esercitazioni_201er bghn2 (1)

5/19/2018 esercitazioni_201er bghn2 (1)

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Esercizi di Topografia

svolti in MATLAB

Ambrogio Maria Manzino


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Limmagine in copertina rappresenta bene lo scopo della Topografia: la

misura e la rappresentazione.Una porzione di territorio proiettata sulla superficie di riferimento.

Il prodotto intermedio rappresenta una ortofoto digitale, quello sotto-

stante una cartografia tradizionale o numerica ed infine, il livello inferiore

rappresenta un sistema informativo geografico (GIS).


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PremessaIl presente volume nasce dallaggiornamento e dal ripensamento del

precedente eserciziario della Otto Editori: Esercizi di Topografia.

Lesperienza maturata nello svolgimento dei corsi di Topografia ha sug-

gerito alcune integrazioni.

La novit pi interessante laggiunta a quasi tutti gli esercizi dello

svolgimento degli stessi con lausilio del programma MATLAB.

Il lettore accompagnato cos alla risoluzione ed alla comprensione dei

concetti essenziali della Topografia, senza perdersi nei difficili calcoli mate-

matici lasciati al linguaggio evoluto ed alla programmazione di MATLAB.

Lautore


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Indice

1 CONCETTI GEOMETRICI GENERALI 7

1.1 LA SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE

NON LINEARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 LA SOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI 11

1.3 LINEARIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI MISURA DI

UNA RETE PLANIMETRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 DISTANZAdij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 PSEUDODISTANZAPij . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 AZIMUTHij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4 DIREZIONI AZIMUTALItij . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.5 ANGOLI AZIMUTALIijk . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 ROTOTRASLAZIONI PIANE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.1 ROTOTRASLAZIONE SENZA VARIAZIONE DI SCA-

LA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.2 ROTOTRASLAZIONE CON VARIAZIONE DI SCA-

LA ISOTROPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 TRATTAMENTO STATISTICO DELLE MISURE 49

3 GEODESIA ELLISSOIDICA 97

3.1 SISTEMI DI RIFERIMENTO SPAZIALI . . . . . . . . . . . . 97

4 COMPENSAZIONE DI UNA RETE TRAMITE STAR*NET 137

5 ESERCIZI DI TOPOGRAFIA NON RISOLTI 159

6 APPENDICE A 169

5


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6.1 UNIT DI MISURA ANGOLARI

E CONVERSIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.2 GRANDEZZE ANGOLARI IN TOPOGRAFIA . . . . . . . . 173

7 APPENDICE B 189

7.1 LA RELAZIONE TRA LELLISSOIDE DI ERRORE E LA MA-

TRICE DI VARIANZA COVARIANZA. . . . . . . . . . . . . 189

8 APPENDICE C 195

8.1 LIBRETTI DI CAMPAGNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6


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Capitolo 1

CONCETTI GEOMETRICI

GENERALI

Uno degli scopi della topografia la rappresentazione, cio la costituzione

di un elaborato cartografico che rappresenti tridimensionalmente in modo

metricamente corretto loggetto da esaminare (in genere il territorio), su di

un supporto cartaceo o in forma numerica, ad una scala conveniente.

Per assolvere a questo compito necessario:

fissare sistemi di riferimento opportuni a cui riferire le misure e la

rappresentazione;

misurare in questi sistemi la posizione di punti significativi per la

rappresentazione;

Attualmente non esistono strumenti che possano assolvere alla determina-

zione della posizione di punti in maniera diretta. Si procede quindi al ri-

lievo di grandezze funzionali della posizione, grandezze legate cio al dato

di posizione da relazioni matematiche.Queste grandezze sono in pratica quelle che possono essere rilevate sul

territorio e cio:

angoli o direzioni angolari;

distanze o pseudo distanze;

dislivelli;

7


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Verranno nel corso di lezione trattate le procedure teoriche e strumentali

che portano alla loro determinazione, unitamente a concetti di trattamentodei dati, le unit di misura e i sistemi di riferimento impiegati nelle scienze

topografiche. Qui ci limiteremo a proporre esercizi che le utilizzano.

8


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1.1 LA SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE

NON LINEARE

Molte volte in topografia ci si trova ad operare con funzioni non lineari,

quali ad esempio la distanza tra due punti aventi coordinate note:

d100,200 =

(X200 X100)2 +(Y200 Y100)2 (1.1.1)

Per trovare la soluzione di unequazione non lineare f(x), conviene li-

nearizzarla troncando lo sviluppo di Taylor al primo membro procedendo

poi in modo iterativo.

f(x) = f(x0) + f(x0) (x x0)+. . . (1.1.2)

Sia f(x) =0 la soluzione cercata, allora (essendox0il punto di partenzae trascurando gli ordini superiori al primo) si avr:

f(x) = f(x0) + f(x0) (x x0) =0 (1.1.3)

da cui consegue:

(x x0)= f(x0)f(x0)

(1.1.4)

9


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ESERCIZIO 1

Determinare la soluzione della radice 3

7= x.

Tale equazione pu essere scritta nella forma f(x) =0, ovvero:

x3 7=0

Siax0=1 il punto di partenza, allora si avr:

x= x3

7

3x2 =

6

3 =2x1 = x0+ 2=3 x1= 3x= x

3 73x2

= 0.74x2 = x1 0.74=2.26 x2 = 2.26x= x

3 73x2

= 0.296x3 = x2 0.296=1.9635 x3 = 1.9635

% ESERCIZIO 1

% Determinare la soluzione dellequazione x^3 = 7, utilizzando gli sviluppi

% di Taylor per successive iterazioni.

clear %Pulisce la memoria dalle variabili esistenti

clc %Pulisce il command window

for k = 1 : 3 %Inizio del ciclo di iterazione (da ripetersi 3 volte)

dx = -(x^3 - 7)/(3*x^2); %Calcolo del dx come dx = - f(x)/f(x)

x_new = x + dx; %Correzione della variabile x con il dx stimato

x = x_new; %Il valore calcolato diventa il nuovo valore approssimato

end %Fine del ciclo di iterazione

disp(x); %Visualizziamo il valore finale di x dopo le iterazioni

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1.2 LA SOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI NON

LINEARI

Nel caso di misure topografiche (salvo casi particolari, ad esempio per le

reti di livellazione) le equazioni:

f1(X1, X2, . . . , Xn)Y01 =0fm(X1, X2, . . . , Xn) Ym0 =0

(1.2.1)

sono del tipotrascendente, per questo non sempre la soluzione unica,

mentre normalmente possibile trovare soluzione unica nel caso in cui le

equazioni fsiano lineari.

Si esce da questa fase di stallo facendo lipotesi che, in un piccolo in-

torno della soluzione che stiamo cercando, cio nellintorno delle stime dei

parametri (X1, X2, . . . , Xn) ; la funzione trascendente sia praticamente linea-

re (rispetto a quanto pu fluttuare in funzione della precisione delle misure

Y). In questo caso possiamo linearizzare, senza sensibili errori, le funzioni

fjnellintorno di valori approssimati (X01 , X02 , . . . X0n) utilizzando lo svilup-po di Taylor e trascurare il resto dal secondo ordine in poi (ipotizzando

cheR < v, cio il resto sia minore di una quantit paragonabile agli errori

accidentali di misura).

f01(X01 , X

02 , . . . , X

0n) +

f1X1

X1+ f1X2

X2+. . .+ f1Xn

Xn+R1 Y1 =0f0m(X

01 , X

02, . . . , X

0n) +

fmX1

X1+ fmX2

X2+. . .+ fmXn

Xn+Rm Yn =0(1.2.2)

Trascurando dunque i resti Ravremo:

f

01(X

01 , X

02, . . . , X

0n) +

f1X1

X1+ f1X2

X2+. . .+ f1Xn

Xn Y1 =0f0m(X

01, X

02, . . . , X

0n) +

fmX1

X1+ fmX2

X2+. . .+ fmXn

Xn Yn =0(1.2.3)

che in forma matriciale sar:

11


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f01(X01, X

02 , . . . , X

0n)

. . .

. . .

f0m(X01 , X

02, . . . , X

0n)

+

f1X1

f1X2

. . . f1Xn. . .fmX1

fmX2

. . . fmXn

X1

. . .

. . .

Xn

=

Y1

. . .

. . .

Yn

=0 (1.2.4)

Definita la matrice delle derivate parziali (matrice Jacobiana) Matrice

Disegno[A]allora in termini vettoriali la relazione anzi vista diverr:

f0

+[A]

X= Y= 0 (1.2.5)

Infine la soluzione del sistema sar:

X=[A]1 f0

(1.2.6)

1.3 LINEARIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI MI-

SURA DI UNA RETE PLANIMETRICA

In una rete planimetrica prendiamo in considerazione cinque tipi di misure:

distanzedij tra due puntiie j

pseudo distanzePij tra due puntiie j

direzioni azimutalitij misurate dalla stazioneiverso il puntoj

azimutij misurati dalla stazioneisul puntoj

angolo azimutale j,i,kmisurati sulla stazionei tra il punto indietro j

ed il punto avantik.

Tutte queste equazioni non sono lineari nelle incognite coordinate dei punti

(di stazione ed osservati). Scriviamo dunque le equazioni generatrici di

queste misure e vediamo come si linearizzano per poter calcolare la matrice

disegno[A]=

fX

che serve a progettare la rete ed a calcolare la soluzione

ai minimi quadrati.

12


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1.3.1 DISTANZAdij

La distanza tra i punti ie jsi esprime, con il teorema di

Pitagora:

dij =

Xj Xi

2+

Yj Yi2 (1.3.1)

o, nella forma (1.1.3)

Xj Xi2

+ Yj Yi2

dij =0 (1.3.2)

Lequazione si linearizza intorno a quattro valori approssimati dei pa-

rametriX0(ovvero, i valori approssimati delle coordinate): X0i, Y0i, X

0j , Y

0j.

Le derivate vanno calcolate utilizzando tali valori approssimati.

f

Xi=

Xj XiXj Xi2 + Yj Yi2

0

(1.3.3)

f

Yi=

Yj Yi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

(1.3.4)

f

Xj= +

Xj Xi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

(1.3.5)

fYj

= + Yj Yi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

(1.3.6)

Mentre il termine noto vale:

l= d ij

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0(1.3.7)

13


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1.3.2 PSEUDODISTANZAPij

Una pseudodistanza una distanza nota a meno di una costante, comu-

ne per tutte le pseudodistanze misurate dalla stessa stazione con lo stesso

strumento. Lequazione dunque:

Pij =

(Xj Xi)2 + (Yj Yi)2 + (1.3.8)Concostante incognita. Nella forma (1.1.3)

(Xj Xi)2 + (Yj Yi)2 + Pij = 0 (1.3.9)

Lequazione si linearizza anche in questo caso intorno a cinque valori

approssimati dei parametri: X0i, Y0i, X

0j , Y

0j, , vale a dire le derivate vanno

calcolate utilizzando tali valori approssimati. Essendo lequazione linea-

re nellincognita , per questo termine si pu partire da qualsiasi valore

approssimato, anche zero.

f

Xi=

Xj Xi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

; f

Yi=

Yj Yi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

;f

=1

(1.3.10)

f

Xj= + Xj Xi

Xj Xi2 + Yj Yi20; f

Yj= + Yj Yi

Xj Xi2 + Yj Yi20;f

=1

(1.3.11)

Mentre il termine noto vale:

l= Pij (

(Xj Xi)2 + (Yj Yi)2 +)0 (1.3.12)

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1.3.3 AZIMUTHij

Lazimut langolo azimutale misurato in Pitra la direzione del nord - geo-

grafico o cartografico a seconda dei casi - ed il puntoPjNel secondo caso

viene definito con maggiore propriet angolo di direzione.

L azimut tra i puntii

ej

si esprime, secondo la forma (1.1.3) con:

arctan

Xj XiYj Yi

ij =0 (1.3.13)

Lequazione si linearizza attorno ai quattro valori approssimati dei pa-

rametriX0: X0i, Y0i, X

0j , Y

0j. I parametri possono essere tutti incogniti o solo

in parte.

f

Xi=

Yj YiXj Xi2 + Yj Yi20 ; f

Yi= + Xj XiXj Xi2 + Yj Yi20

(1.3.14)

f

Xj= +

Yj Yi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

; f

Yj=

Xj Xi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0(1.3.15)

il termine noto, calcolato anchesso nei valori approssimati, vale

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l= ij arctanXj XiYj Yi 0 (1.3.16)Si pu obiettare che lequazione (1.3.13)

vale solo nel primo quadrante.

Posto = arctan(X/Y), il termi-ne noto (1.3.16) va corretto di nel II e III

quadrante e di 2nel IV quadrante. 1

Le derivate tuttavia non cambiano,

dunque le (1.3.14) e (1.3.15) sono sempre

corrette.

1.3.4 DIREZIONI AZIMUTALItij

La direzione azimutale langolo azimu-

tale misurato in Pi tra la direzione dello zero del cerchio del teodolite ed

il punto Pj. La direzione azimutale differisce dallazimut tra i punti ie j

dellangoloidetto correzione dorientamento.

1N.B. Le equazioni angolari saranno espresse in seguito in radianti. 200 gon esprimelangolo piatto

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Si esprime, secondo la forma (1.1.3) con

arctan

Xj XiYj Yi

tij +i=0 (1.3.17)

Lequazione si linearizza attorno ai valori approssimatiX0: (X0i, Y0i, X

0j , Y

0j,

0i).

Come si vede lequazione coinvolge cinque parametri, che possono essere

tutti od in parte incogniti.

fXi

= Yj YiXj Xi

2+

Yj Yi2

0

; fYi= + Xj Xi

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0(1.3.18)

f

i= 1 (1.3.19)

f

Xj= +

Yj YiXj Xi2 + Yj Yi20

; f

Yj=

Xj XiXj Xi2 + Yj Yi20(1.3.20)

il termine noto, calcolato anchesso nei valori approssimati, vale:

l= t ij +0i arctan

Xj XiYj Yi

0

(1.3.21)

1.3.5 ANGOLI AZIMUTALIijk

Langolo azimutale misurato inPjtra il punto indietroi ed il punto avanti

k, si ottiene come differenza tra le direzioni azimutali

ijk=tjk tji (1.3.22)

positivo cio se misurato in senso orario.

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Ha il vantaggio di essere indipendente dalla direzione dello zero dei

cerchi, ma ha il noto svantaggio di essere una quantit correlata con glialtri angoli azimutali misurati dalla stessa stazione.

Perci (a meno che sia lunico angolo misurabile da Pj) si evita di usare

queste equazioni generatrici e si preferisce usare le equazioni delle direzio-

ni azimutali. Si esprime, secondo la forma (1.1.1) con

arctanXk XjYK Yj arctan

Xi XjYi Yj ijk=0 (1.3.23)

Lequazione si linearizza attorno ai valori approssimatiX0:(X0i, Y0i, X

0j , Y

0j, X

0k, Y

0k). Come si vede lequazione coinvolge sei parametri,

che possono essere tutti od in parte incogniti.

f

Xi=

Yi Yj

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

;

f

Yi= +

Xi Xj

Xj Xi

2

+

Yj Yi

2

0

(1.3.24)

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f

Xj=

Yi Yj

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

+

YkYjXj Xi

2+

Yj Yi2

0

;

f

Yj=

Xk Xj

Xj Xi

2

+

Yj Yi

2

0

+

Xi XjXj Xi

2+

Yj Yi2

0

(1.3.25)

f

Xk= +

Yk Yj

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

;

f

Yk=

Xk Xj

Xj Xi2

+

Yj Yi2

0

(1.3.26)

il termine noto, calcolato anchesso nei valori approssimati, vale:

l=ijk arctan

Xk XjYk Yj

0

+ arctan

Xi XjYi Yj

0

(1.3.27)

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ESERCIZIO 2 - INTERSEZIONE IN AVANTI DISTAN-

ZIOMETRICA

Note le coordinate dei punti 100, 200 e

misurate le distanze 100-P e 200-P, deter-

minare la posizione del punto P sapendo

il valore approssimato delle coordinate XP,

YP.

100= (1; 0)m

200= (8; 2)m

100 P=6.5m 1cm200 P=7.8m 1cm

P =(2; 6)m

Dopo lo studio della propagazione

della varianza:

Conoscendo che gli scarti quadratici medi

(sqm) delle due distanze sono pari ad 1 cm,calcolare lellisse derrore associato al punto P.

Le coordinate approssimate del punto

P possono ricavarsi graficamente dallin-

tersezione delle due circonferenze con cen-

tro nei punti 100 e 200 e raggi dati. Rica-

vando analiticamente lintersezione di tali circonferenze possono ricavarsi

anche le coordinate diP(scegliendo una delle due soluzioni).

Ci che importa per risolvere il problema con i metodi mostrati nellepagine precedenti. Questi metodi infatti aprono le porte a poter ricavare la

precisione dei risultati ottenuti e al metodo dei minimi quadrati.

Lequazione che lega la distanza tra i punti 100, 200, P e le rispettive

coordinate la seguente:

d100,200 =

(X100,200 XP)2 + (Y100,200 YP)2

20


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tale relazione pu essere linearizzata mediante lo sviluppo di Taylor ferma-

to al primo ordine:

f = f0+ (fX)X

che in forma matriciale pu essere vista come:

f1

f2

f10f20

=

a11 a21

a12 a22

XPYP

nella quale la matrice disegno composta dai seguenti termini:

a11 = f1XP

=X100 XP

d1000= 0.164;a21=

f1YP

=Y100 YP

d1000= 0.987

a12 = f2XP

=X100 XP

d2000=0.832 ;a22=

f1YP

=Y100 YP

d2000= 0.555

d1000 ed2000 , rappresentano le distanze tra i punti 100, 200 e la posizione ap-

prossimata del puntoP:

d1000 =

(X100 XP)2 + (Y100 YP)2 =6.08md2000 =

(X200 XP)2 + (Y200 YP)2 =7.21m

e f10 ,f20 rappresentano la differenza tra la distanza calcolata e quella reale:

l100 =f1 f10 =0.42m

l200 =f2 f20 =0.59m

XPYP = A1 l100

l200XPYP

=0.608 1.0820.912 0.180

0.420.59

= 0.3830.487

Le coordinate di P diventano allora:

P (1.617;6.489)m

21


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Dopo lo studio della propagazione della varianza:

Le misure indirette (le coordinate) sono legate alle misure dirette (le di-

stanze) dalla relazione gi scritta:

XPYP = A1

l100l200

XP

YP

=

XP

YP

+

XPYP

=

XP

YP

+A1d100 d1000d200 d2000

Differenziando, le costanti additive o sottrattive si eliminano, per tale mo-

tivo

CXP,YP = A1Cd100,d200 (A

1)T

CXP,YP =1030.1540 0.0360

0.0360 0.0865

X=1.24cm

Y=0.93cm

I semiassi principali dellellisse valgono quindi:

2I,I I= 2X+

2Y

2 12

(2X 2Y)2 + 42XY

I=1.30cmI I=0.84cm

Mentre linclinazione dellellisse derrore pari a:

= 12arctan

2XY2Y2X

= 26.03gon

22


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% ESERCIZIO 2

%

% Linearizzazione delle distanze di una rete planimetrica

%

% Ambrogio Manzino e Mattia De Agostino

% Poli tecn ico d i To rino - DI ATI

% (ambrogio.manzino,mattia.deagostino)@polito.it

% (C) Poli tecni co d i To rino, 201 2



% Dati di input

V100 = [1 0]; %Coordinate vertice 100 [m]


VP = [2 6]; %Coordinate vertice P (approssimate) [m]

D100_P = 6.5; %Distanza misurata tra 100 e P [m]

D200_P = 7.8; %Distanza misurata tra 200 e P [m]

s_D100_P = 0.01; %sqm distanza misurata [m]

s_D200_P = 0.01; %sqm distanza misurata [m]

% Svolgimento

D100_P_0 = sqrt((V100(1) - VP(1))^2 + (V100(2) - VP(2))^2); %Distanza approssimata

%tra 100 e P [m]

D200_P_0 = sqrt((V200(1) - VP(1))^2 + (V200(2) - VP(2))^2); %Distanza approssimata

%tra 200 e P [m]

A(1,1) = (V100(1) - VP(1))/D100_P_0; %Elemento (1,1) della matrice A




L(1,1) = D100_P - D100_P_0; %Termine noto (scarto tra le distanze 100-P) [m]

L(2,1) = D200_P - D200_P_0; %Termine noto (scarto tra le distanze 200-P) [m]

DELTA = inv(A)*L; %Calcolo degli scarti sulla posizione [m]

% Soluzione

VP_NUOVO(1) = VP(1) - DELTA(1); %Applicazione degli scarti [m]

VP_NUOVO(2) = VP(2) - DELTA(2);

disp(VP_NUOVO);

% Applicazione propagazione varianza-covarianza

Cd = [s_D100_P^2 0; 0 s_D200_P^2]; %Matrice di var-covar delle distanze

C = inv(A) * Cd * inv(A); %Propagazione sulle coordinate del vertice P

s_X = sqrt(C(1,1)); %sqm della coordinata X del vertice P [m]

s_Y = sqrt(C(2,2)); %sqm della coordinata Y del vertice P [m]

s_XY = C(1,2); %Covarianza delle coordinate del vertice P [m]

%%CONTINUA%%

23


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% Semiasse principale dellellisse derrore [m]

s_I = sqrt((s_X^2 + s_Y^2)/2 + 1/2 * sqrt((s_X^2 - s_Y^2)^2 + 4*s_XY^2));

% Semiasse secondario dellellisse derrore [m]

s_II = sqrt((s_X^2 + s_Y^2)/2 - 1/2 * sqrt((s_X^2 - s_Y^2)^2 + 4*s_XY^2));

% Inclinazione dellellisse derrore [gon]

alfa = 1/2 * atan((2*s_XY)/(s_Y^2 - s_X^2)) * 200/pi;

24


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ESERCIZIO 3 -INTERSEZIONE ANGOLARE INVER-

SA

Note le coordinate dei punti 100, 200 e 300

e misurati gli angoli 1, 2, determinare

la posizione del punto P sapendo il valore

approssimato delle coordinate XP, YP.

Le coordinate dei punti noti valgono:

100

(

1876.56; 4262.18) m

200 (2814.93; 2931.65) m300 (2623.68; 2139.28) mLe quantit misurate valgono:

1=33.8511gon 1mgon2=21.0723gon 1mgon

Mentre le coordinate approssimate del pun-

to P valgono:

P =(4618; 3265) m


Noto lo sqm delle direzioni (1 mgon), ricavare i parametri dellellisse derrore

associato al punto P.

Le coordinate approssimate diPsi ricavano con una procedura grafica

complessa, che esula dai nostri scopi, e che si basa sulla costruzione dellecirconferenze che hanno come corde i lati (100-300), (100-200) e (200-300), e

come angoli al vertice rispettivamente i valori (1+2), (1) ed (2).

Scriviamo cos il seguente sistema di equazioni:

1

arctanX200 XPY200 YP +

+ arctan

X100 XPY100 YP =0

2

arctanX300 XPY300 YP +

+ arctan

X200 XPY200 YP += 0

25


26/199

Gli angoli10,20, derivati per differenza tra gli angoli azimutali ricavati

dalle coordinate approssimate diPvalgono:

10 = 0.5316802rad

20 = 0.3310646radI termini noti valgono:

l1 = 1 10 = 0.5317318 0.5316802= +0.0000516radl2 = 2 20 = 0.3310029 0.3310646= 0.0000617radLe derivate parziali che costruiscono la matrice disegno valgono

a11 = f1XP

= Y200 YP200P

2 +Y100 YP

100P2 ;a

21 =

f1YP

= X200 XP

200P2

X100 XP100P

2

a12 = f2XP

= Y300 YP300P

2 +Y200 YP

200P2 ;a

22 =

f2YP

= X300 XP

300P2

X200 XP200P

2

dove i termini a denominatore indicano il quadrato della distanza tra i pun-

ti 100P, 200Pe 300Pcalcolate con i valori delle coordinate approssimate di

P:

100P2

=(X100

XP)2 +(Y100

YP)

2 =8509861.226m2

200P2

=(X200 XP)2 +(Y200 YP)2 =3362183.648m2

300P2

=(X300 XP)2 +(Y300 YP)2 =5244557.781m2

Sostituendo i valori nelle espressioni precedenti si avr:

a11 = +2.1631 104a21= +2.1413 104a12 = +1.1549 104a22= 1.5601 104

Una volta determinato il valore delle funzioni l1, l2, il sistema di equa-

zioni linearizzato in forma matriciale sar:5.158 105

6.162 105 =

2.1631 104 2.1413 104

1.1549 104 1.5601 104XPYP

l1l2 =

a11 a

21

a12 a22

XPYP

Invertendo la matrice disegno si ha:

26


27/199

XP

YP = 2689.83 3691.90

1991.21 3729.66 5.16

105

6.17 105 = 0.08875

0.33253 Le coordinate compensate risulteranno quindi

P (4618.089;3265.33) m


Come per lesercizio precedente si pu ricavare la matrice di varianza-

covarianza delle coordinate diP:

CXPYP = A1C12

A1

T

Essendo 1 mgon = 1,571 105 in radianti, si ottiene:

CXPYP =

0.0051 0.0020

0.0020 0.0043

X=7.2mm

Y=6.6mm

I semiassi principali dellellisse valgono:

2I,I I= 2X+

2Y

2 12

(2X 2Y)2 + 42XY

I=8.3mmI I=5.2mm

Linclinazione dellellisse vale:

= 12arctan

2XY2Y2X

=0.6975=44.40gon

27


28/199

% ESERCIZIO 3

%

% Linearizzazione delle direzioni azimutali di una rete planimetrica

%


% Pol itec nico di T orin o - DIATI


% (C) Pol itec nico di T orin o, 20 12



% Dati di input

V100 = [-1876.56 4262.18]; %Coordinate vertice 100 [m]



V P = [-4 618 3265] ; %Coordinate vertice P (approssimate) [m]

A1 = 33.8511; %Angolo 1 [gon]

A2 = 21.0723; %Angolo 2 [gon]

s_A1 = 0.001; %sqm direzione azimutale [gon]

s_A2 = 0.001; %sqm direzione azimutale [gon]

% Svolgimento

% Angolo appros. 1 [rad]

A1_0 = atan2(V200(1)-VP(1),V200(2)-VP(2)) - atan2(V100(1)-VP(1),V100(2)-VP(2));

% Angolo appros. 2 [rad]

A2_0 = atan2(V300(1)-VP(1),V300(2)-VP(2)) - atan2(V200(1)-VP(1),V200(2)-VP(2));

% Distanza approssimata tra 100 e P [m]

D100_P_0 = sqrt((V100(1) - VP(1))^2 + (V100(2) - VP(2))^2);


D200_P_0 = sqrt((V200(1) - VP(1))^2 + (V200(2) - VP(2))^2);


D300_P_0 = sqrt((V300(1) - VP(1))^2 + (V300(2) - VP(2))^2);

% Elemento (1,1) della matrice A

A(1,1) = -(V200(2)-VP(2))/(D200_P_0^2) + (V100(2)-VP(2))/(D100_P_0^2);


A(1,2) = (V200(1)-VP(1))/(D200_P_0^2) - (V100(1)-VP(1))/(D100_P_0^2);


A(2,1) = -(V300(2)-VP(2))/(D300_P_0^2) + (V200(2)-VP(2))/(D200_P_0^2);

%% CONTINUA %%

28


29/199


A(2,2) = (V300(1)-VP(1))/(D300_P_0^2) - (V200(1)-VP(1))/(D200_P_0^2);

L(1,1) = A1*pi/200 - A1_0; %Termine noto (scarto tra gli angoli A1) [rad]



% Soluzione

VP_NUOVO(1) = VP(1) - DELTA(1); %Applicazione degli scarti [m]

VP_NUOVO(2) = VP(2) - DELTA(2);

disp(VP_NUOVO);

% Applicazione propagazione varianza-covarianza

Ca = [(s_A1*pi/200)^2 0; 0 (s_A2*pi/200)^2];

%Matrice di var-covar degli angoli

C = inv(A) * Ca * inv(A); %Propagazione sulle coordinate del vertice P

s_X = sqrt(C(1,1)); %sqm della coordinata X del vertice P [m]

s_Y = sqrt(C(2,2)); %sqm della coordinata Y del vertice P [m]

s_XY = C(1,2); %Covarianza delle coordinate del vertice P [m]







29


30/199

ESERCIZIO 4 - RETE PLANIMETRICA: INTERSEZIO-

NE MISTA

Note le coordinate di due punti (200 e 300)

e le misure di una distanza (d100,200) e di un

angolo (200,100,300), ricavare le coordinate del

punto 100 e le caratteristiche dellellisse derro-

re.

200 (690.60; 300.50) m300 (200.10; 160.20) m

d100,200 =519.00m 1cm200,100,300 =56.003gon 1mgon

100 =(447; 758) m

Innanzitutto, possibile esprimere le

misure della distanza e dellangolo come

funzioni f(x) =0:

d100,200

(X200 X100)2 +(Y200 Y100)2 =0

200,100,300

arctan X300X100Y300Y100 +

+ arctan X200X100Y200Y100 += 0

I termini noti valgono:

l1 = d100,200

X200 X1002

+

Y200 Y1002

=519 518.312=0.688ml2=200,100,300 arctanX300 X100

Y300 Y100 + arctanX200 X100Y200 Y100 = 0.001258402rad

I termini della matrice disegno valgono:

30


31/199

a11 = f1X1

= X100X200d100,200 a21 =

f1Y1

= Y100Y200d100,200

a12 = f2X1

= Y300Y100100,300

2 + Y200Y100

100,2002 a

22=

f2Y1

= X300X100100,300

2 X200X100100,200

2

A=

0.469987 0.8826730.000274 0.001496

X= A1l=

0.0861

0.8254

P (447.086;758.825)

Alla seconda iterazione le coordinate cambiano di solo 1 mm.


La matrice di varianza covarianza delle coordinate vale:

CXY= A1Cd

A1

T

CXY=103 0.4659 0.06870.0687 0.0694Pertanto gli sqm delle due coordinate sono:

X=2.16cm

Y=0.83cm

I semiassi principali e linclinazione dellellisse derrore valgono:

2I,I I= 2X+2Y

2 12

(2X 2Y)2 + 42XY

I=2.19cm

I I=0.76cm

= 12arctan

2XY2Y2X

= 10.61gon

31


32/199

% ESERCIZIO 4

%

% Linearizzazione di distanze ed angoli di una rete planimetrica

%







% Dati di input

V200 = [690.60 300.50]; %Coordinate vertice 200 [m]

V300 = [200.10 160.20]; %Coordinate vertice 300 [m]

D100_200 = 519.00; %Distanza misurata tra i punti 100 e 200 [m]

A1 = 56.003; %Angolo tra i vertici [gon]

V100 = [447 758]; %Coordinate approssimate del vertice 100 [m]

s_D100_200 = 0.01; %sqm distanza tra 100 e 200 [m]

s_A1 = 0.001; %sqm angolo [gon]

%Svolgimento

%Distanza approssimata tra 100 e 200 [m]

D100_200_0 = sqrt((V100(1) - V200(1))^2 + (V100(2) - V200(2))^2);


D100_300_0 = sqrt((V100(1) - V300(1))^2 + (V100(2) - V300(2))^2);

%Angolo approssimato 1 [rad]

A1_0 = atan2(V300(1)-V100(1),V300(2)-V100(2))+

-atan2(V200(1)-V100(1),V200(2)-V100(2))+2 *pi;

%Elemento (1,1) della matrice A

A(1,1) = (V100(1) - V200(1))/D100_200_0;


A(1,2) = (V100(2) - V200(2))/D100_200_0;


A(2,1) = -(V300(2)-V100(2))/(D100_300_0^2) + (V200(2)-V100(2))/(D100_200_0^2);


A(2,2) = (V300(1)-V100(1))/(D100_300_0^2) - (V200(1)-V100(1))/(D100_200_0^2);

L(1,1) = D100_200 - D100_200_0; %Termine noto (scarto tra le distanze 100-200) [m]



%% CONTINUA %%

32


33/199

%Soluzione

V100_NUOVO(1) = V100(1) - DELTA(1); %Applicazione degli scarti

V100_NUOVO(2) = V100(2) - DELTA(2);

disp(V100_NUOVO);

%Applicazione propagazione varianza-covarianza

Cda = [(s_D100_200)^2 0; 0 (s_A1*pi/200)^2];


C = inv(A) * Cda * inv(A); %Propagazione sulle coordinate del vertice 100

s_X = sqrt(C(1,1)); %sqm della coordinata X del vertice 100 [m]

s_Y = sqrt(C(2,2)); %sqm della coordinata Y del vertice 100 [m]

s_XY = C(1,2); %Covarianza delle coordinate del vertice 100 [m]

%Semiasse principale dellellisse derrore [m]


%Semiasse secondario dellellisse derrore [m]


%Inclinazione dellellisse derrore [gon]


33


34/199

ESERCIZIO 5 - LINEARIZZAZIONE DI PSEUDODI-

STANZE DI UNA RETE PLANIMETRICA

Note le coordinate di tre punti:

100 (1; 0) m200 (8; 2) m300 (4; 7) m

e le misure di tre pseudodistanze:

P100400 3m 1cmP200400 4m 1cmP300400 6m 1cm

ricavare le coordinate del punto 400, il sistema-

tismo e le caratteristiche dellellisse derrore

associato alle coordinate.

Graficamente si possono stimare le

coordinate del punto 400 tracciando tre cir-conferenze con centro in 100, 200 e 300 e

raggi uguali alle tre pseudo distanze. Se tutte le circonferenze si intersecano

ciascuna in due punti. significa che le pseudodistanze sono maggiori delle

distanze. Lincrocio, due a due, delle circonferenze, costruisce un triango-

lo. Il baricentro di questo triangolo (intersezione delle mediane) mostra la

posizione approssimata del punto 400. Se le circonferenze non si interseca-

no, significa che le pseudodistanze sono minori delle distanze. In tal caso

il valore approssimato si determina trovando le due intersezioni delle cir-

conferenze non intersecantesi, con il segmento che unisce i loro centri. Laposizione approssimata la mezzeria di tale segmento.

Partiamo dai valori approssimati:

400 =(4; 1) m= 0 m

questultimo valore pu essere scelto a caso, essendo il problema lineare in

.

34


35/199

Le equazioni delle pseudodistanze possono essere espresse nella forma

f(x) =0.

P100400

(X100 X400)2 +(Y100 Y400)2 = 0P200400

(X200 X400)2 +(Y200 Y400)2 = 0

P300400

(X300 X400)2 +(Y300 Y400)2 = 0

I termini noti valgono:

l1

=

0.1623 m

l2= 0.1231 ml3=0 m

La matrice disegno composta dai seguenti termini:

a11 = f1X4

= X100 X400

(X100 X400)2 +(Y100 Y400)2= 0.94868

a21 = f1Y4

= Y100 Y400

(X100 X400)2 +(Y100 Y400)2= 0.31623

a31 =f1

= 1

a12 = f2X4

= X200 X400

(X200 X400)2 +(Y200 Y400)2=0.97104

a22 = f2Y4

= Y200 Y400

(X200 X400)2 +(Y200 Y400)2=0.24254

a32 =f2

= 1

a13 = f3X4= X300 X400

(X300 X400)2 +(Y300 Y400)2=0

a23 = f3Y4

= Y300 Y400

(X300 X400)2 +(Y300 Y400)2=1

a33 =f3

= 1

quindi possibile risolvere il sistema, in maniera analoga a quanto fat-

to negli esercizi precedenti:

35


36/199

X4Y4

=0.01960.1374

0.1374

X4Y4

=

4.01960.8626

0.1374


La matrice di varianza covarianza dei tre parametri incogniti vale:

CXX=104A1 I

A1T

La matrice di varianza covarianza delle misure dirette (pseudo distan-

ze) vale infatti 104m2per la matrice identit.

CXX=105

6.5755 3.9828 1.1827

13.870 4.2541

simm 4.6384

Si ricava perci:

(X4) = 0.008m(Y4) =

0.012m

() = 0.007mEstraendo dalla matrice la sottomatrice di dimensione due, relativa alle

coordinate del punto 400, possibile trovare i parametri dellellisse derro-

re. In particolare:

2I,I I= 2X+

2Y

2 12

(2X 2Y)2 + 42XY

I=0.012m

I I=0.007mLinclinazione vale:

= 12arctan

2XY2Y2X

= 0.41468rad= 26.4gon

36


37/199

% ESERCIZIO 5

%

% Linearizzazione di pseudodistanze di una rete planimetrica

%


% Poli tecn ico d i To rino - DI ATI


% (C) Poli tecni co d i To rino, 201 2



% Dati di input




V400 = [4 1]; %Coordinate vertice 400 (approssimate) [m]

D100_400 = 3; %Pseudodistanza misurata tra i punti 100 e 400 [m]



s_D100_400 = 0.01; %sqm pseudodistanza tra 100 e 400 [m]



%Svolgimento


D100_400_0 = sqrt((V100(1) - V400(1))^2 + (V100(2) - V400(2))^2);


D200_400_0 = sqrt((V200(1) - V400(1))^2 + (V200(2) - V400(2))^2);


D300_400_0 = sqrt((V300(1) - V400(1))^2 + (V300(2) - V400(2))^2);

A(1,1) = (V100(1) - V400(1))/D100_400_0; %Elemento (1,1) della matrice A


A(1,3) = -1; %Elemento (1,3) della matrice A











%% CONTINUA %%

37


38/199

%Soluzione

V400_NUOVO(1) = V400(1) - DELTA(1); %Applicazione degli scarti

V400_NUOVO(2) = V400(2) - DELTA(2);

tau = 0 - DELTA(3);

disp(V400_NUOVO);

disp(tau);



Cd = [(s_D100_400)^2 0 0; 0 (s_D200_400)^2 0; 0 0 (s_D300_400)^2];

C = inv(A) * Cd * inv(A); %Propagazione sulle coordinate del vertice 400



s_tau = sqrt(C(3,3));








38


39/199

1.4 ROTOTRASLAZIONI PIANE

Si analizzano in particolare i seguenti casi:

rototraslazione senza variazione di scala (trasformazione congruente)

rototraslazione con variazione di scala isotropa (trasformazione affine

particolare)

1.4.1 ROTOTRASLAZIONE SENZA VARIAZIONE DI SCALA

Risulta dalla combinazione dei due casi precedenti. Supponiamo di voler

eseguire la trasformazione da un sistema locale (O1, X, Y) ad uno globale(O, E, N) e che gli assi di detti sistemi siano tra loro ruotati e traslati. La

trasformazione si pu effettuare noti 3 parametri: la rotazionee le due

traslazioni (E0 , N0) dellorigine del sistema locale. Con riferimento alla

figura le trasformazioni possono essere espresse mediante le:

Trasformazione da sistema locale a globale:XP

YP

=

X0

Y0

+

cos sin

sin cos

XP

YP

(1.4.1)

Trasformazione da sistema globale a locale:XP

YP

=cos sin sin cos

XP X

0

YP Y0

(1.4.2)

39


40/199

1.4.2 ROTOTRASLAZIONE CON VARIAZIONE DI SCALA ISO-

TROPA

La trasformazione analoga a quella precedente ma contempla il caso che

i due sistemi di riferimento siano in una scala diversa. Per effettuare que-

sta trasformazione allora necessario conoscere 4 parametri e precisamen-

te, i tre precedenti pi un fattore di scala . In notazione matriciale la

trasformazione da sistema locale a globale si pu esprimere come:

XP

YP

= X0

Y

0 +

cos sin

sin cos

XP

Y

P (1.4.3)

e quella inversa (da sistema globale a locale):

XP

YP

=1cos sin sin cos

XP X

0

YP Y0

(1.4.4)Molto spesso il fattore di scala risulta essere dovuto a deformazioni in-

dotte nellelaborato cartografico dal tipo di rappresentazione, o da stira-

menti del supporto cartaceo o ancora dalla propagazione degli errori nelle

misure. In alcuni casi, utile invece stimare i parametri della trasformazio-

ne, con una procedura a ritroso, a partire da un numero sufficiente di puntinoti nei due sistemi di riferimento. Il sistema

X0+XPcos +Y

Psin XP=0

Y0 XPsin +YPcos YP=0

(1.4.5)

Nelle incognite X0,Y0,,pu essere linearizzato semplicemente sosti-

tuendo:

a= cos

b= sin (1.4.6)

Per risolvere il sistema nei quattro parametri incogniti X0,Y0,a,b:

X0+aXP+bY

P XP=0

Y0+aYP bX

P YP=0

(1.4.7)

necessario disporre di almeno 4 equazioni, derivanti dalla conoscenza di

almeno due punti di coordinate note nei due sistemi di riferimento. Rica-

40


41/199

vati i 4 parametri si pu risalire allangolo e al fattore di scalamediante

le:

=

a2 +b2

=arctanb

a

(1.4.8)

I modelli di trasformazione possono essere ulteriormente ampliati, in-

troducendo ulteriori parametri che modellizzano effetti pi complessi di

cambio di sistema di riferimento e deformazioni eventuali. Non vengo-

no in questa sede affrontate le trasformazioni affini (5 e 6 parametri) e

omografiche (7 e 8 parametri).

41


42/199

ESERCIZIO 6

Su un monitor si leggono le coordinate (in pixel) di quattro punti di una mappa

nel suo sistema di riferimento locale. Lo sqm di lettura sullo schermo di un pixel:

X100=120pixels X200 =216pixels

Y100 =86pixels Y200 =321pixels

X300=150pixels X400 =392pixels

Y300=412pixels Y400 = 50pixels

Le coordinate dei punti 100 e 200 sono pure note in un sistema di riferimentocartografico (globale) ed ipotizzate prive di errore.

E100 = 1214.17m E200 = 1338.59m

N100= 1417.61m N200 =1638.56m

Si vogliono ricavare i parametri della trasformazione da sistema locale a globale

e le coordinate dei punti 300, 400 nel sistema carta.

Possiamo portarci in un sistema di riferimento baricentrico sia per le

coordinate (X, Y) che per le coordinate (E, N); sufficiente sottrarre a que-ste coordinate (Xg; Yg), ( Eg;Ng), dove:

Xg= (X100+X200)

2 =168pixels Yg = (Y100+Y200)

2 =203.5pix els

Eg = (E100+E200)

2 =1276.38m Ng= (N100+N200)

2 =1528.085m

Le coordinate nel sistema baricentrico le indicheremo (x,y) ed (e, n). Si

ha quindi:

x100 =

x200 =

48pixels

y100 = y200 = 117.5pixelse100 = e200 = 62.21mn100 = n200 = 110.475mIl sistema pu essere scritto in coordinate baricentriche nella forma:

e0+ax+by e=0n0 bx+ay n=0

42


43/199

Con i due punti noti in entrambi i sistemi si pu scrivere il sistema di

quattro equazioni in quattro incognite:

e100

e200

n100

n200

=

x100 y100 1 0

x200 y200 1 0

y100 x100 0 1y200 x200 0 1

a

b

e0

n0

e100

e200

n100

n200

= A

a

b

e0

n0

Invece di risolvere semplicemente il sistema in questo modo

a

b

e0

n0

= A1

e100

e200

n100

n200

proviamo ad osservare bene la prima e la seconda equazione, la terza e

la quarta. Nel sistema baricentrico, sappiamo che:

x100 = x200y100 = y200e100 = e200n100 = n200La somma delle prime due equazioni, e quella delle ultime due ci forni-

scono:

e0 = n0 = 0

Il sistema di quattro equazioni si ridotto ad un sistema di due equazio-

ni in due incognite. Possiamo sfruttare le sole due equazioni indipendenti,

ad esempio la prima e la terza o la prima e la quarta.

x100 y100

y200 x200

a

b

=

e100

n200

43


44/199

e numericamente:

48 117.5117.5 48ab =

62.21110.475

Si pu risolvere il sistema o invertire la matrice dei coefficienti e molti-

plicarla per il vettore dei termini noti. In ogni caso si ricavano i valori:

a= 0.9911014727

b= 0.1245713133

da cui si ricavano:

= 0.99889946502

= 7.959917gon

Le coordinate dei punti 300 e 400 sono ricavabili dalle coordinate bari-

centriche:

e

n

=

e0

n0

+

a b

b a

x

y

Con (e0, n0) uguali a zero. Da questa, ricordando cosa valgono ( e, n) ed

(x,y) si ricava anche, in un sistema qualsiasi:

EN =

EgNg +

a bb aX XgYYg

=EgNg

BXgYg

+BXY =

E0N0+B

XY

Questa formula mette in evidenza la dipendenza delle coordinate globali

dalle coordinate locali attraverso la matriceB. I termini in grassetto, sottoli-

neati dalla parentesi graffa, rappresentano le traslazioni nel sistema globale

che avevamo chiamato (E0,N0).La stessa formula pu essere scritta mettendo invece in evidenza la di-

pendenza del risultato dai quattro parametri stimati: (a, b, e0, n0)

EN =

EgNg +

X Xg Y Yg 1 0Y Yg X Xg 0 1

a

b

e0

n0

=D

a

b

e0

n0

44


45/199

Per ricavare le coordinate globali dei punti 300 e 400 misurati sullo

schermo basta inserire i valori numerici e si ottiene:

E300 = 1284.51m N300 =1736.97m

E400 = 1479.27m N400 =1348.05m

N.B.Tale modo di risolvere il problema non pi valido nel caso in

cui il numero di misure superi il numero di incognite, quando si hanno a

disposizioni ad esempio tre o pi punti di coordinate note in entrambi i

sistemi. In tal caso occorre seguire la tecnica statistica di risoluzione, basata

sullapplicazione del metodo dei minimi quadrati. Vedremo tuttavia che

anche in quel caso sar comodo riferirsi ad un sistema baricentrico.


Facendo lipotesi che lo sqm delle coordinate locali sia di un pixel (ma-

trice di varianza covarianza unitaria) si pu ricavare la matrice di varianza

covarianza delle quatto incognite (delle quali due sono nulle nel sistema

baricentrico).

Ca,b,e0,n0 = A1 A1T =

3.1036 105 0 0 00 3.1036

105 0 0

0 0 0.5 0

0 0 0 0.5

Come si nota, la matrice diagonale.

Prendiamo in considerazione le prime due varianze. Da queste cerchia-

mo di ricavare la varianza della scala e dellangolo di rotazione. Ricordia-

mo infatti che:

= a2 +b2

= arctanba

Linearizzando queste dipendenze si ha

C =ECa,bET

E=

a

b

a

b

=

aa2+b2

ba2+b2

ba2+b2

aa2+b2

=

0.9922 0.12470.1248 0.9933

45


46/199

Si ottiene

C =

0.3104 104 0

0 0.3110 104 = 0.0056 ; = 0.355gon

Se desideriamo la matrice di varianza covarianza dei punti 300 e 400,

o di qualsiasi altro punto, dobbiamo considerare che dipendono sia dalla

precisione delle coordinate di ingresso, sia dalla precisione dei parametri

(a, b, E0,N0) appena ricavati.

Per le coordinate in ingresso avevamo considerato un sqm di un pixel

per entrambe. Per questo motivo, essendo la derivata totale somma delledue derivate parziali, dobbiamo sommare i due contributi:

CE,N=BCX,YBT +DCa,b,E0,N0 D

T ; CX,Y= I 1pixel2

Serve ricavare la matrice di varianza/covarianza delle coordinate dei

punti 300 e 400. Per il punto 300, ad esempio, la matriceDvale:

D= 150 168 412 203.5 1 0

412 203.5 150 + 168 0 1Mantenendo lo stesso ordine nel sommare i due contributi si ha, per il

punto 300:

CE300,N300 =BCX,YBT+ DCa,b,E0,N0 D

T =

0.9978 00 0.9978+

1.8593 00 1.8593

Come si vede, in questo caso maggiore il contributo dovuto alla scarsa

conoscenza dei quattro parametri incogniti, piuttosto che quello dovuto

allimprecisione delle coordinate in ingresso.Anche per il punto 400 si ha:

CE400,N400 =BCX,YBT+ DCa,b,E0,N0 D

T =

0.9978 00 0.9978+

2.7885 00 2.7885

In definitiva:E300 = N300 = 1.69mE400 = N400 = 1.95m

46


47/199

% ESERCIZIO 6

%

% Trasformazione tra sistemi di riferimento

%







% Dati di input

XY100 = [120 86]; %Coord. vertice 100 nel sistema di riferimento locale XY [pixel]




EN100 = [1214.17 1417.61]; %Coord. vertice 100 nel sistema di rif. globale EN [m]

EN200 = [1338.59 1638.56]; %Coord. vertice 200 nel sistema di rif. globale EN [m]

%Svolgimento

XYG(1) = (XY100(1)+XY200(1))/2; %Calcolo delle coord. baricentriche -

XYG(2) = (XY100(2)+XY200(2))/2; % sist. locale [pixel]

ENG(1) = (EN100(1)+EN200(1))/2; %Calcolo delle coord. baricentriche -

ENG(2) = (EN100(2)+EN200(2))/2; %sist. globale [m]

xy100 = XY100 - XYG; %Passaggio alle coord. baricentriche-sistema locale [pixel]




en100 = EN100 - ENG; %Passaggio alle coord. baricentriche-sistema globale [m]

en200 = EN200 - ENG; %Passaggio alle coord. baricentriche-sistema globale [m]

A = [xy100(1) xy100(2); xy200(2) -xy200(1)];

L = [en100(1); en200(2)];

X = inv(A)*L; %Calcolo coefficienti (a,b)

%Soluzione

a = X(1);

b = X(2);

lambda = sqrt(X(1)^2 + X(2)^2); %Fattore di scala [-]

alfa = atan(X(2)/X(1))*200/pi; %Rotazione [gon]

B = [a b; -b a];

en300 = B*xy300; %Calcolo coord. baricentriche-sistema globale [m]

en400 = B*xy400;

EN300 = ENG - B*X YG + B*XY300; %Calcolo coord. nel sistema globale [m]

EN400 = ENG - B*X YG + B*XY400;

%% CONTINUA %%

47


48/199


A = [xy100(1) xy100(2) 1 0; xy200(1) xy200(2) 1 0; xy100(2) -xy100(1) 0 1;

xy200(2) -xy200(1) 0 1]; %Matrice disegno del sistema completo

Cp = eye(4); %Matrice di var-covar degli angoli, uguale allidentit

%(sqm coordinate locali di 1 pixel)

C = inv(A) * Cp * inv(A); %Propagazione sulle incognite del problema (a,b,e0,n0)

E(1,1) = -a/lambda; %Linearizzazione delle relazioni tra (a,b) e (lambda,alfa)

E(1,2) = -b/lambda;

E(2,1) = -b/lambda^2;

E(2,2) = a/lambda^2;

C l a = E*C(1:2,1:2)*E; %Propagazione sul fattore di scala e sulla rotazione

s_lambda = sqrt(Cla(1,1)); %sqm del fattore di scala [-]

s_alfa = sqrt(Cla(2,2))*200/pi; %sqm della rotazione [gon]

48


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Capitolo 2

TRATTAMENTO STATISTICO

DELLE MISURE

ESERCIZIO 7

Della variabile statistica non ordinata rappresentata dai valori: (3 3 2 4 5 6 4 5 3 4

3 5 6 4 2 5 ) calcolarne media, sqm, le radici cubiche e quarte dei momenti del terzo

e quarto ordine della variabile scarto.

Viene di seguito riportata una tabella in cui sono indicati i valori ordi-

nati con accanto le relative frequenze.

xi Ni fi

2 2 1/8

3 4 1/4

4 4 1/4

5 4 1/4

6 2 1/8

Verranno ora calcolate la media e lo scarto quadratico medio.

m= M [x]= xi fi =2 18+ 3 14+ 4 14+ 5 14+ 6 18 =4

49


50/199

sqm = S2 (x)

dove:S2(x) =

1N Ni x2i m2 = 116 2 22 + 4 32 + 4 42 + 4 52 + 2 62+

16=1.5sqm =

S2 (x)=

1.5=1.225

Verranno infine determinate le radici cubiche e quarte dei momenti del

terzo e quarto ordine della variabile scarto.

M[(xm)3] = 2 (2 4)3 + 4 (3 4)3 + 4 (4 4)316

+

+4. (5 4)3 + 2 (6 4)3

16 =0

M[(x m)4] = 2 (2 4)4 + 4 (3 4)4 + 4 (4 4)4

16 +

+4. (5 4)4 + 2 (6 4)4

16 =4.5

Il momento del III ordine diviso lo sqm al cubo un indice chiamato asim-

metria o Skewnes. Il momento del quarto ordine, diviso lo sqm elevato alla

quarta detto curtosi. Questi indici valgono:SK= 0.00

Kur = 2.00

% ESERCIZIO 7

%

% Trattamento statistico delle misure

%


% P olite cnic o di Tori no - DIA TI


% ( C) Po lite cnic o di Tori no, 2012



% Dati di input

VAR = [3 3 2 4 5 6 4 5 3 4 3 5 6 4 2 5]; %Variabile statistica

%%CONTINUA%%

50


51/199

%Svolgimento

c lass i = [ 2 3 4 5 6]; %Scelgo le classi in cui voglio dividere la variabile statistica

Ni = histc(VAR,classi); %Calcolo la numerosit delle varie classi

figure; bar(classi,Ni) %Disegna listogramma

L = length(VAR); %Numerosit della variabile

fi = Ni./L; %Calcolo le frequenze relative

fa = cumsum(fi); %Calcolo le frequenze assolute

%(somma cumulata delle frequenze relative)

figure; plot(fa); %Disegna la funzione cumulativa di frequenza

m = mean(VAR); %Calcolo la media della variabile statistica

sk = moment(VAR,3); %Calcolo il momento del 3o ordine della variabile statistica

%(solo Statistics Toolbox)

ku = moment(VAR,4); %Calcolo il momento del 4o ordine della variabile statistica

%(solo Statistics Toolbox)

s = std(VAR,1); %Il flag "1" serve per calcolare lo sqm con 1/L

51


52/199

ESERCIZIO 8

Calcolare la media e lo scarto quadratico medio (sqm) della variabile continua

f(x) = ex definita nel semiasse positivo dei reali, scrivere la variabile z stan-dardizzata e verificare il teorema di Tchebycheff per =2e =3.

Verr di seguito determinata la media:

M[x] =x =

+0

x f(x)dx

x =

+

0x exdx = lim

a+

a

0x exdx =

= lima+[x e

xdx]a0= lima+[e

x(1 x)]a0 == lim

a+[ea(1 a) e0(1 0)] =1

Verr di seguito calcolato lo scarto quadratico medio:

2(x) =

+

0

(x x)2 f(x)dx = +

0

(x x)2exdx =

=

+0

(x 1)2exdx = lima+

a0

(x 1)2exdx == lim

a+[x(x 1)2ex 2(x 1)ex 2ex]a0 = 1

sqm =

2(x) = 1

Scrivo ora la variabile standardizzata z:

z= e(xx

x ) =e(

x11 )

Verifichiamo in ultimo il teorema di Tchebycheff per = 2 e = 3.

Questo teorema afferma che:

P(|x x| x) 1 12

e quindi per =2 si ha:

52


53/199

|x x| 2x 2x x x 2x x 2x x 2x+ x1 x 3

ovvero deve essere:

P(1 x 3) 1 12

poich f(x) definita nel semiasse positivo, Psar:

P(x) =

30

exdx = [

ex]30=

e3 + 1

e quindi la condizione di verifica dovr essere:

1 1e3 1 14 0.95 0.75 teorema verificato

analogamente per =3 si avr:

1 1e4 1 19 0.98 0.88 teorema verificato

53


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ESERCIZIO 9

Sia data una variabile statistica i cui valori sono raggruppati in classi:

Classi 10-12 12-15 15-20 20-30 30-50

Frequenze 0.04 0.18 0.40 0.20 0.18

Si riportino in una tabella le ampiezze degli intervalli, le densit di frequenza

e le frequenze cumulate.

Si disegni listogramma e la funzione cumulativa di frequenza.Si calcoli valore medio e scarto quadratico medio.

Si calcoli il momento del terzo ordine rispetto alla media m

La tabella seguente riporta le ampiezze degli intervalli, la densit di

frequenza (fi) e le frequenze cumulate (fi,c):

Xi fi fi,c

10-12 0.04 0.0412-15 0.18 0.22

15-20 0.40 0.6220-30 0.20 0.8230-50 0.18 1.00

Verr di seguito determinato listogramma:

h1 = 0.04

2 = 0.02

h2 = 0.18

3 = 0.06

h3 = 0.405 = 0.08

h4 = 0.20

10 = 0.02

h5 = 0.18

20 = 0.009

54


55/199

Verranno ora calcolate la media e lo scarto quadratico medio:

m = M[x] = xi fi =

(10+12)2

0.04+

(15+12)

2

0.18+

(15+20)

2

0.4 +

(30+20)2

0.2 +

(50+30)

2

0.18=22.07

sqm =

S2(x) = 9.277

dove:

S2(x) = M (x m)2= (xi M[x])

2

fi

S2(x) = (11 22.07)2 0.04+ (13.5 22.07)2 0.18+ (17.5 22.07)2 0.4 + (25 22.07)2 0.2 + (40 22.07)2 0.18=86.0601

Calcoliamo infine il momento del terzo ordine rispetto ad m:

M

(xm)3 = (11 22.07)3 0.04+ (13.5 22.07)3 0.18+ (17.5 22.07)3 0.4 + (25 22.07)3 0.2 + (40 22.07)3 0.18=836.85

55


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ESERCIZIO 10

Considerando il fenomeno che ai tempi t =1,2,3....10 vale:

x=2, 4, 5, 7,8,9, 12, 10, 14, 17

ed il fenomeno che per gli stessi tempi vale

y= 4,2,1,1,0,1,2,4,4,6

si chiede di calcolare lindice di correlazione lineare.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 2 4 5 7 8 9 12 10 14 17

y -4 -2 -1 -1 0 1 2 4 4 6

Per verificare se fra i due fenomeni esiste correlazione lineare bisogna

calcolare lindice di correlazione lineare ricordando che se tale indice as-

sume un valore uguale a zero i due fenomeni sono incorrelati mentre se

assume valore 1 , i due fenomeni si dicono perfettamente correlati linear-mente.

Lindice di correlazione lineare definito dalla seguente formula:

xy = xy

x

y

Si calcolano allora in primo luogo le medie delle due variabili :

x =

ni=1xi

n =

2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 + 12 + 10 + 14 + 1710

= 8.8

y =

ni=1yi

n =

4 2 1 1 + 0 + 2 + 4 + 4 + 610

= 0.9

Successivamente si calcolano le varianze e quindi gli scarti quadratici

medi delle rispettive variabili.

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57/199

x/y 2 4 5 ecc.

-4 1/10 0 0 0-2 0 1/10 0 0-1 0 0 1/10 0-1 0 0 0 ecc.

La tabella delle frequenze dunque quella appena scritta; per i = jsi

ha fij = 1/n.

x =1

n n

i=1(yi x)2 = 11.96 x =

2x = 4.4

y =

1n

n

i=1

yi y

2= 8.69 y =

2y = 2.948

Infine si calcola la covarianza fra le due variabili con la formula :

xy = 1nni=1(xi x)

yi y

=12.38

Dai singoli passaggi si sono ottenuti i valori riportati in tabella:

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tot.

(x x)2 46.24 23.04 14.44 3.24 0.64 0.04 10.24 1.44 27.04 67.24 193.6y y

2 24.01 8.41 3.61 3.61 0.81 0.01 1.21 9.61 9.61 26.01 86.9(x x)

y y

33.32 13.92 7.22 3.42 0.72 0.02 3.52 3.72 16.12 41.82 123.8

Infine:

xy = xyx y =0.954461

Dal risultato ottenuto si pu dedurre che i due fenomeni sono fortemen-

te correlati poich il valore assunto dallindice di correlazione prossimo

ad 1.

57


58/199

% ESERCIZIO 10

%

% Indice di correlazione lineare

%







% Dati di input

x = [ 2 4 5 7 8 9 1 2 1 0 1 4 1 7 ] ; %Variabile statistica n 1

y = [ - 4 - 2 - 1 - 1 0 1 2 4 4 6 ] ; %Variabile statistica n 2

%Svolgimento

m_x = mean(x); %Media della variabile

x m _ y = mean(y); %Media della variabile y

Cxy = cov(x,y,1); %Matrice di varianza-covarianza normalizzato ad N

%Soluzione

s_x = sqrt(Cxy(1,1)); %sqm della variabile x

s_y = sqrt(Cxy(2,2)); %sqm della variabile y

s_xy = Cxy(2,1); %Covarianza delle variabili (x,y)

rho = s_xy/(s_x*s_y); %Coefficiente di correlazione

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ESERCIZIO 11

Di un appezzamento triangolare si misurano le

coordinate con un digimetro (digitizer).

Le coordinate in metri valgono:

100= (3; 2)200= (3; 4)300= (6;2)Sapendo che entrambe le coordinate e per

tutti i punti lo scarto quadratico medio di

acquisizione di 0.05 m.Valutare con la formula di Gauss la

superfice media dellappezzamento.

Valutare lo scarto quadratico medio della

superficie.

Ricavare lespressione dello scarto quadratico medio di una qualunque superfi-

ce misurabile attraverso le coordinate dei suoi vertici.

Numerando i vertici dellappezzamento e percorrendoli in senso orariola formula del camminamento di Gauss la seguente:

S= 1

2

3

i=1

Yi(Xi+1 Xi1)

S= 1

2(Y1 (X2 X3)+ Y3 (X1 X2)+ Y2 (X3 X1))

S= 1

2(2 (3 6) 2 (3 + 3)+ 4 (6 + 3))=9m2

Si valuta ora lo scarto quadratico medio della superficie:

2s =

SX100

22X100+

SY100

22Y100+

SX200

22X200+

SY200

22Y200+

SX300

22X300+

SY300

22Y3

2S = 1

4[(Y300 Y200)2 +(X200 X300)2 +(Y100 Y300)2 +(X300 X100)2

+(Y200 Y100)2 +(X100 X200)2] 2 =0.062822m4

59


60/199

S= 0.25m2

Da cui si ottiene:

S=(585.0 0.25) m2

Si consideri ora una figura chiusa qualsiasi, la cui superficie, secondo la

formula del camminamento vale:

S= 12 ni=1Yi(Xi+1

Xi

1)

Le derivate parziali secondoYivalgono:

SYi

= 12(Xi+1

Xi

1)=

12

X

Con un poco pi di attenzione facile ricavare le derivate rispetto le

variabilixiche valgono:

SXi

= 12(Yi+1 Yi1)= 12Y

La varianza della superficie si ricava dalla formula di propagazione:

60


61/199

2S = 14

ni=1 X22X +

14

ni=1 Y22Y

Siccome:

X=Y=

Allora la varianza della superficie vale:

2S = 2

4

ni=1 X2 +Y2

Cio:

S= 2l2i

avendo chiamatolile lunghezze dei lati del perimetro del poligono.

Dal risultato ottenuto possiamo dedurre due regole: per minimizzare

lo sqm della superficie, il poligono deve avere lati uguali. Per minimizzare

il rapporto tra sqm della sueperficie e superficie, la figura deve essere un

poligono regolare.

61


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ESERCIZIO 12

Di un campo triangolare si sono misurati con

una bindella metrica(nastro dacciaio) i tre la-

ti.

Questi valgono:

a= 29.52m

b= 39.64m

c= 49.77m

tutte le misure hanno sqm di 1cm.1) Ricavare il valore della superficie media del campo;

2) Ricavare lo sqm della superficie precedentemente ricavata.

Calcolo della superficie media:

La formula di Erone consente di determinare larea di un triangolo qua-

lunque dati i tre lati:

S= p(p a)(p b)(p c)dove:

p= a+b+c

2

ottenendo:

S=585.0236m2

Calcolo dello sqm della superficie media:

Semplificando lespressione:

S =

(a+b+c)

2(a+b+c 2a)

2(a+b+c 2b)

2(a+b+c 2c)

2

=

(a+b+c)

2(b+c a)

2(a+c b)

2(a+b c)

2

62


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S =

(ab+ac a2 +b2 +bc ab+bc+c2 ac)

16

(a2 +ab ac+bc+ac c2 ab b2 +bc)16

=

(b2 a2 +c2 + 2bc)(a2 b2 c2 + 2bc)

16

=

2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 a4 b4 c4

16

= 1

42a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2

a4

b4

c4

Ponendo:

k=

2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 a4 b4 c4

= 16S2

derivando si ottiene:

Sa = 14 12 1k (4ab2 + 4ac2 4a3) = 132S (4ab2 + 4ac2 4a3) = 20.0482S

b =

132S

(4a2b+ 4bc2 4b3) = 15.0518

S

c =

132S

(4a2c+ 4b2c 4c3) = 0.3647

e quindi:

2S = S

a2

2a+S

b2

2b +S

c2

2c = 0.06282m4

S = 0.25065m2ed S:

S=(585.0 0.25) m2Anche in questo caso, ipotizzando gli sqm dei lati identici, interessan-

te vedere quando si minimizza la somma del quadrato delle derivate, cio

quando si minimizza lo sqm della superficie.

63


64/199

ESERCIZIO 13

Con le stesse procedure dellesercizio preceden-

te, ricavare la superficie media e lo sqm della

superficie di un appezzamento quadrilatero co-

s formato:

AB = 100m1cm

BC = 130m1cm

CA= 150m1cm

CD = 160m1cm

AD = 200m1cm

Con le stesse procedure dellesercizio

precedente si ricava:

S1= SAB, BC, CA

= 6404.25m2

S2= S

CA,AD, CD

= 11827.91m2

2 (S1)= 0.5022m4

2 (S2)= 0.8854m4

S= S1+S2 = 18234.16m2

2(S) =2(S1) +2(S2) =1.3876m4

(S) =1.178m2

S=(18234.2 1.2) m2

64


65/199

ESERCIZIO 14

Si sono misurati, in una poligonale, lati ed

angoli a partire dal punto 100(100,100) m.Sapendo che i lati hanno sqm di 1 cm e gli

angoli, compreso il primo angolo di direzione,

di 1 mgon, ricavare le coordinate e le caratteri-

stiche dellellisse derrore del punto 400, ipotiz-

zando che il punto 100 abbia coordinate prive

di errore.

Al lettore:

Nellipotesi di partire dai valori di sqm delle coordinate dei punti 200 e 300

senza tener conto delle covarianze, dimostrare che, in tal caso, le dimensioni dei

semiassi principali dellellisse del punto 400 sono inferiori a quelle ricavate in

precedenza.

d100= d200 = d300 = 200m 1cm100,200 = 50gon 1mgon

200 = 280gon 1mgon300 = 140gon 1mgon

200,300 = 100,200+200 = 130gon300,400 = 200,300+300 = 100,200+200+300 2= 70gonX200 =X100+ X100 = X100+d100sin 100,200 = 100 + 141.421=241.421mY200 =Y100+ Y100 = Y100+d100cos 100,200 =100 + 141.421=241.421mX300 =X200+ X200 = X200+d200sin 200,300 =

=X100+d100sin 100,200+d200sin (100,200+200

)=

=241.412 + 178.201=419.622m

Y300 =Y200+ Y200 = Y200+d200cos 200,300 ==Y100+d100cos 100,200+d200cos (100,200+200 )==241.412 90.798=150.623m

X400 =X300+ X300 = X100+d100sin 100,200+d200sin (100,200+200 )++d300sin (100,200+200+300 2)==419.622 + 178.201=597.823m

65


66/199

Y400=Y300+

Y300 = Y100+d100cos 100,200+d200cos (100,200+200

)+

+d300cos (100,200+200+300 2)==150.614 + 90.798=241.421m

Ricordando che:

1mgon=1.571 105 in radianti possibile scrivere la matrice di varianza covarianza delle misure dirette.

Questa matrice sar diagonale, e varr:

C=

(0.01)2 0 0

0 (0.01)2

0 .. .

0 (0.01)2 0... 0

1.571 1052 0 ...

. ..

0

1.571 1052 00 0 1.571 1052

La matrice delle derivate parziali vale:

X400d100

X400d200

X400d300

X400100,200

X400200

X400300

Y400d100

Y400d200

Y400d300

Y400100,200

Y400200

Y400300

Dobbiamo trovare il valore di queste derivate. Le derivate parziali ri-

spetto alle distanze valgono:

X400d100

= sin 100,200

X400d200

= sin (100,200+200 )= sin 200,300X400d300

= sin (100,200+200+300 2)=sin 300,400

Y400d100

= cos 100,200

Y400d200

= cos (100,200+200 )=cos 200,300Y400d300

= cos (100,200+200+300 2)=cos 300,400

66


67/199

Le derivate parziali rispetto agli angoli valgono:

X400100,200

= d100cos 100,200+d200cos 200,300+d300cos 300,400 =

= Y100+ Y200+ Y300X400200

= d200cos 200,300+d300cos 300,400 = Y200+ Y300X400300

= d300cos 300,400 = Y300

Y400100,200

= d100sin 100,200 d200sin 200,300 d300sin 300,400 == (X100+ X200+ X300)

Y400200

= d200sin 200,300 d300sin 300,400 = (X200+ X300)Y400300

= d300sin 300,400 = X300

Numericamente la matrice Avale:

A= 0.7071 0.8910 0.8910 141.421 0 90.7980.7071 0.4540 0.4540 497.824 356.403 178.201CX400,Y400 = ACd100,d200,d300,100,200,300 = A

T =1030.2157 0.02860.0286 0.1916

X400 = 1.47cm

Y400 = 1.38cm

2I,I I= 2X+

2Y

2 12

(2X 2Y)2 + 42XY

I=1.53cmI I=1.31cm

= 12arctan

2XY2Y2X

= 37.28gon

E possibile arrivare agli stessi risultati tenendo conto sia delle varianze

che delle covarianze di ogni verticie della poligionale.

Al lettore la rimanente parte dellesercizio, nel caso non si tengano in

conto le covarianze.

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68/199

% ESERCIZIO 14

%

% Trasporto delle coordinate di una poligonale

%







% Dati di input

V100 = [100 100]; %Coordinate del punto 100 [m]

D100 = 200; %Misura di distanza tra i vertici 100 e 200 [m]



th100_200 = 50; %Angolo di direzione tra i vertici 100 e 200 [gon]

alfa200 = 280; %Angolo tra i vertici 200 e 300 [gon]

alfa300 = 140; %Angolo tra i vertici 300 e 400 [gon]

s_D100 = 0.01; %sqm della distanza tra i vertici 100 e 200 [m]



s_th100_200 = 0.001; %sqm dellangolo di direzione tra 100 e 200 [gon]

s_alfa200 = 0.001; %sqm dellangolo tra 200 e 300 [gon]

s_alfa300 = 0.001; %sqm dellangolo tra 300 e 400 [gon]

%Svolgimento

th200_300 = th100_200 + alfa200 - 200; %Angolo di direz. tra vertici 200 e 300 [gon]

th300_400 = th200_300 + alfa300 - 200; %Angolo di direz. tra vertici 300 e 400 [gon]

V200(1) = V100(1) + D100*sin(th100_200*pi/200); %Coordinata X del vertice 200 [m]

V200(2) = V100(2) + D100*cos(th100_200*pi/200); %Coordinata Y del vertice 200 [m]





%Matrice di var-covarianza delle misure dirette

Cd = diag([s_D100^2 s_D200^2 s_D300^2 (s_th100_200*pi/200)^2

(s_alfa200*pi/200)^2 (s_alfa300*pi/200)^2]);

A(1,1) = sin(th100_200*pi/200); %Elemento (1,1) della matrice disegno

A(2,1) = cos(th100_200*pi/200); %Elemento (2,1) della matrice disegno





A(1,4) = D100*cos(th100_200*pi/200) + D200*cos(th200_300*pi/200)

+ D300*cos(th300_400*pi/200); %Elemento (1,4) della matrice disegno

%% CONTINUA %%

68


69/199

A(2,4) = -D100*sin(th100_200*pi/200) - D200*sin(th200_300*pi/200)

- D300*sin(th300_400*pi/200); %Elemento (2,4) della matrice disegno

%Elemento (1,5) della matrice disegno

A(1,5) = D200*cos(th200_300*pi/200) + D300*cos(th300_400*pi/200);

%Elemento (2,5) della matrice disegno

A(2,5) = -D200*sin(th200_300*pi/200) - D300*sin(th300_400*pi/200);

A(1,6) = D300*cos(th300_400*pi/200); %Elemento (1,6) della matrice disegno

A(2,6) = -D300*sin(th300_400*pi/200); %Elemento (2,6) della matrice disegno

C = A*Cd*A; %Matrice di var-covarianza delle coordinate del vertice 400




%Semiasse principale dellellisse derrore [m]

s_I = sqrt((s_X^2 + s_Y^2)/2 + 1/2 *

* sqrt((s_X^2 - s_Y^2)^2 + 4*s_XY^2));

%Semiasse secondario dellellisse derrore [m]


%Inclinazione dellellisse derrore [gon]


69


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ESERCIZIO 15

Dati:

100 = 350gon 1mgon200 = 50gon 1mgond100 = 100m 1cmd200 = 250m 1cm

Incognite: d100,200, d100,200

Utilizzeremo due metodi, che condur-

ranno alla stessa soluzione.

Il primo metodo, pi complicato, con-

siste nel calcolare le coordinate dei punti

100 e 200, con la loro matrice di varianza

covarianza.

Ricaviamo la distanza tra 100 e 200 dal-

le coordinate dei due punti e dalle loro matrici di dispersione ricaveremo la

varianza del lato 100-200 utilizzando la formula della distanza pitagorica.

Il secondo metodo, pi semplice, consiste nel ricavare la distanza 100-200 dalle due distanze e dallangolo interno al triangolo = 100O200.Trasformiamo

gli angoli in radianti:

100 = 5.49779 1.6 105200 = 0.78539 1.6 105

X100= d100sin 100= 70.711Y100= d100cos 100= 70.711

X200 = d200sin 200 = 176.777

Y200 = d200cos 200 = 176.777

CX100,Y100

= ACd100,100

AT CX200,Y200

= ACd200,200

AT

A=

sin 100 d100cos 100cos 100 d100sin 100 =

0.7071 70.710.7071 70.71

A=

sin 200 d200cos 200cos 200 d200sin 200 =

0.7071 17.7770.7071 176.777

CX100,Y100 = 105

5.1 4.94.9 5.1

CX200,Y200 = 105

5.8 4.2

4.2 5.8

70


71/199

La distanza tra i due punti vale

d100,200 =

(X200 X100)2 +(Y200 Y100)2 =269.258m

Chiamiamo con D la matrice delle derivate parziali della funzione di-

stanza

2d100,200 = DCX100,Y100,X200,Y200 DT

Si passa cio dalla dimensione 4 alla dimensione scalare. Le matrici val-

gono:

CX100,Y100,X200,Y200 =

2X100 X100,Y100 0 0

X100,Y100 2Y100

0 0

0 0 2X200 X200,Y2000 0 X200,Y200

2Y200

D=

d100,200X100 d100,200Y100 d100,200X200 d100,200Y200

=

X100X200d100,200

Y100Y200d100,200

X100X200d100,200 Y100Y200

d100,200

D= (0.9192;0.3939; 0.9192; 0.3939)

2d100,200 = 1.04 cm2

d100,200 = 1.02 cm

Ora procediamo con il secondo metodo:

= 2 (100 200)= 100gon

2 = 2

100

+2200

= 2

2.4674

1010

Utilizzando la formula di Carnot si ha:

d100,200 =

d2100+d2200 2d100d200cos

Facendo lipotesi che le tre misure siano fra loro incorrelate si pu scri-

vere:

71


72/199

2

d100,200= d100,200d100

2

2

d100+ d100,200d200

2

2

d200+ d100,200

2

2

Le tre derivate parziali valgono rispettivamente:

d100,200d100

= d100 d200cos

d12= 0.371391

d100,200d200

= d200 d100cos

d12= 0.928477

d100,200

= d100d200sin

d100,200= 92.84767

Alla fine ricaviamo:

2d100,200 = 1.04cm2 d100,200 = 1.02cm

Come gi avevamo trovato per altra via.

72


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ESERCIZIO 16 - COMPENSAZIONE MINIMI QUA-

DRATI DI UNA RETE DI LIVELLAZIONE

Dati:

Q100 =10m

100,200 = Q200 Q100 = 100m 1cm200,300 = Q300 Q200 = 100m 1cm300,400 = Q400 Q300 = 100m 1cm

400,100 = Q100 Q400 = 300.2m 1cm200,400 = Q400 Q200 = 200.2m 1cmRicavare le quote Q100, Q200, Q300, la loro matrice

di var-covarianza delle quote e degli scarti, la matrice di

ridondanza.

Notare che, a parit di precisione delle misu-

re, la ridondanza locale del lato 200-400 mag-

giore delle altre, in quanto collega vertici che, nel

grafo, sono pi distanti del vertice precedente osuccessivo. (Regola generale).

Costruiamo il sistema gi lineare (i valori approssimati possono essere

anche zero).

Y= AX+a

Ipotizzando0 =0.01mla matrice dei pesi diviene la matrice identit,

infatti

pj=202j

=1

100,200200,300300,400400,100200,400

=

1 0 0

1 1 00 1 10 0 11 0 1

Q200

Q300

Q400

+

Q1000

0

Q100

0

73


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Si ricavano le stime delle incognite:

N= ATA=

3 1 11 2 11 1 3

Tnn = A

T (Y0 a)=

190.20

610.4

X= N1Tnn =

ATA1

AT (Y0 a)=110.025210.100

310.175

m=Q200

Q300

Q400

Il vettore delle misure compensate e quello degli scarti valgono:

Y=

100.025

100.075

100.075

300.175200.150

=

0.025

0.075

0.075

0.025

0.050

La varianza dellunit di peso vale:

20 =T

2 =0.0075 0 =0.0866m (> 0.01m ipotizzato a priori)

CXX=20 N

1 =103

4.6875 3.75 2.8125

7.5 3.75

simm. 4.6875

Da cui si ricavano gli sqm delle tre quote:

74


75/199

Q200 = 6.85cm

Q300 = 8.66cm

Q400 = 6.85cm

La matrice di varianza covarianza degli scarti vale:

C = 20

P1 AN1AT

Da questa si ricavano gli sqm degli scarti, che valgono:

=

0.053

0.053

0.053

0.0530.061

m

Come si vede questi valori sono, in valore assoluto, paragonabili agli

scarti stessi.

La matrice di ridondanza vale:

R= I AN1AT =

0.375 0.125 0.125 0.375 0.250

0.125 0.375 0.375 0.125 0.2500.125 0.375 0.375 0.125 0.2500.375 0.125 0.125 0.375 0.250

0.250 0.250 0.250 0.250 0.500

La traccia della matrice (ovvero la somma degli elementi sulla diagona-

le) vale 2, che la ridondanza globale.

Come si nota il valore massimo riguarda il collegamento tra il punto

200 ed il punto 400. Pur essendo questo dislivello della stessa precisione

degli altri dislivelli, consente un maggiore irrigidimento alla rete.

% ESERCIZIO 16

%

% Compensazione di una rete di livellazione

%







%%CONTINUA%%

75


76/199

% Dati di input

Q100 = 10; %Quota del punto 100 [m]

DQ100_200 = 100; %Dislivello tra il punto 200 ed il punto 100 (Q200-Q100) [m]



DQ400_100 = -300.2; %Dislivello tra il punto 100 ed il punto 400 (Q100-Q400) [m]

DQ200_400 = 200.2; %Dislivello tra il punto 400 ed il punto 200 (Q400-Q200) [m]

%Svolgimento

A = [+1 0 0; %Matrice disegno

-1 +1 0;

0 -1 +1;

0 0 -1;

-1 0 +1];

m = size(A,1); %Numero di misure

n = size(A,2); %Numero di incognite

Y_0 = [DQ100_200 DQ200_300 DQ300_400 DQ400_100 DQ200_400]; %Vettore delle misure

L = [-Q100 0 0 Q 100 0]; %Vettore dei termini noti

P = eye(m); %Matrice dei pesi

N = A *P*A; %Matrice normale

T = A *P*(Y_0 - L); %Vettore dei termini noti normalizzato

X = inv(N)*T; %Soluzione m.q. del problema

Y = A*X+L; %Vettore delle misure compensate

v = Y - Y _ 0 ; %Vettore degli scarti

sigma_0 = (v*P*v)/(m-n); %Varianza dellunit di peso

CXX = sigma_0*inv(N); %Matrice di var-covarianza delle stime

s_Q200 = sqrt(CXX(1,1)); %sqm sulla quota del vertice 200 [m]



Cvv = sigma_0*(inv( P ) - A*inv(N)*A); %Matrice di var-covarianza degli scarti

s_v(1) = sqrt(Cvv(1,1)); %sqm degli scarti [m]

s_v(2) = sqrt(Cvv(2,2));

s_v(3) = sqrt(Cvv(3,3));

s_v(4) = sqrt(Cvv(4,4));

s_v(5) = sqrt(Cvv(5,5));

R = eye( m ) - P*A*inv(N)*A; %Matrice di ridondanza

r = trace(R); %Ridondanza globale (= m-n)

ri = diag(R); %Ridondanza locale delle singole misure

76


77/199

ESERCIZIO 17 - TRASFORMAZIONE PIANA AFFINE

MINIMI QUADRATI

Riprendiamo i dati dellesercizio 6, nellipotesi che siano note le coordinate di tre

punti in entrambi i sistemi di riferimento e siano incognite le coordinate del quarto

punto nel sistema carta.

100S = (120; 86)

200S = (216; 321)

300S

= (150; 412)400S = (392; 50)

100C = (1214.17; 1417.61)

200C = (1338.59; 1638.56)

300C

= (1284.24; 1737.83)400C =?

Proviamo ancora a traslare entrambi i sistemi, togliendo le coordinate

di entrambi i baricentri, cio la media delle (X, Y) e (E, N) dei tre punti da

utilizzare per il calcolo delle quattro incognite.

Le equazioni da scrivere sono sei (3 in X e 3 in Y).

La ridondanza globale vale due.

XG =162YG =273

EG =1279.00NG =1598.00

In tal modo le nuove coordinate baricentriche valgono:

100S = (42;187)200S = (54; 48)

300S = (

12; 139)

100C = (64.83;180.39)200C = (59.59; 40.56)

300C = (5.24; 139.83)

Riprendendo le due equazioni generatrici per ogni punto

EN =

E0N0 +

a bb aXY

Si costruisce facilmente la matrice disegno ed il sistema di 6 equazioni

in 4 incognite.

77


78/199

X100 Y100 1 0

X200 Y200 1 0X300 Y300 1 0

Y100 X100 0 1Y200 X200 0 1Y300 X

esercitazioni_201er bghn2 (1)

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