Fisica 2 Corrente continua

8a lezione

Programma della lezione

• Corrente elettrica

• Densità di corrente

• Legge di Ohm, resistenza

• Resistività, conduttività

• Energia nei circuiti elettrici

• Mobilità dei portatori

• Composizione di resistenze

Corrente elettrica

• Per definizione è il rapporto tra la carica passata attraverso una superficie e il tempo impiegato

• Corrente media e corrente istantanea

• Esempi: – corrente in un filo conduttore– Corrente di un fascio di particelle– Corrente ionica in un liquido

t

QI

dt

dqI

Corrente elettrica

• Alla corrente possono contribuire sia cariche positive che negative

• I contributi si sommano se le velocità sono opposte

• Il verso convenzionale della corrente è quello della velocità delle cariche positive

Dimensioni fisiche. Unità di misura

• Le dimensioni della corrente sono carica diviso tempo

• L’unità di misura è l’ampere (A) definito come coulomb diviso secondo

• Nel SI puro è il coulomb ad essere definito in termini di ampere

1QTI

s

CA

Corrente nei metalli

• In un oggetto metallico, alcuni degli elettroni più esterni degli atomi costituenti vengono condivisi da tutto l’oggetto

• Sono quindi liberi di muoversi entro l’oggetto, ma vincolati a non lasciarlo da forze alla superficie

• Posseggono un moto di agitazione termica che è del tutto casuale → la velocità per diversi elettroni o in diversi istanti assume le diverse orientazioni possibili in modo casuale

• La velocità termica ha, in modulo, un valore molto elevato

Corrente nei metalli

• L’applicazione di un campo E produce una forza su tutti gli elettroni liberi, che di conseguenza si muovono con una velocità di deriva

• La velocità di deriva di tutti gli elettroni ha la medesima direzione (opposta a E)

• La velocità di deriva ha valore piuttosto piccolo

Corrente e densità dei portatori• Consideriamo un filo metallico sede di corrente

stazionaria, di sezione (retta) costante A, • sia n la densità di portatori

• e vd la velocità di deriva

• Il numero di portatori N che passa attraverso A nel tempo è pari al numero di portatori presenti nel volume del cilindro di base A e altezza

• La corrente è dunque

tvd

tvd

A

ttvd

Anqvt

Vqn

t

qNI d

Corrente e densità dei portatori• Se la sezione non è retta, il volume è

• Dove è l’angolo formato dai vettori area A e velocità vd

cioè:• La corrente si può allora scrivere:

• Ove è stato introdotto il vettore densità di corrente

• La corrente si può interpretare come il flusso del vettore densità di corrente attraverso la sezione A

tAvV d

AJAvnqt

Vqn

t

qNI d

costAvV d

dd vvnqJ

Densità di corrente• Se il flusso di carica non è uniforme sulla sezione del

conduttore, possiamo generalizzare la definizione di corrente come integrale del flusso della densità di corrente sull’elemento di area della sezione

• Generalizzazione a più specie di portatori

N

kkkk vqnJ

1

S

adJI

Corrente attraverso superfici chiuse

• Relazione tra densità di carica e di corrente

• Conservazione della carica

• Applicando il teorema della divergenza al primo membro

0i0

dt

dq0

dt

dq0i

dt

dqi

)(SS

dVdt

dadJ

)()( SS

dVt

dVJ

Equazione di continuità

• Dall’uguaglianza degli integrali, segue

• Se non c’è dipendenza dal tempo, si ha uno stato stazionario:

tJ

0t

0 J

Densità di corrente

• Per un filo di sezione uniforme, il modulo è il rapporto tra intensità di corrente e sezione retta del filo

• Dimensioni

• Unità di misura

2TL

Q

A

IJ

dnqvA

IJ

2sm

CJu

Confronto tra velocità termica e di deriva

• Velocità termica a 300 K

• Velocità di deriva in un filo di Cu di sezione A=1mm2 per una corrente di 1A

smm

kTv

kTmv

th

th

/102.11011.9

3001038.133

2

3

2

1

52

1

31

23

2

smnqA

Iv

nqAvI

d

d

/104.710106.11047.8

1 561928

Metalli - Legge di Ohm

• Lega la differenza di potenziale con l’intensità di corrente in un conduttore metallico

• Le due grandezze V e I risultano proporzionali– R: resistenza– K: conduttanza

• Dimensioni fisiche della resistenza

• Unità di misura è l’ohm ()

KVI RIV

I

VR

A

V

Resistività• La resistenza dipende dalle

dimensioni geometriche – lunghezza l, sezione A

• e dalla natura del conduttore– resistività

• Resistività– Dimensioni– Unità di misura

• Conduttività: è l’inverso della resistività

• La resistività dipende dalla temperatura

A

lR

l

RA

RLm

1

201 2020 t)(T

Metalli – campo E dentro il filo

• Campo E in un filo conduttore a sezione costante

• Cioè V è proporzionale alla lunghezza, ne segue che il campo è uniforme

J

A

i

x

VE

A

xixiRxVV )()(0

xV0-V(x)

JE

Legge di Ohm microscopica

Metalli – relazione tra vd e E

• Risolvendo per i

• e dall’espressione della corrente in funzione della velocità di deriva dei portatori

• Segue che tale velocità è proporzionale al campo– Il moto non è uniformemente accelerato,

come accade per una carica libera in un campo E

– : mobilità

EA

i

Aqnvi d

Eqn

Evd

Mobilità dei portatori

• Dimensioni

• Unità

M

QT

ML

TIL

U

IL

VQ

IL

LRQ

L

qn

2

222231

kg

Csu

Energia nei circuiti elettrici

• Consideriamo due punti 1 e 2 su di un filo conduttore a potenziale V1 e V2 risp.

• Una carica Q passa da 1 a 2, l’energia potenziale varia di

• Siccome la velocità dei portatori non cambia, c’è una perdita netta di energia dei portatori

• Questa energia è ceduta agli ioni del reticolo del conduttore e si manifesta come energia termica: effetto Joule

• Energia fornita dal generatore

01212 VVQQVQVU

Potenza dissipata• La potenza Joule è uguale

all’energia dissipata diviso il tempo

• È fornita dal generatore elettrico

• Dimensioni fisiche

• Unità di misura

• Forme alternative

TQT

QIVP

EE

IV

t

VVQ

tP

21E

Ws

J

C

J

s

CAVPu

R

VRIIVP

22

Composizione di resistenze

• Composizione in serie. 1 e 2 sono entrambe percorse dalla stessa corrente I, ai capi di 1 c’è una caduta di potenziale V1 e ai capi di 2 una caduta V2

• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando è percorsa dalla stessa corrente I, troviamo ai suoi capi la caduta di potenziale V1+V2

• Cioè la resistenza equivalente è la somma delle resistenze

2121 IRIRVV

IRV

21 RRR

Composizione di resistenze

• Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno una ugual caduta di potenziale V ai loro capi e sono percorse dalle correnti I1 e I2 risp.

• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando ai suoi capi c’è la stessa caduta di potenziale V essa è percorsa dalla corrente I1+I2

• Cioè l’inverso della resistenza equivalente è la somma degli inversi delle resistenze 1 e 2

2121 R

V

R

VII

R

VI

21

111

RRR