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ElettrotecnicaCap. 2

M. Repetto,L. Giaccone

Classificazionecomponentiresistore

condensatore

induttore

componentiattivigeneratore ditensione

current source

componentireali

connessionitipoconnessione serie

connessioneparallelo

connessioni a 3terminali

ElettrotecnicaCapitolo 2: componenti elettromagnetici, equazioni

costitutive e connessioni circuitali

M. Repetto, L. Giaccone

Dipartimento EnergiaPolitecnico di Torino

Settembre 2012




condensatore

induttore


current source

componentireali




componenti elettromagnetici

quanti tipi di componenti esistono?i fenomeni elettromagnetici sono molto complessi equindi, in linea di principio, ci si potrebbe aspettare ditrovare un numero di componenti molto elevatoin realta’ i componenti elementari non sono moltial fine di suddividere i componenti in classi si possonoutilizzare diversi criteridato che i componenti sono modelli matematici, ilprocesso di classificazione produrra’ alla fine una seriedi equazioni costitutive dei componenti stessi




condensatore

induttore


current source

componentireali




componenti ideali/reali

teoria e realta’i componenti definiti in maniera matematica spesso sicomportano in maniera diversa da quelli realicomponenti ideali sono quelli che rappresentano unsingolo fenomeno elettroagnetico e ne costituiscono unmodello unicocomponenti reali sono costruiti con materiali cheseguono leggi differenti da quelle ipotizzate nel modelloe quindi sono caratterizzati da effetti parassiti

molla ideale e molla realeuna molla costruita con acciaio e’ caratterizzata non solo daun comportamento elastico ma anche da una massa equindi da effetti di inerzia che la molla ideale non ha




condensatore

induttore


current source

componentireali




componenti attivi e passivi

che cosa alimenta i componenti?i componenti passivi necessitano di una sorgente dipotenza esterna per dare luogo a qualchetrasformazione energetica e sono generalmentechiamati carichii componenti attivi sono in grado di trasferire potenza aiterminali dei carichii componenti attivi forniscono questa potenza a spesedi qualche altra forma di energia che trasformano intermini elettromagnetici

batteria dell’autoil motore di avviamento di un motore a combustione internaviene alimentato da un accumulatore a piombo-acido ilquale, durante la marcia viene ricaricato dall’alternatore: sicomporta quindi sia da componente attivo che passivo




condensatore

induttore


current source

componentireali




classificazione dei componenti passivi

quanti tipi di carico esistono?la caratterizzazione dei carichi puo’ essere fatta in baseal loro comportamento energeticoin base a questo criterio i componenti possono esseresuddivisi in:

componenti in grado trasformare energia di tipoelettromagnetico in un’altra forma di energiacomponenti in grado di immagazzinare energia nelcampo elettricocomponenti in grado di immagazzinare energia nelcampo magnetico

sistema meccanicoquesta suddivisione in termini energetici puo’ essereutilizzata anche nei sistemi meccanici: massa→ energiacinetica, molla→ energia elastica ed attrito→ energiadissipata




condensatore

induttore


current source

componentireali




prima classe di carichi

resistorel’effetto Joule definisce che una corrente elettricafluente in un conduttore genera calore, quindi questofenomeno appartiene alla prima classe di carichiquesta classe di componenti e’ descritta da unaequazione costitutiva di tipo algebrico che lega tra lorotensione e corrente allo stesso istante

v(t) = R(i, t)i(t) (1)

che e’ chiamata prima legge di Ohm




condensatore

induttore


current source

componentireali




resistore

simbolo grafico

i(t)v(t) R

definizioneil componente si chiamaresistore ed il suo parametroR resistenzale dimensioni fisiche nelsistema SI sono ohm, Ω




condensatore

induttore


current source

componentireali




resistore

resistore Lineare Tempo-Invariantese il parametro R e’ costante la caratteristica v.i e’linearedato che in questo caso R e’ indipendente dal tempo ilcomponente e’ detto Lineare e Tempo Invariante (LTI)

simbolo grafico

v

i

Rtg =aa,

v=Ri

definizionein questo caso v e i sonolegati ad ogni istante da unarelazione che puo’ essereriportata in un piano con assii e vse i→ x e v→ y la pendenzadella retta e’ R




condensatore

induttore


current source

componentireali




conduttanza

conduttanzamolto spesso e’ conveniente definire il valore diconduttanza G di un resistore come l’inverso della suaresistenza

i(t) = Gv(t) (2)

G =1R

(3)

le dimensioni fisiche di G sono 1ohm chiamato siemens

simbolo S




condensatore

induttore


current source

componentireali




resistore

potenza associata al resistorela potenza istantanea puo’ essere calcolata dalla leggedi Ohm come:

p(t) = v(t)i(t) = [Ri(t)] i(t) = Ri(t)2 (4)

p(t) = v(t)i(t) = v(t)[

v(t)R

]=

v(t)2

R(5)

in entrambi i casi la potenza puo’ solo essere positiva(R > 0) e questo conferma che il resistore non e’ ingrado di fornire potenza al circuitol’energia dissipata dal componente nell’intervallo (t1, t2)puo’ essere calcolata come

w(t1, t2) =

∫ t2

t1Ri(t)2dt =

∫ t2

t1

v(t)2

Rdt (6)




condensatore

induttore


current source

componentireali




condensatore

fenomeno fisicoi condensatori sono componenti in grado diimmagazzinare energia nel campo elettrico e quindiappartengonop alla seconda classe dei componentipassiviil campo elettrico puo’ essere creato prevalentementenella regione di spazio compresa tra due particonduttrici isolate e sottoposte ad una differenza dipotenziale

fenomeno

v

+

+++++

-

----

-E+Q

-Q

conservazione dellacarica|+ Q| = | − Q| = Qil fenomeno e’conservativo




condensatore

induttore


current source

componentireali




condensatore

fenomeno fisicola carica del condensatore cresce proporzionalmenteal, valore di tensione applicata

Q(t) = Cv(t) (7)

il coefficiente di proporzionalita’ C e’ chiamato capacita’del componente e dipende da:

geometria della struttura C ∝ 1distance

materiali presenti nel dominio C ∝ ε

simbolo grafico

vC

unita’ di misurala capacita’ si esprime infarad F e molto spesso valoridi capacita’ sono nell’ordinedei mF, µF, etc.




condensatore

induttore


current source

componentireali




condenstaore

caratteristica v− il’equazione Q = Cv non e’ una equazione costitutivaperche’ in essa non appare la corrente i

la corrente i puo’ essere ottenuta come derivatarispetto al tempo della carica

Q = Cv(t)→ i =dQdt

=d(Cv)

dt= C

dvdt

(8)

nell’ipotesi che C non dipenda dal tempo t

come conseguenza l’equazione costitutiva e’un’equazione differenziale ordinaria che non lega tra diloro i valori istantanei di v e i




condensatore

induttore


current source

componentireali




condensatore

caratteristica v− il’equazione costitutiva i = i(v) contiene un operatorederivata, quindi la caratteristica v = v(i) deve quindiutilizzare un operatore integrale

i = Cdvdt→ v(t) =

∫ t

−∞

1C

i(t′)dt′ (9)

il dominio di integrazione puo’ essere suddiviso in dueintervalli:

v(t) =

∫ t

−∞

1C

i(t′)dt′ =∫ 0

−∞

1C

i(t′)dt′ +∫ t

0

1C

i(t′)dt′ (10)

v(t) = v(0) +

∫ t

0

1C

i(t′)dt′ (11)




condensatore

induttore


current source

componentireali




potenza nei componenti

potenza associata al condenzatorela potenza istantanea in un condensatore e’ data da:

p(t) = v(t)i(t) = v(t)(

Cdvdt

)(12)

in funzione del segno di v(t) e di dvdt , la potenza

istantanea puo’ essere positiva o negativa,p < 0⇒ C cede potenzail differenziale dell’energia associata ad unatrasformaszione infinitesima dt ’e dato da:

dw = v(

Cdvdt

)dt = Cvdv = d

(12

Cv2)

(13)

l’ultima espressione rappresenta un differenziale esattoe quindi la trasformazione e’ reversibile o conservativa




condensatore

induttore


current source

componentireali




condensatore

energiaintegrando il dw da zero ad un valore di tensione siottiene:

w =

∫ V

0dw =

∫ V

0Cvdv =

12

CV2 (14)

quindi l’energia immagazzinata nel condensatoredipende dal valore della tensione e quindi vrappresenta lo stato energetico del componentela tensione su un condensatore e’ quindi detta variabiledi statoqualsiasi variazione di tensione ai capi di C implica untrasferimento di potenza il cui integrale nel tempo devebilanciare la variazione di energia immagazzinata




condensatore

induttore


current source

componentireali




condensatore

energiain caso di una variazione istantanea di tensione

v

t

p(t) = v(t)i(t) = v(t)(

Cdvdt

)→∞ (15)

la potenza avrebbe valore infinitodato che nessun componente e’ in realta’ in grado difornire potenza infinita, allora la tensione in uncondensatore e’ una funzione continua




condensatore

induttore


current source

componentireali




Induttore

definizioneil componente induttore e’ in rado di immagazzinareenergia nel campo magnetico, quindi appartiene allaterza classe di utilizzatoriuna corrente che fluisce in un conduttore crea, nellaregione di spazio circostante, un campo magnetico edun flusso magnetico concatenato con l’avvolgimento

fenomeno

i

magnetic!flux

Φ− iil flusso magneticoconcatenato dipende da i:

Φ = Li (16)

spesso L = L(i)[L] = henry, simbolo H




condensatore

induttore


current source

componentireali




Induttore

caratteristica v− icome nel caso del condensatore, Φ = Li non e’ unaequazione caratteristica dato che v non comparela tensione v si puo’ ottenere dalla legge dell’induzioneelettromagnetica

Φ = Li(t)→ v =dΦ

dt=

d(Li)dt

= Ldidt

(17)

nell’ipotesi che L non dipenda da t

i

v L

l’equazione costitutiva e’ un’EDO diprimo gradoC e L hanno caratteristiche v− i similidove v ed i scambiano i loro ruoli(dualita)




condensatore

induttore


current source

componentireali




Induttore

caratteristica v− icome nel caso di C l’operatore derivata lega v a i equindi l’equazione inversa deve contenere un operatoreintegrale

v = Ldidt→ i(t) =

∫ t

−∞

1L

v(t′)dt′ (18)

il dominio di integrazione puo’ essere suddiviso in dueintervalli:

i(t) =

∫ t

−∞

1L

v(t′)dt′ =∫ 0

−∞

1L

v(t′)dt′ +∫ t

0

1L

v(t′)dt′ (19)

i(t) = i(0) +

∫ t

0

1L

v(t′)dt′ (20)




condensatore

induttore


current source

componentireali




induttore

definizionela potenza istantanea in un induttore puo’ esserericavata dalla sua equazione costitutiva come:

p(t) = v(t)i(t) =

(L

didt

)i(t) (21)

anche in questo caso, in funzione dei segni di i(t) e dididt , la potenza istantanea puo’ essere positiva onegativa e quindi ci sono configurazioni nelle quali Lpuo’ cedere energia al circuito

dw =

(L

didt

)idt = Lidi = d

(12

Li2)

(22)

w =

∫ I

0dw =

∫ I

0lidi =

12

LI2 (23)




condensatore

induttore


current source

componentireali




induttore

variabile di statonel caso dell’induttore l’energia immagazzinata e’proporzionale alla correntenuovamente la corrente e’ una variabile che indica lostato energetico del componenteseguendo ragionamenti analoghi a quelli fatti per ilcondensatore si puo’ ricavare che la corrente in uninduttore e’ una variabile continua rispetto al tempo




condensatore

induttore


current source

componentireali




componenti attivi

generatori idealii generatori sono componenti in grado di fornirepotenza ad altri componentila potenza e’ generata a spese di qualche altra forma dienergia quale elettrochimica, elettromeccanica etc.generatore ideale: un generatore si dice ideale se e’ ingrado di fornire potenza infinita agli altri componentinella pratica nessun generatore potra’ fornire potenzainfinita e quindi un modello di generatore reale sara’sviluppato in seguito




condensatore

induttore


current source

componentireali




generatore di tensione

generatore di tensione idealeun generatore di tensione ideale e’ un dipolo in grado difornire una tensione e(t) ai suoi morsettiindipendentemente dai componenti ad esso collegatila tensione e(t) e’ nota ma il valore della corrente che loattraversa dipende dai carichi che il generatorealimenta

simbolo grafico

i

e(t)+

per qualsiasi valore dicorrente la tensione e’ e(t)




condensatore

induttore


current source

componentireali





generatore di tensione ideale costantese il valore della tensione e’ costante e(t) = E, lacaratteristica del generatore puo’ essere tracciata nelpiano v− i

graphic symbol

v

i

v=E

batteriain prima approssimazioneuna batteria puo’ essereconsiderata come ungeneratore di tensionecostante




condensatore

induttore


current source

componentireali





generatore di tensione nullaun caso particolare di tensione costante e la tensionenullain questo caso per ogni valore di corrente la ternsioneai terminali del dipolo e’ zero

graphic symbol

i

v=0

il componente si chiama cortocircuito e puo’ essere vistocome un generatore ditensione zero o come unresistore con resistenzauguale a zero




condensatore

induttore


current source

componentireali




generatore di corrente

generatore di corrente idealeun generatore di corrente ideale e’ un dipolo che e’ ingrado di fornire una data corrente a(t) indipentementedai componenti ad esso collegatiil valore di corrente e’ noto ma la tensione ai morsettidel ganaratore dipende dai carichi ad esso collegati

simbolo grafico

!"#$%&"#$%

per ∀ valore di tensione v(t) lacorrente nel dipolo e’ a(t)




condensatore

induttore


current source

componentireali





generatore di corrente ideale costantese il valore della corrente a(t) = A costante, lacaratteristica puo’ essere tracciata nel piano v− i

v

i

i=A

exampleper ∀ valore di tensioneapplicata la corrente aimorsetti del generatore e’ Ain nature non si trovanofacilmente esempi digeneratori di corrente ma lacorrente di fulmine puo’essere approssimata da ungeneratore ideale di corrente




condensatore

induttore


current source

componentireali





generatore di corrente nullaanche per il generatore di corrente il valore zero e’ uncaso particolarein questo caso, per qualsiasi valore di tensioneapplicata la corrente ai morsetti e’ nulla

simbolo grafico

i=0 v

questo componente si chiamacircuito aperto e puo’ esserevisto come un generatore dicorrente a corrente nulla ocome un resistore a R→∞




condensatore

induttore


current source

componentireali




componenti reali

perche componenti reali?

i componenti reali hanno equazioni costitutive che sonoun’approssimazione di quelle idealipiu’ frequentemente le cause di non idealita’ sonodovute a:

limiti sui valori delle grandezze ai morsettieffetti parassiti

molto spesso i componenti reali possono essereespressi da combinazioni di componenti ideali




condensatore

induttore


current source

componentireali




limiti sulle grandezze ai morsettis

limiti costruttiviin linea teorica in un resistore descritto da v = Ri, v e ipossono raggiungere qualsiasi valorein pratica

problemi termici limitano il valore di correnteproblemi dielettrici limitano il valore di tensione

caratteristica v− iv

i

v=Ri

I max-I max

V max

-V max

−Imax ≤ i ≤ Imax (24)

−Vmax ≤ v ≤ Vmax (25)




condensatore

induttore


current source

componentireali




effetti parassiti

modello di componente realei componenti reali hanno un comportamento che li faappartenere a piu’ classi di componentiquesto puo’ pero’ essere utile per creare un modelloequivalente del componente reale

induttore reale

RL

v(t)

i(t)

p

v(t) = Ldidt

+ Rpi (26)




condensatore

induttore


current source

componentireali




generatori reali

generatore reale di tensionei generatori ideali possono fornire potenza infinita aicomponenti collegatinei componenti reali questo e’ limitato dalla potenzaconvertita in elettrica (elettrochimica, elettromeccanicaetc.) che puo’ essere grande ma non infinita

generatore reale ditensione

v

i

!ideal!voltage!source

real!voltage!source

E

un generatore realediminuisce la sua tensionequando la corrente erogatadiventa grande




condensatore

induttore


current source

componentireali




generatori reali

modello matematicoun modello di questo nuovo componente puo’ essereottenuto da una serie di Taylor della sua caratteristicacentrata nel valore i = 0

v(i) = v(i = 0) +dvdi

∣∣∣∣i=0

i (27)

il termine dvdi ha le dimensioni fisiche di una resistenza

dvdi e’ negativa perche’ diminuisce v se i aumenta( dv

di |0 = −Rint) dove Rint e’ una resistenza fittizia chetiene in conto il comportamento della sorgente realev(0) = E

v(i) = E − Rinti

R intE +

v(t)i(t)




condensatore

induttore


current source

componentireali




connessioni circuitali

serie/parallelosebbene le connessioni circuitali possano assumereforme molto complesse, in molti casi esse possonoessere ricondotte alla combinazione di elementiconnessi in serie e/o in paralleloqueste connessioni sono analizzate per trovareespressioni semplificatele connessioni sono presentate nel caso di resistori mal’approccio e’ valido per tutti i componenti




condensatore

induttore


current source

componentireali




connessione serie

due o piu’ componenti sono collegati in serie se sonopercorsi dalla stessa corrente

two resistors

i 2v R

vi 1

R

A

B

vi

2

1

AB1

2

equazioni costitutives

v1 = R1i1 (28)v2 = R2i2 (29)

equazioni topologche

i = i1 = i2 (30)vAB − v1 − v2 = 0 (31)

vAB = v1 + v2 = R1i1 + R2i2 = (R1 + R2) i = Reqi (32)




condensatore

induttore


current source

componentireali




connessione serie

partitore di tensione

i =vAB

R1 + R2(33)

v1 =R1

R1 + R2vAB v2 =

R2

R1 + R2vAB (34)

la tensione vAB si ripartisce tra i resistori ed ogni quotak − esima e’ proporzionale a

vk =Rk∑2j=1 Rj

vAB (35)




condensatore

induttore


current source

componentireali




connessione parallelo

due o piu’ componenti sono connessi in parallelo sesono sottoposti alla stessa tensione

due resistori

v

i

R

A

B

vi

AB

1

v21 i2

1 R2

equazioni costitutive

v1 = R1i1 (36)v2 = R2i2 (37)

leggi di Kirchhoff

i = i1 + i2 (38)vAB = v1 = v2 (39)

i = i1 + i2 =vAB

R1+

vAB

R2= vAB

(1

R1+

1R2

)(40)




condensatore

induttore


current source

componentireali





resistore equivalente

i = vAB

(1

R1+

1R2

)⇒ Req =

R1R2

R1 + R2(41)

la formula precedente e’ valida per due resistori inparalleloin generale dato che nella connessione parallelocompare il termine 1

R e’ piu’ conveniente utilizzare leconduttanze

i = vAB (G1 + G2)⇒ Geq = G1 + G2 (42)

la formula vale in caso di N resistori in parallelo




condensatore

induttore


current source

componentireali





partitore di correntein caso di due resistori

vAB =i

G1 + G2=

i1

R1+ 1

R2

=R1R2

R1 + R2i (43)

la corrente i si ripartisce in ogni resistore come:

i1 =vAB

R1=

1R1

R1R2

R1 + R2i =

R2

R1 + R2i (44)

i2 =vAB

R2=

1R2

R1R2

R1 + R2i =

R1

R1 + R2i (45)

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