ESERCIZI SUGLI INTEGRALI

ESERCIZIO I : integrali di funzioni razionali

1)∫

x− 1(x2 + 2x + 3)2

dx

Svolgimento:Il discriminante del denominatore e negativo. Mi riconduco ad un integrale deltipo

∫f ′

f e poi integro la parte restante.

∫x− 1

(x2 + 2x + 3)2dx =

12

∫2x + 2

(x2 + 2x + 3)2dx− 2

∫dx

(x2 + 2x + 3)2=

= − 12(x2 + 2x + 3)

− 2∫

dx

(x2 + 2x + 3)2,

sostituendo nell’ultimo integrale t = x + 1, quindi dt = dx, si ha

−2∫

dx

(x2 + 2x + 3)2= −2

∫dt

(t2 + 2)2= −

∫1

t2 + 2+

∫t2

(t2 + 2)2=

= − 1√2

arctant√2

+∫

t2

(t2 + 2)2

L’ultimo integrale e uguale a∫

t2

(t2 + 2)2=

12

∫t

(2t

(t2 + 2)2

)dt =

per parti

= −12

t

t2 + 2+

12

∫dt

t2 + 2= −1

2t

t2 + 2+

12√

2arctan

t√2

Ricapitolando e sostituendo t = x + 1 si ha:

− 12(x2 + 2x + 3)

− 1√2

arctanx + 1√

2− x + 1

2(x + 1)2 + 4+

12√

2arctan

x + 1√2

=

1

= − 12√

2arctan

t√2− x + 2

2(x2 + 2x + 3)+ C

In modo analogo risolvere:

2)∫

2x−1(x−1)(x−2)dx

[R. log

∣∣∣ (x−2)3

x−1

∣∣∣ + C]

3)∫

x dx(x+1)(x+3)(x+5)

[R. 18 log (x+3)6

|x+5|5|x+1| + C]

4)∫

x3−6 dxx4+6x2+8

[R. log x2+4√

x2+2+ 3

2 arctan x2 − 3√

2arctan x√

2+ C

]

5)∫

x5 dxx3−1

[R. 13x3 + 1

3 log(x3 − 1) + C]

6)∫

4 dxx4+1

[R. 1√

2log x2+

√2x+1

x2−√2x+1+√

2 arctan x√

21−x2 + C

]

ESERCIZIO II : integrali di funzioni irrazionali

Sostituzioni utili:Se k e un denominatore comune delle frazioni m

n , .., rs , esponenti della x nella

funzione integranda, si puo sostituire x = tk, dx = ktk−1dt. Si ottiene unafunzione razionale in t.

Se nell’integranda appaiono termini del tipo(

ax+bcx+d

)mn

, estendendo quantodetto prima si puo sostituire

tk =ax + b

cx + d.

Si ottiene una funzione razionale in t.

Per integrali del tipo ∫F (x,

√ax2 + bx + c)dx

prima sostituzione di Eulero: a > 0si ponga

√ax2 + bx + c = ±√ax + t.

seconda sostituzione di Eulero: c > 0si ponga

√ax2 + bx + c = xt±√c.

terza sostituzione di Eulero: ax2 + bx + c = (x− α)(x− β), α, β ∈ IRsi ponga

√ax2 + bx + c = ±√ax + t.

Svolgere i seguenti esercizi:

7)∫

(1−√1 + x + x2)2

x2√

1 + x + x2dx

2

Svolgimento:usiamo la seconda sostituzione:

√1 + x + x2 = xt + 1, quindi x = 2t−1

1−t2 , dx =2t2−2t+2(1−t2)2 . Sostituendo nell’integrale si ha:

∫(1−√1 + x + x2)2

x2√

1 + x + x2dx = 2

∫t2

1− t2dt =

∫−2 +

∫1

1− t2dt =

= −2t−∫

11− t

dt +∫

11 + t

dt = −2t− log |1− t|+ log |1 + t|+ C.

Infine sostituendo t =√

1+x+x2−1x otteniamo

−2√

1 + x + x2 − 1x

+ log |2x + 2√

1 + x + x2 + 1|+ C.

8)∫ √

x4√

x3dx

[R. 43 [ 4

√x3 − log( 4

√x3 + 1)] + C

]

9)∫ √

1−x1+x

dxx2

[R. log

∣∣∣√

1−x+√

1+x√1−x−√1+x

∣∣∣−√

1−x2

x + C]

10)∫

dxx√

x2−x+3

[R. 1√

3log

∣∣∣√

x2−x+3−√33 + 1

2√

3

∣∣∣ + C]

11)∫ √

x2+2xdxx

[R.√

x2 + 2x + log∣∣x + 1 +

√x2 + 2x

∣∣ + C]

12)∫

dxx−√x2−1

[R.x2

2 + x2

√x2 − 1− 1

2 log∣∣x +

√x2 − 1

∣∣ + C]

13)∫ (x+1)dx

2x+x2√

2x+x2

[R.− 1√

2x+x2 + C]

14)∫ √

x2+4xdxx2

[R.− 8

x2+√

4x+x2 + log |x + 2 +√

4x + x2|+ C]

ESERCIZIO III : integrali di alcune classi di funzioni trigonomet-riche

Puo essere utile la sostituzione:tan x

2 = t, quindi sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 , dx = 2dt1+t2 .

Calcolare l’integrale

15)∫

sin x

1 + cos2 xdx

Svolgimento: sostituiamo tan x2 = t quindi

∫sin x

1 + cos2 xdx = 2

∫tdt

t4 + 1

3

Procedendo analogamente all’esercizio 6 si ottiene 2tt4+1 = 2t

(t2−√2t+1)(t2+√

2t+1)....

Svolgere i seguenti esercizi:16)

∫sin5 xdx

[R.− cos x + 2

3 cos3 x− cos5 x5 + C

]

17)∫

cos4 x sin3 xdx[R.− 1

5 cos5 x + 17 cos7 x + C

]

18)∫

dx4−5 sin x

[R. 13 log

∣∣∣ tan x2−2

2 tan x2−1

∣∣∣ + C]

19)∫

dx(1+cos x)2

[R. 12 tan x

2 + 16 tan3 x

2 + C]

20)∫

sin2 x dx1+cos2 x

[R.√

2 arctan(

tan x√2

)− x + C

]

4