Eserciziario di Fisica

Matteo Parriciatu

Problema 1In uno spettrometro di Dempster dei fasci collimati di ioni con carica q =10−18 C attraversano un selettore di velocitá costituito da due piastre metalli-che indefinite tra le quali esiste un campo elettrico E ed un campo magneticoBo = 0.4T entrambi ortogonali alla traiettoria degli ioni che si muovono aduna velocitá costante. Una volta superato il selettore, gli ioni si dirigono ver-so il foro di un’altra regione nella quale é presente un’altro campo magneticoB = 4T ortogonale alla traiettoria. Quindi si depositano su di una lastra aduna distanza 2r dal foro di ingresso. Si considerino due ioni dei quali uno él’isotopo dell’altro, che si depositano ad una distanza d = 4 cm l’uno dall’altrosulla lastra a partire dal centro della traiettoria a semicirconferenza. Il rapportotra i raggi di curvatura é pari a r2

r1= 1.86. Sapendo che il peso atomico dello

ione corrisponde a 6.941 u, si determini la massa del suo isotopo e il valore delladensitá superficiale di carica σ che genera il campo elettrico nel selettore.

Problema 2Si consideri una particella di carica q1 = −10−9 C e massa m provvista di unacerta energia cinetica Ek, che arriva dall’infinito in una regione in cui esiste uncampo elettrico generato da una carica q2 = 10−4 C fissa. Ad una distanzar = 3um dalla carica generatrice del campo, la particella é costretta a curvarela sua traiettoria. Stimare la massa della particella se, dopo aver perso energiaper irradiamento, finisce per cadere verso la carica q2 dopo un tempo τ = 2.2usdall’inizio dell’interazione.

Problema 3Un corpo di massa m = 10−3 kg e carica Q = 10−5 C, viene immerso con velo-citá nulla all’istante t = 0 s in un liquido in cui é presente un campo elettricouniforme E = 102N/C (−uy). Assumendo che sul corpo agisca una forza diattrito viscoso Fv = −mk v dove k é una costante di smorzamento con le di-mensioni di una frequenza ed é pari a 1/12 s−1, trovare per quale istante t lavelocitá del corpo assume il valore v = 7

√2m/s e a che distanza si trova in

questo istante rispetto alla posizione di partenza. Si trascurino gli effetti delcampo gravitazionale.

1

Problema 4Siano date due cariche uguali di segno opposto |q| = 10−6 C poste ad una di-stanza l = 2 cm l’una dall’altra ed investite da un campo elettrico uniformeE = 2.9× 105N/C. In un istante generico le due cariche, fissate a terra trami-te l’asse ortogonale alla loro congiungente, sono orientate secondo le linee delcampo, in una situazione di minima energia potenziale. Supponendo di spostarel’orientamento delle cariche di un angolo molto piccolo rispetto alla posizione diequilibrio in modo tale da generare un’oscillazione attorno all’asse delle cariche,si calcoli il momento di inerzia del sistema rispetto a quest’ultimo, se in unintervallo di tempo di 30 secondi si registrano 20 oscillazioni.

Problema 5Un filo di sezione Σ = 10 cm2, percorso da una corrente di densitá j = 1.3 ×104A/m2 é caratterizzato da una resistenza R = 4

√5 Ω utilizzata per riscaldare

0.5 moli di idrogeno in una trasformazione isobara durante la quale l’entropiadel gas aumenta di una quantitá ∆S = 5.6 J/K in un tempo t = 1.6 s dall’i-nizio del processo. Trattandolo come gas ideale, si stimi la temperatura finaledell’idrogeno e il volume iniziale occupato se Vf = Vi + δk dove δk = 10−πm3.Si assuma che non vi siano dispersioni di calore.

Problema 6Un disco di raggio R = 40 cm carico con densitá ρ = 10−3 C/m2 ruota attornoal proprio asse x ad una frequenza di 250 giri al secondo. Calcolare il campomagnetico sull’asse del disco nelle sue immediate vicinanze e si dimostri che perdistanze x >> R il campo B(x) é approssimativamente una funzione lineare dix. Si dimostri inoltre che un magnete caratterizzato da un momento magneticom parallelo al campo magnetico e posto a grande distanza dal centro del discorisente di una forza approssimabile a F = −2mux.

Problema 7Si consideri un corpo dielettrico (m = 10−3 kg) di forma indefinita caratteriz-zato da un momento di dipolo p = 10−7ur Cm, investito dal campo elettricogenerato da una distribuzione di carica all’interno di due gusci cilindrici inde-finiti coassiali di densitá σ = 4.2 × 10−4 C/m3 con raggio esterno R2 = 6 cm eraggio interno R1 = 3 cm posizionati ad una distanza r. Determinare l’espres-sione della funzione che descrive la velocitá v(r) del corpo supponendo che arrividall’infinito con vi = 0 fino ad una distanza r dalla sorgente. Calcolare dunquev(22 cm).

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SoluzioniSoluzione problema 1

L’equilibrio tra le forze all’interno del selettore é il motivo per cui gli ioni simuovono a velocitá costante durante l’attraversamento. All’equilibrio é infattiF = q(E + v × Bo) = 0 e dunque in modulo v = E

Bo= σ

εoBo. Nella regione

successiva provvista di campo magnetico, il raggio di curvatura della forza diLorentz vale r = mv

qB = mσqεoBBo

ed é direttamente proporzionale alla massa dellaparticella. Il rapporto tra i raggi di curvatura si riduce quindi a r2

r1= m2

m1= 1.86

pertanto m2 = 1.86m1 = 1.86(6.941)mu = 2.14 × 10−26 kg dove mu é l’unitádi massa atomica. Dunque si ha r2 − r1 = m2σ

qεoBBo− m1σ

qεoBBo= 0.04m e quindi

σ = 5.71× 10−5 C/m2

Soluzione problema 2Assumendo che sia nulla l’energia potenziale della carica all’infinito, l’energia

di legame tra particella e carica generatrice é data dal principio di conservazionedell’energia meccanica Um = Ek + Ue dove Ue é l’energia potenziale della par-ticella una volta nel campo della carica q2 pari a Ue = − q1q2

4πεor. All’interno del

campo la particella é sottoposta alla forza centripeta Fc = q1q24πεor2

= mv2

r dun-que poiché é Ek = 1

2mv2 = 1

2q1q24πεor

l’energia di legame si scrive Um = − q1q28πεor

necessariamente minore di zero in quanto l’orbita é chiusa. Sottoposta all’ac-celerazione centripeta, la particella irradierá un energia pari all’energia di le-game ∆Um = PLτ dove PL = q2a2

6πεoc3é la formula di Larmor e corrisponde

alla potenza irradiata da una particella carica in moto accelerato. Pertantoq1q28πεor

=q21a

2

6πεoc3τ dalla quale si ricava ac =

√3q2c3

4q1τr. Dunque dalla legge del moto

si ricava m = q1q24πεor2

√4q1τr3q2c3

ossia m = 1.80× 10−13 kg

Soluzione problema 3Si orienti l’asse delle ordinate verso il basso per comoditá concettuale e si

scriva la legge del motomdvdt = QE−mkv, equazione differenziale che risolviamo

per separazione di variabili ∫ v

0

dvQEm − kv

=

∫ t

0

dt

e dunque − 1k [ln(QEm −kv)−ln(QEm )] = t da cui otteniamo la funzione che descrive

l’andamento della velocitá

v(t) =QE

mk(1− e−kt)

Il corpo raggiunge la velocitá di 7√

2m/s nell’istante t = −12 ln[12−7√2

12 ] =20.9 s. Integrando la funzione per la velocitá si ottiene la legge oraria

y(t) =

∫ t

0

v(t)dt =QE

mk[

∫ t

0

(1− e−kt)dt] =QE

mk[t−

∫ t

0

e−ktdt]

3

ovveroy(t) =

QE

mkt+

QE

mk2e−kt − QE

mk2

per cui si evince facilmente che y(20.9 s) = 132m

Soluzione problema 4Il sistema delle due cariche costituisce un momento di dipolo p = lq, sul

quale agisce il momento meccanico M = −p × E = −pE sin θ. La legge delmoto si scrive I d

2θdt2 = −pE sin θ. Dalla quale confondendo il valore del seno di

un angolo molto piccolo con l’angolo stesso, avremo l’equazione differenziale diun moto armonico

d2θ

dt2+pE

Iθ = 0

con pulsazione ω =√

pEI = 2π

T = 2πf se f é la frequenza di oscillazione pari af = 2

3 Hz. Calcolando il campo elettrico ad una distanza r = 22 cm si ricavaI = 3.32× 10−4 kgm2

Soluzione problema 5Il calore assorbito per effetto Joule corrisponde a Q = Ri2t dove i = jΣ =

13A. Il primo principio della termodinamica per una isobara si scrive ncv∆T +P∆V = Ri2t dove P∆V = nR∆T , in base alla relazione di Meyer si ha n(cv +R)∆T = ncp∆T . Per un gas biatomico é cp = 7

2R, dunque si ha

ncp(Tf − Ti) = Ri2t (1)

Dalla definizione di entropia dS = dQT dove per una isobara vale dQ = pdV +

ncvdT = nRTV dV + ncvdT dunque integrando si ha

∆S = ncv lnTfTi

+ nR lnVfVi

dal momento che deve essereVfVi

=TfTi

(2)

in base alla relazione di Meyer si ricava ancora

∆S = ncp lnTfTi

= 5.6 J/K

Facendo sistema con la (1) si ricava Ti = 354K e pertanto Tf = 520.35K. Dallarelazione (2) si ricava Vi = 1.53× 10−3m3 e Vf = 2.25× 10−3m3

Soluzione problema 6Si consideri il campo infinitesimo dB = µodi

4πds×ur

R2 ux generato dalla correntedi = dq

T prodotta in un periodo T = 2πω dalla carica contenuta in un anello

infinitesimo dq = ρ2πrdr. Poiché inoltre ds× ur = ds sin θ = 2πr sin θ dove θ

4

é l’angolo formato con l’asse x, si ha per definizione sin θ = x√r2+x2

arrivando a

dB = µoωρ2

r3 dr(r2+x2)3/2

che si integra per 0 < r < R ottenendo

B(x) =µoωρ

2

[2x2 +R2

√x2 +R2

]− 2x

Per x << R si ha B = µoωρR2 = 3.95 × 10−7 T , mentre per x >> R si puó

approssimare B = 2x(µoωρ2 −1) con evidenza numerica si puó scrivere la funzione

lineare B(x) = −2x. D’altra parte sul magnete agisce la forza F = mdBdx ossá

F (x) =µomωρ

2

[4x√

x2 +R2− (2x2 +R2)x

(x2 +R2)3/2

]− 2m

che approssimata a grandi distanze porta proprio a F = m(µoωρ − 2) ≈ −2mSi noti che si poteva pervenire al medesimo risultato considerando la funzionelineare trovata B(x) = −2x.

Soluzione problema 7All’interno del cilindro é contenuta una carica Q = σπ(R2

2 − R21)h. Come

superficie gaussiana consideriamo una superficie cilindrica Σ = 2πr2 + 2πrh =2πr(r+h) ≈ 2πrh dal momento che h >> r. Applicando il teorema di Gauss ilcampo generato corrisponde dunque a

E(r) =σ(R2

2 −R21)

2εor

La forza su di un dipolo con momento di dipolo parallelo alle linee di campo éF = pdEdr ossía

F = −pσ(R22 −R2

1)

2εor2

La legge del moto si scrive dunque ma = mdvdt = mdv

drdrdt in quanto v é funzione

composta di r. Si noti che drdt = v dunque si scrive l’equazione differenziale del

moto

mdv

drv = −pσ(R2

2 −R21)

2εor2

che si integra per separazioni di variabili con estremi di integrazione

m

∫ v

0

vdv = −pσ(R22 −R2

1)

2εo

∫ r

∞

dr

r2

ovvero1

2mv2 =

pσ(R22 −R2

1)

2εor

dalla quale si ricava

v(r) =

√pσ(R2

2 −R21)

mεor

per cui v(0.22) = 7.63m/s.

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