Eserciziario - Analisi 2

7/27/2019 Eserciziario - Analisi 2

1/69

Esercizi di Analisi Matematica IIIngegneria Ambiente e Risorse Ingegneria Ambiente e Territorio Ingegneria Civile Ingegneria Edile

Marco Spadini

Edizione n. 20130205 del 7 febbraio 2013

Questa una raccolta di esercizi proposti agli studenti dei vari corsi da me tenuti. Si tratta di materiale disponibile in rete alla paginawww.dma.unifi.it/

spadini. La copia e la redistribuzione sono proibiti senza lesplicito consenso scritto dellautore.


2/69

Indice

1 Serie 1

1.1 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Funzioni reali di due o pi variabili reali 6

2.1 Dominio, continuit, derivate parziali etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Estremi locali ed assoluti, insiemi di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Equazioni differenziali 18

3.1 Struttura delle soluzioni, integrale generale, analisi qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Problemi al bordo e misti, altri problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Curve nel piano e nello spazio. Superfici 35

4.1 Sistemi di coordinate e parametrizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Curve descritte implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Problemi geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Integrali curvilinei 43

5.1 Integrali curvilinei rispetto al parametro darco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Grandezze geometriche e fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Lavoro, campi vettoriali e forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Integrali multipli e di superficie 53

6.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3 Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Vari 667.1 Algebra dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2 Operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

ii


3/69

Capitolo 1

Serie

1.1 Serie numeriche

Esercizio svolto: Studiare il carattere della seguente serienumerica

n=1

en

sin(n + n/2)n! + 3n

.

Svolgimento. Osserviamo cheen sin(n + n/2)n! + 3n enn! + 3n e

n

n!.

Dunque, per il teorema sulla convergenza assoluta e per ilcriterio del confronto, se la serie

n=1

en

n!. (A)

converge, allora converger anche quella in esame. Ap-plichiamo il criterio del rapporto alla serie (A). Siha

limn+

en+1

(n + 1)! n!

en= lim

n+e

n + 1= 0.

Dunque la serie (A) converge. Per quanto detto sopra anchela serie in esame converge.


n

=

1arctan

1n

3

.

Svolgimento. Applichiamo il criterio del confronto asintoti-co. Per n +, si ha 1/ n 0 Allora, usando lo sviluppodi McLaurin di arctan(x), si vede che

limn+

arctan

1

n

31

n3/2

= 1.

Dunque la serie in esame ha lo stesso carattere di

n

=1

1n3/2

.

Questultima serie converge per il criterio del confronto congli integrali impropri. Infatti,

+1

1

x3/2dx = 2 < +

.

Ne segue che la serie in esame convergente.


n=1

n! + 1n! + 2n

.

Svolgimento. Osserviamo che

limn+

n! + 1n! + 2n

= 1.

In particolare esso non zero. Quindi la serie non pu con-vergere. Dunque, essendo una serie a termini non negativi,necessariamente diverge.

Esercizio svolto: Studiare il carattere della seguente serienumerica e calcolarne la somma.

S =

n=1

1n2 + n

.

Svolgimento. Osserviamo che

1n2 + n

= nn + 1

n 1n

.

Posto an =n1

n, si ha

SN :=N

n=1

1n2 + n

=

Nn=1

(an+1 an)

= aN+1 a1 =N

N + 1.

Dunque la serie converge perch limN SN = 12 . InoltreS = 12 .

1


4/69

2 CAPITOLO 1. SERIE

Esercizio 1.1: Stabilire se le seguenti serie numericheconvergono

n=12

(1)nen3en + n

n=12

(1)ne2n3e2n + n2

[Soluzione: No.]

Esercizio 1.2: Studiare il carattere delle seguenti serienumeriche

n=2

n3

n 1 e2n,

n=1

5n cos(2n)(n + 2)!

.

Esercizio 1.3: Determinare il carattere delle seguenti serie

numeriche:+n=1

2n sin nn!

,

+n=1

n2en2,

+n=1

sin(n + /2)n

.

Esercizio 1.4: Mediante il criterio del confronto asintotico,stabilire il carattere delle seguenti serie

n=1

1 cos

1

n

3

n=1

cos 1

n

Esercizio 1.5: Stabilire il carattere della seguente serie.

i=1

sin( 2 + nen)

1 + n2

sin

n

n3 + 2n + 3

.

[Soluzione: Converge.]

Esercizio 1.6: Stabilire il carattere delle seguenti serie.

i=1

n

n2 arctan(en),

i=1

3

n

n2 arctan(n).

[Soluzione: La prima diverge, la seconda converge.]

Esercizio 1.7: Determinare per quali valori di R laseguente serie numerica converge:

n=1

sin( 2 + n)

n cos( 2 +1

n)

Come cambia il risultato se si considera la serie numerica (atermini positivi) data da:

n

=1

sin( 2 + n)

n cos(

2

+ 1

n

)

per R?Esercizio 1.8: Determinare per quali valori di > 0 laseguente serie numerica converge:

n=1

1n2 cos( 2 +

1n

)

[Soluzione: Converge per 0 < < 1 diverge per 1.]

Esercizio 1.9: Si consideri, per > 0, la seguentesuccessione {a

j}jN R {} definita da

aj =

n=j

1n3 cos

2

+1

n2 .

Stabilire per quali valori di si ha aj

R. Determinare poiper quali, tra questi valori di , si ha

limj

aj+1

aj

< 1.

[Soluzione: > 3/2, tutti.]

Esercizio 1.10: Studiare il carattere della seguente serienumerica e calcolarne la somma.

S =

n=2

2n2 n .

[Soluzione: Converge, S =

2/3.]

Esercizio 1.11: Studiare, in dipendenza di > 0, il caratteredella seguente serie numerica e calcolarne la somma.

S =

n=2

n 1 n2 n

n.

[Soluzione: Converge per (0, 1] con S = 2; diverge per > 1.]

Esercizio 1.12: Studiare il carattere della seguente serienumerica:

n=1

n

n + (

1)nn2

n3 + n .

Suggerimento. Scrivere la serie come la seguente somma:

n=1

n n + (1)nn2n3 + n

=

n=1

n nn3 + n

+

n=1

(1)nn2n3 + n

,

e mostrare che entrambe le serie addendo convergono.

[Soluzione: Converge.]


n

=1

n

n5 + (1)nn2n3 + n

.


5/69

1.2. SERIE DI POTENZE 3


n=1

n

n5 + (1)nn2n3 + n

=

n=1

n

n5

n3 + n+

n=1

(1)nn2n3 + n

,

e mostrare che le serie addendo sono, rispettivamente, divergente econvergente.

[Soluzione: Diverge.]


n=1

(1)5n

3n2 + (1)n

n

.Suggerimento. Osservare che (1)5n = (1)n e poi adattare ilsuggerimento dellesercizio 1.13.

[Soluzione: Diverge.]

Esercizio 1.15: Studiare, in dipendenza dal parametro R, il carattere della seguente serie numerica:

n=2

n + (1)3n 3

n2

n3.


n=2

n + (1)3n 3

n2

n3=

n=1

n

n3+

n=1

(1)3n 3

n2

n3,

e studiare il carattere delle serie addendo.

[Soluzione: Converge per < 4, diverge per

4.]

1.2 Serie di potenze

Esercizio svolto: Determinare linsieme D di convergenzadella seguente serie e trovarne la somma.

n=0

(1)nx2n3n(n + 1)

Svolgimento. Poniamo t = x2

3 , la serie diventa

n=0

tn

n + 1

Il suo raggio di convergenza 1, inoltre questultima serieconverge per t = 1 e diverge per t = 1. In definitiva lulti-ma serie converge per t [1, 1). Quindi la serie assegnataconverge per quei valori di x tali che

x23

[1, 1)

cio 0

x

3.

Per determinare la somma della serie poniamo, per t [1, 1), f(t) = n=1 tnn+1 e consideriamo

g(t) := t f(t) =

n=1

tn+1

n + 1

.

Si ha, per t (1, 1), g(t) = n=1 tn = t1t, dunquef(t) = ln(1 t)

tper t 0

e f(0) = 1. Infine,

n=0

(1)nx2n3n(n + 1)

= f(x2

3) =

3 ln(1+ x

2

3 )x2

per x (0,

3),

1 per x = 0.

Esercizio svolto: Sia Fn la successione di Fibonacci definitaper ricorrenza da

F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn1 per n 1.

(1) Determinare il raggio di convergenza r della serien=0 Fnx

n.(2) Trovare una formula per la somma della serie

n=0 Fnx

n

nel suo dominio di convergenza.(3) Determinare linsieme di convergenza.Svolgimento. (1) Cerchiamo di calcolare il raggio diconvergenza usando il limite

r = limn

Fn1Fn .

Poniamo, per n 1, n = Fn1Fn (osserviamo che Fn 0 perogni n N). Inoltre, visto che Fn > Fn1, si osserva che0 < n < 1. Cerchiamo di i punti di accumulazione per lasuccessione {n}nN. Si ha

1n+1

=Fn+1

Fn=

Fn + Fn1Fn

= 1 + n.

Allora se un punto di accumulazione, deve soddisfare

0 < < 1 e lequazione 1 = 1 + cio 2 + 1 = 0. Le soluzioni di questa equazione sono due: 12 (1

5), ma lunica di esse che nellintervallo (0 , 1) =12 (

5 1). In definitiva, la successione limitata {n}nN ha

un unico punto di accumulazione, dunque convergente edil suo limite vale . Quindi il raggio di convergenza dellaserie data r = .(2) Se x tale che

n=0 Fnx

n converge, poniamo G(x) =n=0 Fnx

n. Allora

xG(x) =

n

=0

Fnxn+1 =

n

=1

Fn1xn,


6/69

4 CAPITOLO 1. SERIE

analogamente,

x2G(x) =

n=0

Fnxn+2 =

n=2

Fn2xn.

Dunque,

G(x) xG(x) x2G(x)

= F0 + (F1 F0)x +

n=2

(Fn Fn1 Fn2) xn

= F1x = x,

infatti Fn Fn1 Fn2 = 0, per costruzione, quando n 2.Ne segue che G(x) = x1xx2 la formula cercata.(3) Sappiamo gi che linsieme di convergenza contenu-to in [

r, r] e contiene (

r, r). Basta dunque verificare (o

escludere) la convergenza per x = r. Se la serie fosse con-vergente in x = r allora G(r) sarebbe finito ma cos non. Ne segue che il dominio cercato (r, r).

Esercizio 1.16: Dati a, b positivi, sia Ln la successionedefinita per ricorrenza da

L0 = a, L1 = b, Ln+1 = Ln + Ln1 per n 1.

(Per a = 2 e b = 1 gli Ln sono detti numeri di Lucas.)Trovare una formula per la somma della serie

n=0 Lnx

n

nel suo dominio di convergenza e determinare linsieme di

convergenza.Esercizio 1.17: Trovare linsieme di convergenza dellaseguente serie di potenze:

n=2

3n ln(1/n)n ln(n2)

xn.

[Soluzione: [ 13 , 13 ).]

Esercizio 1.18: Trovare linsieme di convergenza dellaseguente serie di potenze:

n=5

5nn

n3 + 3n n xn.

Esercizio 1.19: Determinare lintervallo di convergenzadella seguente serie di potenze:

n=0

n2n1

5n2 + 3tn

Dedurne il carattere della seguente serie:

n

=0

n2n1

5n2 + 3(x 1)n

nei punti x = 1/2, x = 1, x = 3/2.

Esercizio 1.20: Determinare lintervallo di convergenzadella seguente serie di potenze:

n=1

(n2 3)2n15n

tn

Dedurne il carattere della seguente serie:

n=1

(n2 3)2n15n

(x + 1)n

nei punti x = 3/2, x = 1, x = 1/2.Esercizio 1.21: Data la serie di potenze

n=2

1 + n2

(n3 + n)log nxn,

determinarne linsieme di convergenza.

Esercizio 1.22: Determinare lintervallo di convergenzadella serie di potenze:

n=1

n

n + 13n tn

Esercizio 1.23: Determinare lintervallo di convergenza

della seguente serie di potenze:

n=1

2n sin(2n + 2)n23n

tn.

Esercizio 1.24: Determinare il raggio di convergenza dellaseguente serie di potenze

n=1

32n

tn.

Studiarne il carattere nei punti estremi dellintervallo di

convergenza.Dedurre per quali valori di x converge la serie:

n=1

32n

x2 + 2

n

Esercizio 1.25: Determinare linsieme di convergenza dellaserie

+n=2

n2

n2 log n

x

x 1n

.

Suggerimento. Usare la sostituzionet = xx

1 .


7/69


8/69

Capitolo 2

Funzioni reali di due o pi variabili reali

2.1 Dominio, continuit, derivate par-

ziali e direzionali, differenziabili-

t, piano tangente, etc.

Esercizio svolto: Trovare e disegnare il dominio dellaseguente funzione:

g(x,y) =

3x x2

x2 y2x +y

.

Svolgimento. Il Dominio lin-sieme dei punti (x,y) del pianotali che

(x +y)(x y) 0,x +y > 0,x(3 x) 0.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x

y

xy=0

x+y=0

x=3

Dominio di g.

Esercizio svolto: Dato s R, studiare la continuit elimitatezza della seguente funzione

fs(x,y) =

x2y

x4+y2per (x,y) (0, 0)

s per (x,y) = (0, 0)

Svolgimento. Osserviamo che (x2 y)2 0 per ogni (x,y) R

2. Quindi x2y 12 (x4 +y2). Allora fs limitata, infatti perogni (x,y) R2 x2yx4 +y2

x4 +y22(x4 +y2)

= 12 ,e dunque |fs(x,y)| max{1/2, |s|} per ogni (x,y) R2.

Vediamo che s non pu essere scelto in modo tale darendere fs continua. Infatti

lim(x,y)(0,0)

x2y

x4 +y2

non esiste. Per verificare questa affermazione osserviamoche

limx0

fs(x, mx) = 0 per ogni m

R,

mentre

limx0

fs(x, x2) =

12

.

Esercizio svolto: Determinare i punti critici della funzionef(x,y) = xe(x1)y x.Svolgimento. Si ha

f(x,y) = e(x1)y + xye(x1)y 1 , x(x 1)e(x1)y.Risolviamo

e(x1)y + xye(x1)y 1 = 0x(x 1)e(x1)y = 0

Dalla seconda equazione si ricava che deve essere x = 0oppure x = 1. Sostituendo x = 0 nella prima equazione siottiene y = 0. La stessa cosa si ottiene sostituendo x = 1.

Abbiamo quindi due punti critici: (0, 0) e (1, 0).Esercizio svolto: Consideriamo la funzione

f(x,y) = xy x2 +y, (x,y) R2

Stabilire in quali punti (x,y) R2 il vettore v =

101

parallelo al piano tangente al grafico di f inx,y, f(x,y)

.

Svolgimento. Il grafico G di f linsieme

G =(x,y,z) R3 : z = xy x2 +y.

Quindi possiamo scrivere G come con linsieme di livello

zero della funzione g(x,y,z) = z xy + x2

y. Allora il vet-tore g(x,y,z) ortogonale al piano tangente a G nel punto(x,y,z) =

z,y, f(x,y)

. In definitiva, basta richiedere che il

sia nullo il prodotto scalare g(x,y,z), v. Si ha

0 = v, g(x,y,z) =

101

,

2x yx 1

1

= 2x y + 1.

I punti cercati sono allora tutti quelli per cui y = 2x + 1.

Esercizio svolto: Consideriamo la funzione

f(x,y) = xy

x2 +y, (x,y)R

2

6


9/69

2.1. DOMINIO, CONTINUIT, DERIVATE PARZIALI ETC. 7

Stabilire in quali punti (x,y) R2 il vettore v =

101

ortogonale al piano tangente al grafico di f inx,y, f(x,y)

.

Svolgimento. Procedendo come nellesercizio precedentesi vede che basta richidere che v sia parallelo a

g(x,y,z).

Questo si ottiene, per esempio, imponendo che

rango

1 2x y0 x 11 1

< 2o, equivalentemente, che il prodotto vettoriale v g(x,y,z) = 0. Da una qualunque di queste due condizio-ni segue che non esistono punti con la propriet richiesta.

Esercizio 2.1: Determinare il dominio della funzione

f(x,y) =

(x y)x(x +y)y

e calcolare, se esiste, il piano tangente al grafico nel puntocorrispondente a (x,y) = (1, 2).


f(x,y) =

|xy| 1


Esercizio 2.3: Determinare il dominio della funzionef(x,y) = ln (|xy| |x|)


Esercizio 2.4: Trovare e disegnare il dominio della seguentefunzione:

g(x,y) =

x(x y)e determinare per quali valori di > 0 la derivata direzionalef

, per =

22 ,

2

2

, nel punto corrispondente a (x,y) =

(1, ) risulta uguale a

2.

Esercizio 2.5: Considerare la funzione:

f(x,y) = x2y +y3ex.

Scrivere lequazione del piano tangente al grafico nelpunto di coordinate

0, 1, f(0, 1)

, e calcolare la derivata

direzionale di f in (0, 1) nella direzione (1/

5, 2/

5).

Esercizio 2.6: Determinare il dominio ed i punti critici dellaseguente funzione

f(x,y) =xy 2xx + 3y

;

non richiesto lo studio della natura locale dei punti criticideterminati.Scrivere inoltre lequazione del piano tangente al grafico dif nei punti (0, 2) e (1, 1).Esercizio 2.7: Determinare il piano tangente al grafico dellafunzione

f(x,y) = xexy +y sin x + 1

nel punto di coordinate (0,0,1).

Esercizio 2.8: Calcolare le derivate prime della seguentefunzione

f(x,y,z) =xey

1 + x2 +y2+yexz

nei punti di coordinate (0, 0, 1) e (1, 0, 0)

Esercizio 2.9: Trovare linsieme di definizione del-

la seguente funzione di pi variabili e rappresentarlograficamente

f(x,y) =

log(2y2 + x)

[Soluzione:Linsieme di definizione {(x,y) R2 : x 2y2 1}. Graficamente:

x

y

il dominio la parte ombreggiata del piano esterna alla parabola inclusa.]

Esercizio 2.10: Trovare linsieme di definizione del-la seguente funzione di due variabili e rappresentarlograficamente

f(x,y) =42 (x 1)

2

(y

1)2 ln(2y

x).

Esercizio 2.11: Trovare linsieme di definizione del-la seguente funzione di pi variabili e rappresentarlograficamente

f(x,y) =

1 + ex+y

y2 x2 + 1Esercizio 2.12: Trovare linsieme di definizione del-la seguente funzione di pi variabili e rappresentarlograficamente

f(x,y) =

x +y

2y2 + 1/x


10/69

8 CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI DUE O PI VARIABILI REALI

Esercizio 2.13: Trovare linsieme di definizione del-la seguente funzione di pi variabili e rappresentarlograficamente

f(x,y) =

ln x4 ln(2y2 + x)

[Soluzione:Linsieme di definizione {(x,y) R2 : 0 < x < 2y2 1}. Graficamente:

x

y

(0, 1)

il dominio la parte ombreggiata del piano escluse le curve tratteggiate. .]

Esercizio 2.14: Determinare il piano tangente al grafico

della funzione

f(x,y) = xexy +y cos x 1nel punto di coordinate (0,0,-1).


f(x,y,z) =3x

1 +y2+y2ez z2

nei punti di coordinate (0, 0, 1) e (1, 0, 0)


f(x,y,z) = 3x2y2 +y2z z2nei punti di coordinate (0, 0, 1) e (1, 0, 0)

Esercizio 2.17: Determinare il piano tangente al graficodella funzione

f(x,y) = xexy +y sin x + 1

nel punto di coordinate (0,0,1).

Esercizio 2.18: Stabilire se la seguente funzione continua

f(x,y) = (x2 + 3y2) ln x

2 + 3y2 se (x,y) (0, 0)

0 altrimenti

Esercizio 2.19: Stabilire se la seguente funzione continua

f(x,y) =

(2x2 +y2) ln

2x2 +y2 se (x,y) (0, 0)

0 altrimenti

[Soluzione: Si.]

Esercizio 2.20: Determinare il dominio delle seguentifunzioni e disegnarlo

f(x,y) =ln(2x y)y2 x2

g(x,y) =ln(2y x)x2 y2

Scrivere poi lequazione del piano tangente al grafico di fnel punto (2, 3, 0) e di g nel punto (3, 2, 0). Determinare edisegnare, inoltre, il dominio di

h(x,y) =ln(2x

y) +

xy2 x2

Esercizio 2.21: Si consideri la funzione

g(x,y) = 2x2 y2 4x

e si determini linsieme di livello C = {(x,y) R2 : g(x,y) =2}. Calcolare il piano tangente al grafico di g in ogni(, ) C. Determinare, infine, se esiste, per quale dei puntiappena considerati il piano tangente parallelo al piano xy.

Esercizio 2.22: Disegnare il dominio della seguente

funzione:f(x,y) =

y +

x2 1.

Esercizio 2.23: Trovare e disegnare il dominio dellaseguente funzione:

g(x,y) =

x(x y)

e scrivere lequazione del piano tangente al grafico nel puntocorrispondente a (x,y) = (1, 0).


f(x,y) =

(x y)x(x +y)y


Esercizio 2.25: Calcolare il gradiente della seguentefunzione

f(x,y) =xy2

0et

2dt

nel punto (1, 3) e calcolare lequazione del piano tangente algrafico di f in quel punto.

Esercizio 2.26: Si consideri la funzione f(x,y) = sin(xy).Determinare linsieme dei punti critici di f e darne unarappresentazione grafica almeno parziale.

Esercizio 2.27: La temperatura T(x,y) nei punti del pianoxy data da T(x,y) = x2 2y2. Disegnare alcune linee di livello di T (isoterme). In quale direzione dovrebbe muoversi una formica che sitrova nella posizione (2, 1) se desidera raggiungere il frescopi velocemente possibile?

Esercizio 2.28: Consideriamo la funzione f(x,y) che valemin

{(x

1)(y

1), (x + 1)(y + 1)

}. Dire per quali punti f


11/69

2.2. LIMITI 9

differenziabile, e per quali derivabile. Per quali f punti continua?

[Soluzione: f continua per ogni (x,y) R2, differenziabile nelpiano R2 privato della bisettrice del secondo e quarto quadrante..]

2.2 Limiti

Esercizio svolto: Calcolare (se esiste) il seguente limite:

lim(x,y)(0,0)

x3y

x4 +y2

Svolgimento. Osserviamo che (x2 y)2 0 per ogni (x,y) R

2. Quindi x2y 12 (x4 +y2). Si ha che

x3y

x4 +y2 = |x| x

2y

x4 +y2 |x|2 .

Ne segue che il limite esiste e vale 0.

Esercizio svolto: Data la funzione f(x,y) = xy

x2 +y2,

studiare il limitelim

(x,y)(0,0)f(x,y)

Svolgimento. Consideriamo il limite della la restrizionedi f alla parabola di equazione y = x2, si ha f(x, x2) =|x|x

1 + x2 e limx0 f(x, x2) non esiste. Di conseguenza, il

limite cercato non pu esistere.Si osservi che considerando il limite della restrizione di

f ad una qualsiasi retta passante per lorigine (che non siay = 0 sulla quale la funzione non definita) si ha che questovale zero. Infatti, nel caso della retta x = 0 si ha f(0,y) 0;mentre per ogni retta della forma y = mx, m 0, si haf(x, mx) = |x|

m

1 + m2. Ne segue che

limy0

f(0,y) = 0, limx0

f(x, mx) = 0, per m 0.

Esercizio svolto: Calcolare, se esiste, il limite

lim(x,y)

(1,0)

x3y 3xx4

y2

Svolgimento. La funzione della quale vogliamo calcolareil limite continua in un intorno del punto (1, 0) essendocombinazione di funzioni continue. Pertanto, usando il fattoche limxx0 f(x) = f(x0) se f continua in x0,

lim(x,y)(1,0)

x3y 3xx4 y2 = 3.

Esercizio svolto: Data f(x,y) = x2y

x2+y2, calcolare, se esiste, il

limitelim

(x,y)

(0,0)f(x,y).

Svolgimento. Scriviamo x = cos , y = sin per > 0 e0 < 2. Posto

h(, ) = f( cos , sin ) = (cos )2 sin .

Si ha che lim0 h(, ) = 0 uniformemente rispetto a (perch (cos )2 sin una funzione limitata di ). Allora

lim(x,y)(0,0)

f(x,y) = 0.

Esercizio 2.29: Studiare il limite:

lim(x,y)(0,0)

cos

x2yex+y

x2 +y2

[Soluzione: 1.]


lim(x,y)(0,0)

sinxy2e2x+y2

x2 +y2

2

[Soluzione: 1.]

Esercizio 2.31: Studiare il seguente limite

lim(x,y)(0,0)

x6 + 3y3 3x2 3y2x2 +y2

.

[Soluzione: 3.]


lim(x,y)

(0,1)

ex+y

2x2

+y2

2y + 1Esercizio 2.33: Studiare i limiti:

lim(x,y)(1,0)

(x2 2x +y)(y + 1)x2 +y2 2x + 1

e

lim(x,y)(0,0)

(x2 2x +y)(y + 1)x2 +y2 2x + 1


lim(x,y)(0,0)

sin(x +y)

2x2 + 3y2


lim(x,y)(0,0)

(x4y)

x6 + |y3|[Soluzione: Il limite non esiste.]

Esercizio 2.36: Determinare per quali valori del parametro R esiste il seguente limite:

lim(x,y)(0,0)

arctan

+

|xy|x2 +y2

,e calcolarlo quando possibile.


12/69


2.3 Estremi locali ed assoluti, insiemi

di livello

Esercizio svolto: Disegnare alcune linee di livello ed ilgrafico della seguente funzione:

f(x,y) = |x y| + |x +y|.

Svolgimento. Per semplificare il problema consideriamo ilcambiamento di coordinate

u = x y, v = x +y.

Linverso di tale cambiamento dato da

x =v + u

2, y =

v u2

.

Poniamo h(u, v) := f

v+u2 ,

vu2

= |u| + |v|. Disegnamo, nel

piano uv, le linea di livello di {(u, v) R2 : h(u, v) = 1} (inverde) e {(u, v) R2 : h(u, v) =

2} (magenta).

u

v(0,

2)

(1, 0)

Nel piano xy, dunque, le corrispondenti linee di livellosono:

x

y

(

22 ,

2

2 )

( 12 ,12 )

Cos abbiamo ottenuto anche le linee di livello nel pianoxy. Si capisce subito come fatto il grafico della funzione f:

x y

z

Esercizio svolto: Data la funzione f(x,y) = xy

y

determinare limmagine mediante f degli insiemi

D = {(x,y) R2 : x2 +y2 1},Q = {(x,y) R2 : |x| 1/2, |y| 1/2}.

Svolgimento. Osserviamo che gli insiemi D e Q sono con-nessi, limitati e chiusi e che la funzione f continua; quindif(D) ed f(Q) sono intervalli limitati e chiusi. Cerchiamoeventuali punti critici interni ai domini D e Q. Poich

f(x,y) = y

x

1

lunico punto critico (1, 0) che non interno a D o a Q;quindi sufficiente cercare limmagine della frontiera di D edi Q.

Determiniamo f(Q). In Q non vi sono punti (x,y) taliche f(x,y) Q. Allora gli estremi di f su Q vanno cerca-ti soltanto tra i vertici (1/2, 1/2), (1/2, 1/2), (1/2, 1/2)e (1/2, 1/2) del quadrato Q (questi infatti sono punti incui Q non pu essere rappresentata come curva regolare).Poich

f(

1/2,

1/2) = 3/4, f(

1/2, 1/2) =

3/4,

f(1/2, 1/2) = 1/4, f(1/2, 1/2) = 1/4,

si ha f(Q) = [3/4, 3/4].Determiniamo f(D). Cerchiamo i punti di D in cui

f D. Dato (x,y) D si ha x2 +y2 = 4; se v = (v1, v2) un vettore perpendicolare a D in (x,y) deve essere v1 = xe v2 = y per R opportuno, quindi i punti (x,y) D incui f(x,y) D sono quelli per cui esiste tale che

y = x,

x 1 = y,x2 +y2 = 1.


13/69

2.3. ESTREMI LOCALI ED ASSOLUTI, INSIEMI DI LIVELLO 11

Risolvendo questo sistema si ricavano i punti (1, 0),(1/2,

3/2) e (1/2,

3/2). Poich

f(12

,

32

) =3

34

, f(12

,

3

2) = 3

3

4,

f(1, 0) = 0,

si ha f(D) = [ 3

34 ,

3

34 ].

Esercizio svolto: Determinare Le curve di livello dellafunzione

f(x,y) = x2 + (y 12

)2

ed usarle per determinare limmagine F(D) dove D ={(x,y) R2 : x2 +y2 1}.Svolgimento. Dato un arbitrario numero reale c, linsieme dilivello

lc =(x,y) R2 : f(x,y) = c

si trova risolvendo lequazione x2 + (y 12 )2 = c. Pertantolc = se c < 0, l0 = {(0, 12 )} mentre, se c > 0, lc lacirconferenza di raggio r =

c centrata in (0, 12 ).

(0, 12 )

(0, 1)c=

94

r=

c

x

y

Le curve di livello nellinsieme D (in giallo)

Linsieme D connesso, limitato e chiuso, e la funzione f continua. Pertanto f(D) un intervallo limitato e chiuso.Osserviamo che f(x,y) 0; tale valore raggiunto da f

in (0,1

2 ). La curva di livello pi alto che incontra D lacirconferenza di centro (0, 12 ) e raggio32 , cio l 94 . Quindi

f(D) = [0, 94 ].

Esercizio svolto: Determinare limmagine della funzionef(x,y) =

6

2 xy y2 sullinsieme

D = {(x,y) R2 : x2

4+

y2

6 1}.

Svolgimento. Osserviamo che linsieme D connesso, limi-tato e chiuso e che la funzione f continua; quindi f(D) un intervallo limitato e chiuso.

Si ha

f(x,y) =

6

2 y6

2 x 2y

Dunque lunico punto critico (0, 0) che interno a D.

Calcoliamo f(D). Parametriziamo D ponendo x() =2cos e y() =

6sin per [0, 2]. Quindi f(D)

coincide con limmagine della funzione

g() = 6cos sin 6(sin )2

definita in [0, 2]. Per trovare questimmagine, calcoliamo

g() =6(cos )2 (sin )2 12sin cos

=6cos(2) 6sin(2).

Per

[0, 2], si ha che g() = 0 se e solo se 2 =

4 , 54 , 94 , 134 , cio se = 8 , 58 , 98 , 138 . Con un (bel) podi calcoli si vede che

g(0) = g(2) = 0,

g(

8) = g(

98

) = 3(

2 1)

g(13

8) = 3(1 +

2)

g(58

) = 3(1 +

2).

Si ottiene

f(D) =g([0, 2])

=[3(1 +

2), 3(

2 + 1)].

Dal momento che f(0, 0) = 0, otteniamo

f(D) = [3(1 +

2), 3(

2 1)].

Esercizio svolto: Calcolare linsieme dei valori assunti dallafunzione

f(x,y) = x 2ynellunione del triangolo T e del segmento S specificati

come segue:

T ={(x,y) R2 : |x| + |y| 1,y 0}S ={(x,y) R2 : 3 x 4,y = 0}

Svolgimento. Gli insiemi T ed S sono compatti e connes-si. Quindi f(T) ed f(S) sono intervalli limitati e chiusi.Dobbiamo calcolare f(T S) = f(T) f(S).

Calcoliamo limmagine del triangolo T. Osserviamo cheil gradiente della funzione f non mai perpendicolare aisegmenti che costituiscono la frontiera di T, dunque i valoriestremi di f

|T vanno cercati tra quelli assunti sui vertici del


14/69


triangolo. Si ottiene f(T) = [2, 1]. Similmente si ottienef(S) = [3, 4].

Dunque f(T S) = [2, 1] [3, 4].

Esercizio svolto: Determinare il valore dei parametri , R affinch la funzione

f,(x,y) = x2 y2 4x + y

abbia un punto critico in (1, 3). Determinare poi la naturalocale di tale punto critico.Svolgimento. Si ha

f,(x,y) =2x 4, 2y +

Poich deve essere

f,(

1, 3) = (0, 0), si ottiene il sistema

2 4 = 06 + = 0

da cui segue = 2, = 13 . La matrice hessiana dellafunzione f2, 13 nel punto (1, 3) 4 0

0 23

da cui si deduce che (1, 3) un punto di sella.

Esercizio svolto: Determinare limmagine della seguentefunzione

f(x,y) = min(x 1)(y 1), (x + 1)(y + 1)

definita sul quadrato Q (pieno!) avente vertici in (1, 1) e(1, 1) e lati paralleli agli assi.Svolgimento. La funzione f continua e il suo dominio limitato e chiuso. Pertanto limmagine di f un intervallolimitato e chiuso in R.

Osserviamo che su Q la funzione vale identicamente 0.

Inoltre, risolvendo

(x + 1)(y + 1) (x 1)(y 1)

si ottiene che f(x,y) dato da(x + 1)(y + 1) se x y(x 1)(y 1) altrimenti.

(1,1)

x

y

(x+1)(y+1)

(x1)(y1)

sufficiente, pertanto valutare le funzioni (x,y) (x +1)(y + 1) e (x,y) (x1)(y1) rispettivamente sui triangoliT1 e T2 di vertici (

1,

1), (

1, 1), (1,

1), e (1, 1), (

1, 1),

(1, 1). Si ottiene subito che non ci sono punti critici di que-ste funzioni nei rispettivi domini. Studiando le loro restrizio-ni alla frontiera di T1 e T2 si vede che il massimo di questedue funzioni raggiunto in (0, 0) e vale 1. Il minimo invece

raggiunto sulla frontiera del quadrato Q ed uguale a 0.Da queste considerazioni segue che f(Q) = [0, 1].

-1

-0.5

00 y

0.2

1

0.4

0.6

0.5

0.8

0.5

1

0

-0.51

x -1

La figura sopra rappresenta il grafico di f.

Esercizio svolto: Trovare i punti critici della seguentefunzione

f(x,y,z) = exy z2

e determinarne la natura locale.

Svolgimento. Il gradiente di f

f(x,y,z) = yexy, xexy, 2z,pertanto lunico punto critico lorigine O = (0, 0, 0). Perdeterminare la natura locale di O consideriamo la restrizioneh di f al piano xy. Se proviamo che h(x,y) = f(x,y, 0) hain (0, 0) un punto di sella allora anche f avr una sella inO. Osserviamo che h(x,y) = exy pu essere pensato comela composizione della funzione (x,y) xy con la funzionet et che monotona. Allora il comportamento in (0, 0) dih lo stesso di (x,y) xy; cio (0, 0) punto di sella per h.

Esercizio 2.37: Disegnare gli insiemi di livello,corrispondenti a 1, 0 e 1, della funzione

f(x,y) =|x| |y| |x|,

Definita nel quadrato Q centrato nellorigine, con i latiparalleli agli assi ed un vertice in (2, 2).

[Soluzione: Le linee di livello corrispondenti a f(x,y) = 1, f(x,y) = 0e f(x,y) =

1:


15/69


1 0 1

x

y

Q

sono disegnate rispettivamente in rosso, magenta e blu.]

Esercizio 2.38: Calcolare limmagine mediante la funzionef(x,y) = xy + y

2

3

3x2

4 dellarco dellellisse di equazione

x24 +

y2

3 = 1 giacente nel primo quadrante {(x,y) R2 : x 0,y 0}.

[Soluzione: [

3,

6].]

Esercizio 2.39: Determinare limmagine della funzione

f(x,y) =y |x|

definita nellinsieme

D =(x,y) R2 : max{|x|, |y|} 1


f(x,y) =|x| 5 |x| +y2


D =(x,y) R2 : |x| + |y| 1

[Soluzione: [3, 6].]

Esercizio 2.41: Determinare limmagine della restrizionedella funzione

f(x,y) =

xy2 x2|y|

definita sul triangolo (pieno) triangolo di vertici (0, 0), (1, 1)e (1, 1).Suggerimento. sfruttare le propriet di simmetria del dominio ed il

fatto che f(x,y) = f(x, y).Esercizio 2.42: Determinare i punti critici della funzione

f(x,y) = (xy 1)(x y)

e stabilirne la natura locale.


f(x,y) = 3x +y

2

definita nellintersezione del semipiano x 0 e dei seguentidue dischi:

D1 ={(x,y) R2 : x2 +y2 + 2y 4}

D2 ={(x,y) R

2

: x2

+y

2

2y 4}.[Soluzione: [ 1

5

2 , 6].]


f(x,y) = (|x| +

5 x2)|y| y2

al cerchio di equazione x2 +y2 = 5.[Soluzione: [0, 52 ].]

Esercizio 2.45: Calcolare linsieme dei valori assunti dallafunzione

f(x,y) = x2 2y2nel triangolo T = {(x,y) : |x| + |y| 1,y 0}.Esercizio 2.46: Calcolare linsieme dei valori assunti dallafunzione

f(x,y) = x 2ynel quadrato Q = {(x,y) : |x| + |y| 1}.Esercizio 2.47: Determinare limmagine della funzionef(x,y) =

|x| |y| definita nellinsieme Q = (x,y) R2 :max{|x|, |y|} 1

.

[Soluzione: [0, 1].]

Esercizio 2.48: Determinare limmagine della funzionef(x,y) = x 3y definita nellinsieme

E =

(x,y) R2 : max

|x|, |y|, |x y|

2,|x +y|

2

1

.

Esercizio 2.49: Determinare il massimo ed il minimoassoluti della funzione

f(x,y) = x2 + xy +y2 34

y 14

definita nel triangolo (pieno) di vertici (0, 0), (0, 1) e (

1, 0).

Esercizio 2.50: Data la funzione

g(x,y,z) = x y +z

Determinare limmagine mediante g del cubo (pieno) congli spigoli paralleli agli assi coordinati avente un vertice in(0, 0, 0) ed un altro in (1, 1, 1).Suggerimento. pensare al significato geometrico del gradiente.

Esercizio 2.51: Dato

D = (x,y) R2 :

3

x

3,

1

y

1,


16/69


Determinare limmagine di D mediante la funzione

f(x,y) = e(x2yx2y3).

(Suggerimento. La funzionet

et monotona.)

Esercizio 2.52: Determinare i punti critici della seguentefunzione:

f(x,y) = x4 + 4x2y y2 10x2 5.

e la loro natura locale.[Soluzione: (0, 0): massimo locale, (1, 2): sella, (1, 2): sella.]

Esercizio 2.53: Determinare il massimo ed il minimoassoluti della seguente funzione

f(x,y) =x y

1 + x2 +y2

nel dominio piano D dato da

D = {(x,y) : 0 y 2, y x y + 2}.

y = 2

y=x

y=x

2

x

y D

Esercizio 2.54: Determinare massimo e minimo assolutidella funzione

f(x,y) = ex2+xy+y


D =(x,y) R2 : x 0, 0 y x + 4.

(Non richiesto lo studio della natura locale dei punticritici).

Esercizio 2.55: Determinare i punti critici della seguente

funzionef(x,y) =

x4 x22 + 1y2 + 1

e stabilire la loro natura locale.Suggerimento. Osservare che la funzione f della forma f(x,y) =

g(x)h(y) per cui, ad esempio fx

(x,y) = g(x)h(y), ecc...

Esercizio 2.56: Determinare i punti critici seguentefunzione

f(x,y) =1

1 + e(y2+1)

x33 4x

e stabilire, se possibile, la loro natura locale.

Suggerimento. Osservare che la funzioneR s 1/(1 + et) R monotona (Attenzione: crescente o decrescente?)

Esercizio 2.57: Determinare limmagine della seguentefunzione

f(x,y) =

1 x22

y24

,

definita sullinsieme

D = {(x,y) R2 : x2 +y2 1}.

Suggerimento. Osservare che la funzione [0, +) s s [0, +) monotona crescenteEsercizio 2.58: Quale limmagine della funzione f : D R

2 R definita da

f(x,y) = yex2+y,

dove linsieme D dato da:

D = {(x,y) R2 : 2x2 +y2 4}

Esercizio 2.59: Stabilire la natura locale (se possibile) delpunto critico (1, 1) per la funzione f(x,y) = sin(xyx+y2).


f(x,y) = x2

xy +y2

al bordo della corona circolare di raggio interno 1 e raggioesterno 4.

Esercizio 2.61: Determinare la natura locale dei punti criticidelle seguenti funzioni:

f(x,y) = 2x4+y34x23y2

g(x,y) = 2(x4+y34x23y2)

Suggerimento. Le funzionit 2t et 2t sono monotone.Esercizio 2.62: Determinare limmagine della restrizione

della funzione

f(x,y) =x2 + 2xy y2|x| + |y| + 1

al bordo dellinsieme

D = {(x,y) R2 : |x| + |y| 1}


f(x,y) = x2 3xy +y23 + 2


17/69


definita sulla corona circolare di raggio interno 1/4 e raggioesterno 4.Suggerimento. Osservare che la funzionet t3 + 2 monotona.

Esercizio 2.64: Determinare (e disegnare) il dominio della

funzionef(x,y) = log

(y2 4)(x2/2 x)

e determinare la natura locale dei suoi punti critici interni aldominio.Suggerimento. la funzionet log t monotona.

Esercizio 2.65: Determinare (e disegnare) il dominio dellafunzione

f(x,y) =1

(y2/2 y)(x2 4)e determinare la natura locale dei suoi punti critici interni al

dominio.Suggerimento. La funzionet 1/ t monotona.Esercizio 2.66: Determinare il dominio della seguentefunzione e la natura locale dei suoi punti critici interni aldominio

f(x,y) = ln(x2 1)(3 y2)

Suggerimento. La funzionet ln t monotona.

Esercizio 2.67: Determinare il dominio della seguentefunzione e la natura locale dei suoi punti critici interni aldominio

f(x,y) =

(x2 3)(1 y2)

Suggerimento. La funzionet t monotona.Esercizio 2.68: Determinare limmagine della restrizionedella funzione

f(x,y) =xy2 x2y

x2 +y2 + 1

al bordo del triangolo di vertici (0, 0), (1, 1) e (1, 1).Esercizio 2.69: Determinare limmagine della restrizionedella funzione

f(x,y) =y sin(2x2 +y

)

x2 2y +

alla parabola di equazione y = 2x2 + /2.Suggerimento. Fare attenzione al fatto che il dominio non un

insieme compatto.

Esercizio 2.70: Determinare limmagine della seguentefunzione:

f(x,y) =xxy

0s2 ds

definita sullinsieme D = {(x,y) R2 : x2 +y2 = 1} {(x,y) R

2 : x2 + 4y2 = 4}.

Suggerimento. Usare la monotonia della funzionet t

0s2 ds.

Esercizio 2.71: Determinare i punti critici della seguentefunzione:

f(x,y) = e(x2yxy2x+y)

e stabilire, se possibile, la loro natura locale.Suggerimento. Usare la monotonia della funzionet et.Esercizio 2.72: Determinare limmagine della funzione

f(x,y) = x2 y2


D = {(x,y) R2 : x2 +y2 1 , y 1 x}.

Esercizio 2.73: Calcolare linsieme dei valori assunti dallafunzione

f(x,y) = x 2ynellunione del triangolo T e del segmento S specificaticome segue:

T ={(x,y) R2 : |x| + |y| 1,y 0}S ={(x,y) R2 : 3 x 4,y = 0}


f(x,y) = (x y)13

definita sul quadrato (pieno) avente vertici in (

1,

1)e(1, 1)

e lati paralleli agli assi.Suggerimento. sfruttare la monotonia della funzionet t13

Esercizio 2.75: La temperatura in tutti i punti del discox2 +y2 1 data da

T(x,y) = (x +y)e(x2+y2)

Determinare le temperature minima e massima sul disco.


f(x,y) = x2 2y2

definita sullinsiemeD =

(x,y) R2 : x2 +y2 4 , y

2

.


f(x,y) = e

x2+y2 definita sulla frontiera dellinsieme

E =

(x,y) R2 : min

max

|x|, |y|,max

|x y|2

,|x +y|

2

1.Suggerimento. Il dominioE rappresentato in figura:


18/69


x

y

Tenere inoltre conto della monotonia della funzione t e

t per

t 0.


f(x,y) =x

x2 +y2 + 1

definita nella parte di piano D limitata dalla circonferen-za centrata in (1, 0) e passante per lorigine. Determinarelimmagine di f.Suggerimento. si vede subito che c un unico punto critico in(1, 0). Per studiare la restrizione di f alla frontiera D, passiamoa coordinate polari. La frontiera si rappresenta con lequazione

= 2cos , per [ 2 , 2 ]. Trovare limmagine di f|D equivale atrovare limmagine della funzione

g(, ) = f( cos , sin ) = cos 1 +2

con la condizione = 2cos , e [ 2 , 2 ], ovvero [0, 2].Allora, basta studiare la funzione

2/2

1 +2, [0, 2].

[Soluzione: f(D) = [0, 25 ].]

Esercizio 2.79: Determinare limmagine della funzionef(x,y) = |x|x y2 definita nel dominio

D =(x,y) R2 :

min{(x 1)2 +y2 , (x + 1)2 +y2} 1.Suggerimento. si osservi

che sufficiente studiare la

funzione per x 0. Il do-minio D rappresentato in

figura.

x

y

Esercizio 2.80: Determinare limmagine della funzionef(x,y) = |x| |xy| definita nellinsieme

E = (x,y) R2 : |x| 12

33

y , xy 0.

[Soluzione: (, 12 ].]

Esercizio 2.81: Determinare limmagine della funzionef(x,y) = |x| + 2|y| definita sullinsieme D degli (x,y) R2tali che

minx2

4+y2,

y2

4+ x2

1 max x24

+y2,y2

4+ x2

Suggerimento. Usare le linee di livello. Linsieme D

rappresentato graficamente da:

x

y

D

Esercizio 2.82: Determinare limmagine mediante lafunzione f(x,y) = x2 +y2 + 13 dellinsieme

D =

(x,y) R2 : 1

x |y|

0

.

Esercizio 2.83: Si consideri la funzione f(x,y) =arctan

x2 + (y + 1)2


D =(x,y) R2 : |x y2| y.

Determinare limmagine di f. Come cambia il risultato sesostituiamo f con la funzione g(x,y) = 1

x2+(y+1)2 ?

Esercizio 2.84: Determinare limmagine mediante lafunzione f(x,y) = 1

x2+y2+1 dellinsieme

D =(x,y) R

2

: (|x| 1)2

+ (|y| 1)2

1.


f(x,y) =|x| 1 + |y| 1 1

e sia, per ogni c R,

Lc =(x,y) R2 : f(x,y) = c

.

Determinare per quali c si ha Lc = . Disegnare, se non vuo-ti, gli insiemi L1/2, L0 e L1. Trovare limmagine mediantef del segmento di estremi (0,

1) e (2, 2).


19/69


Esercizio 2.86: Sia D = {(x,y) R2 : |x + y| = 2} e siaf: R2 R la funzione data da

f(x,y) =(x y)

sin(|x +y

|)

.

Determinare f(D).[Soluzione: R.]

Esercizio 2.87: Sia D = {(x,y) R2 : xy = 1} esia f: R2 R la funzione data da

f(x,y) =(x +y)

1 +

xy).

Determinare f(D).[Soluzione: (, 1] [1, +).]

Esercizio 2.88: Data una matrice quadrata

A =

a11 a12

a21 a22

si consideri la funzione f : R2 R data da

f(x,y) =

Ax

y

2

.

Calcolare limmagine f(S) dove

S =(x,y) R2 : x2 +y2 = 1.

Suggerimento: Applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

alla funzione

f(x,y) = Ax

y

, A

x

y

= ATA

x

y

,

x

y

[Soluzione: Limmagine [1, 2] con 1, 2rispettivamente il pi piccolo ed il pi grande dei valori singolari di A (cio

gli autovalori di ATA).]

Esercizio 2.89: Consideriamo il sottoinsieme D di R2 datoda:

D =

(x,y) R2 : |x +y| < 3

4 e la funzione ivi definita

f(x,y) =sin (|x +y|)1 + |x +y| .

Calcolare f(D).Suggerimento. Considerare la funzioneg(t) = sin(t)1+t pert [0, 3/4)e osservare checos(t) > sin(t) pert [0, /4) e, in particolare, pert [0, 3/4). Si deduce cheg monotona crescente.

[Soluzione: [0,4sin

34

7 ).]

Esercizio 2.90: Sia D il sottoinsieme di R2 dato da

D = (x,y) R2 : 1

|x

y

| 2, 1

|y

| 2,

|x

| 2

e sia f: D R la funzione definita da

f(x,y) = x 3y.

Determinare limmagine f(D).[Soluzione: f(D) = [6, 3] [3, 6].]

Esercizio 2.91: Determinare i valori di R tali chelequazione || = x2 +y ammetta soluzioni nel dominio piano

D =(x,y) R2 : |x 2| 4, |y 1| 1.

Suggerimento. Determinare, per prima cosa, il massimo della fun-

zione (x,y) x2 + y2 in D e poi osservare che 0 appartieneallimmagine di questa funzione.

[Soluzione: 38 38.]

Esercizio 2.92: Si consideri la sfera S di centro lorigine diR3 e raggio 1. Trovare i punti P = (x,y,z) S tale che ilpiano tangente in P as S determina con i piani coordinatiil tetraedro di volume minimo.Suggerimento. Per motivi di simmetria sufficiente considerare

il caso x > 0, y > 0, z > 0. Il volume del tetraedro dato da1

6xyz . Si deve allora minimizzare questa funzione soggetta al vincolo

x2 + y2 + z2 = 1 (cio P S). Conviene, in effetti, massimizzare(x,y,z) xyz soggetta allo stesso vincolo.

[Soluzione: Sono gli otto punti P0 = (x0,y0,z0) con x0 = 13 ,y0 = 13 , z0 =

13.]


20/69


21/69

3.1. STRUTTURA DELLE SOLUZIONI, INTEGRALE GENERALE, ANALISI QUALITATIVA 19

Questa unequazione lineare omogenea a coefficienti co-stanti; applichiamo il metodo risolutivo. Il polinomio ca-ratteristico 2 + 4 + 4 = ( + 2)2 ha la (unica) radice = 2 di molteplicit 2. Allora le funzioni y1(s) = e2s

e y2(s) = se2s

sono soluzioni linearmente indipendenti di(). Tutte le soluzioni di questa equazione, dunque, si scri-vono come e2s +se2s per e opportuni. Le soluzionidella () si ottengono sostituendo s = ln(t) in questa formula.Quindi, la formula

t2 +t2 ln(t)

rappresenta tutte le soluzioni cercate al variare di e .

Esercizio svolto: Verificare che le funzioni x1(t) = et2

ex2(t) = et

2sono soluzioni linearmente indipendenti della

seguente equazione differenziale lineare omogenea per t > 0:

x 1t

x t2x = 0.

Usare questo fatto per trovare tutte le soluzioni dellaseguente equazione non omogenea:

x 1t

x t2x = 8t3.

Svolgimento. Che le funzioni x1 e x2 siano soluzioni delle-quazione omogenea data una vedifica diretta che lascia-mo al lettore. Che esse siano funzioni linearmente indi-

pendenti lo possiamo verificare calcolando il determinantewronskiano:

W[x1 ,x2](t) = det

x1(t) x2(t)x1(t) x2(t)

= det

et

2et

2

2tet2 2tet2

= 4t

che diverso da 0 nel dominio considerato ( t > 0).Per trovare tutte le soluzioni della equazione non omo-

genea dobbiamo ricavarne una soluzione particolare. Usia-mo il metodo di variazione delle costanti. Cerchiamo una

soluzione particolare della forma

x(t) = a(t)x1(t) + b(t)x2(t) = a(t)et2 + b(t)et

2,

dove a e b sono funzioni C1 da determinare. Derivando otte-niamo (omettiamo, per semplicit, la dipendenza esplicita dia e b da t),

x(t) = aet2

+ bet2

+ 2taet2 2tbet2 .

Scegliamo di cercare la nostra soluzione particolare traquelle per cui

aet2

+ bet2

= 0 (

)

(ricordiamo che non ci interessa trovarle tutte ma solo unaparticolare). Ne segue che x(t) = 2taet

2 2tbet2 . Derivando,si ottiene

x(t) = 2taet2

2tbet2

+ a2e

t2

+ 4t2

et2

b2et

2 4t2et2

.

Sostituendo nellequazione non omogenea e semplificando(si deve tenere conto che et

2ed et

2sono soluzioni della non

omogenea), si ottiene:

2taet2 2tbet2 = 8t3. ()

Formiamo il sistema delle () e () (le incognite sono, perogni t, a e b):

ae

t2

+be

t2

= 0,2taet2 2tbet2 = 8t3.

Osserviamo che il determinante di questo sistema non altroche W[x1 ,x2](t) che diverso da 0 nel dominio considerato.Quindi il sistema risolubile in modo unico. Otteniamo:

a(t) =2t,

b(t) = 2tet2 .

Integrando, si ha a(t) = t2 e b(t) = et2 . Infine,

x(t) = a(t)et2

+ b(t)et2

= t

2

e

t2

.

Dunque, le soluzioni della equazione non omogenea datadono date da

et2

+et2

+ t2et2,

al variare di e .

Esercizio svolto: Si consideri lequazione differenziale

y(x) = x2y y2.

Trovare linsieme dei punti (, ) R2 tali che la soluzionepassante per (, ) abbia un punto critico per x = . Quali

di questi punti un massimo stretto (per la corrispondentesoluzione)? Quali un minimo?Svolgimento. Se x y(x) una soluzione tale che = y()e un punto critico allora 0 = y() = 2 2. In altreparole, linsieme cercato :

C :=(, ) R2 : 2 2 = 0.

Chiaramente C lunione della retta = 0 e della parabola = 2. Notiamo che y(x) 0, il cui grafico la retta = 0, una soluzione. Quindi i punti di questa retta non sono diestremo stretto. (Osservazione. Le soluzioni che passano per


22/69


23/69

3.1. STRUTTURA DELLE SOLUZIONI, INTEGRALE GENERALE, ANALISI QUALITATIVA 21

Integrando entrambe i membri rispetto a x e usando laformula di cambiamento di variabile, si ha

ln |y(x)| = 12

ln(x) + C = ln 1x + C,

per C costante arbitraria (ricordiamo che x > 0). Prenden-do lesponenziale del primo e dellultimo membro si ottiene|y(x)| = eC

x1. Da cui segue y(x) = K

x1 per Kcostante

arbitraria.(2) Associamo alla nostra equazione differenziale la forma

y dx + 2x dy. Sfortunatamente questa non esatta tuttavia,moltiplicandola per y si ottiene la forma

(x,y) := y2 dx + 2xy dy

che invece esatta sullintero R2. (Il fattore y usato det-

to fattore integrante per la nostra equazione differenziale.)Osserviamo che se f una primitiva di allora f co-stante sui punti del grafico di qualunque soluzione y. Infattidf

x,y(x)

= y(x)

y(x) dx+2x dy(x)

= y(x)

2xy(x)+y(x)

=

0. Osserviamo che la funzione (x,y) xy2 una primi-tiva di . Quindi, se y una qualunque soluzione allorax[y(x)]2 = C per una opportuna costante C. Ne segue che|y(x)| = C/ x, che implica y(x) = K

x1 per K costante

arbitraria.(3) La formula risolutiva ci d

y(x) = Kedx2x = Ke

ln

1x

= K

x1,

per K costante arbitraria.

Esercizio svolto: Data la famiglia G = {Gc}c>0 di curvedescritte implicitamente da

x2 +y2 + 2C x = 0, x > 0, y > 0, ()

scrivere unequazione differenziale che descriva gli elementidi G (nel senso che il grafico di ogni sua soluzione soddisfilequazione data).Svolgimento. Poniamo fc(x,y) = x2 +y2 +2C x. Se la : x

x,y(x) annulla fcx,y(x), allora0 = c(x,y) (x) = 2y(x)y(x) + 2x C.

Questo ci conduce allequazione

y = 2x 2C2y

,

che non soddisfacente in quanto dipende da C. Per elimi-nare questa dipendenza, moltiplichiamo e dividiamo per x ilsecondo membro di questa equazione e sfruttiamo la (). siottiene

2x2 2Cx2xy

=

x2 y22xy

.

Lequazione cercata, allora y = x2y22xy .Esercizio svolto: Data la famiglia F = {Fc}c>0 di curvedescritte implicitamente da

x24

+ y22

= c, x > 0, y > 0,

trovare le curve che sono ortogonali a quelle di F in ognipunto del primo quadrante.Svolgimento. Possiamo procedere seguendo due strade: (1)Ricavare unequazione differenziale che descriva gli elemen-ti di Fe osservare che se y = f(x,y) una tale equazione al-lora le curve ortogonali cercate sono descritte da y = 1

f(x,y) .Infatti, se (yy0) = m(xx0) la retta tangente in (x0,y0) aduna curva Fc, allora (yy0) = 1m (xx0) la retta ortogonaleper lo stesso punto. Per trovare le curve cercate risolviamo

poi questultima equazione. (2) Ricavare unequazione diffe-renziale per le curve cercate da considerazioni geometrichee risolverla.

Risolviamo lesercizio con il secondo dei metodi indicati.Poniamo

c(x,y) =x2

4+

y2

2 c.

Il vettore c(x,y) ortogonale alla curva Fc. Se voglia-mo una curva : x x,y(x) che sia ortogonale ad ognielemento di F in (x,y), allora (x) =

1

y(x)

deve essere

parallelo a c(x,y). Possiamo prendere, per esempio,

y(x) =

x c(x,y)

yc(x,y)

= yx/2

.

Possiamo risolvere questa equazione differenziale con ilmetodo di separazione delle variabili.

y = K x2

x2

4 +y2

2 = cx

y

Otteniamo:y = K x2,

per K costante arbitraria. Quindi le curve cercate sono archidi parabola passanti per lorigine.

Esercizio 3.1: Descrivere le soluzioni dellequazionedifferenziale

y(x) y xx +y

= 0, x > 0,

trovando una formula implicita che le rappresenti.


24/69

22 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Suggerimento. Lequazione si pu riscrivere come

y(x) =y

x 1

1 + yx

.

Introduciamo la nuova incognita v(x) = y(x)/x. Lequazionediventa

xv(x) = 1 + v2

v + 1che, separando le variabili, d luogo alla relazione (ricordiamo chex > 0)

12

ln(1 + v2) + arctan(v) + ln(x) + C

perCcostante arbitraria. La relazione cercata si ottiene sostituendo

y/x al posto div e semplificando.

[Soluzione: 12 ln(x2 +y2) + arctan

yx

= C.]

Esercizio 3.2: Data la famiglia di curve descritteimplicitamente dalle equazioni

x2

2 y

2

4= c, x > 0, y > 0,

trovare le curve che sono ortogonali a quelle date in ognipunto del primo quadrante.

[Soluzione: y = Kx

, con K costante arbitraria.]

Esercizio 3.3: Descrivere le soluzioni dellequazionedifferenziale

y(x) = x + 2y2x +y

,

trovando una formula implicita che le rappresenti.Suggerimento. Fare uso della forma differenziale (x + 2y) dx +

(2x + y) dy, oppure dividere numeratore e denominatore del mem-

bro destro per x (per x 0) ed introdurre la nuova incognita

v(x) = y(x)/x.[Soluzione: Sono archi delle iperboli di equazione x22 + 2xy +

y2

2 = C

(si veda la figura)

y = 2x

C < 0

C > 0

C = 0

x

y

La retta in rosso rappresenta i punti in cui lequazione perde senso. Le

soluzioni corrispondenti a C > 0 (in blu) e C = 0 (in magenta) non sono

definite su tutto R. I grafici delle soluzioni corrispondenti a C = 0 sono

semirette. .]

Esercizio 3.4: Data la famiglia G = {Gc}c>0 di curvedescritte implicitamente da

x2 +y2 + 2C x = 0, x > 0, y > 0,

endequation scrivere unequazione differenziale che descrivala famiglia di curve ortogonali agli elementi di G.

[Soluzione: y = 2xyx2y2 .]

Esercizio 3.5: Si consideri lequazione differenziale

y(x) = x + 2y2.

Dato m R determinare linsieme Im dei punti (, ) R2con la propriet che, se y una soluzione dellequazione tale

che = y(), si ha che il grafico di y in (, ) ha pendenzam (cio la retta tangente al grafico in (, ) ha coefficienteangolare m). Si determini poi la natura locale dei punti di I0per le corrispondenti soluzioni dellequazione data.

[Soluzione: Im la parabola di equazione = m 22. I punti di I0 sono tutti di minimo locale per le corrispondentisoluzioni dellequazione..]

Esercizio 3.6: Verificare che le funzioni x1(t) = t e x2(t) =t3 sono soluzioni linearmente indipendenti della seguenteequazione differenziale lineare omogenea per t > 0:

x 3t

x + 3t2

x = 0.

Usare questo fatto per trovare tutte le soluzioni dellaseguente equazione non omogenea:

x 3t

x +3t2

x = 4t3.

[Soluzione: t+t3 + t52 .]


y(x) = 3xy

x2.

Trovare linsieme dei punti (, ) R2 tali che la soluzionepassante per (, ) abbia un punto critico per x = . Qualidi questi punti un massimo stretto (per la corrispondentesoluzione)? Quali un minimo?Suggerimento. Si sconsiglia di risolvere lequazione.

[Soluzione: Linsieme cercato lunione delle rette reds di equazioni = 0 e = , rispettivamente. I punti di r (risp. s) per cui la

corrispondente soluzione ha ivi un massimo sono quelli per cui < 0 (risp.

> 0). I punti di r (risp. s) per cui la corrispondente soluzione ha ivi un

minimo sono quelli per cui > 0 (risp. < 0). La soluzione corrispondente

allorigine ha, ivi, un flesso orizzontale.]


25/69

3.2. PROBLEMA DI CAUCHY 23

Esercizio 3.8: Si consideri, per t > 0, lequazionedifferenziale

2t2 x + 5tx 2x = t.Si rappresentino tutte le soluzioni (t > 0).

Suggerimento. Si scriva lequazione pery(s) = x(es) e si ricavinole soluzioni cercate da quelle di questa.

[Soluzione:

t+t2 + 13 t.]

Esercizio 3.9: Si consideri, per t < 0, lequazionedifferenziale

t2 x + tx + x = t.

Si rappresentino tutte le soluzioni (t < 0).Suggerimento. Si scriva lequazione pery(s) = x(es) e si ricavinole soluzioni cercate da quelle di questa.

[Soluzione: sin

ln(t)

+ cos

ln(t)

+ 12 t.]

Esercizio 3.10: Date le funzioni x1(t) = t2 e x2(t) = ex,verificare che sono funzioni linearmente indipendenti, do-podich scrivere unequazione differenziale lineare (omoge-nea), di ordine pi basso possibile, che sia soddisfatta daentrambe.

[Soluzione: t2 x = 2tx 2x.]

Esercizio 3.11: Date le funzioni x1(t) = te x2(t) = t2, verifi-care che sono funzioni linearmente indipendenti, dopodichscrivere unequazione differenziale lineare (omogenea), diordine pi basso possibile, che sia soddisfatta da entrambe.

[Soluzione: (t2 + 2t) x = (2 t2) x 2(1 + t)x.]


y(x) = cos

x2 +y2

xy

+

y

x, x > 0, y > 0,

Trovare le curve isocline per questa equazione, cio ognunadi quelle curve con la propriet che i grafici di ogni soluzioneche la interseca abbiano, nel punto di intersezione, la stessapendenza.

Suggerimento. Osservare che, posto f(x,y) = cos

x2 +y2

xy

+

y

x, si

ha f(x,y) = f(1,y/x). Quindi, sey/x costante, anche y(x) =

f(1, x/y) lo . Inoltre, la funzionet

f(1, t) non costante. Allo-

ra, se si vuole chey(x) = f(1, x/y) sia costante, bisogna che x/y losia.

[Soluzione: Le semirette y = mx al variare di m R.]

3.2 Problema di Cauchy

Esercizio svolto: Assegnato 0 < < 2, risolvere il problemadi Cauchy

x x + x(t) = sin t,

x(0) = 0,x(0) = 0.

Svolgimento. Lequazione differenziale lineare, non omo-genea del secondo ordine. Troviamo le soluzioni della omo-genea associata. Il polinomio caratteristico 2 + 1 ele sue radici sono 1,2 =

12 i

4 2. Allora le soluzio-

ni dellequazione omogenea sono combinazioni lineari dellefunzionie

t2 cos(t) , e

t2 sin(t).

dove si posto = 12

4 2.Cerchiamo ora una soluzione particolare dellequazione

non omogenea nella forma x(t) = a cos t. Derivando x esostituendo nellequazione si ottiene a = 1

, e quindi x(t) =

cos t

.Allora, le soluzioni dellequazione sono della forma

et2 (c1 cos(t) + c2 sin(t)) +

cos t

con c1 e c2 costanti arbitrarie. Se valgono le condizioniiniziali, allora

c1 +1

= 0,c1

2+ c2 = 0.

Quindi la soluzione

et2 sin(t)

2+

cos t e t2 cos(t)

.

Esercizio svolto: Siano x(t) e y(t) le soluzioni dei problemidi Cauchy

x(t) x(t) = 2,x(0) = 0,x(0) = 1,

y(t) y(t) = 2,y(0) = d,y(0) = 0.

Calcolare, in dipendenza da d > 0, per quale valore di t > 0si ha x(t) = y(t).Svolgimento. Usando il metodo risolutivo per le equazionidifferenziali lineari si ottiene x(t) = 3et 2t 3 e y(t) =2et 2t+ d 2.

d

ln

y

x

(1+d)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

risolvendo x(t) = y(t) rispetto a tsi ottiene t = ln(1 + d).


26/69


Esercizio svolto: Risolvere il problema di Cauchyy = 2xy2,

y(x0) = 1.

specificando per ogni valore di x0 il dominio della soluzionetrovata.Svolgimento. Lequazione differenziale del tipo a variabiliseparabili. La funzione y(x) 0 soluzione dellequazionema non del problema di Cauchy, quindi possiamo dividereentrambi i membri dellequazione per y(x)2 senza timoredi perdere soluzioni. Integrando membro a membro rispettoa x, si ottiene, per la formula di sostituzione,

1y(x)

=

y(x)

y(x)2 dx =

2x dx = x2.

Da cui segue y(x)= 1

x2+C che rappresenta tutte le solu-zioni non nulle dellequazione differenziale al variare delparametro C.

Imponendo la validit della condizione iniziale si ha

1 = 1x20 + C

.

Quindi la soluzione del problema di Cauchy dato lafunzione

y(x) =1

x2 x20 1,

definita nellintervallo (

x

2

0 + 1,

x

2

0 + 1).Esercizio svolto: Sia x la soluzione del seguente problemadi Cauchy:

x(t) = min{x(t), x2(t)}x(0) = 12 .

Calcolare x(3) ed indicare esplicitamente il dominio di x.Svolgimento. Il membro destro dellequazione lipschitzia-no quindi il problema di Cauchy ammette unica soluzionedefinita su tutto R. Per trovarla osserviamo che x = x2 perogni t R tale che x(t) 1, mentre x = x per ogni t R taleche x(t) 1.

Siccome x(0) < 1 sideve prima risolvere ilproblema di Cauchy

x = x2

x(0) = 12 .

per i valori di t per iquali x(t) 1. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Grafico di min{x, x2} risp. x.

Si ottiene x(t) = 1t2 per 0 t 1. Si risol-

ve poi il problema di Cauchy x = x, x(1) = 1, ot-tenendo x(t) = et1 per t 1. Allora, x(3) = e2.

(2t)

1

et1

1 00110.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0

2

4

6

8

10

Esercizio svolto: Siano x1 e x2 le rispettive soluzioni deiseguenti problemi di Cauchy:

x = x2

x(0) = 0x(0) =

2

2 x = x2x(0) = 0x(0) = 1

Determinare per quale t > 0 si ha x1(t) = x2(t).(In altre parole, si risolva il seguente problema: su due rotaie oriz-zontali parallele vi sono due masse di 1 e2 Kg. Esse sono lanciate

contemporaneamente, con identica energia di1 J, nello stesso ver-

so dalla stessa linea perpendicolare alle rotaie. Supponendo che il

loro moto sia ostacolato da unattrito di tipo idraulico con identi-

co coefficiente1, determinare in quale istante la massa pi pesante

superer laltra.)

m = 1Kg v =

2 m/s

m = 2Kg v = 1 m/s

x0

Svolgimento. Posto z(t) = x(t), le equazioni differenziali

x = x2

e 2 x = x2

diventano rispettivamente z = z2

e2z = z2. Queste possono essere risolte con il metodo diseparazione delle variabili ottenendo t 1

t+c1e t 2

t+c2

come rispettive soluzioni, dove c1 e c2 sono costanti arbitra-rie. Tenendo conto della sostituzione fatta e delle condizioniiniziali, si ottiene

x1(t) = ln

2t+ 1

, x2(t) = 2 ln

t

2+ 1

.

Consideriamo lequazione x1(t) = x2(t) per t > 0. Eliminan-do i logaritmi si ottiene

2t + 1 = (t/2 + 1)2 che ammette,

come unica soluzione positiva t = 25/2

4.


27/69


Esercizio svolto: Siano x1 e x2 le rispettive soluzioni deiseguenti problemi di Cauchy:

x = x

x(0)=

0x(0) = 2

2 x = x

x(0) = 0x(0) = 1

Determinare per quale t > 0 si ha x1(t) = x2(t).(Linterpretazione fisica simile a quella dellesercizio precedentecon la differenza che lattrito considerato qui di tipo viscoso)

Svolgimento. Le equazioni differenziali sono lineari.Tenendo conto delle condizioni iniziali si ottiene

x1(t) =

2

2et, x2(t) = 2 2et2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

x2(t)

x1(t)

x = 2

x =

2

t

Risolviamo lequazione x1(t) = x2(t) per t > 0 per mezzodella sostituzione z = et/2. Si ottiene

2z2 2z + 2

2 =

0 che ha per soluzioni z = 1, che corrisponde a t = 0, ez =

2 1 che corrisponde a t = 2 ln

2 1

> 0, che

la soluzione cercata.

Esercizio svolto: Scrivere il polinomio di McLaurin al terzoordine della soluzione del seguente problema di Cauchy:

x = ( x)2 + etx,x(0) = 1,x(0) = 1.

Svolgimento. Il polinomio cercato

P3(t) = x(0) + x(0)t+x(0)2

t2 +

...x (0)

3!t3.

I coefficienti x(0) e x(0) sono dati dal problema. Calco-liamo x(0). Sostituendo t = 0 nellequazione differenzialee tenendo conto delle condizioni iniziali si ottiene x(0) = x(0))2 + e0x(0) = 1 + 1 = 0. Calcoliamo ora ...x (0).Dallequazione differenziale si ottiene, derivando rispetto at,

...x (t) =

2 x(t) x(t) + etx(t) + etx(t).

Sostituendo t = 0 e usando i valori di x(0), x(0) e x(0), siottiene

...x (0) = 2. Allora, il polinomio cercato :

P3(t) = 1 + t+t3

3.

Esercizio 3.13: Trovare la soluzione del seguente problemadi Cauchy specificandone il dominio:

y(x) =y(x)2 + 1

2x,

y

2

= 0.

[Soluzione: y(x) = tanx2 2

, dominio: ( , ).]

Esercizio 3.14: Trovare la soluzione dei seguenti problemidi Cauchy specificandone il dominio:

y(x) = y(x)

2

sin(x),y0

= 2.

y(x) = y(x)2

sin(x),y0

= 1.

Esercizio 3.15: Risolvere il problema di Cauchyy = (x + 1)y2,

y(0) = 1/a, a > 0.specificando per ogni valore di a il dominio della soluzionetrovata.

Esercizio 3.16: Dato il numero a R, sia ya la soluzionedel seguente problema di Cauchy:

y(x) = min{x, x2}y(x),y(0) = a.

Determinare, per ogni valore di a R il valore di ya(2).Esercizio 3.17: Risolvere per ogni R il seguenteproblema di Cauchy:

y = 2xy + y,y(0) = 2.

Sia y(x) la soluzione, determinare affinch y(1) = 0.

Esercizio 3.18: Risolvere il seguente problema di Cauchy,specificando il dominio della soluzione

y 1t2

y =e2/t

t2

y(1) = 2e2.

Esercizio 3.19: Risolvere il seguente problema di Cauchy:y =

x2ey2

y

y(0) = 1


28/69


29/69


specificando per ogni valore di a R il dominio dellasoluzione trovata.

[Soluzione: Se a 0, ya(x) = (x2 + 1a )1; se a = 0, ya(x) 0. Dominio

di ya se a 0: tutto R; se a < 0: {x R : 1/

a < x < 1/

a}.]

Esercizio 3.31: Sia ya,b(x), per ogni a, b R, la soluzionedel seguente problema.

y = a,y(0) = 0,y(0) = b.

Sapendo che a2 +b2 1, determinare per quali valori di a e bla funzione (a, b) y

a,b(1) assume il suo massimo. Quantovale questo massimo?

Esercizio 3.32: Sia ya(x), per ogni a R, la soluzione delseguente problema di Cauchy.

y = a2y,y(0) = 0,y(0) = a.

Per quali valori di a la funzione a ya(1) assume il suomassimo?

Esercizio 3.33: Determinare, per ogni a R la soluzioneya(x) del seguente problema di Cauchy.

y = (y2 y)x,

y(0) = a.

Per quali valori di a la funzione ya(x) limitata?

Esercizio 3.34: Per ogni a, b R, sia ya,b la soluzione delseguente problema di Cauchy

y = y + ax2 + bx,y(0) = 0,y(0) = 0

Determinare (a, b) affinch ya,b(2) = 2 e sia minimo il

valore di2

0

y(x) 2a)2 dx.

[Soluzione: a = 2(1+2)

.]

Esercizio 3.35: Siano e le rispettive soluzioni deiseguenti problemi di Cauchy

y = y,y(0) = 1,y(0) = 0

y = y,y(0) = 0,y(0) = a

Posto ma := maxxR(x) (x), determinare il valore di a

tale che ma sia minimo (in altre parole scegliere la velocitiniziale del secondo oscillatore in modo che si allontani ilmeno possibile dal primo).

[Soluzione: a = 0.]

Esercizio 3.36: Sia ya,b(x), per ogni (a, b) Q = {(a, b) R

2 : a + b = 1}, la soluzione del seguente problema diCauchy.

y = a2y,y(0) = 0,y(0) = b2.

Per quali valori di (a, b) Q la funzione (a, b) ya,b(a2)assume il suo minimo?

Esercizio 3.37: Sia x la soluzione del seguente problema diCauchy

x = (t+ 1) x x2,x(0) = 0,x(0) = 3.

Determinare

1 = limt0 2x(3t)t5 9t e 2 = limt0 x(t) 3t3t2 + t5Suggerimento. Dedurre dallequazione e dalle condizioni iniziali i

coefficienti dello sviluppo di McLaurin dix(t) allordine opportuno.

[Soluzione: 1 = 2, 2 = 32 .]

Esercizio 3.38: Sia ya,b(x), per ogni a, b R, la soluzionedel seguente problema.

y = a,y(0) = 0,y(0) = b.

Sapendo che a2 +b2 1, determinare per quali valori di a e bla funzione (a, b) y

a,b(1) assume il suo massimo. Quanto

vale questo massimo?

Esercizio 3.39: Si consideri il seguente problema di Cauchydipendente dal parametro > 0:

x = x + 1,x(0) = 0,x(0) = 0.

Determinare in modo tale che

limt+ x(t) = 2.[Soluzione: = 1

2.]

Esercizio 3.40: Si consideri il seguente problema di Cauchydipendente dal parametro > 0:

x = x,x(0) = 0,x(0) = 1.

Determinare in modo tale che

limt

+

x(t) =

2.


30/69


[Soluzione: = 12.]

Esercizio 3.41: Si consideri il seguente problema di Cauchycontenente il parametro di controllo u (0, ):

x = 3x + u,

x(0) = 0,

Denotiamo con xu(t) la soluzione al tempo tdi tale problema.Determinare per quali valori di u si ha xu(1) (1, 2).

[Soluzione: 3e31 < u 0:

x + 2a x + a2x = 0,

x(0) = 0,x(0) = 1

1. Determinare, al variare di a > 0, la soluzione xa(t) altempo tdi tale problema.

2. Determinare per quali valori di a esiste almeno un t0 >0 tale che xa(t0) = 1.

Esercizio 3.44: Dato v R sia t x(t, v) la soluzione delseguente problema di Cauchy:

x = 2 x x,

x(0) = 1,x(0) = v.

Determinare il minimo della funzione v |x(1, v)| per v [1, 2].

[Soluzione: e.]

Esercizio 3.45: Sia xu(t, , v) la soluzione al tempo t del

seguente problema di Cauchyx = t u,

x(0) = ,x(0) = v.

Determinare al variare della posizione e velocit v ini-ziali, per quale valore del parametro u R la funzioneu

10

xu(t, , v)

2 dtraggiunge il suo minimo.[Soluzione: u = 3v 38 , qualunque.]

Esercizio 3.46: Un cannoncino spara un proiettile di massa

M con energia E in direzione orizzontale. Sia il coeffi-ciente di attrito viscoso a cui il proiettile sottoposto nel suomoto.

1. Determinare la legge oraria del moto orizzontale.

2. Determinare lestremo superiore della distanza (in oriz-zontale) raggiunta dal proiettile, supponendo che questosia libero di cadere senza ostacoli.

3. Calcolare quanto tempo t impiegher il proiettile a rag-giungere la distanza (in orizzontale) d dal cannonci-no. E, trascurando lattrito nel moto verticale, calco-lare di quanto si sar abbassata la traiettoria rispettoallorizzontale in quellistante.

4. Sempre rascurando lattrito nel moto verticale, trova-re quale distanza d (in orizzontale) dal cannoncinola traiettoria si sar abbassata di h (sempre rispettoallorizzontale).

Suggerimento. Lequazione che governa il moto orizzontale

Mx = x

e la velocit iniziale vale2E

M . Invece, il moto verticale governatodallequazione y = g doveg laccelerazione gravitazionale.

(0, 0) x

y


31/69


Il disegno mostra due traiettorie possibili corrispondenti alla stessa

energia iniziale. Quella rossa corrisponde ad una massa doppia ri-

spetto alla blu. Per motivi grafici il rapporto tra gli assi delle ascisse

e delle ordinate stato alterato. Notiamo che la traiettoria corri-

spondente al proiettile pi pesante rimane inizialmente al di sottodellaltra.

[Soluzione: (1) x(t) =

2EM

1 e tM

,

(2)

2EM ,

(3) t = M ln

2EM2EMd

, abbassamento: M

g

22

ln

2EM

2EMd

2,

(4) x

2hg

=

2EM

1 e 2hgM

.]

Esercizio 3.47: Data la costante b R, sia xb() la soluzionedel seguente problema di Cauchy:

x = 14x + sin(t),

x(0) = 0,

x(0) = b.Determinare per quale valore di b, xb 2-periodica.

[Soluzione: b = 43 .]

Esercizio 3.48: Sia xa(t) la soluzione del seguente problemadi Cauchy:

x = x21

t2+1 ,

x(0) = a

Calcolare limt+

x 12(t).

[Soluzione: 1.]

Esercizio 3.49: Siano ke a costanti reali assegnate, e siano

b e c parametri reali. Si considerino i seguenti problemi diCauchy:

x = ax + kx(0) = x0

,

y = ay + b + cet

y(0) = y0,

e supponiamo che x0 y0. Denotiamone con x(t) e yb,c(t) lerispettive soluzioni al tempo t 0. Determinare, se esistono,i valori di b e c tali che

limt+

|yb,c(t) x(t)| = 0

Stabilire inoltre per quali valori di a possibile determinare

b e c in modo tale che esista una costante H con la proprietche|yb,c(t) x(t)| Het, t > 0.

[Soluzione: Pera < 0 basta scegliere b = k e c qualunque. Nel caso a 0 si deve prendereb = k e c = (a + 1)(x0 y0). Per a = 1 non possibile determinare b e cin modo tale che esista una costante H con la propriet richiesta.]

Esercizio 3.50: Siano c, e costanti reali assegnate cona . Si considerino i seguenti problemi di Cauchy:

x = cx + et

x(0) = a,

y = cy +et

y(0) = b.

Denotiamone con xa(t) e yb(t) le rispettive soluzioni al tempot 0.

Dato b, determinare a in modo tale che

limt+ |

yb(t)

xa(t)|

= 0

Stabilire inoltre per quali valori di c esistono a e b tali chesia possibile determinare una costante Hcon la propriet che

|yb(t) xa(t)| Het, t > 0.

[Soluzione: Per c < 0, b pu essere qualunque. Nel caso c 0 sideve prendere a = b + c+1 . Per c = 1 non possibile determinare a e b inmodo tale che esista una costante H con la propriet richiesta.]

Esercizio 3.51: Determinare, se esiste, una funzione C1,x : R R, tale che

t1

3x() d = x(t) 1.

Suggerimento. Derivando etrambi i membri si ottiene lequazione

differenziale x = 3x. Valutando inoltre lidentit in t = 1 si ot-

tiene la condizione x(1) = 1. La soluzione si ottiene risolvendo il

problema di Cauchy cos ottenuto.

[Soluzione: x(t) = e3(t1).]

Esercizio 3.52: Si consideri il seguente problema di Cauchydipendente dai parametri reali a, b:

x = ( x)2 etx,

x(0) = a,x(0) = b

Determinare per quali valori della coppia (a, b) si ha x(0) =...x (0) = 0.Suggerimento. Non tentare di risolvere lequazione differenzia-

le ma ricavare x(0) e...x (0) direttamente dalle condizioni iniziali e

dallequazione.

[Soluzione: Ci sono tre soluzioni: (a, b) = (0, 0),(a, b) =

9+

17

32 ,1+

17

8

e (a, b) =

9

17

32 ,1

17

8

.]

Esercizio 3.53: Sia xa,b la soluzione del seguente problemadi Cauchy:

x = x x x2,x(0) = 0,x(0) = 1

Determinare il polinomio P4(t) di McLaurin al quarto ordinedi xa,b.

[Soluzione: P4(t) = t 16 t3 112 t4.]

Esercizio 3.54: Sia x la soluzione del seguente problemadi Cauchy:

x = x x etx,

x(0) = 0,x(0) =


32/69


Determinare, al variare di R, il seguente limite:

L() = limt0

t3

sin(t) x(t).

Suggerimento. Non tentare di risolvere lequazione differenziale

ma ricavare il polinomio di McLaurin dix allordine opportuno.

[Soluzione: L() = 0, se 1, e L() = 6 per = 1.]

Esercizio 3.55: Un punto Q si muove sullasse y verso laltopartendo, dallorigine. Un punto P, si muove verso Q, par-tendo dalla posizione (1, 0), in modo tale da mantenere unadistanza costante da Q. Descrivere la traiettoria di P.Suggerimento. Indicando con (x,y) e(, ) le coordinate di P e Q rispettiva-mente, la condizione che P si muovaversoQ si scrive

y = y

x .

daltra parte, la condizione cheQ appar-

tenga allassey ci dice che = 0. Sap-

piamo inoltre che P Q uguale a1. Cio che1 = ( x)2 + ( y)2 =x2 + ( y)2. Allora, y =

1x2x

. Sap-

piamo anche che y = 0 quando x = 1.

Ci siamo dunque ridotti ad un problema

di Cauchy. Lequazione differenziale si

risolve semplicemente integrando.

x

y

P

Q

[Soluzione: y = ln

1+

1x2x

1 x2. La curva ottenuta si chiama

trattrice.]

3.3 Problemi al bordo e misti, altri

problemi

Esercizio svolto: Stabilire per quali valori di R ilseguente problema ammette soluzioni

y(x) +y(x) = cos x

y(0) = y(2)

Svolgimento. Determiniamo le soluzioni dellequazione li-neare omogenea y(x) +y(x) = 0. Lequazione caratteristica

z2 + 1 = 0 ha soluzioni i. Dunque le funzioni sin x e cos xsono soluzioni (linearmente indipendenti) dellequazione li-neare omogenea; le cui soluzioni saranno quindi tutte dellaforma A cos x +B sin x, per A,B R. Determiniamo le solu-zioni dellequazione non omogenea cercando una soluzioneparticolare della forma y(x) = x sin(x)+ sin(x)+x cos x+

cos x. Si ha:

y(x) = sin x+x cos x + cos x

+cos x x sin x sin x,

y(x) = 2 cos xx sin x sin x2sin x x cos x cos x.

Sostituendo nellequazione ed imponendo che valga identi-camente lidentit, si ottiene

= 0, = 0, = 2

, = 0.

Allora tutte le soluzioni dellequazione non omogenea si rap-presentano nella forma yA,B(x) = A cos x +B sin x 2x cos x,al variare di A,B R. Dunque, lunico valore di per cui soddisfatta la condizione y(0) = y(2) = 0.

Esercizio svolto: Determinare, se esistono, le soluzionilimitate della seguente equazione differenziale:

y(x) = y(x) sin(x).

Svolgimento. Tutte le soluzioni dellequazione data sonodella formay(x) = 12 cos x 12 sin x+Cex con Cuna costante.

Lunica soluzione limitata (su R) si ha per C = 0, cio:y(x) = 12 cos x 12 sin x.

Esercizio svolto: Al variare dei parametri N e a R siconsideri il seguente problema:

y + 2y = 0y(0) = 0

y

2

= a.

1. Se pari, per ogni valore di a il problema ammetteuna ed una sola soluzione. Determinarla.

2. Se dispari, stabilire per quali valori di a esistealmeno una soluzione.

Svolgimento. La soluzione generale dellequazione diffe-

renziale data y(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x). Imponen-do che sia soddisfatta la condizione y(0) = 0 si ottieneC1 = 0. Imponiamo ora la condizione y

2

= a; si ottiene

la relazioneC2 cos

2

= a. ()

Distinguiamo i due casi pari e dispari.

Se pari possiamo scrivere = 2k per qualche k N.Dunque () si pu scrivere come C22kcos(k) = a. Poichcos(k) = (1)k 0, risolvendo rispetto a C2 si ottiene

C2 =a

(1)k

2k

=(1)/2a

.


33/69

3.3. PROBLEMI AL BORDO E MISTI, ALTRI PROBLEMI 31

Quindi y(x) = (1)/2a

sin(x).

Se dispari possiamo scrivere = 2k 1 per qualchek N. La () si pu scrivere come

C2(2k 1)cos

k +

2

= a.

Poich cosk + 2

= 0, la () si pu risolvere rispetto a C2

se soltanto se a = 0. In questo caso il problema ammetteinfinite soluzioni della forma y(x) = C2 sin(x).

Esercizio svolto: Al variare del parametro 0 si consideriil seguente problema:

x 2x = 0x(0) = 1x(1) = 0.

Determinare, se esiste, una soluzione x

di tale problema escegliere in modo tale che

h() =1

0x(t) dt

sia massimo.Svolgimento. Se = 0, il problema ammette come unicasoluzione x0(t) = 1 t. Quindi, h(0) = 12 .

Per > 0, la soluzione generale dellequazionedifferenziale della forma

A cosh(t) + B sinh(t),

con A e B costanti arbitrarie. Imponendo le condizioni albordo si ottiene

1 = x(0) = A0 = x(1) = A cosh() + B sinh().

Da cui segue che lunica soluzione ( > 0) del problemaassegnato data da

x(t) = cosh(t) cosh()sinh()

sinh(t).

Il grafico di x inrosso, h() lareadel sottografico.

x(1) = 0

x(0) = 1

t

x(t)

h()

Integrando rispetto a t, per > 0,

h() =1

sinh(t) cosh()

sinh()cosh(t)

t=1t=0

=(e 1)

(e + 1).

Allora, per [0, +),

h() =

12 se = 0(e1)

(e+1) se > 0

3210

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

54

h()

Si vede subito che, per > 0, h() continua,monotona e decrescen-te, quindi il suo massi-mo raggiunto per =0.

Esercizio svolto: Dato aR

\ {0}, dimostrare che per ogni

funzione T-periodica g : R R, T > 0, lequazione

x(t) = ax(t) + g(t) ()

ammette ununica soluzione T-periodica e determinare unaformula per calcolarla.Svolgimento. Dalla formula risolutiva per le equazioni linea-ri del primo ordine si ha che una qualunque soluzione di ()si scrive come segue per unopportuna costante k:

x(t) = keta +t

0e(ts)ag(s) ds.

Per dimostrare lesistenza e lunicit sufficiente vedere chela condizione x(0) = x(T) (che segue dalla T-periodicit)determina la costante k in modo univoco. Infatti,

x(T) = keT a +T

0e(Ts)ag(s) ds = x(0) = k

da cui, necessariamente,

k =1

eT a 1T

0e(Ts)ag(s) ds

Allora, la formula cercata :

x(t) =eta

(eTa 1)T

0e(Ts)ag(s) ds +

t0

e(ts)ag(s) ds.

Esercizio svolto: Determinare, se esiste, una soluzione delseguente problema misto:

Eserciziario - Analisi 2

Documents

Transcript of Eserciziario - Analisi 2