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Fenomeni ondulatori

Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardini

Le onde fanno parte della nostra vita quotidiana. La luce e il suono sono due esempi di onde che interagiscono con il nostro corpo. !Anche le onde del mare sono un fenomeno ondulatorio importante e utile per la comprensione di questo argomento.!

Le onde del mare sono un esempio molto utile per capire il fenomeno della propagazione delle onde. Quando una onda viaggia nel mare le molecole di acqua non seguono lʼonda ma semplicemente oscillano intorno ad una posizione centrale. !

1

Questo è un fatto generale. Nelle onde quello che si propaga è lʼoscillazione (la perturbazione) non la materia di cui è fatta lʼonda. !

Lʼonda è tipicamente un fenomeno periodico. La materia di cui è costituita lʼonda torna a punto di partenza dopo un tempo T. !

Periodo, frequenza e lunghezza d’onda


Una tipica onda sarà caratterizzata da una grandezza scalate intensiva detta periodo: T. Il periodo non è altro che il tempo necessario perche lʼoscillazione del mezzo in cui viaggia lʼonda torni al punto di partenza. La frequenza di unʼonda è il reciproco del periodo v =1/T. Lʼunità di misura della frequenza si chiama Hertz (Hz).!

Le onde come sappiamo si propagano. Punti adiacenti di una onda del mare oscillano assieme, ma l’oscillazione presenta un ritardo via via che osservo punti più distanti. !

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Notiamo però che in unʼonda del mare esistono punti ad una certa distanza che si muovono allʼunisono. La distanza fra questi punti è un multiplo di una lunghezza detta: lunghezza dʼonda. Essa è genericamente indicata con la lettera λ, è un grandezza scalare intensiva, misurata in metri. !

Onde trasversali e longitudinali

Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardini 3

Una divisione importante è quella fra onde longitudinali ed onde trasversali. !

Come si vede nella animazione le due onde si propagano orizzontalmente. Diciamo quindi che la direzione di propagazione è parallela allʼasse delle x. !Le due onde però sono diverse. A sinistra lʼoscillazione avviene parallelamente (longitudinalmente) alla propagazione. A destra avviene perpendicolarmente (trasversalmente) alla propagazione. !

Onda longitudinale.! Onda trasversale. !

Onde monocromatiche piane


Il tipo più semplice di onda è quella monocromatica.!È una onda descritta da una funzione sinusoidale di questo tipo:!

La funzione descrive lo spostamento s(x,t) dalla posizione media di una particella del mezzo nel punto x allʼistante t. !

€

s(x, t) = ˆ n ⋅ Asin 2π tT−xλ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Il vettore n indica la direzione (polarizzazione) dellʼoscillazione. La costante A è lʼampiezza massima dellʼoscillazione. T è il periodo e λ la lunghezza dʼonda. !

Siccome nella formula appare solo la coordinata x la direzione di propagazione è parallela allʼasse x. !

Se la direzione di propagazione è costante, lʼonda è detta piana. !

Onda monocromatica piana longitidinale


Qui sotto abbiamo un caso di onda monocromatica, longitudinale e piana. !È lʼonda descritta dalla funzione sotto dove n è parallelo allʼasse x:!

€


⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ˆ n = (1,0,0)

Onda monocromatica piana trasversale


Qui sotto abbiamo un caso di onda monocromatica, trasversale e piana. !È lʼonda descritta dalla funzione sotto dove n è parallelo allʼasse y:!

€


⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ˆ n = (0,1,0)

Onde piane e onde sferiche


Abbiamo visto che unʼonda piana che si propaga lungo lʼasse delle x è descritta dalla formula: !

€


⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (onda piana)

Esiste unʼaltro tipo importante di onda chiamata onda sferica. Essa si ottiene sostituendo nella formula precedente la coordinata x con la distanza r da un punto centrale.!

€

s(r,t) = ˆ n ⋅ A0

rsin 2π t

T−rλ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (onda sferica) r = x 2 + y 2 + z2

Notiamo che al posto dellʼampiezza A adesso abbiamo A0/r. Questo vuol dire che nel caso di una onda sferica lʼampiezza dellʼonda decresce con la distanza come 1/r. Questo non ci sorprende poichè quando lanciamo un sasso un uno stagno osserviamo la stessa cosa !!!

Onde piane e onde sferiche


Questo filmato ci fa vedere che nel caso di unʼonda sferica lʼampiezza dellʼoscillazione non è costante ma vale A0/r. !

Diffrazione e principio di Huygens


È possibile trasformare una onda piana in onda sferica. Basta farla passare per una apertura che sia più piccola della lunghezza dʼonda λ. !

Se non esistesse questo fenomeno non potremmo ascoltare la voce di una persona che è dietro un ostacolo!! !

Una piccola apertura circolare si comporta come una sorgente di onde sferiche: principio di Huygens. !

Diffrazione e principio di Huygens


È possibile trasformare una onda piana in onda sferica. Basta farla passare per una apertura che sia più piccola della lunghezza dʼonda λ. !

Velocità di propagazione dell’onda


Ci possiamo chiedere a che velocità di propaga unʼonda descritta dalla formula qui sotto:!

€


⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (onda piana)

La velocità di propagazione di unʼonda è banalmente il rapporto fra la lunghezza dʼonda ed il periodo:!

€

v =λT

La velocità di progagazione si misura in m/s.!Tipici esempi di velocità di propagazione di unʼonda sono dati dal suono (340 m/s) e della luce (300 000 km/s).!

Onde stazionarie


Le onde di cui ci siamo occupati finora erano onde piane o sferiche libere di propagarsi fino allʼinifinito.!

€

s(x, t) = ˆ n ⋅ Asin 2π tT⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ sin 2π x

λ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (onda stazionaria)

Il caso più semplice di cavità è quello rappresentato per la luce da due specchi paralleli. Per il suono da due pareti parallele.!Si simostra che in corrispondenza delle sudette superfici lʼampiezza dellʼonda si annulla. Questo fa si che per unʼonda stazionaria la sua formula sia:!

Esistono poi onde dette onde stazionarie. Queste sono onde che si formano in ambienti dove lʼonda è costretta allʼinterno di un certo volume. Questi volumi sono detti cavità. Lʼonda viene riflessa alla superficie interna della cavità. !

Onde stazionarie


Nellʼonda stazionaria non cʼe propagazione nel senso ordinario del termine.!Inoltre si può notare che la lunghezza dʼonda λ deve essere legata alla lunghezza della cavità dalla legge: !

€

s(x, t) = ˆ n ⋅ Asin 2π tT⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ sin 2π x

λ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ (onda stazionaria)

€

λ = 2 Ln

n =1,2,3,...

Onde stazionarie


Siccome la velocità di unʼonda è fissata dal tipo di onda e dal mezzo quello che succede è che per una onda stazionaria : !

€

λ = 2 Ln

n =1,2,3,...

v =λT

= 2 LnT

T = 2 Lnv

v =1T

= n v2L

Le frequenze di oscillazione sono tutte multipli interi di v/2L. !

Energia e intensità di un’onda


Intuitivamente sappiamo che le onde portano dellʼenergia, il motivo per cui il sole ci scalda. Per calcolare lʼenergia di unʼonda usiamo unʼonda stazionaria. Sappiamo che le molecole stanno oscillando in modo armonico quindi lʼenergia meccanica dellʼonda sarà : !

€

E =12mω 2A2 =

12ρVω 2A2 =

12ρlSω 2A2 =

12ρvSω 2A2Δt

I =ΔESΔt

=12ρvω 2A2

Lʼultima formula esprime I lʼintensità di unʼonda, cioè la quantità di energia portata dallʼonda per unità di area S e di tempo Δt. Notiamo che I è proporzionale al quadrato dellʼampiezza della oscillazione A ed al quadrato della frequenza ω. !

Interferenza da due fenditure


Lʼinterferenza è un fenomeno che accade quando due onde con caratteristiche simili si sovrappongono. !Lʼesempio più semplice è quello di unʼonda piana che passa per due fenditure rettangolari vicine: !

Vengono generate due onde sferiche centrate in due punti differenti. !

€

s1(r,t) = ˆ n ⋅ A0

rsin 2π t

T−r1λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

s2(r,t) = ˆ n ⋅ A0

rsin 2π t

T−r2λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Precisiamo che per fenditura rettangolare intendiamo una apertura rettangolare con un lato molto più lungo dellʼaltro. !



Quel che succede è che la distribuzione di intensità dellʼonda non è uniforme anche se le due onde singole sono sferiche. !

Lʼ intensità dellʼonda dipende dalla direzione di propagazione. !



Quando due onde interferiscono si crea una onda singola somma delle ampiezze delle due onde sovrapposte: !

€

r1 − r2 = d sin(θ)

€

s(r,t) = s1(r,t) + s2(r,t) = ˆ n ⋅ A0

rsin 2π t

T−r1λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ + ˆ n ⋅ A0

rsin 2π t

T−r2λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥



La somma delle due onde può essere risolta e si ottiene un formula che presenta un risultato notevole: !

€

s(r,t) = s1(r,t) + s2(r,t) = ˆ n ⋅ A0

rcos πd sin(θ)

λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ sin 2π t

T−rλ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

A =A0

rcos πd sin(θ)

λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

I(θ) =ΔESΔt

=12ρvω 2A2 =

12ρvω 2 A0

2

r2 cos2 πd sin(θ)λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

I(θ) = I0 cos2 πd sin(θ )λ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin(θ) ≈ yx

I = I0 cos2 πdλyx

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

I = I0 ⇒dλyx

= n⇒ sin(θ) =yx

=λdn n = 0,1,2,3,...

I = 0⇒ sin(θ) =yx

=λdn +1/2( ) n = 0,1,2,3,...



Riassumendo possiamo scrivere per il caso delle due fenditure: !

€

sin(θ) ≈ yx

I = I0 cos2 πdλyx

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ oppure I = I0 cos2 πd

λsin(θ )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Imax = I0 ⇒yx

=λdn oppure sin(θ ) =

λdn n = 0,1,2,3,...

Imin = 0⇒ yx

=λdn +1/2( ) oppure sin(θ) =

λdn +1/2( ) n = 0,1,2,3,...

Diffrazione da una fenditura rettangolare


Abbiamo visto che se la lunghezza dʼonda di una onda è pari o più grande della larghezza di una fenditura, una onda piana passando si trasforma in onda sferica. !

Fenditura piccola, λ grande = onda sferica!

Diffrazione da una fenditura


Se invece la lunghezza dʼonda è piccola rispetto alla larghezza di una fenditura, una onda piana passando rimane quasi invariata. !

Fenditura grande, λ piccola = onda piana.!

Diffrazione da una fenditura


Esiste un caso intermedio in cui la fenditura ha una larghezza un pò più grande della lunghezza dʼonda. In questo caso il fenomeno della diffrazione trasforma lʼonda in un onda sferica particolare con una intensità che dipende fortemente dalla direzione. !

A

B Nel punto indicato con A lʼonda arriva. In B no !!!In C si ma un po più debole. !

C

Diffrazione da una fenditura rettangolare


Lʼintensità dellʼonda diffratta dalla fenditura rettangolare di larghezza (lato corto) pari ad a ha un andamento oscillante che decresce con lʼangolo θ. !

A

B C

Intensità si annulla per valori dellʼangolo θ, che soddisfano questa lʼequazione:!

€

sin(θ) ≈ yx

= n λa

n =1,2,3,...

x

Diffrazione da una fenditura circolare


Nel caso di una fenditura circolare si formano degli anelli luminosi separati da anelli scuri. Per una fenditura di diametro d lʼintensità dellʼonda diffratta ha un andamento oscillante con minimi e massimi corrispondenti ad angoli θ dati da: !

A

B C

€

sin(θ) =mλd

mmin =1.220,..mmax =1.635,...⎧ ⎨ ⎩

Onde elettromagnetiche


Le onde elettromagnetiche sono oscillazioni del campo elettrico e magnetico che avvengono anche nel vuoto in assenza di materia. !

Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali perchè il campo elettrico E ed il campo magnetico B che oscillano sono tutti e due perpendicolari alla direzione di propagazione dellʼonda. !



A

B C

La principale differenza i vari tipi di onde sta nella lunghezza dʼonda λ.!Per valori di λ tra 400 nm e 700 nm abbiamo la luce che il nostro occhio vede. !



A

B C

Il colore della luce che vediamo non è altro che la manifestazione della sua lunghezza dʼonda λ. !

Colore λ • UV fino a-400 nm 12.4 - 3.10 eV

• Violetto 400-425 nm 3.10 - 2.92 eV • Blu 425-492 nm 2.92 - 2.52 eV • Verde 492-575 nm 2.52 - 2.15 eV • Giallo 575-585 nm 2.15 - 2.12 eV • Aranc. 585-647 nm 2.12 - 1.92 eV • Rosso 647-700 nm 1.92 - 1.77 eV

• IR più di-700 nm 1.77 - 0.12 eV

I fotoni


A

B C

A partire dallʼanno 1900 è stato riconosciuto che lʼenergia della radiazione elettromagnetica è portata da particelle dette fotoni la cui energia è secondo la teoria di Planck: E= hv = h/T = hc/λ!

I fotoni


A

B C

Utilizzando la formula appena vista si può calcolare lʼenergia dei fotoni. Notiamo che più si va in direzione dellʼUV più lʼenergia dei fotoni è alta. !

Colore λ E=hv=hc/λ • UV fino a-400 nm 12.4 - 3.10 eV


• IR più di-700 nm 1.77 - 0.12 eV

Origine della colorazione dei solidi

Colori opposti sono complementari


Disco di Newton

31

Colore λ E=hv=hc/λ • UV fino a-400 nm 12.4 - 3.10 eV


• IR più di-700 nm 1.77 - 0.12 eV


Fine capitolo

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