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Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano

A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

Cognome e nome (in stampatello)_______________________________

codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________

1. Dimostrare che l’equazione

f (x, y) = x (log y − 2) + e−xy = 0

definisce implicitamente una e una sola funzione x = h (y) in un intorno diy = e, e calcolare h′ (e) .

1

2. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫Ω

(x2 + y3

)dxdy

dove Ω è la semiellisse Ω =

(x, y) : x2

a2 + y2

b2 ≤ 1, y ≥ 0, con a, b > 0 fissati.

3. Si consideri una sfera Ω(solida), di raggio Re centro l’origine, avente densitàvolumica

δ (x, y, z) =(

2R−√x2 + y2 + z2

) µ

R4

dove µ > 0è una costante (avente le dimensioni di una massa). Calcolare il suomomento d’inerzia rispetto all’asse z.

2

4. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale conservativo:

F (x, y, z) =

(2y2e2x, 2ye2x − ez+2y, ez

(z + 1− 1

2e2y

)).

5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σgenerata dalla rotazioneattorno all’asse zdella curva γdel piano xz

x = R+ r cos3 φz = r sin3 φ

per φ ∈ [0, 2π]

con R > r > 0parametri fissato. Dopo aver calcolato l’elemento d’area e verificatoche si tratta di una superficie regolare a pezzi, calcolare l’area di Σ. Suggerimento:calcolare l’elemento d’area di Σa partire dalle equazioni parametriche di γ.

3

6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in [0, 1]da

f (x) = sinπx.

a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero deicoeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenzapuntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.

b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.

[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, 1] ,quindi sull’intervallo [−1, 1], quindi sul periodo

[− 1

2 ,12

],

così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato.

4



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.



1. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione

f (x, y) =1

x2 + 1− 1

y2 + 1

soggetta al vincolox4 + y4 = 1.

5

2. Sia T è il triangolo di vertici (0, 0) , (2, 1) , (1, 2). Dopo aver scritto larappresentazione analitica di T come dominio y-semplice (o unione di dominiy-semplici), calcolare l’integrale doppio

I =

∫ ∫T

xydxdy.

3. Calcolare il volume e il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solidoomogeneo di massa m rappresentato da:

Ω =

(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z

h

con R, h > 0 parametri fissati.

6

4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano

F =(y√x2 + y2,−x

√x2 + y2

)lungo l’arco di curva piana espressa in forma polare dall’equazione

ρ = 2 + sin 3θ per θ ∈ [0, 2π] ,

dove R > 0è un parametro fissato. (Riportare impostazione e passaggi intermedi).

5. Sia Σla superficie grafico della funzione

z =h

R

√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,

con R, h > 0costanti fissate. Calcolare il flusso attraverso Σ, orientata verso l’alto,del campo vettoriale

F =

(x, y,

zx2

R2

).

(Prestare cura nell’impostazione dell’integrale di flusso a partire dalle definizioni).

7

6. Si consideri la funzione π-periodica definita in[−π2 ,

π2

]da

f (x) = sinx.

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo[−π2 ,

π2

]: in base alla teoria,

cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie diFourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.

b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi -cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressionesemplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicita-mente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindieseguire il calcolo esplicito.

8



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.




f (x, y) =xy − 2

x2 + y2+ y (x− 1)

definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1. Calcolare g′ (1) .

9

2. Calcolare l’integrale doppio

I =

∫ ∫Ω

(x2 |y|+ |x| y − 3 |xy|

)dxdy

dove Ω è l’ellisse Ω =

(x, y) : x2

a2 + y2

b2 ≤ 1, con a, b > 0 fissati.

3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentatoda:

Ω =

(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z3

h3


10

4. Si consideri il campo vettoriale piano

F =

(2xy

(x2 + y2)2 ,

y2 − x2

(x2 + y2)2

).

a. Determinare il suo insieme di definizione Ωe stabilire se il campo è conservativoin Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.

b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di ellisse

r (t) = (2 cos t, 3 sin t) , t ∈[π

2,

3

2π

].

5. Sia Σla superficie ottenuta facendo ruotare attorno all’asse zla curva γche nelpiano xzha equazioni parametriche

x = 2 Ch tz = Sh t

per t ∈ [0, 1] .

Dopo aver scritto le equazioni parametriche di Σe l’elemento d’area di Σ, calcolarel’integrale di superficie ∫ ∫

Σ

zdS.

Suggerimento: calcolare l’elemento d’area di Σa partire dalle equazioni parametrichedi γ.

11

6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in[− 1

2 ,12

]da

f (x) = cosπx.



[Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi cienti sarà importante distinguere icasi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressione semplice e leggibile dei coeffi cientidi Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applicaper il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito.

12



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.




f (x, y) =1

x4 + 1− 1

y2 + 1


13

2. Calcolare l’area e il momento d’inerzia rispetto all’asse zdi una lamina pianaomogenea di massa mrappresentata nel piano (x, y)dall’interno dell’arco di curva diequazione polare

ρ = Rθ2 per θ ∈ [0, 2π] .

3. Calcolare il volume e il centroide della porzione di sfera Sdescritta in coordinatesferiche da x = ρ sinφ cos θ

y = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ

ρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, 2π] , φ ∈[0,

2

3π

].

[Suggerimento: visualizzare la figura per sfruttarne le simmetrie].

14


F = (−y, x)

lungo l’arco di curva

r (t) = ((1 + sin t) cos t, (1− sin t) sin t) , t ∈ [0, π] .

(Riportare impostazione e passaggi intermedi).

5. Sia Sla superficie materiale (conica) grafico della funzione

z =h

R

√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,

con R, h > 0costanti fissate. Calcolare l’elemento d’area dSe il momento d’inerzia diSrispetto all’asse zsapendo che la sua densità superficiale è

δ (x, y, z) =µ

R3

(z + h+

√x2 + y2

)dove µ > 0è un parametro fissato avente le dimensioni di una massa.

15

6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [0, π]da

f (x) = cosx.



[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, π] ,quindi sull’intervallo [−π, π], quindi sul periodo

[−π2 ,

π2

],

così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato.

16


A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.


f (x, y) = x (log y − 2) + e−xy = 0

definisce implicitamente una e una sola funzione x = h (y) in un intorno diy = e, e calcolare h′ (e) .

Si ha:f (x, e) = −x+ e1−x = 0 se x = 1.

Inoltre un confronto grafico mostra immediatamente che questa è l’unica soluzione:

∂f

∂x(x, y) = log y − 2− e−xy

∂f

∂x(1, e) = 1− 2− 1 = −2 6= 0,

e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1 nel semipiano y > 0, f (1, e) =0, ∂f∂x (1, e) 6= 0, l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e unasola funzione x = h (y) in un intorno di y = e; risulta h (e) = 1 e

h′ (e) = −∂f∂y (1, e)∂f∂x (1, e)

.

17

Calcoliamo perciò

∂f

∂y(x, y) =

x

y+ e−x

∂f

∂y(1, e) =

2

e

h′ (e) = −∂f∂y (1, e)∂f∂x (1, e)

= −2/e

−2=

1

e.

2. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫Ω

(x2 + y3

)dxdy

dove Ω è la semiellisse Ω =

(x, y) : x2

a2 + y2

b2 ≤ 1, y ≥ 0, con a, b > 0 fissati.

In coordinate polari ellittichex = aρ cos θy = bρ sin θ

si ha Ω = (ρ, θ) : ρ ∈ [0, 1] , θ ∈ [0, π], dxdy = abρdρdθ,∫ ∫Ω

(x2 + y3

)dxdy =

∫ π

0

(∫ 1

0

(a2ρ2 cos2 θ + b3ρ3 sin3 θ

)abρdρ

)dθ

= a3b

(∫ π

0

cos2 θdθ

)(∫ 1

0

ρ3dρ

)+ ab4

(∫ π

0

sin3 θdθ

)(∫ 1

0

ρ4dρ

).

∫ π

0

sin3 θdθ =

∫ π

0

sin θ(1− cos2 θ

)dθ =

[− cos θ +

cos3 θ

3

]π0

= 1− 1

3+ 1− 1

3=

4

3.

Perciò: ∫ ∫Ω

(x2 + y3

)dxdy = a3b

(π2

)(1

4

)+ ab4

(4

3

)(1

5

)=π

8a3b+

4

15ab4.

3. Si consideri una sfera Ω (solida), di raggio R e centro l’origine, aventedensità volumica

δ (x, y, z) =(

2R−√x2 + y2 + z2

) µ

R4

18

dove µ > 0 è una costante (avente le dimensioni di una massa). Calcolare il suomomento d’inerzia rispetto all’asse z.

Il momento d’inerzia è:

I =

∫ ∫ ∫S

(x2 + y2

)δ (x, y, z) dxdydz

in coordinate sferiche x = ρ sinφ cos θy = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ

dxdydz = ρ2 sinφdφdθ

I =

∫ 2π

0

(∫ π

0

(∫ R

0

(ρ sinφ)2

(2R− ρ)µ

R4ρ2dρ

)sinφdφ

)dθ

= 2πµ

R4

2R

(∫ π

0

sin3 φdφ

)(∫ R

0

ρ4dρ

)−(∫ π

0

sin3 φdφ

)(∫ R

0

ρ5dρ

).

Poiché∫ π

0

sin3 φdφ =

∫ π

0

sinφ(1− cos2 φ

)dφ =

[− cosφ+

cos3 φ

3

]π0

=4

3,

I = 2π · 4

3

µ

R4

2R

∫ R

0

ρ4dρ−∫ R

0

ρ5dρ

=8

3πµ

R4

2R · R

5

5− R6

6

=

8

3πµR2

2

5− 1

6

=

28

45πµR2.

4. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale conservativo:

F (x, y, z) =

(2y2e2x, 2ye2x − ez+2y, ez

(z + 1− 1

2e2y

)).

Ux = F1;

U (x, y, z) =

∫2y2e2xdx = y2e2x + g (y, z)

Uy = 2ye2x +∂g

∂y(y, z) = F2 = 2ye2x − ez+2y

∂g

∂y(y, z) = −ez+2y; g (y, z) = −ez

∫e2ydy = −1

2ez+2y + h (z) ;

19

U (x, y, z) = y2e2x − 1

2ez+2y + h (z) ;

Uz = −1

2ez+2y + h′ (z) = F3 = ez

(z + 1− 1

2e2y

)h′ (z) = ez (z + 1) ;h (z) =

∫ez (z + 1) dz = ez (z + 1)−

∫ezdz = zez + c

U (x, y, z) = y2e2x − 1

2ez+2y + zez + c.

5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla ro-tazione attorno all’asse z della curva γ del piano xz

x = R+ r cos3 φz = r sin3 φ

per φ ∈ [0, 2π]

con R > r > 0 parametri fissato. Dopo aver calcolato l’elemento d’area everificato che si tratta di una superficie regolare a pezzi, calcolare l’area diΣ. Suggerimento: calcolare l’elemento d’area di Σ a partire dalle equazioniparametriche di γ.

Σ :

x =

(R+ r cos3 φ

)cos θ

y =(R+ r cos3 φ

)sin θ

z = r sin3 φφ ∈ [0, 2π] , θ ∈ [0, 2π] .

Per il calcolo dell’elemento d’area, dette

a (φ) = R+ r cos3 φ, b (φ) = r sin3 φ

a′ (φ) = −3r cos2 φ sinφ;

b′ (φ) = 3r sin2 φ cosφ

a′ (φ)2

+ b′ (φ)2

= 9r2(cos4 φ sin2 φ+ sin4 φ cos2 φ

)= 9r2 cos2 φ sin2 φ

dS = |a (φ)|√a′ (φ)

2+ b′ (φ)

2dφdθ

=(R+ r cos3 φ

)3r |cosφ sinφ| dφdθ.

La superficie è regolare a pezzi, in quanto(R+ r cos3 φ

)3r |cosφ sinφ| = 0 per φ = 0,

π

2, π,

3

2π,

20

che corrispondono a 4 linee di punti singolari sulla superficie.

|Σ| =∫ 2π

0

(∫ 2π

0

(R+ r cos3 φ

)3r |cosφ sinφ| dφ

)dθ

= 2π · 3r∫ 2π

0

(R+ r cos3 φ

)|cosφ sinφ| dφ

per le simmetrie

= 6πr

∫ 2π

0

R |cosφ sinφ| dφ

= 6πrR · 4∫ π/2

0

cosφ sinφdφ = 24πRr

[sin2 φ

2

]π/20

= 24πRr · 1

2= 12πRr.

6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in [0, 1]da

f (x) = sinπx.



[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, 1] ,quindi sull’intervallo [−1, 1], quindi sul periodo

[− 1

2 ,12

],

così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma piùesplicita e semplificata.

a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).

21

b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poichéT = 1, ω = 2π

T = 2π,

ak =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) cos (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) cos (kωx) dx = 4

∫ 12

0

f (x) cos (2kπx) dx

= 4

∫ 12

0

sinπx cos (2kπx) dx.

Quindi

a0 = 4

∫ 12

0

sinπxdx =4

π[− cosπx]

1/20 =

4

π

mentre sfruttando l’identità

sinα cosβ =1

2sin (α+ β) + sin (α− β)

si ha, per k = 1, 2, 3...

ak = 4

∫ 12

0

sinπx cos (2kπx) dx = 2

∫ 12

0

[sin ((2k + 1)πx) + sin ((1− 2k)πx)] dx

= 2

[− cos ((2k + 1)πx)

π (2k + 1)+− cos ((1− 2k)πx)

π (1− 2k)

] 12

0

=2

π

[1− cos

(kπ + π

2

)2k + 1

+1− cos

(kπ − π

2

)1− 2k

]

=2

π

(1

2k + 1− 1

2k − 1

)= − 4

π

(1

4k2 − 1

)e la serie di Fourier di f è

f (x) =a0

2+

∞∑k=1

ak cos (2kπx) =2

π− 4

π

∞∑k=1

1

4k2 − 1cos (2kπx) .

Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5:

22



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.


f (x, y) =1

x2 + 1− 1

y2 + 1


Sia g (x, y) = x4 + y4 − 1, poiché g è C1(R2)e

∇g (x, y) =(4x3, 4y3

)= (0, 0)⇔ (x, y) = (0, 0)

e g (0, 0) 6= 0, il vincolo non ha punti critici. Definiamo la lagrangiana

L (x, y, λ) = f (x, y)− λg (x, y) =1

x2 + 1− 1

y2 + 1− λ

(x4 + y4 − 1

)e risolviamo il sistema

∂L∂x = − 2x

(x2+1)2− 4λx3 = 0

∂L∂y = 2y

(y2+1)2− 4λy3 = 0

∂L∂λ = −

(x4 + y4 − 1

)= 0

La 1a equazione dà:

− 2x

(x2 + 1)2 − 4λx3 = −2x

[1

(x2 + 1)2 + 2λx2

]= 0 per

x = 0 oppureλ = − 1

2x2(x2+1)2

Se x = 0 la terza equazione dà y = ±1 (e la seconda dà un certo valore di λ).Se invece x 6= 0 e quindi λ = − 1

2x2(x2+1)2, la seconda equazione dà

2y

[1

(y2 + 1)2 − 2λy2

]= 2y

[1

(y2 + 1)2 +

2y2

2x2 (x2 + 1)2

]= 0 se e solo se y = 0

(la quantità entro quadre è sempre positiva). Perciò x 6= 0 ⇒ y = 0, che dallaterza equazione dà x = ±1.

23

Perciò i punti stazionari della lagrangiana sono

(±1, 0) , (0,±1) .

Poiché il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato del piano, peril teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluto vincolato di f esistonocertamente, basta perciò confrontare i valori di f in questi 4 punti. Si ha:

f (±1, 0) =1

1 + 1− 1 = −1

2

f (0,±1) = 1− 1

1 + 1=

1

2

pertanto:

(±1, 0) sono punti di minimo assoluti vincolati

(0,±1) sono punti di massimo assoluti vincolati.

2. Sia T è il triangolo di vertici (0, 0) , (2, 1) , (1, 2). Dopo aver scritto larappresentazione analitica di T come dominio y-semplice (o unione di dominiy-semplici), calcolare l’integrale doppio

I =

∫ ∫T

xydxdy.

T =

(x, y) : x ∈ [0, 1] ,x

2≤ y ≤ 2x

∪

(x, y) : x ∈ [1, 2] ,x

2≤ y ≤ 3− x

I =

∫ 1

0

x

(∫ 2x

x2

ydy

)dx+

∫ 2

1

x

(∫ 3−x

x2

ydy

)dx

=

∫ 1

0

x1

2

(4x2 − x2

4

)dx+

∫ 2

1

x1

2

((3− x)

2 − x2

4

)dx

=

∫ 1

0

15

8x3dx+

∫ 2

1

x

8

(3x2 − 24x+ 36

)dx

=15

8· 1

4+

[3x4

32− x3 +

9

4x2

]2

1

=15

32+

[3

2− 8 + 9− 3

32+ 1− 9

4

]=

15

32+

37

32=

13

8.

3. Calcolare il volume e il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solidoomogeneo di massa m rappresentato da:

Ω =

(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z

h

24


|Ω| =∫ ∫ ∫

Ω

dxdydz =

∫ h

0

(∫ ∫x2+y2≤R2zh

dxdy

)dz =

∫ h

0

(πR2z

h

)dz

= πR2

h· h

2

2= π

R2h

2.

I =m

|Ω|

∫ ∫ ∫Ω

(x2 + y2

)dxdydz =

m

|Ω|

∫ h

0

(∫ ∫x2+y2≤R2zh

(x2 + y2

)dxdy

)dz

passando in coordinate polari

=m

|Ω|

∫ h

0

(2π

∫ R√

zh

0

ρ3dρ

)dz =

m

|Ω|

∫ h

0

2π

4

(R

√z

h

)4

dz

=m

|Ω|π

2

R4

h2

∫ h

0

z2dz =m

πR2h2

π

2

R4

h2

h3

3=

1

3mR2.


F =(y√x2 + y2,−x

√x2 + y2

)lungo l’arco di curva piana espressa in forma polare dall’equazione

ρ = 2 + sin 3θ per θ ∈ [0, 2π] ,

dove R > 0 è un parametro fissato. (Riportare impostazione e passaggi inter-medi).

L =

∫γ

F · dr =

∫ 2π

0

F (r (θ)) · r′ (θ) dθ

r (θ) = ((2 + sin 3θ) cos θ, (2 + sin 3θ) sin θ)

r′ (θ) = (3 cos 3θ cos θ − (2 + sin 3θ) sin θ, 3 cos 3θ sin θ + (2 + sin 3θ) cos θ)

F (r (θ)) = (2 + sin 3θ) ((2 + sin 3θ) sin θ,− (2 + sin 3θ) cos θ) = (2 + sin 3θ)2

(sin θ,− cos θ)

F (r (θ)) · r′ (θ)= (2 + sin 3θ)

2(3 cos 3θ cos θ − (2 + sin 3θ) sin θ, 3 cos 3θ sin θ + (2 + sin 3θ) cos θ) · (sin θ,− cos θ)

= (2 + sin 3θ)2 sin θ [3 cos 3θ cos θ − (2 + sin 3θ) sin θ]− cos θ [3 cos 3θ sin θ + (2 + sin 3θ) cos θ]

= (2 + sin 3θ)2 − (2 + sin 3θ) = − (2 + sin 3θ)

3.

25

L = −∫ 2π

0

(2 + sin 3θ)3dθ = −

∫ 2π

0

(8 + 12 sin 3θ + 6 sin2 3θ + sin3 3θ

)dθ

= −

8 · 2π + 0 + 6

∫ 2π

0

sin2 3θdθ + 0

= −16π + 6π = −22π.

5. Sia Σ la superficie grafico della funzione

z =h

R

√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,

con R, h > 0 costanti fissate. Calcolare il flusso attraverso Σ, orientata versol’alto, del campo vettoriale

F =

(x, y,

zx2

R2

).

(Prestare cura nell’impostazione dell’integrale di flusso a partire dalle definizioni).

Φ (F ,Σ) =

∫ ∫Σ

F · ndS

dove, detta f (x, y) = hR

√x2 + y2, è

ndS = (−fx,−fy, 1) dxdy =

(− hR

x√x2 + y2

,− hR

y√x2 + y2

, 1

)dxdy

F /Σ =

(x, y,

h

R3

√x2 + y2x2

)Φ (F ,Σ) =

∫ ∫x2+y2≤R2

(x, y,

h

R3

√x2 + y2x2

)·(− hR

x√x2 + y2

,− hR

y√x2 + y2

, 1

)dxdy

=

∫ ∫x2+y2≤R2

(− hR

(x2 + y2√x2 + y2

)+

h

R3

√x2 + y2x2

)dxdy

=

∫ ∫x2+y2≤R2

h

R

√x2 + y2

(x2

R2− 1

)dxdy

in coordinate polari,

=

∫ 2π

0

(∫ R

0

(h

Rρ

(ρ2

R2cos2 θ − 1

))ρdρ

)dθ

=h

R

1

R2

(∫ 2π

0

cos2 θdθ

)(∫ R

0

ρ4dρ

)− 2π

(∫ R

0

ρ2dρ

)

=h

R

πR3

5− 2π

R3

3

= πR2h

(1

5− 2

3

)= − 7

15πR2h.

26

6. Si consideri la funzione π-periodica definita in[−π2 ,

π2

]da

f (x) = sinx.

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo[−π2 ,

π2

]: in base alla teoria,

cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie diFourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.

b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi -cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressionesemplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicita-mente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindieseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato,nella forma più esplicita e semplificata.

a. La funzione periodizzata è discontinua su R e regolare a tratti. Perciòla serie di Fourier di f converge puntualmente a f in

(−π2 ,

π2

), mentre negli

estremi ±π2 converge a 0. I coeffi cienti di Fourier tendono a zero ma non saranno(a priori) o (1/k).b. La funzione è dispari, perciò ak = 0 per ogni k. Per calcolare i bk, poiché

T = π, ω = 2πT = 2,

bk =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) sin (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) sin (kωx) dx =4

π

∫ π2

0

f (x) sin (2kx) dx

=4

π

∫ π2

0

sinx sin (2kx) dx.

Sfruttando l’identità

sinα sinβ =1

2cos (α− β)− cos (α+ β)

si ha, per k = 1, 2, 3...

bk =4

π

∫ π2

0

sinx sin (2kx) dx =2

π

∫ π2

0

[cos ((2k − 1)x)− cos ((2k + 1)x)] dx

=2

π

[sin ((2k − 1)x)

2k − 1− sin ((2k + 1)x)

(2k + 1)

]π2

0

=2

π

[sin(kπ − π

2

)2k − 1

−sin(kπ + π

2

)2k + 1

]

=

se k pari = 2π

[−1

2k−1 −1

2k+1

]= − 2

π

(1

2k−1 + 12k+1

)= − 8

πk

4k2−1

se k dispari = 2π

[1

2k−1 −−1

2k+1

]= 8

πk

4k2−1

= (−1)k+1 8

π

k

4k2 − 1

27

e la serie di Fourier di f è

f (x) =8

π

∞∑k=1

(−1)k+1 k

4k2 − 1sin (2kx)

oppure, in forma non semplificata,

f (x) =2

π

∞∑k=1

[sin(kπ − π

2

)2k − 1

−sin(kπ + π

2

)2k + 1

]sin (2kx) .


28



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.


f (x, y) =xy − 2

x2 + y2+ y (x− 1)

definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1. Calcolare g′ (1) .

Si ha:

f (1, y) =y − 2

1 + y2= 0⇐⇒ y = 2.

∂f

∂y(x, y) =

x(x2 + y2

)− 2y (xy − 2)

(x2 + y2)2 + (x− 1)

∂f

∂y(1, 2) =

5− 0

25+ 0 =

1

56= 0

e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1 nel piano privato dell’origine, f (1, 2) =0, ∂f∂y (1, 2) 6= 0, l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e una solafunzioni y = g (x) in un intorno di x = 1, con g (1) = 2. Si ha:

g′ (1) = −∂f∂x (1, 2)∂f∂y (1, 2)

.

Calcoliamo perciò

∂f

∂x(x, y) =

y(x2 + y2

)− 2x (xy − 2)

(x2 + y2)2 + y

∂f

∂x(1, 2) =

10− 0

25+ 2 =

12

5

g′ (1) = −∂f∂x (1, 2)∂f∂y (1, 2)

= −12515

= −12.

29

2. Calcolare l’integrale doppio

I =

∫ ∫Ω

(x2 |y|+ |x| y − 3 |xy|

)dxdy

dove Ω è l’ellisse Ω =

(x, y) : x2

a2 + y2

b2 ≤ 1, con a, b > 0 fissati.

Per le simmetrie si ha∫ ∫Ω

|x| ydxdy = 0∫ ∫Ω

(x2 |y| − 3 |xy|

)dxdy = 4

∫ ∫Ω′

(x2y − 3xy

)dxdy

dove Ω′ è il quarto di ellisse

Ω′ =

(x, y) :

x2

a2+y2

b2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

.

In coordinate polari ellittiche x = aρ cos θy = bρ sin θ

si ha Ω′ =

(ρ, θ) : ρ ∈ [0, 1] , θ ∈[0, π2

], dxdy = abρdρdθ,

I = 4

∫ ∫Ω′

(x2y − 3xy

)dxdy

= 4

∫ π2

0

(∫ 1

0

(a2bρ2 cos2 θρ sin θ − 3abρ2 cos θ sin θ

)abρdρ

)dθ

= 4a3b2

(∫ π2

0

cos2 θ sin θdθ

)(∫ 1

0

ρ4dρ

)− 12a2b2

(∫ π2

0

cos θ sin θdθ

)(∫ 1

0

ρ3dρ

)

= 4a3b2

([−cos3 θ

3

]π2

0

)(1

5

)− 12a2b2

([sin2 θ

2

]π2

0

)(1

4

)= 4a3b2

(1

3

)(1

5

)− 12a2b2

(1

2

)(1

4

)=

4

15a3b2 − 3

2a2b2.

3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentatoda:

Ω =

(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z3

h3


30

|Ω| =∫ ∫ ∫

Ω

dxdydz =

∫ h

0

(∫ ∫x2+y2≤R2z3

h3

dxdy

)dz =

∫ h

0

(πR2z3

h3

)dz

= πR2

h3· h

4

4= π

R2h

4.

Per simmetria, xc = yc = 0. Calcoliamo

zc =1

|Ω|

∫ ∫ ∫Ω

zdxdydz =1

|Ω|

∫ h

0

z

(∫ ∫x2+y2≤R2z3

h3

dxdy

)dz

=1

|Ω|

∫ h

0

z

(πR2z3

h3

)dz =

4

πR2hπR2

h3

∫ h

0

z4dz =4

πR2hπR2

h3

h5

5=

4

5h,

e il centroide ha coordinate(0, 0, 4

5h).

4. Si consideri il campo vettoriale piano

F =

(2xy

(x2 + y2)2 ,

y2 − x2

(x2 + y2)2

).

a. Determinare il suo insieme di definizione Ω e stabilire se il campo èconservativo in Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di ellisse

r (t) = (2 cos t, 3 sin t) , t ∈[π

2,

3

2π

].

a. Ω = (x, y) : (x, y) 6= (0, 0) . Cerchiamo un potenziale in Ω.

Ux = F1 =2xy

(x2 + y2)2

U (x, y) =

∫2xy

(x2 + y2)2 dx = − y

x2 + y2+ c (y)

Uy = −((

x2 + y2)− 2y2

(x2 + y2)2

)+ c′ (y) = − x2 − y2

(x2 + y2)2 + c′ (y) = F2 =

y2 − x2

(x2 + y2)2

c′ (y) = 0, c (y) = c.

Perciò il campo è conservativo in Ω, con potenziale

U (x, y) = − y

x2 + y2.

31

b. Sapendo che il campo è conservativo, è suffi ciente ora calcolare i puntiiniziale e finale dell’arco di curva:

A = r(π

2

)= (0, 3)

B = r

(3π

2

)= (0,−3)

pertanto il lavoro è

L = U (B)− U (A) =1

3− −1

3=

2

3.

5. Sia Σ la superficie ottenuta facendo ruotare attorno all’asse z la curva γche nel piano xz ha equazioni parametriche

x = 2 Ch tz = Sh t

per t ∈ [0, 1] .

Dopo aver scritto le equazioni parametriche di Σ e l’elemento d’area di Σ, cal-colare l’integrale di superficie ∫ ∫

Σ

zdS.

Suggerimento: calcolare l’elemento d’area di Σ a partire dalle equazioni para-metriche di γ.

Σ ha equazioni parametriche: x = 2 Ch t cos θy = 2 Ch t sin θz = Sh t

per t ∈ [0, 1] , θ ∈ [0, 2π] .

Posto a (t) = Ch t e b (t) = Sh t, risulta

dS = |a (t)|√a′ (t)

2+ b′ (t)

2dtdθ

= 2 Ch t

√4 (Sh t)

2+ (Ch t)

2dtdθ

quindi ∫ ∫Σ

zdS =

∫ 2π

0

(∫ 1

0

2 Sh tCh t

√4 (Sh t)

2+ (Ch t)

2dt

)dθ

= 4π

∫ 1

0

Sh tCh t

√5 (Sh t)

2+ 1dt

Sh t = u; Ch tdt = du;u ∈ [0,Sh 1]

32

= 4π

∫ Sh 1

0

u√

5u2 + 1du

=4π

15

[(5u2 + 1

)3/2]Sh 1

0

=4π

15

[(5 (Sh 1)

2+ 1)3/2

− 1

]Se si sceglie l’altra sostituzione si ha:∫ ∫

Σ

zdS = 4π

∫ 1

0

Sh tCh t

√5 (Ch t)

2 − 4dt

Ch t = u; Sh tdt = du;u ∈ [1,Ch 1]

= 4π

∫ Ch 1

1

u√

5u2 − 4du =4π

15

[(5u2 − 4

)3/2]Ch 1

1=

4π

15

[(5 (Ch 1)

2 − 4)3/2

− 1

]6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in

[− 1

2 ,12

]da

f (x) = cosπx.



[Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi cienti sarà importante distinguere icasi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressione semplice e leggibile dei coeffi cientidi Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applicaper il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportandochiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.

a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poiché

T = 1, ω = 2πT = 2π,

ak =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) cos (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) cos (kωx) dx = 4

∫ 12

0

f (x) cos (2kπx) dx

= 4

∫ 12

0

cosπx cos (2kπx) dx.

Quindi

a0 = 4

∫ 12

0

cosπxdx =4

π[sinπx]

1/20 =

4

π

33

mentre sfruttando l’identità

cosα cosβ =1

2cos (α+ β) + cos (α− β)

si ha, per k = 1, 2, 3...

ak = 4

∫ 12

0

cosπx cos (2kπx) dx = 2

∫ 12

0

[cos ((2k + 1)πx) + cos ((2k − 1)πx)] dx

= 2

[sin ((2k + 1)πx)

π (2k + 1)+

sin ((2k − 1)πx)

π (2k − 1)

] 12

0

=2

π

[sin(kπ + π

2

)2k + 1

+sin(kπ − π

2

)2k − 1

]

=

se k pari = 2

π

[1

2k+1 −1

2k−1

]= − 4

π1

4k2−1

se k dispari = 4π

14k2−1

= (−1)k+1 4

π

1

4k2 − 1

e la serie di Fourier di f è

f (x) =a0

2+

∞∑k=1

ak cos (2kπx) =2

π+

4

π

∞∑k=1

(−1)k+1 1

4k2 − 1cos (2kπx) .


34



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.


f (x, y) =1

x4 + 1− 1

y2 + 1


Sia g (x, y) = x2 + y4 − 1, poiché g è C1(R2)e

∇g (x, y) =(2x, 4y3

)= (0, 0)⇔ (x, y) = (0, 0)

e g (0, 0) 6= 0, il vincolo non ha punti critici. Definiamo la lagrangiana

L (x, y, λ) = f (x, y)− λg (x, y) =1

x4 + 1− 1

y2 + 1− λ

(x2 + y4 − 1

)e risolviamo il sistema

∂L∂x = − 4x3

(x4+1)2− 2λx = 0

∂L∂y = 2y

(y2+1)2− 4λy3 = 0

∂L∂λ = −

(x2 + y4 − 1

)= 0

La 1a equazione dà:

− 4x3

(x4 + 1)2 − 2λx = −2x

[2x2

(x2 + 1)2 + λ

]= 0 per

x = 0 oppureλ = − 2x2

(x2+1)2

Se x = 0 la terza equazione dà y = ±1 (e la seconda dà un certo valore di λ).Se invece x 6= 0 e quindi λ = − 2x2

(x2+1)2, la seconda equazione dà

2y

[1

(y2 + 1)2 − 2λy2

]= 2y

[1

(y2 + 1)2 +

4x2y2

(x2 + 1)2

]= 0 se e solo se y = 0

(la quantità entro quadre è sempre positiva). Perciò x 6= 0 ⇒ y = 0, che dallaterza equazione dà x = ±1.

35

Perciò i punti stazionari della lagrangiana sono

(±1, 0) , (0,±1) .

Poiché il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato del piano, peril teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluto vincolato di f esistonocertamente, basta perciò confrontare i valori di f in questi 4 punti. Si ha:

f (±1, 0) =1

1 + 1− 1 = −1

2

f (0,±1) = 1− 1

1 + 1=

1

2

pertanto:

(±1, 0) sono punti di minimo assoluti vincolati

(0,±1) sono punti di massimo assoluti vincolati.

2. Calcolare l’area e il momento d’inerzia rispetto all’asse z di una laminapiana omogenea di massa m rappresentata nel piano (x, y) dall’interno dell’arcodi curva di equazione polare

ρ = Rθ2 per θ ∈ [0, 2π] .

La lamina corrisponde all’insieme rappresentato in coordinate polari da

Ω =

(ρ, θ) : θ ∈ [0, 2π] , ρ ∈[0, Rθ2

]quindi l’area è

|Ω| =∫ 2π

0

(∫ Rθ2

0

ρdρ

)dθ =

∫ 2π

0

R2θ4

2dθ =

R2

2

(2π)5

5=

16

5π5R2.

Il momento d’inerzia rispetto all’asse z è:

I =m

|Ω|

∫ ∫Ω

(x2 + y2

)dxdy =

m

|Ω|

∫ 2π

0

(∫ Rθ2

0

ρ2ρdρ

)dθ

=m

|Ω|

∫ 2π

0

R4θ8

4dθ =

5m

16π5R2

R4

4

(2π)9

9=

40

9π4mR2.

36

3. Calcolare il volume e il centroide della porzione di sfera S descritta incoordinate sferiche da x = ρ sinφ cos θ

y = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ

ρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, 2π] , φ ∈[0,

2

3π

].

[Suggerimento: visualizzare la figura per sfruttarne le simmetrie].

Poiché l’elemento di volume è dxdydz = ρ2 sinφdφdθ,

|S| =∫ 2π

0

(∫ R

0

ρ2dρ

)(∫ 23π

0

sinφdφ

)dθ

= 2πR3

3[− cosφ]

23π0 =

2

3π

(1

2+ 1

)R3 = πR3.

Per simmetria, xc = yc = 0, mentre

zc =1

|S|

∫ ∫ ∫S

zdxdydz =1

πR3

∫ 2π

0

(∫ R

0

ρ3dρ

)(∫ 23π

0

sinφ cosφdφ

)dθ

=1

πR32πR4

4

[sin2 φ

2

] 23π

0

=R

4

(√3

2

)2

=3

16R,

e il centroide ha coordinate(0, 0, 3

16R).


F = (−y, x)

lungo l’arco di curva

r (t) = ((1 + sin t) cos t, (1− sin t) sin t) , t ∈ [0, π] .

37

(Riportare impostazione e passaggi intermedi).

L =

∫γ

F · dr =

∫ π

0

F (r (t)) · r′ (t) dt

r (t) = ((1 + sin t) cos t, (1− sin t) sin t)

r′ (t) =(cos2 t− sin t (1 + sin t) ,− sin t cos t+ (1− sin t) cos t

)F (r (t)) = (− (1− sin t) sin t, (1 + sin t) cos t)

F (r (t)) · r′ (t)= (− (1− sin t) sin t, (1 + sin t) cos t) ·

(cos2 t− sin t (1 + sin t) ,− sin t cos t+ (1− sin t) cos t

)= − (1− sin t) sin t cos2 t+ sin2 t

(1− sin2 t

)− sin t cos2 t (1 + sin t) + cos2 t

(1− sin2 t

)= −2 sin t cos2 t+

(1− sin2 t

)= −2 sin t cos2 t+ cos2 t.

L =

∫ π

0

(−2 sin t cos2 t+ cos2 t

)dt =

[2

3cos3 t

]π0

+π

2= −4

3+π

2.

5. Sia S la superficie materiale (conica) grafico della funzione

z =h

R

√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,

con R, h > 0 costanti fissate. Calcolare l’elemento d’area dS e il momentod’inerzia di S rispetto all’asse z sapendo che la sua densità superficiale è

δ (x, y, z) =µ

R3

(z + h+

√x2 + y2

)dove µ > 0 è un parametro fissato avente le dimensioni di una massa.

L’elemento d’area di una superficie cartesiana z = f (x, y) è dato da dS =√1 + |∇f (x, y)|2dxdy, in questo caso

∇(h

R

√x2 + y2

)=h

R

(x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

),

dS =

√1 +

h2

R2dxdy.

Il momento d’inerzia è dato da:

I =

∫ ∫S

(x2 + y2

)δ (x, y, z) dS

=

∫ ∫x2+y2≤R2

(x2 + y2

) µ

R3

(h

R

√x2 + y2 + h+

√x2 + y2

)√1 +

h2

R2dxdy

38

in coordinate polari

= 2π

∫ R

0

ρ2 µ

R3

(h

Rρ+ h+ ρ

)√1 +

h2

R2ρdρ

= 2πµ

R4

√R2 + h2

∫ R

0

((h

R+ 1

)ρ+ h

)ρ3dρ

= 2πµ

R4

√R2 + h2

(h

R+ 1

)∫ R

0

ρ4dρ+ h

∫ R

0

ρ3dρ

= 2πµ

R4

√R2 + h2

(h

R+ 1

)R5

5+ h

R4

4

= 2πµ

√R2 + h2

h+R

5+h

4

= 2πµ

√R2 + h2

1

5R+

9

20h

6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [0, π]da

f (x) = cosx.



[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, π] ,quindi sull’intervallo [−π, π], quindi sul periodo

[−π2 ,

π2

],

così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma piùesplicita e semplificata.

a. La funzione periodizzata è discontinua su R e regolare a tratti. Perciòla serie di Fourier di f converge puntualmente a f tranne nei punti kπ, in cuiconverge a 0. I coeffi cienti di Fourier tendono a zero ma non saranno (a priori)o (1/k).b. La funzione è dispari, perciò ak = 0 per ogni k. Per calcolare i bk, poiché

T = π, ω = 2πT = 2,

bk =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) sin (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) sin (kωx) dx =4

π

∫ π2

0

f (x) sin (2kx) dx

=4

π

∫ π2

0

cosx sin (2kx) dx.

Sfruttando l’identità

sinα cosβ =1

2sin (α+ β) + sin (α− β)

39

si ha, per k = 1, 2, 3...

bk =4

π

∫ π2

0

cosx sin (2kx) dx =2

π

∫ π2

0

[sin ((2k + 1)x) + sin ((2k − 1)x)] dx

=2

π

[− cos ((2k + 1)x)

2k + 1+− cos ((2k − 1)x)

(2k − 1)

]π2

0

=2

π

[1− cos

(kπ + π

2

)2k + 1

+1− cos

(kπ − π

2

)2k − 1

]

=2

π

(1

2k + 1+

1

2k − 1

)=

8

π

(k

4k2 − 1

)e la serie di Fourier di f è

f (x) =8

π

∞∑k=1

k

4k2 − 1sin (2kx) .


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f x;y) = x(log y 2) + e xy = 0 - mate.polimi.itbramanti/corsi/temidesame_analisi2/itinere2... ·...

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