Esami 2007_2011 Analisi 2

POLITECNICO DI MILANOScuola di Ingegneria Industriale

ANALISI E GEOMETRIA 2

Temi desame degli anni passati

(A.A. 2007/2008-2010/2011)

I diritti dautore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara` perseguito.

Indice

I Testi 1

1 Testi delle prime prove in itinere 21.1 A.A. 2007/2008 6 maggio 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 A.A. 2008/2009 5 maggio 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 A.A. 2009/2010 27 aprile 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 A.A. 2010/2011 2 maggio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Testi delle seconde prove in itinere 62.1 A.A. 2007/2008 1 luglio 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 A.A. 2008/2009 7 luglio 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 A.A. 2009/2010 29 giugno 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 A.A. 2009/2010 4 luglio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Testi degli appelli desame 103.1 A.A. 2007/2008 I appello 9 luglio 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 A.A. 2007/2008 II appello 8 settembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 A.A. 2007/2008 III appello 16 febbraio 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 A.A. 2008/2009 I appello 17 luglio 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 A.A. 2008/2009 II appello 7 settembre 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6 A.A. 2008/2009 III appello 16 febbraio 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.7 A.A. 2009/2010 I appello 13 luglio 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.8 A.A. 2009/2010 II appello 8 settembre 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.9 A.A. 2009/2010 III appello 15 febbraio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.10 A.A. 2010/2011 I appello 18 luglio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.11 A.A. 2010/2011 II appello 15 settembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.12 A.A. 2010/2011 III appello 14 febbraio 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II Soluzioni 20

4 Soluzioni delle prime prove in itinere 214.1 Prova del 6 maggio 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Prova del 5 maggio 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Prova del 27 aprile 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Prova del 2 maggio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Parte I

Testi

1

Capitolo 1

Testi delle prime prove in itinere

1.1 A.A. 2007/2008 6 maggio 2008

Esercizio 1.Scrivere lintegrale generale dellequazione differenziale

y + 4y + 13y = 13t+ 10et

e risolvere il problema di condizioni iniziali y (0) = y (0) = 0.

Esercizio 2.Determinare per quali valori di x R le serie

+n=1

xn

3n + 4ne

+n=1

sin (nx)

3n3 + 5

convergono.

Esercizio 3.Sia f : R4 R3 lineare, e sia

A =

2 2 0 23 1 3 04 0 3 1

la matrice A che la rappresenta, nelle basi canoniche di R4 ed R3.a) Calcolare le dimensioni dellimmagine e del nucleo di f .b) Stabilire se il vettore [0,1, 1]T appartiene allimmagine di f .Esercizio 4.Sia

A =

3 0 7k 3 40 0 2

, k R.a) Stabilire per quali valori di k la matrice e` diagonalizzabile.b) Per i valori di k per cui A e` diagonalizzabile, determinare una base di R3 formata da autovettoridi A e una matrice diagonale simile a A.

2

CAPITOLO 1. TESTI DELLE PRIME PROVE IN ITINERE 3

1.2 A.A. 2008/2009 5 maggio 2009

Esercizio 1.Sia f : R3 R3 lapplicazione lineare definita da

f(x, y, z) = (x+ 3y + 4z, 2x+ y + 3z,x+ 2y + z).a) Scrivere la definizione di rango di una matrice A di tipo m n.b) Trovare la matrice A che rappresenta f rispetto alla base canonica di R3.c) Trovare la dimensione dello spazio immagine Im f .d) Trovare una base di KerA (il nucleo di A).e) Trovare tutti gli eventuali valori di h per i quali il vettore

A =

231 + h

non appartiene allimmagine di f (motivare la risposta).f) Lapplicazione lineare f e` iniettiva? Motivare la risposta.

Esercizio 2.Sia A una matrice quadrata con un autovettore v relativo allautovalore = 2. Dimostrare che v e`anche autovettore della matrice M = A3 3A e determinare il corrispondente autovalore di M.Esercizio 3.Si consideri il sistema di equazioni differenziali{

x = x+ 3yy = x+ y

.

a) Date due soluzioni del sistema, u1 : R R2 e u2 : R R2, la funzione u1 + u2 : R R2 e`soluzione? Giustificare la risposta.b) Risolvere il sistema.c) Determinare la soluzione che allistante t = 0 passa per il punto (4, 0).

Esercizio 4.Sia f la funzione dispari di periodo 2pi tale che

f(x) =

{1 ex 0 x pi

2

0 pi2< x pi

.

a) Si tracci il grafico di f nellintervallo (pi, 3pi).b) Si scriva lespressione dei coefficienti di Fourier di f , senza calcolarli.c) Si dica in quali punti dellintervallo [0, 2pi) la serie di Fourier converge e per questi punti si dica acosa converge (si giustifichi la risposta enunciando con precisione il risultato teorico utilizzato).

1.3 A.A. 2009/2010 27 aprile 2010

Esercizio 1.Determinare lintegrale generale dellequazione differenziale

y 4y = e2t.


Esercizio 2.In R3, fissata la base canonica e1, e2, e3, consideriamo lapplicazione lineare f definita da

f(e1) = e1 + e3, f(e2) = 2e1 + 4e2 + 6e3, f(e3) = e1 + e2 + e3.

a) Dare la definizione di applicazione lineare.b) Determinare la dimensione e una base per limmagine Im(f).c) Determinare la dimensione e una base per il nucleo Ker(f).d) Stabilire se f e` biiettiva (cioe` iniettiva e suriettiva).

Esercizio 3.a) Enunciare il teorema sulla diagonalizzazione delle matrici simmetriche (teorema spettrale).b) Stabilire se la matrice

A =

[2 22 1

]e` diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una base di R2 formata da autovettori di A dimodulo (= lunghezza = norma) unitario. Si tratta di una base ortonormale? Giustificare la risposta.

Esercizio 4.Determinare il carattere della serie numerica

+n=1

n+ 2n

(n+ 2)!.

1.4 A.A. 2010/2011 2 maggio 2011

Esercizio 1.Sia {b1,b2,b3} una base di R3, e sia f : R3 R3 lapplicazione lineare tale che

f(b1) = b1 + 2b2 + b3, f(b2) = 2b1 + 3b2, f(b3) = 3b1 + b2 b3.

a) Si scriva la matrice che rappresenta f rispetto alla base {b1,b2,b3}.b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dellimmagine di f .c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. Lapplicazione f e` iniettiva?

Esercizio 2.Sia

u =

[12

](cioe` u e` una matrice 2 1) e sia A = u uT (prodotto di matrici).a) Si dica se la matrice A e` diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo e`, si scriva una matricediagonale simile alla matrice A.b) Esistono basi ortonormali di R2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una.c) Si dica se la seguente affermazione e` vera o falsa:

Se u e` una qualunque matrice reale n 1, allora gli autovalori della matrice u uT sonotutti reali.


Giustificare la risposta.

Esercizio 3.a) Si enunci il teorema di struttura dellintegrale generale di unequazione differenziale lineare delsecondo ordine non omogenea.b) Si determini lintegrale generale dellequazione

z 10z + 26z = 0.

c) Si determini lintegrale generale dellequazione

y 10y + 26y = 5e5t + 26t.

Capitolo 2

Testi delle seconde prove in itinere

2.1 A.A. 2007/2008 1 luglio 2008

Esercizio 1.Sia f(x, y) una funzione di classe C1 nel piano. Supponiamo che f(4, 6) = 0 e f(4, 6) = 3i + 4j.a) Sia g(t) = f(t2, t3 2). Si spieghi perche g(t) e` derivabile in t = 2 e si calcoli g(2).b) Si spieghi perche lequazione f(x, y) = 0 definisce una curva regolare in un intorno del punto(4, 6), e si scriva lequazione della retta tangente a nel punto (4, 6).

Esercizio 2.Dopo averne giustificato lesistenza, si determinino massimo e minimo della funzione f(x, y) = 3

xy,

nellinsieme chiuso D nel primo quadrante del piano delimitato dallasse x, dallasse y e dalla lineax2y + y2 + x = 3.

Esercizio 3.Calcolare il momento dinerzia rispetto allorigine di una lamina D, con densita` lineare di massa(x, y) inversamente proporzionale alla distanza dallorigine, essendo D il semicerchio centrato in(1, 0) e raggio 1 situato nel quarto quadrante.(Il momento dinerzia e` dato dalla formula

D

(x, y)(d(x, y)

)2dx dy,

dove d(x, y) e` la distanza dal centro di rotazione).

Esercizio 4.Sia assegnato il campo vettoriale

F(x, y) =y

x2 + y2i +

x

x2 + y2j.

a) Si dica se F e` conservativo in R2\ {(0, 0)}. Si dica se F e` conservativo nel primo quadrante(semiassi esclusi).

b) Si calcoli il lavoro del campo lungo il segmentoPQ, dove P = (27, 27) e Q = (

3, 1).

6

CAPITOLO 2. TESTI DELLE SECONDE PROVE IN ITINERE 7

2.2 A.A. 2008/2009 7 luglio 2009

Esercizio 1.Si consideri la funzione f : R2 R definita nel modo seguente:

f(x, y) =

x3y2

(x2 + y2)2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

a) La funzione f e` continua su tutto R2? Motivare la risposta.b) Usando la definizione, calcolare (se esistono) le derivate parziali di f in (0, 0).c) Usando la definizione, calcolare (se esiste) la derivata direzionale Dvf(0, 0) di f nel punto (0, 0)

lungo il versore v = 12i

3

2j.

d) La funzione f e` differenziabile in (0, 0)? E negli altri punti di R2? Motivare la risposta.Esercizio 2.Si consideri la funzione f : R2 R

f(x, y) = 2 3x2 3y2 + 3x2y + y3.Determinare i valori massimo e minimo della funzione nel quadrato di vertici (1, 3), (1, 3), (1, 1),(1, 1).

Esercizio 3.a) Sia F un campo vettoriale definito su un aperto A di R2. Scrivere le definizioni di F conservativosu A e di potenziale di F in A.b) Si consideri il campo vettoriale

F(x, y) = (cos(y) + 3)i + (x sin(y) + 2g(x))j;dove g(x) e` una funzione definita e derivabile su tutto R tale che g(1) = 1.Per quali funzioni g(x) il campo F e` conservativo su R2?Per tali funzioni si trovi un potenziale di F, e si calcoli lintegrale

F dr (lavoro di F lungo ), dove

e` larco della parabola y = x2 compreso tra la retta x = 0 e la retta x = 2, percorso dallalto versoil basso.

Esercizio 4.Sia S la superficie grafico della funzione f(x, y) = 4 x2 y2, definita sul disco

D = {(x, y) R2 | x2 + y2 4}e sia F il campo vettoriale

F(x, y, z) = 3yi + 3xj.a) Si enunci il teorema del rotore o di Stokes.b) Trovare lelemento darea dS della superficie S.c) Si orienti la superficie S col versore normale n diretto verso lalto, e si calcoli il flusso

S

rotF n dS

attraverso S del rotore di F.d) Si calcoli il lavoro

F ds

lungo il bordo della superficie S, con lorientazione indotta da n.


2.3 A.A. 2009/2010 29 giugno 2010

Esercizio 1.Nel piano cartesiano si considerino i punti

O = (0, 0), A =

(3

2,1

2

), B =

(

3

2,1

2

).

Sia D il settore circolare convesso delimitato dai segmenti OA, OB e dallarco AB della circonferenzacon centro nellorigine e passante per A. Calcolare lintegrale

I =

D

|x| dx dy.

Esercizio 2.Determinare il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x, y) = xy sullinsieme E ={(x, y) R2 | x2 + 2xy + 4y2 = 12}.Esercizio 3.Si consideri la famiglia di campi vettoriali in R2 \ {(0, 0)}

F(x, y) =x+ y

2x2 + 2y2i +

x+ y

2x2 + 2y2j, , R.

a) Dare la definizione di campo vettoriale irrotazionale.b) Per quali , il campo F e` irrotazionale in R2 \ {(0, 0)}?c) Per gli , di cui al punto (b) calcolare

F dr,

dove e` la circonferenza di centro nellorigine e raggio 1 orientata positivamente.d) Esistono valori di , per cui F puo` essere conservativo? Per questi valori determinare, sepossibile, un potenziale di F. Per questi valori F e` conservativo?

2.4 A.A. 2009/2010 4 luglio 2011

Esercizio 1.Sia f(x, y) = (x + y)ex

2y2 . Determinare gli estremi assoluti di f nel triangolo chiuso di vertici(0, 0), (1, 1), (0, 2).

Esercizio 2.Nel piano cartesiano, sia il bordo, orientato in senso antiorario, del parallelogramma di vertici(2/3, 0), (5/3, 0), (1, 1), (2, 1). Si calcoli il lavoro lungo del campo vettoriale

F(x, y) =y

x2i +

3

xj.

(Suggerimento: utilizzare il teorema di Gauss-Green per trasformare lintegrale di linea in un integraledoppio.)


Esercizio 3.Si consideri campo vettoriale

F(x, y) =2x(1 ey)(1 + x2)2

i +

(ey

1 + x2+ 1

)j.

a) Il campo vettoriale F(x, y) e` conservativo in R2? Motivare la risposta. Se lo e`, se ne trovi unpotenziale.b) Si calcoli il lavoro di F(x, y) lungo larco di curva x2 + 9y2 = 1 compreso nel secondo quadrantee percorso in verso antiorario.

Capitolo 3

Testi degli appelli desame

3.1 A.A. 2007/2008 I appello 9 luglio 2008

Esercizio 1.Sia f : R4 R3 e sia

A =

1 1 0 k2 4 k 63 k 0 9

, k R,la matrice che la rappresenta, rispetto alle basi canoniche di R4 e R3.a) Si determinino, al variare di k, le dimensioni dellinsieme immagine e del nucleo di f .b) Si determini, al variare di k, una base dellinsieme immagine di f .

Esercizio 2.Si determini la soluzione del sistema di equazioni differenziali{

x = 2x+ 3yy = 3x 2y

che soddisfa la condizione x(0) = 1, y(0) = 2.

Esercizio 3.Si verifichi che lequazione

f(x, y) = ln xy + 5x?4y?xy = 0

definisce implicitamente in un intorno di x = 1 ununica funzione y = g(x), tale che g(1) = 1. Pertale funzione si scriva il polinomio di Taylor di secondo grado con centro in x = 1.

Esercizio 4.Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione f(x), 2pi-periodica, tale che f(x) = 3 + |x| perx [pi, pi]. Si dica per quali valori di x la serie converge a f(x).Esercizio 5.Si calcoli lOarea della regione piana compresa tra la curva di equazione{

x = 3(t sin t)y = 2 sin(2t) , t

[0,pi

2

],

e la retta di equazione y = 2.

10

CAPITOLO 3. TESTI DEGLI APPELLI DESAME 11

3.2 A.A. 2007/2008 II appello 8 settembre 2008

Esercizio 1.Date le matrici

A =

[1 0 32 4 5

], B =

[2 3 41 1 0

],

si calcolino i prodotti ATB e ABT , si dica se le matrici ATB e ABT sono invertibili e, in casoaffermativo, si calcoli la matrice inversa.

Esercizio 2.Date le serie

+n=1

(3 )n,+n=1

n+ 4

n(n+ 1),

determinare, in corrispondenza di ciascuna di esse, per quali valori di converge, e per tali valori sene calcoli la somma.

Esercizio 3.Sia f(x, y) = 2xy x2 4 ln(1 + y2).a) Si determinino i punti stazionari di f e se ne stabilisca la natura.b) Si scriva lequazione della retta tangente alla curva di livello passante per il punto (1, 0).

Esercizio 4.Si calcolino le coordinate del centroide (baricentro) della lamina D situata nel secondo quadrante,compresa tra la circonferenza con centro nellorigine e raggio 3 e la retta di equazione y x = 3.Esercizio 5.E` assegnato il campo vettoriale

F(x, y, z) = 4xi + 4yj + xzk.

a) Si dica se F e` conservativo.b) Si calcoli il lavoro del campo lungo la linea di equazione

r(t) = t cos ti + t sin tj + 3tk, t [0, pi].

3.3 A.A. 2007/2008 III appello 16 febbraio 2009

Esercizio 1.E` assegnata la matrice

A =

k 5 30 4 00 2 4

, k R.a) Si dica per quali valori di k A e` invertibile.b) Si dica per quali valori di k A e` diagonalizzabile.

Esercizio 2.Dati

an =4 sinn

n3, bn =

3(1)nlnn

,


si determini il carattere delle serie

+n=2

an,+n=2

bn,+n=2

(an + bn).

Esercizio 3.Dopo averne giustificato lesistenza, si determinino massimo e minimo della funzione f(x, y) = 2

xy,

sottoposta ai vincoli {2x+ 3y 25x 0, y 0 .

Esercizio 4.Si verifichi che lequazione

f(x, y) = ln(3x+ y) + x3 2y + 2 = 0definisce implicitamente in un intorno di x = 0 ununica funzione y = g(x), tale che g(0) = 1. Siscriva, per la funzione g, la formula di Maclaurin arrestata al secondordine.

Esercizio 5.Sia

F(x, y) = (3x2 + 4xy)i + (x2 + 5y2)j, R.a) Si dica per quale valore di il campo e` conservativo e, in tal caso, si calcoli il potenziale che siannulla nel punto (0, 1).b) Per = 0, si calcoli il lavoro del campo lungo la linea di equazione

r(t) = ti + 2 sin tj, t [0, pi].


Esercizio 1.In R3, fissata la base canonica e1, e2, e3, consideriamo lapplicazione lineare f : R3 R3 definita da

f(e1) = 3e1 + e3, f(e2) = e2, f(e3) = e1 + 3e3.

a) Scrivere la definizione di autovettore di una matrice quadrata.b) Trovare la matrice A che rappresenta f rispetto alla base canonica.c) Esistono basi di R3 costituite da autovettori di A a due a due ortogonali tra loro? Se esistono, sene trovi una. (Non si richiede che gli autovettori scelti siano di lunghezza 1).d) Trovare, se esiste, una matrice ortogonale P tale che P1AP sia diagonale.e) Scrivere una matrice diagonale D, se esiste, che sia simile alla matrice A.f) La matrice A4 ha una base ortonormale di autovettori? Perche?

Esercizio 2.Dato il campo vettoriale

F(x, y, z) = 3x(ez + 1)i + 2(y + z2)j + 3(ez + z)k,calcolare il flusso di F uscente dalla piramide P avente i vertici in

O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 4).


(Suggerimento: i punti A, B e C appartengono al piano 2x+ y + z = 4.)

Esercizio 3.Trovare il massimo assoluto e il minimo assoluto di f(x, y) = xy + 4 sullellisse C di equazioneg(x, y) = x2 + y2 xy 1 = 0.Esercizio 4.Si determini il carattere delle seguenti serie, enunciando con precisione il criterio utilizzato:

+n=1

4n3 + 2n lnn+n

5n4 + n2en + n+ 3,

+n=1

n! 3n

nn.

Esercizio 5.Si consideri lequazione differenziale

y + 2y = cos(t),

con R.a) Al variare di 0, si risolva lequazione.b) Nel caso = 1, si dia uninterpretazione fisica del risultato ottenuto.


Esercizio 1.Sia f : R3 R3 unapplicazione lineare.a) I vettori non nulli del nucleo di f sono autovettori di f?Sia dora in avanti f : R3 R3 lapplicazione lineare definita da

f

xyz

=

13x+ 1

3y 1

3z

13x+ 5

6y + 1

6z

13x+ 1

6y + 5

6z

.b) Determinare una base del nucleo di f .c) Determinare una base dellimmagine di f .d) Mostrare che i vettori non nulli dellimmagine di f sono autovettori di f .e) Determinare una base di R3 formata da autovettori di f (non occorre calcolare il polinomiocaratteristico). Qual e` la matrice di f rispetto a tale base?f) Descrivere f geometricamente.

Esercizio 2.Nel piano cartesiano, la parabola di equazione y = 5x2 e la retta di equazione y = 5x si intersecanonellorigine O e in un secondo punto P . Una particella parte dallorigine e si muove lungo la parabolafino al punto P , poi ritorna allorigine percorrendo la retta da P a O. Trovare il lavoro fatto sullaparticella dal campo di forze

F(x, y) = (x2ex6 y3)i + (x3 + yey6)j.

Esercizio 3.Si consideri, al variare del parametro reale , la seguente equazione differenziale

y + (1 )y y = t2 + 1.


a) Calcolare, al variare di , le soluzioni dellequazione omogenea associata.b) Si dica se esistono valori di per i quali tutte le soluzioni dellequazione omogenea associata sonolimitate in [0,+).c) Nel caso = 1, si determini lintegrale generale dellequazione completa.Esercizio 4.Si consideri la funzione

f(x, y) =xy(2x+ y).

a) Si determini il dominio di f(x, y) e lo si disegni nel piano. Si tratta di un insieme aperto? chiuso?connesso? limitato?b) La funzione f(x, y) e` continua nellorigine? Ammette derivate parziali nellorigine?c) Sia C la curva di livello di f(x, y) per il punto P = (1, 2). Si verifichi che il gradiente di f(x, y)non si annulla in P , e si determini lequazione della retta tangente alla curva C nel punto P .


Esercizio 1.Sia A una matrice m n, e sia AT la sua trasposta.a) La matrice B = (AT )A e` una matrice quadrata anche quando m 6= n? E` una matrice simmetrica?E` diagonalizzabile?b) Data la matrice

A =

[1 1 22 1 1

],

si calcoli il prodotto B = (AT )A, e si trovino una matrice invertibile S e una matrice diagonale Dtali che S1BS = D.

Esercizio 2.a) Stabilire per quali valori del parametro reale a il campo vettoriale

F(x, y) =

(y2 a y

x2 + y2

)i +

(2xy + a

x

x2 + y2

)j

e` irrotazionale nel suo insieme di definizione.b) Calcolare il lavoro del campo lungo la circonferenza C con centro nellorigine e raggio unitario,percorsa in senso antiorario.c) Stabilire per quali valori di a R il campo e` conservativo nel suo insieme di definizione.d) Stabilire per quali valori di a R il campo e` conservativo sul disco aperto

= {(x, y) : (x 1)2 + (y 2)2 < 1}.

Esercizio 3.Stabilire il carattere di ciascuna delle seguenti serie, motivando le risposte:

+n=1

1

nsin

1

n,

+n=1

2n(n+ 1)

n!,

+n=1

(1)n cos 1n.

Esercizio 4.Si consideri la seguente equazione differenziale:

(3.1) y(x) 5y(x) + 6y(x) = 3e3x.


a) Trovare lintegrale generale1 dellequazione omogenea associata.b) Trovare lintegrale generale dellequazione assegnata 3.1.


Esercizio 1.a) Data la matrice

A =

2 2 02 9 20 2 2

,determinare, se possibile, una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = QTAQ.b) La funzione (forma quadratica)

q(x, y, z) = 2x2 4xy + 9y2 + 4yz + 2z2

ha nellorigine (0, 0, 0) un punto di massimo assoluto, di minimo assoluto o di sella? Giustificare larisposta.

Esercizio 2.In R3, si consideri il campo vettoriale

F(x, y, z) = xyi + xyk.

Sia S la porzione della superficie di equazione

S = {(x, y, z) R3 : z = 3 x2 y2}

la cui proiezione sul piano x, y e` il disco

D = {(x, y) R2 : x2 + y2 1}.

Si fissi su S una orientazione mediante un versore normale n, in modo tale che nel punto (0, 0, 3) Sil versore n sia diretto come k.a) Enunciare il teorema di Stokes nello spazio.b) Calcolare il flusso di rotF attraverso la superficie S, orientata con il versore normale n fissato.c) Determinare larea di S.

Esercizio 3.Sia data la funzione

f(x, y) =

x6 sin(

1

x2 + y2

)se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

a) Stabilire se f e` continua nellorigine.b) Stabilire se f ammette derivate parziali prime nellorigine.c) Stabilire se f e` differenziabile nellorigine.d) Supponiamo che una funzione sia differenziabile in un punto. Cio` garantisce che le derivateparziali prime, in tale punto, siano continue? Giustificare la risposta.

1Cioe` lespressione di tutte le soluzioni.



Esercizio 1.Sia f : R3 R3 loperatore lineare definito da

f(x, y, z) = (x+ 3z, 2y, 3x+ z).

Denotiamo con A la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R3.a) Determinare la matrice A.b) Loperatore f e` suriettivo?c) Trovare una base per ogni autospazio di A, specificando il relativo autovalore.d) Trovare una matrice ortogonale Q, se esiste, per la quale Q1AQ sia diagonale e scrivere lamatrice Q1AQ.

Esercizio 2.a) Enunciare il teorema della divergenza nello spazio.b) Calcolare il flusso uscente (F) del campo vettoriale F = xi yj + xyzk attraverso la superficiebordo del solido V = {(x, y, z) R3 : (x, y) T, 0 z 4}, ove T , in coordinate polari, e` dato da

T ={

(, %) : pi4 pi

4, 0 % cos(2)

}.

Esercizio 3.Si consideri la famiglia di campi vettoriali in R2 \ {(0, 0)}

F(x, y) :=x+ y

x2 + y2i +

x+ y

x2 + y2j, R.

a) Dare la definizione di campo vettoriale irrotazionale su un aperto U R2.b) Determinare R in modo tale che F sia irrotazionale in R2 \ {(0, 0)}.c) Sia F il campo irrotazionale determinato in (b). Calcolare

F dr, dove e` la circonferenza di

centro nellorigine e raggio 1 orientata in senso antiorario.d) Il campo vettoriale F e` conservativo in R2 \ {(0, 0)}?e) Il campo vettoriale F e` conservativo nel semipiano y > 0? In caso affermativo, determinare unpotenziale.


Esercizio 1.Sia assegnata la superficie S di equazioni parametriche

x = sin(uv)

y = cos(uv)

z = 2u, (u, v) T =

{(u, v) R2 : pi

6 v pi

2,1

2 u sin v

}.

a) Dare la definizione di integrale di superficie.b) Calcolare larea della superficie S.c) Calcolare lintegrale di superficie

I =

S

x2 + y2

zdS.


Esercizio 2.Si consideri il sistema di equazioni differenziali{

x = x+ 2y

y = 2x+ y.

a) Siano U1(t) = (x1(t), y1(t)) e U2(t) = (x2(t), y2(t)) due soluzioni del sistema; si dica se la funzioneU1(t) + U2(t) e` anchessa soluzione dello stesso sistema. Si giustifichi la risposta.b) Si trovi lintegrale generale del sistema.

Esercizio 3.Sia f lapplicazione lineare che, rispetto alla base canonica di R3, e` rappresentata dalla matrice

A =

2 2 02 4 20 2 2

.Determinare, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.


Esercizio 1.Sia f : R3 R3 lapplicazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica {e1, e2, e3}, dallamatrice

A =

2 6 01 3 2 3 0

, R.a) Determinare in modo che lequazione f(v) 2v = 0 abbia anche soluzioni non nulle.b) Per il valore di trovato, determinare una base per Ker f e Im f .c) Per il valore di trovato, stabilire se la matrice e` diagonalizzabile e, in caso affermativo, scrivereuna matrice diagonale D simile ad A e una matrice invertibile S per la quale S1AS = D.

Esercizio 2.a) Risolvere il problema di Cauchy

y + y = x2

y(0) = 0

y(0) = 0

.

b) Determinare tutti i valori del parametro R per i quali lequazione y y = 0 ha infinitesoluzioni periodiche.

Esercizio 3.Determinare, se esistono, massimo e minimo assoluti della funzione g(x, y) = x3 + y3 sullinsiemeD = {(x, y) R2, |x| 1, |y| 1}.Esercizio 4.Si consideri la superficie S = {(x, y, z) R3 : z = x2 +y2, x2 +y2 4}, orientata con vettore normaleavente componente in k positiva.a) Dato il campo F = (y 2z, y, 2x+ ez2), calcolare il rotore di F e stabilire se F e` conservativo.b) Calcolare il lavoro compiuto da F lungo il cammino S (con lorientazione indotta da S).



Esercizio 1.Si considerino le matrici:

A =

1 0 01 1 11 0 2

e B = 2 0 00 1 01 0 1

.a) Trovare gli autovalori di A e di B.b) Stabilire se le matrici A e B sono diagonalizzabili.c) Stabilire se esistono due matrici P e Q invertibili tali che P1AP = Q1BQ.

Esercizio 2.Sia data la funzione f(x), periodica di periodo 2pi, definita da

f(x) =

0 pi x 0sinx

0 x pi.

a) Disegnare il grafico di f nellintervallo [2pi, 2pi].b) Calcolare i coefficienti a1 e b1 della serie di Fourier di f .c) Stabilire per quali x R la serie di Fourier di f converge a f(x).Esercizio 3.a) Dare la definizione di flusso di un campo vettoriale attraverso il bordo di un dominio limitato inR2.b) Enunciare il teorema della divergenza nel piano.c) Mediante il teorema della divergenza calcolare il flusso del vettore F = 2xyi + x6j attraverso ilbordo +D del dominio D che, nelle coordinate polari (%, ), e` dato da

D ={

0 pi, 0 % 1/3} .Esercizio 4.Si consideri la funzione

f(x, y) =

x3 3x2y3x2 + y2

(x, y) 6= (0, 0)0 (x, y) = (0, 0)

.

a) Dimostrare che f(x, y) e` continua in R2.b) Calcolare la derivata direzionale di f(x, y) in (0, 0) lungo la direzione individuata dal vettorev = i + j.c) Dire se f(x, y) e` differenziabile in (0, 0).


Esercizio 1.a) Enunciare il criterio della radice per le serie numeriche.b) Stabilire il carattere della serie

n=1

(sin2(n/2)

n2

)2n.


c) Determinare la somma della serien=2

(1

4

)n.

Esercizio 2.a) Dare la definizione di lavoro compiuto da un campo vettoriale F nello spazio R3 lungo un camminoparametrizzato .b) Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F(x, y, z) = yzi+ yzj+ y2k lungo la linea diequazioni parametriche:

(x(t), y(t), z(t)) = (t2, et, t), t [0, 1].

Esercizio 3.Sia {u1,u2,u3} una base di R3 e sia f : R3 R3 lapplicazione lineare definita da

f(u1) = u1 + u2, f(u2) = u1 u2, f(u3) = 0.

a) Scrivere la matrice A che rappresenta f rispetto alla base {u1,u2,u3}.b) Determinare gli autovalori e gli autovettori della matrice A.c) Esiste una base di R3 rispetto alla quale la matrice che rappresenta f e` diagonale?d) Trovare una base del sottospazio Im f (limmagine dellapplicazione).e) Trovare gli eventuali valori di h R per i quali il vettore 2u1 + hu2 + 4u3 appartiene a Ker f .f) Lapplicazione f2012 e` iniettiva?

Esercizio 4.Sia data la funzione:

f(x, y) =

arctan1

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

(x, y) = (0, 0).

a) Determinare il valore di per cui la funzione e` continua nellorigine.b) Calcolare le derivate parziali nellorigine della funzione assegnata, per il valore trovato nel puntoprecedente2.c) Dare la definizione di differenziabilita` nellorigine per una generica funzione f(x, y).d) Per il valore di per cui la funzione f(x, y) e` continua nellorigine, stabilire se essa risulta anchedifferenziabile nellorigine.

2E` necessario utilizzare la seguente relazione, valida per ogni t > 0:

arctan t+ arctan1

t=pi

2.

Parte II

Soluzioni

20

Capitolo 4

Soluzioni delle prime prove in itinere

4.1 Prova del 6 maggio 2008

Soluzione dellesercizio 1.Lequazione caratteristica 2 + 4 + 13 ha le radici complesse 2 3i, quindi lintegrale generaledellequazione omogenea e`

z(t) = e2t(H(cos(3t) +K sin(3t)).

Cercando una soluzione y1(t) dellequazione y+ 4y+ 13y = 13t della forma y1(t) = At+B, si trova

la soluzione

y1(t) = t 413.

Cercando una soluzione y2(t) dellequazione y+ 4y+ 13y = 10et della forma y2(t) = Cet, si trova

la soluzioney2(t) = e

t.

Per il principio di sovrapposizione lintegrale generale dellequazione data e`

y(t) = z(t) + y1(t) + y2(t) = e2t (H cos(3t) +K sin(3t)) + t 4

13+ et.

Per trovare la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali, calcoliamo la derivata

y(t) = 2e2t (H cos(3t) +K sin(3t)) + e2t (3H sin(3t) + 3K cos(3t)) + 1 et,sostituendo t = 0 troviamo y(0) = H

413

+ 1

y(0) = 2H + 3K,

da cui, imponendo y(0) = y(0) = 0, ricaviamo H = 913

e K = 613

, quindi la soluzione del problemadi condizioni iniziali e`

z(t) = e2t( 9

13cos(3t) 6

13sin(3t)

)+ t 4

13+ et.

Soluzione dellesercizio 2.La serie geometrica

+n=0 q

n converge se |q| < 1. Siccome+n=1

|x|n3n + 4n

+n=1

( |x|3

)n,

21

CAPITOLO 4. SOLUZIONI DELLE PRIME PROVE IN ITINERE 22

per il criterio del confronto la serie+n=1

xn

3n + 4n

converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, se |x| < 3. Se invece |x| 3, il terminegenerale x

n

3n+4n xn

3nnon tende a zero per n +, e quindi la serie non converge.

Si noti che il criterio del confronto vale per le serie a termini positivi: per questo abbiamo dovutoconsiderare il valore assoluto del termine generale.

Per quanto riguarda la seconda serie, osserviamo che

+n=1

| sin (nx) |3n3 + 5

+n=1

1

3n3 + 5,

la serie a secondo membro (che non dipende da x) converge perche 3n3 + 5 3n3 per n +,quindi la serie data converge assolutamente per ogni valore di x.

Soluzione dellesercizio 3.a) Calcoliamo il rango di A riducendo la matrice A a scala mediante operazioni elementari sullerighe. Dividiamo la prima riga di A per due, quindi sottraiamo 3 volte la prima riga dalla seconda,e infine aggiungiamo 4 volte la prima riga alla terza. Otteniamo cos`

A =

2 2 0 23 1 3 04 0 3 1

1 1 0 10 4 3 3

0 4 3 3

1 1 0 10 4 3 3

0 0 0 0

(dove A B significa che B e` ottenuta da A mediante operazioni elementari sulle righe).Lultima matrice sulla destra e` a scala con due righe non nulle, quindi il rango di A e` 2, dunque

dim (Immagine di f) = rk(A) = 2

dim (Nucleo di f) = numero colonne di A rk(A) = 4 2 = 2.

b) Limmagine di f coincide con lo spazio generato dalle colonne della matrice A. Il vettore

v =

011

e` uguale al prodotto della terza colonna di A per lo scalare 1/3, quindi appartiene allimmagine.In alternativa, si puo` procedere cos`: siccome limmagine ha dimensione due, la seconda colonna A(2)

e la quarta colonna A(4), che sono linearmente indipendenti, formano una base dellimmagine. Ilvettore v appartiene allimmagine se e solo se e` combinazione lineare di A(2) e A(4), cioe` se e solo sela matrice

(A(2) A(4) v

)ha rango 2. Ora

(A(2) A(4) v

)=

2 2 01 0 10 1 1

ha rango due (per esempio perche ha determinante nullo e le prime due colonne sono linearmenteindipendenti), quindi v appartiene allimmagine.


Soluzione dellesercizio 4.a) Usiamo il fatto che una matrice e` diagonalizzabile (nel campo dei numeri reali) se e solo se isuoi autovalori sono tutti reali, e ciascun autovalore e` regolare, cioe` la sua molteplicita` algebricacoincide con la sua molteplicita` geometrica, il che e` automatico se la molteplicita` algebrica e` uno(un autovalore semplice e` regolare).Calcolando il polinomio caratteristico, troviamo che, indipendentemente da k, la matrice ha dueautovalori reali, 1 = 3 con molteplicita` algebrica 2, e 2 = 2 con molteplicita` algebrica 1. Quindigli autovalori sono tutti reali, 2 e` semplice, quindi regolare, e la matrice e` diagonalizzabile se e solose anche 1 e` regolare. Calcoliamo quindi la molteplicita` geometrica di 1:

m.g.(1) = dim ker (A 3I) = 3 rk (A 3I)

= 3 rk0 0 7k 0 4

0 0 1

=1 se k 6= 02 se k = 0 .

Concludiamo che la matrice e` diagonalizzabile se e solo se k = 0.b) Se k = 0, la matrice e`

A =

3 0 70 3 40 0 2

.Calcoliamo gli autovettori di A. Lautospazio relativo a 1 = 3 ha equazioni

(A 3I)xyz

=00

0

,tutte e tre le equazioni sono equivalenti allequazione z = 0, quindi lautospazio relativo a 1 e` ilpiano z = 0. Come autovettori linearmente indipendenti possiamo scegliere ad esempio

i =

100

e j =01

0

.Lautospazio relativo a 2 = 2 ha equazioni

(A 2I)xyz

=00

0

,equivalenti a {

x 7z = 0y 4z = 0 ,

scegliendo z = 1 troviamo lautovettore

v2 =

741

,In conclusione {i, j,v} e` una base di R3 formata da autovettori di A.La matrice A, essendo diagonalizzabile, e` simile alla matrice diagonale D che ha sulla diagonale gliautovalori di A:

D =

3 0 00 3 00 0 2

,


piu` precisamente, se P e` la matrice che ha per colonne i tre autovettori i, j,v, si ha

P1AP = D.


Soluzione dellesercizio 1.a) Cfr. il libro di testo.b)

A =

1 3 42 1 31 2 1

.c) dim Im f = rkA = 2.d) Una base di kerA e` il vettore [1,1, 1]T .e) Riduciamo a scala la matrice completa [A,w] del sistema lineare Ax = w:

[A,w] =

1 3 4 22 1 3 31 2 1 1 + h

1 3 4 20 5 5 1

0 5 5 3 + h

1 3 4 20 5 5 1

0 0 0 2 + h

Il vettore w non appartiene allimmagine di f se, e solo se, il rango di [A,w] e` diverso dal rango diA, cioe` se e solo se h 6= 2.f) f non e` iniettiva. (Perche ker f 6= 0).Soluzione dellesercizio 2.Per ipotesi, v e` un vettore non nullo per il quale Av = v. Allora si ha:

A2v = A(Av) = A(v) = (Av) = 2v;

in modo simile, A3(v) = A(A2v) = A(2v) = 2(Av) = 3v. (Piu in generale, Anv = nv, perogni intero positivo n). Dunque

(A3 3A)v = A3v 3Av = 3v 3v = (3 3)v.

Dunque, v e` anche autovettore di A3 3A, con autovalore 3 3. Nel nostro caso = 2, dunquelautovalore e` uguale a 23 3 2 = 2.Soluzione dellesercizio 3.a) La risposta e` affermativa. Infatti, linsieme delle soluzioni e` uno spazio vettoriale. In particolare,associamo al sistema la matrice

A =

[1 31 1

].

Se u1 e u2 sono soluzioni del sistema, allora

u1 = Au1 e u2 = Au2;

dalla linearita` segue che

(u1 + u2) = u1 + u

2 = Au1 + Au2 = A(u1 + u2),


cioe` la tesi.b) Cerchiamo autovalori e autovettori della matrice A associata al sistema. Lequazione caratteristicadi A e`

det(A I) = 2 4 = 0,le cui radici sono gli autovalori della matrice, 1 = 2 e 2 = 2. Per trovare gli autovettori relativia 1 risolviamo il sistema omogeneo

(A 2I)[xy

]=

[00

],

le cui soluzioni sono i vettori di tipo [, ]T , al variare di in R. Scegliamo lautovettore v1 = [1, 1]T .Per trovare gli autovettori relativi a 2 risolviamo il sistema omogeneo

(A + 2I)

[xy

]=

[00

],

le cui soluzioni sono i vettori di tipo [3, ]T , al variare di in R. Scegliamo lautovettore v2 =[3, 1]T .Lintegrale generale del sistema e` quindi linsieme delle funzioni

u(t) = He2t[11

]+Ke2t

[31

]=

[e2t 3e2te2t e2t

] [HK

], H,K R.

c) Risolvendo il sistema lineare{H 3K = 4H +K = 0

H = K = 1,

si ottiene la soluzione che allistante t = 0 passa per il punto (4, 0):

u(t) = e2t[11

]+ e2t

[31

]=

[e2t 3e2te2t e2t

] [11

].

Soluzione dellesercizio 4.a)

pi pi 2pi 3pi

1 epi/2

b) Essendo la funzione dispari an = 0 per ogni n 0, mentre per ogni n 1

bn =2

pi

pi/20

(1 ex) sinnx dx.

c) La serie di Fourier converge in ogni punto dellintervallo ad f(x) eccetto i punti x = pi2

in cuiconverge a (1 epi/2)/2 e x = 3pi

2in cui converge a (epi/2 1)/2 (dal teorema di convergenza

puntuale delle serie di Fourier, cfr. il libro di testo).


4.3 Prova del 27 aprile 2010

Soluzione dellesercizio 1.Lequazione caratteristica e` 2 4 = 0, le cui soluzioni sono 1,2 = 2. Lintegrale generaledellequazione omogenea e` quindi

z(t) = He2t +Ke2t, H,K R.Poiche` 2 e` una radice del polinomio caratteristico, un integrale particolare dellequazione completa e`dato da

yc(t) = Ate2t,

la costante A si determina inserendo yc nellequazione, e si ottiene A =14, quindi

yc(t) =1

4te2t,

pertanto lintegrale generale dellequazione completa e`

y(t) = z(t) + yc(t) = He2t +Ke2t +

1

4te2t, H,K R.

Soluzione dellesercizio 2.a) Cfr. il libro di testo.b) La matrice associata a f rispetto alla base canonica e`

Af =

1 2 10 4 11 6 2

,si vede immediatamente che la terza riga e` la somma delle prime due, dunque rk(Af ) = 2, e quindidim(Im f) = 2; poiche le prime due colonne sono linearmente indipendenti, una base per Im f e` adesempio

BIm f =10

1

,24

6

.c) Poiche dim(Ker f) = 3 dim(Im f) = 1, i vettori del nucleo di f sono le soluzioni del sistemaomogeneo Ax = 0, riducendo a scala Af si ottiene immediatamente il sistema{

x+ 2y + z = 0

4y + z = 0

xyz

= 24

, R,dunque una base per il nucleo di f e`

BKer f = 214

.d) f non e` suriettiva (e quindi neanche biettiva), poiche` dim(Im f) = 2 < 3.

Soluzione dellesercizio 3.a) Cfr. il libro di testo.


b) Per il teorema spettrale, A (essendo simmetrica) e` ortogonalmente simile ad una matrice diago-nale. Calcoliamo gli autovalori:

det(IA) = det[+ 2 22 + 1

]= 2 + 3,

dunque gli autovalori di A sono 1 = 0 e 2 = 3. Calcoliamo gli autovettori corrispondenti: per1 = 0

(1IA)v1 = 0 v1 =[2

], R,

per 2 = 3(2IA)v2 = 0 v2 =

[2

], R;

normalizziamo v1 e v2 ponendo (a nostra scelta) = 13 e = 13 , dunque una base di R2formata da autovettori di A e`

B ={[

1/

32/

3

],

[2/

3

1/3]}

,

che e` formata da autovettori di A di norma 1. Si tratta di una base ortonormale perche i due vettorisono dei versori e sono perpendicolari tra loro (come devono essere in quanto autovettori relativi adautovalori distinti di una matrice simmetrica).

Soluzione dellesercizio 4.Utilizzando il criterio del rapporto si ottiene

limn+

an+1an

= limn+

n+ 1 + 2n+1

(n+ 3)!n+ 2n

(n+ 2)!

= limn+

n+ 1 + 2n+1

n+ 2n(n+ 2)!

(n+ 3)!

= limn+

n+ 1 + 2 2nn+ 2n

(n+ 2)!

(n+ 2)!(n+ 3)= lim

n+2

(n+ 3)= 0,

dunque la serie converge.


Soluzione dellesercizio 1.a) Sia A la matrice richiesta, le tre relazioni (riscritte in termini delle componenti rispetto alla base{b1,b2,b3}) del testo si traducono

A

100

=12

1

, A01

0

=23

0

, A00

1

= 311

;dunque

A =

1 2 32 3 11 0 1

.


b) Riduciamo a scala la matrice A:1 2 32 3 11 0 1

1 2 30 1 5

0 2 4

1 2 30 1 5

0 0 6

,dunque rkA = 3, per il teorema di nullita` piu` rango dim(Im f) = 3 e dim(Ker f) = 0.c) Cfr. il libro di testo. Poiche dim(Ker f) = 0, f e` iniettiva.

Soluzione dellesercizio 2.Effettuando il prodotto

A = u uT =

[1 22 4

].

a) La matrice A e` reale e simmetrica, dunque diagonalizzabile per il teorema spettrale. Gli autovaloridi A sono i = 0, 5 (non occorre determinare il polinomio caratteristico: la matrice ha due righeproporzionali, dunque il determinante e` nullo, e dunque devessere nullo almeno un autovalore, inoltrela traccia cioe` la somma degli autovalori vale 5), una matrice diagonale D simile ad A e`

D =

[0 00 5

].

b) Sempre in virtu` del teorema spettrale, la matrice di passaggio Q tale che Q1AQ = D puo` esserescelta ortogonale, i vettori colonna della matrice (autovettori di A) sono linearmente indipendenti,dunque la risposta e` affermativa. Determiniamo tali autovalori:

(1 = 0), (A 1I)v1 = A[xy

]= 0 v1 =

[2]

(2 = 5), (A 2I)v2 = (A 5I)[xy

]= 0 v2 =

[2

]normalizzando v1 e v2 otteniamo una base ortonormale B di R2:

B ={

v1v1 ,

v2v2

}=

{[2/

5

1/5],

[1/

5

2/

5

]}.

c) Il precedente punto a) suggerisce che, dato un vettore u, la matrice A == u uT sia (reale e)simmetrica, e dunque che i suoi autovalori siano (teorema spettrale) sicuramente reali. Mostriamoche

A = u uT A = AT ;infatti lelemento aij di A e` il prodotto delli-esima componente di u per la j-esima componentedi uT , mentre aji e` il prodotto della j-esima componente di u per la i-esima componente di uT ,ma poiche lordine delle componenti di u e di uT e` lo stesso i due valori coincidono, e quindi A e`simmetrica.

Soluzione dellesercizio 3.a) Cfr. il libro di testo.b) Il polinomio caratteristico e` 210+26, le cui radici sono i = 5 i, dunque lintegrale generalee`

z(t) = e5t(H cos t+K sin t).


c) Osservato che la parte omogenea dellequazione coincide con quella del precedente punto b), usiamoil principio di sovrapposizione ed il metodo di somiglianza: cerchiamo un integrale particolare dellaforma

y(t) = Ae5t +Bt+ C,

poiche [y(t)] = 5Ae5t + C e [y(t)] = 25Ae5t sostituendo y nellequazione ricaviamo

Ae5t + 26Bt+ (26C 10B) = 5e5t + 26t,

dunque A = 5, B = 1 e C = 513

; in definitiva lintegrale generale cercato e`

y(t) = e5t(H cos t+K sin t) + y(t) = e5t(H cos t+K sin t) 5e5t + t+ 513.

Esami 2007_2011 Analisi 2

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