Elettrotecnica - De Menna

EElleettttrrootteeccnniiccaa

Luciano De Menna

Vittorio Pironti EditoreNapoli

Copyright 1998 by Vittorio Pironti Editore, 209/217, via Lago Patria -Giugliano in Campania - Napoli, ItalyTutti i diritti sono riservati, nessuna parte di questa pubblicazione pu essereriprodotta con qualsiasi mezzo, memorizzata o trasmessa per mezzo elettronicosenza il permesso delleditore.

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Prefazione

questa la seconda edizione di un testo che raccoglie le lezioni del corso diElettrotecnica da me tenuto nei primi mesi del 1993 per il Consorzio Nettuno, nel-l'ambito di un Diploma teleimpartito in Ingegneria Informatica ed Automatica.Questo "peccato di origine" ne ha condizionato, nel bene e nel male, la sua stesura.Volendo conservare lo stretto legame tra testo e lezioni videoregistrate, si stati, infat-ti, in qualche modo condizionati da scelte a suo tempo fatte in merito ai contenuti edalla sequenza di esposizione degli argomenti. D'altra parte lo stretto coordinamento ci sembrato un vantaggio non indifferente che convenisse conservare. La stessa impo-stazione grafica del libro lo riflette: mentre nella colonna di sinistra si sviluppa il testo,nella colonna di destra scorrono le immagini, con l'indicazione della lezione, utilizzatenel corso video. Spesso le immagini sono soltanto un rimando visivo alla lezione; altrevolte esse fanno parte integrante del discorso sviluppato nel testo. Questa continuaconnessione tra i due testi, quello scritto e quello per immagini, costituisce un aspet-to innovativo a nostro avviso significativo dal punto di vista didattico.Alcuni argomenti, non trattati nel corso video per motivi di tempo, sono stati aggiun-ti nel testo ed opportunamente segnalati anche dal punto di vista grafico.Per altri, di maggior peso, si preferito una scelta diversa. Il corso del ConsorzioNettuno fu concepito inizialmente, infatti, per essere impartito al secondo semestre delprimo anno, a valle di un solo corso di Fisica. In tali condizioni la scelta di limitare ilprogramma al solo modello circuitale era obbligata. Del resto, sempre pi spesso, esi-genze di varia natura portano a scelte simili anche nei corsi di laurea tradizionali. C'il rischio per, cos facendo, di non riuscire a far cogliere quella stretta connessione tra

il modello dei campi e quello dei circuiti che uno dei punti formativi di un corso diElettrotecnica.Per questo motivo si pensato di integrare il testo con alcune appendici che ne con-sentono una duplice lettura, come diffusamente spiegato nell'introduzione.Questa seconda edizione non molto diversa dalla precedente; sono stati corretti alcu-ni errori tipografici e si cercato in qualche punto di migliorare lesposizione degliargomenti, in particolare nel capitolo sulla trasformata di Laplace. Inoltre si decisodi non accludere il software didattico al testo, essenzialmente perch, essendosi esso,nel frattempo, ampliato notevolmente, si preferito allegarlo ad una nuova pubblica-zione specifica, di prossima edizione, che ne illustrasse il funzionamento in modo pidettagliato, dal titolo Laboratorio Virtuale di Elettrotecnica.Lo spirito complessivo che ci ha animato stato quello di produrre un testo essenzial-mente didattico; cos in diversi punti sono proposti al lettore semplici esercizi chehanno lo scopo di chiarire aspetti trattati nella teoria, o di introdurre problematichenuove. Nei paragrafi successivi le soluzioni di alcuni dei problemi proposti vengonobrevemente discusse; per altri si rimanda al testo di esercizi consigliato.Ogni libro non mai il frutto del lavoro di una persona sola: oltre a chi materialmen-te lo scrive, in esso c il contributo di quanti hanno interagito con lautore ed hannocontribuito a creare lambiente culturale in cui egli si formato. Da questo punto divista sono lieto di dover riconoscere il mio debito nei confronti del mio maestro,Ferdinando Gasparini, e dei colleghi Oreste Greco e Scipione Bobbio. GiovanniMiano ha contribuito in modo importante a definire la impostazione di alcune parti dellibro e Luigi Verolino ne ha impietosamente cercato gli errori nella prima edizione.

Napoli 17 settembre 1998

II Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica

Tradizionalmente il corso di Elettrotecnica per gli allie-vi elettrici ed elettronici fa parte di quel gruppo di corsiche fanno da ponte tra le materie formative in sensolato del primo biennio e quelle, altrettanto formative,ma in maniera pi specifica ed applicativa, del succes-sivo triennio del corso di studi in Ingegneria. In questosenso tale corso avrebbe lo specifico compito di parti-re dallapprofondimento dei principi base trattati incorsi come Fisica, Analisi, Geometria ecc.., e portarelallievo alla padronanza delle metodologie e tecnicheche da questi princpi producono applicazioni, fino allesoglie dello studio delle stesse applicazioni concrete.L E l e t t rotecnica in part i c o l a re ha il compito diapprofondire il modello del campo elettromagneticolentamente variabile, o stazionario, ed il modello cir-cuitale. Sempre pi spesso, per, in questi ultimi anni,il corso di Elettrotecnica trova una collocazione, nelcurriculum complessivo degli studi, che non consentetale impostazione tradizionale. Talvolta, per esempio,come accade in alcuni Diplomi, il corso viene imparti-to a valle di un solo corso di Fisica; in tal caso, eviden-temente, la trattazione del modello del campo elettro-magnetico lentamente variabile, modello che alla basee giustifica quello circuitale, deve necessariamente esse-re rimandata ad altro corso.

Introduzione

Gli elementi di base di una teoria dei circuiti elettrici,invece, possono essere forniti in maniera assiomatica,prescindendo, in qualche modo, dalla loro fondamentoelettromagnetico: si danno per assunti alcuni assiomifondamentali e da questi si derivano tutte le proprietdel sistema cos costruito. Questo approccio anzi daalcuni autori preferito, in quanto presenta il vantaggiodi una maggiore sistematicit e organicit. La connes-sione, per, con i fenomeni fisici che quel modellodescrive viene ad allentarsi ed questo, dal punto divista didattico e formativo, a nostro avviso, un difettograve delle impostazioni assiomatiche; tali teorie, inve-ce, sono utilissime in una fase successiva di sistematiz-zazione della materia.A noi sembra di grande importanza didattica nonrinunciare, in un corso di Elettrotecnica, a fornire que-gli elementi di connessione con il vasto campo di feno-meni che vengono detti elettromagnetici, cos compiu-tamente descritto dal modello introdotto, nella secon-da met dellottocento, dallo scienziato inglese JamesClerk Maxwell e racchiuso nel suo famoso sistema diequazioni.Per questo motivo si pensato di realizzare un testoche consenta due possibili letture: il corpo centraledella trattazione costituito dagli elementi di base dellateoria dei circuiti, con brevi richiami di nozioni ele-mentari di elettromagnetismo, l dove strettamentenecessari. Alcune appendici poi - opportunamenterichiamate nel testo - consentono, a chi abbia acquisitoin un corso di Fisica le basi necessarie, di approfondirele connessioni tra teoria elettromagnetica e modello cir-cuitale.Tratteremo dunque del modello circuitale, un modelloed una teoria che danno conto del funzionamento disistemi apparentemente molto diversi tra di loro: daltradizionale circuito elettrico, ai dispositivi integratiche sono alla base della moderna elettronica; dai com-

2 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica

ponenti microscopici che hanno consentito lincredibi-le sviluppo dei computers dei nostri giorni, agliimpianti di grandi dimensioni che consentono la distri-buzione dellenergia elettrica in modo capillare. Infinevarr la pena di ricordare che concetti e schemi carat-teristici del modello circuitale trovano la loro applica-zione anche in campi in cui sembrerebbe pi difficileadattarli: nella teoria dei cosiddetti circuiti a microon-de, o in sistemi, come le antenne, in cui la propagazio-ne delle onde - teoricamente assente l dove si rendenecessaria lipotesi del lentamente variabile - unfattore dominante.Cominciamo quindi con alcuni richiami elementari dielettromagnetismo - forse sarebbe pi indicato direelettrologia - indispensabili per introdurre i due atto-ri principali della teoria dei circuiti: differenza dipotenziale ed intensit della corrente elettrica.Chi ritiene opportuna una introduzione pi articolataed approfondita, pu leggere la prima delle menziona-te appendici integrative e riprendere poi dal capitolo I.

Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica 3

Cariche elettriche e forze elettriche

I corpi materiali possono presentare propriet partico-lari che danno luogo alle cosiddette interazioni elettri-che e magnetiche. Elemento chiave di tali interazioni la carica elettrica, una propriet individuata da unagrandezza scalare q che prende il nome, appunto, dicarica elettrica. Per inciso, questa propriet quantiz-zabile, nel senso che esiste una carica minima pari ad e,tutte le altre essendo multiple di questa.Le cariche elettriche interagiscono tra di loro eserci-tando forze le une sulle altre. In particolare esistonodue diverse qualit di cariche: cariche dello stessotipo si respingono e cariche di tipo opposto si attrag-gono. Ci porta a dare a q un segno, negativo o positi-


vo, per distinguere le due possibili alternative. In parti-colare lelettrone, uno dei componenti dellatomo, hacarica negativa pari a -e, mentre nel nucleo dellatomosono presenti altri elementi, i protoni, che presentanouna carica positiva pari a +e.Apriamo, a questo punto, una brevissima parentesi suisistemi di unit di misura. Non discuteremo questotema e tutta la sottile problematica che esso implica,perch ci sembra un argomento pi adatto ad altrocorso; ci limiteremo a dichiarare che nel seguito faremosempre riferimento al Sistema Internazionale (S.I.), ericorderemo di volta in volta le unit di misura dellegrandezze che introdurremo. Daremo per implicito cheper ogni grandezza si possa immaginare di costruireuno strumento in grado di misurarla.Nel Sistema Internazionale la carica elettrica si misurain coulomb (C) e la carica dellelettrone , in modulo,pari a 1,60210 . 10-19C.Linterazione elettrica tra i corpi materiali pu esserericondotta ad una legge elementare che prende il nomedi legge di Coulomb. Questa legge immagina una situa-zione ideale in cui i corpi materiali portatori delle cari-che si riducano a punti geometrici. Introduciamo cos ilconcetto di carica puntiforme: un corpuscolo che occu-pa un volume idealmente nullo intorno ad un punto,ma con massa non nulla, e che portatore di una cari-ca elettrica q (positiva o negativa). Si tratta certamentedi una idealizzazione, ma non del tutto priva di fonda-mento fisico, se si pensa che i volumi occupati dainaturali portatori elementari di cariche, protoni edelettroni, sono generalmente molto piccoli rispetto alledimensioni che caratterizzano il fenomeno particolareche si vuole studiare; gli esperimenti ci dicono che, peresempio, la carica di un protone si pu immaginareconcentrata in una sfera di 10-13 cm di raggio.


Orbene, la legge di Coulomb afferma che se due cari-che puntiformi di tale tipo, q1 e q2, fossero poste(ferme) alla distanza r luna dallaltra, su ognuna dellecariche agirebbe una forza; in particolare, quella eser-citata dalla carica 1 sulla carica 2 espressa dalla for-mula:

La forza F12 dunque diretta lungo la congiungente trale due cariche, proporzionale al prodotto delle stesse,inversamente proporzionale al quadrato della distanzache le separa e, come si desume dalla presenza del ver-sore 12, diretta nel verso che va dalla posizione occu-pata dalla carica q1 a quella occupata dalla carica q2, seentrambe le cariche hanno lo stesso segno; tale forza ,dunque, attrattiva se le cariche q1 e q2 hanno segnoopposto, e repulsiva se esse invece hanno lo stessosegno. Sulla carica q1 agisce una forza eguale ed oppo-sta:

Se le cariche sono libere di muoversi, tali forze produ-cono movimento, secondo le ben note leggi della dina-mica newtoniana.Se ci limitassimo a considerare solo cariche ferme edaggiungessimo, alla legge di Coulomb, la propriet chetali forze di interazione sono sovrapponibili - in pre-senza, cio, di pi cariche puntiformi, la forza agente suognuna di esse la somma vettoriale delle forze cheogni altra carica produrrebbe sulla stessa carica, inassenza delle altre - potremmo derivare, dalla sola leggedi Coulomb, tutte le leggi della interazione elettrica. Lecose si complicano un poco quando consideriamo cari-che in movimento: la legge di Coulomb va leggermen-te modificata, o sostituita con altre leggi ad essa equi-valenti. Non possiamo, per, in questa sede, approfon-dire oltre largomento.

F12 = - F21 .

r

F12 = k q1q2r2

r12 . (1)


Supponiamo di avere, in una regione dello spazio, unadistribuzione di cariche. Non ci occuperemo dellecaratteristiche di tale distribuzione, ma soltanto della-zione che tali cariche esercitano su altre cariche.Supponiamo ancora di poter disporre di una caricapuntiforme, e positiva, che goda delle propriet di nondisturbare la posizione o il movimento delle altre cari-che. In qualsiasi punto si venga a trovare la carica inquestione, che dora in poi chiameremo carica di prova,essa risentir di una forza prodotta dalle altre cariche,che dora in poi chiameremo cariche sorgenti. Se la cari-ca di prova unitaria, chiameremo campo elettrico E laforza che essa risente. Per una carica di valore q, per lalegge di Coulomb, la forza sar F = qE. In realt laforza percepita dalla carica di prova non dipende sol-tanto dalla posizione in cui essa si trova, ma anche dallavelocit con cui essa passa per il punto in questione.Anche questo argomento che non ci dato approfon-dire in questa breve sintesi.In ogni caso se immaginiamo di portare la carica diprova q,da un punto A ad un punto B lungo una lineag, la forza F che agisce sulla carica compir un lavoroper unit di carica che potremo calcolare come:

Nella prima immagine della pagina illustrato il signi-ficato dell'integrale: somma di infiniti contributi infini-tesimi. A tale lavoro viene dato il nome di tensionelungo la linea g tra i punti A e B, e si misura in volt (V).Lo strumento che la misura verr detto voltmetro eavremo modo di parlarne nel seguito.Si noti che per poter parlare di tensione tra due puntibisogna aver specificato una linea g tra gli stessi, ed il

TAgB = Fq dlgA

B

. (2)



verso in cui ci si muove sulla linea (da A a B oppure daB ad A); ci giustifica anche il simbolo utilizzato.Supponiamo ora di spostare la carica di prova lungounaltra linea, b , tra gli stessi punti A e B, come mostra-to in figura. Anche in questo caso verr compiuto unlavoro TA b B, che in generale sar diverso dal preceden-te. In determinate situazioni accade invece che tale lavorosia indipendente dal percorso e dipende esclusivamen-te dai due punti estremi. Sarebbe facile far vedere, uti-lizzando la legge di Coulomb, che una tale situazione siverifica se le cariche sorgenti sono tutte ferme e la cari-ca di prova si immagina mossa lentissimamente, unprocesso che in fisica viene definito adiabatico. Si osser-vi che in questo caso il lavoro compiuto dalla forza Fquando la carica di prova mossa lungo un percorsochiuso - per esempio lunione di g e b , questultimoorientato nel verso opposto - identicamente nullo.Supponiamo di essere in queste condizioni e di calco-lare il lavoro che il campo compie quando la carica diprova si muove da un punto qualsiasi nello spazio adun punto O fisso. Per ogni punto A prescelto avremoun valore di tale lavoro, indipendentemente dal per-corso compiuto per andare da A a O. Abbiamo in pra-tica costruito una funzione V(A) dei punti dello spazioche chiameremo potenziale del punto A rispetto ad O.In particolare evidente che la funzione V in O nulla.Si dice che il punto O stato scelto come punto di rife-rimento dei potenziali. Se ora, per esempio, immagi-niamo di calcolare la tensione tra A e B (vedi immaginia lato), otteniamo:

perch il lavoro da A a B, nelle nostre ipotesi, lo stes-so sia che si vada lungo g AB sia che si vada lungo a , nelverso segnato in figura, e lungo b , nel verso opposto.

Nel caso in cui, dunque, il lavoro indipendente dal

TAg B = TAa O - TBb O = V(A) - V(B)

percorso esso pu essere messo sotto la forma di unadifferenza di potenziale (d.d.p. nel seguito) tra i duepunti in esame. Si noti che tale lavoro positivo, equindi le sorgenti compiono effettivamente lavoro sullacarica di prova, se il potenziale di A, V(A), maggioredi quello di B, V(B).

Intensit della cor rente elettrica

Come si detto, i portatori di cariche elettriche posso-no essere in movimento. Supponiamo di avere in unaregione dello spazio un gran numero di tali portatori,tutti di egual carica q e tutti con la stessa velocit v. Lecariche siano tanto numerose, ed i loro portatori occu-pino un volume tanto piccolo - la solita idealizzazio-ne della carica puntiforme - da poter descrivere la lorodistribuzione attraverso una funzione densit n: se dV un volumetto elementare, i portatori contenuti in talevolume sono, per definizione, dN= ndV.Consideriamo ora una superficie piana S attraverso laquale, nel loro moto, le cariche si trovano a passare.Vogliamo calcolare la quantit di carica che nel tempodt attraversa detta superficie nel verso che va da sinistraa destra. Costruiamo un cilindro con base sulla super-ficie S e lunghezza, nella direzione parallela a v, pari avdt. Per costruzione tutte le particelle che, allistante t,si trovano nel cilindro considerato, nel tempo dt, per-correndo lo spazio vdt, si troveranno a passare attra-verso la superficie S, mentre tutti i portatori al di fuoridel volume considerato, o mancheranno la superficieS, oppure percorreranno una distanza insufficiente adincontrarla. Se ne deduce che il numero di portatoriche attraverseranno la superficie S nel tempo dt parial numero di portatori contenuti nel cilindro di volumeS vdt cos b , cio nS vdt cos b , dove b langolo fra ladirezione di v e quella della normale ad S.



Dato che ogni portatore dotato di carica q, la caricatotale che attraversa la superficie S nel tempo dt :

e nellunit di tempo:

A tale grandezza viene dato il nome di intensit di cor -rente elettrica.Naturalmente la definizione di intensit di correnteelettrica che abbiamo illustrato in un caso semplice,pu essere estesa al caso in cui i portatori siano dotatidi carica diversa, non abbiamo tutti la stessa velocit, ela loro densit vari da punto a punto. Si noti che il con-cetto di intensit di corrente richiede, oltre ad unadistribuzione di cariche in movimento, la scelta di unasuperficie attraverso cui si intende valutare il flusso dicariche e quella di un verso, lorientazione della nor-male su S. Nel seguito parleremo spesso di intensit dicorrente senza specificare la superficie attraverso laquale intendiamo calcolarla, mentre specificheremosempre il verso; ci accade perch, nei casi in questio-ne, la superficie implicitamente definita. il caso incui il moto dei portatori obbligato a svilupparsi lungoun percorso determinato, il conduttore appunto.Vale la pena di sottolineare, ancora una volta, che sia ilconcetto di tensione che quello di corrente presuppon-gono la scelta di un verso: la tensione da un punto A adun punto B e la corrente in un verso lungo il percorsostabilito.Ricordiamo infine che lunit di misura dellintensit dicorrente elettrica nel Sistema Internazionale lampere(A), pari ad un coulomb al secondo, e che lo strumen-to che la misura viene detto amperometro.

La legge di Ohm ed il bipolo resistor e

I = dQ dt

= nqS v cos b .

dQ = nqS vdt cos b ,

I corpi materiali si comportano in maniera differentequando ad essi viene applicata una differenza di poten-ziale. Come sappiamo, tra i costituenti elementari dellamateria vi sono portatori di cariche elettriche: elettronie ioni. Tali portatori possono essere pi o meno legatialla struttura del corpo materiale e quindi pi o menoliberi di muoversi. Sotto lazione della differenza dipotenziale i portatori liberi (ma non completamenteliberi, come vedremo), si muovono e danno luogo aduna corrente elettrica.Da questo punto di vista, e con una classificazione peril momento solo grossolana, potremmo inserire ognimateriale in una scala che vede ad un estremo lisolan -te perfetto - un materiale in cui i portatori di cariche osono completamente assenti, o, se presenti, sono deltutto impediti nel loro moto - ed allaltro estremo ilconduttore perfetto in cui i portatori di cariche, presen-ti in gran numero, sono completamente liberi di muo-versi. Il vuoto perfetto, per esempio, fin tanto che rima-ne tale, certamente un perfetto isolante, mentre uncorpo metallico, rame per esempio, portato a bassissi-ma temperatura pu essere considerato una buonaesemplificazione di un conduttore perfetto. Nei mate-riali metallici, o conduttori di prima specie, in particola-re, i portatori di carica responsabili della corrente sonogli elettroni periferici degli atomi o molecole che costi-tuiscono, con il loro reticolo, la struttura del materialestesso. Tali elettroni, debolmente legati ai rispettiviatomi, formano in effetti una sorta di nube elettronicache, sotto lazione di una forza prodotta dallapplica-zione di una differenza di potenziale, si mette in motoe produce una corrente.Per un gran numero di tali conduttori, e per un campodi variabilit dei parametri in gioco discretamente


ampio, sussiste una relazione di proporzionalit tra lad.d.p. applicata e la corrente prodotta: a tale relazionedi proporzionalit viene dato il nome di legge di Ohm .Cerchiamo di approfondire il contenuto della legge diOhm facendo riferimento ad una configurazione idea-le semplice. Supponiamo di avere un corpo materiale edi individuare sulla superficie che lo racchiude duepunti ai quali immaginiamo di applicare la d.d.p. V.Supponiamo inoltre di essere in grado di portare aduno dei due punti e di prelevare dallaltro, una qualsia-si corrente I; non domandiamoci, per il momento,chi applica la d.d.p. n come portiamo e prelevia-mo la corrente nei due punti. Una volta fissati i punti diaccesso della corrente, il moto delle cariche allinternodel corpo si svilupper in una ben precisa maniera chenon necessario, per, in questa fase, specificare inmaggior dettaglio. Se, in queste condizioni, immaginia-mo di applicare agli stessi punti, diverse differenze dipotenziale, e misuriamo la corrente che ne deriva, veri-ficheremo che:

V = R I. (3)Alla costante di proporzionalit R, che nel SistemaInternazionale si misura in ohm, viene dato il nome diresistenza del corpo in esame, quando alimentato nellamaniera indicata. Questa precisazione necessaria per-ch il valore della costante R, in generale, cambia secambiano i due punti di applicazione della d.d.p., coscome cambia ancora, se, invece di due punti ideali pen-siamo a due superfici attraverso le quali la correnteviene portata e prelevata; in questo caso R dipendeanche dalla forma ed estensione di tali superfici (glielettrodi). Per questo motivo ci siamo resi indipenden-ti dalla forma degli elettrodi supponendoli, in unasituazione ideale, addirittura puntiformi.Naturalmente la stessa legge di proporzionalit pu


essere espressa nella forma:I = G V, (4)

dove G = 1/Rprende il nome di conduttanza ed misu-rata in Siemens (S). interessante approfondire lanalisi del contenutodella legge di Ohm allo scopo di cercare di distinguerein essa la parte che dipende dalla geometria del corpoda quella che invece dipende strettamente dalla naturadel materiale. Per semplicit espositiva assumiamo unageometria molto semplice: un cilindro abbastanzalungo rispetto alla sua dimensione trasversale, in mododa poter ritenere che la maniera in cui viene applicatala d.d.p. non possa influenzare in modo significativo ladistribuzione del moto delle cariche allinterno delc i l i n d ro. In tali ipotesi una indagine sperimentalemostra che

dove r prende il nome di resistivit del materiale - ilsuo inverso s quello di conducibilit - e dipende solodalla sua natura e dalle condizioni fisiche in cui si trovaad operare, L la lunghezza ed S la misura della sezio-ne trasversale del cilindro. Nella immagine a lato sonoriportati valori indicativi della resistivit di alcuni mate-riali alla temperatura ambiente. Come si vede rame edargento hanno una bassa resistivit. Il rame costituisceil miglior compromesso - bassa resistivit e basso costo- e per questo motivo di gran lunga il materiale piusato nelle applicazioni elettriche, tanto che nel lin-guaggio comune rame diventato sinonimo di condut-tore elettrico.

R = r LS

(5)


Il modello di Drude

Il fatto che alcuni materiali - che vengono appunto detti ohmici - sottostannoalla legge di Ohm, ha un significato molto sottile che cercheremo di esaminaresia pure solo qualitativamente. Dalla definizione di intensit di corrente risultaevidente che la stessa proporzionale alla velocit media dei portatori di cari-ca. Daltra parte la differenza di potenziale, in quanto integrale del campo,deve essere proporzionale alla forza esercitata sui portatori stessi; il campoinfatti la forza per unit di carica. La legge di Ohm, dunque, afferma che lavelocit proporzionale alla forza, in apparente contraddizione con le leggidella dinamica che vogliono questultima proporzionale allaccelerazione:

F = ma.In effetti la contraddizione solo apparente in quanto la legge di Newtonimmagina il corpo, soggetto a forze, completamente libero di muoversi.Evidentemente i portatori di carica in un conduttore ohmico non sono com-pletamente liberi di muoversi! Il reticolo che costituisce il corpo materiale incui i portatori sono costretti a muoversi offre un qualche ostacolo al moto dellecariche. La legge di Ohm, in effetti, ci consente di determinare quale tipo diostacolo. Supponiamo infatti che leffetto complessivo delle cariche ferme,costituenti il reticolo, sia equivalente ad un attrito e quindi proporzionale allavelocit; la forza complessiva che agisce sulle cariche sar allora F - k v, datoche lattrito si oppone allazione del campo elettrico.Se si raggiunge una condizione stazionaria, la velocit delle cariche sar costan-te, e la loro accelerazione, quindi, nulla. Avremo dunque:

F - k v = m a = 0,

e quindi F = kv, come prescritto dalla legge di Ohm. Questo modello dellaconduzione nei conduttori ohmici, che va sotto il nome di modello di Drude,e che abbiamo esposto solo in maniera qualitativa, pu, in realta, essereapprofondito anche ad un livello quantitativo con buoni risultati. A noi inte-ressava farne cenno soprattutto per sottolineare il fatto che la validit dellalegge di Ohm richiede il verificarsi di una condizione abbastanza particolare.Non stupisce quindi che tale legge non sia soddisfatta da tutti i materiali, e che


gli stessi materiali ohmici siano tali solo in determinate condizioni; per esem-pio al variare della temperatura del corpo in esame la resistivit del materialenon si mantiene costante, come vedremo meglio nel seguito. Non meno impor-tante, dal punto di vista applicativo, il caso di quei materiali che non sotto-stanno alla legge di Ohm e che quindi presentano una dipendenza non linearetra tensione e corrente. La moderna elettronica tutta basata sul comporta-mento di tali materiali.
