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Analisi e Geometria I.Ing. Mecc. BovisaTutte le sezioni

Prima Prova in Itinere

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• Le risposte alle domande devono essere scritte su questi fogli, nello spazio sottoil testo e, solo in caso di necessita, sul retro.

• Ogni risposta deve essere giustificata.

1. Determinare i numeri complessi z ∈ C, z 6= −1, tali che il numero complesso w ∈ C

w :=z − i

z + i

abbia modulo minore o uguale a 1: |w| ≤ 1. Determinare poi z affinche’ w = z2 − 1.

Svolgimento. Poiche’

|w| = |z − i||z + i|

,

affinche’ |w| ≤ 1 deve risultare |z − i| ≤ |z + i| , equivalentemente,

|z − i|2 ≤ |z + i|2

(z − i)(z − i) ≤ (z + i)(z + i)(z − i)(z + i) ≤ (z + i)(z − i)

|z|2 + i(z − z) + 1 ≤ |z|2 − i(z − z) + 1+2i(z − z) ≤ 0

+(2i)2Imz ≤ 0Imz ≥ 0 .

Affinche’ quindi |w| ≤ 1, il numero complesso z deve avere parte immaginaria positivao nulla.

Per avere w = z2 − 1, occorrera’ che

z − i

z + i= z2 − 1

e cioe’ che z − i = (z2 − 1)(z + i). Si ricava quindi che z deve essere soluzione di

z(z2 + iz + 2) = 0 .

Oltre alla soluzione nulla z0 = 0, altre due soluzioni sono le radici complesse dell’e-quazione

z2 + iz + 2 = 0 ,

ossia z1 = −2i e z2 = +i .

2. Per quali valori dei parametri a, b ∈ R, la funzione

f(x) =

+1

2ax2 + bx + 12 x ≥ +1,

+axe−b(x−1) x < +1.

risulta i) continua in R, ii) derivabile in R?

Svolgimento. Poiche’ in R \ {+1} la funzione f e’ composta di funzioni derivabili, e’ivi derivabile e quindi continua. Affinche’ risulti f continua in tutto R e’ sufficiente chelo sia anche nel punto x = +1. Dovra’ cioe’ risultare

f(+1) = limx→(+1)−

f(x)

e quindi, essendo f(+1) = +a2 + b + 1

2 e limx→(+1)− f(x) = a,

a = 2b + 1 .

Poiche’

f ′(x) =

+ax + b x > +1,

+ae−b(x−1) − abxe−b(x−1) x < +1 ,

esistono le derivate da destra e sinistra nel punto x = +1:f ′+(+1) = a + b

f ′−(+1) = a− ab .

Affinche’ f risulti derivabile in tutto R dovra’ risultare f ′+(+1) = f ′−(+1):

b(a + 1) = 0 .

Affinche’ f risulti derivabile in tutto R, i parametri a, b ∈ R dovranno essere soluzionedel sistema

a = 2b + 1

b(a + 1) = 0 .

Risolvedo il sistema si trovano le soluzioni (a, b) = (+1, 0) e (a, b) = (−1,−1).