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10. Onde Elettromagnetiche e Vettore di Poynting

Fisica Generale B

http://campus.cib.unibo.it/2483/

April 20, 2011

Teorema di Poynting

•! Consideriamo una distribuzione di carica in movimento, in presenza di un campo elettrico e di un campo magnetico .

•! La carica in movimento è caratterizzata da: –! Una certa densità di carica elettrica ;

–! Una certa densità di massa ;

–! Una certa velocità .

•! La carica contenuta in un volume elementare dV è soggetta alla forza:

•! Il lavoro compiuto da tale forza per unità di tempo (potenza) vale perciò:

! !"r ,t( )

!m!"r ,t( )

!v!!r ,t( )

d!F = !

!E + ! !v "

!B( )dV

dP = d!F i !v = !

!E i !v + ! !v "

!B i !v( ) dV =

= ! !v i!E dV = !! i

!E dV

!v !!B i!v = !v ! !v i

!B = 0

V!!r

!v!!r ,t( ) !

B !!r ,t( ) ! !"r ,t( )dV

!m!"r ,t( )

!E !!r ,t( )

!E !!r ,t( )

!B !!r ,t( )

2!Domenico Galli – Fisica Generale B – 10. Onde Elettromagnetiche e Vettore di Poynting!

Teorema di Poynting (II)

•! Come si vede, il campo elettrico trasferisce energia alla carica mentre il campo magnetico non può trasferire energia alla carica.

–! Il campo magnetico non può tuttavia essere ignorato in quanto può contribuire, secondo la legge di Faraday, al campo elettrico complessivo.

•! Per il teorema delle forze vive, la potenza (lavoro per unità di tempo) trasferita alla carica elettrica deve eguagliare la derivata temporale dell’energia cinetica:

dL = dT

dP = d!F i !v = dL

dt=dTdt

=ddt

12!mv

2"#$

%&'dV


V!!r

!v!!r ,t( ) !

B !!r ,t( ) ! !"r ,t( )dV

!m!"r ,t( )

!E !!r ,t( )

Teorema di Poynting (III)

•! Allo stesso risultato si poteva pervenire direttamente, partendo dal II principio della dinamica:

•! Uguagliando le due espressioni per la potenza:

•! Ricordando la legge di Ampère-Maxwell:

d!F i!v = !mdV

m"

d !vdt!a"

"

#

$$$

%

&

'''i!v = !m

d !vdt

i!v dV =

ddt

12!mv

2"#$

%&'

dV

ddt

12!mv

2"#$

%&'dV = !! i

!EdV

!! "!B = µ0

!! + µ0#0

$!E$t

!! =

1µ0

!! "!B % #0

$!E$t


V!!r

!v!!r ,t( ) !

B !!r ,t( ) ! !"r ,t( )dV

!m!"r ,t( )

!E !!r ,t( )

dP = !! i!EdV

dP =ddt

12!mv

2"#$

%&'dV

(

)*

+*

Teorema di Poynting (IV)

•! Otteniamo:

•! Ricordando l’identità vettoriale:

si ha anche, per la legge di Faraday:

ddt

12!mv

2"#$

%&'dV =

1µ0

!( )!B * +0

,!E,t

"

#$%

&'i!EdV =

=1µ0

!( )!B i!EdV * +0

,!E,ti!EdV

!! i!a "!b( ) = !! " !a( )i !b #

!! "!b( )i !a

!! i!E "!B( ) = !! "

!E( )i !B # !! "

!B( )i !E = #

$!B$ti!B #

!! "!B( )i !E

!! "!B( )i !E = #

!! i!E "!B( ) # $

!B$ti!B


ddt

12!mv

2"#$

%&'dV = !! i

!EdV

!! =

1µ0

!( )!B * +0

,!E,t

Teorema di Poynting (V)

•! Sostituendo:

•! (Teorema di Poynting – forma locale)

ddt

12!mv

2"#$

%&'dV =

1µ0

!( )!B( )i !EdV * +0

,!E,ti!EdV =

=1µ0

*!( i!E )!B( ) * ,

!B,ti!B

"#$

%&'dV * +0

,!E,ti!EdV

ddt

12!mv

2"#$

%&'

dV +1µ0

!( i!E )!B( )dV +

1µ0

*!B*t

i!B dV + +0

*!E*t

i!E dV = 0

ddt

12!mv

2"#$

%&'+!( i!E )!B

µ0

+**t

12µ0

B2 +12+0 E2"

#$%

&'= 0


!! "!B( )i !E = #

!! i!E "!B( ) # $

!B$ti!B

Teorema di Poynting (VI)

•! Integrando sul volume e utilizzando il teorema di della divergenza (! è la superficie chiusa che delimita il volume V) si ha:

(Teorema di Poynting – forma integrale)

•! Il teorema di Poynting rappresenta la legge di conservazione dell’energia in elettromagnetismo.

ddt

12!mv

2 dVV

"#$"#$"#$

+!% i!E &!B

µ0dV

V

"

#$"

#$"

#$+

''t

12µ0

B2 + 12(0E

2)

*+,

-.dV

V

"

#$"

#$"

#$ = 0

ddt

12!mv

2 dVV

"#$"#$"#$

+!E %!B

µ0i n d&

&

""

#$"

#$+

''t

12µ0

B2 + 12(0E

2)

*+,

-.dV

V

"

#$"

#$"

#$ = 0


Teorema di Poynting (VII)

•! Per comprenderne il significato, consideriamo prima il caso particolare in cui i campi elettrico e magnetico sono nulli sulla superficie !. In tal caso si ha:

•! Questo significa che l’aumento dell’energia cinetica è uguale alla diminuzione dell’energia accumulata nei campi elettrico e magnetico.

ddt

12!mv

2 dVV

"#$"#$"#$

energia cinetica! "## $##

+%%t

12µ0

B2 +12&0E

2'

()*

+,dV

V

"

#$"

#$"

#$

energia presente nel volume V sottoforma di campi elettrico e magnetico

! "#### $####

= 0


Teorema di Poynting (VIII)

•! Nel caso più generale (campi elettrico e magnetico non nulli sulla superficie !):

il II termine rappresenta la quantità di energia che attraversa nell’unità di tempo la superficie ! che racchiude il volume V per mezzo dei campi elettrico e magnetico presenti sulla stessa superficie !.

ddt

12!mv

2 dVV

"#$"#$"#$

energia cinetica! "## $##

+%E %%B

µ0

i n d&

&

&"

#$"

#$

flusso di energiaelettromagnetica

attraverso la superficie &

! "## $##

+''t

12µ0

B2 +12(0E

2)

*+,

-.dV

V

"

#$"

#$"

#$

energia presente nel volume V sottoforma di campi elettrico e magnetico

! "#### $####

= 0


Teorema di Poynting (IX)

•! Il vettore:

è detto vettore di Poynting e rappresenta la densità del flusso di energia (energia che attraversa l’unità si superficie nell’unità di tempo).

•! Si comprende quindi come il campo elettromagnetico sia un ente fisico immateriale che si comporta in maniera simile a un corpo materiale, trasportando energia a una velocità pari a c.

•! Si potrebbe anche mostrare che il campo elettromagnetico trasporta anche quantità di moto e momento angolare.

!S =

1µ0

!E !!B( )


Teorema di Poynting (X)

•! Le particelle elettricamente cariche in moto accelerato (che variano la propria energia cinetica) possono quindi trasferire energia al campo elettromagnetico, il quale la trasporta anche a grandi distanze.

•! L’esistenza delle onde elettromagnetiche che si propagano a grandissime distanze è la conferma più spettacolare di quanto abbiamo visto: –! Gli elettroni sul dipolo dell’antenna della TV, che si trova sul tetto di

casa, sono messi in movimento dal campo elettromagnetico generato dall’antenna trasmittente o dal ripetitore, che si trova a parecchi chilometri di distanza.


Esempio: Carica di un Condensatore

•! Consideriamo un condensatore che si carica lentamente.

•! Tra le armature è presente un campo elettrico crescente con direzione perpendicolare alle armature. L’energia accumulata nel condensatore vale:

•! L’aumento di energia per unità di tempo vale:

•! L’energia non si può creare entro il condensatore.

•! Come entra l’energia nel condensatore?

!S!S

!E

!E

!B

+

!i

!B

E = ue !r 2d( ) = 1

2"0 E2 !r 2d( )

dEdt

=12!0 "r 2d( )dE

2

dt= !0 "r 2d( )E dEdt > 0


Esempio: Carica di un Condensatore (II)

•! Il campo elettrico variabile nel tempo (corrente di spostamento), per la legge di Ampère-Maxwell crea un campo magnetico con rotore proporzionale alla derivata temporale di E, dunque parallelo alle armature e tangente a una circonferenza centrata sull’asse del condensatore.

•! Per trovare il campo magnetico sul bordo del condensatore, consideriamo la circuitazione lungo la linea punteggiata in figura:

2!r B = "0µ0dEdt

!r 2( )B =

"0µ0r2

dEdt

!B id!l

l"! = µ0

!!0#i n dS

Sl

"#$"#$

0$ %&& '&&

+ µ0%0ddt

!E i n dS

Sl!!


!S!S

!E

!E

!B

+

!i

!B

Esempio: Carica di un Condensatore (III)

•! Poiché E è perpendicolare a B, il vettore di Poynting ha norma:

ed è parallelo alle armature e con direzione radiale entrante verso l’asse del condensatore.

•! Il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale del condensatore è pari a:

ed è perciò uguale alla variazione dell’energia accumulata nel condensatore.

•! Il flusso del vettore di Poynting attraverso le basi del condensatore è invece nullo.

S =

BEµ0

=1µ0

!0µ0r2

dEdt

"

#$%

&'E = !0

r2

E dEdt

S 2!rd( ) = "0

r2

E dEdt

2!rd( ) = "0 !r 2d( )E dEdt

=dEdt


!S!S

!E

!E

!B

+

!i

!B

Esempio: Carica di un Condensatore (IV)

•! Poiché il vettore di Poynting è parallelo alle armature, segue che, contrariamente a quanto si penserebbe intuitivamente, l’energia che si accumula nel condensatore non vi entra attraverso i fili.

•! L’energia entra nel condensatore lateralmente, passando tra le due armature.


!S!S

!E

!E

!B

+

!i

!B

Esempio: Dissipazione di un Resistore

•! Consideriamo ora un resistore, di resistenza R, percorso da corrente. •! Supponiamo che il resistore sia costituito da un cilindretto

di carbone di raggio r e lunghezza l. •! Per la legge di Joule, il resistore dissipa la potenza:

•! L’energia non si può creare entro il resistore: –! In qualche modo l’energia deve entrare nel resistore

dall’esterno. –! Ci deve essere un certo flusso di energia dall’esterno verso

l’interno del resistore.

•! Per la legge di Ohm è presente un campo elettrico E entro il resistore, diretto come la densità di corrente:

+

!i

!S

!S

!E

!E

!B

!B


P = Ri2

E =!Vl

=Ril

Esempio: Dissipazione di un Resistore (II)

•! La legge di Ampère ci dice che nel resistore è presente anche un campo magnetico, dovuto alla corrente i:

•! Prendendo come linea chiusa l la circonferenza di raggio r sulla superficie del resistore si ha:

•! Il vettore di Poynting è diretto radialmente verso l’interno del resistore, e il campo B è perpendicolare a E, per cui:

+

!i

!S

!S

!E

!E

!B

!B


!B id!l

l"! = µ0i

2!r B = µ0i

B =µ0i2!r

S = EBµ0

=1µ0

Ril

µ0i2!r

=Ri2

2!rl

Esempio: Dissipazione di un Resistore (III)

•! Il flusso del vettore di Poynting attraverso le basi del cilindretto di carbone è nullo.

•! Il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale del resistore è invece pari a:

ed è perciò uguale alla potenza dissipata nel resistore.

•! Contrariamente a quanto si penserebbe intuitivamente, l’energia che si dissipa nel resistore non vi entra attraverso i fili.

•! L’energia entra nel resistore lateralmente, passando attraverso la superficie laterale del cilindretto di carbone.

+

!i

!S

!S

!E

!E

!B

!B


S 2!rl( ) = Ri2

2!rl2!rl( ) = Ri2 S = Ri2

2!rl

Esempio: Dissipazione di un Resistore (IV)

•! Intuitivamente avremmo detto che gli elettroni ricevono la loro energia per il fatto di essere spinti lungo il filo, perciò l’energia dovrebbe fluire lungo il filo.

•! Invece la teoria ci dice che, in realtà, gli elettroni sono spinti da un campo elettrico generato da cariche lontane e che essi ricevono da questo campo l’energia che serve loro per generare calore.

•! L’energia fluisce dalle cariche lontane attraverso un’ampia regione di spazio e finisce nel resistore.


+

!i

!S

!S

!E

!E

!B

!B

Esempio: Trasferimento di Energia Lungo una Linea Elettrica

•! Considerando i vettori campo elettrico e campo magnetico, si vede facilmente che in un cavo coassiale l’energia fluisce soltanto nel volume compreso tra il filo interno e il conduttore esterno.

•! In una coppia di fili che corrono paralleli l’energia fluisce invece in tutto lo spazio attorno ai fili.

i

!S

!E!B

!B

+

+

+ +

++

+ +

+

+

!

!

+!

!+

+!

!!

!+

+

+

!B

!!!

!!!! ! !

!!

!E


Onde Elettromagnetiche

•! Consideriamo le equazioni di Maxwell nel vuoto, in assenza di cariche elettriche e di correnti elettriche:

•! Ricordando l’identità vettoriale:

si ha:

!! i!E = 0 Gauss( )

!! i!B = 0 Gauss( )

!! "!E = #

$!B$t

Faraday-Lenz( )!! "!B = µ0%0

$!E$t

Ampére-Maxwell( )

&

'

(((

)

(((

!! "

!! " !a( ) = !! !! i !a( ) # !2 !a !2 !a =

!! i!!!a( )

!!!! i!E( )

0"#$

" !2!E =!! #

!! #!E( ) = !! # "

$!B$t

%&'

()*= "

$$t

!! #!B( )


Onde Elettromagnetiche (II)

•! Dunque:

•! Analogamente per il campo magnetico:

!"2!E = !

##t

!" $!B( ) = !

##t

µ0%0#!E#t

&'(

)*+= !µ0%0

1 c2"

#2!E

#t2

"2!E =

1c2

#2!E

#t2

!!!! i!B( )

0"#$

" !2!B =!! #

!! #!B( ) = !! # µ0$0

%!E%t

&'(

)*+= µ0$0

%%t

!! #!E( )

"!2!B = µ0$0

%%t

!! #!E( ) = µ0$0

%%t

"%!B%t

&'(

)*+= "µ0$0

1 c2%

%2!B

%t2

!2!B =

1c2

%2!B

%t2


Onde Elettromagnetiche (III)

•! Le due equazioni vettoriali:

sono equazioni standard del moto ondoso e suggeriscono l’esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano nel vuoto con velocità:

!2!E =

1c2

"2!E

"t2

!2!B =

1c2

"2!B

"t2

c = 1

!0µ0

(vuoto)


Onde Elettromagnetiche (IV)

•! In un mezzo materiale, in assenza di cariche e di correnti libere, le equazioni di Maxwell si scrivono:

dove ! e µ sono dette costante dielettrica del mezzo e permeabilità magnetica del mezzo:

e !r e µr sono dette costante dielettrica relativa e permeabilità magnetica relativa.

!! i!E = 0 Gauss( )!

! i!B = 0 Gauss( )

!! "!E = #

$!B$t

Faraday-Lenz( )!! "!B = µ% $

!E$t

Ampére-Maxwell( )

&

'

(((

)

(((

! = !r!0µ = µrµ0


Onde Elettromagnetiche (V)

•! In un mezzo materiale, in assenza di cariche e di correnti libere, le equazioni d’onda si scrivono:

!2!E =

"rµrc2

#2!E

#t2

!2!B =

"rµrc2

#2!B

#t2

!2!E = "µ #2

!E

#t2= "0µ0

1/c2""rµr

#2!E

#t2="rµrc2

#2!E

#t2

!2!B = "µ #2

!B

#t2= "0µ0

1/c2#"rµr

#2!B

#t2="rµrc2

#2!B

#t2

(mezzo materiale)


Onde Elettromagnetiche (VI)

•! Si tratta di onde che si propagano con velocità:

•! Ciascuna delle 3 componenti del campo elettrico e delle 3 componenti del campo magnetico (6 componenti in tutto) soddisfa l’equazione d’onda:

(equazione d’onda o equazione di d’Alambert) dove nel vuoto si ha v = c e in un mezzo materiale si ha v < c.

v =

1!µ

=c!rµr

< c

!2" =

1v 2

#2"#t2 , " = Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz


Onde Piane

•! Se

è il vettore posizionale di un generico punto P nello spazio e

è un versore fisso, ogni soluzione dell’equazione d’onda

che abbia la forma:

è detta onda piana, in quanto, in ogni istante, " è costante su ogni piano di equazione: , perpendicolare al versore .

!r = P !O" !"""""

= xı + y! + zk

s = sxı + sy ! + sz k

!2" =

1v 2

#2"#t2 , " = Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz

! = ! !r i s,t( ), ! = Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz

ˆ costr s !!i

s

s

s!r PO


Onde Piane (II)

•! Se scegliamo una nuova terna cartesiana O"#$, con $ in direzione di , si ha:

s

! = !r i s = xsx + ysy + zsz" = " ! ,t( )#"#x

=#"#!

#!#x

=#"#!sx $

##x

= sx##!

#2"#x2

=##x

#"#x

= sx##!

sx#"#!

%&'

()*= sx

2 #2"#! 2

+2" = sx2 #

2"#! 2

+ sy2 #

2"#! 2

+ sz2 #

2"#! 2

= s21"#2"#! 2

=#2"#! 2

O!

s!r P


Onde Piane (III)

•! L’equazione d’onda diviene:

•! Per risolvere l’equazione, eseguiamo il cambiamento di variabili :

!2"!# 2

=1v 2

!2"!t2

! " vt = p! + vt = q#$%&&!

=&p&!

&&p

+&q&!

&&q

=&&p

+&&q

&&t

=&p&t

&&p

+&q&t

&&q

= "v&&p

+ v&&q

#

$''

%''

! ,t( )" p,q( )


O!

s!r P

Onde Piane (IV)

!2

!" 2=

!!"

!!"

#$%

&'(=

!!p

!!p

+!!q

#$%

&'(+

!!q

!!p

+!!q

#$%

&'(=

!2

!p2+ 2

!2

!p!q+

!2

!q2

!2

!t2=

!!t

!!t

#$%

&'(= )v

!!p

)v!!p

+ v!!q

#$%

&'(+ v

!!q

)v!!p

+ v!!q

#$%

&'(=

= v 2!2

!p2) 2v 2

!2

!p!q+ v 2

!2

!q2

!2

!" 2#1v 2

!2

!t2=

!2

!p2+ 2

!2

!p!q+

!2

!q2#

!2

!p2# 2

!2

!p!q+

!2

!q2$

%&'

()= 4

!2

!p!q


•! Dunque:

O!

s!r P

Onde Piane (V)

•! L’equazione d’onda diviene:

•! Scrivendola nella forma:

si ha che non deve dipendere da q:

!2"!p!q

= 0

!!q

!"!p

#$%

&'(= 0

!" !p

!"!p

= f p( )

! p,q( ) = f p( ) d p" = !1 p( )primitivadi f p( )!"#

+ !2 q( )

costante diintegrazione

(non puòcontenere lavariabile p)!"#


O!

s!r P

Onde Piane (VI)

•! L’integrale generale è perciò:

dove "1 e "2 sono due funzioni arbitrarie. •! Per comprenderne il significato, consideriamo prima la

parte: . Si ha che:

ovvero l’ampiezza al tempo t alla coordinata $ è uguale all’ampiezza al tempo t + % alla coordinata $ + v%.

! = !1 p( ) +!2 q( ) = !1 " # vt( ) +!2 " + vt( ) == !1

!r i s # vt( ) +!2

!r i s + vt( )

! !r i s,t( ) = !1

!r i s " vt( ) +!2

!r i s + vt( )

! " ,t( ) = !1 " # vt( )

! " + v# ,t + #( ) = !1 " + v# $ v t + #%& '(( ) = !1 " $ vt( ) = ! " ,t( ) )#

(onde piane)


Onde Piane (VII)

•! In altre parole "1 rappresenta una perturbazione che si propaga con velocità v nella direzione positiva dell’asse ! (onda progressiva).

•! Consideriamo ora la parte: . Si ha che:

ovvero l’ampiezza al tempo t alla coordinata $ è uguale all’ampiezza al tempo t + % alla coordinata $ & v%.

•! In altre parole "2 rappresenta una perturbazione che si propaga con velocità v nella direzione negativa dell’asse ! (onda regressiva).

! " ,t( ) = !2 " + vt( )

! " # v$ ,t + $( ) = !2 " # v$ + v t + $%& '(( ) = !2 " + vt( ) = ! " ,t( ) )$


Onde Piane (VIII)

! " ,t( ) = !1 " # vt( ) +!2 " + vt( )

! " ,t( ) = !1 " # vt( )! " + v$ ,$( ) = ! " ,0( )

! " ,t( ) = !2 " + vt( )! " # v$ ,$( ) = ! " ,0( )

0t =

t !=

!v

!

!

!

!

!1 "( )

!1 " # vt( )!v 0t =

t !=

!!

!

!2 "( )

!

!2 " + vt( )


Onde Piane (IX)

•! Riassumendo, per le onde piane, l’integrale generale si scrive:

dove "1 e "2 sono due funzioni arbitrarie. •! "1 è una perturbazione che si propaga con velocità v nella direzione

positiva dell’asse $ (onda progressiva). •! "2 è una perturbazione che si propaga con velocità v nella direzione

negativa dell’asse $ (onda regressiva).

! !r i s,t( ) = !1

!r i s " vt( )onda progressiva" #$$ %$$

+!2

!r i s + vt( )onda regressiva" #$$ %$$ (onde piane)


Onde Sferiche

•! Ogni soluzione dell’equazione d’onda

che abbia la forma:

è detta onda sferica.

•! Si può provare che in coordinate sferiche il laplaciano si scrive:

!2" =1v 2

#2"#t2

, " = Ex ,Ey ,Ez ,Bx ,By ,Bz

! = ! r,t( ) dove r = x2 + y2 + z2

!2" =#2"#x2

+#2"#y2

+#2"#z2

=

=1r#2

#r 2r"( ) + 1

r 2 sin$##$

sin$ #"#$

%&'

()*+

1r 2 sin2$

#2"#+ 2


Onde Sferiche (II)

•! Poiché " non dipende né da ' né da (, in coordinate sferiche l’equazione d’onda diventa:

•! La soluzione, per quanto abbiamo visto, è:

!2" =1v 2

#2"#t2

1r#2

#r 2r"( ) = 1

v 2#2"#t2

$#2

#r 2r"( ) = 1

v 2#2

#t2r"( )

r! r,t( ) = !1 r " vt( ) +!2 r + vt( )

! r,t( ) = !1 r " vt( )

r+!2 r + vt( )

r(onde sferiche)


Onde Sferiche (III)

•! Riassumendo, per le onde sferiche, l’integrale generale si scrive:

dove "1 e "2 sono due funzioni arbitrarie.

•! Il primo termine rappresenta una perturbazione che si muove nella direzione di r crescente (onda divergente);

•! Il secondo termine rappresenta una perturbazione che si muove in direzione di r decrescente (onda convergente).

! r,t( ) = !1 r " vt( )r

onda divergente! "# $#

+!2 r + vt( )

ronda convergente! "# $#


(onde sferiche)

Onde Sferiche e Onde Piane

•! Un’onda sferica divergente può essere generata da una sorgente puntiforme di luce.

•! Un’onda piana può essere ottenuta, a partire da un’onda sferica, come vedremo, utilizzando una lente convergente avente il fuoco coincidente con la sorgente puntiforme.

•! Una piccola porzione del fronte di un’onda sferica, a grande distanza dalla sorgente, è con buona approssimazione un’onda piana. !

!"#$%&'$()*+$#),$(-$".)

!"#$/)0"$

1$".$


Onde Piane Monocromatiche

•! Se "1 e "2 sono funzioni sinusoidali dei loro argomenti, l’onda è detta onda monocromatica o onda armonica o ancora onda sinusoidale.

•! Un’onda monocromatica piana progressiva è descritta dalla funzione d’onda sinusoidale:

•! ) è detta pulsazione o frequenza angolare dell’onda e # = )/2* è detta frequenza dell’onda.

! !r ,t( ) = ! !r i s,t( ) = Acos "!r i sv

# t$%&

'()+ *

+

,-

.

/0

$


Onde Piane Monocromatiche (II)

•! Osserviamo che, definiti:

si ha:

•! La grandezza T è detta periodo dell’onda e rappresenta il periodo temporale dell’onda.

•! La grandezza " è detta lunghezza d’onda e rappresenta il periodo spaziale dell’onda.

! !r i s,t + T( ) = ! !r i s,t( )! !r i s + ",t( ) = ! !r i s,t( )

! !r ,t( ) = ! !r i s,t( ) = Acos "

!r i sv

# t$%&

'()+ *

+

,-

.

/0

T =2!"

=1#, $ = v

2!"

= vT =v#

“vu”: velocità

“nu greca”: frequenza


Onde Piane Monocromatiche (III)

•! Si definisce inoltre lunghezza d’onda ridotta la lunghezza d’onda che corrisponde a un’onda monocromatica della stessa frequenza che si propaghi nel vuoto:

•! Il rapporto:

è detto indice di rifrazione del mezzo materiale in cui si propaga l’onda. L’ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che nei mezzi trasparenti alle onde elettromagnetiche µr $ 1 (sostanze non magnetiche).

!0 = c 2"

#= cT =

cv! = n!


n =

cv= !rµr " !r

Onde Piane Monocromatiche (IV)

•! Si definisce numero d’onda spettroscopico il numero di lunghezze d’onda, nel vuoto, per unità di lunghezza:

•! Si definiscono invece numero d’onda nel vuoto e numero d’onda le grandezze:

! =1"0

=#c

k0 = 2!" =2!#0

=$c

k = nk0 =2!#

=n$c

=$v


Onde Piane Monocromatiche (V)

•! Si definiscono infine vettore d’onda nel vuoto e vettore d’onda le grandezze vettoriali:

•! Utilizzando le grandezze così definite, si può scrivere la funzione d’onda di un’onda monocromatica piana progressiva nelle forme:

!k0 = k0s!k = k s = n

!k0

! !r ,t( ) = Acos "!r i sv

# t$%&

'()+ *

+

,-

.

/0 = Acos 21

!r i s2

#tT

$%&

'()+ *

+

,-

.

/0 =

= Acos!k i !r #"t + *( ) = Acos k !r i s # vt( ) + *+, ./


Onde Piane Monocromatiche (VI)

•! La funzione d’onda:

rappresenta un’onda piana monocromatica.

•! Raramente osserviamo in natura un’onda monocromatica ovvero un’onda contenente una sola frequenza.

•! Un caso che ci si avvicina molto è costituito dal giallo del sodio, che si può osservare mettendo del sale da cucina sulla fiamma di un fornello. Tale giallo è costituito da 2 lunghezze d’onda molto vicine: 589.6 nm e 589.0 nm, che vengono chiamate righe D1 e D2 del sodio.

! !r ,t( ) = Acos "!r i sv

# t$%&

'()+ *

+

,-

.

/0


Spettro di un’Onda: Luce Policromatica e Luce Bianca

•! In generale la luce che osserviamo, sia essa bianca o colorata (policromatica), è data dalla sovrapposizione di molte frequenze diverse. La funzione d’onda può essere perciò scritta come ("m è una costante):

•! La funzione A ()), che associa a ogni frequenza angolare l’ampiezza della componente di tale frequenza angolare nell’onda considerata, viene detta spettro di ampiezza dell’onda.

•! La funzione +()) viene detta invece spettro di fase dell’onda.

! !r ,t( ) = !m

2"A #( ) cos #

!r i sv

$ t%&'

()*+ + #( ),

-./01d#

0

2

345


Analisi Spettrale

•! Un’onda policromatica può essere separata nelle sue componenti mediante l’analisi spettrale, che può essere effettuata utilizzando dispositivi che separano spazialmente le componenti di colore diverso.

•! Un dispositivo per l’analisi spettrale è costituito di un prisma di vetro, il cui indice di rifrazione varia con la frequenza (dispersione dell’onda elettromagnetica).

•! Un altro dispositivo per l’analisi spettrale è il reticolo di diffrazione, che utilizza il fenomeno dell’interferenza per effettuare tale decomposizione.


Analisi Spettrale (II)

•! Analisi spettrale di un’onda policromatica mediante un prisma di vetro, utilizzando il fenomeno della dispersione.


Spettro della Luce Bianca

•! Solitamente si intende per luce bianca una luce il cui spettro è simile allo spettro della luce solare.

•! Tuttavia l’occhio umano ha capacità di adattamento per cui, dopo un certo periodo di permanenza alla luce artificiale, riconosce tale luce artificiale come luce bianca, anche se il suo spettro è diverso dallo spettro della luce solare.

•! La differenza tra gli spettri della luce bianca solare e della luce bianca artificiale è però evidente nella fotografia, poiché la pellicola fotografica non possiede tale capacità di adattamento.


Spettro della Luce Bianca (II)

•! Usando le pellicole per luce diurna con illuminazione a incandescenza si osserva sulla fotografia una dominante gialla.

•! Usando le pellicole per luce diurna con illuminazione fluorescente si osserva una dominante verdastra.

•! Usando le pellicole per luce artificiale con illuminazione solare si osserva sulla fotografia una dominante blu-violetto.

•! Telecamere e macchine fotografiche digitali hanno il controllo del “bilanciamento del bianco” (spesso automatico) che adatta la sensibilità ai colori al tipo di illuminazione.


Spettro della Luce Bianca (III)

•! Spettri di tre diversi tipi di luce bianca.


Spettro della Luce Bianca (IV)

•! Nello spettro della luce diurna (solare) i colori presenti con la massima intensità sono il giallo e il verde. Gli estremi della banda (rosso e violetto) sono un po’ attenuati.

•! Nella luce di una lampada a incandescenza il colore presente con la massima intensità è il rosso. Gli altri colori sono tanto più attenuati quanto più è piccola la lunghezza d’onda.

•! Nella luce di un tubo fluorescente sono presenti picchi intensi in corrispondenza di alcuni colori (verde, blu). L’occhio umano non se ne accorge. La pellicola fotografica sì.


Spettro della Luce Colorata

•! Salvo rare eccezioni (p.es.: giallo del sodio, laser) anche la luce colorata non è monocromatica.

•! Per esempio la luce verde è data dalla sovrapposizione di tante onde monocromatiche (di colore più o meno verdastro) di lunghezza d’onda compresa tra 450 nm e 550 nm.


Sintesi Additiva e Sottrattiva dei Colori

•! Un procedimento molto utilizzato nelle apparecchiature per fotografia e video è la sintesi dei colori, mediante la quale si ottiene un grandissimo numero di colori diversi a partire da 3 colori fondamentali.

•! La sintesi additiva si ottiene sovrapponendo con peso diverso la luce di 3 colori fondamentali (rosso, verde, blu). La sintesi additiva viene utilizzata, per esempio, nei monitor dei televisori e dei computer.

•! La sintesi sottrattiva si ottiene sottraendo successivamente dalla luce bianca (p.es. con vetri colorati sovrapposti), con peso diverso, 3 colori fondamentali (giallo, magenta, ciano). Viene utilizzata ampiamente nei processi fotografici.


Sintesi Additiva e Sottrattiva dei Colori (II)

sintesi additiva sintesi sottrattiva


Sintesi Additiva e Sottrattiva dei Colori (III)

sintesi additiva sintesi sottrattiva


Sintesi Additiva e Sottrattiva dei Colori (III)

Sintesi additiva su schermi TV/PC

Immagine su schermo computer con sintesi additiva


Sintesi Additiva e Sottrattiva dei Colori (IV)

•! I 3 colori fondamentali utilizzati nelle sintesi additiva e sottrattiva non sono colori monocromatici.

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http://campus.cib.unibo.it/2483/

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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