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1. Elettrostatica

Fisica Generale B

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April 20, 2011

Lampi, Tuoni e Fulmini

•! Alcuni fenomeni elettrici e magnetici sono noti dai tempi antichi.

•! Lampi, tuoni e fulmini erano attribuiti alla mano del dio Zeus (Giove).

2!Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!

Lampi, Tuoni e Fulmini (II)

•! Oggi sappiamo che questi fenomeni sono dovuti all’accumulo di cariche elettriche all’interno delle nuvole.


Triboelettricità

•! Già ai tempi di Talete (VI secolo a.C.) era noto che alcuni materiali, come l’ambra (in greco !"#$%&'(, electron), una volta strofinati con seta o con lana, attirano corpi sufficientemente leggeri (triboelettricità).

•! Tuttavia le prime ricerche scientifiche sull’elettricità iniziarono alla fine del XVI secolo, quando Wiliam Gilbert studiò la relazione tra elettricità statica e magnetismo e Benjamin Franklin provò la natura elettrica dei fulmini con il famoso esperimento dell’aquilone.


Triboelettricità (II)

•! Strofinando una bacchetta di ambra, ebanite o vetro con un panno di lana o seta, essa acquista la proprietà di attrarre corpi leggeri, come pezzetti di carta.

•! Per osservare meglio tale attrazione si può utilizzare un pendolo costituito di un frammento di midollo di sambuco, appeso a un filo di seta.

•! Lo stato di elettrizzazione si comunica da un corpo a un altro per contatto: toccando con una bacchetta elettrizzata un pezzo di ambra o di ebanite, questo si elettrizza a sua volta.

•! Se si tocca con la bacchetta elettrizzata il pendolino, successivamente questo è respinto dalla bacchetta.


Triboelettricità (III)

•! Una volta elettrizzato il pendolino con l’ambra o l’ebanite, si può osservare che bacchette di ambra o di ebanite elettrizzate respingono il pendolino, mentre bacchette di vetro elettrizzato attraggono il pendolino. Questo mostra l’esistenza di due diversi stati di elettrizzazione: l’elettrizzazione resinosa o negativa e l’elettrizzazione vetrosa o positiva.

•! Il panno con cui si strofina la bacchetta risulta carico con segno opposto rispetto alla bacchetta.

•! Lo stato di elettrizzazione può essere attribuito alla carica elettrica. Lo strofinamento causa un accumulo di carica positiva da una parte (p. es. bacchetta) e un accumulo di carica negativa dall’altra (p. es. panno).


Triboelettricità (IV)

•! Quando si riceve una scarica elettrica scendendo dall’auto con la suola di gomma alle scarpe, si sperimenta la triboelettricità. –! Lo strofinamento dei vestiti sul sedile crea un accumulo di cariche

di un certo segno sui vestiti e di segno opposto sul sedile. Le suole di gomma impediscono che la carica venga ceduta per contatto.

–! Quando accidentalmente si tocca la carrozzeria con la mano, la carica in eccesso viene ceduta per contatto, generando una corrente elettrica di alta tensione (~30000 V/cm) che si percepisce con fastidio.


La Forza Elettromagnetica nella Fisica Moderna

•! Oggi sappiamo che la forza elettromagnetica è una delle 4 forze fondamentali della natura: 1.! Forza gravitazionale; 2.! Forza nucleare debole; 3.! Forza elettromagnetica; 4.! Forza nucleare forte.

•! Ogni altra forza conosciuta (con eccezione delle forze di inerzia) ha origine, a livello microscopico, in una di queste 4 forze.


La Forza Elettromagnetica nella Fisica Moderna (II)

•! La forza elettromagnetica è la forza dominante nel mondo fisico che conosciamo: –! Tiene uniti gli elettroni al nucleo negli atomi. –! Tiene uniti gli atomi nelle molecole; –! È all’origine delle forze elastiche; –! È all’origine delle forze di tensione delle funi; –! È all’origine delle forze di attrito; –! È all’origine delle forze di resistenza; –! È all’origine delle forze di tensione superficiale dei liquidi; –! È all’origine delle forze di urto; –! È all’origine delle reazioni vincolari.


La Forza Elettromagnetica nella Fisica Moderna (III)


•! Non hanno origine elettromagnetica poche forze comunemente note, tra cui: –! La forza peso (forza gravitazionale); –! La forza che mantiene i pianeti sulle loro orbite (forza

gravitazionale); –! La forza che tiene uniti i quark nei nuclei degli atomi

(forza nucleare forte).

La Composizione della Materia

molecola

atomo

nucleo elettrone

protoneneutrone

quark

10 cm!8

10 cm!12

10 cm!13

10 cm!13

(<10 cm)!18


I Costituenti della Materia: le Particelle Elementari (Fermioni)

12!Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!1 MeV/c2 = 1.783 ! 10–30 kg

Q = 23 e Q = ! 1

3 e

u d e !e

c s µ"!µ"

t b #"!#"

elettrone up down neutrino elettronico

neutrino muonico

neutrino tauonico

muone

tauone

charm strange

top bottom

m = 0

m = 0

m = 0

m = 0.5 MeV/c2 m = 8 MeV/c2 m = 15 MeV/c2

m = 170000 MeV/c2 m = 4500 MeV/c2

m = 106 MeV/c2

m = 1800 MeV/c2

m = 1600 MeV/c2 m = 300 MeV/c2

leptoni quark

Esistite subito dopo il Big Bang. Ora presenti nei raggi cosmici e negli acceleratori

Q = !e

Materia ordinaria

1 e = 1.602 ! 10–19 C

L’Interazione


•! Le forze fondamentali sono attribuite allo scambio di particelle mediatrici (bosoni).

•! Per esempio la repulsione tra due cariche elettriche positive è attribuita allo scambio di particelle mediatrici, dette fotoni.

Particella carica (p.es. elettrone)

Particella mediatrice (p.es. fotone)

Bosoni, Mediatori delle Forze

gravitone

bosoni intermedi

fotone

gluone

Intensità della forzaa piccola distanza

(10 cm)!13

Forza e raggiod'azione

gravitàinfinito

interazione debole10 cm

!16

elettromagneticainfinito

interazione forte10 cm

!13 1

10!2

10!13

10!38

tiene uniti i quark nei protoni, neutroni, ecc.libera energia nelle reazioni nucleari

portatore della forza elettromagnetica,costituisce luce, onde radio, raggi X, ecc.

responsabili di alcune forme di radioattività

responsabile del peso dei corpi


Forza Nucleare Forte

Lo scambio di gluoni (g) tiene uniti i 3 quark (u, u, d) nei protoni, nonostante i 2 quark u abbiano entrambi carica positiva (la forza elettromagnetica li allontanerebbe).

Forze Fondamentali e Bosoni Mediatori


•! Tabella riassuntiva delle 4 forze fondamentali:

Particella scambiata (bosone)

Gravitone G

Bosoni vettori intermedi W+, W–, Z0

Fotone "

Gluoni g

Raggio d’azione # 10$16 cm # 10$13 cm

Intensità a piccola distanza

(10!13 cm)

10$38 10$13 10$2 1

Dagli Atomi…

# 6 4 ( 3 - % 5 ? #$ ## #6 #4 #( #3 #- #% #5

#

6

4

(

3

-

%

&#

@=

<*

U

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A'

H/

4

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4%

33

5%

6

( 3 - % 5 ? #$

#6 #4 #( #3 #- #% #5

6$ 6# 66 64 6( 63 6- 6% 65 6? 4$ 4# 46 44 4( 43 4-

45 4? ($ (# (6 (4 (( (3 (- (% (5 (? 3$ 3# 36 34 3(

3- %6 %4 %( %3 %- %% %5 %? 5$ 5# 56 54 5( 53 5-

55 #$( #$3 #$- #$% #$5 #$? ##$ ### ##6 ##4 ##( ##3 ##- ##% ##5

+,

QO

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Q2

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90

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ML

AK

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AL

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.*

IL

:T

C0J

A < G H

&,

<,

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N,

!L

C02

E=

.,

EL

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C0D

)

9'

E"

+=

C01

E

E,

:,

)2

C0S

AT

+/

I

9J

C0'

@*LJ*L=K=

9JJ=L=K=

3% 35 3? -$ -# -6 -4 -( -3 -- -% -5 -? %$ %#

5? ?$ ?# ?6 ?4 ?( ?3 ?- ?% ?5 ?? #$$ #$# #$6 #$4

@* A, )/ <K )B

9P :S )* C <1

EB

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9B

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AB

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+V

78

A;

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>/

HB

:B

QK

F"

<2

@0

@/

./0112),/=2K2


•! Tavola Periodica degli Elementi (Dimitri Mendeleev, 1869):

…alle Particelle Elementari

•! Particelle del Modello Standard (1970): –! Quark –! Leptoni –! Bosoni (forze);

•! Il Fotone è il bosone che trasporta la forza elettromagnetica.


!$4

!"#$%&'

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L’Interazione Elettromagnetica

•! I Diagrammi di Feynman rappresentano graficamente le interazioni microscopiche elementari tra particelle e indica il procedimento di calcolo per determinarne le caratteristiche fisiche (ampiezza di transizione, sezione d’urto).

•! Nell’interazione elettromagnetica, due elettroni (e ) si scambiano un fotone (!).


!

" e−

e−e−

e−

Diagramma di Feynman

e$

e$

!F

!F

Traiettorie

Legge di Coulomb

•! Si può utilizzare una bilancia di torsione, analoga a quella di Cavendish, per misurare l’intensità della forza elettrica tra due particelle puntiformi cariche. Si trova che:

con:

dove c è la velocità della luce nel vuoto e C è l’unità di misura della carica elettrica nel Sistema Internazionale, chiamata Coulomb.

1P 2P

1S

2S

1P 2P

u

1P2Pr


!F12 =

14!"0

q1 q2

r 2 r = 14!"0

q1 q2

r3

!r , !r = P2 # P1

14!"0

= 10#7 c2 kg mC#2 = 8.99 $109 Nm2C#2

kg m3s#2C#2!"# $#

Legge di Coulomb (II)

•! Perciò #0 (costante dielettrica del vuoto) vale:

•! Nel Sistema Internazionale, per ragioni pratiche, l’unità di base non è quella di carica ma quella di intensità di corrente (Ampère, A) a cui il Coulomb è legato dalla semplice relazione:

•! Le dimensioni di #0 sono perciò (essendo I la corrente):

!0 =

107 kg"1 m"1 C2

4#c2 = 8.85$10"12 N"1m"2C2

kg"1 m"3s2C2! "# $# = 8.85$10"12 F m

!0"# $% = M &1L&3T 4 I 2"# $%

1A =

1C1s

Q!" #$ = TI!" #$

Farad, vedi prossimo capitolo


Legge di Coulomb (III)

•! Confrontando la legge di Coulomb:

•! Con la legge di gravitazione di Newton:

•! si può osservare che esse hanno la stessa forma, ma la costante della forza elettrica è molto maggiore di quella della forza gravitazionale

!F12

(e) =1

4!"0

q1 q2

r 2 r

!F12

( g ) = !"m1 m2

r 2 r

! = 6.67 "10#11 kg#1m3s#2

14$%0

= 8.99 "109kgm3s#2C#2

&

'(

)(


Legge di Coulomb (IV)

•! L’altra differenza tra la legge di Coulomb e la legge di Newton consiste nel fatto che:

•! la forza gravitazionale è sempre attrattiva, essendo la massa sempre positiva

•! la forza elettrica può essere sia attrattiva sia repulsiva, in quanto la carica elettrica può essere sia positiva sia negativa. Cariche dello stesso segno si respingono, mentre cariche di segno opposto si attraggono.


Principio di Sovrapposizione

•! Se invece di 2 cariche puntiformi abbiamo 3 cariche puntiformi q1, q2 e q3, situate nei punti P1, P2 e P3, qual è la forza che agisce su ciascuna carica?

•! Si trova sperimentalmente che la forza totale che agisce sulla carica q1 è la somma vettoriale della forza che la carica q2 eserciterebbe su q1 se q3 fosse assente e della forza che la carica q3 eserciterebbe su q1 se q2 fosse assente.

•! La forza con cui due cariche interagiscono non viene alterata dalla presenza di una terza carica (principio di sovrapposizione).

1q

2q3q


Distribuzioni Continue di Carica

•! Spesso la carica elettrica non è puntiforme, ma è distribuita su un certo volume dello spazio o su di una superficie o ancora su di una linea.

•! Se la carica è distribuita lungo una linea conviene descrivere la distribuzione della carica utilizzando la densità lineare di carica (misurata in C/m):

•! Se la carica è distribuita lungo una superficie conviene descrivere la distribuzione della carica utilizzando la densità superficiale di carica (misurata in C/m2):


! = lim

"l#0

"q"l

=d qd l

! = lim

"S#0

"q"S

=d qd S

! = lim

"V #0

"q"V

=d qdV

Distribuzioni Continue di Carica (II)

•! Infine se la carica è distribuita in un volume conviene descrivere la distribuzione della carica utilizzando la densità volumetrica di carica (misurata in C/m3):

•! Vogliamo ora calcolare la forza esercitata da una distribuzione di carica descritta dalla densità volumetrica & su di una carica puntiforme q posta a una certa distanza.

•! Un volumetto elementare dV situato nel punto P) di vettore posizionale conterrà la carica elettrica:

!r

!!r

!r ! !"r dV

V

qr!!

d q = ! !"r( ) dV


Distribuzioni Continue di Carica (III)

•! Il volumetto dV può essere considerato come una carica puntiforme e dunque possiamo applicare a esso la legge di Coulomb:

•! Per il principio di sovrapposizione, la forza totale prodotta su q dalla carica contenuta nel volume V sarà la somma dei contribuiti di tutti i volumetti infinitesimi dV:

d!F =

14!"0

# !$r( )dVdq"#$ %$

q!r % !$r

3

!r % !$r( )

!F =

14!"0

q# !$r( )!r % !$r

3

!r % !$r( )dVV

&

'((

&

'((

&

'((


!r

!!r

!r ! !"r dV

V

q

!F12 =

14!"0

q1 q2r3!r

Campo Elettrico

•! La forza di Coulomb può essere riformulata utilizzando il concetto di campo di forza.

•! Possiamo pensare che la presenza di una carica elettrica q1 posta nel punto P1 alteri le proprietà dello spazio, introducendo in esso un campo elettrico.

•! Poniamo una carica puntiforme Q nell’origine di una terna cartesiana di riferimento e una seconda carica puntiforme q a una certa distanza r. La forza agente su q si può scrivere:

!r q

Q

!F !r( ) = 1

4!"0

Qqr 2r = q 1

4!"0

Qr 2r

#

$%

&

'(

!E !r( )

" #$ %$= q!E !r( )


!F12 =

14!"0

q1 q2r 2r

Campo Elettrico (II)

•! Possiamo allora definire campo elettrico di una carica puntiforme Q il campo vettoriale:

e scrivere la forza agente su di una carica q situata nel punto di raggio vettore come:

!F !r( ) = q

!E !r( )

!E !r( ) = 1

4!"0

Qr 2 r

r!


!r q

Q

Campo Elettrico (III)

•! In questo modo l’azione della carica Q sulla carica q viene separata in due fasi distinte: –! La creazione, da parte della carica Q, di un campo elettrico

in ogni punto dello spazio;

–! L’accoppiamento nel punto del campo elettrico con la carica q. La forza osservata sulla carica q si stabilisce per effetto dell’accoppiamento locale carica-campo elettrico.

•! Nel Sistema Internazionale il campo elettrico si misura in N/C (Newton/Coulomb) o V/m (Volt/metro) e le sue dimensioni sono:

!E !r( )

!E !r( )r!

E!" #$ =

F!" #$Q!" #$

= MLT %3I %1!" #$

29!

!r q

Q

Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!

Campo Elettrico (IV)

•! Il campo elettrico è un campo vettoriale: –! A ogni punto dello spazio è associato un vettore, il vettore campo

elettrico: .


P !!3( ) "E" #""E P( )!V

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale

•! Sia data una funzione vettoriale definita in R3 e sia data una superficie % !R3;

•! Suddividiamo la superficie % in un certo numero n di superfici infini-tesime &%, prendiamo su di esse i punti:

e consideriamo la somma:

•! Nel limite in cui le superfici &% diventano infinitesime, la somma diventa l’integrale di superficie:


!v

P1 x1, y1, z1( ), P2 x2 , y2 , z2( ),…, Pn xn , yn , zn( )

!v Pi( ) i n Pi( ) !"

i=1

n

#

!v Pi( ) i n Pi( ) !"

i=1

n

# n$%!"$0& $&& I = !

v P( ) i n d""''

31!

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (II)

•! La superficie % !R3, può essere definita utilizzando i parametri $ e %:

•! L’integrale di superficie si calcola quindi come:


! = P "!3; P = P #,$( ), # " #1,#2%& '( , $ " $1,$2%& '({ }

!v P( )i n d!

!"" = d# !v P #,$( )( ) i %P

" !"

%#&%P" !"

%$

'

()

*

+, d$

$1

$2

"#1

#2

"

32!

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale: Esempio

•! Consideriamo, per esempio, la superficie di una semisfera:

e la funzione vettoriale:

•! Si ha:


S = P x, y, z( )!!3; x = r sin" cos# , y = r sin" sin# , z = r cos" , # ! 0,2$%& '( , " ! 0,$2

%

&)

'

(*

+,-

.-

/0-

1-

!v P( ) ! k

!P! "!

!"#!P! "!

!$= det

ı ! k!x!"

!y!"

!z!"

!x!$

!y!$

!z!$

= detı ! k

r cos" cos$ r cos" sin$ %r sin"%r sin" sin$ r sin" cos$ 0

=

= r 2 sin2" cos$ ı + r 2 sin2" sin$ ! + r 2 sin" cos" cos2$ + r 2 sin" cos" sin2$( ) k == r 2 sin2" cos$ ı + sin2" sin$ ! + sin" cos" k( )

S !

!r

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale: Esempio (II)

•! Dunque:


k • !P! "!

!"#!P! "!

!$

%

&'

(

)* = k • r

2 sin2" cos$ ı + sin2" sin$ ! + sin" cos" k( ) =

= r 2 sin" cos" =r 2

2sin 2"( ) S !

!r

!v P( )i n d!

S"" = k i n d!

S"" = d# k i $P

" !"

$%&$P" !"

$#

'

()

*

+, d%

0

-2

"0

2-

" =

= d# r 2

2sin 2%( ) d%

0

-2

"0

2-

" =r 2

2d# sin 2%( ) d%

0

-2

"0

2-

" =r 2

2d# .

cos 2%( )2

/

011

2

3440

-2

0

2-

" =

= .r 2

4d# cos 2%( )/0 230

-2

0

2-

" = .r 2

4d# cos- . cos0( )

0

2-

" =r 2

2d#

0

2-

" = 2- r2

2

Flusso di un Campo Vettoriale

•! Consideriamo un tubo cilindrico di raggio costante r in cui scorra, con moto laminare uniforme, un fluido incompressibile: –! Per esempio, con buona approssimazione, acqua.

•! Definiamo sezione trasversale (o sezione normale) && del tubo l’area del cerchio ottenuto dall’intersezione del cilindro con un piano perpendicolare all’asse del cilindro:

•! Definiamo sezione obliqua S del tubo l’area dell’ellisse ottenuta dall’intersezione del cilindro con un piano la cui normale forma un angolo *, non nullo, con l’asse del cilindro:


!n! S

r

! = "r 2

! = S cos"

n

Flusso di un Campo Vettoriale (II)

•! Definiamo la portata del tubo, ovvero il flusso '' (v) della velocità del fluido attraverso una sezione del tubo, come il volume di acqua che attraversa nell’unità di tempo una qualunque sezione (& o S) del tubo.

•! Supponiamo ora che la velocità v del fluido sia costante e uniforme su tutta la sezione del tubo e cerchiamo di trovare la relazione tra la velocità v e il flusso '' (v).

•! Ogni particella di fluido, nell’intervallo di tempo &t, avanza di una lunghezza v!t.


!v

!v

t = t0

t = t0 + !t

v !t

Flusso di un Campo Vettoriale (III)

•! La quantità di fluido che ha attraversato nel tempo !t la sezione && del tubo è pari al volume di un cilindro avente la stessa base del tubo e un’altezza pari a v &t, cioè:

•! Il flusso del fluido sarà pertanto:


!V = " v!t

!"!v( ) = #V

#t=" v#t#t

= "v

!

!

!v

!v

t = t0

t = t0 + !t

v !t v !t

!v !v

!v

!v

Flusso di un Campo Vettoriale (IV)

•! Possiamo anche esprimere il flusso '' (v) utilizzando una sezione obliqua S invece che una sezione trasversale &.

•! Si ha:


! = S cos"!v i n = !v n

1"cos" = v cos"

#S!v( ) = !v = Sv cos" = !v i n S

!n! S

r !v

Flusso di un Campo Vettoriale (V)

•! Consideriamo ora il caso in cui la velocità del fluido non è uniforme sulla sezione del tubo. –! È il caso, per esempio, di un flusso laminare di un fluido viscoso, per il quale la

velocità al centro del tubo è maggiore della velocità in prossimità delle pareti.

•! In tal caso scomponiamo il tubo in tanti tubicini di sezione trasversale infinitesima . Il flusso attraverso una qualunque sezione di un tubicino infinitesimo vale:

•! Il flusso totale si ottiene sommando il flusso attraverso un insieme di tubicini che coprono completamente la sezione del tubo:


!S!v( ) = !

v i n dSS""

d! = dS cos"

d!

! SdSd!!

v

d!dS!v( ) = v d" = v dS cos# = !v i n dS

(volume di fluido che attraversa nell’unità di tempo la superficie S)

Flusso di un Campo Vettoriale (VI)

•! La superficie S potrebbe anche non essere piana, ma l’espressione:

è ugualmente valida, in quanto le superfici infinitesime dS possono essere considerate piane e il prodotto scalare tiene conto della loro inclinazione rispetto alla velocità.


! S!v

(volume di fluido che attraversa nell’unità di tempo la superficie S)

dS

dS

!v i n

d!

!S!v( ) = !

v i n dSS""

Linee di Flusso di un Campo Vettoriale

•! Consideriamo ora la traiettoria ! di una particella di fluido: –! Essa è in ogni suo punto tangente alla velocità vettoriale della particella.

•! Definiamo quindi linea di flusso ! una linea che è sempre tangente al vettore velocità delle particelle di fluido che si trovano nei punti della linea.


!

!

!!

!!!

!

!

!

!!

! !

!!

!

!

Linee di Flusso di un Campo Vettoriale (II)

•! Possiamo tracciare le linee di flusso tanto più fitte quanto maggiore è la velocità del fluido.

•! Più precisamente possiamo tracciare le linee in modo che il numero di linee di flusso che attraversa l’unità di superficie di una sezione trasversale sia proporzionale alla velocità del fluido.


!v1

!v1

!v2

!v2 >!v1

Superfici Chiuse e Orientabili di R3

•! Una superficie è chiusa se è compatta e priva di bordo.

•! Una superficie è orientabile se ha due facce; è non-orientabile se ha una faccia sola.


Aperta e

Orientabile

Chiusa e

Orientabile (sfera) Chiusa e Orientabile (toro)

Aperta e Non-orientabile (nastro di Möbius) Chiusa

e Non-orientabile

(bottiglia di Klein)

Superfici Chiuse e Orientabili di R3 (II)

•! Nelle superfici chiuse e orientabili si può distinguere la normale esterna dalla normale interna in ogni punto della superficie.

•! Per convenzione, per calcolare i flussi attraverso una superficie chiusa, si utilizza la normale esterna : –! Questo equivale a considerare positivo il flusso uscente dal volume delimitato dalla

superficie chiusa e negativo il flusso entrante nel volume delimitato dalla superficie chiusa.


nn

n

n

n

n

n

Superfici Aperte di R3

•! Nelle superfici aperte non si può distinguere la normale esterna dalla normale interna in un punto della superficie.

•! Per convenzione, per calcolare i flussi attraverso una superficie chiusa, si utilizza l’orientamento indicato dalla regola della mano destra sulla base dell’orientamento della linea di bordo:


n

Flusso di un Campo Vettoriale attraverso una Superficie Chiusa e Orientabile

•! Consideriamo ora il flusso della velocità di un fluido attraverso una superficie chiusa.

•! Per semplicità consideriamo la superficie totale di un cubo. •! Consideriamo positivo il flusso uscente dal cubo e negativo il flusso

entrante nel cubo. •! Se il fluido è incompressibile e non si sono al suo interno sorgenti (in

cui si produce fluido) o pozzi (scarichi, in cui il fluido scompare), allora tanto fluido entra nel cubo quanto ne esce: –! Il flusso attraverso la superficie totale è nullo.

–! Il cerchietto attorno al simbolo di integrale indica che la superficie di integrazione è chiusa.


!tot!v( ) = !

v i n dSStot

""" =

= !1!v( ) + !2 !v( ) + !3 !v( ) + !4 !v( ) + !5 !v( ) + !6 !v( ) = 0

53 2

1 4

6

!!!

Flusso di un Campo Vettoriale attraverso una Superficie Chiusa e Orientabile (II)

•! Se il flusso attraverso la superficie totale è positivo:

allora dentro il cubo è presente una sorgente che produce fluido.

•! Se il flusso attraverso la superficie totale è negativo:

allora dentro il cubo è presente un pozzo (cioè uno scarico) in cui il fluido scompare.


!tot!v( ) = !

v i n dSStot

""" =

= !1!v( ) + !2 !v( ) + !3 !v( ) + !4 !v( ) + !5 !v( ) + !6 !v( ) > 0 5

3 21 4

6

!tot!v( ) = !

v i n dSStot

""" =

= !1!v( ) + !2 !v( ) + !3 !v( ) + !4 !v( ) + !5 !v( ) + !6 !v( ) < 0 5

3 21 4

6

L’Operatore Divergenza


•! Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P:

•! Si definisce l’operatore “divergenza” come:

•! L’operatore divergenza si applica a una funzione vettoriale; il risultato è uno scalare:

!! = ı

""x

+ !""y

+ k""z

!v = !v P( ) = !v x, y, z( ) = vx x, y, z( ) ı + v y x, y, z( ) ! + v z x, y, z( ) k

Esempio :!v x, y, z( ) = x2 + y2( ) ı + x2 + z2( ) ! + zk !V!" i !v( ) x, y, z( ) = 2x +1!"

!! i !v = div !v =

"vx"x

+"v y"y

+"v z"z

!! i !v = ı

""x

+ !""y

+ k""z

#$%

&'(i vxı + v y ! + v z k( )

P !!3( ) "v"#" "v P( )!V

P !!3( ) "$ i "v" #""

"$ i "v( ) P( )!!

%&'

('

Divergenza di un Campo Vettoriale

•! Consideriamo ora il flusso della velocità di un fluido attraverso una superficie chiusa infinitesima.

•! Consideriamo un parallelepipedo infinitesimo, di lati &x, &y e &z.

•! Consideriamo innanzitutto il flusso attraverso le facce ABCD e EFGH.


x0 + !xx0 y0 + !yy0

z0 + !z

z0

z

x

y

A BCD

E FGH

n

n!v

!v

M

N

Divergenza di un Campo Vettoriale (II)

•! I vertici della faccia ABCD e il suo baricentro M hanno coordinate:

•! Utilizzando la Formula di Taylor, la componente z della velocità nel punto M si può scrivere come:

•! Il flusso della velocità attraverso la faccia ABCD si può scrivere come:


A x0 , y0 , z0( ) B x0 , y0 + !y, z0( )D x0 + !x, y0 , z0( ) C x0 + !x, y0 + !y, z0( ) M x0 +

!x2 , y0 +

!y2 , z0( )

x0 + !xx0 y0 + !yy0

z0 + !z

z0

z

x

y

A BCD

E FGH

n

n!v

!v

M

N

v z M( ) = v z A( ) + !x2

"v z"x

+!y2

"v z"y

+O !x2 + !y2( )

!ABCD!v( ) = !v M( )i n M( )"S = #v z M( )"x"y "" # v z A( ) + "x

2$v z$x

+"y2

$v z$y

%

&'

(

)*"x"y

!S!v( ) = !v i n S

n = ! k

Divergenza di un Campo Vettoriale (III)

•! I vertici della faccia EFGH e il suo baricentro N hanno coordinate:

•! Utilizzando la Formula di Taylor, la componente z della velocità nel punto N si può scrivere come:

•! Il flusso della velocità attraverso la faccia EFGH si può scrivere come:


E x0 , y0 , z0 + !z( ) F x0 , y0 + !y, z0 + !z( )H x0 + !x, y0 , z0 + !z( ) G x0 + !x, y0 + !y, z0 + !z( ) N x0 +

!x2 , y0 +

!y2 , z0 + !z( )

x0 + !xx0 y0 + !yy0

z0 + !z

z0

z

x

y

A BCD

E FGH

n

n!v

!v

M

N

v z N( ) = v z A( ) + !x2

"v z"x

+!y2

"v z"y

+ !z"v z"z

+O !x2 + !y2 + !z2( )

!EFGH!v( ) = !v N( )i n N( )"S = +v z N( )"x"y "" + v z A( ) + "x

2#v z#x

+"y2

#v z#y

+ "z#v z#z

$

%&

'

()"x"y

!S!v( ) = !v i n S

n = + k

Divergenza di un Campo Vettoriale (IV)

•! Dalle due espressioni:

troviamo che la somma dei flussi attraverso le facce ABCD e EFGH vale:


x0 + !xx0 y0 + !yy0

z0 + !z

z0

z

x

y

A BCD

E FGH

n

n!v

!v

M

N!ABCD

!v( ) + !EFGH !v( ) " "v z

"z#x#y#z

!ABCD!v( ) " " v z A( ) + #x

2$v z$x

+#y2

$v z$y

%

&'

(

)*#x#y

!EFGH!v( ) " + v z A( ) + #x

2$v z$x

+#y2

$v z$y

+ #z$v z$z

%

&'

(

)*#x#y

+

,

--

.

--

Divergenza di un Campo Vettoriale (V)

•! Ripetendo lo stesso calcolo per le facce AEHD e BFGC si ottiene:

•! Ripetendo lo stesso calcolo per le facce ABFE e DCGH si ottiene:


x0 + !xx0 y0 + !yy0

z0 + !z

z0

z

x

y

A BCD

E FGH

n

n!v

!v

M

N

!ABFE!v( ) + !DCGH !v( ) " "vx

"x#x#y#z

!AEHD!v( ) + !BFGC !v( ) " "v y

"y#x#y#z

Divergenza di un Campo Vettoriale (VI)

•! Riassumendo:

•! Il flusso totale attraverso le 6 facce del parallelepipedo infinitesimo sarà pertanto:


x0 + !xx0 y0 + !yy0

z0 + !z

z0

z

x

y

A BCD

E FGH

n

n!v

!v

M

N!ABCD!v( ) + !EFGH !v( ) " "v z

"z#x#y#z

!AEHD!v( ) + !BFGC !v( ) " "v y

"y#x#y#z

!ABFE!v( ) + !DCGH !v( ) " "vx

"x#x#y#z

$

%

&&&

'

&&&

!tot!v( ) = !ABCD

!v( ) + !EFGH !v( ) + !AEHD !v( ) + !BFGC !v( ) + !ABFE !v( ) + !DCGH !v( ) =

="vx"x

+"v y"y

+"v z"z

#

$%

&

'(

divergenza" #$$$ %$$$

)x)y)z =!* i !v( )divergenza&

)V

Divergenza di un Campo Vettoriale (VII)

•! Comprendiamo quindi il significato di divergenza di un campo vettoriale:

•! Più in generale, per un volume V di forma arbitraria delimitato dalla superficie S(V) possiamo scrivere:

La divergenza di un campo vettoriale è il rapporto tra il flusso del campo attraverso una superficie chiusa e orientabile infinitesima S e il volume V delimitato da tale superficie.


!! i !v =

"tot!v( )

#V

x0 + !xx0 y0 + !yy0

z0 + !z

z0

z

x

y

A BCD

E FGH

n

n!v

!v

M

N

!! i !v( ) P( )= lim

V" P{ }

!v

S V( )"## i n dS

dVV###

La divergenza è il rapporto tra il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie totale del parallelepipedo infinitesimo e il volume del parallelepipedo.

Teorema della Divergenza

•! Considerando un volume V, delimitato dalla superficie chiusa S: –! Il flusso di un campo vettoriale v attraverso la superficie S è pari

all’integrale sul volume V della divergenza di tale campo vettoriale (Teorema della Divergenza o Teorema di Gauss):

•! Nota Bene: –! L’integrale al I membro è un integrale di

superficie esteso alla superficie chiusa S.

–! L’integrale a II membro è un integrale di volume esteso al volume V racchiuso dalla superficie chiusa S.

!v i n dS

S"!! =

!" i !v dV

V!!!

V

S


Teorema della Divergenza (II)

•! Per comprendere il significato del Teorema della Divergenza:

immaginiamo di suddividere il volume V in tanti cubetti infinitesimi, di volume:

•! Per ogni cubetto si ha, per quanto abbiamo visto:

per cui si ha, per ogni cubetto (che ha 6 facce):

!v i n dS

S"!! =

!" i !v dV

V!!!


!V1, !V2 , !V3,…

!! i !v( ) P( )= lim

V" P{ }

!v

S V( )"## i n dS

dVV###

=$tot!v( )

%V

!! i !v( ) Pi( ) "Vi = #tot

i( ) !v( ) = #ki( ) !v( )

k=1

6

$

!V1

!V2 !V3 !V4

!V5 !V6 !V8!V7

!V10!V9

V

Teorema della Divergenza (III)

•! Distinguiamo ora, tra le facce dei cubetti, le facce interne e le facce esterne: –! Le facce interne separano un cubetto da un cubetto adiacente;

–! Le facce esterne fanno parte della frontiera del volume totale V.

•! Sommando le divergenze dei cubetti, i contributi dei flussi delle facce interne si cancellano tra loro: –! Il flusso uscente dal cubetto i verso il cubetto j adiacente è opposto al flusso dal

cubetto j al cubetto i.

•! Si ha pertanto:


!! i !v( ) Pi( ) "Vi

i=1

N

# = $ki( ) !v( )

k=1

6

#i=1

N

# = $ki( ) !v( )

facceesterne

# = !v i n "S

facceesterne

#!! i !v dV

V%%% = !

v i n dSS"%%

!V1

!V2 !V3 !V4

!V5 !V6 !V8!V7

!V10!V9

V

Linee di Flusso del Campo Elettrico

•! Come tutti i campi vettoriali, anche il campo elettrico si può rappresentare graficamente con le linee di flusso (o linee di campo), ovvero con linee: –! Tangenti in ogni punto al vettore campo elettrico ;

–! Orientate col verso del campo elettrico ;

–! In numero, per unità di superficie trasversale, proporzionale al modulo del campo elettrico .

!E !r( )

!E !r( )

59!

!E !r( )


Angolo Solido

•! Come è noto, l’angolo piano (in radianti) è definito come il rapporto tra un arco di circonferenza l centrata nel vertice e il raggio r:

•! L’angolo solido " si definisce in maniera analoga come il rapporto tra la parte di superficie sferica S (centrata nel vertice), intercettata dal cono centrato nel vertice e il quadrato del raggio della sfera:

•! L’angolo solido si misura in steradianti (sr).

l

r

! =

lr" 0,2#$% $%

! =Sr 2

" 0,4#$% &'

S!r


Flusso del Campo Elettrico

•! Abbiamo visto che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie infinitesima dS e attraverso una superficie finita S si scrive come:

•! Pertanto il flusso del campo elettrico attraverso una superficie infinitesima dS e attraverso una superficie finita S si scrive come:

d! = dS cos"

!n


d!dS!v( ) = v d" = v dS cos# = !v i n dS

!S!v( ) = !

v i n dSS$$

!v

!E

d!dS!E( ) = E d" = E dS cos# =

!E i n dS

!S!E( ) = !

E i n dSS$$ !

E

Flusso del Campo Elettrico (II)

•! Consideriamo ora una superficie chiusa S contenente una carica puntiforme q.

•! Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie infinitesima dS vale:

•! Il flusso attraverso l’intera superficie chiusa S si ottiene integrando su tutta la superficie chiusa (corrispondente all’angolo solido ' = 4():

d!!E( ) = EdS cos" = Ed# =

14$%0

q1r 2

&

'(

)

*+ r 2 d,( ) = q1%0

d,4$

!!E( ) = !

E i ndSS""" =

q1#0


n

q S

d!dS

Flusso del Campo Elettrico (III)

•! Se invece consideriamo una carica puntiforme q esterna a una superficie chiusa S: –! Allora il numero di linee di campo che entrano nella superficie è uguale al numero di

linee di campo che escono dalla superficie, per cui, integrando su tutta la superficie:

•! Se la superficie chiusa S contiene più cariche: –! Per il principio di sovrapposizione, il flusso totale del campo elettrico

attraverso la superficie sarà la somma dei flussi generati dalle singole cariche:

q S

!!E( ) = !

E i ndSS""" = 0

!!E( ) = !

E i ndSS""" =

qi#0i=1

n

$ =Q#0


Q

S

q1q2q3

q4q5q6

q7

q8

q9q10

Legge di Gauss

•! In conclusione, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa S è pari alla carica totale Q contenuta nella superficie divisa per la costante #0 (Legge di Gauss, forma integrale).

!!E( ) = !

E i ndSS""" =

Q#0

=1#0

qii=1

n

$ =1#0

%dVV"""


Legge di Gauss

Definizione di flusso

Q

S

V

Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855)


Forma Locale della Legge di Gauss

•! La Legge di Gauss:

può essere scritta in forma locale utilizzando il Teorema della Divergenza (o Teorema di Gauss):

•! Poiché l’uguaglianza deve vale per un volume V arbitrario, si ha:

!!E( ) = !

E i ndSS""" = Q

#0

!E i ndS

S"!! =

Q"0

=1"0

#dVV!!!

!E i ndS

S"!! =

!$ i!EdV

V!!!

%

&''

(''

)!$ i!EdV

V!!! =

1"0

#dVV!!!

!! i!E =

"#0

(Legge di Gauss, forma locale)


Legge di Gauss

Teorema della Divergenza

Potenziale Elettrostatico

•! Il campo elettrostatico (anche se non, come vedremo, il campo elettrico nel caso più generale), come il campo gravitazionale, è un campo conservativo. Esso gode perciò di tutte le proprietà di cui godono i campi conservativi.

•! Inoltre esiste una funzione scalare V, detta Potenziale Elettrostatico, tale che:

•! L’Energia Potenziale di una carica q situata nel punto P in presenza di un campo elettrico è data da:

!! "!E =!0

!E idP" !"

= 0l##

!E = !

!"V

Eq P( ) = qV P( )67!Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!

Potenziale Elettrostatico (II)

•! Nel Sistema Internazionale il potenziale elettrico si misura in Volt (V):

e ha le dimensioni: 1V =

1N!1m1C

V!" #$ = E!" #$ L!" #$ =

F!" #$Q!" #$

L!" #$ = ML2T %3I %1!" #$


Potenziale elettrostatico (III)

•! Nel caso particolare di una carica puntiforme, il campo elettrico è dato dalla legge di Coulomb:

•! Il potenziale si ottiene integrando lungo un percorso radiale e risulta:

!E !r( ) = 1

4!"0

Qr 2 r

V !r( ) = 1

4!"0

Qr+ cost

V !r( ) = !1

4"#0

Qr 2 dr

$ %,r( )

&

'(= !

14"#0

Q drr 2

%

r&'(

= !1

4"#0

Q !1r

)

*+

,

-.%

r

=

=1

4"#0

Q 1r! 0

/01

234=

14"#0

Qr

Q

+

,

r


http://campus.cib.unibo.it/2469/

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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