Fisica 2Elettrostatica

7a lezione

Programma della lezione

• Capacità elettrica

• Condensatore piano

• Condensatore cilindrico

• Costante dielettrica

• Cariche indotte nel dielettrico

• Energia elettrostatica

• Composizione di capacità

Capacità elettrica

• E’ il rapporto tra la carica presente su un conduttore e la sua differenza di potenziale

• Ha le dimensioni di carica diviso ddp

• La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il farad

V

QC

VQ

C

V

CF

Condensatore piano• Data una carica Q, per

trovare C si determina preventivamente il campo E e da questo si trova il potenziale V

• Per il condensatore piano si usa anche il principio di sovrapposizione per i campi generati dalla carica +Q sul primo piatto e –Q sul secondo

• Poiché le densità di carica sui due piatti sono uguali in modulo, otteniamo infine

00 22

EEEtot

0

totE

Condensatore piano• Cioè il campo E è costante tra le due piastre• La ddp tra i due piatti è

• E la capacità è

dA

QddlEdlldEV

000

d

A

V

QC 0

Condensatore cilindrico

• Applichiamo la legge di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L, coassiale al conduttore interno

• Da cui ricaviamo il campo

0

int|Q

SE

rrE

1

2)(

0

0

2)( L

rLrE

Condensatore cilindrico

• La ddp è

• E la capacità è

r

r

L

Qdrr

EdrldEV ln2

1

2 00

rrL

Cln

2 0

Campo elettrico nella materia

• Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel campo è una diminuzione di intensità per una costante r (maggiore di 1) che dipende dalla natura del dielettrico

• Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore

• Mentre la capacità aumenta dello stesso fattore

r

vuotoEE

r

vuotoVV

rCC 0

Campo elettrico nella materia

• La carica libera sulle piastre del condensatore polarizza il dielettrico, che si carica superficialmente con cariche legate

• La carica libera produce il campo

• La carica legata produce il campo

• Il campo del dielettrico diminuisce il campo delle piastre del condensatore

• Si ottiene così il campo risultante

liberalegata

00 liberaE

0 legatalegataE

legatatot EEE 0

Campo elettrico nella materia

• Poiché sappiamo che il campo totale vale

• Possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata

• Dato che campo e densità superficiali sono proporzionali, otteniamo anche

0

1EE

r

rlegata

rtot

EE

0

liberar

rlegata

1

Costante dielettrica

• r prende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale

• Il prodotto =0 r prende il nome di costante dielettrica del materiale

Energia elettrostatica

• Data una distribuzione di carica q che genera un potenziale V, un aumento di carica dq comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a

• L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è

dqC

qVdqdU e

C

Qdq

C

qU

Q

e

2

0 2

1

Energia elettrostatica

• Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature

• Il lavoro speso per caricare il condensatore può considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E

• Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico

• Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica

AQE

AdEEdAEQVU e2

2

1

2

1

2

1

EdV

Energia elettrostatica

• La quantità Ad è il volume compreso tra le piastre

• Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo l’energia per il volume

• Relazione di validità generale

2

2

1E

Ad

Uu ee

Composizione di capacità

• Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno la stessa caduta di potenziale ai loro capi. Su 1 c’è la carica Q1 e su 2 la carica Q2

• Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che a parità di ddp V accumuli la stessa carica totale Q=Q1+Q2

• La capacità del condensatore equivalente è quindi la somma delle capacità dei condensatori 1 e 2

CVQ VCVCQQ 2121

21 CCC

Composizione di capacità• Composizione in serie. La ddp ai capi di 1

è V1 e ai capi di 2 è V2. Su 1 si accumula la carica Q1 e su 2 la carica Q2

• Poiché tra i due condensatori la carica inizialmente è nulla, per la conservazione della carica avremo che Q1 è uguale a Q2

• Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che su una ddp pari alla somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la stessa carica Q

• L’inverso della capacità del condensatore equivalente è quindi la somma degli inversi delle capacità dei condensatori 1 e 2

2121 C

Q

C

QVV

C

QV

21

111

CCC