel S.I. di misura nel S.I. èè il m/sil m/s

Un moto si dice rettilineo uniforme quando il corpo percorre spaUn moto si dice rettilineo uniforme quando il corpo percorre spazi zi uguali in uguali intervalli di tempo, muovendosi in linea rettauguali in uguali intervalli di tempo, muovendosi in linea rettaIn questo caso la velocitIn questo caso la velocitàà èè costantecostanteLL’’equazione oraria di questo tipo di moto, cioequazione oraria di questo tipo di moto, cioèè la relazione esistente la relazione esistente tra spazio e tempo, tra spazio e tempo, èè del tipo:del tipo:

S = S = vtvt + s+ so o (assumendo t(assumendo t00 = 0)= 0)Il grafico spazioIl grafico spazio--tempo tempo èè una rettauna retta

MOTO RETTILINEO MOTO RETTILINEO UNIFORMEUNIFORME

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Moto in una dimensioneMoto in una dimensione• Si definisce vettore spostamento il vettore

che individua la variazione di posizione della particella.

• In una dimensione lo spostamento è un segmento orientato Δx = (xf – xi.)

• Si definisce velocità media il vettore dato dal rapporto tra il vettore spostamento e l’intervallo di tempo durante il quale tale spostamento è avvenuto:

• Il modulo della velocità media e’ pari alla pendenza della retta che congiunge i punti iniziale e finale del grafico dell’equazione oraria.

x̂

xttxx

if

if ˆtxvx −

−=

ΔΔ

=ρ

ρ

• La velocità media (ed il vettore spostamento) non forniscono informazioni sui dettagli del moto.

• Si definisce velocità istantanea il limite del rapporto tra il vettore spostamento Δx e l’intervallo di tempo corrispondente Δt , quando tale intervallo tende a zero:

• Il modulo della velocità istantanea è data dalla pendenza della retta tangente il grafico dell’equazione oraria, nell’istante t considerato.

• La direzione della velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria.

Moto in una dimensioneMoto in una dimensione VelocitVelocitàà istantaneaistantanea

tx

txlim v

0tx ddρρ

ρ=

ΔΔ

=→Δ

Dalla pendenza del grafico si può risalire al valore della Dalla pendenza del grafico si può risalire al valore della velocitvelocitàà

Basta infatti determinare il coefficiente angolare della rettaBasta infatti determinare il coefficiente angolare della retta

Attenzione:Attenzione:Non confondete pendenza con inclinazione della retta, Non confondete pendenza con inclinazione della retta,

questquest’’ultima dipende infatti solo dalla scala scelta.ultima dipende infatti solo dalla scala scelta.

20

MOTO VARIOMOTO VARIO

Un moto Un moto èè vario se la velocitvario se la velocitàà non non èè costantecostante

In questo caso parliamo di In questo caso parliamo di velocitvelocitàà mediamedia come rapporto tra lo spazio come rapporto tra lo spazio percorso e lpercorso e l’’intervallo di tempo impiegato a percorrerlointervallo di tempo impiegato a percorrerlo

VVmm = = ΔΔ s/s/ΔΔ tt

Il diagramma non sarIl diagramma non saràà chiaramente una chiaramente una retta ma una curvaretta ma una curva

Considerando la pendenza della secante Considerando la pendenza della secante la curva nei vari intervalli di tempo la curva nei vari intervalli di tempo potremo determinare la velocitpotremo determinare la velocitàà mediamediaSe consideriamo un intervallo di tempo Se consideriamo un intervallo di tempo tendente a zero potremo determinare la tendente a zero potremo determinare la velocitvelocitàà istantanea istantanea

La pendenza della tangente la curva nel La pendenza della tangente la curva nel punto corrispondente lpunto corrispondente l’’istante istante considerato ci darconsiderato ci daràà il valore della il valore della velocitvelocitàà istantaneaistantanea

s

t

Vi

Vm

tsv

t ΔΔ

=→Δ

lim0

ACCELERAZIONEACCELERAZIONE

LL’’accelerazione accelerazione èè una grandezza vettoriale definita come la una grandezza vettoriale definita come la variazione variazione di velocitdi velocitàà in un certo intervallo di tempoin un certo intervallo di tempo

a = a = ΔΔ v/v/ΔΔ t (1)t (1)

LL’’unitunitàà di misura di misura èè il m/sil m/s2 2

Ricorda che: spostamento, velocitRicorda che: spostamento, velocitàà ed accelerazione hanno nel moto ed accelerazione hanno nel moto rettilineo la stessa direzione rettilineo la stessa direzione

vs

a

21

MOTO UNIFORMEMENTE MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATOACCELERATO

Un moto si dice uniformemente accelerato se lUn moto si dice uniformemente accelerato se l’’accelerazione accelerazione èècostantecostanteLa velocitLa velocitàà èè direttamente proporzionale al tempodirettamente proporzionale al tempoIl grafico velocitIl grafico velocitàà--tempo sartempo saràà una retta una retta

v

v0

t

velocità- temponel moto uniformemente accelerato

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5 6 7

tempo (s)

velo

cità

(m/s

)

Serie1

Dalla relazione (1) ricaviamo Dalla relazione (1) ricaviamo V = vV = vo o + at+ at

se la velocitse la velocitàà anzichanzichéé aumentare diminuisce laumentare diminuisce l’’accelerazione accelerazione sarsaràà negativa e quindinegativa e quindi

V = vV = vo o -- atat

22

LL’’equazione oraria del moto uniformemente accelerato equazione oraria del moto uniformemente accelerato èèS = vS = vo o t + t + ½½ a ta t2 2

Il grafico spazioIl grafico spazio--tempo sartempo saràà rappresentato da un arco di parabolarappresentato da un arco di parabola

spazio-tempo nel moto uniformemente accelerato

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6

tempo (s)

spaz

io (m

)

Serie1

Moto in una dimensioneMoto in una dimensione AccelerazioneAccelerazioneL’ accelerazione e’ la derivata rispetto al tempo della velocità.

23

Lo spazio può essere Lo spazio può essere ottenuto anche come area ottenuto anche come area sottesa al diagramma sottesa al diagramma velocitvelocitàà tempotempo

v

tt0 t

v

Moto uniformementeMoto uniformementeacceleratoaccelerato

x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2

v(t) = v0 + a t

a(t) = a

G. Pugliese, corso di Fisica Generale 69

Applicazione: accelerazione di gravità

Se trascuriamo l’attrito con l’aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanzadella superficie terrestre si muove verso il basso con una accelerazione costantepari a circa 9. ms-2

24

CADUTA LIBERACADUTA LIBERA

La caduta libera di un grave, cioLa caduta libera di un grave, cioèè in assenza di attrito, in assenza di attrito, èè un caso un caso particolare di moto uniformemente accelerato in cui lparticolare di moto uniformemente accelerato in cui l’’accelerazione accelerazione èè quella di gravitquella di gravitàà

g = 9,81 m/sg = 9,81 m/s22

Le equazioni di tale moto sono:Le equazioni di tale moto sono:v = v = gtgt s = s = ½½ g tg t22

Nel caso di un corpo lanciato verso lNel caso di un corpo lanciato verso l’’altoaltov = vv = voo-- gtgt s = vs = vo o t t –– ½½ gtgt22

MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMOTO CIRCOLARE UNIFORME

La velocitLa velocitàà nel moto circolare nel moto circolare uniforme uniforme èè costante in costante in modulo;modulo;La sua direzione La sua direzione èè tangente la tangente la traiettoria;traiettoria;Il modulo Il modulo èè dato da :dato da :

Dove T Dove T èè il periodoil periodo

v

Tr2v π

=

ac

Che si può anche scrivere: Che si può anche scrivere: v =2v =2ππrrνν

Dove Dove ν ν èè la frequenzala frequenzaLa velocitLa velocitàà angolare angolare èè definita come:definita come:

Dove Dove αα èè ll’’angolo spazzato dal raggio nel angolo spazzato dal raggio nel tempo t, quindi:tempo t, quindi:

tαω =

πνπω 22==

T

25

La velocitLa velocitàà angolare angolare èè un un vettore perpendicolare al vettore perpendicolare al piano della traiettoria e piano della traiettoria e verso testaverso testa--punta di una punta di una vite destrorsa che si avvita vite destrorsa che si avvita nel verso del motonel verso del moto

v = v = ω ω rrLL’’accelerazione centripeta, accelerazione centripeta, ciocioèè diretta verso il centro diretta verso il centro del moto del moto èè data da:data da:

aacc = = ωω22r =vr =v22/r/r

ω

v

ac

MOTO PARABOLICOMOTO PARABOLICO

èè la composizione di la composizione di un moto rettilineo un moto rettilineo uniforme orizzontale e uniforme orizzontale e di un moto di un moto uniformemente uniformemente accelerato verticaleaccelerato verticaleLa sua equazione La sua equazione oraria oraria èè

2202

xvgy =

v0

Se il lancio avviene con Se il lancio avviene con una velocituna velocitàà iniziale iniziale obliqua , il moto obliqua , il moto orizzontale sarorizzontale saràà rettilineo rettilineo uniforme con velocituniforme con velocitàà vv0x0xcostante e quello verticale costante e quello verticale sarsaràà uniformemente uniformemente decelerato con decelerato con accelerazione accelerazione --g costante e g costante e velocitvelocitàà iniziale viniziale v0y0y

v0

v0x

v0yv0x

v0x

v0y

26

Se Se vvxx e e vvyy sono le componenti della velocitsono le componenti della velocitàà in in un generico istante un generico istante tt

⎩⎨⎧

−==

gtvvvv

yy

xx

0

0

•Le componenti dello spazio lungo gli assi saranno

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

20

0

21 gttvy

tvx

y

x

Ricavando Ricavando tt dalla prima e sostituendo nella seconda dalla prima e sostituendo nella seconda si ottiene lsi ottiene l’’equazione oraria del moto equazione oraria del moto

Che rappresenta lChe rappresenta l’’equazione di una parabolaequazione di una parabolaPonendoPonendo y = 0y = 0 si ottiene la distanza tra il punto di si ottiene la distanza tra il punto di lancio e quello di arrivo, ciolancio e quello di arrivo, cioèè la la gittata:gittata:

2200

0

2x

vgx

vv

yxx

y −=

gvv

G yx 002=

11aa leggelegge di Keplero di Keplero o legge delle orbiteo legge delle orbite

Tutti i pianeti si muovonoTutti i pianeti si muovonosu orbite ellittiche, di cui il Solesu orbite ellittiche, di cui il Soleoccupa uno dei due fuochioccupa uno dei due fuochi

1 Legge

27

Il segmento che collega un pianeta Il segmento che collega un pianeta al Sole descrive (spazza) aree uguali al Sole descrive (spazza) aree uguali in tempi ugualiin tempi uguali

dA/dA/dt=costdt=cost..

22aa leggelegge di Keplero di Keplero o legge delle areeo legge delle aree

2 Legge

33aa leggelegge di Keplero di Keplero o legge dei periodio legge dei periodi(*)(*)

Il quadrato del periodo di qualunque pianeta èproporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole

T2= k r3

(*) Chiamata anche legge armonica

3 Legge

Il problema fisicoIl problema fisicoIl problema fisico

Fu quello di stabilire la Fu quello di stabilire la ““struttura fisicastruttura fisica”” delledelleleggi del leggi del moto dei pianeti moto dei pianeti cheche orbitanoorbitano intorno al Soleintorno al Sole

Struttura fisicaStruttura fisica significa, qui, individuazione delle significa, qui, individuazione delle grandezze fisiche grandezze fisiche che intervengono nel fenomenoche intervengono nel fenomeno

Individuazione delle Individuazione delle equazioniequazioni che regolano il moto, e del che regolano il moto, e del ruoloruolo che queste ultime giocano nel processo di che queste ultime giocano nel processo di comprensione della comprensione della stabilitstabilitàà delldell’’universouniverso

Le Le grandezze fisichegrandezze fisiche in gioco sono:in gioco sono:

A, dA/A, dA/dtdt, L, m, M, v, , L, m, M, v, ωω, p, T, r, G, p, T, r, G

28

Due ragioni del perché Kepleroscelse come orbita l’ellisse

Due ragioni del perchDue ragioni del perchéé KepleroKepleroscelse come orbita lscelse come orbita l’’ellisseellisse

Keplero trascorse tanto tempo studiando, con i dati di Tycho, l’orbita di Marte, che rivelava essere tutt’altro che una circonferenza.

Alcuni punti del cerchio non collimavano con i dati di Tycho:

Keplero rilevò uno scostamento di 8’ di arco dalle osservazioni di Brahe.

Keplero sapeva che Brahe era stato un osservatore troppo accurato per poter commettere un errore di 8’! Quindi…..

Keplero trascorse tanto tempo studiando, con i dati di Tycho, l’orbita di Marte, che rivelava essere tutt’altro che una circonferenza.

Alcuni punti del cerchio non collimavano con i dati di Tycho:

Keplero rilevò uno scostamento di 8’ di arco dalle osservazioni di Brahe.

Keplero sapeva che Brahe era stato un osservatore troppo accurato per poter commettere un errore di 8’! Quindi…..

Due ragioni del perché Kepleroscelse come orbita l’ellisse

Due ragioni del perchDue ragioni del perchéé KepleroKepleroscelse come orbita lscelse come orbita l’’ellisseellisse

L’ellisse è una sezione conica, il cui contorno è il risultato del taglio trasversale di un cono circolare.

La forma di questo contorno dipende dall’ inclinazione del taglio rispetto alla base del cono.

La forma ottenuta è circolare se, e solo se, il taglio viene effettuato parallelamente alla base del cono.

Per Keplero ciò significava che la possibilitàche un pianeta percorresse un’orbita circolare era praticamente nulla, cioè 1/∞!

L’ellisse è una sezione conica, il cui contorno è il risultato del taglio trasversale di un cono circolare.

La forma di questo contorno dipende dall’ inclinazione del taglio rispetto alla base del cono.

La forma ottenuta è circolare se, e solo se, il taglio viene effettuato parallelamente alla base del cono.

Per Keplero ciò significava che la possibilitàche un pianeta percorresse un’orbita circolare era praticamente nulla, cioè 1/∞!

Il moto di un pianetaIl moto di un pianetaIl moto di un pianeta

La figura mostra La figura mostra un un pianeta dipianeta dimassamassa mm

che si muove su che si muove su unun’’orbita orbita ellitticaellitticaintorno al Sole che intorno al Sole che ha la massa ha la massa MM((M>>mM>>m))

29

La 2a legge in forma schematicaLa 2a legge in forma schematicaLa 2a legge in forma schematica

La 2a legge in termini qualitativiLa 2a legge in termini qualitativiLa 2a legge in termini qualitativi

La 2a legge afferma che il pianeta si muove:più lentamente quando è piùlontano dal Sole (afelio)più rapidamente quanto piùè vicino al Sole (perielio)

La La 22aa leggelegge afferma che il pianeta si muove:afferma che il pianeta si muove:pipiùù lentamentelentamente quando quando èè pipiùùlontano dal Sole (afelio)lontano dal Sole (afelio)pipiùù rapidamenterapidamente quanto piquanto piùùèè vicino al Sole (perielio)vicino al Sole (perielio)

equazione del moto: d x td t

x t2

22( ) ( )= − ω

soluzione: x t A t( ) s i n ( )= +ω φ

ω=2π/ Τ T : periodo, ω = pulsazioneA: ampiezza, φ : fase

MotoMoto armonicoarmonico::

30

x t X t( ) s i n ( )= 0 ω

spostamento:

velocità:

v t dx tdt

X t

( ) ( )

cos( )

≡ =

= 0ω ω

a t dv tdt

X t

x t

( ) ( )

sin( )

( )

≡ =

= − =

= −0

2

2

ω ω

ω

accelerazioneaccelerazione::

i) moto di un punto materiale di massa m sotto l’azione di una “forza elastica”:

F = -k x ux

x≡0. (posizione di equilibrio)

x

Fx < 0.Fx = -k x > 0.

F

x≡0.x

Legge di Newton: F = m a Fx = m ax

− =k x t m d x td t

( ) ( )2

2d x t

d tx t

2

22( ) ( )= − ω

ω ≡ √ k/m

EsempiEsempi didi motomoto armonicoarmonico::

x > 0.Fx = -k x < 0.

con:

In un piano verticale sotto l’azione della forza peso mg , per piccole oscillazioniintornoalla posizione di equilibrio (asse verticale):

mg T

θ

ma = Ftot = mg + τ

mτ

θ

Proiezione sull’asse tangente T:

maT = mg sin θ

l

m d s td t

m g t2

2( ) s i n ( )= θ

dθl − =m l d t

d tm g t

2

2θ

θ( ) s i n ( )

Per piccole oscillazioni: sinθ≈ θ

d td t

t2

22θ

ω θ( ) ( )= − ω≡ √g/l

““PendoloPendolo semplicesemplice””

con:

a

2

2

2

2 )()(dt

tddt

tsd ϑλ−=

Vale la relazione geometrica: ds = - l dθ

ds

Pertanto:

31

d td t

t2

22θ

ω θ( ) ( )= −

θ θ ω ϕ( ) s i n ( )t t= +0

Periodo:T

g= ≡

2 2πω

π λ

indipendente dalla massa m del pendolo:“isocronismo” del moto;dalla misura di T ⇒ determinazione di g

Moto di un pendolo semplice per piccole oscillazioni:

Legge oraria del moto del pendolo :

Legge oraria:

spostamento: x t X t( ) s i n ( )= +0 ω φvelocità: v t d x t

d tX t( ) ( ) c o s ( )≡ = +0 ω ω φ

Energia cinetica:

[ ]E t m v m X tk ( ) c o s ( )≡ = +12

12

202 2 2ω ω φ

Energia potenziale:

[ ]E t F x d x k x k X tp

x

( ) ( ' ) ' s i n ( )≡ − = = +∫0

202 21

212

ω φ

EnergiaEnergia in un in un motomoto armonicoarmonico

E(t)

t