Fisica 2 5° lezione. Programma della lezione Angolo solido Flusso del campo elettrico Legge di...
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Fisica 25° lezione
Programma della lezione
• Angolo solido
• Flusso del campo elettrico
• Legge di Gauss
Angolo solido
• Consideriamo una superficie sferica di raggio r
• Una curva chiusa definisce una superficie
• L’area è proporzionale al quadrato del raggio
• L’angolo solido è definito come il rapporto tra area e raggio al quadrato
• L’angolo corrispondente a tutto lo spazio è
44
2
2
2
r
r
r
Asferaspazio
2r
A
Flusso del campo elettrico
• Procediamo per generalizzazioni successive• Campo uniforme perpendicolare ad una
superficie• Campo uniforme inclinato rispetto alla
superficie
• Campo non uniforme
EASE )|(
EAESAESE cos)|(
S
AdESE
)|(
Flusso di E: carica al centro di una sfera
• Flusso del campo di una carica puntiforme positiva attraverso una superficie sferica centrata sulla carica
• Idem per una carica negativa • Il flusso non dipende dal raggio della sfera
kQdkQdrr
QkEdAAdESE
SS SS
4)|( 22
Flusso di E: carica interna ad una superficie chiusa
• Flusso del campo di una carica puntiforme attraverso una superficie chiusa qualunque che la contiene
kQdkQ
drr
Qk
EdAEdA
AdESE
S
S
SS
S
4
cos
)|(
22
Flusso di E: carica esterna ad una superficie chiusa
• La superficie chiusa si può considerare come l’unione di due superfici aperte che sono viste dalla carica secondo uno stesso angolo solido
• I due flussi sono uguali e contrari, perché i prodotti scalari elementari hanno segno opposto sulle due superfici
0
)|(
21
21
21
kQkQ
EdAEdA
AdEAdE
AdEAdESE
SS
SS
SSS
Legge di Gauss
• Flusso del campo di più cariche puntiformi attraverso una superficie qualunque
• Legge di Gauss• 1a equazione
dell’e.m.
0
intint
1
int
1
11
4
4)|(
)|(
tottot
n
jj
n
jj
n
j S
j
S
n
jj
S
QkQ
kQSE
AdEAdE
AdESE
Forma differenziale della legge di Gauss
• Consideriamo l’equazione• Applicando il teorema della
divergenza, l’integrale di superficie si può trasformare in un integrale di volume
• La carica si può pure esprimere come un integrale di volume
• La legge di Gauss si può quindi riscrivere
• L’uguaglianza degli integrali implica l’uguaglianza degli integrandi
0
int
tot
S
QSdE
dVESdESVS
)(
)(
int
SV
tot dVQ
)( 0)( SVSV
dVdVE
0
E
Esercizi sulla legge di Gauss
• Campo elettrico di– Piano indefinito con densità superficiale di
carica uniforme– Filo indefinito con densità lineare di carica
uniforme– Sfera, con densità di carica spaziale uniforme
• Campo all’interno di conduttori pieni e cavi– Caso particolare di sfere concentriche
Campo E sulla superficie di un conduttore
• Consideriamo una superficie dG cilindrica S di base molto piccola parallela alla superficie del conduttore
• Superficie laterale: parallela al campo esterno
• Il flusso del campo E attraverso S è dato dal solo termine relativo alla base esterna (di area A)
• Detta Q(S) la carica contenuta in S, per la LdG
• Quindi il campo sulla superficie vale
EAE )(
E=0
EAE )(
00
)()(
ASQ
E
0
E
S
Variazione discontinua di En attraverso uno strato di carica
• Una superficie cilindrica S con base piccola e altezza ancor più piccola
• Il flusso di E attraverso S ha tre pezzi: base 1, base 2, superficie laterale
• Trascuriamo il flusso sulla SL, in quanto l’altezza può essere presa piccolissima
• Nota la carica contenuta in S, per la LdG
• La variazione della componente normale En di E è
),(),( 2211 latSEAEAESE
+++++++++++++++++++++
n
1211
2211),(
AEAE
AEAESE
nn
nn
0
1
0
)()(
ASQ
E
021
nn EE
1
2