1

Esperienza 1 - Oscilloscopio e generatore di funzioni

1 Oscilloscopio

L'oscilloscopio è lo strumento più noto e importante nell'uso quotidiano all'interno di un laboratorio. Esso ha ottenuto un così notevole successo poichè permette di visualizzare come sono fatte realmente le forme d'onda. Infatti, esso visualizza su uno schermo l'andamento di una tensione in funzione del tempo. Praticamente, l’oscilloscopio è in grado di visualizzare una qualunque funzione tra due variabili, purchè sia riconducibile a tensioni elettriche.

Nell'uso più comune, l'oscilloscopio effettua la presentazione sullo schermo dell'andamento nel tempo (asse X orizzontale) di una tensione elettrica (asse Y verticale).

Tubo a raggi catodici L'elemento essenziale dell'Oscilloscopio (vedi schema in Figura 1) è il tubo a raggi catodici (CRT), rappresentato schematicamente in Figura 2, e composto da un involucro di vetro in cui è stato fatto il vuoto. Partendo da sinistra, si trova un filamento (a) che, riscaldato per effetto

termoionico, emette elettroni i quali sono accelerati da un elettrodo (b). Questo sistema è costituito da un insieme di elettrodi e griglie in modo da formare un fascio di elettroni ben collimato (cannone elettronico ). All’uscita dall’elettrodo, gli elettroni si muovono con velocità uniforme. Lungo la traiettoria è inserita una coppia di placchette deflettrici (c) tenute fra di loro ad una tensione Vd. Prendendo come riferimenti cartesiani l'inizio della placchette, si può scrivere la forza lungo l'asse y che agisce su un elettrone:

yd

dy mad

VeeEF ===

integrando due volte e scegliendo l’origine degli assi in modo da porre uguali a zero le costanti di integrazione, si ottiene il sistema:

tvz

tmdeVy

z

d

0

2

21

=

=

Figura 1

Figura 2

2

da cui: 20

2

21

z

d

vz

mdeVy =

La traiettoria dentro alle placchette è quindi una parabola. Dopo l'uscita dalle placchette, l'elettrone procede di nuovo a velocità uniforme. Per conoscere l’angolo di deviazione, si può calcolare la tangente alla curva calcolata nel punto z=l dove l è la lunghezza delle placchette deflettrici:

20z

d

lz vl

mdeV

dzdytgm ===

=θ . A questo punto, la retta tangente alla curva nel punto z=l è la nuova

traiettoria. L’equazione di una retta passante per il punto (zl ,yl) ed avente coefficiente angolare m è:

)( ll zzmyy −=−

per cui, in questo caso, si ottiene:

)(20

20

2

lzmdv

leVmdv

leVyz

d

z

d −=−

Per y=0 tale retta interseca l'asse z in z = l/2 cioè nel centro delle placchette. Indicando con L la distanza centro placchetta -schermo, si può calcolare lo spostamento D sullo schermo che il fascio di elettroni subisce se alle placchette è applicata una tensione Vd:

dz

Vmdv

elLD0

=

Essendo la frazione che moltiplica Vd composta da parametri geometrici (che per costruzione sono costanti) e da costanti fondamentali, se ne può

dedurre che lo spostamento D lungo l’asse y è proporzionale alla d.d.p. applicata Vd. Un tubo a "raggi catodici" di un oscilloscopio tradizionale è composto da:

• un cannone elettronico che emette un fascio di elettroni ben collimato; • 2 coppie di placchette deflettrici disposte a 90° fra di loro; • uno schermo su cui nelle parte interna è depositato materiale fosforescente che si illumina se

colpito da un fascio di elettroni. Guardando dalla parte dello schermo come in figura 3, si può vedere nel centro un punto che rappresenta il fascio di elettroni non deflesso. Le due coppie di placchette sono disposte a 90° quasi a formare un quadrato Sono chiamate placchette deflettrici verticali quelle che deflettono il fascio lungo l'asse y (rappresentano una tensione). Le placchette deflettici orizzontali che deflettono il fascio lungo l'asse delle x rappresentano invece, in genere, un tempo. Infine, il fascio di elettroni viene focalizzato ed accelerato colpendo internamente lo schermo fluorescente del tubo. Infatti, il fosforo che riveste la parete interna del tubo produce un punto luminoso visibile. A cosa serve l’oscilloscopio Il grafico rappresentato sullo schermo dell'oscilloscopio può fornire molteplici informazioni quali:

• la forma del segnale;

Figura 3

3

• la tensione massima e minima ovvero l'escursione picco-picco; • il periodo della forma d'onda (e quindi la frequenza); • la presenza di distorsioni; • la presenza di disturbi e rumore; • la componente continua e alternata del segnale

Base dei tempi Per chiarire come uno spostamento orizzontale possa rappresentare fisicamente un asse dei tempi, si può pensare di applicare alle placchette una tensione Vdx in funzione del tempo (tensione a rampa): Vdx=Kt Allora lo spostamento lungo l'asse x è proporzionale a t stesso:

tvD dx ∝∝

Pertanto il punto luminoso si muove sullo schermo lungo l'asse delle x con velocità uniforme. Cambiando K, si può aumentare o diminuire la sua velocità di spostamento. Se, contemporaneamente, viene applicato alle placchette deflettrici verticali un segnale di tipo sinusoidale (armonico) Vdy , il punto luminoso disegnerà sullo schermo una sinusoide.

Trigger Fino ad ora si è descritta una sola immagine o quadro che scompare sullo schermo subito dopo il

passaggio del "pennello" di elettroni. Se si dispone di un segnale ripetitivo nel tempo, come una sinusoide od un’onda triangolare, per eseguire le misure è utile avere una ripetizione di quadri in modo che l'immagine sia fissa sullo schermo (se la successione di quadri avviene con una ripetizione superiore a 10 volte al secondo, l'occhio percepisce l'immagine come fissa). Risulta allora

necessario applicare alle placchette deflettrici orizzontali una successione di rampe, cioè generare una tensione a "dente di sega" la cui frequenza di ripetizione sia uguale a quella del segnale. In figura 4 è presentato un esempio in cui la frequenza della rampa è leggermente più bassa della frequenza del segnale da visualizzare. La successione dei quadri non porta la stessa immagine e l'occhio vedrà l'immagine scivolare verso sinistra (figura 5). Una traccia che visualizza una forma d'onda senza essere sincronizzata appare infatti come lo schermo di un

televisore che non ha il sincronismo orizzontale regolato correttamente. Occorre invece far sì che ogni scansione orizzontale inizi sempre nel medesimo punto dell'onda periodica e la faccia apparire stabile sul display. Sarebbe complicato riuscire a generare una tensione a dente di sega con la frequenza perfettamente uguale al segnale da visualizzare, per cui si usa un sistema di sincronizzazione come quello presentato in figura 6. Tale sistema è detto trigger (sincronizzatore). Il selettore del livello di trigger è usata per selezionare il punto della forma d'onda (livello di tensione di trigger) dal quale inizia la scansione orizzontale.

Figura 4

Figura 5

4

Un sistema elettronico fa partire una rampa solo quando il segnale supera un certo valore di soglia. regolabile con un selettore (livello del trigger). Un altro selettore (slope) contrassegnato con + e - seleziona invece su quale fronte (di salita o di discesa) sincronizzare la forma d'onda, cioè controlla la derivata del segnale. La rampa parte solo se il segnale supera la tensione di trigger e se il

segno della derivata del segnale è quello impostato (Figura 7). In definitiva, lo spostamento in senso orizzontale della traccia dello schermo è prodotto da una tensione periodica a dente di sega, mentre il segnale all'ingresso Y genera il movimento in senso verticale in proporzione all'ampiezza della tensione applicata. In questa maniera, sincronizzando opportunamente l'oscillatore locale al segnale d'ingresso (purché periodico), a causa della persistenza della luce sulla retina dell'occhio, è possibile vedere la rappresentazione della tensione elettrica nel dominio del tempo. La maggior parte degli oscilloscopi possono essere sincronizzati sia sul canale 1 che sul canale 2. Molti oscilloscopi possono ricevere il trigger da una sorgente esterna (external): in questo caso è previsto un ingresso di trigger addizionale sul pannello frontale. È possibile anche inviare dall’esterno il segnale di trigger, oppure scegliere line (in questo caso, la ripetizione della rampa è

la frequenza di distribuzione della rete elettrica, che in Europa è 50 Hz). Il modo di trigger ha due posizioni: auto e norm. Nella posizione auto, la scansione della traccia parte automaticamente anche se la forma d'onda non è presente. Nella posizione norm, la scansione parte soltanto

quando la forma d'onda è perfettamente sincronizzata. Se non si riesce a vedere nessuna traccia sullo schermo, si può usare la funzione "auto". In questo caso, la rampa viene sempre generata ed anche senza segnale, si vede sempre una traccia orizzontale sullo schermo. Con questa impostazione, però, il segnale può non essere sempre sincronizzato nella maniera voluta.

Controlli La figura a fianco mostra un tipico pannello frontale di un oscilloscopio. L'esemplare in questione è un oscilloscopio a “doppia traccia”, comunque la maggior parte delle informazioni è generalizzabile a tutti i tipi. I controlli di base sono:

• bright (luminosità) Regola l'intensità luminosa della traccia dello schermo. Vale la pena ricordare che l'oscilloscopio non dispone di un programma di salvaschermo, per cui se lo si lascia acceso con alta luminosità per un lungo periodo di tempo, la traccia rimarrà stampata

Figura 6

Figura 7

5

sul tubo a causa della bruciatura dei fosfori. Quando si usa l'oscilloscopio, è meglio regolare sempre la luminosità al minimo (visibile).

• focus (fuoco) Mette a fuoco le tracce sul display. Molti oscilloscopi richiedono la regolazione del fuoco mentre visualizzano una forma d'onda.

• grat (griglia) Questo controllo regola la luminosità della luce usata per illuminare la scala dell'oscilloscopio. Questa è normalmente un foglio di plastica trasparente poggiato sul tubo

catodico che serve a visualizzare una griglia calibrata. Con l'uso di questa scala graduata, si può misurare l'ampiezza dell'onda sull'asse verticale, ed il periodo su quello orizzontale.

Quando il selettore è regolato al minimo, la griglia diventa invisibile. • trace (traccia) Seleziona la traccia da visualizzare (vedi in seguito) • trigger level (livello di sincronizzazione) Seleziona il livello del trigger. • trigger source (sorgente di sincronizzazione) Seleziona la sorgente del trigger. • trigger mode (modo di sincronizzazione) Seleziona come effettuare il trigger. • slope (pendenza) Seleziona il fronte sul quale effettuare il trigger. • timebase (base dei tempi) Seleziona la velocità della scansione orizzontale. • input level (livello d'ingresso) Regola il livello d'ingresso. • vertical position (posizione verticale) Regola la posizione verticale della traccia sul

display. • orizzontal position (posizione orizzontale) Regola la posizione orizzontale della traccia sul

display. L'oscilloscopio dispone di un connettore per ciascun canale d'ingresso, situato sul pannello frontale dello strumento.

Ampiezza del segnale Il segnale accettato dall'oscilloscopio può andare da pochi mV ad alcune decine di Volt. Impostando

il selettore "sensibilità" nella sezione chiamata asse y, si adatta il segnale in modo da fornire alle placchette deflettrici verticali una tensione sufficiente da dare uno spostamento apprezzabile. Il selettore input level serve a regolare il livello d'ingresso di ciascun canale in maniera che possa entrare nello schermo. Il

selettore è calibrato in Volts per divisione (V/div). L’ingresso è dotato di un commutatore AC-DC. Impostandolo su AC, le tensioni continue presenti nel segnale non vengono lasciate entrare nell’oscilloscopio (si usa un filtro RC passa alto), in modo da poter presentare sullo schermo anche tensioni alternate molto piccole rispetto alla tensione continua presente nel segnale (Figura 9). La stessa tensione inviata alle placchette deflettrici

Figura 8

Figura 9

6

verticali (canale Y) viene mandata al sistema di trigger, che, se supera il livello di soglia impostato, invia un segnale alla base dei tempi che fa partire la rampa.

Base dei tempi La velocità del punto luminoso sull'asse orizzontale può essere regolata con il selettore timebase. Questo ha la scala calibrata in secondi (s/div), millisecondi (ms/div), microsecondi (us/div) per divisione. Per sfruttare tutto lo schermo, si può sommare sia ai canali verticali che alla rampa una tensione continua regolabile con manopole in modo da spostare la traccia sia verticalmente che orizzontalmente. Se si è spostata la traccia verticalmente, è possibile che sia andata fuori schermo e non si riesca a vedere: in questo caso, è utile usare la funzione trigger “auto”. Il sistema elettronico (time) che forma la base dei tempi è anch'esso dotato di selettore che serve ad aumentare o diminuire la pendenza della rampa, per adattarla alla frequenza di ripetizione del segnale e far sì che sullo schermo siano visualizzati uno o pochi cicli del segnale.

Comandi per la visualizzazione della traccia Con i progressi dell'elettronica, gli oscilloscopi moderni possiedono almeno due canali di ingresso, e sullo schermo si possono analizzare contemporaneamente due segnali. L’oscilloscopio è dotato di un tubo a raggi catodici normale, come descritto nei paragrafi precedenti, ma con un commutatore elettronico che può applicare alternativamente alle placchette deflettrici verticali il segnale del canale 1 e del canale 2. La commutazione può avvenire molto velocemente anche alla frequenza di 10 MHz o più. Con questa velocità di commutazione fra i canali, i due segnali visualizzati sullo schermo possono apparire contemporaneamente all’osservatore. Un commutatore meccanico, posto in genere fra i due canali (per facilitare l'uso dell' oscilloscopio, sono disegnate sul pannello frontale delle comici che raggruppano i comandi dei singoli canali o della base dei tempi) offre varie opzioni di funzionamento per visualizzare il segnale:

• X - Visualizza solo la traccia relativa al canale 1; • Y - Visualizza solo la traccia relativa al canale 2; • add - I due canali sono sommati e visualizzati come una singola traccia. Il secondo canale

può anche essere invertito (funzione "invert"), cioè il segnale è sfasato di 180°. Se si usano contemporaneamente la funzione add e quella invert, si può visualizzare sullo schermo la sottrazione dei segnali presenti sui

due canali. La figura sottostante visualizza come funziona l'add mode.

• XY invece collega il canale 2 alle placchette deflettrici orizzontali (eliminando la base dei tempi), rendendo possibile comporre le due funzioni sui due canali (se sono

sinusoidi, vengono visualizzate delle ellissi i cui assi dipendono dallo sfasamento tra di

Figura 10

Figura 11

7

esse). In questo modo è possibile visualizzare sia i segnali di modo comune che di modo differenziale.

Quando le tracce sono visualizzate contemporaneamente, si può scegliere la modalità di visualizzazione:

• alternate: viene visualizzata alternativamente in una scansione la traccia del canale 1 e nell'altra scansione la traccia del canale 2. Tale modo è utile per visualizzare segnali a frequenza elevata (figura 11);

• chopped: nella medesima scansione viene visualizzata un pezzetto di traccia del canale 1 ed un pezzetto di traccia del canale 2 velocemente e alternativamente. Tale modo è utile per visualizzare segnali a bassa frequenza (figura 11).

Sonde Le sonde dell'oscilloscopio possono disporre di diverse clips e ganci e altri attrezzi assortiti (figura 12). In genere nelle sonde degli oscilloscopi vi è un divisore di tensione che aumenta la massima tensione applicabile all'ingresso dello strumento. Il cavo coassiale utilizzato possiede una capacità distribuita che aumenta con la lunghezza del cavo. La presenza della capacità è molto critica e può avere delle

ripercussioni sulle forme d'onda visualizzate, per cui le sonde sono normalmente corredate di un compensatore per calibrare il partitore.

2 Materiale a disposizione

o 1 oscilloscopio con 2 sonde o 1 generatore di funzioni o 1 piastra per montare circuiti (“breadboard”) o varie resistenze e condensatori (nella cassettiera) o ponticelli e fili per effettuare i collegamenti sulla piastra o alcuni cavi coassiali (Lemo e/o BNC) o alcuni adattatori tra connettori da pannello e cavi Lemo/BNC

3 Esecuzione dell'esperimento

Attenzione: non utilizzare MAI in questi esperimenti tensioni superiori a 15 V.

3.1 Visualizzazione di una traccia sull'oscilloscopio Lo scopo è di ottenere una traccia stabile sull'oscilloscopio in assenza di segnali esterni. Questa operazione può presentare qualche difficoltà se i controlli dello strumento sono impostati a caso.

1. accendere l'oscilloscopio; 2. selezionare i comandi seguenti sui 4 selettori relativi al controllo del TRIGGER: A Mode

AUTO, DC COUPLING, CH1 SOURCE, (INT X-Y);

Figura 12

8

3. selezionare sul selettore dei tempi una velocità di spazzata di 1 ms/div (1 divisione = 1 cm in orizzontale sullo schermo), calibrata;

4. impostare l'ingresso 1 (CH.1) su GND (viene collegato a terra); 5. regolare l'intensità, muovere la posizione verticale finchè non appare una traccia orizzontale

sullo schermo; 6. regolare il fuoco, posizionare la traccia al centro dello schermo; quali sono le caratteristiche

di tale traccia? 7. provare a variare la velocità di spazzata ed osservare come varia la traccia (rispondendo alle

domande indicate nel modulo), quindi reimpostare il valore del punto 3.

3.2 Misure di ampiezze e periodi 1. Collegare un filo elettrico all'ingresso A; selezionare sui selettori un periodo di 5 ms ed

un’ampiezza di 20 mV, e toccare il conduttore centrale con le dita: si dovrebbe vedere il rumore a 50 Hz della rete elettrica, captato dal corpo che funziona come un'antenna (segnale periodico ma non sinusoidale);

2. regolare la base tempi a 5ms/div e regolare il livello d'ingresso del canale 1; si dovrebbe vedere una forma d'onda simile a quella mostrata nella figura 13; la forma d'onda non avrà un aspetto pulito come quello della figura 13, ma risulterà distorta. Ciò è principalmente dovuto al fatto che i segnali captati, irradiati da apparecchi elettrici come TV, lampade fluorescenti ecc., sono spuri. Tutte queste sorgenti introducono distorsioni sul segnale in oggetto. Provare a variare le regolazioni dell’ampiezza e del periodo, osservandone gli effetti sullo schermo. Quindi, valutare periodo, ampiezza e frequenza dell’onda. Quale dovrebbe essere la scala più opportuna per minimizzare l’errore?

3. scegliere come sorgente di trigger il canale 1 e regolare il selettore di TRIGGER lentamente avanti e indietro finchè la forma d'onda non appare stabile sul display. Se il controllo di TRIGGER dispone della posizione AUTO, selezionarla (è più facile la regolazione del trigger); controllare cosa accade selezionando la posizione LINE sul trigger (perché?);

4. Nella figura 13, si può notare che i due picchi consecutivi dell'onda capitano proprio su due linee verticali. Poichè la base tempi è stata fissata in 5 ms/div, ciò significa che il punto luminoso impiega 20 mS per percorrere 4 divisioni. Il periodo della forma d'onda risulta pari a 20 mS (ovvero 0.02 s), e quindi la frequenza sarà 50 Hz. Per quanto riguarda la scala verticale, la linea centrale corrisponde a 0 Volts e la traccia si muove di 1.8 divisioni sia sopra che sotto. Poichè il livello d'ingresso è settato a 1 V/div, il segnale d'ingresso avrà un'escursione di 1.8 v+1.8 V = 3.6 V picco-picco. Ciò equivale a 3.6V X 0.35 ≈ 1.2 Veff (tensione efficace, cioè come quella che si misurerebbe con un volmetro). In questa maniera, si possono misurare con buona approssimazione la frequenza e l'ampiezza di una forma d'onda periodica;

5. sempre con riferimento alla figura 13, negli oscilloscopi l’errore associato alla misura è generalmente di 1/5 di divisione (cioè ci sono 5 divisioni piccole ogni quadratino), per cui l’errore delle misure nell’esempio precedente è 1/5 di 5 ms cioè 1 ms per i tempi, e 1/5 di 1 V cioè 0.2 V per l’ampiezza, per cui le misure potranno essere scritte come 20±1 ms e 3.6±0.2 V rispettivamente.

Figura 13

9

3.3 Visualizzazione di un segnale dal generatore 1. accendere il generatore di funzioni; 2. impostare un'onda sinusoidale in modo di funzionamento NORMAL (comandato

dall'orologio interno), regolare la frequenza a 1 kHz, l'ampiezza a qualche V (non più di 10 V) e l’offset a 0 V;

3. accendere l’oscilloscopio; 4. collegare l'uscita del generatore (OUTPUT) con l'ingresso 1 (CH.1) dell'oscilloscopio

tramite un cavo coassiale BNC o Lemo; descrivere l’onda visualizzata sull’oscilloscopio; 5. impostare il trigger come al punto 2 del paragrafo 3.1; 6. impostare l'ingresso 1 su DC (accoppiamento in continua): a questo punto dovrebbe apparire

la traccia; 7. rendersi conto dell'effetto dei seguenti controlli principali:

• guadagno verticale VOLTS/DIV (1 divisione = 1 cm sullo schermo): osservare anche come varia il segnale selezionando le posizioni CAL (calibrata) e VAR (variabile) con l’apposito nottolino; effettuare misure di ampiezza in posizione CAL e VAR;

• velocità di spazzata TIME/DIV, posizioni CAL (calibrata) e VAR (variabile), uso dell'espansione dei tempi 10X (attorno a quale parte del segnale avviene l'espansione?); effettuare misure di periodo (e poi frequenza) in posizione CAL e VAR;

• TRIGGER: usare il trigger principale “A”, provare le posizioni AUTO e NORM (in NORM bisogna aggiustare LEVEL e SLOPE per far partire la spazzata), osservare il punto di inizio del segnale variando LEVEL sia in posizione AUTO che NORM (effettuare una misura del valore di inizio e fine visualizzazione dell’onda), provare SINGLE SWEEP (serve a catturare segnali non ripetitivi), provare la posizione LINE (per sincronizzarsi sull'alimentazione 220 V / 50 Hz);

8. impostare il selettore relativo al canale sulla posizione DC. Quindi impostare sul generatore di funzioni un offset (piccolo) diverso da zero. Quale tipo di segnale si vede sullo schermo? Che cosa rappresenta matematicamente l’offset? Impostare un offset piccolo in modo che l’onda “rimanga sullo schermo” e valutare la posizione del massimo e del minimo dell’onda e la sua ampiezza con e senza offset. Discutere il risultato. Quindi variare la posizione del selettore del canale dalla posizione DC alla posizione AC. Che tipo di segnale si ottiene adesso? Quale è la funzione del selettore in posizione AC rispetto alla posizione DC?

9. esercitarsi a riottenere una visualizzazione stabile dopo aver sregolato uno o più controlli.

3.4 Misure di ampiezza, periodo e tempo di salita di segnali 1. impostare sul generatore un segnale sinusoidale con frequenza 1 kHz, ampiezza di qualche

volt e offset 0 V; 2. misurare sullo schermo dell'oscilloscopio l'ampiezza picco-picco, il periodo del segnale, e

verificare che corrispondano con i valori impostati; 3. osservare sul secondo ingresso dell'oscilloscopio (CH.2) il segnale di sincronismo del

generatore (TRIGGER OUTPUT) contemporaneamente al segnale sinusoidale sul primo ingresso: qual'è la sua ampiezza? il suo periodo? provare a variare l’ampiezza e la frequenza del segnale sinusoidale osservando l'effetto sul segnale di sincronismo;

4. cercare di far partire l'oscilloscopio quando l'onda sinusoidale si trova al massimo di tensione:

• usando solo l'ingresso CH.1, • usando il segnale di sincronismo come EXTERNAL trigger

10

5. impostare sul generatore un segnale a onda quadra di frequenza 1 MHz e misurarne il tempo di salita dal 10 % al 90 % del valore massimo, usando le apposite linee orizzontali tratteggiate sullo schermo dell'oscilloscopio (figura 14); a questo proposito, viene utile calibrare l’ampiezza del segnale in modo che base e top coincidano con le linee 0 e 100;

6. fare misure di periodo alle frequenze nominali di 10 Hz, 100 Hz, 1 kHz, 10 kHz, 100 kHz, 1 MHz; ricavare la

frequenza ed il suo errore e verificare che corrisponda al valore selezionato.

Figura 14

11

Esperienza 2 – Circuiti in corrente continua

1. Teoria dell'esperimento

V=RI Legge di Ohm ∑=

kkRR Formula per le resistenze in serie

11 ∑=k kRR

Formula per le resistenze in parallelo

0=∑k

ki Legge di Kirchoff dei nodi

∑∑ =k

kki

i IRV )( Legge di Kirchoff delle maglie

RVRIVIP

22 === Potenza dissipata

per circuiti contenenti solo generatori e resistenze.

1.a Resistenza interna del voltmetro In un circuito come quello in figura 1, la resistenza del parallelo tra R2 e Rv (la resistenza interna del

voltmetro) vale

vv

v

vv

RR

RRR

RRRR

R2

22

2

1

22

1

111

+=

+=

+=

−

per cui la resistenza complessiva vale

Req=R1+R2v. La corrente è quindi v

in

eq

in

RRV

RV

I21 +

== . La d.d.p. su R1 vale (legge di Ohm)

vin

eqin RR

RV

RR

VIRV21

1111 +

=== . La d.d.p. su R2 e su Rv (è la stessa perché le due resistenze sono in

parallelo) vale: v

ineq

in RRR

VRR

VIRV21

2222 +

=== .

Se non ci fosse il voltmetro, la resistenza complessiva sarebbe R’eq=R1+R2. La corrente sarebbe

quindi 21'

'RR

VRV

I in

eq

in

+== . La d.d.p. su R1 varrebbe (legge di Ohm)

21

1111 '

''RR

RV

RR

VIRV ineq

in +=== . La d.d.p. su R2 varrebbe:

21

2222 '

''RR

RV

RR

VIRV ineq

in +=== . Come

si vede, la differenza sta nel valore R2v a denominatore. Le due tensioni risultano tanto più uguali

quanto più R2v≈R2 cioè, essendo

v

v

RRRR

2221

1

+= , se 12 <<

vRR ovvero Rv>>R2.

12

Invertendo l’espressione che lega V2 a R2v, si può inoltre ottenere il valore della resistenza R2v:

122

2 RRVVR in

v −= da cui poi si può valutare la resistenza interna del voltmetro Rv: v

vv RR

RRR22

22

+= .

1.b Convenzioni Si fissa un verso di percorrenza per ogni maglia e un verso convenzionale per ogni corrente Ik; per quanto riguarda la legge dei nodi, va fatta la somma algebrica usando il segno + per le correnti entranti e il segno - per le correnti uscenti dal nodo; le tensioni Vi fornite dai generatori vanno prese col segno positivo se aumentano il potenziale andando nel verso di percorrenza della maglia, negativo in caso contrario; le cadute di tensione Rk Ik vanno considerate positive se il verso convenzionale della corrente è concorde con il verso di percorrenza della maglia, negative in caso contrario.

2. Materiale a disposizione

• 1 alimentatore in corrente continua 15 V / 2 A; • 2 multimetri digitali; • 1 piastra per montare circuiti (“breadboard”); • resistenze varie (nella cassettiera); • ponticelli e fili per effettuare i collegamenti sulla piastra; • cavi unipolari per collegare l'alimentatore con la piastra.

3. Esecuzione dell'esperimento

Attenzione: • inserire correttamente i cavetti nel multimetro e selezionare correttamente il selettore a seconda

delle misure (resistenze, corrente, tensione); notare che il cavo rosso va collocato in posizioni DIVERSE a seconda della grandezza da misurare: non cercare di misurare una tensione con un cavetto inserito nel connettore “10 A” o “300 mA” (corrente!!!);

• nel misurare una corrente si parta dalla scala più alta e poi eventualmente si scelga quella inferiore;

• non misurare correnti con tensioni superiori a 200 V; • non superare MAI i limiti indicati sul multimetro (a seconda della grandezza misurata e della

posizione del selettore); • tenere presente che le resistenze a disposizione hanno una potenza dissipabile massima

PMAX=0.25 W e che si deve impostare la tensione massima sull'alimentatore a 15 V. Calcolare sempre il valore massimo di tensione erogabile nel circuito;

• In un circuito con due resistenze in serie R1, R2, la corrente vale 21 RR

VI+

= e quindi la potenza

emessa dalla resistenza Rk vale ( )221

22

RRVRIRP k

kk +== e siccome deve essere Pk<0.25 W, la

13

tensione massima applicabile va calcolata per la resistenza più elevata (Rk è a numeratore) Rmax;

pertanto si deve avere ( )

max

221

max25.0

RRRV +≤ .

• In un circuito con due resistenze in parallelo R1, R2, la potenza emessa dalla resistenza Rk vale

kk R

VP2

= e siccome deve essere Pk<0.25 W la tensione massima applicabile va calcolata per la

resistenza più piccola (Rk è a denominatore) Rmin; pertanto si deve avere minmax 25.0 RV ≤ .

3.1 Misure con resistenze in serie 1. scegliere due resistenze in modo da ottenere un valore di resistenza equivalente (in serie) tra

100 Ω e 1 KΩ ; si ricorda che Req=R1+R2 per cui δReq=δR1+δR2; 2. determinare la massima tensione applicabile Vmax; si ricorda che, per resistenze in serie, vale

la formula ( )

max

221

max25.0

RRRV +≤ ; pertanto l’errore sarà valutabile come:

( )( ) ( )

2

max

max21

2

21

21

maxmaxmax 25.0225.02

++

++=

RRRR

RRRR

RVV δδδδ ;

3. misurare i valori esatti delle resistenze usando l’ohmetro, con i rispettivi errori; 4. collegare in serie le resistenze; 5. determinare i valori attesi delle cadute di tensione sulle resistenze, e la corrente attesa nel

circuito; valutare anche i rispettivi errori; si ricorda che la corrente, nel caso di resistenze in

serie, vale 21 RR

VI+

= e l’errore vale ( )( )

2

21

212

+++

=

RRRR

VVII δδδδ , mentre la caduta di

d.d.p. sulla resistenza Rk vale 21 RR

VRV kk +

= e l’errore vale

( )( )

2

21

2122

+++

+

=

RRRR

VV

RRVV

k

kkk

δδδδδ ;

6. alimentare il circuito con una tensione non superiore a quella massima applicabile (misurarla);

7. misurare tutte le d.d.p. (e valutare le correnti) nel circuito inserendo opportunamente voltmetro ed amperometro; si noti che il voltmetro va SEMPRE inserito in parallelo al dispositivo di cui si vuole conoscere la d.d.p. mentre l’amperometro va SEMPRE connesso in serie al circuito (perché?); inoltre, essi vanno connessi CONTEMPORANEAMENTE; valutare gli errori delle misure;

8. confrontare i valori di d.d.p. misurati con i valori attesi.

14

3.2 Misure con resistenze in parallelo 1. scegliere due resistenze in modo da ottenere un valore di resistenza equivalente (in

parallelo) tra 100 Ω e 1 KΩ ; si ricorda che 1

21

11−

+=

RRReq per cui

2

2

2

2

1

1

+

=

RR

RRRR eqeq

δδδ ;

2. determinare la massima tensione applicabile Vmax; si ricorda che, per resistenze in parallelo,

vale la formula minmax 25.0 RV ≤ ; pertanto l’errore sarà valutabile come:

min

minmaxmax 2

25.0RRVV δδ = ;

3. misurare i valori esatti delle resistenze usando l’ohmetro, con i rispettivi errori; 4. collegare in parallelo le resistenze; 5. determinare i valori attesi delle cadute di tensione sulle resistenze, e la corrente attesa nel

circuito; valutare anche i rispettivi errori; si ricorda che, nel caso di resistenze in parallelo, la

corrente sulla resistenza Rk vale k

k RVI = , la corrente totale vale

+=

21

11RR

VI e la d.d.p.

sulla resistenza Rk è Vk=V, per cui gli errori su Ik valgono 22

+

=

k

kkk R

RVVII δδδ ;

6. alimentare il circuito con una tensione non superiore a quella massima applicabile; 7. misurare tutte le d.d.p. e la corrente nel circuito inserendo opportunamente voltmetro ed

amperometro; si noti che il voltmetro va SEMPRE inserito in parallelo al dispositivo di cui si vuole conoscere la d.d.p. mentre l’amperometro va SEMPRE connesso in serie al circuito (perché?); valutare gli errori delle misure; si ricorda che, essendo i = i1+ i2, sarà

anche ( ) ( )22

21 iii δδδ += ;

8. confrontare i valori di corrente misurati con i valori attesi.

3.3 Misura di tensione in un partitore di tensione Scopo: osservare l'effetto della resistenza interna del multimetro digitale sulle misure di tensione. 1. selezionare due resistenze R1 e R2

da 1 kΩ e misurarne il valore con il multimetro;

2. montare il partitore di tensione in figura 1;

3. regolare l'alimentatore in tensione continua a 10 V, quindi alimentare il circuito;

4. misurare la tensione fornita al

Figura 1

15

circuito (l'indicazione sul visualizzatore dell'alimentatore è meno precisa) ed ai capi di entrambe le resistenze (contemporaneamente) con il multimetro;

5. ripetere la misura con una coppia di resistenze da 1 MΩ (misurarne sempre il valore esatto con il multimetro);

6. giustificare le misure ottenute; 7. valutare dall’ultima il valore della resistenza interna del multimetro digitale usato come

voltmetro (la resistenza interna del multimetro usato come amperometro è trascurabile? Se si, perché?); si ricorda che conviene dapprima ricavare la resistenza R2v derivante dal parallelo tra

R2 e Rv: 122

2 RRVVR in

v −= , e poi ricavare da quest’ultima v

vv RR

RRR22

22

+= ; nel primo caso, l’errore

sarà

2

21

22

22

2

2

2

2

2

2

221

++

+

+

+

=

RR

RR

RR

VV

VVRR

in

invv

δδδδδδ mentre nel secondo

2

2

222

2

2

2

2

2 2

++

+

+

=

vv

vvv RR

RR

RR

RRRR v

δδδδδ .

3.4 Verifica diretta della legge di Ohm 1. prendere una resistenza da 1 MΩ (se mancante,

prendere resistenze di valore inferiore e porle in serie fino ad avvicinarsi all’ordine di grandezza di 1 MΩ ) e misurare con l’ohmetro il valore esatto della resistenza;

2. montare il circuito di figura 2: conviene utilizzare i quattro morsetti liberi della piastra per inserire il voltmetro e l'amperometro nel circuito, lasciandoli fissi;

3. accendere l'alimentatore e misurare 15 coppie di valori tensione-corrente, facendo variare la tensione erogata dal generatore da 1 V a 15 V, e riportando per ogni misura l’errore relativo (ricordare che l’errore associato ad una misura è il minimo tra lo 0.3% e comunque non meno di 1 unità sulla cifra meno significativa);

4. riportare su un grafico i valori di I (in ascissa) e V (in ordinata); valutare il valore della resistenza R come pendenza della retta di regressione y=Bx usando il metodo dei minimi quadrati e forzando a zero l’intercetta A; ricordare che l’errore associato alla determinazione di

B è ∆

= NyB σσ dove N è il numero di misure, ( )∑

=−=

N

iiiy Bxy

N 1

21σ è l’incertezza sulla

misura di y, e 2

11

2

−=∆ ∑∑

==

N

ii

N

ii xxN ; invece

∆

−=

∑∑∑===

N

ii

N

ii

N

iii yxyxN

B 111 (conviene effettuare tutti

i conti con le funzioni di Excel); 5. confrontare i valori ottenuti con il valore vero di R.

Figura 2

16

Esperienza 3 - Circuiti in corrente alternata

1. Teoria dell'esperimento

Scopo: imparare ad usare i generatori di tensione alternata; valutare la dipendenza del guadagno (definito come rapporto tra la tensione di uscita e quella di ingresso) e dello sfasamento tra la tensione di uscita e quella di ingresso in funzione della frequenza della tensione di ingresso.

Circuito RC in serie In un circuito RC, nel caso in cui il segnale applicato sia costante (una pila), è possibile

applicare la legge di Kirchhoff 0=−−CqRiVin .

Derivando la precedente legge rispetto al tempo,

essendo Vin=cost, si ottiene Ci

dtdiR −= , equazione

differenziale che può essere messa nella forma

RCdt

idi −= ed integrata a dare costln +−=

RCti

ovvero C

t

RCt

eieii τ−−

== 00 dove si definisce RCC =τ costante di tempo capacitiva (rappresenta il

tempo necessario affinché la corrente si riduca di un fattore 1/e rispetto al valore iniziale). Dal momento che, poi, all’istante iniziale t=0 il condensatore, inizialmente scarico, si comporta come un

corto circuito (cioè come se non ci fosse ed al suo posto ci fosse un filo), si ha R

Vi in=0 e quindi

C

t

in eR

Vi τ−

= . La d.d.p. sulla resistenza VR vale C

t

inR eVRiV τ−

== ed ha lo stesso andamento

esponenziale decrescente della corrente. La d.d.p. sul condensatore VC invece vale

costcostcost1 +−=+−=+==−−

∫ CC

t

in

t

inCC eVe

RCVidt

CCqV τττ e siccome all’istante iniziale su C non

vi sono né carica né d.d.p., cost=Vin e perciò

−=

−C

t

inC eVV τ1 .

Nel caso in cui, invece, il segnale applicato sia di tipo sinusoidale (cioè la tensione abbia andamento

sinusoidale del tipo tVtVin ω cos )( 0= ), è più semplice studiare il circuito usando il metodo del

calcolo simbolico con i numeri complessi. Secondo tale metodo, la reattanza capacitiva Cω1 viene

moltiplicata per (-j) per tenere conto dello sfasamento di –90° tra tensione e corrente in un circuito puramente capacitivo. (j) in questo caso è l’unità immaginaria (si usa “j” invece di “i” per non confondere l’unità immaginaria con la corrente).

Figura 1

17

L’impedenza in un circuito RC serie vale quindi CjRz

ω−= ed in modulo

22 1

+=

CRZ

ω, e

quindi la corrente vale

CjR

Vz

Vi inin

ω−

== . La d.d.p. sulla resistenza vale

RCj

V

CjR

RVz

VRRiV inininR

ωω−

=−

===1

. La grandezza RCC

110 ==

τω viene invece definita

frequenza angolare di taglio a 3 dB. Il rapporto gpa tra VR e Vin viene chiamato guadagno (è un numero complesso). Il modulo Gpa di gpa vale

220

2

20

2

1

111

1ωω

ω

ωω

ω+

=

+

=

+

==

RCVVG

in

Rpa . Si può notare come 0lim

0=

→ paGω

e

1lim =→ ∞ paG

ω per cui le basse frequenze vengono tagliate o filtrate, e questo circuito viene

denominato filtro passa-alto. La d.d.p. sul condensatore nel circuito RC serie vale invece

RCjV

CjR

VCj

ZV

Cji

CjV ininin

C ωω

ωωω +=

−

−=

−=

−=

1. In questo caso il guadagno gpb (è

sempre un numero complesso) è definito come il rapporto tra VC e Vin. Il modulo Gpb di gpb vale

( ) 2

0

2

1

11

1

+

=+

==

ωωωRCV

VGin

Cpb . Si può notare come 1lim

0=

→ pbGω

e 0lim =→ ∞ pbG

ω per cui le

alte frequenze vengono tagliate o filtrate, e questo circuito viene denominato filtro passa-basso. Il decibel è definito come 10 volte per il logaritmo in base 10 del guadagno in potenza tra il segnale di uscita e quello di ingresso. Quando la frequenza ω del generatore di tensione è tale per cui ω=ω0,

entrambi i guadagni (in tensione) Gpa o Gpb valgono 2

1 . Dal momento che la potenza P è definita

come 22

VR

VP ∝= , si ha che il guadagno in potenza vale ½ e quindi, in decibel, vale

32110 −=Log (questo è il motivo per cui la grandezza ω0 viene definita frequenza angolare di

taglio a 3 dB). Il valore π

ω2

00 =f rappresenta la frequenza di taglio a 3 dB (ω0 è misurata nelle

unità angolari rad/s, mentre f0 è misurata in Hz).

18

Per quanto riguarda lo sfasamento, per un circuito passa-alto il guadagno gpa (complesso) si può

esprimere nel modo seguente: 222 11

1

11

111

1

1

1

+

+

+

=

+

+=

−==

RC

RCj

RCRC

RCj

RCjV

Vgin

Rpa

ω

ω

ωω

ω

ω

.

Tale numero complesso è nella forma A+jB, per cui il suo angolo di sfasamento vale ABarctg=ϕ

ovvero, nel caso specifico, ωω

ωϕ 01 arctg

RCarctgpa == : lo sfasamento è perciò nullo per ω=ω0,

negativo per ω<ω0, positivo per ω>ω0, ed assume i due valori limite di 2π− per ω=0 e di

2π per

ωà∞ . Per un circuito passa-basso, invece, il guadagno gpb (complesso) si può esprimere nel modo

seguente: ( ) ( ) ( )222 111

11

11

RCRCj

RCRCRCj

RCjVVg

in

Cpb ω

ωωω

ωω +

−+

=+−=

+== . L’angolo di sfasamento

vale pertanto ( )0ω

ωωϕ arctgRCarctgpb =−= : lo sfasamento è perciò nullo per ω=ω0, positivo per

ω<ω0, negativo per ω>ω0, ed assume i due valori limite di 2π per ω=0 e di

2π− per ωà∞ .

Essendo 2

02

22

2 1111

+=

+=

+=

ωω

ωωR

RCR

CRZ , la corrente circolante nel circuito

RC serie nel caso di tensione sinusoidale vale [ ]ϕω += tR

Vti R cos )( 0 . La d.d.p. sulla resistenza vale

20

000

1

dove )( cos )(

+

=+=

ωω

ϕω VVtVtV RRRR .

2. Materiale a disposizione

• 1 generatore di funzioni; • 1 oscilloscopio con 2 sonde; • 1 piastra per montare circuiti (“breadboard”); • varie resistenze e condensatori; • ponticelli e fili per effettuare i collegamenti sulla piastra; • alcuni cavi coassiali (Lemo e/o BNC); • alcuni adattatori tra connettori da pannello e cavi Lemo/BNC.

19

3. Esecuzione dell'esperimento

3.1 Misure su un circuito RC come filtro passa-basso 1. Montare il circuito RC (figura 1) usando un resistore da 1 kΩ e un condensatore da 680 nF

(o di valore simile, se mancante), con il condensatore verso massa; se i valori di R e di C fossero mancanti, scegliere opportunamente R e C in maniera tale da ottenere τC = RC = 1 kΩ x 680 nF = 6.8 10-4 s o valore simile;

2. misurare i valori effettivi di R e C, e stimare la frequenza di taglio a 3 dB f 0 =ω π0 2/

usando i valori nominali di R e C; 3. Selezionare una forma d’onda alternata sinusoidale; fissare la tensione di picco V del

generatore ad un valore non superiore a 10 V e mantenerla costante per tutto l'esperimento; 4. Collegare le due sonde dell'oscilloscopio in modo da misurare sui due canali la tensione v(t)

fornita dal generatore di funzioni e la tensione vC(t) ai capi del condensatore; 5. Rilevare le tensioni picco-picco di vin(t) e vC(t) e la fase di vC(t) rispetto a vin(t), con i

rispettivi errori di misura, per frequenze f sia minori che maggiori della frequenza di taglio a 3 dB f0 (prendere circa 15 misure, infittite intorno al valore di f0); ricordare che lo sfasamento va espresso in gradi (o in radianti): tenendo conto che in realtà si misura il tempo di sfasamento ∆t, lo sfasamento angolare ϕ si ottiene rapportando lo sfasamento temporale ∆t al periodo T e moltiplicandolo per l’angolo giro (360° o 2π), cioè ϕ = 360 ∆t / T;

6. Calcolare i valori attesi previsti per il guadagno Gpb e lo sfasamento ϕ utilizzando il valore nominale di ω0;

7. Elaborare le misure, riportare su grafico il guadagno Gpb=VC/V e lo sfasamento ϕ in funzione della frequenza;

8. confrontare i valori ottenuti con quelli attesi; 9. valutare graficamente la frequenza di taglio f0 empirica.

3.2 Misure su un circuito RC come filtro passa-alto 1. Modificare il circuito precedente scambiando R con C in modo che la resistenza sia vicina

alla massa; 2. Collegare le due sonde dell'oscilloscopio in modo da misurare sui due canali la tensione

vin(t) fornita dal generatore di funzioni e la tensione vR(t) ai capi della resistenza 3. Rilevare le tensioni picco-picco di vin(t) e vR(t) e la fase di vR(t) rispetto a vin(t), con i

rispettivi errori di misura, per frequenze f sia minori che maggiori della frequenza di taglio a 3 dB f0 (prendere circa 15 misure, infittite intorno al valore di f0); ricordare che lo sfasamento va espresso in gradi (o in radianti): tenendo conto che in realtà si misura il tempo di sfasamento ∆t, lo sfasamento angolare ϕ si ottiene rapportando lo sfasamento temporale ∆t al periodo T e moltiplicandolo per l’angolo giro (360° o 2π), cioè ϕ = 360 ∆t / T;

4. Calcolare i valori attesi previsti per il guadagno Gpa e lo sfasamento ϕ utilizzando il valore nominale di ω0;

5. Elaborare le misure, riportare su grafico il guadagno Gpa=VR/V e la fase ϕ in funzione della frequenza;

6. valutare graficamente la frequenza di taglio f0 empirica.

20

Esperienza 4 - Indice di rifrazione ed aberrazioni

1. Teoria dell'esperimento

1.a Riflessione e rifrazione Un raggio incidente sulla superficie di separazione tra due mezzi i cui indici di rifrazione sono n1 e n2 viene riflesso e rifratto. Siano θ1, θ1’ e θ2 gli angoli (rispetto alla normale alla superficie di separazione) rispettivamente di incidenza, riflessione e rifrazione (in figura 1 è riportato il caso in cui il primo mezzo è l’aria ed il secondo mezzo è l’acqua). La legge della riflessione dice che θ1=θ1’. La legge

della rifrazione dice invece che 2211 sinsin θθ nn = .

Secondo la legge della rifrazione, pertanto, l’angolo di rifrazione risulta minore dell’angolo di incidenza (θ2<θ1) nel caso in cui il raggio luminoso entri in un mezzo il cui indice di rifrazione è maggiore (n1<n2), e maggiore dell’angolo di incidenza (θ2>θ1) nel caso opposto in cui il raggio luminoso entri in un mezzo il cui

indice di rifrazione è minore (n1>n2). In quest’ultimo caso (figura 2), quando l’angolo di rifrazione

vale 90°, l’angolo di incidenza assume il valore limite θL dato da: 21 sin nn L =θ ovvero

=

1

2arcsinsinnn

Lθ . Tale angolo è detto angolo limite poiché per tutti gli angoli superiori ad esso il

raggio rifratto non esiste e quindi il raggio risulta totalmente riflesso (fenomeno della riflessione totale).

1.b Le aberrazioni L’angolo di rifrazione di un raggio luminoso incidente dipende dalla frequenza della radiazione; più precisamente, esso diminuisce al crescere della frequenza. Poiché un fascio di luce bianca è costituito dall’insieme di tutte le lunghezze d’onda spettrali, ogni componente verrà rifratta secondo angoli diversi, scomponendo spazialmente il raggio luminoso nelle sue diverse componenti monocromatiche, costituite, cioè, da una sola frequenza. Ciò comporta che i raggi rifratti da una lente sono scomposti nei colori dell’iride, come avviene anche con un prisma; ogni colore, quindi, viene focalizzato in un punto diverso. Questa aberrazione si chiama cromatismo ed il suo effetto è che l’immagine avrà i contorni colorati, rendendo fastidiosa la visione. E’ da sottolineare che il cromatismo è una caratteristica delle lenti e non degli specchi. Per correggere quest’aberrazione, si deve applicare sulla lente convessa una lente

Figura 1

Figura 2

21

divergente a menisco di un vetro con un coefficiente di rifrazione più alto; in questo modo si riesce a introdurre un’aberrazione cromatica uguale e contraria a quella della lente convessa, con la sola conseguenza di allungare un po’ la distanza focale. La lente risultante è detta doppietto acromatico ed è presente, in pratica, su tutti i moderni telescopi rifrattori. La sfericità è invece un’aberrazione di lenti e specchi sferici e consiste nella focalizzazione dei raggi in punti diversi; attorno all’immagine si forma, quindi, un alone luminoso. Anche questa aberrazione viene corretta abbastanza bene progettando opportunamente il doppietto acromatico; con gli specchi sferici occorre invece interporre una lastra asferica, cioè una particolare lente che introduce una sfericità uguale e contraria a quella dello specchio da correggere. La coma, infine, è un’aberrazione presente sia nelle lenti che negli specchi, ed è dovuta ad un imperfetto allineamento degli assi ottici. Essa produce sul piano focale un’immagine di una stella che non è più un puntino, ma un piccolo ventaglio di luce simile ad una cometa ("coma" in latino significa "chioma") le cui dimensioni aumentano quanto più lontana è l’immagine dall’asse ottico, sul quale la coma è assente. Quest’aberrazione, fastidiosa soprattutto quando si devono ottenere delle immagini su una superficie di grande estensione (quella della lastra fotografica ad esempio), viene corretta in modo accettabile da speciali obbiettivi chiamati appunto correttori di coma.

Per quanto concerne più specificamente l’aberrazione sferica, si consideri una superficie sferica rifrangente di raggio r che separa due mezzi di indice di rifrazione n ed n’. Sia P una sorgente puntiforme posta sull’asse ottico, PQ un generico raggio emesso da P e P’ l’intersezione del relativo raggio rifratto con l’asse ottico (Figura 3).

Si può dimostrare (vedasi ad es. http://www.ba.infn.it/~evangel/TeoriaGenerale.htm) che l’equazione generale che lega l’immagine di un punto posto all’infinito, utilizzando sviluppi in serie

al terz’ordine, è

+−=+

''2'

''

2

2

nrfnh

rnn

sn

sn . In tale equazione, il termine tra parentesi è il termine di

aberrazione. Si noti che, per P fisso, esso dipende dal quadrato di h. Se si considera allora un raggio non parassiale PQ nel piano xy (sia x la direzione dell’asse ottico ) [Figura 4], sia P’p il punto in cui convergono i raggi parassiali emessi da P, e sia Pi il punto in cui il raggio rifratto QP' interseca il piano dell’immagine.

La distanza hp ssx '' −=∆ è chiamata aberrazione sferica longitudinale, mentre la distanza

( ) ( )h

hphp shssssy'

''tan'' −=−=∆ γ è chiamata aberrazione sferica laterale. Si dimostra che tali

Figura 3

Figura 4

22

grandezze sono date, nel caso di raggi paralleli all’asse ottico, rispettivamente da 22

22

''2''

rfnssnh

x ph=∆ e

22

23

''2'rfn

snhy p=∆ . Si noti che le considerazioni finora esposte sono valide, per ragioni di simmetria,

qualunque sia la posizione di Q su una circonferenza perpendicolare all’asse ottico, di raggio h e di

centro O. Sia φ l’angolo che individua la generica posizione di Q, e sia t la direzione OQ : lungo t

si ha che l’aberrazione sferica laterale è ∆t = ∆y. Al variare di φ, per un determinato valore di h, Pi descrive pertanto sul piano dell’immagine una circonferenza di raggio ∆y.

2. Materiale a disposizione

• 1 banco rivestito di carta graduata; • 1 puntatore laser con relativo supporto girevole; • varie lastre di plexiglass trasparente di diverse forme; • specchi metallici; • 1 goniometro.

3. Esecuzione dell'esperimento

3.1 Indice di rifrazione 1. prendere la lastra di plexiglass di forma semicilindrica

e posizionarla in modo che il raggio del puntatore laser incida come in figura 5 (si noti che il raggio rifratto non subisce deviazioni nella seconda rifrazione poiché la direzione è ortogonale alla superficie);

2. misurare gli angoli di incidenza e di rifrazione ripetendo le misure per diversi (≈15) angoli di incidenza fino ad avvicinarsi all’angolo limite; a tale scopo, conviene tracciare con una matita sulla carta due segni in corrispondenza della posizione del raggio laser incidente e di quella dell’immagine del raggio rifratto; inoltre, onde evitare problemi di cattivo riallineamento, conviene procedere prima tracciando TUTTI i segni in corrispondenza di tutte le misure (con un segno che li faccia riconoscere), e poi successivamente misurare gli angoli con il goniometro (più preciso che non utilizzando gli angoli segnati sulla carta); il goniometro va centrato in corrispondenza del punto di incidenza del raggio con il plexiglass, che sarà lo stesso per tutte le misure;

3. riportare gli angoli misurati e dedurre l’indice di rifrazione del plexiglass (naria=1) per ogni misura;

4. calcolare il valore medio dell’indice di rifrazione del plexiglass.

Figura 5

23

3.2 Aberrazione di sfericità: misure con la lastra di plexiglass 1. prendere la lastra di plexiglass di forma lenticolare ed inviare il fascio in direzione parallela

all’asse con diversi punti di incidenza (vedi figura 6); 2. procedere come nel caso precedente segnando con

la matita le caratteristiche principali dei raggi incidente e rifratto; ripetere le misure per almeno 7 raggi (uno lungo l’asse ottico, tre sopra e tre sotto);

3. ricostruire la posizione delle immagini dei raggi; con riferimento alla figura 4, valutare la posizione di P’, P’p e Pi; determinare quindi i valori di ∆x e ∆y.

3.3 Aberrazione di sfericità: misure con lo specchietto metallico concavo

1. prendere lo specchietto metallico concavo e procedere come sopra: inviare il fascio in direzione parallela all’asse con diversi punti di incidenza (vedi figura 6); tenere conto che in questo caso si osserveranno i raggi riflessi e non quelli rifratti;

2. procedere come nel caso precedente segnando con la matita le caratteristiche principali dei raggi incidente e riflesso; ripetere le misure per almeno 7 raggi (uno lungo l’asse ottico, tre sopra e tre sotto);

3. ricostruire la posizione delle immagini dei raggi; con riferimento alla figura 4, valutare la posizione di P’, P’p e Pi; determinare quindi i valori di ∆x e ∆y.

Figura 6

24

Esperienza 5 - Lunghezza focale delle lenti

1. Teoria dell'esperimento

In figura 1, s è la distanza tra l'oggetto e l’asse ottico della lente sottile, s’ la distanza tra l'immagine e l’asse ottico, a la distanza tra l'oggetto e l'immagine, F la posizione del fuoco e f la distanza focale. Nell’approssimazione di lente sottile, lo spessore della lente L è L<<a. L'equazione dei punti coniugati è:

−−==+

21

11)1(1'

11rr

nfss

(1)

L'ingrandimento M si ricava dalla figura ed è dato da:

ss

llM '' −== (2)

Dall’equazione (1) si ricava '

'ss

ssf+

= . Tali formule sono valide per ogni tipo di lente sottile.

Nel caso di un sistema con due o più lenti, si applica ricorsivamente l’eq. 1 avendo cura di considerare l’immagine della lente precedente come oggetto per la lente successiva, e facendo bene attenzione ai segni. Ad esempio, nel caso del sistema di lenti convergente-divergente (figura 2), si hanno rispettivamente le equazioni:

−−==+

1,21,11

111

11)1(1'

11rr

nfss

e

−−==+

2,22,12

222

11)1(1'11

rrn

fss dove ovviamente sarà

12 'sLs −= . In questo caso, gli ingrandimenti sono rispettivamente dati da 1

1

1

11

''ss

llM −== e

2

2

2

22

''ss

llM −== e l’ingrandimento complessivo è dato dal loro prodotto: 21MMM = .

2. Materiale a disposizione

• banco ottico; • 1 lampada con sorgente luminosa; • 2 lenti convergenti; • 1 lente divergente;

Figura 2

25

• 1 schermo con scala graduata al mm.

3. Esecuzione dell'esperimento

3.1 Lenti convergenti 1. montare l'apparato secondo lo schema riportato

in Figura 3; 2. accendere la lampada; 3. collocare la prima lente convergente sul

supporto; 4. centrare approssimativamente in verticale lo

schermo e la lente; 5. cercare una condizione di ingrandimento

muovendo sia la lente sia lo schermo: l'immagine della scala graduata della sorgente sullo schermo deve essere la più nitida possibile;

6. misurare le dimensioni verticali dell’oggetto sorgente, quindi porlo sul banco ottico e non muoverlo più per tutto l’esperimento; misurare quindi la sua posizione;

7. eseguire una serie di misure (circa 15-20) con questa condizione di ingrandimento, togliendo e rimettendo sul banco ottico i supporti della lente e dello schermo, e cercando ogni volta di riottenere la condizione di massima nitidezza. Le grandezze da misurare sono: la distanza oggetto-lente s, la distanza lente-immagine s’, e le dimensioni verticali dell’immagine;

8. elaborare i dati, calcolare per ogni misura i valori del fuoco f e dell’ingrandimento M usando le eqq. (1) e (2);

9. calcolare il valore medio della distanza focale f tra tutte le misure; confrontare tale valore con quello scritto sulla lente e commentare il risultato;

10. ripetere tutte le precedenti operazioni con la seconda lente.

3.2 Sistema di due lenti 1. disporre in successione la sorgente,

la lente divergente, la lente convergente e lo schermo come in figura 4;

2. posizionare le due lenti in maniera da ottenere sullo schermo un’immagine nitida (a fuoco);

3. misurare le posizioni dell’oggetto rispetto alla prima lente (divergente), dell’immagine rispetto alla seconda lente (convergente) e la distanza tra le due lenti (figura 4), e le dimensioni verticali di oggetto ed immagine; con riferimento alla figura 2, determinare quindi i valori di s1, s2’ e di L;

Figura 4

Figura 3

26

4. utilizzando il valore del fuoco della lente convergente ottenuto nella prima fase dell’esperienza e quello della lente divergente fornito, determinare i valori attesi per la posizione dell’immagine s1’, dell’oggetto s2, e determinare quindi gli ingrandimenti delle singole lenti e l’ingrandimento complessivo;

5. calcolare l’ingrandimento complessivo effettivo e confrontare con il valore precedentemente calcolato.

Figura 5