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Grandezze fisiche

Grandezza fisica

Per descrivere qualitativamente e quantitativamente un fenomeno naturale

attribuiamo delle proprietà a quelle entità che partecipano al fenomeno stesso. Ad

esempio un corpo ha una massa, una temperatura, una velocità, occupa una posizione

etc. Queste proprietà vengono chiamate grandezze. Le grandezze fisiche sono

proprietà del corpo che hanno una caratteristica: quella di essere misurabili.

Durante l’evoluzione del fenomeno naturale, le grandezze fisiche che descrivono le

proprietà dei corpi subiscono delle variazioni a causa di interazioni con l’ambiente,

che sono descritte da altre grandezze fisiche, quali ad esempio forze, lavoro o scambi

energetici. Le leggi fisiche sono relazioni causa-effetto perché legano le grandezze

d’interazione (causa) con le variazioni delle grandezze fisiche proprietà del corpo

(effetto).

Sistema Internazionale d’Unità di Misura

Partendo da alcune grandezze fisiche definite come specificato precedentemente e

che vengono dette grandezze fisiche fondamentali, possiamo definire, utilizzando

definizioni e leggi fisiche, nuove grandezze fisiche che vengono dette grandezze

fisiche derivate.

Vi è una certa arbitrarietà nella scelta delle grandezze fisiche di base e, una volta

fissate tali grandezze fisiche fondamentali, vi è una certa arbitrarietà nella scelta delle

unità di misura.

Quando si fissano le grandezze fisiche di base e le corrispondenti unità di misura si è

scelto un sistema di unità di misura. Una volta fissato tale sistema sono

automaticamente fissate le unità di misura delle grandezze derivate.

Il Sistema Internazionale d’Unità di misura è costituito da 7 grandezze di base

indicate nella tabella 1.1 unitamente al nome delle loro unità di misura e al relativo

simbolo.

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Tabella 1.1. Unità SI di base

Grandezza Unità

Nome Simbolo

Lunghezza Metro M

Massa Chilogrammo Kg

Tempo Secondo S

Intensità di corrente

elettrica

Ampere A

Temperatura Kelvin K

Quantità di sostanza Mole Mol

Intensità luminosa Candela Cd

Accanto alle sette unità fondamentali vengono definite due unità supplementari: il

radiante (rad) e lo steradiante (sr). Il radiante è l’unità di angolo piano ovvero è

quell’angolo piano con il vertice nel centro della circonferenza che sottende un arco

uguale al raggio. Lo steradiante è l’unità di angolo solido.

Poiché in certi casi le unità risultano sconvenienti da usare perché troppo grandi o

troppo piccole, il S.I. prevede anche l’esistenza di multipli e sottomultipli che

seguono la scala decimale. Il prefisso che individua il multiplo e il sottomultiplo, il

fattore corrispondente e il simbolo da anteporre senza interspazio al simbolo

dell’unità sono indicate nella tabella 1.2

Tabella 1.2. Prefissi dei multipli e sottomultipli delle unità SI

Fattore Prefisso Simbolo Fattore Prefisso Simbolo

1018 exa E 10-1 Deci d

1015 peta P 10-2 Centi c

1012 tera T 10-3 Milli m

109 giga G 10-6 Micro μ

106 mega M 10-9 Nano n

103 chilo k 10-12 Pico p

102 etto h 10-15 Femto f

10 deca da 10-18 Atto a

Le definizioni operative e le unità di misura delle grandezze derivate si ottengono

utilizzando le unità di misura delle grandezze di base e le relazioni algebriche tra

ognuna delle grandezze derivate e quelle fondamentali. In tabella 1.3 vengono

elencate alcune grandezze derivate e le corrispondenti unità di misura mentre nella

tabella 1.4 vengono riportate alcune grandezze le cui unità di misura hanno un nome

particolare.

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Tabella 1.3 Alcune grandezze derivate e loro unità di misura

Grandezza Simbolo Unità Grandezza Simbolo Unità

Superficie A m2 Accelerazione A m s-2

Volume V m3 Periodo T s

Densità ρ kg m-3 Viscosità Η N m-2 s

Velocità v m s-1 Calore

specifico

C J kg-1K-1

Velocità

angolare

ω rad s-1 Entropia S J K-1

Tabella 1.4 Alcune grandezze derivate con unità di misura a denominazione speciale

Grandezza Unità Simbolo Grandezza Unità Simbolo

Forza newton N Carica elettrica coulomb C

Energia e

lavoro

joule J Potenziale

elettrico

Volt V

Pressione pascal Pa Capacità

elettrica

Farad F

Potenza watt W Resistenza

elettrica

Ohm Ω

Molto spesso, nonostante l’esistenza di unità SI per tutte le grandezze, si preferisce

l’impiego di alcune unità particolari. Nella tabella 1.5 sono riportate alcune di tali

unità con relativi simboli e corrispondenti fattori di conversione con le unità del SI

Tabella 1.5 Unità di misura legali a tempo indeterminato

Grandezza Unità Simbolo Fattore di conversione

SI

Angolo piano gradi sessagesimali ° (π/180) rad

Energia elettronvolt eV 1.6022∙10-19 J

Massa unità di massa

atomica

tonnellata

u

t

1.6606∙10-27 kg

103 kg

Pressione bar bar 105 Pa

Tempo

minuto

ora

giorno

min

h

d

60 s

3600 s

8.6∙104 s

Volume litro l, L 10-3 m3

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Grandezze scalari e vettoriali

Per definire una grandezza fisica bisogna dare uno scalare ossia un numero seguito

dall’unità di misura. Le grandezze fisiche, quali ad esempio temperatura, massa, che

sono completamente determinate da uno scalare vengono chiamate grandezze scalari.

Vi sono tuttavia fenomeni naturali quali l’azione che due forze mutuamente

perpendicolari esercitano su un corpo, le rotazioni di un corpo rigido, che non

possono essere spiegati ammettendo che le grandezze che vi compaiono siano scalari,

ma solo facendo l’ipotesi che esistano grandezze che vi siano in natura grandezze

definibili mediante due o più scalari se si utilizza un riferimento cartesiano, o, da un

modulo, da una direzione e da un verso se si utilizzano le coordinate polari. In ogni

caso, indipendentemente dal sistema di riferimento adottato queste grandezze non

sono definibili mediante un solo scalare. Le grandezze che hanno queste proprietà

vengono chiamate grandezze vettoriali o più semplicemente vettori e sono piuttosto

numerose. La posizione di un punto materiale, la velocità, la forza, il campo elettrico,

il momento di dipolo magnetico sono alcuni esempi delle numerose grandezze

vettoriali che verranno analizzate durante le lezioni.

Un vettore viene rappresentato da un segmento orientato: la lunghezza del segmento,

misurata in una certa scala è il modulo del vettore, mentre la retta alla quale

appartiene il segmento e il verso della freccia ne indicano la direzione e il verso. Un

vettore libero è completamente definito dalle tre caratteristiche sopraelencate e quindi

vettori liberi uguali aventi cioè lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso,

rappresentano la stessa grandezza fisica indipendentemente dalla posizione in cui

vengono collocati. Un vettore applicato invece è un segmento orientato di cui è stata

fissata l’ubicazione nello spazio. Le grandezze vettoriali sono indicate da una lettera

con sopra una freccia oppure scritta in grassetto. Per evidenziare il modulo si usa

semplicemente la lettera oppure la lettera con sopra una freccia o scritta in grassetto

racchiusa da due tratti verticali. Ad esempio 𝒂 rappresenta un vettore mentre il suo

modulo viene scritto |𝒂| oppure a o anche |�⃗�|. Occorre ora definire le regole per operare con i vettori.

Operazioni con i vettori

Prodotto di uno scalare per un vettore.

Moltiplicando un vettore a per uno scalare m, si ottiene un vettore 𝒃 = 𝑚 𝒂 avente:

modulo: 𝑏 = |𝑚|𝑎 ; direzione: stessa direzione di a ; verso: stesso verso di a se m è

positivo, verso opposto a quello di a se m è negativo.

Somma di vettori

Per sommare due vettori 𝒂 e 𝒃 occorre traslare il segmento orientato che rappresenta

il vettore 𝒃, fino a far coincidere la sua origine con l’estremo libero del primo.

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b

a a + b

Il vettore somma si ottiene congiungendo l’origine del primo vettore con l’estremo

libero del secondo. Praticamente bisogna costruire un parallelogramma avente per lati

i vettori da sommare. Il vettore somma è la diagonale maggiore di detto

parallelogramma.

La somma di due vettori gode della proprietà commutativa

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 .

La somma di due vettori a e b ha modulo

|𝒂 + 𝒃| = √𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 cos 𝜃

dove θ è l’angolo compreso tra a e b.

Differenza di vettori. La differenza b – a di due vettori è definita come la somma del primo con l’opposto

del secondo, ossia è

𝒃 − 𝒂 = 𝒃 + (−𝒂)

Quindi la differenza di due vettori viene trasformata in una somma.

Praticamente per fare la differenza di due vettori bisogna cambiare verso al secondo

vettore e sommarlo vettorialmente con il primo.

Prodotto scalare

Si definisce prodotto scalare di due vettori a e b lo scalare

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑏 cos 𝜃 dove 𝜃 ≤ 𝜋 è l’angolo compreso fra i due vettori. Il prodotto scalare è nullo quando è

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nullo uno almeno dei due vettori oppure i due vettori sono fra loro perpendicolari e

viceversa.

Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂

Prodotto vettoriale

Si definisce prodotto vettoriale di due vettori a e b il vettore 𝒂 × 𝒃 avente le seguenti

caratteristiche:

modulo: |𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏 sin 𝜃 ove 𝜃 ≤ 𝜋 è l’angolo compreso fra i due vettori.

Tenendo presente che il prodotto 𝑎 sin 𝜃 è l’altezza del parallelogramma di lati

a e b, il modulo del prodotto vettoriale è l’area di detto parallelogramma;

direzione: perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b;

verso: i vettori 𝒂 × 𝒃, a, b devono formare una terna destra ossia disposti

indice e medio della mano destra come a e b, il pollice diretto

perpendicolarmente ad essi indica il verso di 𝒂 × 𝒃. Il prodotto vettoriale è

nullo quando è nullo uno almeno dei vettori oppure i vettori sono fra loro

paralleli e viceversa.

Componenti cartesiane di un vettore

Proiettiamo un vettore a, lungo due direzioni fra loro perpendicolari che assumeremo

come assi x ed y, ossia mandiamo le perpendicolari dall’estremo libero del vettore ai

due assi.

Le proiezioni 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 del vettore vengono chiamate le componenti scalari (cartesiane)

del vettore (o più semplicemente componenti). Geometricamente, nel caso il vettore

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sia posizionato la sua origine nell’origine del sistema di riferimento, esse

rappresentano le coordinate cartesiane del punto A estremo del vettore Le

componenti possono essere calcolate considerando il triangolo rettangolo OAB .Si

hanno infatti le seguenti relazioni

𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑎𝑦 = 𝑎 sin 𝜃

ove 𝜃 è l’angolo formato dal vettore 𝒂 con l’asse positivo delle ascisse. Le

componenti 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 possono essere quindi positive o negative a seconda del quadrante

in cui si trova l’estremo del vettore. Se il vettore ha la direzione di un asse, la

componente lungo tale asse è il modulo del vettore con il segno positivo o negativo

secondo che il verso del vettore sia concorde o discorde con quello dell’asse.

Poiché 𝑎 e 𝜃 sono le coordinate polari di 𝒂 nel riferimento avente polo il punto O

(0,0) e asse polare quello delle ascisse, le relazioni precedenti forniscono un legame

tra coordinate cartesiane e polari di un vettore e permettono il calcolo delle

coordinate cartesiane se si conoscono quelle polari. Viceversa, dalle suddette

equazioni si possono ricavare le componenti polari note quelle cartesiane. Infatti

quadrando e sommando tali equazioni si ottiene

𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2

e dividendo la componente cartesiana y per quella lungo l’asse x si ottiene

tan 𝜃 =𝑎𝑦

𝑎𝑥

Operazioni con le componenti cartesiane dei vettori

Le operazioni di somma, differenza, prodotto scalare e vettoriale di due vettori

possono essere espresse mediante le componenti cartesiane dei vettori.

Somma e differenza

Siano 𝒂 e 𝒃 i due vettori ed ( 𝑎𝑥, 𝑎𝒚) ( 𝑏𝑥, 𝑏𝒚) le rispettive componenti cartesiane. Il

vettore somma 𝒂 + 𝒃 ha componenti (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) e (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) ossia le componenti

cartesiane del vettore somma sono la somma delle componenti dei singoli vettori

relative ad uno stesso asse.

Facendo considerazioni analoghe si dimostra che le componenti cartesiane del

vettore differenza si si ottengono facendo la differenza delle componenti dei singoli

vettori relative ad uno stesso asse

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Prodotto scalare

Se 𝒂 e 𝒃 hanno componenti ( 𝑎𝑥, 𝑎𝒚) e ( 𝑏𝑥, 𝑏𝒚) il prodotto scalare 𝒂 ∙ 𝒃 si calcola

mediante le seguente espressione

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦

Prodotto vettoriale

Siano ( 𝑎𝑥, 𝑎𝒚) ( 𝑏𝑥 , 𝑏𝒚) le componenti dei vettori 𝒂 e 𝒃, il prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃

è un vettore diretto lungo l’asse z a avente componente

(𝒂 × 𝒃)𝒛 = 𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥

I risultati ottenuti nel caso bidimensionale si estendono facilmente al caso

tridimensionale

Legge fisica

Si è detto che una legge fisica è una relazione che lega le grandezze d’interazione con

le grandezze fisiche proprietà del corpi. Le più semplici leggi fisiche sono la

proporzionalità diretta e quella inversa. Due grandezze sono direttamente

proporzionali quando il loro rapporto è costante, mentre sono inversamente

proporzionali quando il loro prodotto è costante. Ogni legge fisica può essere

rappresentata graficamente in un sistema cartesiano riportando una grandezza in

ascisse e l’altra in ordinate. Nel caso della proporzionalità diretta si ottiene una retta,

mentre nel caso della proporzionalità inversa si ottiene un ramo di iperbole equilatera.

Nell’ambito della fisica medica sono molto importanti sia la funzione esponenziale

che quella logaritmica in quanto la prima rappresenta la legge con cui viene eliminato

un farmaco dal nostro organismo mentre la seconda è la legge con cui il nostro

sistema sensoriale risponde alle sensazioni esterne.

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Esercizi

Il Sistema Internazionale di Unità di Misura

1) Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a

a) 1015

b) 1012

c) 109

d) 106

e) 103

Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a 109

2) Nel Sistema Internazionale il prefisso milli equivale a

a) 10-12

b) 10-9

c) 10-6

d) 10-3

e) 10-2

Nel Sistema Internazionale il prefisso milli equivale a 10-3

3) L’unità di misura SI dell’angolo piano è

a) il grado sessagesimale

b) il grado centesimale,

c) il grado centigrado

d) il radiante

e) il metro

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura dell’angolo è il radiante

4) Un volume di un litro è equivalente a

a) 10-1 kg

b) 10-2 kg

c) 10-3 kg

d) 10-3 m3

e) 10-2 m3

10

E’

1 𝐿 = 10−3𝑚3 ossia il volume di un litro è equivalente a 10-3m3

5) Si considerino tre grandezze indicate con v, a ed s ed espresse rispettivamente in

metri al secondo (ms-1), metri al secondo quadrato (ms-2) e metri (m). Tenendo

presente le loro unità di misura, la relazione corretta tra le summenzionate

grandezze è

a) a = v / s

b) a = v / s2

c) a = v2 / s

d) a = (v/s)2

e) nessuna delle precedenti relazioni

Il secondo membro deve essere espresso in m s -2 perché tali sono le unità di misura

del primo. Analizzando le unità di misura delle possibili risposte si deduce che la

risposta corretta è v2/s. Le sue unità di misura sono infatti m2s-2m-1 = ms-2

6) Se la grandezza a viene misurata in metri (m) e la grandezza b in secondi (s), la

grandezza a+b è misurata in

a) ms-1

b) ms

c) m-1s

d) m-1s-1

e) le grandezze non si possono sommare perché non sono omogenee

La grandezza a + b non ha senso perché si possono sommare solo grandezze

omogenee.

7) Se una grandezza a viene misurata in metri (m) e la grandezza b in secondi (s), la

grandezza a/b è misurata in

a) ms-1

b) ms

c) m-1s

d) m-1s-1

e) le grandezze non si possono dividere perché non sono omogenee

Le unità di misura della grandezza a/b si ottengono dividendo le unità di misura di a

con quella di b. Si ottiene quindi ms-1

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8) Si consideri la relazione 𝑎 = 2−𝑏𝑡ove 𝑎 è una grandezza fisica adimensionale e 𝑡

è un tempo misurato in secondi (s). La grandezza 𝑏 deve essere espressa in

a) s

b) s-1

c) s-2

d) s2

e) adimensionale

Poiché l’esponente deve essere adimensionale, b deve avere come unità di misura s-1

9) Si consideri la relazione 𝑎 = log 𝑐 ove 𝑎 e 𝑐 sono grandezze fisiche. La

grandezza 𝑐 deve essere espressa in

a) m

b) m-1

c) kg

d) adimensionale

e) nessuna delle precedenti risposte

Poiché l’argomento del logaritmo deve essere un numero puro, c deve essere

adimensionale

10) Si consideri la relazione s = a + b c ove s ed a sono grandezze fisiche espresse

in metri (m). Se b viene espresso in m2, la grandezza c deve essere espressa in

a) m3

b) m – 3

c) m – 2

d) m – 1

e) m

Si possono sommare soltanto grandezze omogenee e quindi, poiché la grandezza a

viene espressa in metri (m), tale deve essere anche il prodotto bc. Di conseguenza,

essendo b espresso in m2, c deve essere espresso in m-1.

12

11) Si consideri l’espressione 𝑠 = 𝑣𝑞 𝑔⁄ ove 𝑠 è una grandezza fisica misurata in

m, 𝑣 in ms-1, e 𝑔 in ms-2. Affinché tale espressione sia dimensionalmente corretta,

il valore dell’esponente 𝑞 deve essere

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) nessuna delle precedenti risposte

Il secondo membro deve essere espresso in metri perché tali sono le unità del primo

membro. Sostituendo le unità di misura si ottiene

(𝑚𝑠−1)𝑞 ∙ (𝑚𝑠−2)−1 = 𝑚 ossia

𝑚𝑞−1 ∙ 𝑠2−𝑞 = 𝑚 Affinché questa relazione sia vera deve essere 𝑚𝑞−1 = 𝑚 oppure 𝑠2−𝑞 = 1 e

quindi, in ogni caso, si ha

𝑞 = 2

Conversione di unità di misura

12) La densità del mercurio è 13.546 g cm-3. Utilizzando le unità di base del S.I.

tale valore può essere espresso come

a) 135.46 kg m-3

b) 1354.6 kg m-3

c) 1354.6 kg m-3

d) 13546 kg m-3

e) 1.3546 kg m-3

Consideriamo le seguenti equivalenze 1 g = 10 – 3 kg 1 cm 3 = 10 – 6 m 3.

Dividendole membro a membro si ottiene 1 g cm-3 = 103 kg m – 3 . Di conseguenza

13.546 g cm-3 sono equivalenti a 13546 kg m – 3

13) La velocità di un’automobile è di 72 km h-1. Espressa mediante le unità di base

del S.I. è

a) 7.2 ms-1

b) 25.92 ms-1

c) 2.592 ms-1

d) 259.2 ms-1

e) 20 ms-1

13

Consideriamo le seguenti equivalenze

1 𝑘𝑚 = 10 3𝑚 1 ℎ = 3.6 ∙ 103𝑠 Dividendole membro a membro si ottiene

1 𝑘𝑚ℎ−1 =1

3.6𝑚𝑠−1

Di conseguenza

72 𝑘𝑚ℎ−1 =72

3.6𝑚𝑠−1

ossia

72𝑘𝑚ℎ−1 = 20 𝑚𝑠−1

14) Un intervallo temporale di anno (365 giorni) espresso mediante l’ unità del

S.I. è

a) 86400 s

b) 3.15 · 107 s

c) 2.59 · 106 s

d) 5.75 · 105 s

e) 6.11 · 105 s

Per ottenere un intervallo temporale di 365 giorni espresso in secondi occorre tenere

presente che

1 ℎ = 3.6 ∙ 103𝑠 1 𝑑 = 3.6 ∙ 103 ∙ 24𝑠 1 𝑦 = 365 𝑑 Si ha quindi

1 𝑦 = 365 ∙ 3.6 ∙ 103 ∙ 24𝑠 In notazione scientifica con tre cifre significative si ha

1 𝑦 = 3.15 ∙ 107𝑠

15) Una portata di 5 litri al minuto è espressa in unità SI da

a) 3.1 · 10 - 5 m3 s-1

b) 8.3 · 10 - 5 m3 s-1

c) 1.2 · 10 - 4 m3 s-1

d) 5.2 · 10 - 5 m3 s-1

e) 6.6 · 10 - 6 m3 s-1

Consideriamo le seguenti equivalenze

1𝐿 = 10−3𝑚3 1 min = 60 𝑠 Dividendole membro a membro si ottiene

1 𝐿𝑚𝑖𝑛−1 =1

6 ∙ 104𝑚3𝑠−1 = 1.667 ∙ 10−5 𝑚3𝑠−1

Quindi si ha 5 𝐿 𝑚𝑖𝑛−1 = 5 ∙ 1.667 ∙ 10−5 𝑚3𝑠−1 ossia, in notazione scientifica e

con tre cifre significative,

5 𝐿 𝑚𝑖𝑛−1 = 8.33 ∙ 10−5𝑚3𝑠−1

14

16) Un volume di 4.32 · 103 cm3 espresso mediante l’unità SI è

a) 4.32 · 10-3 m3

b) 4.32 · 10-2 m3

c) 4.32 m3

d) 4.32 · 106 m3

e) 4.32 · 109 m3

Poiché 1 𝑐𝑚3 = 10−6𝑚3, 4.32 ∙ 103𝑐𝑚3 sono equivalenti a 4.32 ∙ 103 ∙10−6𝑚3ossia a 4.32 ∙ 10−3𝑚3

Rappresentazione cartesiana di un vettore

17) Un vettore 𝒂 di modulo 40 forma con l’asse delle ascisse di un sistema di

riferimento cartesiano un angolo di 135°. Le sue componenti lungo gli assi di quel

sistema sono

a) 𝑎𝑥 = 20.4 𝑎𝑦 = −20.4

b) 𝑎𝑥 = −20.4 𝑎𝑦 = 20.4

c) 𝑎𝑥 = 20.4 𝑎𝑦 = 20.4

d) 𝑎𝑥 = −28.3 𝑎𝑦 = 28.3

e) 𝑎𝑥 = 28.3 𝑎𝑦 = −28.3

Un vettore di modulo 𝑎 che forma un angolo α con l’asse positivo delle ascisse ha

componenti cartesiane date da

𝑎𝑥 = 𝑎 cos α 𝑎𝑦 = 𝑎 sin 𝛼

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(vedi figura 1. 1s) Nel caso in esame

𝑎 = 40 𝛼 = 135° e quindi

𝑎𝑥 = −28.3 𝑎𝑦 = 28.3

18) Il modulo del vettore 𝒂 di componenti 𝑎𝑥 = 12 𝑎𝑦 = 16 è

a) 40

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Il segmento orientato che rappresenta il vettore ha origine nel punto (0,0) ed estremità

il punto con coordinate cartesiane le componenti 𝑎𝑥 ed 𝑎𝑦 del vettore stesso. Di

conseguenza si ha

𝑎 = √(𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2)

Nel nostro caso essendo 𝑎𝑥 = 12 𝑎𝑦 = 16 si ottiene 𝑎 = 20

Somma di vettori

19) Il modulo del vettore somma di due vettori di modulo 3 e 4 è

a) 7

b) 5

c) 1

d) 0

e) non si può valutare

Non si conosce l’angolo formato dalle direzioni dei vettori e quindi non si può

valutare la loro somma

20) Il modulo della somma di due vettori che hanno la stessa direzione, versi

opposti e moduli 3 e 4 è

a) 7

b) 5

c) 1

d) 0

e) non si può valutare

16

La somma di due vettori aventi la stessa direzione e versi opposti si effettua come la

sottrazione di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del

vettore somma è quindi il modulo della differenza dei moduli dei due vettori. I

vettori 𝒂 e 𝒃 hanno moduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma

vettoriale è 1

|𝒂 + 𝒃| = 1

21) Il modulo della somma di due vettori che racchiudono un angolo di 90° e

hanno moduli 3 e 4 è

a) 7

b) 5

c) 1

d) 0

e) non si può valutare

Il vettore somma è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i due vettori

di modulo 3 e 4. Di conseguenza si ha

|𝒂 + 𝒃| = √32 + 42 = 5

22) Il modulo della somma di due vettori con la stessa direzione, lo stesso verso e

moduli 3 e 4 è

a) 7

b) 5

c) 1

d) 0

e) non si può valutare

La somma di due vettori aventi la stessa direzione e lo stesso verso si effettua come la

somma di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del vettore

somma è quindi il modulo della somma dei moduli dei due vettori. I vettori 𝒂 e 𝒃

hanno moduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma vettoriale è 7

|𝒂 + 𝒃| = 7

17

Prodotto scalare

23) Il prodotto scalare di due vettori che racchiudono un angolo 60° e hanno

moduli 4 e 5 è

a) – 20

b) 0

c) 10

d) 20

e) non si può valutare

Ricordando che l’espressione del prodotto scalare tra due vettori 𝒂 e 𝒃 formanti un

angolo 𝜃 è

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑏 cos 𝜃

poiché nel caso in esame 𝑎 = 4 𝑏 = 5 𝜃 = 60° si ha 𝒂 ∙ 𝒃 = 10

24) Il prodotto scalare di due vettori con moduli 4 e 5, la stessa direzione e versi

opposti è

a) –20

b) 0

c) 10

d) 20

e) non si può valutare

I due vettori avendo la stessa direzione e versi opposti formano un angolo θ di 180°.

Il loro prodotto scalare risulta

𝒂 ∙ 𝒃 = −𝑎𝑏 Poiché 𝑎 = 5 𝑏 = 4

𝒂 ∙ 𝒃 = −20

18

25) Il prodotto scalare di due vettori che racchiudono un angolo di di 90° e con

moduli 4 e 5 è

a) – 20

b) 0

c) 10

d) 20

e) non si può valutare

I due vettori formano un angolo di 90° e, di conseguenza, il loro prodotto scalare è

nullo ossia

𝒂 ∙ 𝒃 = 0

26) Il prodotto scalare tra due vettori con moduli 4 e 5, la stessa direzione e lo

stesso verso è

a) –20

b) 0

c) 10

d) 20

e) non si può valutare

I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0°

e di conseguenza il loro prodotto scalare è, per definizione,

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑏 Poiché 𝑎 = 4 e 𝑏 = 5 risulta 𝒂 ∙ 𝒃 = 20

19

27) Il prodotto scalare tra un vettore 𝒂 di modulo 4 e un vettore 𝒃 di modulo 5 vale

a) –20

b) 0

c) 10

d) 20

e) non si può valutare

Poiché non si conosce l’angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può

valutare il loro prodotto scalare

Prodotto vettoriale

28) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra un vettore 𝒂 di modulo 9 e un

vettore 𝒃 di modulo 3 è

a) 27

b) 3

c) –27

d) 0

e) non si può valutare

Poiché non si conosce l’angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può

valutare il loro prodotto vettoriale.

29) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra il vettore 𝒂 di modulo 9 e il vettore

𝒃 di modulo 3 che hanno direzioni coincidenti e versi opposti è

a) 0

b) 12

c) 27

d) 6

e) non si può valutare

L’angolo formato dai vettori 𝒂 e 𝒃 aventi la stessa direzione e verso opposto è di

180° e quindi il modulo del loro prodotto vettoriale è

|𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏 sin 180° = 0

20

30) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra il vettore a di modulo 3 formante

un angolo di π/2 con il vettore 𝒃 di modulo 9 è

a) 0

b) 12

c) 27

d) 6

e) non si può valutare

I due vettori formano un angolo di 90° e quindi, per definizione, il modulo del loro

prodotto vettoriale è

|𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏

Essendo 𝑎 = 9 𝑏 = 3 si ottiene

|𝒂 × 𝒃| = 27

31) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra il vettore 𝒂 di modulo 4 e il vettore

𝒃 di modulo 5 che hanno direzioni e versi coincidenti è

a) –20

b) 0

c) 10

d) 20

e) non si può valutare

I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0°. Il

modulo del prodotto vettoriale è, per definizione,

|𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏 sin 0° = 0

32) Una grandezza definita come prodotto vettoriale di un vettore 𝒂 con un vettore

𝒃 è

a) un vettore parallelo al vettore 𝒂

b) un vettore parallelo al vettore 𝒃

c) un vettore parallelo sia al vettore 𝒂 che al vettore 𝒃

d) un vettore perpendicolare sia al vettore 𝒂 che al vettore 𝒃

e) uno scalare

Per definizione di prodotto vettoriale è un vettore perpendicolare sia al vettore 𝒂 che

al vettore 𝒃.