Corrente continua 16 giugno 2011

Corrente elettrica

Densità di corrente

Legge di Ohm, resistenza

Resistività, conduttività

Mobilità dei portatori

Composizione di resistenze

Energia e potenza nei circuiti elettrici

Corrente elettrica

• Per definizione è il rapporto tra la carica passata attraverso una superficie e il tempo impiegato

• Corrente media e corrente istantanea• Inizialmente ci occuperemo principalmente di

correnti stazionarie, cioe` costanti nel tempo• Esempi di corrente:

– corrente in un filo conduttore– Corrente di un fascio di particelle– Corrente ionica in un liquido

t

QI

dt

dqI

2

Il Tevatron di Fermilab

• The Tevatron is currently colliding 36 proton against 36 antiproton bunches, where either beam consists of 3 equally spaced trains of 12 bunches in a common single vacuum chamber

• The two beams are separated by a helical orbit except at the two locations of High Energy Physics (HEP) experiments, where they collide head on

• Recently, the total beam intensities injected into the Tevatron has been slightly over 10×1012 protons and 1.2×1012 antiprotons

3

Corrente elettrica

• Alla corrente possono contribuire sia cariche positive che negative

• I contributi si sommano se le velocità sono opposte

• Il verso convenzionale della corrente è quello della velocità delle cariche positive

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Dimensioni fisiche. Unità di misura

• Le dimensioni della corrente sono carica diviso tempo

• L’unità di misura è l’ampere (A) definito come coulomb diviso secondo

• Nel SI puro è il coulomb ad essere definito in termini di ampere

1QTI

s

CA

5

Corrente nei metalli

• In un oggetto metallico, alcuni degli elettroni più esterni degli atomi costituenti vengono condivisi da tutto l’oggetto

• Sono quindi liberi di muoversi entro l’oggetto, ma vincolati a non lasciarlo da forze alla superficie

• Posseggono un moto di agitazione termica che è del tutto casuale, ovvero la velocità per diversi elettroni o in diversi istanti assume le diverse orientazioni possibili in modo casuale

• La velocità termica ha, in modulo, un valore molto elevato

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Corrente nei metalli

• L’applicazione di un campo E produce una forza su tutti gli elettroni liberi, che di conseguenza si muovono con una velocità di deriva

• La velocità di deriva di tutti gli elettroni ha la medesima direzione (opposta a E)

• La velocità di deriva ha valore piuttosto piccolo

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Corrente e densità dei portatori• Consideriamo un filo metallico sede di corrente

stazionaria, di sezione (retta) costante A• sia n la densità di portatori

• e vd la velocità di deriva

• Il numero di portatori N che passa attraverso A nel tempo è pari al numero di portatori presenti nel volume del cilindro di base A e altezza

• La corrente è dunque

tvd

tvd

A

ttvd

Anqvt

Vqn

t

qNI d

8

Corrente e densità dei portatori• Se la sezione non è retta, il volume è

• Dove è l’angolo formato dai vettori area A e velocità vd

cioè:• La corrente si può allora scrivere:

• Il numero di portatori puo` anche non essere distribuito uniformemente, allora

• Ove n e` la densita` numerica dei portatori e quella di carica

tAvV d

AvAvnqt

Vqn

t

qNI dd

costAvV d

VnN ndVdN

dV

dNn

dV

dNqqn

9

Corrente e densità di corrente

• La corrente si può scrivere anche

• Ove è stato introdotto il vettore densità di corrente

• La corrente si può interpretare come il flusso del vettore densità di corrente attraverso la sezione A

dd vvnqJ

AJI

10

Corrente e densità di corrente• Se il flusso di carica non è uniforme sulla sezione del

conduttore, possiamo generalizzare la definizione di corrente come integrale del flusso della densità di corrente sull’elemento di area della sezione

• Generalizzazione della densita` di corrente a più specie di portatori

N

kk

N

kkk

N

kkkk JvvqnJ

111

S

AdJI

11

Corrente attraverso superfici chiuse

• Relazione tra densità di carica e di corrente

• Conservazione della carica

• Applicando il teorema della divergenza al primo membro

0i0

dt

dq0

dt

dq0i

dt

dqi

)(SS

dVdt

dAdJ

)()( SS

dVt

dVJ

J

Ad

AdJ

12

Equazione di continuità

• Dall’uguaglianza degli integrali, segue

• Se non c’è dipendenza dal tempo, si ha uno stato stazionario:

tJ

0t

0 J

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Densità di corrente

• Per un filo di sezione uniforme, il modulo è il rapporto tra intensità di corrente e sezione retta del filo

• Dimensioni

• Unità di misura

2TL

Q

A

IJ

dnqvA

IJ

2sm

CJu

14

Confronto tra velocità termica e di deriva

• Velocità termica a 300 K

• Velocità di deriva in un filo di Cu di sezione A=1mm2 per una corrente di 1A

smm

kTv

kTmv

th

th

/102.11011.9

3001038.133

2

3

2

1

52

1

31

23

2

smnqA

Iv

nqAvI

d

d

/104.710106.11047.8

1 561928

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Metalli - Legge di Ohm

• Lega la differenza di potenziale con l’intensità di corrente in un conduttore metallico

• Le due grandezze V e I risultano proporzionali– R: resistenza– K: conduttanza

• Dimensioni fisiche della resistenza

• Unità di misura è l’ohm ()

KVI RIV

I

VR

A

V

AB VVV

A BI

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Resistività• La resistenza dipende dalle

dimensioni geometriche – lunghezza l, sezione A

• e dalla natura del conduttore– resistività

• Resistività– Dimensioni– Unità di misura

• Conduttività: è l’inverso della resistività

• La resistività dipende dalla temperatura

A

lR

l

RA

RLm

1

201 2020 t)(T 17

Campo E in un filo

• Campo E in un filo conduttore a sezione costante

• Cioè V è proporzionale alla lunghezza, ne segue che il campo è uniforme

J

A

i

x

VE

A

xixiRxVV )()(0

xV0-V(x)

Legge di Ohm microscopica,ha validita` generale

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JE

Relazione tra vd e E

• Risolvendo per i

• e dall’espressione della corrente in funzione della velocità di deriva dei portatori

• Segue che tale velocità è proporzionale al campo– Il moto non è uniformemente accelerato,

come accade per una carica libera in un campo E

– : mobilità

EA

i

Aqnvi d

Eqn

Evd

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Mobilità dei portatori

• Dimensioni

• Unità

M

QT

ML

TIL

U

IL

VQ

IL

LRQ

L

qn

2

222231

kg

Csu

20

Composizione di resistenze

• Composizione in serie. 1 e 2 sono entrambe percorse dalla stessa corrente I, ai capi di 1 c’è una caduta di potenziale V1 e ai capi di 2 una caduta V2

• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando è percorsa dalla stessa corrente I, troviamo ai suoi capi la caduta di potenziale V1+V2

• Cioè la resistenza equivalente è la somma delle resistenze

2121 IRIRVV

IRV

21 RRR

21

Composizione di resistenze

• Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno una ugual caduta di potenziale V ai loro capi e sono percorse dalle correnti I1 e I2 risp.

• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando ai suoi capi c’è la stessa caduta di potenziale V essa è percorsa dalla corrente I1+I2

• Cioè l’inverso della resistenza equivalente è la somma degli inversi delle resistenze 1 e 2

2121 R

V

R

VII

R

VI

21

111

RRR

22

Energia nei circuiti elettrici• Consideriamo due punti 1 e 2 su di un filo conduttore a

potenziale V1 e V2 risp.• Una carica Q passa da 1 a 2, l’energia potenziale varia

di• Per la conservazione dell’energia, l’energia cinetica

degli elettroni dovrebbe aumentare• In realta` abbiamo visto che la velocità dei portatori non

cambia, c’è una perdita netta di energia dei portatori• L’energia cinetica è infatti ceduta per urto agli ioni del

reticolo del conduttore e si manifesta come energia termica: effetto Joule

• L’energia e` fornita, in ultima analisi, dal generatore

01212 VVQQVQVU

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Potenza dissipata• La potenza Joule è uguale

all’energia dissipata diviso il tempo

• È fornita dal generatore elettrico

• Dimensioni fisiche

• Unità di misura

• Forme alternative (per conduttori ohmici)

TQT

QIVP

EE

IV

t

VVQ

tP

21E

Ws

J

C

J

s

CAVPu

R

VRIIVP

22

24