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Corso di Fisica- Biomeccanica

Prof. Massimo MaseraCorso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche

Anno Accademico 2011-2012

dalle lezioni del prof. Roberto CirioCorso di Laurea in Medicina e Chirurgia

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L’elasticità in un solido e la legge di Hooke

La lezione di oggi

Equilibrio statico e dinamico

Leve

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Si definisce corpo rigido un corpo

che non si può deformare,

qualunque sia l’entità delle forze

che agiscono su di esso.

Corpo rigido

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Momento di una forza

Equilibrio statico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa

5

Il momento di una forza

Il momento di una forza mi permette di

quantificare la capacità di una forza di causare

una rotazione

Il momento di una forza

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Il vettore t ha: Modulo: r F sin q Direzione: perpendicolare al piano di r e F Verso: regola della mano destra (r: pollice, F: indice, t: medio)

Unità di misura: N m (non Joule !)

Dimensionalmente: [L][MLT-2] = [M][L2][T-2]

t > 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso antiorario

t < 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso orario

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Il momento di una forza

F e r

perpendicolari

rF )sen(90Fr τ o

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Il momento di una forza

F e r

paralleli

0 )sen(0Fr τ o

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Il momento di una forza

F e r

con angolo

qualunque senθFr - θ) - sen(2πFr τ

Nota. Il segno ‘-’ tiene conto del fatto che l’accelerazione è in

verso orario (ovvero, negativo)

2p-q

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Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa

Questo sistema (tavola+bambino) è ESTESO

Se la risultante delle forze esterne è nulla, come in questo caso: Il sistema nel suo insieme non accelera e si muove con moto

rettilineo uniforme (in particolare può stare fermo) MA, a seconda di come forze e masse sono distribuite, può

compiere dei movimenti di rotazione 11

Se F1 + F2 = mg

il sistema è in equilibrio ?

Momento ed equilibrio statico

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Momento ed equilibrio statico

Condizione di equilibrio statico La risultante delle forze deve

essere 0

La risultante dei momenti deve essere 0

Se F1 + F2 = mg

il sistema è in equilibrio?

0 F

0 τ

Per sapere se c’è equilibrio statico, non basta porre delle condizioni sulla risultante delle forze

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Momento ed equilibrio statico

0 mg - F F 21

Problema unidimensionale (y)

0 F

0 τ

0 senθF r senθmg r senθF r 222bb111

0 )sen(90F L )sen(270mg 4

3L senθF 0 o

2o

11

-1 1mg

4

3L F L 2

Calcoliamo F1 ed F2

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Momento ed equilibrio statico

0 mg - F F 21

mg 4

3L F L 2

mg4

1 F1

mg4

3 F2

Condizione

di

equilibrio statico

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Centro di massa ed equilibrio

Condizione di equilibrio statico

0 τ

0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22

o11

q

x1

w1

x2

w2

q

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Centro di massa ed equilibrio

Condizione di equilibrio statico

0 τ

0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22

o11

0 m x mx 2211

Calcolo la xcentro di massa

M

xmx

ii

CM i

Un sistema è in equilibrio quando il suo centro di massa è nel punto di sospensione

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2211CM

2211CM21

CM221CM1

mm

xmxmx

xm xm x)mm(

0)xg(xm)x-g(xm

xCM

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Il centro di massa

Il centro di massa di un sistema è il punto di equilibrio in un campo

gravitazionale uniforme

M

xm

m...mm

xm...xmxmx

ii

n21

nn2211CM

i

M

ym

m...mm

ym...ymymy

ii

n21

nn2211CM

i

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EsercizioCalcolare il centro di massa del braccio in figura.

cm 9.5kg 0.64kg 1.6kg 2.5

kg)(0) (0.64 kg)(0) (1.6 cm) kg)(18 (2.5 yCM

cm 9.5kg 0.64kg 1.6kg 2.5

cm) kg)(40 (0.64 cm) kg)(12 (1.6 kg)(0) (2.5 x CM

Nota: Il centro di massa non è nel braccio, ma al di fuori di questo

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Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa

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Le leveLa leva è una macchina semplice composta da

una forza motrice, una forze resistente e un fulcro

1o tipo

2o tipo

3o tipo

Fr

Fm

fulcro

Fr Fm

fulcro

Fr

Fmfulcro

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Le leve

Leva Fulcro Forza

resistente

Forzamotrice

(applicata)

Tipo di

leva

Forbici CernieraOggetto da

tagliare impugnatura 1

Carrucola fissa Asse centrale

Oggetto da sollevare Forza fisica 1

RemoPala immersa

in acqua

Forza della barca applicato

allo scalmo

Forza fisicaapplicata sul

remo2

CarriolaAsse della

ruotaPeso da

trasportare Manici 2

Pinza da ghiaccio Perno

Cubetto di ghiaccio Mano 3

Braccio umano Gomito

Oggetto sorretto dalla mano

Muscoli del braccio 3

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Le leve nel

corpo uman

o

1o tipo

3o tipo

2o tipo

In punta

di piedi

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Le leve e il guadagno meccanico

0Fb - Fb mmrr

r

m

m

r

b

b

F

F G.M.

Guadagno meccanico è il rapporto tra le

forze motrice

resistente

F

F G.M.

Vale per tutti i tipi di leva

Condizione di equilibrio statico

con forze perpendicolari alla leva0 τ

x

y

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Le leve e il guadagno meccanico

Tipo di levaGuadagno meccanico

1o tipoPuò essere

<1 o >1

2o tipo Sempre > 1

3o tipo Sempre <1

Fr

Fm

fulcro

Fr Fm

Fr

Fmfulcro

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Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa

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L’elasticitàCorpo elastico

un corpo che riprende la sua forma originale una volta rimosse le cause della deformazione

l

F modulo della forza applicata

A area della sezione del corpo

Y modulo di elasticità di Young

Corpi elastici Legge di Hooke

gm P

Dl

Corpo plastico un corpo che rimane deformato, anche dopo aver

rimosso lecause della deformazione

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La legge di Hooke e il modulo di Young

Legge di Hooke

l

l Y

A

F

Un campione lungo è

allungato più di uno corto

A parità di forza un

campione sottile è

allungato più di uno

spesso

Y Se definisco

F/A = s (sforzo)Dl/l = e (stiramento)

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La legge di Hooke e il modulo di Young

Materiale Y (N m-2)

Acciao 2 1011

Ossa lungo l’asse (trazione) 1.8 1010

Ossa lungo l’asse (compressione)

0.9 1010

Vasi sanguigni 2 105

Esempio

Calcolare lo stiramento di un vaso sanguigno della sezione di 1 cm2 al quale sia applicata una forza di 10 N.

(ppm) milioneper parti 5.0105.0102

10 611

5

Quanto varrebbe lo stiramento se il materiale fosse acciaio ?

2-524-2

Nm 10m10

N 10

cm 1

N 10

% 505.0102

10 5

5

Y

Sforzo

Stiramento

ovvero ½ mm su 1 m

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Esercizio

Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2

e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità

in compressione di 9x109 Nm-2.

b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una

relazione di proporzionalità fra il carico e la deformazione?

a) Prima di rompersi può sopportare un carico Smax

pari a 1.7x108 Nm-2.Quanto vale l’intensità massima della forza che può

essere applicata ?

30

Esercizio

N101.0)Nm10(17)m 10(6 A F 5-272-4MaxMax

100 volte il peso corporeo

% 1.90.019Nm109

Nm1017

Yl

l2-9

-27Max

~ 1 cm

Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2 e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di

elasticità in compressione di 9x109 Nm-2.

Prima di rompersi può sopportare un carico Smax pari a 1.7x108 Nm-2.

a) Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere applicata ?

b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una

relazione di proporzionalità fra il carico e la deformazione?

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Momento di una forza

Equilibrio statico

Equilibrio dinamico

Le leve

L’elasticità

Sforzo e stiramento nelle ossa

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Sforzo e stiramento nelle ossa

trazione

compressione

Sforzo terminale compressivo (S)

Sforzo terminale tensile ( )S

s (F/A) Nm-2 x 107

(e Dl/l) x 10-3

5

10

15

-15

-10

-5

-5-10-15 5 10 15

Le pendenze sono diverse (trazione ~

2x compression

e)

I valori di S sono diversi tra

compressione e trazione

F = mg ~ 103 N

A~1 cm2 = 10-4

m2

Le ossa sono più deformabili in compressione che in trazione

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N 2000 s

m 9.8 kg 210

2F

Per ogni gamba F ~ 1000 N

A=10 cm2

l = 40 cmPer le ossa:Y= 0.9·1010 N/m2

compressioneY= 1.8·1010 N/m2 trazione

l

ΔlY

A

F

La gamba si accorcia di:

m

N100.9

cm 40

cm 10

N 1000

Y

l

A

F Δl

210

2

cm 100.9

m 104

11

24

m 100.9

104

9

4

m 100.9

4 94 m 10 4.4 -5

m 10100.9

m 104

2-11

24

Elasticità delle ossa

F F

34Prossima lezione: i fluidi

Riassumendo

La legge di Hooke è valida per molti casi reali

I momenti delle forze sono molto usati

nel corpo umano (le leve).

Le ossa hanno valori diversi per lo stiramento

a seconda che lo sforzo sia in compressione o

trazione