Evolu ta (?) di una qualsiasi varieth dello spazio hi lbert iauo,

Memoria di GIUSEPPE VITALI (a Padova) .

Sunto. - L'A . definisce per qualunque varietdb dello spazio hilbertiano una va~'ietd~ che egli indica co~ E e ehe pub essere sotto mol t i r iguardi considera~a come la naturale esten-

sione della evoluta delle curve p lane e detle superficie ordi~arie.

Nella presente Memoria io osservo come nel I I 2 corrispondente ad un punto P di una qualunque variet'£ W~ vi sia da considerare una i,persuperficie algebrica che io indico con Ep (I; t) la quale ammet te una semplice genera-

zione proiettiva (I; 2) e che 6 s tret tamente legata at t raverso ad una questions di estvemi relativi alle curva ture delle geodetiche di W p e r P (I; 5, 6, 7). Per

met tere in evidenza questi legami ho dovuto introdurre certi iperpiani del H~ che ho chiamato spazi centrali (I; 4) ed io dimostro che gli iperpiani tangenti

alla / ~ sono degli spazi centrati (I; 9). La considerazione della E~ mi conduce ad associare ad ogni direzione

di H~ uscente da P u n vettore the chiamo curva tura gaussiana secondo tale

direzione (I; 10). Gli estremi della, grandezza di questo vettore~ nel caso in cui W sia una superficie, corrispondono alle normali principali da me intro- dotte (~) (I; 11).

Indico poi con E l ' insieme delle E~ corrispondenti ai vari punti di W (II; 1). La E ha aleune proprieta che ricordano propriet/~ godute dalle evolute detle

c u r v e plane e delle superficie ordinarie (II; 2~ 3, 4~ 5, 6), fra le quali una

(II; 5, 6) segnalata dal BONNET per le curve piane e recentemente estesa in vari sensi dal MINEO e dall'ALIPRANDI.

I.

1, Sia W una variet/~ qualunque ad n dimensioni dello spazio hilbertiano.

2 L \ lJ

il numero delle dimensioni del lI.~ corrispondente a P (~).

(0 O. VITALi, Geometria hello spazio hilbertiano l e d . 2N. Eanichelli~ Bologna (1929), p. 256]. I n seguito questo libro si indicherh con ,, G. I t . ,~.

(~) P e r le notazioni v. ,( G. H. ~. P a t t i I I e V.

_ 4 n ~ d{ M~tem~t{c,a, Ser ie IV~ Tomo VIII. Sl

162 G. VI~aLI : Evoluta. (?) dianet q'tf.aIsiasi vorietge dello spazio hilbertia~,o

Cons ider iamo v p a r a m e t r i normal i e f ra Ioro or togonal i del llo

X ( i = 1 , 2, . . . , v). i

Assumiamo poi come s i s tema car tes iano or togona le in II~ l e v re t te uscenti

da P aven t i i p a r a m e t r i X ed o r ien ta te in modo t h e it pua to f + X sic sulla

par te posi t iva.

Si ponga al solito

~h,h ~ffh'hXdt'~ i ah'h ~ j "fh[~dt~ g g

ed essendo x te coordina te , r i spet to

de1 II.2, si ponga in61tre

i i

al ea r t es iano cons idera to , di un punto

DEF. - - Ch iamer6 Ea la ipersuperf ic ie del II. 2 t h e ha per equaz ione la ~ = 0 .

2. La E~ 6 una var ie t~ a lgebr i ca t h e ha una gene raz ione molto semplice .

Si cons ider ino gli n sistemi Sk (h ~ 1, 2, ..., n ) l i n e a r i di iperpiani t h e si

o t tengono facendo v a r i a r e le lxh hel le equaz ioni

Yhlxh(at,, ~ - - 2~X -Xh, k) = 0. i i

F a e e n d o corr isponder 'e in due Sh gli iperpiani che cor r i spondono al mede-

simo s i s tema di va lor i del le l*~, si vede t h e questi sistemi S~ si cor r i spondono

in una proiet t ivi t / t (magar i singolare), e ehe Ia E~ g il luogo dei punti co-

muni alle n-uple di iperp ian i co r r i sponden t i in tale proie t t iv i t /c

Se v 2> n, n iperp ian i di una tate n-upla hanno in c o n mn e uno spazio

l ineare di v - n dimensioni , e quindi la Ep g cost i tui ta da ~ '~-~ spazi l inear i

a v - - n dimensioni .

3. Nel caso di n ~ - - - v = l la Ep si r iduee al 1 ° cen t ro di c u r v a t u r a del la

c u r v a W. S e n - - 2 e v --~ 1, la E~ si r iduce alla coppia dei cent r i di curva-

turn de]le geode t i che tangent i alle l inee di c u r v a t u r a del la superf ic ie W. Nel

caso n ~ v ---- 2, la Ep coincide con una con ica che si 6 p r e se n t a t a al TONOLO (~).

(l) A. TONOLO, Relazioni geometriche fva due sistemi di normali di unc~ superficie dello spazio hilbertiano, [~( Annales de la Socidtd Polonaise de Math. % T. Y I I I (1929), p. 5].

G. VITALI: Evoluta (?) di una qualsiasi variet5, dello spazio "hilbertiano 163

P e r n -~ v - - 3 la / ~ si 6 p r e se n t a t a alla SACILOTTO (~). P e r n ~ v, essa poi fa

capol ino in un mio lavoro (~).

4. Sin d ann d i rez ione di W uscen te da P .

L a geode t i ca di W t a n g e n t e a d in P ha c o r r i s p o n d e n t e m e n t e a P una

normale pr ine ipa le che (quando l a d non 4 una d i rez ione as intot ica della W),

una r e t t a r di II~. Ques ta geode t ica ha poi c o r r i s p o n d e n t e m e n t e a P un

een t ro di c u r v a t u r a che sarh un punto Q di r .

DEF. 1. - - Chiamo spaz io cen t ra te cor r i sponden te alla d i rez ione d 1' iper-

piano di H. 2 o r togona le alia r e t t a ~" nel punto Q.

Gli spazi cen t ra l i co r r i sponden t i alle va r i e di rezioni uscent i da P form~no

una conf iguraz ione eontenutt~ in II~ t h e noi a v r e m o oeeas ione di e saminare .

DEF. 2. - - Se s ~ uua t e t r a di II~ uscen te da P~ e se J ~ lo spazio cen-

t ra te co r r i sponden te al la d i rez ione d, il punto in te rsez io~e d i s e di J si chin-

meri t il centT'o sulla s della W cor r i sponden te alla d i rez ione d.

I cen t r i sulla s del la W sono ~ - ~ , il che d imos t ra t h e un medes imo

een t ro pus co r r i sponde re ad infinite direzioni di IV.

DEF. 3. - - Se C 5 il cen~ro sulla s co r r i sponden te al la d i rez ione d, la

l un ghezza deI s egmen to P C si c h i a me rh il ~'aggio sutla s del la W corr ispon-

den te alla d i rez ione d.

5. I raggi sulla s sono filxJzioni delle du~, d u 2 , . . . , d u , che ind iv iduano

la d al la quale cor r i spondono.

Ind ich iamo con Q' il punto pr inc ipa le (3) sulla ~" co r r i sponden te alia dire-

z ione d~ e con C' la pro iez ione or togonale di Q' sopra s.

Poich6 si ha per defiNizione P Q . P Q ' ~ 1, e dai t r iangol i simili P Q C e

PC'Q ~ si r i c a v a P Q : P C ' = = - P C : P Q ' , si ha P C . P C ' - - - - 1 .

Se Z ~ un p a r a m e t r o ~ormale di s~ ind ich iamo con ~ l~ lunghezza di P C

presa con segno + o - - secondo che C eade dal la pa r t e di f - + - Z r ispet to a P

oppure dal la opposta. Si h~t a l lora che il pu~to f + ( I :~)Z 6 il punto C'. Ma C'

la p ro iez ione or togona le di Q' sulla s, inol t re Q' ~ il punto

f ~- (~l~ kf~, kd~hduk):(Zh~ah, ~duhduk),

(t) I. SACILOTT0~ Normali associate alle di~'ezioni di una vaq'iet~t generica a tre dimen. sioni giacente i~ uno spazio lineare a sei dimensioni~ [~ Atti del R. Ist. Veneto ~, T. LXXX¥II I , p. 357]. La equazione di E~ si ottiene eliminando le dur dalle formule (3 r) di tale nota.

(z) G-. VI~ALI, l~.brme differenziali a carattere p~'oiettivo associate a certe varietY, [~, Atti del R. Ist. ~eneto ~, T. ~XXXVIII~ p. 364]. La equazione di E~ si ottiene eliminando le du,. dalle equazioni (6) di tale nora.

164 G. VITALI: Evoluta (?) di una qualsiasi variet(~ dello spazio hilbertiano

dunque

e quindi

(1) dove, al solito,

1 : ~ = i (E h k f n , hduhduh)Zdt: (Zhkan, kdunduh), g

--- (Nh~ah, hdUhd~tk) : (Enk~h, ~dundu~),

zn, k -----~fa, aZdt. g

6. T e n u t a fissa la s c e r ch i amo gli es t remi di p, ossia i va lor i di p per i

quali r i su l tano nulle tu t te le de r iva t e parzial i p r ime del seeondo m e m b r o di (1)

r ispet to alle singole dun. P e r tall p e per le eor r i sponden t i dun dovranno

essere soddisfat te le re laz ioni

Ehah, kdun - - pEhZn, ~dua = 0 (h = 1, 2, . . . , n), ossia le

(2) Y,h(ah, k - - ~ Z h , h)dun = 0 (h = 1, 2 , . . . , n).

Ma perch6 le (2) siano soddisii~tte da delle dub non tut te nulle, deve essere

nullo il d e t e rminan t e dei coefficienti delle (2), e quindi p dove soddisfare la

equaz ione

(3) I ah, h - - ~ z ~ , ~ I = 0

e poich6 la fo rma Enaan,~dundu h 6 defini ta e gene r i ca (~), la (3) 6 una equa-

z ione seco la re che ha n r~tdici real i r ego ta r i (~).

7. Ri ferendoci al s i s tema car tes iano in t rodot to al n. ° 1 a v r e m o

(4) z = Y,3X, t i i

con E ~ ? J - - 1 , come si vede

un raggio di W sulla s, le

quad rando la (4) ed in teg rando lungo g. Se p

x = p k ( i~--1, 2 , . . . , v) i i

sa ranno le coord ina te del co r r i sponden te cen~ro r ispet to al nostro s i s tema car-

tesiano.

(~) ,, G. It. ,,, p. 130 e 111. (e) ~, G. H. % p. 138.

G. VITALI: Evoluta (?) di una qualsiasi varietg dello spazio hilbertiano 165

T e n e n d o eonto di ci5 noi possiamo dire ehe i cen t r i su s ehe eorr ispon-

dono agli e s t remi d i ~ sono i punti

f + ~ Z = f + ~ 3 X = f + ~,(~),)x = f + ~ixX ~ i i i i i

per i quali le x o l t re a r i su l ta re proporzionMi alle X soddisfano alla

z ione ~ - - O , poich~ a ques ta si r iduee la (3)~ essendo

Zh, ~ --- ~ X ~ , ~ e ~Zh, ~ = ~ X h , ~ .

equa-

In altri t e rmin i si ha il

T E O R . - Gli e s t remi di ~ sono le d is tanze di P dMle in tersez ioni del la s

eolla E~.

8. Cons ider iamo la funzione ~ delle v var iabi l i x .

Come sappiamo la ¢p ~ un d e t e r m i n a n t e e noi i nd i che remo con ~¢~ il com-

p l emen to Mgebr ico del t e rmine an ,~ , - -V~w.x~ ,~ in % Inol t re i nd i ehe remo

con ~ l~ d e r i v a t a parz iMe p r ima del la ~o r i spe t to ad x . N a t u rMme n t e le V ~

e le V~ sa ranno a n c h ' e s s e funzioni delle x .

Si ha subito

(5)

e

(6)

e quindi (~)

i

9. Sia ora C un punto di Ev, in C ~ ~ = O. Supponiamo che la E~ abbia

in C un iperp iano t angen te de t e rmina to e indichiamolo con J:

I coseni d i re t to r i dell~ no rma le ad J sono proporz iona l i alle q%. Le qo~ non

possono essere nel nostro caso tu t te nulle e quindi per le (6) non possono

essere tu t te nulle le ¢Ph~- Ino l t re a causa del la qo = 0 si avr~t ¢¢h~ -= e~h~, dove

le ~h sono numer i reMi conven ien t i e d e 6 uno dei numer i + 1 o - - 1 (lo stesso

pe r tu t te te coppie hh).

Allora la no rma le pe r P ad J ha il p a r a m e t r o

+ - - - - ~ E ~ X = eEha~hh(~Xh, ~X) [V. h~ (6)] i i i

166 G. ¥~e~L,: Evoluta (?) di una qualsiasi varietd dello spazio hilbe'rtiano

Indicando con Y un pa ramet ro normale di questa re t ta si avr'a + = OY,

dove 0 ~ un numero conveniente .

I1 piede Q della perpendieolare r a J eondot ta da P sarg un punto /'-t-mY,

dove co-=[(E~x.X)Ydt , poieh6 Q 6 troche la proiezione di C sulla ,'. Ora

g

.15 g g

1 -E~Ehax- xh, hSh" ~a

e, per la (5), tenendo eonto del fatto t h e 6 ~ - - O , si ha

1

Consegue che O b, il centro di e u r v a t u r a della geodet iea tangente alia

direzione d di W per eui le dub sono proporzionali alle 8~. Infatt i il punto Q'

di r ehe si t rova r ispetto a P dalla stessa banda di Q e tale per cui P Q . P Q ' - - 1

il punto f + Y:m = f + OY.(~h~ah,~%.8a)

--= f + (1~hk~, kSh" 8~):(Yhhah, h~h" 8~),

e quindi Q' g il punto principale corr ispondente alla direzione d. Si ha eosi il

TEOR. - - Gli iperpiani tangent i ad E~, sono spazi central i .

Si noti the , essendo gli spazi eentral i o~ '~-~ e gli iperpiani tangent i ad E~

essendo ~ - * , se v > n ogni spazio eent ra le deve essere tangente ad E~ in

oo~-~ punti. Lo sarg nei punti di un medesirno spazio l ineare a v - n dimen-

sioni appar tenen t i ad E~.

Nel easo d i n ~ v la E,, b, l ' inv i luppo degli spazi eentrali .

Nel easo d i n > v solo una par te degli spazi eentra l i sa ranno tangenti a,d Ea,.

10. Sia s una re t ta di IIs passante per P, e sia Z un sue pa rame t ro nor-

male. Si av rg la (4) con E y = 1, ed i punti di intersezione delia s con E~

saranno i punti di coordinate x = p;., per i quali il p soddisfa alla equazione i i

la~,~ - - ~Y',>.'xT,, ~ 1 = 0. i

Questa equazione ha tut te radici reali, e diverse da zero, e quindi ~ reale

e finito l ' i nve r so del prodotto delle sue n soluzioni. Indiehiamolo con ~?. Sia T

il punto f + ~E~)v.X.

G. ¥rr~L~: Evotuta (?) di ,t~na quatsiasi varlet& dello spazio hiIbertiano 167

DEF. - - Ii ve t to re P T si chiamera, la curvatura gaussiana di W in P

secondo la s.

Da t a la d i rez ione pos i t iva del la s ~, per eontinuit/~, d e t e r m i n a t a la dire-

z ione posi t iva di tutta le r e t t e di II~ ehe eadono in un piccolo in torno del la s.

In tal modo e per tall r e t t e r e s t a ind iv idua to il n u m e r o ~ anehe nel segno.

Var iando la s il numaro a r isul ta funzione delle n var iabi l i X lega te

dal la re laz iona E~).~ = 1.

Le X eosi l ega te si possono e sp r i me re in funziona di a l t re n - 1 var ia-

bill ind ipendent i 1~ ( j = l , 2 , . . . , n - - l ) .

11. Ce rch i amo or~t gli es t remi di f~, ossia i valori di ~2 cor r i sponden t i a

ve~lori detle ~ pa r cui siaffo nulle tu t te le de r iva t a parz ia l i p r ime di ~2 ri- J

spet to alle ~t. J

Cominc iamo coil' o s s e r v a r e che ~ : l E ~ - . x a , k l : a , dove a = l an, h t. A1-

lora pe r gli es t remi di f] si annu l l e r anno tu t te le de r iva t e r i spet to alle ~ di J

g

P e r fare la nos t ra r i c e r c a supponiamo c h e l a r e t t a di p a r a m e t r o X eor-

r i sponda ad un e s t r emo di ~. Allora il va lo re di ~2 eo r r i sponden te alla dire-

z ione X 6 e s t r emo dei vMori di f~ cor r i spondent i ~ tut te le direzioni del

pimm per P che ha i p a r a m e t r i X e d X, i ~> 1. Ma una d i rez ione di ques to 1 i

piano ~vr/t un p a r a m e t r o normMe delt~ fo rma cos o~Xq-sen aX, ed il corr i -

sponden te veAore di a ~ sax'~ date da I c o s ~ - x t ~ , a + sen cc.xt~,nl. t i

P e r ~ ~---0 si ha il va lore eo r r i sponden te a l la - re t ta di p a r a m e t r o X, e sic-

come per ques ta t e t r a si ha un e s t r emo di ~, per ~ = 0 d o v r h essere nulla

la de r i va t a r i spat to ad ~ di

- = l c o s ~ . x ~ , ~ + s e n ~ . x h , ~ I. 1 /

Or~ indicando con ~hh it c o m p l e m e n t o a lgebr ico di cos ~. xh, h q-- sen ~ - Xh, k 1 i

in ~, si ha

~ - - ~h~ ( - - sen ~ -xh , k + cos ~-xh, k)~hh • 1 i

168 G. VI~.~I~I : E v o M t a (?) d i tt¢~a q u a l s i ( t s i v a r i e t 5 del lo s p a z i o h i l b e r t i w a o

Ma per :¢ := 0 la ~h~ diventa, il complemen to a lgebr ico di x h , , nel deter- 1

minante I Xh, t, i, c o m p l e m e n t o che ind icher6 con x h~, dunque 1 1

Si conc lude che se ad X cor r i sponde un es t remo di g2, si dovr~ a v e r e 1

~h~Xh, kX h~ = 0 (i = 2, 3, ..., % i 1

Si ha cosi il

TEOR. - - G t i estremi di 9, corr i spondono a quel le rette s per le quali,

e s sendo Zh, h il eovar iante associato, e z h~ il comptemento a lgebrico di Zh,~ neI de terminante I Zh, h I, si a, bbia EhkXh, kZ h ~ - ~ 0 per ogni covar iante asso-

ciato ad una retta di II 2 perpendico lare ad s.

Segue il

Con. ~ Se n - = 2 gli estremi di [2 corr i spondono alle normali principali ,

nel 1I, (~).

II.

1. DEF. - - L ' i n s i e m e della Ep corrispondent i ai vari punti di W forma

una variet~ ad n + v - - 1 dimensioni che ch iamer6 la E di IV (~).

(~) ,, G. H. ,>, p. ~58. L e no rma l i pr inc ipMi nel II~ fu rono da me in t rodo t te pe r le super- fieie in Sopra a l cun i i n v a r i a n t i associat i ad u n a var i e t4 e sopra i s i s temi p r i n c i p a l i d i n o r m a l i della superficie, [¢ Ann . de la Soe. Pol. de math . ~>~ T. V I I (1928), pp. 43-67]. [1 con- cetto di normMi pr inc ipa l i b stato da me succes s ivamen te esteso a tu t te le va r i e t~ in S i s t emi p r i n c i p a t i d i n o r m a l i a d u n a var ie t4 giacent i nel suo z 2 [~ A n n . de la Soc. Pol . de Math . ,,, T, V I I (1928), pp. 242-251], m a la estensiol le da me da ta (ehe sotto cer t i a l t r i p~mti di v i s t a appar i sce n a t u r a l e ed utile) n o n h a in rapioorto el la quis t ione geomet r i ea t r a t t a t a he l le iore- seute m e m o r i a pe r n > 2 la s tessa impor t anza ehe la nozione di nolaual i princiloali h a pe r n ~ 2. Se rge qui a n p r o b l e m a : ,, E s a m i n a r e ne l caso d i n > 0 qual i re , re s del H~ h a n n o la loropriet~ che, essendo Zh, ~ i l cova r i an t e assoeiato ad s, e z t~ i l complemen to a lgebr ieo di Zh, ~ in [ Zh, ~ 1, si h a Z~Xh, ~z h~ ~ 0 pe r ogni cova r i an te xt~, 1~ associate a q u a h m q u e dire- zione di H~ loerpendicolare ad s ~,. A p r i m a v i s t a s e m b r a che il p rob l ema d e b b a p r e s e n t a r e qua lche diffieolt~.

(-2) P e r mol t i s s ime r ag ion i la E si poWebbe ch i amare la evoluta di W. E s s a ~ d i fa t t i le evo]u ta di W ne l sense o rd ina r i e quando W ~ u n a c u r v e loiana o u n a super f ic ie ordi- n a r i a (superf ic ie con t enu t a in uno spazio l incare a t re d imensioni) . I n o l t r e la E h a in tu t t i i easi del la p ropr ie t~ che si possono r i t ene re es tens ion i di p ropr ie t~ i m p o r t a n t l godutc del la c i ta te evohl te . M a siecome l a denominaz ione di evo lu ta si usa in casi in eui n~ l ' e v o l u t a

G. V I ~ x ~ : EvoIuta (?) d i u n a qttalsiasi varietd~ dello spazio hilbertiano 169

2. Conduciamo per ogni punto P di W un~ re t t a s nel cor r i spondente lI2,

ed indichiamo con Z un pa rame t ro normale d i s .

Ev iden temen te Z risulter/~ funzione delle n variabil i u h. Imag in iamo di

ave re scetto le v a r i e s ed i pa rame t r i Z in mode che Z risulti cont inua e

der ivabi le r ispetto alle ua .

Ogni re t t a s incont ra 1~ E in un numero finite di punti, e tutti questi

punti ibrmmm una variet~t h a d n dimensioni .

L a punto-funzione f H - ~ Z , dove ? 6 radice della equazione

(8) t an, ~ - - ~zh, ~ } = 0

un~ de te rminan te di A, ed in essa le f, ~, Z sono funzioni delle u a.

Consider iamo un part icol~re punto P di ~V~ ed un punto C di ~ posto

suila s cor r i spondente a P. Ev iden temen te ad ogni direzione di W per P

corr isponde una direzione di A useente da~ C 7 ed inversamente .

Mi pongo 1~ d e m a n d s : Esiste un~ direzione di h uscente da C che sia

perpendicolare ai % di W in P ?

Una direzione di A useente da C ha il pa ramet ro

d f + d~. Z + ~ .dZ ,

e perehg sia perpendieo lare al ~ di W in P dovra essere

(9) ~ d f . f k d t - l - d 4 Z . f h d t + ~ d Z . f k d t = O . ( h = 1, 2, . . . , n). g g g

j 'Z. f kd t Ora Z 6 or togonale alle fa e quindi 6 0, da cui der ivando ri- g

j" j'~ d Inol t re spetto ad Uh r isul ta Zh . /'hdt . . . . . Z" fl~, ~ t -~- - - z~, k .

9 g

~ d f . f~dt = E h d U t ~ ' f h . /)~dt ~-~ Y,k(th. kdUh ,

g 9

e

g g

nel sense ordinar io ~ determinata , n~ la nos t ra E ~ una evoluta (v. p. es. il case in eui W una l inea gobba) cosi mi sono l imitato nel la denominaz ione alia sola iniziale del la parola

evoluta. I n tal mode he r i tenuto di conseguire due seopi : 1. ° R ieo rda re l' af f ini th del la E eolle pilh note evolute. 2. ° Non d i s tu rbare 1' use eor ren te del la paro la evo]uta.

Annat i di M~tematic~. Ser ie IV, Tome VIII, 22

170 G. VITALI: Evoluta (?) di una q.t~alsiasi variet(, dello spazio hilbertiano

Allora le (9) d iven t ano

i9') E~(aa. ~ - - f)zh, ~)du~ = 0 (h --~ 1, 2, ..., n).

Le (9') sono n re lazioni l inear i o mo g e n e e hel le n var iabi l i dub che a causa

della (8) hanno il d e t e r m i n a n t e dei eoefficienti uguale a zero. Al lora se g

rad ice sempl ice di (8) e quindi se il p r imo m e m b r o di (8) ha per tale p ca-

r a t t e r i s t i ca n - - 1 ie (9') hanno una soluzione d e t e r m i n a t a Ml ' infuor i di un

fa.ttore. Ne eonsegue t h e in tal caso esiste una ed una sola d i rez ione di h

pe r C t h e sia pe rpend i co t a r e al % di W in P . Qhes ta d i rez ione eo r r i sponde

a quel la d i rez ione di W per P t h e ha per spazio cen t r a l e co r r i sponden te

l ' i p e r p i a n o t angen te alla E~ in C. Infat t i le (9') non sono al t ro t h e le (2).

3. Se, al solito~ P ~ un punto d e t e rmi n a t o di W e C ~ un punto

del la Ep, l ' i p e r p i a n o di IIs t angeu te ad E s in C ha tu t te ie sue direzioni

tangent i ad E in C e nello stesso t empo pe rpend ico la r i M % di W in P.

Inol t re , come abb iamo visto, s e i l ~ co r r i sponden te a C ~ rad ice sempl ice

del la (8), esiste pe r ogni h uua ed una sola d i rez ione uscen te da C appar te -

nen te a h e p e r p e n d i c o l a r e al %. Si conc lude fac ihnen te che in ques ta con-

dizione la E ha in C uno spazio l ineare ad n dimensioni t angen te ad essa e

pe rpend ico l a re al ~ .

4. Se P ~ un punto di t)l, se s ~ una r e t t a pe r P del II~, se Z ~ un

parameWo normale di s, se infine la (8) ha n radic i a due a due dist inte

la s i ncon t ra la E in n punti d i v e r s i C,, C~,..., G,. Si ha il

TEOR. --- Le n direzioni di IV che hanno come spazi cent ra l i gli iper-

piani t angent i ad Ep nei punt i C~, C~,..., C~ sono a due a due or togonal i .

D~M. - - Infat t i se alle di rezioni che hanno come spazi cent ra l i gli iper-

piani tangent i ad Ep in C, e C 2 sono individuat i dagli i nc r emen t i du~ e ~tt,

d e l l e uh, se ~ e 92 sono i valor i di p corr isponden~i a C, e a C~, si ha

per le (9')

~h(a**, h - - p~z~ , ~,)dut~ = 0

E~(ah, k - - ~ah, ~)~u~ = 0.

Molt ipl icando la p r ima di ques te pe r 8u~ e sommando ed inol t re molti-

p l icando Ia seconda per d~t~ e sommando si ha

Zl~kah, kd~th~lt~ ~- ~ ~Zhk:Z'h, ~d~th~h

Eh~ah, h~uhdu~ = 9~EakZh, k~uhdu~,

G. VI~.~LI : Evoluta (?) di u na qualsiasi varietal, dello spazio hilbertiano 171

da cui, essendo P ~ P 2 , eonsegue che Eh~al~,~thd~tk---O, che esprime ap-

punto che le due direzioni considerate sono ortogonali.

5. Continuiamo a considerare la solita variet~ W e d insieme un'altrt~

variet'~ W' sempre collo stesso numero n di dimensioni, poi imaginiamo as-

sociato ad ogni P di W un punto Q di W' in guisa che il segmento PQ ri- sulti perpendicotare alla W ' in P.

Supposto che F(t; v) sia una determinante di W', il punto Q associato

al punto P--~ f i t ; u) sar~t dato da F(i ; v), dove le v sono convenienti fun-

zioni delle u. Queste funzioni sono definite implicitamente dalle relazioni che esprimono la condizione che PQ 6 perpendicol~re a W in P.

Infatti questa condizione equivale alle retazioni

~(f - - F)f~dt - - 0 (h --~ 1, 2, ..., n) (lO) g

che in generale saranno fra loro indipendenti.

6. Det ta ~ tt~ lunghezza della corda PQ, la $ sarh funzione delle u. lqoi ci proporremo di determinare gli estremi di ~, ossia quelte ~ per le quali si

annullano le prime derivate parziali di 5, o se si vuole di ~", rispetto alle u.

0 r a ~ ~- . l i f - -F)~-d t , ed annullandone ie derivate prime rispetto alle U~

9

si h~nno le relazioni

(11) ~(f -- F)(5,-- ~hG ~)dt----o g

~F dove, ehiaramente, 6 Fk = 3vk"

Tenendo eonto delle (10), Ie (11) diventano

j~( ~vk f - - FI~,hF ~ ~ d t - - 0

ossia

(12) -.k 3-~n g

03)

( h - - l , 2 , . . . , n)

(h ~ 1, 2, ..., n),

(h--" l , 2 , . . . , n).

Le (12) sono n relazioni lineari omogenee nelle n quantith

~ (f - - F)F~dt ----- 0 (h --- 1, 2, .. . , n) g

172 @. V~An~ : Evoiuta (?) di una qualsiasi veeriet(e dello spazio hilbertiano

col determinante dei coefficienti uguale al determinante funzionale delle v

rispetto aile u.

Allora saranno estremi di 8 quei valori di 8 per i quali si annullano le n

quantit~t (13), ossia quelli per i quali il segmento PQ risulta anche perpendi-

eotare a W' in Q.

Altri estremi potranno trovarsi per quei sistemi di valori delle u per i

quali risulta nullo il determinante funzionale delle v rispetto alle u.

Derivando rispetto alle u te (10) si ha

(14) f ~ - - = ,~F, .~ fhdt + (f - - F)fhadt = O (h = t, 2,..., n). g g

3~[a, essendo il parametro f - - F ortogonale a IV, nell' ultimo integrals che

figura in (14) si pus sostituire l a /ha con la fh, k, inoltre ~ F-- f -=-SZ~ dove Z un parametro normale, ed allora

~(f - F)fhhdt = --8~Z.fh, hdt = --~zh,~, 9 9

e le (14) diventano ~vr

ah, k - - ~zh, h = Y>P,-, h

dalle quali si ha g

~(vi~ V2~ ..., vn) lah'k--SZ~'kl~---IP~'hl3(U,, U2, -~ Un)'

Si vede cos} c h e l a condizioue che si annuUi il determinante funzionale

delle v rispetto alle u porta che il punto Q deve trovarsi sulla. E di ~ .

Cosl si vede in un caso molto pitt generale ripetersi un fatto che era

stato prima segnalato per le curve plane dal BONS~ET (~), che 6 poi stato recen-

temente richidmato ed esteso alle superficie ordinarie dat MI~:o (~), e ripreso

anche da un punto di vista pig largo e colla notazione funzionale dall'AL~-

P~tANDI (3). In tutti i casi considerati da questi autori si presenta la conside-

razione della curvatura lh dove in queste ultime considerazioni compare la variet~ E.

(~) O. BONNET~ SU~ ~ les m a x i m a et les m i n i m a , [~ Nouv. Ann. de math. )>~ serie I , vol. I I , pp. 420.425].

(e) C. MINEO, S u i m a s s i m i e m i n i m i d i co~'de n o r m a l i a u ~ a superficie, [<< Boll. de l l 'U . M. I. ),. V I I I , n. ~ (1929), pp. i94-195].

(~) G. ALIPRANDI, Sug l i es t remi di eorde ~lormali a u n a l inea e a u n a superficie~ [<, Boll. del l ' U. M. ~. ,,, IX , n. 2 (1930), pp. 90-95].