Compiti di Esame di Fisica Generale I – NO . C.d.L. Ingegneria Civile

Compito di Fisica I Nuovo Ordinamento 14/11/2001. (Ingegneria Civile -Edile).

Un sistema è costituito da un disco omogeneo di centro O, di massa m= 1.3 Kg e raggio r= 10 cm, e da un'asta omogenea di estremi A-B, di massa m e lunghezza 4r, saldatarigidamente in A al bordo del disco in modo che i tre punti OAB siano allineati lungo unastessa direzione radiale. Il sistema è vincolato a mantenersi in un piano verticale el'estremo inferiore del disco poggia su un piano orizzontale scabro. Si indichi con fl'angolo che l'asta forma con la verticale ascendente.1) Il sistema è mantenuto in equilibrio, in una configurazione in cui l'asta forma con la

verticale un angolo f= 30º, da una forza orizzontale T applicata nel punto più alto deldisco. Si determini il valore di T.

2) Determinare il momento d'inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale(perpendicolare al piano verticale in cui è vincolato il sistema) passante per O .

3) Determinare la relazione che intercorre, per un generico angolo f, fra il modulo dellavelocità vG del centro di massa G e la velocità angolare w del sistema nel caso in cuiil disco compia un moto di puro rotolamento sul piano orizzontale. Si calcolinumericamente il rapporto vG /w per f =90º.

4) Il sistema trasla verso sinistra spinto da una forza orizzontale F, applicata nel centrodi massa G, in modo tale che l'angolo f si mantenga costante durante il moto e pari ab =30º.

a) Determinare il coefficiente di attrito dinamico m fra disco e piano. b) Determinare l'energia meccanica dissipata in un metro di spostamento del sistema.5) Al sistema, fermo con l'asta diretta lungo la verticale, viene applicato un impulso J

(di durata molto breve) diretto lungo l'orizzontale passante per O di modulo J = 145Ns. Determinare la velocità angolare w e la velocità del centro di massa G alla finedell'impulso.

6) Nel caso in cui il sistema sia incernierato nel centro O , e non poggi su alcun pianoorizzontale,determinare l'accelerazione angolare massima a cui esso è soggettosapendo che parte da una posizione corrispondente ad un angolo f piccolo, ma nonnullo, e che non agiscono altre forze oltre le reazioni vincolari e le forze peso.

7) Lo zampillo di una fontana, di sezione s= 1 cm2, lancia un getto d'acqua in alto, lungola verticale, fino ad un'altezza h= 15m. Determinare la portata dello zampillo e lapressione di lavoro della pompa, che a livello dello zampillo spinge l'acqua nelcircuito, esercitata sulla superficie libera del liquido contenuto in un serbatoio, achiusura ermetica, di sezione S=0.1 m2.

8) L'acqua che riempie interamente un serbatoio cilindrico, a chiusura ermetica, diraggio a=30 cm viene posta in rotazione attorno all'asse del sistema (verticale) convelocità angolare w= 150 rad s-1. Si determini la differenza di pressione esistente fraun punto sull'asse del sistema ed un punto sulle pareti del cilindro alla stessa quota.

B

T f A

O

Risultati Compito di Fisica Generale I del 14/11/2001

1) T=3mg/4 T= 9.56 N

2) Io= 65mr2/6 Io = 0.14 Kgm2

3) vG=wr[13/4 +3cosf]0.5 vG /w=0.18 m

4) a) m = 3senb/(2+3cosb) m= 0.326 b) | DE|= 2mmgDs |DE|= 8.31 J

5) vG = J/2m vG = 55.77 m/s w= 9J/38mr w= 264 rad/s

6) a= 18g/65r a= 27.16 rad/s2

7) F= s[2gh]0.5 F= 1.715 10-3 m3/s p= pA + rv2/2 p = 2.47 105 pa

8) Dp= rw2a2/2 Dp= 1.01 106 pa

Esame di Fisica Generale I N.O. (CdL Ingegneria Civile ed Edile) - 13/02/02.

Su un piano inclinato AB che forma un angolo b = 30º con l'orizzontale è postauna ruota di raggio r = 5 cm e centro O costituita da un anello sottile di massa m =0.6Kg e da sei raggi di massa m/6. L'asse di rotazione della ruota ,passante per O, èopportunamente collegato tramite una molla ideale di costante elastica k = 22 N/m ad unsupporto posto nell'estremo superiore A del piano inclinato in modo tale che la mollarisulti parallela ad AB. 1) Calcolare il momento d'inerzia della ruota rispetto ad un asse passante per O.

2)Nel caso in cui non vi sia attrito fra il piano e la ruota calcolare la massimaelongazione della molla quando la ruota viene abbandonata, da ferma, nella posizionein cui la molla non è deformata.

3)Determinare nella posizione di equilibrio, supposto non nullo l'attrito fra il piano ela ruota, l'elongazione della molla ed il valore della forza di attrito.

4)Nel caso in cui sia assicurato il puro rotolamento durante tutte le fasi del moto, sidetermini il periodo T del moto oscillatorio

5)Determinare, nel caso di puro rotolamento, il valore che ha la forza di attritonell'istante in cui la velocità di O è massima.

6)Nel caso in cui il sistema venga abbandonato da fermo in una posizionecorrispondente ad un'elongazione D,= 53.4 cm dopo aver bloccato l'asse della ruota dimodo che essa possa solo strisciare, determinare l'elongazione d della molla nelpunto di arresto immediatamente successivo per un coefficiente di attrito µ = 0.25

7)Nel caso in cui, durante il moto di puro rotolamento, la ruota urti un ostacolo pianoliscio, fisso e perpendicolare ad AB e di altezza maggiore di r, in un istante in cui lavelocità di O, rivolta verso il basso, vale w= 0.44 m/s si determini la velocità di O ela velocità angolare del sistema subito dopo l'urto supponendo quest'ultimoperfettamente elastico.

8)Dell'acqua esce da un rubinetto di sezione circolare di raggio a = 1 cm con unflusso F = 3 litri/minuto. Supposto che essa cada esattamente lungo la verticaledeterminare il raggio del getto ad una quota h = 50 cm al disotto del rubinetto.

9)Un circuito idraulico, contenente olio di densità r = 920 Kg/m3, è costituito di duerami di sezione A= 1 m2 e B= 0.15 m2. La sezione A è chiusa da un pistone, a tenuta edi massa trascurabile, su cui è posto un peso M= 70 Kg.; sulla sezione B , chiusaanch'essa da un pistone di caratteristiche uguali, e' posta una massa m in modo taleche i due pistoni si trovino alla stessa altezza. Determinare il dislivello Dh che siproduce fra i due pistoni se la massa posta sul pistone A viene triplicata (si supponecostante la massa di liquido contenuta nel circuito).

A O

b B

Soluzioni

1) I = 4mr2/3 I= 0.002 Kg m2

2) DM = 4mgsin(b)/k DM = 0.534 m

3) De = 2mgsin(b)/k De = 0.267 m fa = 0

4) T = 2π(10m/3k)0.5 T = 1.89 s

5) fa = 0

6) d = 4mg[mcos(b)+sin(b)]/k d = 0.231 m

7) v = w w = w/r v= 0.44 m/s w = 8.8 rad/s

8) r = a(1+ 2π2gha4/F2)0.25 r = 0.225 cm

9) Dh = 2M/Ar Dh = 0.152 m

Prova scritta di Fisica Generale I - N.O. (C.d.L. Ing. Civile -Edile) 18/04/02.

Due aste uguali OA e A'B rigide ed omogenee, di massa m = 0.6 Kg e lunghezza l,= 40cm sono incernierate nell'estremo comune A≡ A' e vincolate a muoversi in un pianoverticale. Le due aste formano una V rovesciata con l'estremo O della prima astaincernierato ad un asse orizzontale e l'estremo B della seconda vincolato a scorrere su unaguida orizzontale passante per O. Tutti i vincoli sono ideali. Si indica con f l'angolo chel'asta OA forma con la verticale ascendente, misurato positivamente in verso orario.1)Il sistema è mantenuto in equilibrio da una opportuna forza orizzontale F applicata in Bin una configurazione in cui l'angolo fra l'asta OA e la verticale vale b = π/6 Determinarela reazione vincolare di appoggio N applicata in B.

2) Il sistema , in quiete, si trova inizialmente in una configurazione in cui le due asteOA e AB sono disposte lungo la verticale. Se l'angolo f differisce per uninfinitesimo da 0 il sistema inizia a muoversi. Determinare la velocità angolare wdell'asta OA quando il sistema raggiunge la configurazione orizzontale , con ledue aste allineate, corrispondente ad un l'angolo f = π/2.

3) Il sistema nell'istante in cui l' asta OA, ruotando in verso orario, forma con laverticale un angolo g = π/4 ha una energia cinetica To = 3 J. Nello stesso istanteall'estremo B è applicata una forza orizzontale costante F diretta da B ad O.Determinare il modulo di F tale che risulti nulla l'energia cinetica del sistema quandoesso si trova a passare per l'orizzontale (f = π/2).

4) Il sistema delle due aste è in movimento e il perno in A si rompe nell'istante in cuil'angolo f = d. = π/6 e la velocità angolare vale w0 = 4.0 rad/s. Il sistema si dividenelle due aste OA e A'B. Determinare la velocità di B l'istante immediatamentesuccessivo alla rottura del perno e nell'istante in cui la sbarra A'B , che continua amuoversi, risulta orizzontale.

5) Il sistema delle due aste è in movimento e il perno in A si rompe nell'istante in cuil'angolo f = d. = π/6 e la velocità angolare vale w0 = 4.0 rad/s. Il sistema si dividenelle due aste OA e A'B. Determinare la componente verticale Ry della reazionevincolare applicata alla sbarra OA dal perno in O quando essa passa per la posizioneorizzontale .

6) Nell'istante in cui la sbarra A'B (sganciata dalla sbarra OA) si trova nellaposizione orizzontale ha una velocità angolare w0 = 8.41 rad/s e il suo estremo B unavelocità v0 = 2.77 m/s. In quello stesso istante B urta contro un ostacolo fisso ed ilsistema subisce un urto perfettamente elastico. Determinare la velocità angolare e lavelocità del centro di massa della sbarra immediatamente dopo l'urto.

7) Un dispositivo per la misura delle densità dei liquidi è costituito da un corpo, diforma regolare ed omogeneo, recante una scala graduata che consente di misurare lapercentuale del suo volume immersa in un liquido. Quando esso viene immerso inacqua emerge dal pelo dell'acqua il 9% del suo volume. Esso viene successivamenteimmerso in un liquido, di densita incognita rx, posto in un recipiente chiuso nella cuiparte superiore vi è aria a pressione atmosferica e si osserva che il 15% del suovolume emerge dalla superficie libera del liquido. a) Determinare la densità rx delliquido. b) Sapendo che la densità dell'aria a pressione atmosferica è ra = 1.29 Kg/m3, determinare la frazione del volume del dispositivo emergente dall'acqua quandola pressione all'interno del recipiente viene aumentata di 100 volte ( e quindi varia di100 volte la densità dell'aria ).

8) Un serbatoio cilindrico, di sezione S= 1.5 m2, è riepito fino ad un'altezza H= 1.7m di acqua. Sul fondo si trova un foro, per lo svuotamento, di sezione A= 5 cm2 . a)determinare la portata iniziale dello scarico. b) Volendo mantenere costante la portatadello scarico si deve applicare una sovrappressione alla superficie libera del liquidonel recipiente. Determinare come questa deve variare in funzione dell'altezza h delliquido nel recipiente. c) Nel caso in cui agisca sempre la pressione atmosferica laportata dello scarico varia nel corso del tempo. Si determini il tempo necessarioall'abbassamento di 1 cm del livello del liquido nel serbatoio quando questo vale h=1.7 m ( riempimento inioziale ) e quando vale h = 5 cm.

A

f

O B

Soluzioni Compito del 18/04/02 N.O.

1) N = mg N = 5.88 N

2) w90 = ( 3g/l )0.5 w90= 8.58 rad/s

3) F = ( T0 + mgl cosg )/2l(1 - sing ) F = 19.9 N

4) vB(d) = 2lw9cosd vB(d) =2.77 m/s vB(90) = 3lw9cosd /2 vB(90) = 2.08 m/s

5) Ry = mg/4 Ry = 1.47 N

6) v = - v0 w = w0

7) X1 = 0.09 X2 = 0.15 r = 1000 Kg/m3 ra = 129 Kg/m3

a) rx = r ( 1 - X1 )/( 1 - X2) rx = 1070 Kg/m3

b) X3 = X2 rx /( rx - ra ) X3 = 0.17

8) a) Q = A (2gH)0.5 Q = 2.89 litri/sb) Dp = rg( H - h)c) T0 = (S/A) (2gH)-0.510-2 T0 = 5.2 s

T = T0 (H/h)0.5 T = 30.3 s

Prova scritta di Fisica Generale I N.O. del 03/07/02 - C.d.L. in Ing. Civile ed Edile

Un corpo rigido è costituito da tre aste omogenee, ciascuna di lunghezza l = 30 cm emassa m = 0.65 Kg, unite fra di loro negli estremi a formare un triangolo equilateroAOB. Questo è imperniato liberamente nel suo vertice O ad un asse di rotazioneorizzontale in modo da ruotare in un piano verticale. Il centro di massa del corpo èindicato con G. Si indichi con f l'angolo che OG forma con la verticalediscendente,misurato positivamente in verso antiorario.

1) Determinare la posizione del centro di massa e il momento d'inerzia rispettoall'asse di rotazione passante per O

2) Il triangolo è mantenuto in equilibrio in una configurazione in cui f = b = p/3 dauna forza F applicata nel vertice A. Si determini modulo, direzione e verso dellaminima forza necessaria ad assicurare l'equilibrio e , corrispondentemente, dellarezione vincolare in O.

3) Determinare per il corpo in oggetto il periodo delle piccole oscillazioni.4) Il triangolo viene abbandonato a sé stesso dalla configurazione in cui l'asta OA è

orizzontale. Determinare modulo direzione e verso della reazione vincolare delperno in O quando G passa per la verticale.

5) Il triangolo viene abbandonato a sé stesso dalla configurazione in cui l'asta OA èorizzontale. Al termine della prima semi-oscillazione l'asta OB , a causadell'attrito del perno, non si trova ad essere orizzontale ma forma rispetto ad essaun angolo g = p/6. Supposto che il momento delle forze di attrito del perno siacostante in modulo ( e sempre opposto alla velocità angolare) se ne determini ilvalore.

6) Il triangolo, fermo nella configurazione in cui f = 0, viene urtato in A da unamassa m che si muove in direzione orizzontale con velocità v0 = 1.6 m/s. L'urto ècompletamente anelastico. a) si determini la velocità angolare del sistema subito

dopo l'urto. b) la minima energia cinetica della massa m necessaria affinchè ilsistema compia dopo l'urto un giro completo attorno ad O.

7) Un cilindro di plastica di raggio r = 2 cm ed altezza l= 11cm quando è posto inacqua galleggia mantenendo immerso un quarto del suo volume. Esso vieneutilizzato, mediante opportuno sistema di guida, per chiudere la parte terminale diun tubo verticale di sezione s = 1cm2 che immette acqua in un serbatoio. a)Nelcaso in cui il cilindro , che chiude il tubo, sia immerso in acqua per 4/5 del suovolume determinare di quanto la pressione che si trova all'uscita del tubo puòsuperare la pressione atmosferica senza che esso cessi di esercitare la sua funzionedi tappo. b) Dire, giustificandolo, se cambia il risultato nel caso che il "tappo"abbia una forma diversa da quella specificata (per es. sia sferico) ma abbia lostesso volume e valgano le stesse condizioni di funzionamento.

8) Una lancia dei pompieri con un ugello di sezione pari a 1.24 cm2, è collegatatramite una manichetta di raggio r = 3.5 cm all'autopompa. Essa produce un gettod'acqua, con un angolo di q = 30 gradi rispetto al suolo, che va a colpire, nelpunto più alto, una fiamma ad un' altezza h = 12m. a)Determinare la portata dellalancia. b) Determinare la pressione di lavoro dell' autopompa corrispondenteall'incirca alla pressione che si trova all'interno della manichetta. c) Nel caso incui la pressione di lavoro dell'autopompa venga dimezzata dire se e' ancorapossibile raggiungere col getto d'acqua la fiamma.

Soluzioni prova scritta Fisica Generale I N.O. del 03/07/02

1) OG = l/√3 OG = 0.173 m Io = 3ml2/2 Io = 8.775 10-2 Kgm2

2) F = 3mg/2 perp. ad OA F= 9.56 N N = 3mg/2 N= 9.56 N

3) T = 2p(√3l/2g)0.5 T = 1.02 s

4) N = 5mg N= 31.9 N

5) M = mgl(3-√3)/π M = 0.77 Nm

6) a) w= vo√3/5l w= 1.85 rad/s b) Tmin= mgl10√3 Tmin = 33.13 J

7) a) pmax= 11plr2gr/20s pmax = 7.45 Kpa b)stessi risultati (a meno di effetti di ordine superiore)

8) a) F= 2s (2gh)0.5 F = 3.8 10-3 m3/sb) p ≈ pat + 4rgh p = 572200 pac) si - per q = p/2 vL

2 =4gh-pat/r > 2gh

Prova scritta di Fisica Generale I N.O. 10/09/02 - C.d.L. Ingegneria Civile ed Edile.

Un'asta AO omogenea, di lunghezza l = 30 cm e massa m =1.25 Kg, è incernieratanell'estremo O ad un asse di rotazione orizzontale in modo da ruotare liberamente nelpiano verticale. Un filo elastico, di costante elastica k = 40 N/m e lunghezza a riposo pariad l, collega la cerniera in O all'estremo A passando per un punto B , fisso, posto sopra adO a distanza l lungo la verticale. Si indichi con f l'angolo che l'asta OA forma con OB,misurato positivamente in verso orario; il sistema è realizzato in modo tale che l'angolo fpossa assumere indifferentemente valori positivi e negativi. Una guida semicircolarePBQ di centro O e raggio l, con il diametro PQ orizzontale, consente, senza interferirecon la rotazione della sbarra, di collegare l'estremo A ad un a funicella ideale, che correlungo la guida da A a Q e di lunghezza maggiore di 4l, dal cui estremo pende liberamenteuna massa M = 200 gr.

1) Determinare il valore b dell'angolo f nella configurazione di equilibrio delsistema e la componente perpendicolare ad AO della reazione vincolareapplicata alla sbarra in O .

2) Dalla posizione in cui l'asta OA forma un angolo g = -p/3 con la verticale ilsistema viene abbandonato, da fermo. Determinare la velocità angolare w dell'astaquando passa per la verticale.

3) Determinare, con il sistema in movimento, la tensione della funicella quandol'asta OA si trova a passare per la verticale.

4) Con l'asta OA ferma in posizione verticale (f = 0) la massa M viene sollevata,lungo la verticale, di un tratto h = 31.8 cm e quindi lasciata cadere. La massa Mnell'istante in cui la funicella si tende applica , tramite essa, una forza di carattereimpulsivo all'asta. In questa ipotesi determinare la velocità angolare dell'astaun'istante dopo la fine dell'impulso della funicella.Si suppone che la funicella siasufficientemente resistente da non rompersi.

5) Il sistema viene abbandonato da fermo dalla configurazione in cui f = -p/2applicando all'estremo A una forza frenante F perpendicolare all'asta e di modulocostante. Determinare il minimo valore di F per cui l'asta non raggiunge laposizione verticale.

6) Nel caso in cui la massa M non sia collegata all'estremo A determinare il periododelle piccole oscillazioni della sbarra attorno alla posizione verticale.

7) Un tubo di sezione S = 2.54 cm2 si dirama in due tubi , posti alla sua stessa quotae di uguale sezione s = 1.13 cm2, al termine dei quali si trovano due rubinetti.Con entrambi i rubinetti aperti si ha una portata da ciascuno di essi di 10 litri alminuto.a) calcolare la pressione nel tubo di sezione S. b) se uno dei due rubinettiviene chiuso, supponendo che la pressione di esercizio all'interno della condutturadi sezione S rimanga inalterata, determinare la portata dell'altro rubinetto. c) seuno dei due rubinetti viene chiuso determinare la pressione di esercizio nellaconduttura di sezione S quando si mantenga inalterata la portata dell'altrorubinetto.

8) Un barcone per il trasporto di materiali viene schematizzato come un guscio aforma di parallelepipedo di base S= 60 m2 ed altezza l = 2 m il cui centro dimassa coincide con il suo centro geometrico. La linea di galleggiamento, quandoesso è scarico, si trova ad una quota ho = 40 cm, rispetto al fondo

dell'imbarcazione. Successivamente essa viene zavorrata ponendo sul suo fondo,in modo uniforme, delle lastre di piombo, che supponiamo di spessoretrascurabile, di massa M = 36 tonnellate. a) determinare la massa del barconescarico. b) determinare, quando è scarico la quota del centro di spinta e stabilire sel'imbarcazione è stabile nei confronti di un movimento di rollio. c) determinarel'innalzamento della linea di galleggiamento conseguente all'immissione dellazavorra. d) determinare se la zavorra è sufficiente a stabilizzare l'imbarcazione .

B A

f

P O Q

Soluzioni compito Fisica I N.O. del 10/09/02

1) a) sinb = Mg/(kl-mg/2) b = 0.34 rad (19º 53) b) Nt = mgsinb/2 Nt = 2.05 N

2) w = [( 6kl+4Mgp-3mg)/2l(m+3M)]0.5 w = 7.34 rad/s

3) T = Mmg/(m+3M) T= 1.325 N

4) w = 3M(2gh)0.5/l(m+3M) w = 2.70 rad/s

5) F = Mg[2/(psinb) + 1] F = 5.70 N

6) T = 2p[ 2ml/3(2kl-mg)]0.5 T = 0.916 s

7) a) p = pA + rQ2/2 (1/s2 - 4/S2) p = pA + 0.224 Kp b) Q' = Q [(S2-4s2)/(S2-s2)]0.5 Q' = 5.1 l/min = 8.5 10-5 m3/s c) p' = pA + rQ2/2 (1/s2 - 1/S2) p'= pA + 0.86 Kp

8) a) m = rSh0 m = 24 103 kg b) hs= h0/2 hs = 0.2m c) h' = (M+m)/rS h' = 1.00 m

d) hcm = ml/2(M+m) < h'/2 hcm = 0.4 m < h'/2 = 0.5m

Prova scritta di Fisica Generale I del 29/01/03 - C.d.L. in Ing. Civile ed Edile.

Un disco rigido omogeneo di massa 2m = 3 Kg e raggio R = 12 cm è imperniato attornoad un asse orizzontale passante per il suo centro O ed è libero di ruotare attorno ad essonel piano verticale. Sul bordo del disco, a distanza R da O, è saldato un punto materiale Pdi massa pari a m/5. La configurazione del sistema è individuata mediante l’angolo q ,misurato positivamente in verso antiorario, che il raggio OP forma con la verticalediscendente.

1) Il sistema è mantenuto in equilibrio in una configurazione in cui q = b da unacoppia di forze di momento assiale M = 0.27 Nm. Determinare il valore di b e lecomponenti della reazione vincolare del perno in O.

2) Determinare la posizione del centro di massa G del sistema e il suo momentod’inerzia rispetto all’asse di rotazione in O.

3) Il sistema viene fatto oscillare attorno alla posizione di equilibrio (q = 0)facendolo partire da un angolo q = -g = - p /10. Determinare le componenti dellareazione vincolare del perno in O nell’istante in cui il sistema raggiunge l’estremoopposto di oscillazione q = g .

4) Nell’istante in cui il sistema sta ruotando con velocità angolare w0= 50 rad/s vienecolpito da un corpo puntiforme di massa pari a m/5 avente la velocità direttaradialmente verso O. Nell’urto, completamente anelastico, il corpo si salda albordo del disco. Determinare la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto.

5) Il sistema viene abbandonato, da fermo, da una configurazione in cui l’angolo qdifferisce per un infinitesimo da p. A partire dall’istante in cui q = d = p /2 siapplica al sistema un momento frenante costante M. Determinare il valore di Mper cui il sistema si ferma in una configurazione corrispondente a q = l = - p/6.

6) Il sistema viene lanciato dalla posizione corrispondente a q = 0 con una velocitàangolare w0. Determinare il minimo valore di w0 per cui P raggiunge la posizionediametralmente opposta a quella di partenza.

7) Un palloncino di massa m = 37 gr e volume V = 4 10-5 m3 si trova immerso inequilibrio in un liquido, contenuto in un serbatoio, di densità r ad una profonditàh = 3 m rispetto alla superficie libera del liquido su cui agisce una pressioneuguale a quella atmosferica (nota: per un palloncino a pareti non rigide esiste unaprecisa relazione fra la pressione esterna ed il suo volume che fa sì che lasituazione di equilibrio sia possible solo ad una determinata quota). a) determinarela densità del liquido. b) determinare la pressione che agisce sul palloncino. c) adun istante successivo si osserva che il palloncino, con lo stesso volume, si trova inequilibrio ad una profondità h’= 2.2 m; determinare la variazione di pressione chesi è prodotta sul fondo del recipiente.

8) Su una conduttura orizzontale di raggio R = 1.27 cm, in cui scorre dell’acqua, sitrova un ugello di raggio r = 2 mm ; esso produce uno zampillo verticale cheraggiunge un’altezza di 6 m . a) determinare la velocità di efflusso dall’ugello. b)

determinare il raggio dello zampillo ad un’altezza h’ = 5.8 m dall’ugello. c)determinare la pressione di esercizio nella tubatura.

Soluzioni compito Fisica generale I del 29/01/03

1) sinb = 5M/mgR b = 0.87 rad = 49°86 Sx = 0 Sy = 11mg/5 Sy = 32.4 N

2) OG = R/11 OG = 1.09 cm IO = 6mR2/5 IO = 2.59 10-2 Kgm2

3) Sr = 11mgcosg/5 Sr = 30.8 N St = 13mgsing/6 St = 9.85 N

4) w = 2wO /3 w = 33.3 rad/s

5) M = 3mgR(1+cosl)/10p M = 0.315 Nm

6) wO > (2g/3R)0.5 wO > 7.38 rad/s

7) a) r = m/V r = 973.6 Kg/m3

b) p = p0+rgh p = 172312 pa c) Dp = p’0- p0 = rg(h-h’) Dp = -7641 pa

8) a) v = (2gh)0.5 v = 7.67 m/s b) r’ = (d/2)(h/(h-h’))0.25 r’ = 1.96 mm c) r = (p - pA)/gh(1-(r/R)4) r = 975.2 Kg/m3

Soluzioni del compito di Fisica generale I del 29/01/03. C.d.L Ing. Civile ed Edile

1) Indicata con S la reazione vincolare del perno in O si ha dalla I Eq. Cardinaledella statica (la coppia di forze è a risultante nulla):

S + 2mg + mg/5 = 0 (1.1)La II Eq. Cardinale della statica , scelto O come polo, stabilisce che : M – mgRsinb/5 = 0Da queste eq. risulta: sinb = 5M/mgR sinb = 0.764 b = 0.87 rad = 49°86 e proiettando l’eq. (1.1) lungo la direzione orizzontale (x) e verticale (y) Sx = 0 Sy = 11mg/5 Sy = 32.4 N

2) Il centro di massa G del sistema si trova lungo il raggio OP ad una distanza d daO data dalla relazione che definisce il centro di massa:

d = (mR/5)/(2m + m/5) = R/11 d = 1.09 cm

Il momento d’inerzia del sistema, rispetto ad O, si ottiene immediatamentesommando a quello del disco il contributo della massa sul suo bordo. I = (2m)R2/2 + m R2/5 = 6m R2/5 I = 2.59 10-2 Kgm2

3) La reazione vincolare S del perno è determinata dalla I Eq. cardinale delladinamica:

S + 11mg/5 = 11maG/5 (4.1)dove aG è l’accelerazione del centro di massa. Proiettando l’Eq. (4.1) lungo ladirezione radiale e tangenziale , indicate col pedice r e t le componenti radiali etangenziali di S e aG , si ha:

-Sr + 11mgcosq/5 = 11maGrr/5 = -m w2R/5 (4.2) St - 11mgsinq/5 = 11maGt/5 = mRa/5 (4.3)dove w e a sono rispettivamente la velocità e l’accelerazione angolare. Nell’estremo dioscillazione in cui q = g risulta w = 0 mentre a è data dalla II Eq. cardinale delladinamica. Scelto O come polo si ha: Ia = -mgRsinq/5da cui per q = g : a = - gsing/6RSostituendo i valori di w e a nelle (4.2-3) si ottiene: Sr = 11mgcosg/5 Sr = 30.8 N St = 13mgsing/6 St = 9.85 N

4) L’insieme della massa urtante e del sistema è soggetto durante l’urto alla solaforza esterna impulsiva costituita dalla reazione vincolare del perno (le forzeimpulsive che si esplicano fra la massa urtante ed il disco sono forze interne).Poichè durante l’urto il momento risultante delle forze impulsive rispetto ad O ènullo vale la conservazione del momento angolare rispetto ad O. Un istante primadell’urto il momento angolare del sistema è dato da Iw0 mentre il momento dellaquantità di moto della massa urtante è nullo essendo la sua velocità direttaradialmente (quindi la sua retta d’azione passando per O). Un istante dopo l’urto,anelastico, il momento angolare del sistema sarà dato da I’w dove I’ è il momentod’inerzia del sistema a cui è stato aggiunto il contributo della massa urtantesaldatasi al bordo. Quindi:

Iw0 = I’w = (I + 3mR2/5) wda cui w = 2w0/3 w = 33.3 rad/s

5) Il sistema parte da fermo dalla configurazione in cui q = q0 = p e si ferma, avendoapplicato il momento frenante di modulo M a partire dall’angolo q = d , , nellaconfigurazione in cui q = l. Essendo nelle configurazioni iniziale e finale l’energiacinetica nulla, il teorema delle forze vive stabilisce che la corrispondente variazione dienergia potenziale è uguale al lavoro compiuto dal momento frenante. Quindi: mgR(cosq0 – cosl)/5 = -M(d - l)da cui:

M = 3mgR(1 + 30.5/2)/10p M = 0.315 Nm

6) La minima velocità angolare iniziale corrisponde a quella che consente al sistemadi arrivare nella posizione in cui f = p con velocità angolare nulla. Essendo leforze agenti sul sistema conservative si ha immediatamente, dalla conservazionedell’energia, che l’energia cinetica iniziale deve essere maggiore della variazionedell’energia potenziale del sistema:

Iw02/2 > 2mgR/5

da cui w0

2> 2g/3R w0 > 7.38 rad/s

7) a) Essendo il palloncino in equilibrio la risultante delle forze applicate deve esserenulla, quindi la spinta di Archimede risulta uguale ed opposta alla forza peso:

rVg = mg ovvero r = m/V r = 973.6 Kg/m3

dove r è la densità del liquido. b) Detta p0 la pressione alla superficie libera del liquido si ha dalla legge diStevino: p = p0 + rgh p = 172312 pa (7.1) c) Essendovi un preciso legame fra volume del palloncino e pressione, ed essendoquest’ultimo invariato, ne deriva che adesso abbiamo la stessa pressione p ,determinata in b), ad una profondità h’. Di conseguenza deve essere variata lapressione alla superficie libera del liquido e si ha, detto p’0il nuovo valore: p = p’0 + rgh’ (7.2)Uguagliando (7.1) e (7.2) si ottiene: Dp0 = p’0 - p0 = rg(h – h’) Dp = -7641 paIn base al principio di Pascal la stessa variazione di pressione si ha in tutti i punti delliquido e quindi anche sul fondo del recipiente.

8) a) La velocità v0 di efflusso dell’acqua dall’ugello, che poniamo a quota 0, èdeterminate dal teorema di Bernouilli. Nel punto più alto dello zampillo, a quota h, lavelocità si annulla per cui, agendo nei due punti la stessa pressione (atmosferica) pA,si ha:

r v02/2 = rgh

e quindi: v0 = (2gh)0.5 v = 7.67 m/sb) Sempre dal teorema di Bernouilli e dalla legge di costanza della portata, indicato con r’il raggio dello zampillo a quota h’, si ha: v0p(d/2)2 = v’pr’2

r v02/2 = rgh’ + r v’2/2 = rgh

Ricavando r’ dale due equazioni si ottiene: r’ = (d/2)[h/(h-h’)]0.25 r’ = 1.96 mmc) Applicando il teorema di Bernouilli e la legge di costanza della portata ad una sezionegenerica della conduttura ed all’ugello, alla stessa quota, si ha: v0p(d/2)2 = vpR2

pA+r v02/2 = p + r v2/2

da cui: p = pA+r v0

2[1-(d/2R)4]/2 = pA+rgh[1-(d/2R)4]ed infine: r = (p - pA)/gh[1-(d/2R)4] r = 975.2 Kg/m3

Prova scritta di Fisica Generale I del 23/04/03 - C.d.L. in Ing. Civile ed Edile

Un’asta omogenea AO di massa M = 0.45 Kg e lunghezza l = 40 cm è poggiata con l’estremo Osu un piano orizzontale scabro; il coefficiente di attrito è indicato con m = 0.75. Si indichi con fl’angolo che l’asta OA forma con la verticale ascendente, misurato positivamente in versoantiorario, con x l’asse orizzontale e con y l’asse verticale. Si suppone che il moto dell’astaavvenga nel piano xy in cui giace.

1) L’asta è mantenuta in equilibrio da una forza orizzontale F , diretta nel verso positivodell’asse x, applicata nell’estremo A. Si determini il valore di F per f = b = p /6 e ilvalore massimo s dell’angolo f per cui è possibile l’equilibrio.

2) Mentre l’asta è in equilibrio in una posizione in cui f = b = p /6 (sotto l’azione di unaforza F applicata in A) una massa puntiforme m = 120 gr va ad urtare l’estremo O convelocità v0 = 2.2 m/s diretta orizzontalmente nel verso positivo dell’asse x. Sapendo chela massa m al termine dell’urto è ferma, e non collegata all’asta, calcolare la velocitàangolare e la velocità del centro di massa dell’asta immediatamente dopo l’urtonell’ipotesi che le forze impulsive che si esercitano fra m e l’asta siano dirette lungol’asse delle x.

3) Nel caso in cui l’asta si muova di moto traslatorio, nel verso delle x positive, conl’estremo O a contatto con il piano orizzontale e con un angolo f = g = p /3 , si calcolil’accelerazione corrispondente.

4) L’estremo O dell’asta è adesso incernierato senza attrito ad un asse orizzontaleperpendicolare al piano xy . L’estremo A viene spinto nel verso delle x positive da unaforza orizzontale costante F = 2.3 N applicata all’asta, inizialmente ferma, nella posizionein cui f = b = p /6. Determinare la velocità angolare dell’asta quando passa per laposizione verticale.

5) L’estremo O dell’asta è adesso incernierato senza attrito ad un asse orizzontaleperpendicolare al piano xy. L’estremo A viene spinto nel verso delle x positive da unaforza orizzontale costante F = 12 N. Nell’istante in cui essa passa per la posizioneverticale, corrispondente a f = 0 ha una velocità angolare w = 14 rad/s. Determinare inquesta posizione le componenti orizzontale e verticale della reazione vincolare in O.

6) L’asta viene lanciata con velocità di pura traslazione v0 = 3 m/s nel verso delle x positive,con l’estremo O a contatto con un piano orizzontale privo di attrito, e con un angolof = g = p /3. Determinare le componenti della velocità dell’estremo A quando l’astaraggiunge la posizione orizzontale.

7) Due tubi ad U , uno dei quali contiene acqua e l’altro un liquido di densità incognita,vengono collegati con uno dei rami ad uno stessa conduttura connessa ad una pompamentre gli altri due rami sono esposti all’aria. Riducendo la pressione nei rami collegati siosserva che il dislivello fra i due rami del tubo ad U contenente acqua è Dh = 20 cm ,mentre nell’altro tubo è DH = 21.5 cm. a) calcolare la densità incognita del liquido. b)calcolare la differenza di pressione fra la conduttura e l’aria. c) determinare la frazione di

volume immerso nei due differenti liquidi di una sferetta di raggio r = 0.5 cm e massa m= 0.5 gr.

8) Un sifone, di sezione costante s = 3 cm2, collega un serbatoio, di grande sezione, ad unoscarico posto ad una quota h = 0.5 m al disotto della superficie libera dell’acqua nelserbatoio , esposta all’aria. a) Determinare la portata. b) Determinare la quota H, rispettoalla superficie libera del liquido nel serbatoio, del punto più alto del sifone B per cui lapressione in B si annulla. c) Nel caso in cui H = 50 cm ed il sifone sia vuoto determinarela sovrappressione che si deve applicare alla superficie libera del liquido nel serbatoioper innescare il flusso attraverso il sifone

y A

F

f

O x

B

H

DH h

Dh A

Soluzioni del compito di Fisica I del 23/04/03. - C.d.L. Ing. Civile ed Edile.

1) F = Mgtgb /2 F = 1.27 N tgfmax = 2 m fmax = 0.98 rad = 56°30

2) vG= mv0/M vG =0.586 m/s w = 6mv0cosb/Ml w = 7.62 rad/s

3) aG = g( tgg – 2m ) aG = 2.28 m/s2

4) w2 = 6Fsinb /Ml - 3g(1 – cosb )/l w = 5.34 rad/s

5) T = F/2 T = 6 N N = Mg - Mw2l/2 N = 13.22 N

6) vAx= vGx= v0 vAx= 3 m/s vAy= vGy- wl/2= - wl=- (3gl/2)0.5 vAy= - 2.42 m/s

7) a) r’ = r Dh/DH r’ = 930 Kg/m3

b) Dp = pA - p = grDh Dp = 1962 pac) rgV = mg R = 3V/4pr3 R = 0.956 r'gV’ = mg R’ = 3V’/4pr3 R’ > 1

8) a) Q = sv v = (2gh)0.5 Q = 9.4 10-4 m3/s b) H = pA /rg – h H = 9.82 m c) Dp = p - pA = grH Dp = 4.9 Kpa

Soluzione estesa del compito di Fisica I del 23/04/03. - C.d.L. Ing. Civile ed Edile.

1) La prima equazione cardinale (EQ I) della satatica impone che: F + Mg + N + fa = 0Da cui proiettando lungo gli assi x ed y: F = fa N = MgLa seconda equazione cardinale della statica (EQ II), scelto O come polo, impone: Flcosf – Mglsinf /2 = 0da cui F = Mgtgf /2Per f = b si ottiene F = 1.27 NLa condizione fa < mN impone un valore massimo per l’angolo f dato dalla relazione: Mgtgf /2 < mMg

da cui: tgfmax = 2 m fmax = 0.98 rad = 56°30

2) Durante l’urto le uniche forze rilevanti sono quelle impulsive che si esercitano frala massa m e la sbarra in O, tutte le altre forze possono essere trascurate (N.B. l’ipotesi,realizzata in particolari condizioni, che le forze di interazione fra punto materiale e sbarrasiano orizzontali implica che il vincolo rappresentato dal piano orizzontale non sia sollecitatodurante l’urto e che quindi non si sviluppino reazioni vincolari di tipo impulsivo). Essendo leforze impulsive forze interne al sistema sbarra + massa m, dalla conservazione della quantitàdi moto si ha: MvG = mv0dove vG è la velocità, orizzontale, del centro di massa G della sbarra; la componente verticaledella velocità di G è nulla. Dalla conservazione del momento angolare , scelto G come polo,si ha: IGw= mv0lcosb /2 IG= Ml2/12Quindi si ha: vG= mv0/M vG =0.586 m/s w = 6mv0cosb/Ml w = 7.62 rad/s

3) Nel caso in cui l’asta compia un moto di pura traslazione si ha dalla EQI : F + Mg + N + fa = M aGda cui proiettando lungo gli assi x e y F - fa = M aG N -Mg = 0Essendovi strisciamento del punto O si ha inoltre: fa = mN = mMg.Dalla EQII, scelto G come polo, essendo la velocità e l’accelerazione angolare nulle, si ha: Flcosg /2 + falcosg /2 – Nlsing /2 = 0Risolvendo otteniamo aG = g( tgg – 2m ) aG = 2.28 m/s2

4) Essendo i vincoli ideali si ha dal teorema delle forze vive: I0w

2/2 = Flsinb - Mgl(1 – cosb )/2 I0= Ml2/3dove I0 è il momento d’inerzia della sbarra rispetto ad O. Risolvendo si ha: w2 = 6Fsinb /Ml - 3g(1 – cosb )/l w = 5.34 rad/s

5) Dalla EQI si ha: F + Mg + N + T= M aGDove T e N sono rispettivamente le componenti tangenziale e normale della reazionevincolare in O. Proiettando lungo la direzione radiale e tangenziale si ha per f = 0: F + T = - Mla/2 N – Mg = -Mw2l/2dove a è l’accelerazione angolare. Dalla EQII , scelto O come polo, si ha: I0a= -Fl I0= Ml2/3Risolvendo per T ed N si ha: T = F/2 T = 6 N N = Mg - Mw2l/2 N = 13.22 N

6) Le forze agenti ( forza peso e reazione vincolare di appoggio) sono conservative e direttelungo la verticale. Quindi vale la conservazione dell’energia e, essendo nulla la risultantedelle forze esterne lungo l’orizzontale, la conservazione della quantità di moto lungol’asse x. Questo comporta che la componente orizzontale della velocità del centro di

massa G è costante durante il moto ovvero che vGx= v0 . Dalla conservazione dell’energiasi ha:

IGw2/2 + MvG 2/2 + Mglcosf /2 = Mv0

2/2 + Mglcosg /2 IG= Ml2/12Tenendo conto che vGx= v0 e che yG = lcosf /2 da cui vGy = -wlsinf /2si ha per f = p/2: (Ml2/12)w2/2 + M(wlsinf /2) 2/2 = Mglcosg /2da cui infine w2 = 3g/2lPer le componenti della velocità di A si ha quindi: vAx= vGx= v0 vAx= 3 m/s vAy= vGy- wl/2= - wl=- (3gl/2)0.5 vAy= - 2.42 m/s

7) a) Detta r’ la densità incognita del liquido p la pressione nel condotto commune e pA lapressione atmosferica si ottiene dalla legge di Stevino:

p + grDh = pA = p + gr'DHda cui r’ = r Dh/DH r’ = 930 Kg/m3

b) Dalle precedenti relazioni si ha: Dp = pA - p = grDh Dp = 1962 pac) Detto V il volume della sferetta immerso in acqua, e V’ quello nell’altro liquido, si

ha: rgV = mg R = 3V/4pr3 R = 0.956 r'gV’ = mg R’ = 3V’/4pr3 R’ > 1

8) a) Facendo riferimento alla superficie libera dell’acqua nel serbatoio (si consideratrascurabile la velocità dell’acqua su questa sezione) e alla

sezione terminale del sifone si ha dal teorema di Bernouilli: Q = sv v = (2gh)0.5 Q = 9.4 10-4 m3/s

b) Essendo il sifone di sezione costante risulta uguale la velocità nel punto più alto B enel punto terminale ( N. B. Questa in realtà è un’approssimazione ). Quindi si ottienedal teorema di Bernouilli (semplificando in entrambi i membri il termine cineticouguale):

pB + gr(H + h) = pAdove pA è la pressione atmosferica; imponendo pb = 0 si ricava: H = pA /rg – h H = 9.82 mc) La sovrappressione che si deve applicare alla superficie libera del liquido

corrisponde a quella necessaria a far arrivare l’acqua nel punto B in cui agisce, asifone vuoto, la pressione atmosferica , quindi :

Dp = p - pA = grH Dp = 4.9 Kpa

Prova scritta di Fisica Generale I – 15/07/03 - C.d.L. Ing. Civile ed Edile

Un sistema è costituito da un’asta sottile, omogenea, di massa m = 800 g e lunghezza 2l =30 cm imperniata liberamente nel suo centro su un’asse orizzontale passante per il centroO di un blocchetto cubico, omogeneo, di lato b = 10 cm e massa M = 1.6 Kg che puòscorrere su un’opportuna guida orizzontale liscia. Ad una delle estremità dell’asta vienesaldato un punto materiale P di massa mP = m/3. Si indichi con f l’angolo che il

segmento OP forma con la verticale discendente , misurato positivamente in versoantiorario.

1) Un piolo orizzontale B, di dimensioni tracurabili, posto ad un’altezza b dallaguida orizzontale obbliga l’asta in una posizione in cui f = b = 25°. Determinarela forza orizzontale F che deve essere applicata al blocchetto per mantenere ilsistema in equilibrio in questa configurazione. Si suppone che fra piolo ed astanon vi sia attrito.

2) Avendo bloccato lo scorrimento del cubo sulla guida orizzontale , si fa oscillareliberamente l’asta attorno al perno O. Determinare il periodo delle piccoleoscillazioni.

3) Avendo bloccato lo scorrimento del cubo sulla guida orizzontale, si osserva chenell’istante in cui l’asta, ruotando attorno al perno O, passa per la configurazionecorrispondente a f = 0° con velocità angolare w0 = 2.7 rad/s la massa P si stacca.Determinare l’angolo da cui è stata abbandonata, da ferma, l’asta; determinareinoltre la velocità di P e la velocità angolare dell’asta subito dopo il distacco.

4) Avendo bloccato lo scorrimento del cubo sulla guida orizzontale, si mette inrotazione la sbarra attorno al perno O. Determinare la minima velocità angolareche deve avere la sbarra nella configurazione verticale corrispondente a f = 180°perchè il blocchetto si sollevi dalla guida orizzontale ed il valore dellacomponente orizzontale della reazione vincolare agente sul blocchetto.

5) Con il blocchetto libero di scorrere sulla guida orizzontale si abbandona a sèstesso il sistema inizialmente fermo nella configurazione in cui l’asta èorizzontale, corrispondente a f = 90°. Sapendo che, quando l’asta passa per laposizione verticale, corrispondente a f = 0°, il blocchetto ha una velocità Vo =0.062 m/s determinare lo spostamento subito dal blocchetto fra questi due istanti ela velocità angolare dell’asta nella posizione verticale.

6) Il sistema è fermo con l’asta nella posizione verticale f = 0 ed il blocchetto liberodi scorrere sulla guida orizzontale. Un secondo punto materiale Z, di massa mP =m/3 urtando, con velocità orizzontale v0 = 25 m/s, l’altro estremo dell’asta,opposto a P, si salda ad essa. Determinare la velocità del blocchetto e la velocitàangolare dell’asta subito dopo l’urto.

7) Un serbatoio a forma tronco conica ha altezza H = 2 m, raggio della sezionesuperiore R = 80 cm e raggio della sezione inferiore r = 2 cm; dal fondo, incorrispondenza della sezione inferiore A, parte una conduttura a forma di L, consezione circolare di raggio r, il cui tratto verticale ha altezza h = 1.2 m. Il fondodel serbatoio è chiuso da una pallina di gomma di raggio r’ = 2.1 cm, leggermentepiù grande di r, ed il serbatoio è riempito fino all’orlo di acqua. a) calcolare larisultante delle forze di pressione agenti sulla pallina quando nella conduttura adL vi è aria (si consideri la pressione sulla superficie di ciascun emisfero costante).b) riempiendo opportunamente di acqua la conduttura ad L si osserva che lapallina si distacca dal fondo senza che l’acqua trabocchi dal serbatoio.Determinare il valore massimo che può avere la massa m della pallina perchèquesto accada. Determinare in corrispondenza la differenza di pressione mediache deve esistere fra la superficie superiore ed inferiore della pallina perchèavvenga il distacco. c) Determinare la forza che deve essere esercitata sul pistone

B che chiude il tratto orizzontale della conduttura ad L per ottenere la pressioneche agisce sulla superficie inferiore della pallina nelle condizioni del punto b).

8) Un tubo a sezione circolare di raggio a = 1 cm termina con una flangia circolare diraggio b = 10 cm ; affacciato ad essa, ad una distanza l = 1 cm, si trova un discodi raggio b. Nel tubo viene prodotto un flusso di aria F = 85 lt/s. a) Calcolare lavelocità dell’aria nell’intercapedine fra la flangia ed il disco in funzione delladistanza r dall’asse del tubo e del sistema. b) Considerando il fluido come perfettocalcolare la pressione nell’intercapedine fra la flangia ed il disco in funzione delladistanza r dall’asse del tubo e del sistema e calcolarne il valore numerico per r =a. c) Calcolare modulo, direzione e verso della risultante delle forze di pressioneagenti sul disco. ( N.B. in tutte le domande si trascuri la regione di spaziocorrispondenti a valori di r < a; densità dell’aria r = 1.29 Kgm-3).

B

O O b

P f P

l

H b

a A

h B

Soluzioni del compito di Fisica I del 15/07/03 – C.d.L. Ing. Civile ed Edile.

1) F = 2mglcos2bsinb /3b F = 2.72 N

2) T = 2p(2l/g)0.5 T = 1.1 s

3) cosf0 = 1 – w2l/g f0 = 0.476 rad = 27°31 w’= w vP = lw vP = 0.40 m/s

4) w2 > (3M + 4m)g/ml ; Nx = 0 w > 25.56 rad/s

5) x = ml /(3M + 4m) x = 1.5 cm w = -V0(3M + 4m)/ml w = -4.13 rad/s

6) v = mv0/(5m + 3M) v = 2.27 m/s w = v0/3l w = 55.3 rad/s

7) a) F = rgHpr’2 F = 27.2 N b) m = r4pr’3/3 m = 38.8 g Dp = gr4r’/3 Dp = 275 pa c) F = [pA + rg(H + h)]pr’2 F = 166 N

8) a) v = F/ 2prl b) p = pA + r(F/pl)2(1/b2 – 1/r2)/8 p = (pA - 52) pa c) F = r(F/l)2[(b2 – a2)/2b2– ln(b/a)]/4p F = 0.30 N

Compito di Fisica Generale I del 14/11/03 – C.d.L. Ing. Civile.

Un’asta OA, sottile ed omogenea, di lunghezza 2l e massa M = 0.85 Kg è imperniatanell’estremo O ad un asse orizzontale , a distanza l = 60 cm dal suolo, e può ruotareliberamente in un piano verticale. Essa poggia su un supporto B, di massa m = 50 gr edimensioni trascurabili, opportunamente vincolato a scorrere lungo una guida verticale adistanza l da O. Il supporto B è collegato ad una molla di costante elastica k e lunghezzaa riposo pari a 2l , opportunamente collocata lungo la guida verticale e con l’altroestremo fissato al suolo. Tutti i vincoli sono ideali ed in particolare non vi è attrito fra ilsupporto B e l’asta. Si indica con f l’angolo che l’asta OA forma con l’orizzontalemisurato positivamente in verso anti-orario.

1) Il sistema si trova in equilibrio in una configurazione in cui f = b = p /6.Determinare il corrispondente valore della costante elastica k della molla.

2) Quando il sistema passa per la posizione corrispondente a f = g = 0.46 rad ilsupporto B ha una velocità v = 0.5 m/s ed una accelerazione a = 1.8 m/s2 diretteverso il basso. Determinare i corrispondenti valori della velocità edell’accelerazione angolare dell’asta.

3) Durante il moto del sistema l’asta raggiunge la massima velocità angolare perf = b = p /6. Determinare nel corrispondente istante la reazione vincolare, dellaguida verticale, agente su B.

Nelle domande successive il valore della costante elastica della molla è fissata a k= 14.7N/m.

4) L’estremo A della sbarra è poggiato sul suolo e la molla , a cui è collegato B, ècompressa di una quantità pari al 90% della sua lunghezza a riposo. Rilasciata lamolla B va ad urtare l’asta e questa inizia a muoversi mentre B si ferma.Calcolare l’impulso esercitato da B sull’asta durante l’urto e la velocità angolaredell’asta subito dopo l’urto.

5) Il sistema, inizialmente fermo nella configurazione in cui l’estremo A poggia sulsuolo, viene abbadonato a sè stesso. Determinare la velocità angolare dell’astaquando questa passa per la posizione corrispondente a f = 0 considerandotrascurabile la massa di B (m = 0).

6) Per il sistema in oggetto determinare il periodo delle piccole oscillazioni attornoalla posizione di equilibrio f = 0 considerando trascurabile la massa di B (m = 0).

7) Un serbatoio di grande sezione è riempito con acqua fino ad una quota H = 1,8m. Al suo fondo è connessa una conduttura orizzontale costituita da tre tratti disezione decrescente s1 = 12 cm2, s2 = 6 cm2e s3 = 3 cm2. a) Determinare il flussoin uscita dalla conduttura al termine del terzo tratto di tubo. b) In ognuno dei tretratti di conduttura è collocato un tubo verticale di controllo di lunghezzamaggiore di H. Determinare l’altezza della colonna di liquido in ciascuno dei tretubi verticali. c) Ad un determinato istante il dislivello fra le colonne di liquidonei tubi di controllo 2 e 3 è pari a Dh = 15 cm. Calcolare la differenza dipressione fra i due tratti di conduttura e l’altezza H’ del liquido nel serbatoio.

8) Un galleggiante costituito di materiale con densità r = 180 Kg/m3 ha la forma diun prisma retto. I suoi cateti hanno lunghezza a = 23 cm e la sua altezza è l = 50cm. Esso è completamente immerso in acqua, nella configurazione indicata infigura, ed ancorato al fondo da un cavo attaccato ad esso nel punto B. a) Calcolarela tensione del cavo. b) Se il punto B si trova ad una profondità h = 4 m calcolarela forza di pressione agente sulla faccia orizzontale del prisma . c) Nellecondizioni della domanda b) calcolare la forza media di pressione agente suciascuna delle due facce a 45° rispetto alla verticale.

A

B f O

l

l

H 1 2 3

h

a

B

Soluzioni del compito di Fisica generale I del 14/11/03.

1) k = (Mgcos3b + mg)/l(1 – tgb) k = 23.3 N/m

2) w = -v/l(1 + tg2g) w = - 0.67 rad/s a = -a/l(1 + tg2g) – 2w2tgg a = -2.85 rad/s2

3) R = Mgcos2bsinb R = 3.13 N

4) d = -p/6 v2 = kl2[ 4(0.9)2 – (1 – tgd)2]/m – 2gl(0.8 - √3/3) J = mv/cosd J = 0.515 Ns

w = 3J/4Mlcosd w = 0.874 rad/s

5) w2 = 3gsind/2l + 3k[(1 – tgd)2 -1]/4M w = 2.66 rad/s

6) T = 2p(4M/3k)0.5 T = 1.74 s

7) a) F = s3(2gH)0.5 F = 1.78 lt/s b) hi = H[ 1 – (s3/si)2] h1 = 1.687 m h2 = 1.35 m h3 = 0. m c) Dp = rgDh Dp = 1.47 Kpa H’ = Dh/[ 1 – (s3/s2)2] H’ = 20 cm

8) V= a2l/2 a) T = gV(rH2O – r) T = 106 N b) F = √2 al(p + ghrH2O) F = 2.289 104 N c) F’ = ( F – gVrH2O )/√2 F’= 1.608 104 N