Filtrazione: flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso saturo

Permeabilità: attitudine a consentire la mobilità dell'acqua nel suo interno.

Moti di Filtrazione

Applicazioni• Trasporto di contaminanti• Emungimento da pozzi • Intrusione salina• Filtrazione e sifonamento in opere di

sbarramento e arginature

La rappresentazione grafica della composizionegranulometrica si chiama CURVA GRANULOMETRICA e si ottiene mediante setacciatura (setacci tipo ASTM, DIN, UNI).

diametro significativo o efficace: usualmente D10

Proprietà fisiche dei terreni: Il moto di filtrazione dipende dalla forma e natura dei grani, e della composizione granulometrica

Modello di mezzo poroso- una regione dello spazio occupata da un Sistema MultifaseEterogeneo, costituito dalle fasi fluida e solida, con la presenza anche di vuoti

- al fine di garantire il flusso del fluido all'interno dei pori del mezzo è necessario che questi ultimi costituiscano un sistema interconnesso; la porzione di dominio interessata da tali connessioni viene definita come spazio poroso effettivo, non escludendosi lapossibilità della presenza di pori ciechi nei quali il flusso è assente.

difficoltà nella stima di n per terreni naturali

IMP la disposizione degli elementi

Representative Elementary Volume (REV): Il volume minimo al di la'del quale i singoli grani sono ininfluenti sul valore medio della porosità

Analogia con la definizione di particella fluida (per la definizione della densità) -> fluido mezzo continuo

Modello continuo dei mezzi porosi

L’acqua può presentarsi nel terreno in vari stati:

- sotto forma di vapore, contenuto nell’aria che riempie i pori;

- allo stato igroscopico, attaccato con un microfilm alle particelle di terreno;

- allo stato di acqua pellicolare che avvolge le particelle di terreno con un film non più spesso del campo di azione delle forze molecolari;

- allo stato di acqua capillare che riempie in alto i pori e le fessure più piccole ed è soggetta alle forze capillari (tensione superficiale) predominanti sulla forza di gravità;

- acqua gravitazionale che si muove per effetto della gravità preponderante sulle forze molecolari.

Zona di areazionesopra la superficie libera

Zona di saturazionesotto la superficie libera.

Frangia capillare p < pa

Acquifero: strato, formazione o raggruppamento di formazioni di materiale permeabile, saturato con acqua;

Acquiferi confinati:sovrastati da una formazione con basso valore di permeabilità, risalita dell'acqua nel tubo piezometrico fino ad un livello superiore del tetto dell'acquifero stesso. Se la pressione dell'acqua è sufficiente ad ottenere una risalita nel piezometro al di sopra del piano campagna, l'acquifero confinato viene definito Artesiano

Acquiferi non confinati - Falda freatica: la superficie piezometrica dell'acqua coincide con la sua superficie libera

Le funzioni degli acquiferi

- sorgente;

- serbatoi (attenuazione effetto delle fluttuazioni delle precipitazioni);

- condotte naturali che consentono il trasferimento di portate d’acqua;

- impianto di trattamento (sostanze chimiche inorganiche ed organiche eliminate o disciolte, fenomeni di adsorbimento e scambio di ioni con la matrice solida).

VELOCITÀ DI FILTRAZIONE

Nel campo di moto di filtrazione di un liquido in un mezzo poroso:

- estrema complessità del sistema di pori e canalicoli

- velocità effettiva del liquido estremamente variabile in modulo e direzione (moduli della velocità in genere molto limitati)

ESTREMAMENTE DIFFICILE E DI SCARSO INTERESSE LO STUDIO DEL MOTO NEI SUOI DETTAGLI

FONDAMENTALE CONOSCERE LA PORTATA CHE FILTRA ATTRAVERSO UNA ASSEGNATA SUPERFICIE

VELOCITA’ DI FILTRAZIONE

DISCHARGE VELOCITY AND SEEPAGE VELOCITY -VELOCITÀ DI FILTRAZIONE E VELOCITÀ REALEv discharge velocity: la quantità di fluido che filtra attraverso un’area unitaria del mezzo poroso nell’unità di tempo (velocità fittizia)

E’ detta talora anche portata specifica ed indicata con il

simbolo q. velocità di filtrazione v = Q/A

v* seepage velocity: la velocità locale del fluido che attraversa il singolo poro (velocità reale).

LEGGE DI DARCY

Permeametro

K [LT-1]: conduttività idraulica o coefficiente di filtrazione, dipende dal mezzo poroso e dal fluido

dxdhKQv −=

Ω=

Legge sperimentale trovata da Darcy per terreni sabbiosi poi estesa ad altre tipologie di terreni e a moto 3D

Legame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico

Legge di Poiseuille (moto laminare uniforme in un condotto cilindrico a sezione circolare)

LEGGE DI DARCY: analogia con la legge di PoseuilleLegame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico

dxdhKQv −=

Ω=

Legge di Darcy

dxdhkgQv

ν−=

Ω=K [LT-1]: conduttività idraulica,

dipende dal mezzo poroso e dal fluido

k [L2]: permeabilità, dipende dal solo mezzo poroso

Kg

kρμ

=

GIUSTIFICAZIONE DELLA LEGGE DI DARCYSia le velocità di filtrazione che quelle reali sono etremamentepiccole quindi il moto nei meati è prevalentemente laminare a numeri di Re molto bassi.

Gli sforzi viscosi predominano (quelli turbolenti sono trascurabili) resistenze proporzionali alle velocità.

analogia con la legge di Poseuille – CIP (correnti in pressione)

xhgDU

xh

xH

UgDg

UUDg

UDx

Hj

UD

∂∂

−=

∂∂

=∂∂

===∂∂

−=

==

ν

ννλ

νλ

32

322

642

64Re64

2

2

2

2

2

Coeff resistenza in moto laminare CIP

Eq Darcy-Weisbach

In moto uniforme (o trascurando i termini cinetici)

LEGGE DI POSEUILLE: velocità proporzionale al gradiente idraulico

LIMITI DI VALIDITA’ DELLA LEGGE DI DARCY

Re = v d/ν

v = velocità di filtrazione ν = viscosità cinematica del fluido

d = lunghezza caratteristica del mezzo poroso (es. il diametro medio dei granuli)

Re generalmente basso deflusso laminare: vale a legge di Darcy

Nella gran parte dei casi la filtrazione negli acquiferi soddisfa alla legge di Darcy.

Re critico 40-100 (secondo Bakhmeteff)

Si riscontrano deviazioni dalla legge di Darcy nelle formazioni carsiche e in vicinanza di scarichi come pozzi e sorgenti.

Flussi turbolenti: eq Darcy-Forchheimer

u = 0.25cm/sec; d = 0.4 mm

Conduttività e Permeabilità per diversi mezzi porosi

Kg

kρμ

=

K [LT-1]: conduttività idraulica

k [L2]: permeabilità (intrinseca,

indipendente dal fluido)

IMPTEMPERATURA

TERRENI IMPERMEABILI

Non esistono terreni perfettamente impermeabili. Si usa il termine impermeabile soprattutto in senso relativo e cioè per strati la cui permeabilità è molto bassa rispetto a quella degli strati vicini.

TERRENI PERMEABILI

Isotropi: il coefficiente di permeabilità in ogni punto è indipendente dalla direzione del vettore velocità di filtrazione.

Anisotropi: il coefficiente di permeabilità dipende in ogni punto dalla direzione del vettore velocità di filtrazione.

Vi sono nel piano 2 direzioni (tre nello spazio) ortogonali fra loro, dette direzioni principali di anisotropia del terreno, lungo le quali il coefficiente di permeabilità è minimo e massimo.

DIFFERENZA TRA OMOGENEITA’ E ISOTROPIA

Tensore di conduttività idraulicadiagonale (3 elementi significativi rispetto alle direzioni principali)

1D:

3D terreno isotropo:

3D terreno anisotropo:

La legge di Darcy è stata inizialmente ottenuta in condizioni di flussomonodimensionale e mezzo omogeneo ed isotropo, essa può comunque essere ritenuta valida anche nello spazio tridimensionale eterogeneo anisotropo

LEGGE DI DARCY: ESTENSIONE AL CASO 3D

xhKvx ∂∂

−=

hKv ∇−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

z

y

x

zz

yy

xx

KK

KK

zhKv

yhKv

xhKv

000000hKv ∇−=

La legge di Darcy non descrive ciò che succede nel singolo poro: rappresenta lo “statistico macroscopico equivalente” delle equazioni del moto di Navier-Stokes per le filtrazioni.

Gli effetti viscosi sono inglobati nella legge di Darcy e il fluido può poi esser trattato come NON VISCOSO.

MOTI IRROTAZIONALI

(MOTI A POTENZIALE)

LEGGE DI DARCY

MdF

Equazione di continuità (per fluido pesante incomprimibile in moto stazionario):

Equazione di Darcy:

SOSTITUENDO:

MOTI DI FILTRAZIONE

MOTI IRROTAZIONALI (MOTI A POTENZIALE)

0=•∇ v

nel caso di mezzo isotropo si riduce all'EQUAZIONE DI LAPLACE

02 =∇ h

0)( =∇•∇ hK

EQUAZIONE DI LAPLACE in 2D

può essere rappresentata da 2 famiglie di curve che si intersecano ad angolo retto:

RETE IDRODINAMICA -FLOW-NET

rappresentazione grafica di una famiglia di linee di corrente e di una famiglia di linee equipotenziali in un campo idrodinamico

Il flusso fra due linee di corrente ψ1 e ψ2 ha portataδq=costante e quindi le due linee di corrente individuano UN TUBO DI FLUSSO (di spessore unitario).

EQUAZIONE DI LAPLACE

Metodi di soluzione:

-metodi alle differenze finite, agli elementi finiti

- rappresentazione conforme (vedi profili alari!)

- composizione di moti elementari

IMP per la verifica delle strutture!

Imposte le condizioni al contorno, risolvendo l’eq. di Laplace si ottiene il carico piezometrico h in ogni punto, si può valutare la distribuzione di pressione p= γ(h-z) e quindi ricavare la sottospinta idraulica su qualunque struttura

Spinte esercitate dalle acque sotterranee su fondazioni o manufatti -> SOTTOSPINTA

Opere arginali di solito costituite da rilevati in terra

Alti valori della velocità di filtrazione e quindi di portata comporterebbero:

1) allagamento del terreno da proteggere dall’ esondazione

2) rottura per sifonamento

ARGINI

Stesse considerazoni fatte per le opere arginaliDIGHE IN TERRA

superficie di gocciolamento (analogia con il fenomeno della sorgente sospesa nei pozzi)

diga con zoccolo di valle

Trovare Q filtrante e posizione di AE:Condizioni al contorno

DA DEPPO!!!

Eterogeneità del suolo: analogia con la rifrazione ottica

In generale:Strati con alto K moti in orizzontale,Strati con basso K moti in verticale

Reticolo di filtrazione in un terreno anisotropo

Ipotesi Suolo omogeneo

Kx >> Kz

Z = (Kx/Kz)^0.5 z >> z

Esempio

POZZI:

-ARTESIANI

-FREATICI

POZZO ARTESIANO COMPLETAMENTE PENETRANTE

w

w

h

h

R

r

rRhhKTQ

hhQKT

rR

dhQTK

rdr

drdhrTKrT

drdhKvQ

drdhKv

w

ln

)(2

)(2ln

2

22

12

12

2

1

−=

−=

=

==Ω=

=

∫∫

π

π

π

ππ

Essa presenta tuttavia una caratteristica incompatibile con l’ulteriore condizione al contorno per la quale, lontano dal pozzo (teoricamente per r → ∞), il carico piezometrico dovrebbe tendere al valore costante h∞ imposto dalla falda artesiana indisturbata.

La causa di tale contraddizione è l’ipotesi di stazionarietà del deflusso (e, quindi, della superficie piezometrica).

Infatti un deflusso stazionario nelle condizioni ipotizzate (acquifero indefinitamente esteso e assenza di alimentazione) non può sussistere: la superficie piezometrica deve inevitabilmente deprimersi in misura crescente nel tempo per far fronte al costante emungimento dal pozzo. Il problema dovrebbe dunque essere riformulato in forma non stazionaria. Fortunatamente, tuttavia, si dimostra che il deflusso tende ad uno stato quasi stazionario in cui l’abbassamento della superficie piezometrica è talmente lento da risultare praticamente trascurabile. La distanza dal pozzo alla quale l’abbassamento della piezometrica può considerarsi sensibilmente assente definisce il cosiddetto raggio d’ influenza del pozzo.

)(2ln 12 hhQKT

rR

w

−=π

la soluzione matematica del problema della filtrazione negli acquiferi freatici considerevolmente più complessa rispetto al caso degli acquiferi artesiani:

1. problema a frontiera libera (la regione in cui avviene il deflusso è superiormente confinata dalla superficie freatica, la cui configurazione è a priori non nota, costituisce anzi una delle incognite del problema). Il valore del carico sul contornodipende dalla forma incognita della superficie freatica.

2. ogniqualvolta una falda freatica è confinata lateralmente da un corpo idrico (in particolare da un pozzo), l’affioramento della superficie freatica avviene ad una quota superiore rispetto al livello della superficie libera nel corpo idrico: siforma cioè quella che viene denominata una sorgente sospesa (superficie di trapelazione). La posizione di tale sorgente è anch’essa a priori non nota.

ACQUIFERI FREATICI

LA TEORIA DI DUPUIT PER CAMPI A FRONTIERA LIBERA

osservazione sperimentale: la pendenza della superficie freatica risulta tipicamente molto piccola (generalmente compresa fra 1/1000 e 10/1000)

IPOTESI DI DUPUIT:

Consiste nel considerare il deflusso orizzontale. Tale approssimazione equivale a confondere le superficiisopieziche (h = cost) con superfici verticali. La legge di Darcyimpone infatti che vettore velocità di filtrazione sia allineataal grad h

L’ip. di DUPUIT fornisce risultati accettabili

POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTE

w

w

h

h

R

r

rRhhKQ

hhQK

rR

hdhQK

rdr

drdhrKhrh

drdhKvQ

drdhKv

w

ln

)(

)(ln

2

22

21

22

21

22

2

1

−=

−=

=

==Ω=

=

∫∫

π

π

π

ππ

Ip. di Dupuit:

trascuro componente verticale delle velocità -> superfici isopieziche cilindriche

errata la forma della superficie libera in prossimità del pozzo

formula di Dupuit-ForchheimerQ precisa anche tenendo conto della sorgente sospesa

POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTEQuesto stesso calcolo può essere applicato anche quando la falda è indefinita nelle direzioni x e y.

In tal caso si assume che la superficie libera è tangente al piano originario della falda a una distanza radiale R denominata RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo.

Visto che Q poco dipende da R/rw , assunzioni ragionevoli di R conducono a ragionevoli stime di Q.

RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo.

R = 100÷200 m Per terreni fini

R = 250÷500 m Per terreni medi

R = 700÷1000 m Per terreni grossolani

QQ = f (Δh) con Δh = h2 - h1

La curva caratteristica Q = f (Dh) è rettilinea nel caso del pozzo artesiano, mentre è curva per il pozzo freatico.

N.B. le soluzioni trovate si riferiscono in entrambi casi (pozzo artesiano e pozzo freatico) all’ipotesi di stazionarietà, si può studiare il processo in moto vario

Durata transitorio: differenze tra pozzi freatici e artesiani!

CONFRONTO TRA POZZO ARTESIANO E POZZOFREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTI

Pozzo artesiano in una falda in movimento

EQUAZIONE DI LAPLACE

- equazione differenziale lineare: se j1 e j2 sono soluzioni, anche qualsiasi loro combinazione lineare, j = a j1 + b j2, lo è. Quindi possiamo studiare una serie di soluzioni elementari le quali, combinate insieme, possono fornirci la soluzione di ampi insiemi di problemi.

pozzo+moto uniforme-> CENEDESE

Metodo delle immagini

Metodo delle immagini

Metodo delle immagini2 condizioni al contorno

Metodo delle immagini