Esercizio N. 1

Si assuma di avere a disposizione una moneta e di lanciarla N volte. Nell’ipotesi che sia perfettamente bilanciata (cioe’ non truccata), si chiede di discutere quale tipo di distribuzione di probabilita’ di ottenere “TESTA” ci si aspetta nel caso di N = 6 e nel caso di N = 100.

1

2

Il lancio di una moneta N volte, segue la distribuzione teorica binomiale di Bernoulli. Visto che la moneta non è truccata (p = ½), la distribuzione del numero n degli esiti “TESTA” è simmetrica rispetto al valore atteso di n E(n) = <n> = Np = N/2 Con varianza s2 = NP(1-p) = Np2 = N/4

3

B(n, N = 6, p = 1/2) E(n) = N/2 = 3 s(n) = ((N)1/2)/2 = 1.2

4

= 0.0156 = 1.6%

= 0.0937 = 9.4%

= 0.234 = 23%

= 0.312 = 31%

= 0.234 = 23%

= 0.0156 = 1.6%

B(n, N = 6, p = 1/2) E(n) = N/2 = 3 s(n) = ((N)1/2)/2 = 1.2

=9.4% ; n = 6

5

B(n, N = 100, p = 1/2) E(n) = N/2 = 3 s(n) = ((N)1/2)/2 = 1.2

La distribuzione di probabilità di avere n teste su N prove è di tipo binomiale ... per “N grande” (N=100) è indistinguibile da una distribuzione di Gauss con media e deviaione standard pari a quelli della Binomiale stessa.

= 100 x (1/2) = 50

(n – m)2

0.525)2

1)(

2

1)(100()1( pNp

)50

)50(exp(

5

1

2

1 2

n

6

B(n, N = 100, p = 1/2) E(n) = N/2 = 3 s(n) = ((N)1/2)/2 = 1.2

Esercizio N. 2

Cinque gruppi del corso di Laboratorio di Meccanica hanno misurato quest’anno l’accelerazione di gravità g presso i Laboratori “B. Pontecorvo” a Roma. Si chiede di individuare nel campione di 5 misure di g se vi sono misurazioni affette da errore sistematico e di ricavare la migliore stima di g dalle altre misurazioni. I cinque valori misurati sono: g1 = (9.97 ± 0.28) m/s2 g2 = (10.00 ± 0.11) m/s2 g3 = (10.61 ± 0.32) m/s2 g4 = (9.86 ± 0.47) m/s2 g5 = (9.6390 ± 0.0049) m/s2 Si assuma per Roma il valore gROMA = 9.80352 m/s2 con errore relativo pari a 1x10-6.

7

8

2.8%

%

2

26

6

2

)00001.080352.9()(

00001.00000098.010180352.9)(

)(

101)(

80352.9

smgg

smg

g

gg

g

g

smg

RMRM

RM

RM

RMRM

RM

RM

RM

s

ss

s

s(gRM) trascurabile rispetto a titti i s(g) delle 5 misure

9

95% t0 @ CL = 5%

P(|t| > 0.59) = 55%

P(|t| > 1.79) = 7.3%

P(|t| > 2.52) = 1.2%

P(|t| > 0.12) = 90%

P(|t| > 34) = 0%

10

2.8%

%

Le 3 misure (g1, g2, e g4) pur se compatibili con gRM, sono “sistematicamente” più grandi di gRM ... ... Questo vuole dire qualche cosa su un possibile ulteriore residuo di sistematica comune?

(gRM – gk)

- 0.16 m/s2

- 0.20

- 0.06

11

12

Test di compatibilità con gRM:

%3.6)86.1|(|

86.110.0

|99.980352.9|

)00001.080352.9()(

0

2

tP

t

smgg RMRM s

Esercizio N. 3

In una relazione di laboratorio, tramite un istogramma a “canne d’organo”, sono riportate N = 20 misure ripetute di una grandezza fisica di tipo conteggio, raccolte in 7 classi di larghezza (bin) pari a 3 conteggi (vedere istogramma allegato). Si chiede: 1) Calcolare la media aritmetica, la deviazione standard del campione ed infine, la deviazione standard della media. Riportare le 3 grandezze Ricavate con il numero di cifre significative e di cifre decimali convenzionalmente accettato. 2) Effettuare il test del Pearson sul campione assegnato per l’ipotesi di distribuzione limite di Poisson.

13

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25

CONTEGGIO14

15 80.820

176)1

3

2019181

3

1716153

3

141312

43

111097

3

8763

3

5431

3

210(

20

1

...""...oppure

80.1020

216

20

121118315412793613

bin" del destro estremo"|

30.920

186

20

15.1915.1635.1345.1075.735.415.1

bin" del c"|

80.720

156

20

11811531249763310

bin" del sinistro estremo"|

1

1

n

n

n

entro

n

FREQUENZA

FREQUENZACONTEGGIO

nnumBINk

k

k

numBINk

k

kk

20

)()(

1)(

)(

)(

1

1

1

1

2

numBINk

k

k

numBINk

k

k

numBINk

k

k

numBINk

k

kk

FREQUENZA

FREQUENZA

nn

FREQUENZA

FREQUENZAnCONTEGGIO

n

ss

s

16

17

98.030.998.020

)()(

4.419

2.367

19

1]1)3.95.19(1)3.95.16(3)3.95.13(

4)3.95.10(7)3.95.7(3)3.95.4(1)3.95.1[()(

bin" del c"|

2/1222

2222

nn

n

n

entro

ss

s

30.920

186

20

15.1915.1635.1345.1075.735.415.1

bin" del c"|

n

entro

18

30.9!

)exp(),(

m

mmm

nnP

n

19

0.0000 9.1424e-05 0.0018285 1.0000 0.00085025 0.017005 2.0000 0.0039536 0.079073 3.0000 0.012256 0.24513 4.0000 0.028496 0.56992 5.0000 0.053002 1.0600 6.0000 0.082154 1.6431 7.0000 0.10915 2.1829 8.0000 0.12688 2.5377 9.0000 0.13111 2.6223 10.000 0.12193 2.4387 11.000 0.10309 2.0618 12.000 0.079895 1.5979 13.000 0.057156 1.1431 14.000 0.037968 0.75935 15.000 0.023540 0.47080 16.000 0.013683 0.27365 17.000 0.0074852 0.14970 18.000 0.0038673 0.077347 19.000 0.0018930 0.037859 20.000 0.00088023 0.017605 21.000 0.00038982 0.0077963

n P(n) E=P(n)*20

30.9!

)exp(),(

m

mmm

nnP

n

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 5 10 15 20 25

n

c3=(9.3^c2)*(exp(-9.3))/(c2!)c4=c3*20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25

FREQUENZAE = SUM(P) * 20

CONTEGGIO

20

30.9!

)exp(),(

m

mmm

nnP

n

[c2 / n] = [16.166 / (7-2) ] = 3.2

21

30.9!

)exp(),(

m

mmm

nnP

n

P([c2 / n] > 3.2 ; n =5) = 0.64%

0.0000 1.0000 0.0000 9.1424e-05 0.0018285 0.0048953 0.097906 8.3118 3.0000 3.0000 1.0000 0.00085025 0.017005 0.093754 1.8751 0.67486 6.0000 7.0000 2.0000 0.0039536 0.079073 0.31818 6.3637 0.063628 9.0000 4.0000 3.0000 0.012256 0.24513 0.35614 7.1228 1.3691 12.000 3.0000 4.0000 0.028496 0.56992 0.17502 3.5004 0.071526 15.000 1.0000 5.0000 0.053002 1.0600 0.044708 0.89416 0.012529 18.000 1.0000 6.0000 0.082154 1.6431 0.0066405 0.13281 5.6623 21.000 0.0000 7.0000 0.10915 2.1829 8.0000 0.12688 2.5377 9.0000 0.13111 2.6223 10.000 0.12193 2.4387 11.000 0.10309 2.0618 12.000 0.079895 1.5979 13.000 0.057156 1.1431 14.000 0.037968 0.75935 15.000 0.023540 0.47080 16.000 0.013683 0.27365 17.000 0.0074852 0.14970 18.000 0.0038673 0.077347 19.000 0.0018930 0.037859 20.000 0.00088023 0.017605 21.000 0.00038982 0.0077963

COUNT FREQ n P(n) E=P(n)*20 SUM(P) E=SUM(P)*20 CHI2

22

30.9!

)exp(),(

m

mmm

nnP

n

... Provando ad “allargare la coppia di bin alle due estremità”...

0 ... 3 1 0.0979 3 ... 6 3 1.8751 6 ... 9 7 6.3637 9 ... 12 4 7.1228 12 ... 15 3 3.5004 15 ... 18 1 0.8942 18 ... 21 1 0.1328

0 ... 6 4 1.9730 2.0825 6 ... 9 7 6.3637 0.0636 9 ... 12 4 7.1228 1.3691 12 ... 15 3 3.5004 0.0715 15 ... 21 2 1.02697 0.9219

Ok Ek Ok Ek (Ok- Ek)

2/Ek

[c2 / n] = [4.509 / (5-2) ] = 1.503

P([c2 / n] > 1.5 ; n =3) = 21%