Esercizio 1 Fisica Generale B - Benvenuto su AMS Campus -...

2. Esercizi di elettrodinamica

Fisica Generale B

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April 20, 2011

Esercizio 1

•! Un nastro metallico piano di lunghezza indefinita e larghezza a = 20 cm è percorso da una corrente di densità j = 2 A/m (corrente per unità di lunghezza).

•! Qual è il valore del campo magnetico in un punto P, posto sul piano del nastro, che dista l = 20 cm dal bordo del nastro più vicino a P?

•! Se volessimo che nello stesso punto esistesse un campo magnetico del valore B = 10!6 T, quale dovrebbe essere l’intensità di corrente che attraversa il nastro?

l

P

a

2!Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!

Esercizio 1 (II)

•! Scomponiamo il nastro in fettine di larghezza dx, che possono essere considerate filiformi, percorse dalla corrente di = j dx. A esse possiamo applicare la legge di Biot e Savart:

•! Si ha:

•! Integrando sull’intera larghezza del nastro:

dx x

l

P

adi

!B =

µ0i2!R

dB =

µ0 di2! l + x( ) =

µ0 jdx2! l + x( )

B P( ) = µ0 jdx2! l + x( )

0

a

"

#$ =

µ0 j2!

dxl + x

0

a

"#$

=

=µ0 j2!

ln l + x( )%& '(0a=µ0 j2!

ln l + al

=

= 1.26 )10*6 )2

6.28ln2 T = 2.77 )10*7 T


Esercizio 1 (III)

•! Per quanto riguarda la seconda parte, abbiamo ancora:

•! La densità di corrente è data da:

per cui:

B =µ0 j2!

ln l + al

j = i

a

B =µ02!ialn l + a

l" i = B 2!

µ0

a

ln 1+ al

#$%

&'(

i = 10!6 6.281.26 "10!6

20 "10!2

ln2= 1.44A


dx x

l

P

adi

Esercizio 2

•! Una corona circolare di raggi r1 = 10 cm e r2 = 20 cm, conduttrice, è percorsa da una corrente di densità uniforme j = 1.9 A/m.

•! Qual è il valore del campo magnetico nel centro della corona circolare?

•! Qual è il momento magnetico della corona circolare?

1r2r


Esercizio 2 (II)

•! Consideriamo una generica corona circolare sottile (spessore infinitesimo), di raggio interno r e raggio esterno r + dr. Essendo sottile, essa può essere considerata come una spira circolare filiforme, che genera nel suo centro il campo:

•! Essendo j uniforme in tutti i punti della corona circolare data, si ha:

•! Integrando su tutta la corona circolare: dr

r

di

1r2r

dB =µ02dir

Campo al centro diuna spira circolare :!B 0( ) = µ0

2iR

k̂

di = jdr ! dB =µ02j drr

B =µ02j drr

r1

r2

!"#

=µ02j drr

r1

r2

!"#

=µ02j lnr2r1=

= 1.26 $10%6

21.9ln2T = 8.27 $10%7 T


Esercizio 2 (III)

•! Il momento magnetico di una spira generica si scrive:

•! Il contributo al momento magnetico dato da una corona circolare sottile di raggio interno r e raggio esterno r + dr è pari a:

•! Il momento magnetico totale si trova integrando su tutta la corona circolare data:

!m = iSn̂

dm = S di = !r 2 jdr

m = !r 2 j drr1

r2

" = ! j r 2 drr1

r2

" = !3j r2

3 # r13( ) =

= 3.1431.9 0.008# 0.001( )Am2 = 1.39 $10#2 Am2


drr

di

1r2r

Esercizio 3

•! Un disco isolante, uniformemente carico, di raggio R, carica Q e spessore trascurabile, ruota a velocità costante ! attorno a un asse a esso perpendicolare e passante per il centro O.

•! Calcolare il campo magnetico nel centro O del disco.

•! Calcolare il momento magnetico del disco rotante.

R O

Q

!


Esercizio 3 (II)

•! Il disco è isolante, ma uniformemente carico. Poiché il disco ruota, le cariche su di esso, solidali al disco, ruoteranno anch’esse, producendo correnti elettriche.

•! Consideriamo il contributo al campo magnetico da parte della striscia di carica di raggio interno r e raggio esterno r +dr.

•! La densità superficiale di carica elettrica sarà data (essendo il disco uniformemente carico) da:

•! La carica contenuta nella suddetta striscia sarà pari a:

drr

di

R O

! =

Q"R2

dq = ! dS = ! 2"r dr = Q

"R2 2"r dr = QR2 2r dr


Esercizio 3 (III)

•! Nella striscia considerata la carica si muove con velocità:

producendo perciò una corrente elettrica di intensità:

•! Ricordando l’espressione del campo magnetico prodotto da una spira sul proprio asse:

si ha nel nostro caso:

v =!r

di = d!v =

dq2"r

v =dq

2"r#r = #

2"dq =

#2"

QR2 2r dr =

Q#r"R2 dr

!B =

µ0

2ir

k̂

d!B =

µ0

2rdi k̂ =

µ0

2rQ!r"R2 dr k̂ =

µ0

2Q!"R2 dr k̂


drr

di

R O

Esercizio 3 (IV)

•! Integrando su tutto il disco, si ha:

d!B =

µ02Q!"R2

dr k̂

!B = d

!B

0

R

! =µ02Q"#R2

dr k̂0

R

$%&

=µ0Q"2#R2

k̂ dr0

R

! =µ0Q"2#R2

k̂R =

=µ0Q"2#R

k̂


drr

di

R O

Esercizio 3 (V)

•! Per quanto riguarda il momento magnetico, ricordando che per una spira percorsa da corrente si ha:

abbiamo, nel nostro caso il contributo al momento magnetico da parte della striscia di carica di raggio interno r e raggio esterno r +dr:

•! Integrando su tutto il disco:

!m = iS n̂

d !m = di S n̂ =

Q!r"R2 dr

#$%

&'("r 2( ) n̂ =

Q!r3

R2 dr n̂

!m = d !m0

R

! = Q"r3

R2dr n̂

0

R

#$%

= Q"R2n̂ r3 dr0

R

! =

= Q"R2n̂ R

4

4= Q"R

2

4n̂


drr

di

R O

Esercizio 4

•! Un conduttore cilindrico indefinito, di raggio R = 1 cm, è percorso da una corrente i = 5 A, distribuita uniformemente sulla sezione del conduttore.

•! Qual è il valore del campo magnetico a una distanza r1 = 3 cm dall’asse del cilindro?

•! Qual è il valore del campo magnetico a una distanza r2 = 0.5 cm dall’asse del cilindro?

R2r

1ri


Esercizio 4 (II)

•! Non si può applicare la legge di Biot e Savart perché il conduttore non è filiforme. La prima formula di Laplace è di difficile applicazione.

•! Utilizziamo perciò, data la simmetria, la legge di Ampère, applicata a una circonferenza di raggio r1 giacente su di un piano perpendicolare al filo.

•! Poiché r1 > R, entro tale circonferenza passa tutta la corrente i:

•! A causa della simmetria, il campo magnetico ha la stessa norma su tutta la circonferenza, per cui:

R2r

1ri

!B id!l

l"! = µ0

!! i n̂ d"

"l!! = µ0i

B2!r1 = µ0i

B r1( ) = µ0i2!r1

= 1.26 "10#6 " 5

6.28" 0.03T = 3.33"10#5 T


Esercizio 4 (III)

•! Per calcolare il campo magnetico alla distanza r2 utilizziamo ancora la legge di Ampère, considerando tuttavia il fatto che entro la circonferenza di raggio r2 non scorre tutta la corrente i ma soltanto una frazione pari al rapporto tra l’area del cerchio di raggio r2 e l’area del cerchio di raggio R (essendo la densità di corrente uniforme sulla sezione del conduttore):

•! Si ha pertanto:

!B id!l

l"! = µ0

!! i n̂ d"

"l!! = µ0i

r22

R2

B2!r2 = µ0ir22

R2" B2! = µ0i

r2R2

B r2( ) = µ0i2!

r2R2

= 1.26 #10$6 # 5# 0.005

6.28# 0.0001T = 5#10$5 T


R2r

1ri

Esercizio 5

•! Un conduttore cilindrico indefinito di raggio r1, possiede, al proprio interno, una cavità cilindrica eccentrica, lungo tutto il conduttore, di raggio r2.

•! Sia d la distanza tra l’asse del conduttore e l’asse della cavità.

•! Il conduttore è percorso da una corrente elettrica di densità uniforme j.

•! Calcolare il campo magnetico B in un generico punto P entro la cavità.

1r

O O!P

2r

d !! "


Esercizio 5 (II)

•! Per risolvere il problema, sostituiamo il cilindro cavo percorso da una corrente di densità j con un cilindro pieno, grande come il cilindro cavo, percorso da una corrente di densità j, sovrapposto a un secondo cilindro pieno, grande come la cavità, percorso da una corrente di densità "j.

•! In questo modo, nella zona in cui i due cilindri sono sovrapposti, la densità di corrente è nulla, come nel nostro problema

O O!

!! "

O

!! "

O! !!! "

+=


Esercizio 5 (III)

•! L’intensità di corrente nei due cilindri vale, rispettivamente:

•! Utilizzando il risultato dell’esercizio precedente, troviamo che i campi magnetici prodotti dai due cilindri sono, rispettivamente:

i1 = !r12 j

i2 = "!r22 j

#$%&

!B1 =

µ0i12!

rr12=µ02!

!r12 j rr12=µ02jr

!B2 =

µ0i22!

"r22=µ02!

!r22 j "r22=µ02j"

#

$%%

&%%

!B1 =

µ02jr ' sin( ı̂ + cos( !̂( )

!B2 =

µ02j" sin) ı̂ + cos) !̂( )

#

$%%

&%%

1r

O

y

O!

P! ! 2rr !

d !! "

x

!B1 !

B2

O O!! !r !

!B1 !

B2! !


Esercizio 5 (III)

•! Poiché i campi si sommano vettorialmente, per il principio di sovrapposizione, dati i due campi:

sommando vettorialmente si ottiene:

!B1 =

µ0

2jr ! sin" ı̂ + cos" !̂( )

!B2 =

µ0

2j# sin$ ı̂ + cos$ !̂( )

%

&''

(''

!B =!B1 +!B2 =

µ02j !r sin" + # sin$( )

0" #$$$ %$$$

ı̂ +µ02j r cos" + #cos$( )

d" #$$$ %$$$

!̂ =

=µ02jd !̂


1r

O

y

O!

P! ! 2rr !

d !! "

x

!B1 !

B2

Esercizio 6

•! Qual è il momento magnetico di un solenoide rettilineo, percorso da una corrente i = 3 A, di N = 2000 spire, ciascuna di sezione media S = 15 cm2?

•! Qual è il valore del campo magnetico entro il solenoide se esso è lungo l = 70 cm (il solenoide si può considerare molto lungo rispetto al proprio diametro).

!

!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Rz

!B

i


Esercizio 6 (II)

•! Il contributo di una spira del solenoide al momento magnetico è dato da:

•! Il momento magnetico totale dovuto alle N spire è perciò:

•! Il campo magnetico entro il solenoide è dato da:

m1 = iS

m = Nm1 = iSN = 3 ! 15!10"4 ! 2000Am2 = 9.00Am2

!B = µ0ni = µ0

Nl

i = 1.26 !10"6 20000.7

3T = 1.08 !10"2 T


!

!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Rz

!B

i

Esercizio 7

•! Qual è il valore del campo magnetico creato da un filo rettilineo lungo l = 2 m, percorso da una corrente i = 1.5 A, in un punto P distante a = 1 m dal filo, posto sulla normale al filo passante per l’estremità del filo stesso?

a

l

i

P


Esercizio 7 (II)

•! Non si può utilizzare la legge di Ampère per l’asimmetria del problema. •! Non si può utilizzare la legge di Biot e Savart perché il filo non è

indefinito (stiamo studiando gli effetti a un estremo. •! Non resta che integrare la I formula di Laplace:

dove l’ultima uguaglianza è conseguenza del fatto che:

d!B =

µ0

4!id!l " !rr3

=µ0

4!id!l " r̂r 2

dB =µ0

4!i d!l r̂ sin#

r 2=µ0

4!idx sin#

r 2=µ0

4!idxcos$

r 2, dx = d

!l

! = 90°"#


a!

1!

d!!dx

li

P

r

x

Esercizio 7 (III)

•! Si ha inoltre:

x = r sin!a = r cos!x = a tan!

"#$

%$&

r = acos!

dx = acos2!

d!

"

#$

%$

dB =µ0i4!dxcos"r 2

=µ0i4!

ad"cos2"

cos"

a2

cos2"

=µ0i4!a

cos" d"

B =µ0i4!a

cos" d"0

"1

# =µ0i4!a

sin"$% &'0"1 =

µ0i4!a

sin"1 =µ0i4!a

l

l2 + a2

B = 4! (10)7 (1.54! (1

2

5T = 1.34 (10)7 T


a!

1!

d!!

dxl

i

P

r

x

Esercizio 8

•! Una spira circolare, di raggio r = 10 cm, è percorsa da una corrente i = 5 A ed è immersa in un campo magnetico B = 1 T, in maniera che abbracci un flusso ! = 0.

•! Per ruotarla di ! = 15º attorno a un asse normale a B, quale lavoro è necessario compiere?

!B

im!

!mf15°15°


Esercizio 8 (II)

•! Per quanto abbiamo visto, il momento magnetico della spira è dato da:

mentre l’energia del dipolo magnetico nel campo magnetico è data da:

•! Nello stato iniziale:

mentre nello stato finale:

•! Il lavoro compiuto è perciò:

!m = iSn̂ = 5! " ! 0.12 n̂Am2 = 0.157n̂Am2

E = ! !mi!B

Ei = ! !mi i

!B = ! !mi

!B cos90° = 0J

E f = ! !mf i!B = ! !mf

!B cos 90°!15°( ) = !mf Bcos75° =

= !0.157 "1" 0.259J = !4.07 "10!2 J

L = E f !Ei = !4.07 "10!2 J! 0J = !4.07 "10!2 J


!B

im!

!mf15°15°

Esercizio 9

•! Un filo conduttore rigido, piegato a U come mostrato in figura, è sospeso verticalmente e può ruotare senza attrito attorno a un asse passante per il lato AD. I lati AB, BC e CD hanno la stessa lunghezza l e la stessa densità lineare di massa " = 0.1 kg/m.

•! Il filo è immerso in un campo magnetico uniforme di modulo B = 10 mT, diretto verso l’alto.

•! Una corrente costante, di intensità i = 10 A viene fatta passare attraverso il filo, il quale ruota attorno all’asse AD fino a disporsi su di un piano che forma un angolo # con la verticale.

•! Calcolare l’angolo #. !

i A

D

C

B

!B


Esercizio 9 (II)

•! Le forze magnetiche agenti sui segmenti AB e CD sono parallele al segmento AD e hanno verso opposto e la medesima retta d’azione. Esse costituiscono perciò una coppia di braccio nullo e non contribuiscono alla rotazione.

•! La forza magnetica agente sul lato BC ha un momento non nullo rispetto all’asse AB che tende ad allontanare il filo dal piano verticale.

•! La forza peso agente sui lati AB, BC e CD ha un momento non nullo che tende ad avvicinare il filo al piano verticale.

! !BFBC

m( )

FBCp( )

FAB

p( )

FCD

p( )


!

i A

D

C

B

!B

Esercizio 9 (III)

•! La forza magnetica agente sul lato BC ha modulo e braccio:

per cui produce il momento assiale:

•! La forza peso agente sul lato BC ha modulo e braccio:


d!F m( ) = id

!l !!B "

!FBC

m( ) = i!l !!B "

!FBC

m( ) = ilB, bBCm( ) = l cos#

MBCm( ) = FBC

m( )bBCm( ) = ilB l cos! = il2 Bcos!

!FBC

p( ) = mg = l!g, bBCp( ) = l sin"

MBCp( ) = FBC

p( )bBCp( ) = l!g l sin" = l2!g sin"


! !BFBC

m( )

FBCp( )

FAB

p( )

FCD

p( )

!

i A

D

C

B

!B

Esercizio 9 (IV)

•! La forza peso agente sui lati AB e CD ha modulo:

e braccio:


•! Il momento risultante delle forze è perciò:

!FAB

p( ) =!FCD

p( ) = mg = l!g

bAB

p( ) = bCDp( ) =

l2

sin!

MAB

p( ) = MCDp( ) = FAB

p( )bABp( ) = l!g l

2sin" =

l2

2!g sin"

M = MBCm( ) ! MBC

p( ) ! 2MABp( ) = il2 Bcos" ! l2#g sin" ! 2

l2

2#g sin" =

= il2 Bcos" ! 2l2#g sin"


! !BFBC

m( )

FBCp( )

FAB

p( )

FCD

p( )

!

i A

D

C

B

!B

Esercizio 9 (V)

•! La condizione di equilibrio MM = 0 implica perciò:

M = 0 ! il2Bcos" # 2l2$g sin" = 0 ! il2Bcos" = 2l2$g sin"iBcos" = 2$g sin"

tan" = iB2$g

= 10 %10#2

2 % 0.10 % 9.81= 5.10 %10#2

" = arc tan5.10 %10#2 = 5.09 %10#2 rad = 2.92°


! !BFBC

m( )

FBCp( )

FAB

p( )

FCD

p( )

!

i A

D

C

B

!B

Esercizio 10

•! Una linea di trasmissione di corrente elettrica è costituita da un filo conduttore cilindrico di raggio R1, circondato da un guscio cilindrico coassiale conduttore, di raggio interno R2 e raggio esterno R3.

•! Una corrente assiale di densità uniforme e intensità i viene fatta passare per il filo interno e ritornare per il conduttore esterno.

•! Calcolare il campo magnetico B in funzione della distanza r dall’asse del conduttore cilindrico.

1R

2R3R

i

i


Esercizio 10 (II)

•! Il problema ha simmetria cilindrica e può essere risolto mediante la legge di Ampère:

dove ic è la corrente concatenata con la linea l.

•! Le linee di flusso del campo B (dove esso non è nullo) sono circonferenze con il centro sull’asse e giacenti su di un piano perpendicolare all’asse.

•! Prendendo come linea l una linea di flusso del campo B, B risulta tangente a tale linea e dunque parallelo a dl.

!B id!l

l"! = µ0

!! i n̂ d"

"l!! = µ0ic

!B id!l

C O ,r( )"! = B2"r


1R

2R3R

i

i

Esercizio 10 (III)

•! Perciò, per :

•! Analogamente, per :

•! Per :

•! Infine, per :

1r R<

2!rB = µ0ic = µ0i!r 2

!R12 " B =

µ0i2!

rR12

1 2R r R< <

2!rB = µ0ic = µ0i " B =µ0i2!1r

2 3R r R< <

3R r<

2!rB = µ0ic = µ0 i "! r 2 " R2

2( )! R3

2 " R22( ) i

#

$%%

&

'((= µ0

R32 " r 2

R32 " R2

2 i ) B =µ0i2!

R32 " r 2

R32 " R2

2

1r

2!rB = µ0ic = µ0 i " i( ) = 0 # B = 0


1R

2R3R

i

i

Esercizio 11

•! Un’asta conduttrice, di lunghezza d = 10 cm e resistenza R = 500 m", è trascinata trasversalmente lungo un binario conduttore di resistenza elettrica trascurabile, in assenza di attrito e a velocità costante v = 5 m/s.

•! Una seconda asta, di resistenza trascurabile, fissa, all’estremità del binario, mantiene in contatto elettrico le due rotaie.

•! Il dispositivo si trova in presenza di un campo magnetico uniforme B = 1 T con direzione perpendicolare al binario.

•! Determinare: –! La f.e.m. indotta. –! La corrente indotta. –! La potenza dissipata nell’asta. –! La forza necessaria per mantenere l’asta in

moto uniforme. ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !

B!

d!v


Esercizio 11 (II)

•! La legge di Faraday-Lenz si scrive, nel nostro caso:

•! L’intensità di corrente si trova mediante la legge di Ohm:

•! Il segno negativo indica che la corrente scorre in senso orario.

•! La potenza dissipata è data dalla legge di Joule:

f =!E id!l

l"! = " d

dt!B i n̂dS

#l!! = " d

dtBdS

#l!! = "B d

dtdS

#l!! = "B d#

dt=

= "B ddtx d( ) = "Bd dx

dt= "Bdv = "1$ 0.1$ 5 = "0.5V

i = fR= ! Bdv

R= !1" 0.1" 5

0.5A = !1A

P = Ri2 = R B2d 2v 2

R2= B

2d 2v 2

R=

= 1! 0.01! 250.5

W = 0.5W

! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !

B!

d!v

xO

i

i

ii


Esercizio 11 (III)

•! La forza che deve essere applicata all’asta per mantenerla in moto uniforme deve contrastare la forza magnetica esercitata dal campo magnetico B sull’asta, essendo quest’ultima percorsa da corrente.

•! La seconda formula di Laplace si scrive:

•! Integrando lungo l’asta:

•! La forza applicata deve contrastare questa forza, per cui si ha:

d!F m( ) = id

!l !!B

! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !

B!

d!v i!F

!F m( )

F m( ) = i d B =

B dvR

d B =B2d 2v

R=

1! 0.01! 50.5

N = 0.1N

!F +!F m( ) =

!0

F = F m( ) = 0.1 N


Esercizio 12

•! Nel circuito in figura i due generatori di tensione hanno forza elettromotrice pari a f1 = 4 V e f2 = 8 V, mentre i tre resistori hanno resistenza pari a R1 = 200 ", R2 = 200 " e R3 = 100 ".

•! Calcolare le intensità di corrente nei 3 rami (scrivendo, per convenzione, positive le correnti che scorrono nel verso indicato dalle frecce in figura e negative le correnti che scorrono nel verso opposto).

1R 2R 3R

1f 2f

1i 2i 3i

++


Esercizio 12 (II)

•! Scegliendo le correnti convenzionali di maglia i#1 e i#2 indicate in figura, si ha:

da cui:

1R 2R 3R

1f 2f

1i 2i 3i

++ !i2

!i1

R1 !i1 + R3 !i1 + !i2( ) = f1R2 !i2 + R3 !i1 + !i2( ) = f2

"#$

%$& R1 !i1 ' R2 !i2 = f1 ' f2 &

!i2 =R1 !i1 + f2 ' f1

R2

!i1 =R2 !i2 + f1 ' f2

R1

"

#$$

%$$

R1 !i1 + R3 !i1 +R1 !i1 + f2 " f1

R2

#

$%&

'(= f1

R2 !i2 + R3R2 !i2 + f1 " f2

R1+ !i2

#

$%&

'(= f2

)

*++

,++

-R1 + R3 +

R1R3R2

#

$%&

'(!i1 = f1 "

R3R2

f2 " f1( )

R2 +R2R3R1

+ R3#

$%&

'(!i2 = f2 "

R3R1

f1 " f2( )

)

*++

,++

R1R2 + R2R3 + R3R1R2

#

$%&

'(!i1 =R2 f1 " R3 f2 " f1( )

R2R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

#

$%&

'(!i2 =R1 f2 " R3 f1 " f2( )

R1

)

*

++

,

++


Esercizio 12 (III)

•! Note le correnti convenzionali di maglia possiamo calcolare le correnti reali nei 3 rami:

R1R2 + R2R3 + R3R1R2

!

"#$

%&'i1 =R2 f1 ( R3 f2 ( f1( )

R2R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

!

"#$

%&'i2 =R1 f2 ( R3 f1 ( f2( )

R1

)

*

++

,

++

-'i1 =R2 f1 ( R3 f2 + R3 f1R1R2 + R2R3 + R3R1

'i2 =R1 f2 ( R3 f1 + R3 f2R1R2 + R2R3 + R3R1

)

*++

,++

i1 = ! "i1 =R3 f2 ! R2 f1 ! R3 f1

R1R2 + R2 R3 + R3R1

i2 = ! "i2 =R3 f1 ! R1 f2 ! R3 f2

R1R2 + R2 R3 + R3R1

i3 = i1 + i2 =R2 f1 ! R3 f2 + R3 f1( ) + R1 f2 ! R3 f1 + R3 f2( )

R1R2 + R2 R3 + R3R1

=R2 f1 + R1 f2

R1R2 + R2 R3 + R3R1

#

$

%%%%

&

%%%%


1R 2R 3R

1f 2f

1i 2i 3i

++ !i2

!i1

Esercizio 12 (IV)

i1 =R3 f2 ! R2 f1 ! R3 f1R1R2 + R2R3 + R3R1

= 100 " 8! 200 " 4 !100 " 4200 " 200 + 200 "100 +100 " 200

A = !40080000

A = !5mA

i2 =R3 f1 ! R1 f2 ! R3 f2R1R2 + R2R3 + R3R1

= 100 " 4 ! 200 " 8!100 " 8200 " 200 + 200 "100 +100 " 200

A = !200080000

A = !25mA

i3 =R2 f1 + R1 f2

R1R2 + R2R3 + R3R1= 200 " 4 + 200 " 8200 " 200 + 200 "100 +100 " 200

A = 240080000

A = 30mA

#

$

%%%%

&

%%%%


1R 2R 3R

1f 2f

1i 2i 3i

++ !i2

!i1

•! Infine:

Esercizio 13

•! Una particella di carica elettrica q = 10 mC e massa m = 0.1 g si muove in presenza di un campo magnetico uniforme.

•! A un certo istante la particella passa per l’origine di una terna cartesiana di riferimento, con velocità , dove v0x = 3 m/s e v0y = 4 m/s.

•! Se, in tale terna cartesiana, il campo magnetico è , con B = 10 mT, trovare il raggio e le coordinate del centro della traiettoria circolare della particella.

!v

0= !v

0 xı̂ + !v

0 y!̂

ˆB Bk=!


Esercizio 13 (II)

•! Il campo magnetico è perpendicolare alla velocità:

•! Segue che:

•! La carica è mantenuta sulla traiettoria circolare da questa forza magnetica centripeta, per cui:

!v0= v

0xı̂ + v

0 y!̂

!B = Bk̂

!"#

$#% !

v0i!B = v

0xB ı̂ i k̂ + v

0 yB !̂ i k̂ =

!0 % !

v0&!B

!F = q!v !

!B = qvB

qvB = v2

rm ! qB = v

rm

r = vmqB

= 32 + 42 " 0.1"10#3

10#2 "10#2m = 5 m

!v0

yx

rC

O !F


Esercizio 13 (III)

•! Per trovare le coordinate del centro, osserviamo che tale centro C si trova nella direzione individuata dalla forza, a una distanza r dall’origine:

•! Occorre perciò trovare il versore di F: !r = rF̂

!F v0( ) = q!v0 !

!B = qdet

ı̂ !̂ k̂v0x v0 y 0

0 0 B

= qB v0 yı̂ " v0x !̂( )

F̂ v0( ) = qB v0 yı̂ " v0x !̂( )qBv0

=v0 yı̂ " v0x !̂

v0

rF̂ v0( ) = v0mqB

v0 yı̂ " v0x !̂

v0

=mqB

v0 yı̂ " v0x !̂( )44!Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!

!v0

yx

rC

O !F

Esercizio 13 (IV)

rF̂ v0( ) = mqBv0 yı̂ !v0x !̂( ) "

Cx =mv0 yqB

= 0.1#10!3 #4

10!2 #10!2m = 4 m

Cy = !mv0xqB

= ! 0.1#10!3 #3

10!2 #10!2m = !3 m

$

%&&

'&&


!v0

yx

rC

O !F

•! Avremo pertanto:

Esercizio 14

•! Un sfera costituita di materiale conduttore, di raggio r = 5 cm viene collegata, tramite un filo conduttore di resistenza R = 1 M", a un cavo dell’alta tensione, la cui f.e.m. varia nel tempo come:

con V0 = 100 kV e # = 2$%50 Hz.

•! Calcolare la massima intensità di corrente che scorre nel filo.

•! Calcolare inoltre la corrente efficace che scorre nel filo.

•! Calcolare infine lo sfasamento della corrente rispetto al potenziale del cavo.

V t( ) =V0 cos !t( )

V !

R

V t( ) =V0 cos !t( )

i t( )


Esercizio 14 (II)

•! La corrente che scorre nel filo è dovuta alla capacità non nulla della sfera conduttrice:

•! Il potenziale di tale sfera segue (a meno della caduta di tensione sulla resistenza R del filo) il potenziale del cavo di alta tensione.

•! Per modificare il proprio potenziale, la sfera deve continuamente cedere o acquistare carica elettrica.

•! La carica elettrica ceduta o acquistata dalla sfera passa attraverso il filo, determinando in esso una corrente elettrica i(t) variabile nel tempo.

C = 4!"0r = 4! # 8.85#10$12 F m # 5#10$2 m = 5.56 #10$12 F


V !

R

V t( ) =V0 cos !t( )

i t( )

Esercizio 14 (III)

•! La carica Q presente sulla sfera è data da:

•! La corrente i che scorre nel filo è data da:

•! Infine la caduta di tensione sul filo è data da:

•! Avremo perciò:

Q t( ) = C !V t( )

i t( ) = dQ

dtt( )

V ! "V = Ri

V ! "V = Ri = R dQdt

= RC d "Vdt

RC d "Vdt

+ "V t( ) =V t( ) =V0 cos #t( )48!Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!

V !

R

V t( ) =V0 cos !t( )

i t( )

Esercizio 14 (IV)

•! Utilizzando l’esponenziale complesso (prendendone la parte reale) invece del coseno si ha:

•! Cerchiamo una soluzione dell’equazione non-omogenea nella forma: RC d !V

dt+ !V t( ) =V0e

j" t

!V t( ) = !V0 ej"t # d !V

dt= j" !V0 e

j"t

RCj" !V0 ej"t + !V0 e

j"t =V0 ej"t

RCj" !V0 + !V0 =V0

!V0 =V0

1+ jRC"# !V t( ) = V0e

j"t

1+ jRC"# Q t( ) = CV0e

j"t

1+ jRC"

i t( ) = dQdt =j"CV0e

j"t

1+ jRC"=V0e

j"t

1j"C

+ R=V0e

j"t

R $ j"C

=V0e

j"t R + j"C

%&'

()*

R2 + 1" 2C 2


V !

R

V t( ) =V0 cos !t( )

i t( )

Esercizio 14 (V)

•! L’intensità di corrente ha perciò la forma:

i t( ) =V0 R + j

!C"#$

%&'

R2 + 1! 2C 2

e j! t

i t( ) = i0e j !t+"( ) = i0ej"( )e j!t #

i0 = i0ej"

tan" =$ i0e

j"( )% i0e

j"( ) =1

!CR

= 1!RC

&

'((

)((

i0 =V0 R + j

!C"#$

%&'

R2 + 1! 2C 2

V0 R ( j!C

"#$

%&'

R2 + 1! 2C 2

=V0

R2 + 1! 2C 2


V !

R

V t( ) =V0 cos !t( )

i t( )

Esercizio 14 (VI)

•! Tornando all’espressione trigonometrica:

•! La massima intensità è data da:

•! L’intensità efficace è data da:

i t( ) = i0 cos !t +"( )i t( ) = V0

R2 + 1! 2C 2

cos !t + arctan1

!RC#$%

&'(

imax =V0

R2 + 1! 2C 2

= 105

1012 + 1

2" # 50( )2 5.56 #10$12( )2A = 0.175 mA

ieff =22imax =

220.175 mA = 0.124 mA


V !

R

V t( ) =V0 cos !t( )

i t( )

Esercizio 14 (VII)

•! Infine, per quanto riguarda lo sfasamento, si ha:

! = arctan1

"RC= arctan

12# $ 50$106 $ 5.56 $10%12 =

= arctan 572( ) = 89.9°


V !

R

V t( ) =V0 cos !t( )

i t( )

http://campus.cib.unibo.it/2489/

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

Esercizio 1 Fisica Generale B - Benvenuto su AMS Campus -...

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