ESPERIENZA DEL PENDOLO - Dipartimento di Fisica e … · 2009-03-31 · Per il teorema del momento...
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ESPERIENZA DEL PENDOLO
SCOPO: Misura della costante di accelerazione gravitazionale lo-cale mediante il pendolo reversibile
Il momento angolare rispetto a un punto O di una massa m a distanza ~r daO e che si muove su un piano con velocita ~v e dato da:
~L = ~r × ~p = ~r ×m~v = m(~r × ~v)
e in modulo:
| ~L| = mr v sinθ
Consideriamo una massa appesa a un punto di sospensione O per mezzo diun filo inestensibile di lunghezza l e in moto oscillatorio.
La variazione del momento angolare nell’unita di tempo vale:
1
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d ~Ldt
=d
dt(m~r × ~v) = m
(d~r
dt× ~v + ~r × d~v
dt
)
Poiche ~r = cost la sua derivata rispetto al tempo vale 0 e quindi:
d ~Ldt
= m~r × ~a = ~r × ~F = ~M
dove ~M e il momento della forza e l’uguaglianza
d ~Ldt
= ~Me il teorema del momento della quantita di moto.
Consideriamo ora un corpo rigido vincolato a ruotare intorno a un asse disospensione.Chiamiamo S l’asse di sospensione, G il baricentro del corpo, m la massa delcorpo, θ l’angolo di inclinazione dalla verticale e infine as la distanza fra ilbaricentro e l’asse di sospensione.
Trascurando gli attriti, il momento della forza vale:
~M = ~Fg × ~as
e in modulo:
M = −mg as sinθ
dove il segno − indica che si tratta di una forza di richiamo.
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Il momento angolare della massa infinitesima dm del corpo in oscillazione,che trova a distanza ~r dall’asse di sospensione, e:
d ~L = dm(~v × ~r)
Siccome ~v e ~r sono ortogonali, si ha:
dL = dmv r = dm (θr) r = θr2dm
Per ottenere il momento angolare totale, bisogna integrare sul volume delcorpo:
L =
∫
V
θr2dm = θ
∫
V
r2dm = Isθ
dove Is e il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse di sospensione.Per il teorema del momento della quantita di moto si ha:
Isθ = −mg as sinθ
Dobbiamo risolvere questa equazione differenziale.Poniamo φ(θ) = θ, da cui:
θ =dθ
dt=
d
dtφ(θ) =
dφ
dθ
dθ
dt=
dφ
dθθ =
dφ
dθφ
Sostituendo si ottiene:
Isdφ
dθφ = −mg as sinθ
dφ
dθφ = −m g as
Is
sinθ
Chiamiamo A la quantita costante m g as
Is,
dφ
dθφ = −Asinθ
φ dφ = −Asinθ dθ
e integriamo
∫ φ
φ0
φ dφ =
∫ θ
θ0
−Asinθ dθ
3
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ottenendo come risultato
1
2(φ2 − φ2
0) = A(cosθ − cosθ0)
ossia
1
2(θ2 − θ0
2) = A(cosθ − cosθ0)
Facciamo una breve considerazione su quest’ultima uguaglianza. Riscrivi-amola nel modo seguente:
1
2Isθ
2 −mg as cosθ =1
2Isθ0
2 −mg as cosθ0
L’energia cinetica dell’elemento infinitesimo dm del corpo oscillante e :
dK =1
2v2dm
E l’energia cinetica totale:
K =1
2
∫
V
v2dm =1
2
∫
V
(θr)2dm =1
2θ2
∫
V
r2dm =1
2Isθ
2
Mentre l’energia potenziale e:
U = −mg (ascosθ)
Per cui l’uguaglianza precedente di fatto equivale alla conservazione dell’energiatotale del sistema:
K + U = K0 + U0
Riprendiamo l’equazione differenziale e assumiamo che il corpo inizi a oscil-lare con velocita angolare nulla, sia cioe θ0 = 0.
θ2 = 2A(cosθ − cosθ0)
Usiamo le formule di bisezione:
cosθ = 1− 2sin2 θ
2
4
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Da cui:
θ2 = 4A
(sin2 θ0
2− sin2 θ
2
)
dθ
dt= ±2
√A
(sin2 θ0
2− sin2 θ
2
)1/2
Delle due soluzione consideriamo quella con il segno −, poiche il corpo simuove in direzione opposta al senso in cui e definito l’angolo θ.
−∫ θ
θ0
dθ
2√
A
(sin2 θ0
2− sin2 θ
2
)1/2=
∫ t
t0
dt
t− t0 = − 1
2√
A
∫ θ
θ0
dθ
sin θ0
2
(1− sin2 θ
2
sin2 θ02
)1/2
Facciamo un’ulteriore sostituzione:
sinξ =sin2 θ
2
sin2 θ0
2
Gli estremi dell’integrazione diventano:
θ = 0 → sinξ = 0 → ξ = 0
θ = θ0 → sinξ = 1 → ξ = π/2
E inoltre:
cosξ dξ =12cos θ
2
sin θ0
2
dθ
dθ =2sin θ0
2cosξ
cos θ2
dξ
Da cui si ottiene:
t−t0 = − 1
2√
A
∫ ξ
π/2
2sin θ0
2cosξ
sin θ0
2cos θ
2
√1− sin2ξ
dξ = − 1√A
∫ ξ
π/2
dξ√1− sin2 θ0
2sin2ξ
5
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A questo punto facciamo un’ulteriore sostituzione e poniamo:
sinθ0
2= k
t−t0 =1√A
∫ π/2
ξ
dξ√1− k2sin2ξ
=1√A
[∫ π/2
0
dξ√1− k2sin2ξ
−∫ ξ
0
dξ√1− k2sin2ξ
]
Poiche e il periodo del pendolo quello che stiamo cercando, possiamo concen-trarci solo sul primo dei due integrali, cioe quello da 0 → π/2 che corrispondea 0 → θ0, e moltiplicare il risultato per 4. L’integrale in questione non e disemplice soluzione analitica, si tratta di un integrale ellittico. E necessarial’applicazione della seguente trasformazione in serie binomiale:
(1− x)−1/2 = 1 +1
2x +
3
8x2 + ...
Quindi, se chiamiamo x = k2sin2ξ abbiamo:
1√1− k2sin2ξ
= 1 +1
2(k2sin2ξ) +
3
8(k2sin2ξ)2 + ...
E il periodo del pendolo diventa:
T =4√A
∫ π/2
0
dξ√1− k2sin2ξ
=4√A
[∫ π/2
0
dξ+
∫ π/2
0
1
2k2sin2ξdξ+
∫ π/2
0
3
8k4sin4ξdξ+...
]
Il primo integrale vale π/2, mentre per il secondo dobbiamo risolvere l’espressione:
∫ pi/2
0
sin2xdx
Per farlo, usiamo ancora le formule di bisezione:
sin2x =1− cos2x
2
da cui si ottiene:
∫ π/2
0
(1− cos2x
2
)dx =
1
2
∫ π/2
0
dx−1
4
∫ π/2
0
cos2xd(2x) =π
4−1
4[sin2x]
π/20 =
π
4
E quindi possiamo esprimere il periodo del pendolo nel modo seguente:
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T =4√A
π
2
[1 +
(1
2
)2
k2 +
(3
8
)2
k4 + ...
]
Ossia:
T =2π√A
[1 +
∞∑n=1
(1 · 3 · . . . · (2n− 1)
2 · 4 · . . . · 2n)2
k2n
]
e infine:
T = 2π
√Is
mg as
F (k2)
Mettiamoci ora nella condizione di piccole oscillazioni. Sia cioe:
sinθ0
2∼ θ0
2sin
θ
2∼ θ
2
t− t0 = − 1
2√
A
∫ θ
θ0
dθ
θ0
2
(1− θ2/4
θ20/4
)1/2
t− t0 = − 1√A
∫ θ/θ0
1
d(θ/θ0)√1−
(θ/θ0
)2
t− t0 =1√A
[arc cos
(θ
θ0
)]θ/θ0
1
=1√A
arc cos
(θ
θ0
)
Da cui si ricava che:
θ
θ0
= cos[√
A(t− t0)] = cos(√
At−√
At0)
Posto√
A = ω e −√At0 = φ si ha:
θ
θ0
= cos(ωt + φ)
che e l’espressione per l’onda di periodo:
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T ′ =2π
ω=
2π√A
e quindi in definitiva:
T = T ′F (k2)
Studiamo il comportamento della serie F (k2).
• Sia |k| < 1.
La serie F (k2) converge in quanto minorante della serie geometrica diragione k2:
F (k2) <
∞∑n=0
k2n
1 +
(1
2
)2
k2 +
(3
8
)2
k4 + · · · < 1 + k2 + k4 + . . .
Moltiplicando e dividendo il secondo membro della disuguaglianza per(1− k2) si ha:
∞∑n=0
k2n 1− k2
1− k2=
1 + k2 + k4 + . . . − k2 − k4 − . . .
1− k2=
1
1− k2
• Sia |k| = 1.
La serie F (k2) diverge in quanto maggiorante della serie armonica,moltiplicata per 1/4:
F (k2) >1
4
∞∑n=1
1
n
In effetti,
k = 1 ⇒ sinθ0
2= 1 ⇒ θ0
2=
π
2⇒ θ0 = π
che corrisponde a una posizione di equilibrio instabile.
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• Il resto n−esimo della serie geometrica di ragione k2 vale:
ε =k2n
1− k2
Il limite superiore all’ampiezza massima θ0 in corrispondenza alla qualesi commette un errore non maggiore di ε trascurando il resto n−esimonello sviluppo in serie di F (k2), vale:
rn <k2n
1− k2= ε
k2n = ε(−k2) ⇒ k2 =ε
ε + k2n−2
Per n = 1 (piccole oscillazioni) si ha:
k2 =ε
ε + 1⇒ θ0 = 2arc sin
√ε
ε + 1
Per n = 2 si ha:
k4 + εk2 − ε = 0 ⇒ θ0 = 2arc sin
[√ε2 + 4ε− ε
2
]1/2
Da cui si ricava la seguente tabella:
ε θ0 (rad) θ0 (rad) tgθ0 tgθ0
n = 1 n = 2 n = 1 n = 210−2 0.20 0.63 0.20 0.7210−3 0.06 0.35 0.06 0.3710−4 0.02 0.20 0.02 0.20
Vediamo adesso due tipi di pendolo, il pendolo semplice e il pendolo com-posto.
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• Pendolo semplice
Un massa m di forma sferica e raggio r e appesa ad un punto di sospen-sione S con un filo inestensibile di lunghezza l e di massa trascurabile.Sia G il baricentro del sistema che in questo caso coincidera con ilbaricentro della massa e sia as = l + r.
Per il teorema di Steiner:
Is = IG + ma2s IG =
2
5mr2
Il periodo del pendolo vale:
Ts =2π√A
F (k2)
Quindi,
Ts
2πF (k2)=
√Is
mg as
=
√ma2
s + 25mr2
mg as
=
√(l + r)2 + 2
5r2
g (l + r)
Ts
2πF (k2)=
√l
g
√(1 +
r
l
)+
25( r
l)2
1 + rl
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Ts = 2π
√l
gF (k2)
√(1 +
r
l
)+
25( r
l)2
1 + rl
Il secondo termine sotto radice quadrata e un termine correttivo chediventa pari a 1 quando r ¿ l, per cui il periodo del pendolo ritornaquello del caso ideale.
• Pendolo composto
Consideriamo un corpo di massa m oscillante attorno a un punto disospensione S. Il baricentro del sistema si chiami G e sia collocato adistanza as dal punto di sospensione.
Per il teorema di Steiner:
Is = IG + ma2s
e il periodo del pendolo vale:
Ts
2πF (k2)=
√ma2
s + ma2G
mgas
=
√a2
s + a2G
gas
dove aG e il raggio giratore : relativamente ad un sistema rigidorotante intorno ad un asse fissato, e la distanza dal baricentro dovetutta la massa dovrebbe concentrarsi per ruotare intorno al baricentrocon un momento di inerzia pari a quello del sistema
Consideriamo adesso un secondo punto di sospensione S ′, avremo che:
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a2G =
T 2s gas
[2πF (k2)]2− a2
s =T 2
s′gas′
[2πF (k2)]2− a2
s′
Da questa uguaglianza si ricava un’espressione per g:
g = [2πF (k2)]2a2
s − a2s′
T 2s as − T 2
s′as′
Supponiamo ora che S ′ sia tale da rendere uguali i periodi Ts e Ts′ . Ingenerale questo non implica l’uguaglianza delle distanze del baricentroda S e S ′, cioe as 6= as′ .
g =
[2πF (k2)
Ts
]2
(as + as′)
dove as + as′ viene chiamata lunghezza ridotta.
Da Ts = Ts′ si ottiene anche:
√a2
s + a2G
gas
=
√a2
s′ + a2G
gas′
a2sas′ + a2
Gas′ = a2s′as + a2
Gas
(as − as′)(asas′ − a2G) = 0
che ha come soluzioni:
1) as = as′ , cioe punti di sospensione simmetrici attorno al baricentro;
2) as′ =a2
G
as
Usando questa seconda soluzione, il periodo del pendolo composto di-venta:
Ts = 2πF (k2)
√a2
s + asas′
gas
= 2π
√as + as′
gF (k2)
che e praticamente il periodo del pendolo semplice assumendo comelunghezza la lunghezza ridotta del pendolo composto.
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PENDOLO REVERSIBILE DI KATER
Il principio del pendolo reversibile di Kater consiste nel lasciare inalterati idue assi di sospensione e variare il momento di inerzia del sistema finche iperiodi relativi ai due assi, nei limiti di errore, coincidono.
Sia m la massa totale, mF la massa della parte fissa, mV la massa della partemobile, aw la coordinata del baricentro del sistema, awF la coordinata delbaricentro di mF , awV la coordinata del baricentro di mV , Iw il momento diinerzia di m, IwF il momento di inerzia di mF , IwV il momento di inerzia dimV e infine d la distanza fra i punti di sospensione S e S ′.Per la proprieta del baricentro:
(mF + mV )aw = mF awF + mV awV
e per il teorema di Steiner:
Iw = IwF + IwV = (mF a2wF + mF a2
GF ) + (mV a2wV + mV a2
GV )
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dove aGF e aGV sono il raggio giratore relativo ad un asse parallelo all’asse disospensione e passante per il baricentro della parte fissa e della parte mobile,rispettivamente.Il periodo del pendolo reversibile sara :
Tw
2πF (k2)=
√Iw
mgaw
=
(mF a2
wF + mF a2GF + mV a2
GV + mV a2wV
g(mF + mV )mF awF +mV awV
mF +mV
)
Dopo aver semplificato la quantita mF +mV , conviene dividere e moltiplicareil numeratore per d2 e il denominatore per d, ed esprimere il periodo in fun-zione della distanza del baricentro della parte mobile dall’asse di sospensione:
Tw = 2πF (k2)
√d
g
√√√√ a2wV
d2 + kw1
awV
d+ kw2
dove:
kw1 =mF
mV
a2wF + a2
GF
d2+
a2GV
d2kw2 =
mF
mV
awF
d
sono termini costanti.
Chiamiamo x = awV
d. E chiaro che 0 < x < 1. Il periodo del pendolo diventa:
Tw = T ∗w
√x2 + kw1
x + kw2
Tw = T ∗w ⇒
x2 + kw1
x + kw2
= 1 ⇒ x =1
2
[1±
√1 + 4(kw2 − kw1)
]
Vi sono quindi 3 possibilita:
• se 1 + 4(kw2− kw1) > 0 , si hanno due coppie distinte di configurazionereciproche;
• se 1+4(kw2−kw1) = 0 , si hanno due coppie coincidenti di configurazionereciproche;
• se 1 + 4(kw2 − kw1) < 0 , non si ha alcuna coppia di configurazionereciproche
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Studiamo la funzione fw(x) =√
x2+kw1
x+kw2. Essa e definita per x + kw2 > 0.
x + kw2 =awV
d+
mF
mV
awF
d=
(mF + mV )
mV daw
• se x + kw2 > 0 ⇒ aw > 0, e quindi si ha moto oscillatorio
• se x + kw2 = 0 ⇒ aw = 0, e quindi si ha moto rotatorio uniforme
• se x + kw2 < 0 ⇒ aw < 0, e quindi si ha moto rotatorio non uniforme
La funzione per x → +∞ tende a un arco di parabola con vertice nell’originee fuoco sull’asse delle ascisse.
limx→+∞
fw(x) = limx→+∞
√x = +∞
limx→−kw2
fw(x) = +∞
fw(x = 0) =
√kw1
kw2
Calcoliamo l’intersezione fra la funzione e la parabola:
√x2 + kw1
x + kw2
=√
x ⇒ x2 + kw1 = x2 + xkw2 ⇒ x =kw1
kw2
L’ordinata corrispondente vale√
kw1
kw2.
Calcoliamo i punti estremali:
f ′w(x) =1
2
(x2 + kw1
x + kw2
)−1/2[1− k2
w2 + kw1
(x + kw2)2
]= 0
La derivata si annulla per
x = −kw2 ±√
k2w2 + kw1
Delle due soluzioni possibili consideriamo solo
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x∗ = −kw2 +√
k2w2 + kw1
perche l’altra e fuori dal dominio di esistenza della funzione.
Il valore della funzione in x∗ e:
fw(x∗) =
(x∗2 + kw1
x∗ + kw2
)1/2
=√
2x∗
cioe il punto estremale si trova sempre al di sopra della parabola.
A questo punto consideriamo due configurazioni coniugate a parita di ampiezzainiziale dell’oscillazione: xs e xs′ , con xs + xs′ = d.Avremo che le espressioni per i periodi saranno:
Ts = T ∗s
√x2
s + ks1
xs + ks2
Ts′ = T ∗s′
√x2
s′ + ks′1
xs′ + ks′2
Come si vede le due curve hanno 3 punti di intersezione: uno di essi cor-risponde alla configurazione dove il baricentro del sistema e equidistante daidue assi di sospensione, mentre le altre due corrispondono alla configurazionireciproche tali per cui si ha:
Ts = Ts′
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OPERAZIONI DI MISURA
Assicurarsi di essere nelle condizioni in cui vale l’approssimazione di piccoleoscillazioni, per rendere trascurabile la dipendenza del periodo dall’ampiezzadi oscillazione.
h indica la distanza tra il punto di sospensione e il banco preso come rifer-imento e b lo spostamento del pendolo dall’asse verticale sempre rispettoal banco. Si sceglie un riferimento sul banco e si individuano i due valorib e h a cui corrisponde un angolo iniziale θ0 in modo che l’errore mas-simo nell’approssimazione delle piccole oscillazioni sia dell’ordine di 10−2
(θ0 < 0.20rad).
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Prima serie di misure:
• Si pone la massa mobile sui 10 cm della scala graduata e si determinail tempo di 10 oscillazioni
• Per minimizzare l’incertezza sull’intervallo di tempo che intercorre tra ilpunto massimo dell’oscillazione e l’avvio del cronometro si cronometraa partire dalla seconda oscillazione
• Si inverte l’asse di sospensione e si ripete la misura del tempo di 10oscillazioni
• Si ripetono le misure precedenti per un’altra posizione della massa mo-bile di 10 cm in 10 cm fino a 90 cm che e a fondo scala
Esistono coppie di configurazioni coniugate corrispondenti a coppie di confi-gurazioni reciproche? I periodi corrispondenti coincidono nei limiti di er-rore?
Seconda serie di misure:
• Le intersezioni tra le due curve del grafico precedente permettono dideterminare graficamente le configurazioni reciproche. Si consideral’intersezione piu nitida, che in questo caso si ha attorno a x0 ≈ 21cm.
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• Si eseguono altre 6 determinazioni di tempi di oscillazione nell’intornodi questa posizione della massa mobile, in modo tale che 3 cadano asinistra e 3 a destra dell’intersezione delle due curve. In questo caso, x= 18,19,20,22,23,24 cm
• Si ripetono le misure del tempo di oscillazione (in questo caso per 50oscillazioni) per la configurazione dritta e rovescia. In questo modo sidetermina con maggiore precisione la configurazione reciproca.
Dal grafico risulta che l’intersezione tra le due curve e localizzata per x ≈20.51 cm ossia 20.51 ± 0.05 cm. Considerando il quadrilatero d’errore deipunti piu vicini all’intersezione con i loro errori si individuano le rette dimassima e minima pendenza e proiettando sull’asse delle ordinate il minimoe il massimo valore dei tempi (nel caso in cui con le rette di massima eminima pendenza non si riuscisse a risolvere lintersezione si utilizzano lerette parallele).Noto il periodo del pendolo possiamo calcolare l’accelerazione di gravita.Dalla relazione che lega il periodo T alla lunghezza ridotta del pendolo siricava:
g = 4π2 d
T 2F 2(k2)
l’errore di g e dovuto all’errore di T , a quello della misura di d distanza trai due assi di sospensione e a quello di F (k2):
∆g =
∣∣∣∣∂g
∂d∆d
∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∂g
∂T∆T
∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∂g
∂F∆F
∣∣∣∣
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Nell’ipotesi di piccole oscillazioni si consideri F (k2) arrestata a n = 1 :
F (k2) = 1 +1
4sin2 θ0
2= 1 +
1
4
1− cosθ0
2= 1 +
1
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(1− h
b2 + h2
)
Quindi l’errore di F (k2) va valutato considerando gli errori massimi su h e b.Verifichiamo, infine, la dipendenza del periodo dall’ampiezza dell’oscillazione.
• Si posiziona la massa mobile nella posizione individuata dall inter-sezione delle due curve
• Si determina il tempo necessario per compiere 50 oscillazioni per ampiezzedi oscillazione che soddisfano l’approssimazione di piccole. Si consideraun intervallo di ampiezze (ad esempio tra b = 3 cm a b = 15 cm) incui compiere le misure
• Si calcola il periodo per ogni ampiezza in rapporto al periodo determi-nato precedentemente:
T ′ = TF (k2) ⇒ T ′
T= F (k2)
e si calcola l’errore di ∆(T ′/T ) propagando l’errore associato a F (k2).
Come al solito, si crea un grafico mettendo in ascissa F (k2) e in ordinataT ′/T , si riportano i punti con i rettangoli di errore e si determinano il
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coefficiente angolare della generica retta che passa per tutti i rettan-goli d’errore e la relativa incertezza. Verificare nei limiti di errore ladipendenza lineare di T ′/T da F (k2).
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