Appunti di Analisi matematica 2PaoloAcquistapace28marzo2011Indice1 Spazimetrici 11.1 Successionidifunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Propriet`adellaconvergenzauniforme . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Spaziconprodottoscalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Spazinormati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Lanozionedispaziometrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7 Completezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8 Contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.9 Funzioniimplicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.10 Massimieminimivincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892 Sistemidierenziali 972.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2 Sistemilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.3 Sistemiomogeneiacoecienticostanti . . . . . . . . . . . . . 1142.4 Equazionilinearidiordinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.5 Analisiqualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 IntegrazionesecondoLebesgue 1893.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893.2 Rettangolieplurirettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.3 Misurainternaemisuraesterna . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.4 Insiemimisurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.5 Propriet`adellamisuradiLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 2113.6 Uninsiemenonmisurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153.7 Funzionimisurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.8 LintegralediLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226i3.9 ConfrontoconlintegralediRiemann . . . . . . . . . . . . . . 2373.10 Passaggioallimitesottoilsegnodiintegrale . . . . . . . . . 2393.11 Calcolodegliintegralimultipli . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483.12 Cambiamentodivariabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633.13 LospazioL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903.14 SeriediFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.15 Ilmetododiseparazionedellevariabili . . . . . . . . . . . . . 3504 Variet`a 3614.1 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.2 Ascissacurvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3734.3 Geometriadellecurvepiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3834.4 Inviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924.5 Curvesghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4004.6 Formedierenzialilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094.7 FormulediGauss-Greennelpiano. . . . . . . . . . . . . . . . 4244.8 Superci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4404.9 Geometriadellesuperci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4724.10 Variet`ar-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4944.11 Applicazionimultilinearialternanti . . . . . . . . . . . . . . . 5004.12 Misuraeintegrazionesuvariet`a . . . . . . . . . . . . . . . . . 5294.13 Formedierenzialilinearidigrador . . . . . . . . . . . . . . . 5404.14 Integrazionedir-formesur-variet`aorientate. . . . . . . . . . 551Indiceanalitico 566iiCapitolo1Spazimetrici1.1 SuccessionidifunzioniAndiamoaconsiderarevarienozioni di convergenzapersuccessioni oseriedifunzioni: alcunediquesteconvergenze,inparticolarelaconvergenzauni-forme, costituirannoil modelloacui ci rifaremoper introdurrelenozioniastrattedispazionormatoedispaziometrico.Siadunque fnnNunasuccessionedifunzioniavalorireali,oanchecom-plessi, denitesuununsottoinsiemeAdi R, oppuredi Rm, oppuredi Cm;siafunaltrafunzionedenitainA.Denizione1.1.1Diciamochelasuccessione fnconverge puntualmenteallafunzione f inAse per ogni x Alasuccessione numerica fn(x)convergeal numerof(x),ossiaselimnfn(x) = f(x) x A;insimboli,ci`osignicachex A, > 0 N : [fn(x) f(x)[ < n .Denizione1.1.2Diciamo che la successione fn converge uniformemen-teallafunzionefinAserisultalimnsupxA[fn(x) f(x)[ = 0;insimboli,ci`osignicache > 0 N : [fn(x) f(x)[ < n , x A.1Osservazioni1.1.3(1) La dierenza fra convergenza puntuale ed uniformestanelquanticatorex Achesispostadallinizioallanedellafrase.Laconseguenza`e che lindice , cio`e lasogliaoltre laquale laquantit`a[fn(x) f(x)[ `e piccola, va a dipendere solo da , e non da e x. La secondadenizione`e dunque pi` urestrittivadellaprima: laconvergenzauniformeimplicalapuntuale.(2)Anchelefnconverganouniformementeaf inAoccorreebastacheper ogni > 0 i graci delle fnsiano contenuti denitivamente nell intornotubolaredelgracodifdiraggio,ossianellinsieme(x, y) : x A, [y f(x)[ < .(3) La denizione 1.1.2 si applica anche a successioni di funzioni non limitate,comemostrailsuccessivoesempio1.1.4(3).Esempi1.1.4(1)SianoA = [0, 1]efn(x) = xn. Siha,ssatox [0, 1],limnfn(x) =_0 sex [0, 1[1 sex = 1.Quindi la successione fn converge puntual-menteallafunzionef(x) =_0 sex [0, 1[1 sex = 1.Per`olaconvergenzanon`euniforme: ssato ]0, 1],`eimpossibiletrovare2 Ntalechesiabbiaxn= [xn0[ < n , x [0, 1[,perchequandox 1ci`oimplicherebbe1 . Siosservi,tuttavia,chefnconvergeuniformementeafinogni intervallodellaforma[0, a] cona 0.Laconvergenzanon `euniformein[0, [perchesupx0[fn(x) f(x)[ = supx>0enx= 1 n N,per`o `euniformeinognisemirettadeltipo[a, [cona > 0,essendosupxa[fn(x) f(x)[ = supxaenx= ena0 pern .(3)SiaA=]0, [ eponiamofn(x) =1x n=min1x, negn(x) =n+xnx.Entrambequestesuccessioni convergonopuntualmenteaf(x)=1x(si notichelegnsonofunzioniillimitate), per`olaconvergenza`euniformeperlegnenonlo `eperlefn. Infattisupx>0[fn(x) f(x)[ = sup001x n + xnx=1n 0 pern .Gli esempi precedenti mostrano che la convergenza uniforme pu`o realizzarsi omeno a seconda di come si sceglie linsieme di denizione delle fn . In genere,quindi,dataunasuccessionedifunzionideniteinA,cisichieder`ainqualisottoinsiemi di Asi haconvergenzauniforme. Il motivodi questotipodirichiestestanel fattoche, adierenzadellaconvergenzapuntuale, lacon-vergenzauniformepreserva, comevedremo, diversepropriet`adellefunzioniqualilacontinuit`aelintegrabilit`a.Accantoallesuccessionidifunzioni,`enaturaleconsiderareancheleseriedifunzioni. Se fn `e una successione di funzionidenite inun insieme A con-tenutoin R,oppurein Rm,oppurein Cm,laserie

n=0fn`elasuccessionesndellesommeparziali,ovesn(x) =n

k=0fk(x);alleseriedi funzioni si applicanoquindi lenozioni di convergenzapuntualeeduniforme. Utilizzandoledenizioni1.1.1e1.1.2,avremo:laserie

fnconvergepuntualmenteinAseperogni x Alaserienumerica

n=0fn(x) `econvergente,ossiax A, > 0 N :

k=n+1fk(x)< n ;4laserie

fnconvergeuniformementeinAselimnsupxA

k=n+1fk(x)< n , x A.Perleseriedifunzionisihannoper`oaltriduetipidiconvergenza:laserie

fnconvergeassolutamenteinAseperogni x Alaserienumerica

n=0fn(x) `e assolutamente convergente, cio`e se

n=0[fn(x)[`econvergente;laserie

fnconvergetotalmenteinAselaserienumerica

n=0supxA[fn(x)[`econvergente.Laproposizionecheseguemetteaconfrontoiquattrotipidiconvergenza.Proposizione1.1.5Sia

fnunaseriedifunzionidenitesuunsottoin-siemeAdi R,odi Rm,odi Cm. Allora:(i) laconvergenzatotaleimplicalaconvergenzauniformeequestultimaim-plicalaconvergenzapuntuale;(ii) laconvergenzatotaleimplicalaconvergenzaassolutaequestultimaim-plicalaconvergenzapuntuale;(iii) nonvi sonoimplicazioni traconvergenzauniformeeassoluta, neval-gonoleimplicazionicontrarieaquellesopradescritte.Dimostrazione (i) Poiche

n=0 supxA[fn(x)[ `e una serie reale convergen-te,perilcriteriodiCauchysiha > 0 N :p

k=n+1supxA[fk(x)[ < p > n ,dacuiamaggiorragionesupxAp

k=n+1fk(x)p

k=n+1supxA[fk(x)[ < p > n .5Inparticolarep

k=n+1fk(x)< p > n , x A,cio`elaserie

n=0fn(x)vericaperogni x Ail criteriodi Cauchyin Redunque`econvergenteperogni x A. Passandoal limiteperp , sideduceche

k=n+1fk(x) p > n , x A,ossiasi `eprovatoche > 0 N : supxA

k=n+1fk(x) n ,il checi d`alaconvergenzauniforme. Dallaconvergenzauniformesegueinmodoovviolaconvergenzapuntuale.(ii)Sex A,lovviadisuguaglianza

k=n+1[fk(x)[

k=n+1supxA[fk(x)[ x A, n Nci forniscelaprimaimplicazione. Laseconda`ebanalmenteveraper ogniserienumerica.(iii) Tutte le false implicazioni saranno illustrate dal seguente esempio. Con-sideriamolaserielogaritmica

n=1(1)n1 xnn,la quale, come `e noto, converge puntualmente in ] 1, 1] con somma ln(1+x).Inoltrelaserieconvergeassolutamentein] 1, 1[,mentreneipuntix = 1la serie dei moduli si riduce alla serie armonica e quindi diverge. Vediamo inqualisottoinsiemidi] 1, 1[c`econvergenzatotale: in] 1, 1[no,perchesup[x[ 0;(iii)

n=1enxn, x R; (iv)

n=0(1)n2n + 1(x21)2n, x R;(v)

n=02nsinx3n , x R; (vi)

n=0x21 + n2x2 , x R;(vii)

n=1(1)n+1xln n, x > 0; (viii)

n=1n2xn/2 , x > 0;(ix)

n=1xnln_1 +xn_, x > 1; (x)

n=0(ln x)nn2+ x2 , x > 0;(xi)

n=1e(nx)/(n+x)n2x2, x R; (xii)

n=0xn, x > 0.4. Discutereil comportamentopern delleseguenti successioni difunzionideniteperricorrenza:(i)_f0(x) = xfn+1(x) =12[1 + (fn(x))2],x [0, 1];(ii)_f0(x) = xfn+1(x) =12 ln(1 + 2fn(x)),x 0.5. Discutereil comportamentopern delleseguenti successioni difunzioni:(i)fn(x) = enenx, x R; (ii)fn(x) = xnex/n, x 0;(iii)fn(x) = nxen/x, x > 0; (iv)fn(x) = xnnx, x R;(v)fn(x) = (n + x)nx, x > 0; (vi)fn(x) =_n0extsin t dt, x R;(vii)fn(x) =nxen2x1+2n3x, x R; (viii)fn(x) = xn2enx, x R.96. Siprovicheperognia Rleserie

n=0ancos nxn!,

n=0ansin nxn!, x R,sono totalmente convergenti in R e se ne calcolino le rispettive somme.[Traccia: sifacciausodellarelazionecos t + i sin t = eit,t R.]7. Sidimostricheperognix ] 1, 1[,a Reb Rsiha

n=0xncos(a + nb) =cos a x cos(a b)1 2x cos b + x2,

n=0xnsin(a + nb) =sin a x sin(a b)1 2x cos b + x2.8. Sia fnunasuccessioneconvergenteuniformementeadunafunzionefnellinsieme A RN. Si provi che se xn `e una successione di puntidi A, convergenteaunpuntox A, esef`econtinuanel puntox,allorafn(xn) f(x)pern .`EancoraveroquestorisultatoselefnconvergonoinAsolopuntualmente, osef non`econtinuanelpunto?9. Sia funa funzione continua nellintervallo [a, b]; posto rn= (b a) 1nperognin N+,poniamofn(x) =___1rn_x+rnxf(t) dt sex [a, b[f(b) sex = b.Siprovichefn funiformementein[a, b]pern .10. (TeoremadiAbel)Siaf(z)lasommadelleseriedipotenze

n=0anznnel cerchioC= z C: [z[ 0: peripotesi,esiste Ntaleche[fn(x) f(x)[ < n , x A.Perognix Apossiamoscrivere[f(x) f(x0)[ [f(x) f(x)[ +[f(x) f(x0)[ +[f(x0) f(x0)[;ilprimoedilterzoaddendosonominoridiqualunquesiax A,mentreilsecondo, essendofcontinuainA, sar`aminoredipertuttiglix Achedistanodax0menodiunopportuno,ilqualedipendeda,daedax0.Mapoiche`eunindicessato,dipendentesolamentedaedax0,anchedipendesoltantodaoltrechedax0. Siconcludeche[f(x) f(x0)[ < 3 per [x x0[ < ,eci`oprovalatesi.Ilteoremaprecedentesipu`oenunciareinformalievementepi` ugenerale.Teorema1.2.2Siax0unpuntodaccumulazioneperuninsiemeAconte-nutoin R, o Rm, o Cm, esia fnunasuccessionedi funzioni deniteinA,checonvergeuniformementeinAadunafunzionef. Seperognin Nesistonoilimitilimxx0fn(x) = Ln,alloraesistonoancheiduelimitilimxx0f(x), limnLn,esonouguali.11Il sensodi questoenunciato`e che, nelle ipotesi indicate, si pu`oinvertirelordinedeilimiti:limxx0limnfn(x) =limnlimxx0fn(x).Dimostrazione Proviamo anzitutto che Ln `e convergente. Fissato > 0,sia Ntaleche[fn(x) f(x)[ < n , x A.Alloralesuccessioninumeriche fn(x),alvariaredix A,sonodiCauchyuniformemente rispetto a x,poiche per ogni n, m e per ogni x A si ha[fn(x) fm(x)[ [fn(x) f(x)[ +[f(x) fm(x)[ < 2;dunqueperx x0siricava[LnLm[ 2 n, m .Lasuccessionenumerica Ln `edunquediCauchyin RepertantoconvergeaunnumerorealeL. Dobbiamoprovarechelimxx0f(x) = L.Fissiamonuovamente > 0escegliamostavolta Ninmodocherisulti[LnL[ < , supxA[fn(x) f(x)[ < n .Alloraperognix Asiha[f(x) L[ [f(x) f(x)[ +[f(x) L[ +[L L[ < 2 +[f(x) L[.Daltraparte,poichef(x) Lperx x0,esiste> 0(dipendenteda,ex0,dunquesoltantodaex0)talechex A, [x x0[ < = [f(x) L[ < ;neseguex A, [x x0[ < = [f(x) L[ < 3,elatesi `eprovata.Laconvergenzauniformenonpreservaingeneraleladerivabilit`adellefun-zioni,comemostrailseguente12Esempio1.2.3La funzione f(x) = [x[, che non `e derivabile nel punto x = 0,`eillimiteuniformesu Rdellefunzionifn(x) =___[x[ se [x[ >1nn2x2+12nse [x[ 0escelto Ninmodochesiasupx[a,b][ftn(x) g(x)[ < n ,siottiene[ftn(x)ftm(x)[ [ftn(x)g(x)[+[g(x)ftm(x)[ < 2 x [a, b], n, m .Nesegue, applicandoil teoremadel valormedioallafunzionefn fmnel-lintervallodiestremixex0 ,[n(x) m(x)[ = [ftn() ftm()[ < 2 x [a, b] x0, n, m ,ove`eunpuntofraxex0. Passandoallimiteperm sitrova[n(x) (x)[ 2 x [a, b] x0, n ,e dunque n uniformemente. Notiamo cha abbiamo gi`a, per ipotesi, ci`ochenelteorema1.2.2 `epartedellatesi,ecio`eilfattoche limxx0ftn(x0) = g(x0).Dalsuddettoteoremaricaviamoche limxx0(x) = g(x0),equestoconcludeladimostrazionedatoche, per denizione, talelimite`eft(x0).Osservazione1.2.5Nella dimostrazione precedente abbiamo fatto uso del-lasolaconvergenzapuntualedellefn, oltrechedellaconvergenzauniformedelleftn. Ineetti,ilteoremavaleanchesottoleseguentiipotesi: (a)esistex [a, b] talechefn(x) R, (b)ftn guniformementein[a, b]. Ineetti, in tali ipotesi si pu`o provare facilmente che limnfn(x) = f(x) perognix [a, b], echelaconvergenza`euniformein[a, b]. Infatti, applicandoilteoremadiLagrangeafnfmeutilizzando(b)sideduce[fn(x)fm(x)[ [fn(x)fm(x)[+[ftn()ftm()[ < 2 m, n , x [a, b],da cui segue facilmente quanto aermato. Avendo stabilito questo fatto, ci siriconduce alla dimostrazione precedente. La convergenza uniforme delle fnaf`e dunque conseguenza delle altre ipotesi: supporre che essa sia vericata apriori non `e dunque una restrizione, ma solo una semplicazione inessenziale.14Lintegrabilit`a secondo Riemann su intervalli limitati `e unaltra propriet`a chevienepreservatadallaconvergenzauniforme.Teorema1.2.6Sia fn una successione di funzioni integrabili secondo Rie-mannnellintervallo[a, b]. Selefnconvergonouniformementein[a, b] adunafunzionef,alloraf`eintegrabilesu[a, b]esiha_baf(x) dx =limn_bafn(x) dx.Ci` o signica che nelle ipotesi del teorema si pu`o scambiare lintegrazione conloperazionedilimite:limn_bafn(x) dx =_balimnfn(x) dx.Comevedremo, esistonoteoremi di passaggioal limitebenpi` ugenerali diquesto, la dimostrazione dei quali richiede per`o la teoria dellintegrazione se-condoLebesgue.Dimostrazione Supponiamo di sapere gi`a che f`e integrabile secondo Rie-mann su [a, b]: allora il passaggio al limite sotto il segno di integrale si provafacilmente. Infatti,ssato > 0escelto Ninmodoche[fn(x) f(x)[ < x [a, b], n ,siottiene_bafn(x) dx _baf(x) dx_ba[fn(x) f(x)[ dx (b a) n elaformula `eprovata.Resta dunque da vericare che f`e integrabile secondo Riemann in [a, b]. An-zitutto notiamo che le fn , essendo Riemann-integrabili, sono funzioni limitatein[a, b];pertantoanchef`elimitatain[a, b],inquanto[f(x)[ [f(x) f(x)[ +[f(x)[ < +|f|x [a, b].Per provare che f`e Riemann-integrabile, proveremo che per ogni > 0 esisteuna suddivisione : a = x0< x1< . . . < xk= b di [a, b], tale che la dierenzafralasommasuperioreS(, f) =k

i=1Mi(f)(xixi1), oveMi(f) = sup[xi1,xi]f,15elasommainferiores(, f) =k

i=1mi(f)(xixi1), ovemi(f) = inf[xi1,xi]f,`eminoredi . Ora, ssato>0escelto Ncomeinprecedenza, dalmomentochef`eRiemann-integrabileesister`aunasuddivisionetaleche0 S(, f) s(, f) < .PervalutareS(, f) s(, f),osserviamoche,perlesercizio1.2.1,risultaMi(f) mi(f) = sup[f(t) f(s)[ : s, t [xi1, xi],equindiMi(f) mi(f) sup[f(t) f(t)[ : t [xi1, xi] ++ sup[f(t) f(s)[ : s, t [xi1, xi] ++ sup[f(s) f(s)[ : s [xi1, xi] 2 + Mi(f) mi(f), i = 1, . . . , k.NesegueS(, f) s(, f) =k

i=1[Mi(f) mi(f)](xixi1) 2(b a) + S(, f) s(, f) < [2(b a) + 1] ,equestoprovachef`eintegrabile.Osservazione1.2.7Analoghirisultatisullacontinuit`a,derivabilit`aeinte-grabilit`a valgono per le somme di serie uniformemente convergenti (esercizio1.2.2).Esercizi1.21. Siafunafunzionerealelimitata,denitasullinsiemeA. ProvarechesupAf infAf= sup[f(t) f(s)[ : s, t A.162. Enunciareedimostrarei teoremi di continuit`a, derivabilit`aeintegra-bilit`aperlesommediserieuniformementeconvergenti.3. SicostruiscaunasuccessionedifunzioniRiemann-integrabilichecon-verga puntualmente in [a, b] ad una funzione fnon Riemann-integrabilesu[a, b].[Traccia: Sia Q[a, b] = xnnN, e si prenda come fnla funzione chevale1neipuntix0,x1,. . . ,xnevale0altrove.]4. Siax R. Provarechelasuccessionenumerica sin nxnNhalimiteseesolosex `eunmultiplointerodi,echeintalcasoillimite `e0.[Traccia: utilizzare il fatto che i numeri della forma nx+k sono densiin Rseesolosex/`eirrazionale.]5. Discutereil comportamentodelleseguenti seriedi funzioni, calcolan-donelasommanellinsiemediconvergenza:(i)

n=1nx enx3, x R; (ii)

n=0(ln x)nn + 1, x > 0;(iii)

n=1nsinnx, x R; (iv)

n=0n2+ 1n iz2n, z C;(v)

n=1n2ne(2n1)ix, x R; (vi)

n=0en(Rez+1z/2), z C;(vii)

n=1n + (x x2)n/2(n 1)!, x [0, 1]; (viii)

n=0(1)nenx2n + 1, x R.6. Dimostrareleseguentiuguaglianze:(i)_10tnln(1 +tm) dt =

k+1(1)k1k(mk + n + 1)m, n N;(ii)_10ln x ln(1 x) dx =

k=11k(k + 1)2 ;(iii)_10arctan xxdx =

k=0(1)k(2k + 1)2 ;(iv)_10sin x ln x dx =

k=1(1)k2k(2k)! .177. Sia fnunasuccessionedi funzioni Riemann-integrabili in[a, x] perogni x [a, b[ ed integrabili in senso improprio su [a, b]. Si provi che sefn funiformemente in [a, b], allora f`e integrabile in senso impropriosu[a, b]esiha_baf(x) dx =limn_bafn(x) dx.[Traccia: si applichi il teorema 1.2.2 alle funzioni Fn(x) =_xafn(t) dt.]1.3 SpaziconprodottoscalareApartiredaquestoparagrafointrodurremoalcunenozioni astrattechege-neralizzanolesituazionieiconcetticheabbiamonquianalizzato,comelastruttura metrica e topologica di Rme Cm, la nozione di convergenza di unasuccessione, edaltroancora. Ricordiamoanzituttoladenizionedi spaziovettoriale.Denizione1.3.1Unospaziovettorialereale(ocomplesso)`euninsiemeXdotatodellaseguentestruttura:(i) `edenitasuX X,avaloriinX,loperazionedisomma,perlaquale:valelapropriet`aassociativa,valelapropriet`acommutativa,esisteun(unico)elementoneutro0, chevericau + 0=uperogniu X,ogni elementou Xhaun(unico) opposto u, che vericau + (u) = 0;(ii) `e denita su RX(o su CX), a valori in X, loperazione di prodottoperscalari,perlaqualevalgono,perogni, reali(ocomplessi)eperogniu, v X,lerelazioni:(u) = ()u,1u = u,( + )u = u + u,(u +v) = u + v.18Si verica subito che dalle propriet`a elencate nella denizione seguono questealtre:0u = 0, (1)u = u u X.Esempibanalidispazivettorialisono,oltrea Rme Cm,linsiemedituttelefunzioni reali ocomplessedenitesuunssatoinsiemeA, lafamigliadellefunzioni limitatedenitesuuninsiemeA, linsiemedellefunzioni continuesu un intervallo [a, b],la classe delle funzioni integrabili secondo Riemann suuncertointervalloI,eccetera.Nel seguitoconsidereremospazi vettoriali dotati di ulteriori strutture; laprima, che costituisce la pi` u diretta generalizzazione degli spazi euclidei, `e lanozionediprodottoscalare.Denizione1.3.2SiaXunospaziovettorialerealeocomplesso. Unpro-dottoscalaresuX`eunapplicazionedaXXin R(oppuredaXXinC),chedenotiamocon(u, v) u, v)X,dotatadelleseguentipropriet`a:(i) u, u)X 0perogniu X,e u, u)X= 0seesoloseu = 0;(ii) u, v)X= v, u)X(oppure u, v)X= v, u)X)perogniu, v X;(iii) u+u, v)X= u, v)X +u, v)Xper ogni u, u, v Xe per ogni, R(oppureperogni, C).Lacoppia(X, , )X)sichiamaspazioconprodottoscalare.Esempi1.3.3(1)In RN`edenitoilprodottoscalarex, y)N=N

i=1xiyi,mentrein CN`edenitoilprodottoscalarex, y)N=N

i=1xiyi.19(2)NellospaziovettorialeC[a, b],costituitodallefunzionicontinuedenitesu[a, b]avalorireali, `edenitoilprodottoscalaref, g)C[a,b]=_baf(t)g(t) dt;selefunzionisonoavaloricomplessi,ilprodottoscalare `ef, g)C[a,b]=_baf(t)g(t) dt.(3)Consideriamolospaziovettoriale2, i cui elementi sonolesuccessionireali x= xnnN, tali chelaserie

[xn[2`econvergente. Intalespazio`edenitoilprodottoscalarex, y)

2=

n=0xnyn, ovex = xnnNey = ynnN;taleserie`eassolutamenteconvergente(edunqueil prodottoscalare`ebendenito)invirt` udelladisuguaglianza[xnyn[ 12([xn[2+[yn[2).Selesuccessionisonocomplesse,ilprodottoscalare `ex, y)

2=

n=0xnyn.Neglispaziconprodottoscalarevaleunaimportantedisuguaglianza:Teorema1.3.4(disuguaglianzadiCauchy-Schwarz) SeX`eunospa-zioconprodottoscalare,allorasiha[x, y)X[ x, x)1/2X y, y)1/2Xx, y X.Dimostrazione SupponiamocheXsiaunospaziovettorialecomplesso: ilcasorealeseguir`aamaggiorragione. Fissati x, y X, per Cconside-riamolaquantit`arealenonnegativa (x + y), (x + y))X: utilizzandoladenizionediprodottoscalare,siha0 (x + y), (x + y))X== x, x)X+ y, x)X+ x, y)X+ y, y)X== x, x)X+y, x)X+y, x)X+[[2y, y)X== x, x)X+ 2Rey, x)X+[[2y, y)X .20Ora, se y, x)X= 0 la tesi del teorema `e ovvia; se invece y, x)X ,= 0, cosicchex ,= 0,scegliendo = x, x)Xy, x)1Xsiottiene0 x, x)X 2x, x)X+x, x)2X[y, x)X[2 y, y)X ,checonfacilicontiportaallatesi.Esempio1.3.5Nel casodi C[a, b], ladisuguaglianzadi Cauchy-Schwarzdiventa_baf(x)g(x) dx__baf(x)2dx_1/2__bag(x)2dx_1/2f, g C[a, b].Esercizi1.31. Si provi chelafamiglia B= ennN, oveen`elasuccessionechevale0perogniindicek ,=nevale1perk=n,`ecostituitadasuccessionimutuamenteortogonalirispettoalprodottoscalaredi2,ossiarisulta

k=0(en)k(em)k= 0 m, n Nconm ,= n.2. Si provi che la famiglia T = cos nx, sin nxnN `e costituita da funzionimutuamente ortogonali rispetto al prodotto scalare (reale) di C[, ],ossiarisulta_baf(x)g(x) dx = 0 f, g T conf ,= g.3. Si provi chelafamiglia c= eiktkZ`ecostituitadafunzioni mutua-menteortogonalirispettoalprodottoscalare(complesso)diC[, ],ossiarisulta_baf(x)g(x) dx = 0 f, g cconf ,= g.4. Si provi che lapplicazione (f, g) _baf(t)g(t) dt non`e unprodot-toscalarenellospaziovettoriale 1(a, b)dellefunzioni reali chesonointegrabilisecondoRiemannsu[a, b].211.4 SpazinormatiNegli spazi conprodottoscalaresi pu`oparlaredi vettori edi ortogonalit`aesattamente come nel caso di Rme Cm. E, come nel caso di Rme Cm, si pu`ointrodurre la norma di un elemento x, che ne misura la distanza dallorigine:essasidenotacon |x|ed `edatada:|x| =_x, x),denizionechehasensoinquanto x, x)`eunnumerorealenonnegativo.Dallepropriet`adelprodottoscalareseguesubitoche|x| 0, e |x| = 0 x = 0,|x| = [[|x| C, x X,mentrelasubadditivit`adellanorma|x +xt| |x| +|xt| x, xt XseguedalladisuguaglianzadiCauchy-Schwarz: infatti|x +xt|2= x +xt, x +xt) = x, x) +x, xt) +xt, x) +xt, xt) == |x|2+ 2Re x, xt) +|xt|2 |x|2+ 2[x, xt)[ +|xt|2 |x|2+ 2|x||xt| +|xt|2= (|x| +|xt|)2.Lepropriet`adellanormasoprascritte, identicheaquelledi cui godonoilmoduloinReinCelanormaeuclideainRmeinCm, nonsonolegateallastrutturaindottadaiprodottiscalari: inaltreparole,visonoesempidifunzioni || da uno spazio vettoriale Xa valori in [0, [ che sono dotate ditalipropriet`a,senzaper`oessereindottedaalcunprodottoscalare(esercizio1.4.7). Unesempio `elafunzionef supt[a,b][f(t)[, f C[a, b],che `e nonnegativa, nulla se e solo se f 0, e subadditiva. Questo cisuggeriscedi introdurreastrattamentelanozionedi norma, nel modochesegue.Denizione1.4.1SiaXunospaziovettoriale. UnanormasuX`eunafunzione || : X [0, [,taleche:22(i) |x| 0,e |x| = 0seesolosex = 0;(ii) |x| = [[|x|perogni Ceperognix X;(iii) |x +xt| |x| +|xt|perognix, xt X.SesuX`edenitaunanorma,lacoppia(X, ||)`edettaspazionormato.Esempi1.4.2(1)Tutti gli spazi con prodotto scalare, e in particolare RmeCm,sonospazinormaticonlanorma |x| =_x, x).(2)Lospaziovettoriale

1=_x = xnnN:

n=0[xn[ < _`eunospazionormatoconlanorma|x|

1=

n=0[xn[.(3)Lospaziovettoriale

=_x = xnnN: supnN[xn[ < _`eunospazionormatoconlanorma|x|

= supnN[xn[.(4)Perognip ]1, [consideriamolinsieme

p=_x = xnnN:

n=0[xn[p< _:esso`eunospaziovettorialeinvirt` udelladisuguaglianza(chederivadallaconvessit`adit tp,t 0)

n=0[xn + yn[p 2p1_

n=0[xn[p+

n=0[yn[p_.23Laquantit`a|x|

p=_

n=0[xn[p_1pvericaovviamenteleprimeduepropriet`adelladenizione1.4.1; `epossibilevericarneanchelasubadditivit`a, malacosanon`ebanale(esercizi 1.4.4e1.4.5). Quindi si trattadi unanorma, cheperp=2`equellaindottadalprodottoscalaredellesempio1.3.3(2).(5) Sia Kun sottoinsieme limitato e chiuso di Rmo di Cm. Lo spazio C(K)dellefunzioni continuedenitesuA`e, invirt` udel teoremadi Weierstrass,unospazionormatoconlanorma|f|= suptA[f(t)[;talequantit`a`eunanormaanchesullospazio B(K)dellefunzioni limitatesuK(mainquestocasononserveaattocheKsiachiusoelimitato). Sinoticheunasuccessione fncontenutainC(K),oppurein B(K),soddisfa|fnf| 0seesoloseessaconvergeuniformementeafinK.SeA = [a, b],altrenormesullospazioC[a, b]sono|f|1=_ba[f(t)[ dt, |f|2=__ba[f(t)[2dt_12,equestultima`ehilbertiana, ossiaindottadal prodottoscalaredellesempio1.3.3(2). Sep ]1, [,laquantit`a|f|p=__ba[f(t)[pdt_1pvericaovviamenteleprimeduepropriet`adelladenizione1.4.1; lasubad-ditivit`a `eanchessavera,maladimostrazionenon `ebanale(esercizio1.4.6).Ritroveremoquestenorme,dettenormeLp,nelcapitolo3.(6)Sek N,lospazioCk[a, b] `elospaziodellefunzionichesonoderivabilikvoltein[a, b],conf(k)continua. Unanormasutalespazio `e|f|(k)=k

h=0|f(h)| ;24leverichesonofacili. Naturalmenteanche |f|`eunanormasuCk[a, b],ma `ediminoreutilit`a.(7)Nellospazio 1(a, b)dellefunzioni integrabili secondoRiemannsu[a, b]laquantit`a |f|1precedentementedenitahaancoraovviamentesenso, manon`eunanorma: infatti lasecondaelaterzapropriet`asonovere, mase|f|1= 0non `edettochefsiaidenticamentenulla. Tuttavia,introducendolapi` ugeneralemisuradi Lebesgue, cheallargadi moltolaclassedellefun-zioni integrabili, edidenticandofralorolefunzioni checoincidonoquasiovunque (ossia al di fuori di un insieme di misura di Lebesgue nulla), `e pos-sibilecostruireunospaziodi(classidiequivalenzadi)funzioni,denominatoL1(a, b), sul quale |f|1`eunanorma. Infatti da |f|1=0seguechef `equasi ovunquenulla, equindi f appartieneallaclassedi equivalenzadi 0,ovverof =0comeelementodi L1(a, b). Tuttaquestaproblematicaverr`aampiamenteripresanelcapitolo3.Concludiamoil paragrafoconunacaratterizzazione delle norme che sonoindottedaunprodottoscalare.Proposizione1.4.3Sia(X, ||) unospazionormato. Lanormadi X`e indotta da unprodotto scalare se e solo se essa verica l identit`a delparallelogrammoseguente:|x +y|2+|x y|2= 2|x|2+ 2|y|2x, y X.Intal casoil prodottoscalare`edatodax, y) =14(|x +y|2|x y|2)seX`ereale,edax, y) =14_(|x +y|2|x y|2) + i(|x + iy|2|x iy|2)_seX`ecomplesso.Dimostrazione (=) Se la norma `e indotta da un prodotto scalare, alloraperognix, y Xsiha|x +y|2+|x y|2== |x|2+|y|2+ 2 x, y) +|x|2+|y|22 x, y) == 2|x|2+ 2|y|2.25(=)Supponiamochevalgalidentit`adel parallelogrammoeconsideriamoilcasoreale. Dobbiamovericarechelaquantit`ax, y) =14(|x +y|2|x y|2)vericalepropriet`adelledenizione1.3.2, equindi `eunprodottoscalare;unavoltastabilitoci`o,ilfattocheessoinducalanorma || `eevidente.`Echiaroche x, x) = |x|2`enonnegativoed`enulloseesolosex=0.Inoltrelasimmetria`eevidente. Restadavericarelalinearit`arispettoallaprimavariabile.Anzitutto,perognix, xt, y Xrisulta2x, y) +2xt, y) = 2x +xt, y);infattipossiamoscrivere,utilizzandolidentit`adelparallelogrammo,2x, y) +2xt, y) ==14(|2x +y|2+|2xt +y|2|2x y|2|2xty|2) ==18(|2x + 2xt + 2y|2+|2x 2xt|2) 18(|2x + 2xt2y|2+|2x 2xt|2) ==12(|x +xt +y|2|x +xty|2) = 2x +xt, y).Sceltoalloraxt= 0,siottiene2x, y) = 2x, y) x, y X.Diqui,osservandoche2x, y) + 2xt, y) = 2x, y) +2xt, y) = 2(x +xt), y) = 2x +xt, y),sideduceimmediatamenteladditivit`a.Adesso, utilizzando ladditivit`a, un facile ragionamento per induzione mostrachenx, y) = nx, y) x, y X, n N.26Poi,tenutocontoche,perdirettaconseguenzadelladenizione,x, y) = x, y) x, y X,possiamoscriverepi` ugeneralmentekx, y) = kx, y) x, y X, k Z;inne,notandoche_xn, y_=nn_xn, y_=1n_n xn, y_=1nx, y) x, y X, n N+,ricaviamox, y) = x, y) x, y X, Q.Aquestopuntononrestacheutilizzarelacontinuit`adellanorma(esercizio1.4.1)perottenerex, y) = x, y) x, y X, R,ilcheprovalalinearit`aeconcludeladimostrazionenelcasoreale.Il caso complesso segue in modo facile da quello reale e quindi il calcolo vieneomesso.Esercizi1.41. SiaXunospazionormato. Unafunzioneg:X Rsi dicecontinuainunpuntox0 Xseperogni > 0esiste> 0taleche|x x0| < = [g(x) g(x0)[ < .Siprovichevaleladisuguaglianza[|x| |y|[ |x y| x, y X,cosicchelanorma `eunafunzionecontinuainognipuntodiX.2. Dimostrare la disuguaglianza di Young: se p, q> 1 con1p+1q= 1, alloraab app+bqqa, b 0.[Traccia: si disegni nel rettangolo [0, a] [0, b] il graco della funzioney= xp1esiosservichetalerelazioneequivaleax = yq1...]273. Sianop, q ]1, [con1p+1q= 1. Provarechesex pey qalloralaserie

xnyn`eassolutamenteconvergentee

n=0[xnyn[ 1p_

n=0[xn[p_1p+1q_

n=0[yn[q_1q.4. Sianop, q ]1, [con1p+1q= 1. Provarechesex pey qallora

n=0[xnyn[ |x|

p|y|

q .[Traccia: applicarelesercizioprecedenteaglielementiu p,v qdenitidau =x|x|pev =y|y|q.]5. Siap ]1, [. Provareche|x +y|

p |x|

p +|y|

p x, y p,cosicche ||

p`eunanormanellospaziop.[Traccia: poiche [xn +yn[pnN`e un elemento di q, ove1p +1q= 1, sipu`oscrivere

n=0[xn + yn[p

n=0[xn[[xn + yn[p1+

n=0[yn[[xn + yn[p1;si applichi ora ai due termini a secondo membro la disuguaglianzadellesercizioprecedente.]6. Sianop, q> 1con1p+1q= 1. DimostrareladisuguaglianzadiHolder:_ba[f(t)g(t)[ dt __ba[f(t)[pdt_1p__ba[g(t)[qdt_1qf, g C[a, b],ededurne,perp ]1, [,ladisuguaglianzadiMinkowski:__ba[f(t) + g(t)[pdt_1p__ba[f(t)[pdt_1p+__ba[g(t)[pdt_1p,28da cui segue che per ogni p [1, [ la quantit`a |f|p=__ba [g(t)[pdt_1p`eunanormasuC[a, b].[Traccia: scimmiottare gli esercizi 1.4.4 e 1.4.5, rimpiazzando neiragionamentilasommatoriaconlintegrale.]7. Siprovichelanorma ||non `eindottadaalcunprodottoscalare.[Traccia: esibireduefunzionicontinueperlaqualinonvalelidentit`adelparallelogrammo.]8. Si provi che la norma uniforme non `e indotta da alcun prodotto scalare.9. Siap [1, [. Si provi chelanormadi p`eindottadaunprodottoscalareseesolosep = 2.1.5 LanozionedispaziometricoGli spazi metrici sonogli ambienti pi` ugenerali incui si possaparlaredidistanza fra due arbitrari punti x e y. Osserviamo che in uno spazio normatoX, tale distanza `e misurata dalla quantit`a |xy|, esattamente come accadeinRme inCm. Questa asserzione `e suragata dalle seguenti propriet`a,conseguenzaimmediatadelladenizionedinorma: |xy| 0 per ogni x, y X; |x y| = 0 se e solo se x = y; |x y| = |y x|per ognix, y X; |x y| |x z| + |z y|perognix, y, z X.Laterzapropriet`asi chiamadisuguaglianzatriangolareedhaunevidenteinterpretazionegeometrica.Questepropriet`asonoil puntodi partenzadellanostradenizioneastrattadidistanza.Denizione1.5.1SiaXuninsiemenonvuoto. Unadistanza,ometrica,suX`eunafunzioned : X X Rtaleche:29(i) d(x, y) 0perognix, y X;(ii) d(x, y) = 0seesolosex = y;(iii) d(x, y) = d(y, x)perognix, y X;(iv) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)perognix, y, z X.SesuX`edenitaunadistanzad,lacoppia(X, d)sidicespaziometrico.Esempi1.5.2(1) Tutti gli spazi normati sono spazi metrici con la distanzad(x, y) = |x y|.(2)SeX`euninsiemequalunque(nonvuoto),lafunzioned(x, y) =_0 sex = y1 sex ,= y`eunadistanzasuX,chesichiamametricadiscreta.(3)Lefunzionid1(x, y) = [ arctan x arctan y[, d2(x, y) =_yxet2dtsonodistanzesuRe, apattodi porrearctan() = 2, anchesuR , +.(4)LospaziovettorialeC[a, b]diventaunospaziometricoconladistanzad(f, g) =

k=02k|f(k)g(k)|1 +|f(k)g(k)|.Lunica verica non banale riguarda la disuguaglianza triangolare: ma osser-vando preliminarmente che la funzione reale t t1+t `e crescente e subadditivain [0, [ (esercizio 1.5.3), la tesi segue dal fatto che || , essendo essa stessaunanormasuC[a, b],vericataledisuguaglianza.Gli spazi metrici sono lambiente astratto giusto per generalizzare le nozioni,n qui adoperate solamente in Rmo Cm, di palla, insieme aperto, convergen-zadi successioni, puntodaccumulazione, insiemechiuso, insiemelimitato,insiemecompatto,continuit`a. Negliesercizi1.5.2,1.5.5e1.6.1siproponeallettorediinterpretare,inalcunidegliesempiconcretiprecedenti,laslzadidenizioniastrattechesegue.30Denizione1.5.3Sia(X, d)unospaziometrico. Sex0 Xer>0, lapalladicentrox0eraggior`elinsiemeB(x0, r) = x X: d(x, x0) < r.QuandoX`eunospazionormatosihaB(x0, r) = x X: |x x0| < reinoltre B(x0, r) = x0+B(0, r), ossia B(x0, r) `e il traslato di B(0, r) mediantelatraslazioney x0 + y.Denizione1.5.4Sia(X, d)unospaziometrico. Sex0 X, unintornodi x0`euninsiemeUXcontenentex0etalecheesistar >0percuiB(x0, r) U.Inparticolare, ogni palla`eintornodel suocentroedanchedi ciascunsuopunto.Denizione1.5.5Sia(X, d)unospaziometrico. UnsottoinsiemeA Xsidiceapertoseperognix0 Aesister > 0talecheB(x0, r) A.Dunqueuninsieme `eapertoseesoloseesso `eintornodiognisuopunto;lepalleB(x0, r)sonoquindiaperte.Denizione1.5.6Sia (X, d) uno spazio metrico e sia xn una successionecontenutainX. Diciamochexnconvergeadunpuntox X,ohalimitex(escriviamoxn x)serisultalimnd(xn, x) = 0.SeX`eunospazionormato, si haxn xseesolose |xn x| 0pern .Denizione1.5.7Sia(X, d)unospaziometrico. Sex0 XeA X,di-ciamochex0`epuntodaccumulazioneperAseogniintornodix0contienealmenounpuntodiAdiversodax0. Inaltreparole,x0`epuntodaccumula-zioneperAseesoloseesisteunasuccessione xn A x0checonvergeax0.Denizione1.5.8Sia(X, d)unospaziometrico. UnsottoinsiemeB Xsi dicechiusoseessocontienetutti i suoi punti daccumulazione. Inaltreparole,B`echiusoseesolose,perognisuccessione xn Bcheconvergeadunlimitex X,risultax B.31Non `edicileprovare(esercizio1.5.6)laseguenteProposizione1.5.9Sia(X, d)unospaziometricoesiaAunsottoinsiemediX. AlloraA`eapertoseesoloseil suocomplementareAc`echiuso.DatounsottoinsiemeEdiunospaziometrico,essononsar`aingeneraleneaperto, nechiuso. Esistonoper`oil pi` upiccoloinsiemechiusocontenenteEedilpi` ugrandeinsiemeapertocontenutoinE, comerisultadallaseguentedenizione.Denizione1.5.10SiaEunsottoinsieme di unospaziometrico(X, d).Lachiusuradi E`elinsiemeEcostituitodallintersezionedi tutti i chiusicontenenti E; laparteinternadi E`elinsiemeEcostituitodallunionedituttigliaperticontenutiinE. LafrontieradiE`elinsiemeE= EE.Non `edicilevericarecheE`elinsiemedeipuntiinterniadE,cio`equeglix Eper i quali esisteunapallaB(x, ) E; inveceE`elinsiemedeipuntiaderentiadE,ossiaqueglix XtalicheognipallaB(x, )intersecaE. InneE`elinsiemedei punti chesonoaderenti siaadE, siaal suocomplementareEc. SinoticheEeEsonochiusi,mentreE`eaperto.Denizione1.5.11UnsottoinsiemeA Xsi dicelimitatoseesisteunapallaB(x0, R)checontieneA.Denizione1.5.12Siano(X, d)e(Y, )duespazi metrici. Unafunzionef: X Y sidicecontinuanel puntox0 Xseperogni > 0esiste> 0taleched(x, x0) < = (f(x), f(y)) < .Lafunzionefsidicecontinuase`econtinuainognipunto.Osserviamochelanozionedicontinuit`afornitanellesercizio1.4.1 `euncasospecialedelladenizione1.5.12.Esercizi1.51. Sia(X, d)unospaziometrico. Siproviche[d(x, y) d(z, y)[ d(x, z) x, y, z X.322. DisegnarelepalleB(0, r)neglispazinormati(R2, ||1)e(R2, ||),ove|(x, y)|1= [x[ +[y[, |(x, y)|= max[x[, [y[.3. Siconsiderilafunzionef(t) =t1+t ,denitapert 0. Siprovichef`estrettamentecrescenteestrettamentesubadditiva,ossiaf(t + s) < f(t) + f(s) t > s 0.4. SiprovichenellospazioC[a, b]lafunzioned(f, g) =

k=02k|f(k)g(k)|1 +|f(k)g(k)|`eunadistanza. Analogamente, dettoSlospaziovettorialedellesuc-cessionix = xnnNavalorirealiocomplessi,siprovichelafunzioned(x, y) =

k=02k[xk yk[1 +[xk yk[, x, y S,`eunadistanzasuS.5. Sia (X, d) uno spazio metrico con la metrica discreta (esempio 1.5.2(2)).(i) ProvarecheX`eprivodipuntidaccumulazione.(ii) Descriverelepalle,gliapertieichiusirispettoaquestadistanza.(iii) Provare che ogni funzione f: (X, d) (Y, ), ove (Y, ) `e un altrospaziometrico, `econtinua.6. Sia(X, d)unospaziometrico. Si provi cheunsottoinsiemeAdi X`eapertoseesoloseilsuocomplementareAc`echiuso.7. Sia(X, d)unospaziometrico. SeE X,siproviche(E)c=(Ec),_E_c= Ec.331.6 CompattezzaUna nozione di fondamentale importanza nelle applicazioni `e quella di insie-mecompatto, peraltrogi`aincontratanel corsodi Analisi I. Perintrodurlainmaggioregeneralit`a,ricordiamoalcunifatti. SeX`eunospazionormato,unsottoinsiemeAdi X`elimitatoseesisteM>0taleche |x| Mperogni x A. Ricordiamopoi che, dataunasuccessione xnnNcontenutain un insieme arbitrario, una sottosuccessione di xn si ottiene selezionandoin Nunasottofamigliainnitadi indici n0 0.Lemma1.6.4Sia(X, d)unospaziometricoesiaKunsottoinsiemediX.SeK`ecompattopersuccessioni, alloraogni ricoprimentoapertodi KhanumerodiLebesguestrettamentepositivo.Dimostrazione Sia UiiIunricoprimentoapertodi K. Poniamo, perognix K,(x) = sup> 0 : i I: B(x, ) Ui,edosserviamochesi ha(x)>0perogni x K. Siaora=infxK (x):perprovarelatesi `esucientedimostrareche > 0.Sia xnnN Ktalechelimn(xn)=. DatocheK`ecompattopersuccessioni,possiamo estrarre una sottosuccessione xnkkN xnnNtalechexnk x Kperk . Dunque,esisteN Ntaleched(xnk, x) 0 esiste un insieme nito y1, . . . , ym KtalecheK

mi=1B(yi, ). Siprovicheogniinsiemetotalmentelimitato `elimitato,echeilviceversa `efalsoingenerale,maveroin Rme Cm.[Traccia: laprimaimplicazione`efacile; per lasecondasi conside-ri lapallaunitariachiusadi 2e si osservi che le successioni en=0, 0, . . . , 1, . . . , 0, . . ., ove1compareal poston-simo, sonoelementiditalepallacon |enem|

2=2pern ,= m.]10. Siprovicheognisottoinsiemecompattodiunospaziometrico `etotal-mentelimitato.`Everoilviceversa?371.7 CompletezzaLa completezza `e una fondamentale propriet`a di cui godono gli spazi metricipi` uimportanti. Primadiintrodurla,convienefornireunaltradenizione.Denizione1.7.1Sia (X, d) uno spazio metrico e sia xn una successionecontenutainX. Diciamoche xn`eunasuccessionediCauchyseperogni > 0esiste Ntaleched(xn, xm) < n, m .Sivedefacilmentecheinunospaziometricoognisuccessioneconvergente`enecessariamenteunasuccessionedi Cauchy. Siainfatti xn Xtalechexn x Xper n : allora, ssato > 0, per denizione di limite esiste Ntaleched(xn, x)0, consideriamo il ricoprimento apertoB(x, )xX. Dato che X`e compatto, tale ricoprimento deve avere unsottoricoprimentonito; ci`oprovacheX`etotalmentelimitato. ProviamocheX`ecompleto: se xn X`eunasuccessionedi Cauchy, ricordandoil teorema1.6.2si pu`oestrarreunasottosuccessioneconvergenteadunele-mento x X;la condizione di Cauchy implica allora che lintera successioneconvergeax,edunqueX`ecompleto.Sia, viceversa, XcompletoetotalmentelimitatoeproviamocheX`ecom-pattopersuccessioni: dal teorema1.6.2seguir`alatesi. Fissiamounasuc-cessione xnnN X: dobbiamoprovarecheessahaunasottosuccessio-neconvergente. Possiamosupporrecheessaassumauninsiemeinnitodivalori distinti, altrimenti latesi `eovvia. Per totalelimitatezza, per ognik N+possiamoricoprireXconlunionedi uncertonumeromkdi pal-leB(y(k)1, 1/k), . . . , B(y(k)mk, 1/k). Sceltok=1, fralepalleB(y(1)j, 1)cen`ealmenouna, chedenoteremoconB(y(1)j1, 1), laqualeconterr`ainniti puntidella successione xn: in altre parole, esiste un sottoinsieme innito S1 Ntaleche xnnS1 B(y(1)j1, 1). Sceltok= 2,fralepalleB(y(2)j, 1/2)almenouna, chedenoteremoconB(y(2)j2, 1/2), conterr`aunainterasottosuccessionexnnS2conS2 S1. Iterandoquestoragionamento, si costruisceunase-quenzainnitadisottosuccessioni xnnSk xnnSk1,inmodoche,perciascunk N+,risulti xnnSk B(y(k)jk, 1/k).Adessoindichiamoconrkilk-simoelementodellinsiemeSk(che `eordinatosecondolordinamentonaturaledi N); ponendoS= r1, r2, . . . , rk, . . ., sihaS Nedinoltre,perognik N+,alpi` uiprimik 1terminidiS,dar1ark1,nonappartengonoaSk. Diconseguenza,lasottosuccessionedia-gonale xnnS`eunasottosuccessionedellasuccessioneiniziale xnnNesoddisfa,perognim, n Sconm > n,d(xm, xn) d(xm, y(n)jn) + d(y(n)jn, xn) 0esiste Ntalechesup[a,b][fnfm[ = |fnfm|< n, m .In particolare, per ogni x [a, b] la successione numerica fn(x) `e di Cauchyin R, epertanto, essendo Runospazionormatocompleto, convergeadunnumero reale che chiamiamo f(x), visto che dipende dal punto x che abbiamoscelto in [a, b]. Resta cos` denita una funzione f: [a, b] R: dalla relazione[fn(x) fm(x)[ |fnfm|< n, m segue,passandoallimiteperm ,[fn(x) f(x)[ x [a, b], n, m ,equindisup[a,b][fnf[ n .Ci` oprovache |fn f| 0, ossiafn f uniformementein[a, b]. Dalfattoche fn C[a, b] edal teorema1.2.1si concludechefC[a, b] epertantoabbiamomostratochelasuccesssione fnconvergeinC[a, b].OsserviamochelospazioC[a, b], munitodi altrenormecomeadesempio||1oppure ||2 ,non `ecompleto(esercizio1.7.4).Teorema1.7.6Lospazionormato(1(a, b), ||)`ecompleto, cio`e`eunospaziodiBanach.40Dimostrazione Sia fnunasuccessionediCauchyin 1(a, b)rispettoal-lanorma ||: esattamentecomenelladimostrazionedel teorema1.7.5,si ottienelesistenzadi unafunzionef : [a, b] Rtalechefn f uni-formementein[a, b]. Dal teorema1.2.6seguechef 1(a, b); pertantolasuccesssione fnconvergein 1(a, b).Proviamoinnelacompletezzadegli spazi Ck[a, b], conlanorma |f|(k)=

kh=0|f(h)| ,cominciandodalcasok = 1.Teorema1.7.7Lospazionormato(C1[a, b], ||(1))`ecompleto,cio`e`eunospaziodiBanach.Dimostrazione Sia fnunasuccessionedi Cauchyrispettoallanorma||(1): ci`osignicachelesuccessioni fne ftnsonoentrambediCauchyin(C[a, b], ||). Perlacompletezzadi talespazio(teorema1.7.5), esseconvergonouniformementein[a, b] aduefunzioni f, g C[a, b]. Peril teo-rema1.2.4,sideducechef`ederivabileecheft= g;datocheg`econtinua,si ottiene che f C1[a, b] e che fn frispetto alla norma ||(1) . La tesi `eprovata.Osserviamo che lo spazio C1[a, b] `e normato anche rispetto alla norma | | ,per`o con questa norma tale spazio non `e completo: infatti la successione fndescrittanellesempio1.2.3`edi Cauchyin(C1[1, 1], ||), manoncon-vergeadunelementodi C1[1, 1] (ineetti, essaconvergeuniformementeadunafunzionechestafuoridallospazioC1[1, 1]).Ragionandoperinduzionesuk, `efacileadessodedurreilcasogenerale:Teorema1.7.8Lospazionormato(Ck[a, b], ||(k))`ecompleto,cio`e`eunospaziodiBanach.Dimostrazione Sek = 1,latesiseguedalteorema1.7.7. Supponiamoche(Ck1[a, b], ||(k1)) sia completo, e dimostriamo che anche (Ck[a, b], ||(k))lo `e. Sia fn Ck[a, b]unasuccessionediCauchy: ci`osignicache fn `edi Cauchy in (Ck1[a, b], | |(k1)) e che f(k)n `e di Cauchy in (C[a, b], | |).Peripotesiinduttivaeperilteorema1.7.5,sihapern fn finCk1[a, b], f(k)nginC[a, b].Inparticolare, f `edi classeCk1in[a, b]. Postogn=f(k1)n, si haalloragn C1[a, b],egn f(k1)inC[a, b], gtn ginC[a, b];41per lacompletezzadi C1[a, b], deduciamof(k)=(f(k1))t=g C[a, b].Dunquef Ck[a, b]efn finCk[a, b].`Espessomoltoimportantepoterapprossimarefunzioni di unacertaclassecon funzioni pi` u regolari: `e utile dunque avere teoremi che assicurino la den-sit`adicertispaziinaltri. Unesempiofondamentalediquestaproblematica`efornitodalseguenteTeorema1.7.9Lospaziovettoriale Tdeipolinomi`edensonellospaziodiBanach(C[a, b], ||).Dimostrazione Dobbiamoprovareche, dataf C[a, b], perogni >0esisteunpolinomioP(x)talechemaxx[a,b][f(x) P(x)[ < .Non`e restrittivosupporre che [a, b] =[0, 1]: infatti, supponendodi averprovatolatesiinquestocaso,sef C[a, b]lafunzioneF(t) = f(a + t(b a)), t [0, 1]sta in C[0, 1]; quindi, detto Q(t) un polinomio tale chemaxt[0,1][F(t)Q(t)[ < ,ilpolinomioP(x) = Q_x ab a_, x [a, b]vericamaxx[a,b][f(x) P(x)[ < .Siadunquef C[0, 1]. Perogni n N+deniamoln-esimopolinomiodiBernsteindif:Bn(t) =n

k=0_nk_tk(1 t)nkf_kn_, t [0, 1].SinoticheBnhagradononsuperiorean,cheBn(0) = f(0)eBn(1) = f(1)perognin N+,echeB1(t) = (1t)f(0)+tf(1), B2(t) = (1t)2f(0)+2t(1t)f_12_+t2f(1), . . .Fissato > 0,essendofuniformementecontinuaesiste> 0talechet, s [0, 1], [t s[ < = [f(t) f(s)[ 0percui vale(i). Perlacompattezzadi X, il ricoprimentocostituitodallepalleB(x, ), x X, haunsottorico-primentonitoB(y1, ), . . . , B(yN, ); datocheE= xnnN`edensoinX,inciascunapallaB(yi, )cadr`aunpuntoxki E. Quindi, invirt` udi (i)avremo,peri = 1, . . . , Neperognin N:[fn(xki) fn(x)[ [fn(xki) fn(yi)[ +[fn(yi) fn(x)[ < 2 x B(yi, ),edi conseguenza, ricordandoche fn(xki)nS`econvergente, esistei Ntalechepern, m ieperx B(yi, )risulti[fn(x)fm(x)[ [fn(x)fn(xki)[+[fn(xki)fm(xki)[+[fm(xki)fm(x)[ < 5.45Perqualunquex X,sceltoiinmodochex B(yi, ),otteniamoallora[fn(x) fm(x)[ < 5 n, m Sconn, m max1, . . . , N.Ci` o prova che fnnS`e una successione di Cauchy rispetto alla convergenzauniformeinX. PoicheC(X) `ecompleto,latesi `eprovata.Osservazione1.7.12SelospazioXnon`ecompatto, ma`eunionenume-rabiledi sottoinsiemi compatti, aparit`adellealtreipotesi si pu`oconclude-re, condimostrazioneanaloga, cheogni successionecontenutain ThaunasottosuccessionecheconvergeuniformementeinognicompattoK X.SeriedivettoriNegli spazi normati `epossibileconsiderareseriedi vettori: unaseriedellaforma

k=0xk,oveglixksonoelementidiunospazionormatoX, `elasuc-cessione

nk=0xknNdellesuesommeparziali. Unaserie`econvergenteinXal vettorexseesoloselasuccessione

nk=0xknNconvergeaxnellenormadiX. Unaserie

k=0xkconvergetotalmenteinXselaserienume-rica

k=0|xk| `econvergente.Tramiteleseriedivettori`epossibileenunciareuncriteriogeneraledicom-pletezzapergli spazi normati; unaversionepi` ugeneraledi questocriterio,validaneglispazimetrici, `eespostanellesercizio1.7.6.Teorema1.7.13Sia Xuno spazio normato. Allora X`e uno spazio diBanachseesoloseperogni successione xnnN X, perlaqualerisulti

n=0|xn| < ,esistey Xtalechelaserie

n=0xnconvergeayinX,nel sensochelimN_____N

n=0xny_____= 0.Intal caso,siha|y| =_____

n=0xn_____

n=0|xn|.Daquestoteoremasegue, inparticolare, chenegli spazi di Banachleserietotalmente convergenti sono convergenti; naturalmente il viceversa `e falso gi`anelcasodi R.46Dimostrazione(=) Sia

n=0|xn| < . Allora la successione delle som-me parziali_

Nn=0xn_NN`e di Cauchy in X, dato che, per la disuguaglianzatriangolare,_____N

n=M+1xn_____N

n=M+1|xn| N, M NconN> M;poiche X`e completo, la successione_

Nn=0xn_NNconverger`a ad un oppor-tunoy X,eci`oprovalatesi.(=) Sia yn una successione di Cauchy in X: allora per ogni k N esistenk N(enon `erestrittivosupporrenk+1> nk)taleche|ymynk| < 2km nk.Poniamo_x0= yn0xk+1= ynk+1 ynk, k N;allora xkkN X,eperognim Nsiha

mk=0xk= ynmem

k=0|xk| = |yn0| +m

k=1|ynk ynk1| |yn0| +

k=02k+1< .Quindi,peripotesi,esistey Xtalechem

k=0xk= ynm y inX;ma dato che yn `e di Cauchy, lintera successione yn converge a y.DunqueX`ecompleto. Inoltre,perlacontinuit`adellanorma,|y| =limm_____m

k=0xk_____limmm

k=0|xk| =

k=0|xk|.Esempio1.7.14Consideriamo lo spazio vettoriale /m,n delle matrici mna coecienti complessi. Una norma su questo spazio `e ad esempio la seguente:|A|/m.n=_m

i=1n

j=1[aij[2.47Questanorma `ehilbertiana,vistocheprovienedalprodottoscalareA, B)/m,n=m

i=1n

j=1aijbij ,e conessa lo spazio /m,n`e evidentemente isomorfo aCmned`e quindiunospaziodi Hilbert. Si noti che, invirt` udelladisuguaglianzadi Cauchy-Schwarz,perognix Cnvalelarelazione[Ax[n=_m

i=1n

j=1aij xj2_m

i=1_n

j=1[aij[2_m

j=1[xj[2= |A|/m,n[x[n,dallaqualediscendelacontinuit`adellapplicazionelinearex Ax.Nel casospecialeincui m=n, lospaziodellematrici quadratennsidenotacon /n ,ed`eunalgebrarispettoalprodottorigapercolonna,cio`e(ovviamente) si ha AB /nper ogni A, B /n;in questo caso la norma

/m,nsopradenita`e anche submoltiplicativarispettoatale prodotto:infatti|AB|/n=_n

i,j=1n

k=1aikbkj2_n

i,j=1_n

k=1[aik[2__n

h=1[bhj[2_==_n

i,k=1[aik[2_n

h,j=1[bhj[2= |A|/n|B|/n .In particolare, `e possibile considerare in /n polinomi di matrici, ossia matricidellaformap(A) =N

k=0akAk,lequalisiottengonosostituendonelpolinomiop() =

Nk=0akklamatriceAalpostodellavariabilecomplessa. Naturalmente,Ak`eilprodottorigapercolonnadi Apersestessakvolte, einparticolareA0=I, oveI`elamatriceidentit`a.`Echiarocheognipolinomiopinduceunapplicazione,cheindichiamoconlastessaletteraingrassetto,da /ninse,dataappuntodaA p(A). Sivericafacilmentechesepeqsonopolinomi,eseS= p +q,P= pq,allorarisultaS(A) = p(A) +q(A) = q(A) +p(A), P(A) = p(A)q(A) = q(A)p(A).48Pi` u in generale, possiamo considerare in /nserie di potenze di matrici, cio`ematricidellaforma

k=0akAk,ove ak `e una successione di numeri complessi; tali serie potranno converge-re o no, e ad esse `e applicabile il criterio fornito dal teorema 1.7.13: se risulta

k=0[ak[|Ak|/n< ,alloralaserie

k=0akAkdenisceunamatriceap-partenentea /n.Consideriamoinparticolarelaserieesponenziale

k=0Akk!: essa `econver-gentein /n,datoche

k=0|Ak|k!

k=0|A|kk!= e|A|< .Denizione1.7.15Lamatricesommadellaserie

k=0Akk!sichiamama-triceesponenziale,esiindicacol simboloeA. DunqueeA=

k=0Akk!.La matrice esponenziale `e di grande importanza, come vedremo, nello studiodei sistemi dierenziali lineari. Le sue propriet`ahannosvariate analogieconlafunzioneesponenzialeet; inparticolarerisulta, comeabbiamovisto,|eA| e|A|. Inoltrevaleilseguenterisultato:Proposizione1.7.16SiaA /n. Allorail limitelimp_I +Ap_pesistein /necoincideconeA.Dimostrazione Siham

k=0Akk!=limpm

k=0p(p 1)(p k + 1)pkAkk!=limpm

k=0_pk_Akpkm N.49Daltraparteperp > mrisultam

k=0_pk_Akpk=p

k=0_pk_Akpkp

k=m+1_pk_Akpk==_I +Ap_pp

k=m+1_pk_Akpk,ovvero,sempreperp > m,_I +Ap_p=m

k=0_pk_Akpk+p

k=m+1_pk_Akpk.Comesappiamo,ilprimoaddendoasecondomembrohalimiteperp ;vediamocomesicomportailsecondo. Sihap

k=m+1_pk_Akpk=p

k=m+1p(p 1). . .(p k + 1)pkAkk!==p

k=m+1_1 1p_ . . . _1 k 1p_Akk!.Aermiamocherisultalimpp

k=m+1_1 1p_ . . . _1 k 1p_Akk!=

k=m+1Akk!.Infati,ladierenza,innorma,sistimanelmodoseguente:_____

k=m+1_1 _1 1p_ . . . _1 k 1p__Akk!_____/n

k=m+1_1 _1 1p_ . . . _1 k 1p__|A|k/nk!

k=m+1_1 _1 k 1p_k1_|A|k/nk!;50seoraapplichiamoil teoremadi Lagrangeallafunzioneg(t)= (1 t)k1nellintervallo[0,k1p] [0, 1],otteniamo,perunopportuno [0, 1],1 _1 k 1p_k1= g_k 1p_g(0) = gt()k 1p== (1 )k2(k 1)2p(k 1)2p.Dunque

k=m+1_1 _1 1p_ . . . _1 k 1p__|A|k/nk!

k=m+1(k 1)2p|A|k/nk!1p

k=m+1|A|k/n(k 2)!,ilcheprovalanostraaermazione.Inconclusione,limp_I +Ap_p= limpm

k=0_pk_Akpk+limpp

k=m+1_pk_Akpk==m

k=0Akk!+

k=m+1Akk!= etA.CompletamentodiunospaziometricoSe(X, d) `eunospaziometricononcompleto, `esemprepossibileimmergerlodensamenteinunospaziometricocompleto( X,d) medianteunisometria.Valeinfattiilseguenterisultatoastratto:Teorema1.7.17Sia(X, d)unospaziometrico. Alloraesistonounospaziometricocompleto( X,d)edunaisometriai:X Xtali chei(X)`edensoinX. Inoltretaleisometria `eunisomorsmoseesolose(X, d) `ecompleto.Lospazio( X,d)sidicecompletamentodi(X, d).Si osservi cheil completamentodi unospaziometrico`eunicoamenodiisomorsmiisometrici.Dimostrazione Denotiamounagenericasuccessione di Cauchy xndi51elementidiXconilsimbolox. IntroduciamonellinsiemeditalisuccessionidiCauchylarelazioneseguente:x y limnd(xn, yn) = 0.`Eimmediatovericarechelarelazione `eriessivaesimmetrica; invirt` udella disuguaglianza triangolare della distanza, essa `e anche transitiva, cosic-che `e una relazione di equivalenza. Denotiamo conXlinsieme delle classi diequivalenzapertalerelazione,cheverrannoindicatecon[x]: pertantoX= [x] : x `eunasuccessionediCauchyinX.DeniamounadistanzasuXponendod([x], [y]) =limnd(xn, yn).Siosservi che tale limite esiste: infattidalla disuguaglianza triangolare delladistanzasegueche[d(xn, yn) d(xm, ym)[ d(xn, xm) + d(ym, yn) 0 pern, m ;dunque la successione reale d(xn, yn), essendo di Cauchy in R, converge inR. Inoltre il limite sopra scritto dipende solo dalle classi [x] e [y], e non dallasceltadeirappresentanti: infattisext xeyt y,allora[d(xtn, ytn) d(xn, yn)[ d(xtn, xn) + d(yn, ytn) 0 pern .Verichiamoched`eunadistanzasuX. Lepropriet`a(i)e(iii)delladeni-zione1.5.1sonoevidenti. Perla(ii)bastanotareched([x], [y]) = 0 limnd(xn, yn) = 0 x y [x] = [y].Inneperla(iv)sihad([x], [z]) = limnd(xn, zn) limnd(xn, yn) +limnd(yn, zn) =d([x], [y]) +d([y], [z]).AdessodeniamolimmersioneX X. Sex X, lasuccessionecostante x = x, x, x, . . . `ecertamentediCauchyinX: poniamoallorai(x) = [ x].52Lapplicazionei `eunisometria,poiched(i(x), i(y)) =d([ x], [ y]) =limnd(x, y) = d(x, y).Proviamo che i(X) `e denso inX. Fissata [x] X, e scelto un rappresentantex = xnnNintale classe, consideriamoper ogni kNlasuccessionecostante xk= xk, xk, xk, . . . X, e la sua classe di equivalenza [ xk] i(X):sihaallorad([ xk], [ x]) =limnd(xk, xn)(questolimiteesistepoiche d(xk, xn)nN`eunasuccessionedi CauchyinR);quindilimkd([ xk], [ x]) =limklimnd(xk, xn) = 0inquanto xnnN`ediCauchyinX. Ci`oprovaladensit`adii(X)inX.Innemostriamoche( X,d)`ecompleto. Sia [xk]kNunasuccessionediCauchyinX. Dunque,ssato > 0,esiste Ntaleched([xk], [xh]) < h, k .Per la densit`a gi`a dimostrata di i(X) inX,per ogni k N possiamo trovareunelementoyk Xtalecheperlasuccessionecostante yk= yk, yk, yk, . . .si abbiad([ yk], [xk]) 0eM> 0opportuni,purdisceglierek,indipendenzadaN,sucientemente grande. Si deduca inne che xkx in pper k .Nelcasop = laprocedura `eanaloga: occorresoltantomodicareinmanieraopportunalamaggiorazioneprecedente.]546. Sia (X, d) uno spazio metrico. Si provi che esso `e completo se esolo se per ogni successione xnX, tale che la serie numerica

n=0d(xn+1, xn)siaconvergente, esistex Xpercui xnconvergeax.7. Siano fnfunzioni denite su [a, b], a valori in Rm(oppure in Cm). Sup-poniamocheperogni n Net [a, b] esistaladerivataftn(t) Rm,e che lafunzione ftn: [a, b]Rmsiacontinua. Si provi che se leserie

k=0fn(t)e

k=0ftn(t)sonoentrambeconvergenti inRm, uni-formementerispettoat [a, b], consommef (t)eg(t), alloraf haladerivataft: [a, b] Rmerisultaft= g.8. (Lemmadel Dini)Sia fnnNunasuccessionemonotonadi funzionicontinue su [a, b]. Posto f(x) = limnfn(x), si provi che se f C[a, b]alloralaconvergenzadellefnversof`euniforme.[Traccia: Sostituendo fncon [fnf[ possiamo supporre che la succes-sione fnconverga puntalmente a 0 in modo decrescente. Fissato > 0,poniamoAn= x [a, b] : fn(x) 0,sissiuninteropositivomtalecher(A) < |Am|1/m/n

1,mentrenullasipu`odirequandor(A)=1(ricordiamocher(A)`eilraggiospettralediA). Siproviinoltrecheperogni ]0,1[laconvergenzadellaserie `etotaleeuniformesullinsieme A /n: r(A) 1 . Siformuliinneunanalogoenunciatonelcasoincui = 0oppure = +.12. Si provi cheselematrici A, B /ncommutano, ossiaAB=BA,alloravalelaformuladelbinomio(A+B)k=k

h=0_kh_AhBkhk N;senededucanolerelazionieA+B= eAeB, (eA)1= eA.13. PostoJ =_0 ii 0_,siverichicheJ2= Iesiprovilidentit`aeJ= (cos )I + (sin )J R.14. Siverichichelospaziometrico(R, d),oved(x, y) = [ arctan x arctan y[ x, y R,(sivedalesempio1.5.2(3))non `ecompleto;senedeterminiilcomple-tamento.15. Indichiamo con c00lo spazio vettoriale delle successioni denitivamentenulle. Si verichi che tale spazio non `e completo rispetto alla norma di

1esiprovicheilsuocompletamento `eisomorfoeisometricoa1.16. SiaXunospazioconprodottoscalare. ProvarecheilcompletamentodiX`eunospaziodiHilbertrispettoalprodottoscalare[x], [xt])X=limnxn, xtn)X .561.8 ContrazioniUno dei motivi che rendono importanti gli spazi metrici completi `e il fatto cheintalispazi `evalidoilteoremadellecontrazioni,strumentofondamentalenelleapplicazioniperlasuageneralit`aeversatilit`a.Denizione1.8.1Sia(X, d)unospaziometrico. UnacontrazionesuX`eunapplicazioneF: X Xperlaqualeesisteunnumero [0, 1[taleched(F(x), F(xt)) d(x, xt) x, xt X.Naturalmente, ogni contrazione `e una funzione uniformemente continua. Tut-telefunzioni f: R Rdi classeC1, conderivatalimitatainvaloreasso-lutodaunacostanteminoredi 1, sonocontrazioni (invirt` udel teoremadiLagrange); peresempio, lefunzioni12 cos x,34 arctan x, ln(2 + x2)sonocon-trazioni su R. Un altro esempio `e il seguente: sia X= C[a, b] con la distanzad(f, g) = |f g|;alloralapplicazioneg F(g),denitada[F(g)](x) =_xag(t) dt, x [a, b],`eunacontrazionesuXseb a < 1. Infattisef, g C[a, b]siha[[F(f)](x) [F(g)](x)[ =_xa(f(t) g(t))dt (xa)|f g|x [a, b],dacui|F(f) F(g)| (b a)|f g|f, g C[a, b].Teorema1.8.2(dellecontrazioni) Sia (X, d) uno spazio metrico comple-to e sia F: X Xuna contrazione. Allora Fha un unico punto sso, ossiaesisteununicopuntox XtalecheF(x) = x.Dimostrazione Peripotesi,esiste [0, 1[taleched(F(x), F(xt)) d(x, xt) x, xt X.Sia xun arbitrario punto di X. Deniamo per ricorrenza la seguentesuccessione:_x0= xxn+1= F(xn), n N.57Osserviamoched(xn+1, xn) = d(F(xn), F(xn1)) d(xn, xn1) n N+,equindid(xn+1, xn) d(xn, xn1) 2d(xn1, xn2) . . . nd(x1, x0) n N.Pertanto,applicandoripetutamenteladisuguaglianzatriangolare,sem > nsihad(xm, xn) m1

h=nd(xh+1, xh) m1

h=nhd(x1, x).Poichelaserie

h`econvergente, lasuccessione xn`edi CauchyinX.Dato che X`e completo,essa converge ad un elemento x X. Proviamo chex `eunpuntossoperF:d(x, F(x)) d(x, xn+1) + d(xn+1, F(x)) == d(x, xn+1) + d(F(xn), F(x)) d(x, xn+1) + d(xn, x) n N,dacui,pern ,otteniamod(x, F(x)) = 0,cio`eF(x) = x.Proviamochex`elunicopuntossodiF: sex X`eunaltropuntosso,sihad(x, x) = d(F(x), F(x)) d(x, x),ilche,essendo < 1, `eimpossibilesex ,= x. Dunquex = x.Una variante importante del teorema delle contrazioni, che ne aumenta note-volmente la versatilit`a, si ha nel caso di una famiglia di contrazioni dipendentidaunparametro(ilqualepu`oessereunavariabilerealeoancheditipopi` ugenerale, adesempiovettoriale). Il succodel risultatochesegue`echeselecontrazioni hannotuttelastessacostante, allorai rispettivi punti ssidipendonoconcontinuit`adalparametro.Teorema1.8.3(dellecontrazionidipendentidaparametro) Siano(B, ) uno spazio metrico, (X, d) uno spazio metrico completo e T: BX Xunapplicazione continua. Supponiamo inoltre che esista [0, 1[ tale ched(T(b, x), T(b, xt)) d(x, xt) x, xt X, b B.Alloraperogni b Besisteununicoxb XtalecheT(b, xb)=xb, elafunzioneb xb,daBinX,`econtinua.58Dimostrazione Per ciascunb Bil puntossoxbesiste unicoper ilteorema1.8.2. Inoltrepossiamoscrivereperognia, b Bd(xa, xb) = d(T(a, xa), T(b, xb)) d(T(a, xa), T(b, xa)) + d(T(b, xa), T(b, xb)) d(T(a, xa), T(b, xa)) + d(xa, xb).Senededuced(xa, xb) 11 d(T(a, xa), T(b, xa)) a, b B.Ora, tenendo sso a B, ssiamo > 0: la continuit`a di Tnel punto (a, xa)implicacheesiste> 0percuid(T(a, xa), T(b, xa)) < (1 ) se(a, b) < ,edunqued(xa, xb) < se(a, b) < . Ci`oprovalatesi.Iteoremi1.8.2e1.8.3garantisconolesistenzadiununicasoluzioneperle-quazioneF(x) x=0elasuacontinuit`arispettoai parametri presenti.Poichevi `euninnumerevolevariet`adi problemi chesi possonoricondurreadunaequazionediquestotipo,`echiaralimportanzaapplicativadiquestirisultati. Negli esercizi 1.8.6 e 1.8.7 si mostra come applicare il teorema dellecontrazioniperdimostrareilteoremadiesistenzaeunicit`aperlasoluzionedel problemadi Cauchyrelativoasistemi dierenziali del primoordineinformanormale,nonchelacontinuit`adellasoluzionerispettoaldatoiniziale.Esercizi1.81. SiaA= aijunamatrice reale nn. Si consideri lapplicazionelineare : RnRndenita da (x) = Ax. Siprovino le aermazioniseguenti:(i) seesiste ]0, 1[talechemax_

nj=1[aij[ : 1 i n_< ,allora `e una contrazione su (Rn, d), ove d(x, y) = max1in[xiyi[;(ii) seesiste ]0, 1[talechemax

ni=1[aij[ : 1 j n < ,allora `eunacontrazionesu(Rn, d1),oved1(x, y) =

ni=1[xiyi[;(iii) se esiste ]0, 1[ tale che_

ni,j=1[aij[2m. Sideducachefn fm`e60limitatasu[0, [echelostessoaccadeperfnL;innesiricavichefn Lconvergea0uniformementein[a, [. PerilcalcolodiL(x)simostricheperx > 2risultax =e2L(x)1L(x),chequindi,perx > 2,L(x) `elinversadellafunzionee2y1y,y> 0.]6. SiaI Runintervallononvuotoesiag: A Rmunafunzionecontinua,denitasuunapertoA Rm+1,talecheperognicompattoK AesistaunacostanteHK 0percui[g(x, y) g(x, u)[m HK[y u[m(x, y), (x, u) K.Fissatounpunto(x0, u0) A,sianoa, b > 0taliche,postoR = (x, u) Rm+1: [x x0[ a, [u u0[m b,risultiR A;sianoinoltreM, H 0taleche[g(x, u)[m M (x, u) R,[g(x, y) g(x, u)[m H[y u[m(x, y), (x, u) R.SiprovicheesistonounintervalloJ= [x0h, x0 +h],con0 < h a,eununicafunzioneu : J RmdiclasseC1,talicheut(x) = g(x, u(x)) x J, u(x0) = u0;simostrianchecheilgracodiu `etuttocontenutoinR,cio`esiha[u(x) u0[m b x J.61[Traccia: anzituttositrasformiilproblemadiCauchyut(x) = g(x, u(x)), u(x0) = u0nellaformaintegraleequivalenteu(x) = u0 +_xx0g(, u()) d;aquestopropositosi ricordi chelintegrale_baF(t)dtdi unafunzionecontinuaF: [a, b] Rm`eil vettore__baF1(t) dt, . . . ,_baFm(t) dt_, echevalelafondamentaledisuguaglianza_baF(t)dtm_ba [F(t)[mdt.Poisiprovichelapplicazionev F(v),denitada[F(v)](x) = u0 +_xx0g(, v()) d, x J,perhsucientementepiccolo`eunacontrazionechemandalospaziometricocompleto(V, d)inse, oveV = v C(J, Rm): supJ[v() u0[ bed `eladistanzaassociataallanorma ||.]7. Nelleipotesi dellesercizioprecedente, si provi chelasoluzioneudelproblemadiCauchyut(x) = g(x, u(x)) x J, u(x0) = u0;dipendeconcontinuit`adau0.[Traccia: Con riferimento alla traccia dellesercizio precedente, ponia-mo B= u Rm: [uu0[m b/2 e [T(y, u)](x) = y+_xx0g(t, u(t)) dtper ogni x [x0h, x0+h]. Si verichi che T: BV V`e continua eche per h sucientemente piccolo T(y, ) `e una contrazione di costante1/2perogniy B. Poisiapplichiilteorema1.8.3.]1.9 FunzioniimpliciteUnimportanteapplicazionedelteoremadellecontrazioniriguardalostudiodei luoghi di punti dellospazioRNchesonoinsiemi di livellodi funzioniregolariF : A RNRk,N> k,oveA `eunaperto:Zc= x A : F(x) = c, c Rk.62Sono insiemi di questo tipo, con k = 1: le coniche in R2(ad esempio le ellissix2a2+y2b2=1)cos` comemoltealtrecurveimportanti; lequadrichein R3(adesempiogli ellissoidix2a2+y2b2+z2c2=1); lesfere [x[2N=r2inqualunquedimensioneN 2,eccetera.Ci proponiamo di vedere sotto quali ipotesi unequazione del tipo F(x) = c `etale da permetterci di esplicitare kvariabili in funzione delle altre N k: ci`osignicache,almenolocalmente,linsiemeZcsopraintrodotto `eilgracodiunacertafunzionediN kvariabili,avaloriin Rk,funzioneche `edenitaimplicitamentedallequazioneF(x)=c. Comevedremo, nonsempreci`o`epossibile,ancheseF `ediclasseC(A).Esempi1.9.1(1)SianoN=2ek=1. SeF(x, y)=x2+ y2, alloraZc`evuoto per c < 0, Zc= (0, 0) per c = 0, e Zc `e la circonferenza di raggio ccentratanellorigineperc > 0.(2)SeN=2,k=1eF(x, y)=x2 y2,alloraZc`euniperboleequilateraperc ,=0(conasintoti lerettey= x), mentreZ0`ecostituitodalleduerettey= xperc = 0.PoicheZc`elinsiemedi livello0per lafunzioneF c, non`erestrittivosupporrec=0(escrivereZinluogodi Z0). OsserviamocheseZ`elacirconferenzax2+ y2 1=0, essa`eil gracodi unafunzionedi classeC1soltanto localmente e non globalmente: precisamente, per ogni (x0, y0) Zsipu` o trovare un intorno Utale che UZ `e graco della funzione y= 1 x2,oppurex = _1 y2,manessunadiquestequattrorappresentazioni `eva-lidasimultaneamenteintuttiipuntidiZ.Laquestione`echiaritadaunfondamentalerisultato: il teoremadellefun-zioni implicite, familiarmentenotocometeoremadel Dini. Loenunciamodapprimanel casoN=2, perchedi naturapi` uelementareedi pi` ufaci-ledimostrazione; successivamente, permezzodel teoremadellecontrazioni,tratteremoilcasogenerale.Teorema1.9.2(delDini,casoN= 2) SiaAunapertodiR2, siaFC1(A) e poniamo Z =(x, y)A: F(x, y) =0. Se (x0, y0)ZeF(x0, y0) ,=0, alloraesiste unintornoUdi (x0, y0), conUA, taleche Z U`e gracodi unafunzione di classe C1. Pi` uprecisamente: seFy(x0, y0) ,= 0,alloraesistonounintornoV dix0,unintornoWdiy0(conV W A),edunafunzionef: V WtalecheZ (V W) = (x, f(x)) : x V ;63inoltrelafunzioneimplicitaf`ediclasseC1eft(x) = Fx(x, f(x))Fy(x, f(x))x V.Analogamente, se Fx(x0, y0) ,=0, alloraesistonounintornoV di x0, unintornoWdiy0(conV W A),edunafunzioneg: W V talecheZ (V W) = (g(y), y) : y W, gt(y) = Fy(g(y), y)Fx(g(y), y)y W.Primadidimostrareilteorema,facciamoalcuneconsiderazioni.Osservazioni1.9.3(1)Nel caso in cui valgono entrambe le diseguaglianzeFx(x0, y0) ,=0eFy(x0, y0) ,=0, linsiemeZ (VW)pu`oesseredescrittosiadallequazioney=f(x), siadax=g(y); inquestocasof: VW`einvertibileeg= f1.(2)Lespressionedellederivateft(x) egt(y) si pu`oricavarederivandori-spettoaxlidentit`aF(x, f(x))=0erispettoaylidentit`aF(g(y), y)=0,naturalmentedopoaveraccertatochelefunzioniimplicitefegsianoderi-vabili.(3)SeF`ediclasseCk,k 2,alloralefunzioniimplicitefeg,sedenite,sonodiclasseCkeleloroderivatesiottengonoderivandoviavialeespres-sionidift(x)egt(y). Adesempio,seF`ediclasseC2ef`ebendenita,siha,omettendopersemplicit`aladipendenzada(x, f(x)),ftt(x) = ddxFx(x, f(x))Fy(x, f(x))= (Fxx + Fxyft)Fy Fx(Fyx + Fyyft)F2y,eriutilizzandolespressionedift(x)sitrovaftt(x) = F2yFxx2FxFyFxy + F2xFyyF3y.(4)Larettatangentealgracodellafunzioneimplicita, cio`eallinsiemeZ,nelpunto(x0, y0) `edatadaFx(x0, y0)(x x0) + Fy(x0, y0)(y y0) = 0 :infattilequazioneditaleretta `ey= y0 + ft(x0)(x x0) oppure x = x0 + gt(y0)(y y0),64edalleespressioni di ft(x0)egt(y0)si ricavainentrambi i casi lequazionesopra scritta. Essa era del resto prevedibile, poiche sappiamo che il gradientediF,senonnullo, `eortogonaleallecurvedilivellodiF.Dimostrazionedel teorema1.9.2 Sia(x0, y0) ZesupponiamocheFy(x0, y0) ,=0: allora, percontinuit`a, esisteunintornoV0Wdi (x0, y0),conV0W A,nelqualesihaFy ,=0; sipu`osupporre,cambiandoeven-tualmenteFcon F,chesiaFy> 0inV0W. Non`erestrittivosupporrechelintornosiadeltipoW=]y0k, y0 +k[. ConsideriamolarestrizionediFlungo la retta x = x0, cio`e y F(x0, y): essa `e una funzione strettamentecrescente(percheFy(x0, y)>0)enullapery=y0, datoche(x0, y0) Z.DunqueF(x0, y) > 0 y ]y0, y0 + k], F(x0, y) < 0 y [y0k, y0[.Il teorema di permanenza del segno, applicato alle funzioni x F(x, y0 +k)e x F(x, y0k), ci dice che esiste un intorno V=]x0h, x0+h[ V0, talecheF(x, y0 + k) > 0 x V, F(x, y0k) < 0 x V.Consideriamoadessolafunzioney F(x, y), ovex`eungenericopuntodiV : datocheF(x, y0 k) 0. Senededucef(xt) f(x) = Fx(, )Fy(, )(xtx),dacui,postoM= maxV W [Fx[,m = minV W Fy,siricava[f(xt) f(x)[ Mm[xtx[ xt, x V.Ci` oprovachef`econtinua,anzilipschitziana,inV .Adessofacciamotenderextax: perlacontinuit`aappenadimostrata, sihaf(xt) f(x);diconseguenza,essendoFxeFycontinue,otteniamolimx

xf(xt) f(x)xtx= limx

xFx(, )Fy(, )= Fx(x, f(x))Fy(x, f(x))x V,ilchemostrachef`eanchederivabileinV ,conft(x) = Fx(x, f(x))Fy(x, f(x))x V.66Inne, poichelespressioneasecondomembro`econtinua, si concludechef C1(V ). Latesi `ecos`provatanelcasoFy(x0, y0) ,= 0;laltrocaso,incuiFx(x0, y0) ,= 0, `eperfettamenteanalogo.Esempio1.9.4SiaF(x, y) =y ln x x cos y; F`edenitasul semipianoA = (x, y) R2: x > 0eF(x, y) =_yx cos y, ln x + x sin y_(x, y) A.Nelpunto(1, /2)sihaF_1, 2_= 0, F_1, 2_=_2, 1_.Esistono dunque un intorno U= V Wdi (1, /2) ed una funzione f: V W,invertibile,confef1diclasseC1,talechef(x) ln xx cos f(x) = 0 x V, y ln f1(y)f1(y) cos y= 0 y W.ScriviamolequazionedellarettatangenteaZ= (x, y) A:F(x, y)=0nelpunto(1, /2): sihaft(1) = Fx(1, /2)Fy(1, /2)= 2elarettacercata `edatada2(x 1) +_y 2_= 0.Poiche F C(A), si ha f C(V ). Volendo scrivere il polinomio di Taylordifdicentro1egrado2,occorreanzituttocalcolarelederivatesecondediF:Fxx(x, y) = yx2 , Fxy(x, y) =1x+ sin y, Fyy(x, y) = x cos y.Derivandolidentit`aF(x, f(x)) = 0sitrovasuccessivamenteFx(x, f(x)) + Fy(x, f(x))ft(x) = 0,Fxx(x, f(x))+2Fxy(x, f(x))ft(x)+Fyy(x, f(x))[ft(x)]2+Fy(x, f(x))ftt(x) = 0,67da cui, sostituendo i valori x = 1 e f(1) = /2 si ricava facilmente ftt(1) =5/2. Dunqueilpolinomiocercato `eP2(x) = f(1) + ft(1)(x 1) +ftt(1)2(x 1)2=2 2(x 1) +54(x 1)2.Inmodoperfettamenteanalogosi pu`overicarecheil polinomiodi Taylordig,dicentro/2egrado2, `edatodaQ2(y) = 1 2_y 2_+122_y 2_2.Quandoleipotesidelteorema1.9.2nonsonovericate, linsiemeZdovesiannullalafunzioneF(x, y)pu`oavereleformepi` udiverse. Vediamouncasotipico: siaF: A R una funzione di classe C2e supponiamo che nelpunto(x0, y0) ArisultiF(x0, y0) = 0, F(x0, y0) = 0.DenotiamoconHlamatriceHessianadi F: sedet H(x0, y0)>0, alloraFhain(x0, y0) unmassimorelativoounminimorelativoe, inparticolare,(x0, y0) `eunpuntoisolatodellinsiemeZ. Seinvecedet H(x0, y0) < 0,Fhain(x0, y0)unpuntodisella;inquestocasovaleilseguenteTeorema1.9.5SiaA R2unaperto, sia(x0, y0) unpuntodi Ae siaF C2(A)unafunzionetalecheF(x0, y0) = 0, F(x0, y0) = 0, det H(x0, y0) < 0.Allora, postoZ= (x, y) A: F(x, y)=0, esisteunintornoU Adi(x0, y0) tale che ZU`e formato da due graci di opportune funzioni di classeC1, i quali si incontranotrasversalmentein(x0, y0), ossialerettetangentiaiduegraciin(x0, y0)sonodiverse. Inparticolare,Z Unon`egracodialcunafunzionediunavariabile.Dimostrazione IndichiamoconQlaformaquadraticaassociataallama-trice_a bb c_= H(x0, y0) =_Fxx(x0, y0) Fxy(x0, y0)Fyx(x0, y0) Fyy(x0, y0)_,valeadireQ(u, v) = au2+ 2buv + cv2(u, v) R2,68edosserviamosubitocheilgradienteQ(u, v) = 2_au + bvbu + cv_, (u, v) R2,`e nullo solo nellorigine, essendo b2ac > 0. In particolare, esiste m > 0 taleche(a cos + b sin )2+ (b cos + c sin )2 m2 R.Invirt` udellaformuladi Taylor, per ogni >0esister ]0, 1[ taleche,dettoBril discodi centro(x0, y0)eraggior, perogni (x, y) Brvalgonolerelazioni,pernoifondamentali,F(x, y) 12Q(x x0, y y0) [(x x0)2+ (y y0)2],F(x, y) 12Q(x x0, y y0)2 _(x x0)2+ (y y0)2.Da questi fatti, per cominciare, si deduce che F(x, y) ,= 0 in Br(x0, y0):infatti, se in un punto (x, y) Br, diverso da (x0, y0), si avesse F(x, y) = 0,dedurremmo[Q(x x0, y y0)[2 2_(x x0)2+ (y y0)2;quindi_(x x0)2+ (y y0)2=H(x0, y0)1H(x0, y0)_x x0y y0_2 |H(x0, y0)1|/2_a bb c__x x0y y0_2== |H(x0, y0)1|/212Q(x x0, y y0)2 |H(x0, y0)1|/2_(x x0)2+ (y y0)2,e ci` o `e assurdo se si sceglie in modo che sia |H(x0, y0)1|/2< 1. Dunque,ilgradientediFnonsiannullainBr (x0, y0).Adessoosserviamoche,postoQ(u, v) = Q_uu2+ v2,vu2+ v2_, (u, v) R2 (0, 0),69linsiemeZt= (x, y) Br: Q(x x0, y y0) = 0,coincide,peromogeneit`a,conlinsieme(x0, y0) (x, y) Br (x0, y0) : Q(x x0, y y0) = 0,ed `ecostituitodallesoluzioni(x, y) Brdellequazionea(x x0)2+ 2b(x x0)(y y0) + c(y y0))2= 0.Dunque Zt `e formato dallunione di quattro segmenti uscenti da (x0, y0), valeadirequelliappartenentiallerettex x0= 0, y y0= a2b(x x0sec = 0,y y0= (tan 1)(x x0), y y0= (tan 2)(x x0) sec ,= 0,ovetan 1= b +b2acc, tan 2= b b2acc.Per ssare le idee, nel se-guito supporremo c ,= 0:ci`oimplicacheleduerettenon sono verticali. Notiamoche uno qualunque di questisegmenti uscenti da (x0, y0),nei quali Q(xx0, y y0) =0, taglia un semidisco in dueparti, nellequali i segni diQsonoopposti: altrimenti,uno di questi segmenti sa-rebbecostituitodapuntidimassimolocaleodiminimolocaleper Q, controil fat-to che Q si annulla solo in(0, 0).Lidea`echeintornoal punto(x0, y0) linsiemeZdegli zeri di Fdeveso-migliaremoltoallinsiemeZtsopradescritto. Pervericarlo, notiamoche,analogamentealcasodiZt,se `epiccololinsiemeZt= (x0, y0) (x, y) Br (x0, y0) : [Q(x x0, y y0)[ < 370`elunionediduedoppisettoricircolariS, chesitoccanosoloin(x0, y0)(enonintersecanolarettax = x0salvocheintalepunto),dellaformaS= (x, y) Br: y y0= (tan )(x x0), [1d, 1 + dt] ,= (x, y) Br: y y0= (tan )(x x0), [2, 2 + t] ,ove le quantit`apositive d, dt, , ttendonoa0per 0. Utilizzandolaprimadelleduestimefondamentali,sivedesubitocheipuntidiZ Brgiacciono nei due doppi settori circolari sopra descritti: infatti se (x, y) BreF(x, y) = 0siha[Q(x x0, y y0)[ 2[(x x0)2+ (y y0)2],dacui [Q(x x0, y y0)[ 2 < 3.Aermiamoche dentrociascunadellequattro parti di questi doppi settori, adesempioinS+= (x, y) S: x > x0,per ogni r ]0, r[ vi `e esattamenteunpunto(xr, yr)chehadistanzarda(x0, y0) e che sta in Z. Supponiamo, adesempio, che sulla frontiera di S+risultiQ(x, y) =_3 sullarettay y0= [tan(1 + dt](x x0)3 sullarettay y0= [tan(1d](x x0)(il segnodi Qpotrebbeesserelopposto, asecondadei segni di a, b, c). DaquideduciamocheF(x, y) > 0sullaprimarettaeF(x, y) < 0sullasecondaretta: infatti, dalla prima stima fondamentale si ha, quando (x, y) appartieneallaprimaretta,F(x, y) 12Q(xx0, yy0)[(xx0)2+(yy0)2] =2[(xx0)2+(yy0)2],mentrequando(x, y)appartieneallasecondarettasiha,analogamente,F(x, y) 12Q(xx0, yy0)+[(xx0)2+(yy0)2] = 2[(xx0)2+(yy0)2].71Proveremoadessoquantoaermato, ossiacheperogni r ]0, r[ esisteununicopunto(xr, yr) S+,adistanzarda(x0, y0),talecheF(xr, yr) = 0.Consideriamo la restrizione di fallarco di centro (x0, y0) e raggio r contenutoinS+:g() = F(x0 + r cos , y0 + r sin ), [1d, 1 + dt].Essendog(1 d) < 2r2eg(1+dt) >2r2,perilteoremadeglizeriesi-ste almeno un punto r ]1d, 1 +dt[ talecheg(r) =0. Talepunto`eunico: se infatti vi fosse un altro puntotr ]1d, 1+dt[ tale che g(tr) = 0,perilteoremadiRolletroveremmounterzo punto 0 ]1d, 1+dt[ in cuigt(0) = 0,ossiar_F(x0 + r cos , y0 + r sin ),_ sin 0cos 0__2= 0.Notiamoper`ocheperdenizionedi1siha0 = Q(cos 1, sin 1) =_12Q(cos 1, sin 1),_cos 1sin 1__2edunque12Q(cos 1, sin 1) = 12Q(cos 1, sin 1)2_ sin 1cos 1_.Neseguirebbe,utilizzandolasecondastimafondamentale,2mr 2_(ar cos 1 + br sin 1)2+ (br cos 1 + cr sin 1)2== [Q(r cos 1, r sin 1)[2=_Q(r cos 1, r sin 1),_ sin 1cos 1__2_Q(r cos 1, r sin 1),_ sin 1cos 1__2_Q(r cos 0, r sin 0),_ sin 0cos 0__2++_Q(r cos 0, r sin 0),_ sin 0cos 0__272 Kr[10[ +_Q(r cos 0, r sin 0),_ sin 0cos 0__21r gt(0) Kr(d dt) ++[Q(r cos 0, r sin 0) F(x0 + r cos 0, y0 + r sin 0)[2 Kr(d dt) + r,con Kcostante opportuna, e dopo aver semplicato r, per sucientementepiccolosiavrebbelassurdo.Abbiamocos` mostratoche per ogni r]0, r[ linsieme Z S+contieneesattamente un punto (xr, yr) a distanza r da (x0, y0). Proviamo che linsiemedi questi punti (xr, yr)`eil gracodellafunzionechestiamocercando. Inciascun punto (xr0, yr0) il teorema 1.9.2 `e applicabile, essendo F(xr0, yr0) = 0e F(xr0, yr0) ,= 0: quindi, ciascuno di tali punti `e il centro di un intorno Ur0tale che ZUr0`e il graco di una funzione implicita fr0, di classe C2(essendoFdi classe C2), della variabile x (dato che abbiamo supposto c ,= 0). I punti(xr, yr)chesonodentroUr0sonodunquepuntidellaforma(x, fr0(x)).`E anche chiaro,a questopunto,che se Ur0Ur1 ,= le funzioniimplicite fr0efr1coincidonosuUr0 Ur1. Sihadunqueununicafunzionef(x),denitain ]x0, x0+r[, di classe C2, tale che F(x, f(x)) = 0. Notiamo che f(x) y0perx x+0 ,datocheilgracodif`econtenutoinS+.Adesso, per concludere, vogliamoprovare che ft(x0) esiste ed`e uguale atan 1=b+b2acc. Aquestoscopoosserviamochetan(1d) f(x) y0x x0 tan(1 + dt) x ]x0, x0 + r[.Siaallora xn ]x0, x0 + r[unasuccessioneconvergenteax0pern .Percompattezza,esisteunasottosuccessione xnk xntalechelimkf(xnk) y0xnk x0= R.Mostriamoche=tan 1. EssendoF(x, f(x))=0, laprimastimafonda-mentalecidiceche[Q(x x0, y y0)[ 2[(x x0)2+ (f(x) y0)2],cio`e,raccogliendo(x x0)2,a + 2b f(x) y0x x0+ c_f(x) y0x x0_2 2_1 +_f(x) y0x x0_2_.73Nesegue,mettendoxnkalpostodixepassandoallimite,[a + 2b + c2[ 2(1 +2),oveasecondomembrocompareunaquantit`aarbitrariamentepiccola. Sideducequindi chea + 2b + c2=0, ossia=bb2acc; madal momentochetan(1 d) tan(1 + dt),siconcludeche=tan 1. Pertanto,ogni successione xnconvergenteax0haunasottosuccessione xnktalechef(xnk)y0xnkx0tan 1: `efacilealloradedurrechelimkf(x) y0x x0= tan 1.Dunqueft(x0) `eproprioilcoecienteangolaredelsegmentoZ S+.Nel casoincui c=0, lafunzioneimplicita`enecessariamentedellaformax = g(y)esitrovainquestocasogt(y0) = b b2aca=1b+b2acc,risultatochecoincidecolprecedente.I discorsi sonodel tuttoanaloghi per laltropezzoSdi Seper laltrosettore. Ci`oconcludenalmenteladimostrazionedelteorema1.9.5.IlteoremadelDininelcasogeneraleEd eccoci allenunciato del teorema delle funzioni implicite nel caso generale.Scriveremo N= r+k, RN= RrRk, e di conseguenza denoteremo i punti diRNcome(x, y),conx Rrey Rk. SeF C1(RrRk, Rk),denoteremorispettivamenteconDxF(x, y)econDyF(x, y)lematrici(rispettivamentek rek k)_Fixh(x, y)_i=1,...,k; h=1,...,r,_Fiyj(x, y)_i,j=1,...,k.Teorema1.9.6(delDini,casogenerale) SiaAunapertodi Rr RkesiaF C1(A, Rk). Sia(x0, y0) AtalecheF(x0, y0) = 0, det DyF(x0, y0) ,= 0.74AlloraesistonounintornoV dix0in Rr,unintornoWdiy0in Rkedunafunzionef: V Wtaliche(x, y) V W, F(x, y) = 0 y = f (x);lafunzioneimplicitaf `ediclasseC1elasuamatriceJacobiana(k r)`eDf (x) = [DyF(x, f (x))]1 [DxF(x, f (x))] x V.Dimostrazione Peripotesi F`edierenziabilenel punto(x0, y0); essendoF(x0, y0) = 0,possiamoscrivereF(x, y) = DxF(x0, y0)(x x0) +DyF(x0, y0)(y y0) +v(x, y),ovev`eunafunzionediC1(A, Rk)talechev(x, y)_[x x0[2m +[y y0[2k0 per_[x x0[2m +[y y0[2k 0.Datoche, peripotesi, lamatriceDyF(x0, y0)`einvertibile, dallarelazioneprecedentededuciamoy = y0 +BF(x, y) Q(x x0) Bv(x, y) (x, y) A,ovesi `epostopercomodit`adiscritturaB = [DyF(x0, y0)]1, Q = [DyF(x0, y0)]1DxF(x0, y0).Vogliamoapplicareaquestarelazioneilteoremadellecontrazioni. Aquestoscopoponiamog(x) = y0Q(x x0), x Rm,G(x, y) = Bv(x, y), (x, y) A;lag`eunaapplicazioneanedi Rrin Rk, mentrelaG`eunafunzionediclasseC1(A, Rk)con[G(x, y)[k |B|/k[v(x, y)[k ,edinparticolareG`enullain(x0, y0), condierenzialenullointalepunto.Adessoosserviamocheper(x, y) AsihaF(x, y) = 0 y = g(x) G(x, y),75quindiilnostroobiettivo `equelloditrovareunintornoUdix0in Rmedunintorno compatto Vdi y0in Rktali che, per ogni ssato x U, lapplicazioneTx(y) = g(x) G(x, y)trasformiVinVesiaunacontrazione. Dalteorema1.8.2seguir`aalloracheperogni x Uesister`aununicoy V , chebattezzeremof (x), talecheTx(y) = y, ossia F(x, y) = 0. Per > 0 denotiamo con Vla palla di centrox0in RreconWlapalladi centroy0in Rk, edosserviamoche, essendoG(x0, y0) = 0,siha,posto(t, t) = ((1 t)x + txt, (1 t)y + tyt),[G(x, y) G(xt, yt)[k=_10ddtG(t, t) dtk=_10[Gx(t, t) Gx(x0, y0)](x xt) ++[Gy(t, t) Gy(x0, y0)](y yt)]dtk;dunque esiste 0> 0 tale che [G(x, y) G(xt, yt)[k 12[[x xt[r +[y yt[k]perognix V0ey W0,edinparticolare[G(x, y)[k 12 [[x x0[r +[y y0[k] x V0 , y W0 .Fissiamoora1 ]0, 0]enotiamocheperx V1lapplicazioneTxmandaW0inse,apattoche1siasucientementepiccolo: infatti[Tx(y) y0[k= [g(x) G(x, y) y0[k |Q|/k,r[x x0[r +12([x x0[r +[y y0[k) _|Q|/k,r+12_1 +02 0pur di scegliere 1 02|Q|Mk,r+1 . Inoltre, per x V1la Tx `e una contrazioneinW0 ,poiche[Tx(y) Tx(yt)[k= [G(x, y) G(x, yt)[k 12[y yt[ky, yt W0 .Essendo W0uno spazio metrico completo con la distanza indotta dalla nor-maeuclideadi Rk, si concludecheperogni x V1esisteununicopunto76f (x) W0talecheTx(f (x))=f (x), il chesignica, perquantodettoinprecedenza,F(x, f (x)) = 0. Naturalmentesiha,inparticolare,f (x0) = y0 .Abbiamocos` costruitolanostrafunzioneimplicitaf :V1 W0; neana-lizzeremoadessolepropriet`adiregolarit`a. Sappiamodalteorema1.8.3chef `econtinua. Quindi,anchex det DyF(x, f (x))`econtinuainV1;allora,essendodet DyF(x0, y0) ,= 0,rimpicciolendoeventualmente1avremodet DyF(x, f (x)) ,= 0 x V1 .Proviamo che f `e dierenziabile in V1. Sia xt V1: poiche F`e dierenziabilenelpunto(xt, f (xt)) V1 W0,siha0 = F(x, f (x)) F(xt, f (xt)) == DxF(xt, f (xt))(x xt) +DyF(xt, f (xt))(f (x) f (xt)) +w(x, f (x)),conw(x, y)_[x xt[2r +[y f (xt)[2k0 per_[x xt[2r +[y f (xt)[2k 0.Dunquef (x) f (xt) = DyF(xt, f (xt))1 DxF(xt, f (xt))(x xt) DyF(xt, f (xt))1 w(x, f (x)),edasecondomembroil primoaddendo`eunafunzionelinearedi x xt,mentreil secondo`einnitesimodi ordinesuperiorerispettoa [x xt[r, invirt` udellepropriet`adiwedif . SihadunqueDf (xt) = DyF(xt, f (xt))1 DxF(xt, f (xt)) xt V1 ,eci`oconcludeladimostrazione.Osservazioni1.9.7(1) Acomplementodi quantomostratonel teorema1.9.5, osserviamocheilteoremadelDiniesprimeunacondizionesucienteperlesistenzadellafunzioneimplicita, manienteaattonecessaria. Bastapensareche, nel casok=1, seFvericaleipotesi del teoremadel Dini,linsieme Z= (x, y) A : F(x, y) = 0 `e anche linsieme dove si annulla F2:Z `e dunque graco di una funzione implicita nonostante che D(F2)(x, y) = 0perogni(x, y) Z. AddiritturaZpotrebbeessereglobalmente, enonsolo77localmente, gracodi unafunzione, senzatuttaviasoddisfareleipotesi delteorema del Dini: basta ssare g: RrR di classe C1e porre Z= (x, y) Rr+1: (y g(x))2= 0.(2)Il luogoZ= (x, y) Rr+k: F(x, y)=0, nelleipotesi del teorema1.9.6, in un intorno di (x0, y0) `e una variet`aregolare r-dimensionale di classeC1, ossia limmagine di un aperto di Rrmediante unapplicazione di classe C1a valori in Rr+kcon matrice Jacobiana di rango massimo r (nel paragrafo 4.10daremo una denizione precisa di variet`a). Linsieme Zha nel punto (x0, y0)uniperpianotangenter-dimensionale,descrittodalsistemadikequazioniDxF(x0, y0)(x x0) +DyF(x0, y0)(y y0) = 0.(3)Nel casotridimensionale, N=3, si hannoduesolepossibilit`a: r=1ek = 2,ossiaunasolaequazionecontreincognite,oppurer = 2ek = 1,cio`edueequazionicontreincognite. InentrambiquesticasiilteoremadelDinipu` o essere provato senza luso delle contrazioni, ma semplicemente adattandola dimostrazione del caso bidimensionale (teorema1.9.2): si vedano gli esercizi1.9.3e1.9.4.ApplicazionilocalmenteinvertibiliDatounsistemadi kequazioni inN=r+ kincognite, il teoremadellefunzioni implicite permette, come si `e visto, di ricavare k incognite in funzionedellealtrer. CosasuccedequandoabbiamoNequazioni inNincognite?Inquestocaso, essendor =0, dovrebbeesserepossibilericavaretutteleNincognite, ossiarisolvere completamente il sistema. Pi` ugeneralmente,consideriamoilproblemadiinvertireunsistemadellaforma___y1= F1(x1, . . . , xN)y2= F2(x1, . . . , xN)............................yN= FN(x1, . . . , xN),(informavettoriale,y = F(x)): vogliamoalloraricavareleNvariabilixiinfunzionedelleNvariabiliyj. Sitrattadunquedivedereselapplicazionex = (x1, . . . xN) F(x) = (F1(x1, . . . xN), . . . , FN(x1, . . . xN))`einvertibile.Incerticasi,sottoadeguateipotesi,questoproblemalosappiamorisolvere:78adesempio, quandoN=1eF`eunafunzionedi classeC1, denitasuunintervalloI RavaloriinunaltrointervalloJ R,`enotocheseFt ,=0in Iallora F`e strettamente monotona e dunque ha linversa F1,la quale `easuavoltadiclasseC1con(F1)t(y) =1Ft(F1(y)) .Inoltre,seN 1,seB /NeseF `elapplicazionelineareF(x) = Bx x RN,allorasi sacheF`einvertibileseesoloseB`enonsingolare, valeadiredet B ,=0, edintal caso, naturalmente, si haF1(y) =B1yper ogniy RN.Nel caso generale, con N 1 e F funzione generica di classe C1, le cose sonopi` ucomplicateenonsempresihalinvertibilit`a.Esempi1.9.8(1)Consideriamoin R2latrasformazioneperraggi vettorireciproci=xx2+ y2 , =yx2+ y2 ,denitaper(x, y) R2 (0, 0). Alvettore P =(x, y) viene associato ilvettoreadessoconcordeQ = (, )ta-leche [P[2 [Q[2= 1: infatti2+ 2=1x2+y2 . Inparticolare, i punti interniallacirconferenzax2+ y2=1vengo-notrasformati inpunti esterni, evice-versa. Questaapplicazione`edi classeC, `e invertibile su tutto R2 (0, 0),elinversa `ex =2+ 2 , y=2+ 2 ;dunqueessastessa `eunatrasformazioneperraggivettorireciproci: anzi,latrasformazione`elinversadi sestessa. Si osservi chelerettex=cey=dsonotrasformaterispettivamentenellecirconferenze_ 12c_2+ 2=14c2, 2+_ 12d_2=14d2 ,79ereciprocamente.(2)Lacorrispondenzax = cos , y= sin ,ove 0e R, forniscelarappre-sentazionedei punti del pianoincoor-dinate polari: come si sa, =_x2+ y2misura la distanza del punto P= (x, y)dallorigine O = (0, 0), mentre `e lan-golocheil segmentoOPformaconilsemiassedellexpositive. Se 0e R,lapplicazioneF(, ) = ( cos , sin ) = (x, y)`e di classe Ced `e surgettiva ma non iniettiva, poiche (0, 0) = F(0, ) con arbitrario,mentreperipunti(, )con>0sihaF(, )=F(, + 2).Per`o, ssato un punto (0, 0) ]0, [R, la restrizione di F ad un opportunointorno Udi (0, 0) `e iniettiva; in particolare, la restrizione di F alla striscia]0, [] , ]haperimmagine R2 (0, 0),elinversa `e =_x2+ y2,___cos =xx2+y2sin =yx2+y2,ossia,pi` uprecisamente, =_x2+ y2, =___arctanyxsex > 02sex = 0ey> 02sex = 0ey< 0 + arctanyxsex < 0ey> 0 sex < 0ey= 0 + arctanyxsex < 0ey< 0.(3)Questoesempio `esimilealprecedente. Per(x, y) R2poniamoF(x, y) = (, ), ove_= excos y= exsin y.80Questa trasformazione `e di classe C, con immagine R2(0, 0); se proviamoadinvertirla,troviamox = ln_2+ 2,___cos y=2+2sin y=2+2,ma `echiarochelay`edeterminatasoltantoamenodimultiplidi2. Comenellesempioprecedente, limmaginedellarestrizionedi Fallastriscia R ] , [ `elinsieme R2 (, ): 0, =0, elinversa`edeterminatadalleformulesoprascritte.Si noti che, identicando R2con C, lafunzioneF`eineetti lesponenzialecomplessa: se(x, y) = x + iy= zsihaF(z) = F(x + iy) = ex(cos y + i sin y) = ex+iy= ez.Come si sa, la funzione ez`e periodica di periodo 2i e dunque non `e iniettiva,ma lo diventa, appunto, su una qualunque striscia del tipo R]y0, y0+[.Nel casoy0=0, si haF1(ez)=F1(, )=(x, y)conx=ln [ez[ ey=arg(ez). Questa`elaviachepermettedi denireil logaritmocomplesso: sew C 0,siponelog w = ln [w[ + iarg w;si trattadi unafunzione multivoca, ossiaapi` uvalori, chediventaunivo-caallorchesi sceglieunadeterminazionedellargomentodi w. Conquestadenizionedellogaritmosihaelog w= w w C 0, log ez= z + 2ki k Z,z C.Gliesempiprecedentimostranocheingenerecidobbiamoaspettarelinver-tibilit`a di opportune restrizioni di una data funzione, ossia uninvertibilit`a dicaratterelocale.Denizione1.9.9SianoA, Bapertidi RNesiaF : A Bunafunzione.Fissatox0A, diciamoche F`e localmente invertibile nel puntox0seesistonounintornoU Adix0edunintornoV BdiF(x0)talicheF[UsiaunapplicazionebigettivafraUeV .`Eevidentechetuttelefunzioniinvertibilisonoanchelocalmenteinvertibiliinogni puntodel loroinsiemedi denizione. Il viceversanonvale, comemostranogliesempi1.9.8(2)-(3).81Teorema1.9.10(diinvertibilit`alocale) Sia A un aperto di RNe sia F :A RNunapplicazione di classe C1. Indichiamo con JF(x) il determinantedellamatriceJacobianadiF(x). Seinunpuntox0 ArisultaJF(x0) ,= 0,alloraF`elocalmenteinvertibilenel puntox0 , coninversadi classeC1inunopportunointornoV diF(x0);inoltrerisultaDF1(y) = [DF(F[U1(y))]1y V.Inne,seF`ediclasseCm,alloraancheF1`ediclasseCm.Dimostrazione Poniamoy0=F(x0)econsideriamolafunzioneG:A RNRN,denitadaG(x, y) = y F(x).ChiaramenteG `ediclasseC1,eG(x0, y0) = 0, det DxG(x0, y0) = (1)NJF(x0) ,= 0.Quindi,perilteoremadellefunzioniimplicite,esistonounintornoUdix0,unintornoV di y0edunafunzioneg: VUdi classeC1, tali cheper(x, y) U V risultay F(x) = G(x, y) = 0 x = g(y).Inaltreparole, per(x, y) UV sihay=F(x)seesolosex=g(y), edunqueg`elinversadiF[U. Ci`oprovacheF`elocalmenteinvertibileinx0.InoltreilteoremadelDiniciassicuracheg`ediclasseC1conDg(y) = [DxG(g(y), y)]1 [DyG(g(y), y)] == [DF(g(y))]1 IN= [DF(F[1U(y))]1y V.Anchelultimaaermazionedellenunciatoseguedal teoremadel Dini: seF Cm, ancheG Cmequindi lafunzioneimplicitag, ossiaF[1U, `ediclasseCm.Osservazione1.9.11Il teorema di invertibilit`a locale non vale se si suppo-necheF:A RNsiasoltantodierenziabile. Adesempio, perN=1lafunzione82F(x) =___x2+ x2sin 1xse x ,= 00 se x = 0`ederivabile(ossiadierenziabile)inognipuntodi R,conderivatadatadaFt(x) =___12+ 2x sin 1x cos 1xse x ,= 012se x = 0,dunque Ft `e discontinua in 0. In tale punto si ha Ft(0) =12 ,= 0, e tuttavia Fnon `e localmente invertibile in 0, dato che non `e monotona in alcun intervallodicentro0.IlteoremadelrangoCi rimane da considerare il caso di una funzione F : A RN, di classe C1, oveA `eunapertodi Rrconr = N k < N. Inquestocaso,naturalmente,nonpossiamo aspettarci che F sia surgettiva: quello che vogliamo fare `e analizzarela struttura dellinsieme F(A) RN, ossia dellimmagine di F. Supporremo,inanalogiaconiteoremi1.9.6e1.9.10,chelamatriceJacobianadiFabbiarangomassimor. Ilteoremadelrango,cheandiamoadenunciare,cidiceche F(A) `e un insieme localmente isomorfo a Rr, dotato in particolare in ognipuntodiiperpianor-dimensionaletangente.Teorema1.9.12(delrango) SiaF : A RNunafunzionediclasseC1,denitasuunapertoA Rrover=N k 0eF(x, y) = y3+ ln(x + y) xy. Siverichiche(1, 0) ZecheinunintornoditalepuntoZ`egracodiunafunzioneg(y)diclasseC;sideterminipoiilpolinomiodiTaylordigdicentro0egrado2.2. SiaZ= (x, y) R2:F(x, y)=1, oveF(x, y)=x3+ y3 x2y. Siprovi che Zha tre punti di ascissa 1, e che in un intorno di ciascuno diessi Z`e graco di una funzione f(x) di classe C; si scriva il polinomiodiTaylordiquestefunzionidicentro1egrado2.3. Si provi cheseA`eunapertodi R3eF: A R`eunafunzionediclasse C1tale che in un punto (x0, y0, z0) A risulti F(x0, y0, z0) = 0 eFz(x0, y0, z0) ,= 0,alloraesistonounintornoU V Wdi(x0, y0, z0),86contenutoinA,edunafunzio-ne f : U V Wdi clas-seC1, tali cheper (x, y, z) inU V Wsi ha F(x, y, z) = 0se e solo se z= f(x, y). Si pro-viinoltrecheperogni(x, y) U V valgonolerelazionifx(x, y) = Fx(x, y, f(x, y))Fz(x, y, f(x, y)) ,fy(x, y) = Fy(x, y, f(x, y))Fz(x, y, f(x, y)) .4. Si provi cheseA`eunapertodi R3eF, G: A Rsonofunzioni diclasseC1talicheinunpunto(x0, y0, z0) Arisulti_F(x0, y0, z0) = 0G(x0, y0, z0) = 0,det_Fx(x0, y0, z0) Fy(x0, y0, z0)Gx(x0, y0, z0) Gy(x0, y0, z0)_,= 0,alloraesistonounintornoUVW Adi (x0, y0, z0) e due funzioni g : WU,h : W Vdi classe C1, tali che per (x, y, z)in UV Wsi ha F(x, y, z) = G(x, y, z) = 0seesolosex=g(z)ey=h(z). Si proviinoltrecheperogniz Wvalelarelazione_gt(z)ht(z)_= _FxFyGxGy_1_FzGz_,ove tutte le funzioni a secondo membro sono calcolate in (g(z), h(z), z).[Traccia: unoalmenofrai numeri Fx(x0, y0, z0) eFy(x0, y0, z0), adesempio il primo, `e diverso da 0. Utilizzando lesercizio preceden-te, si provi cheinunintornoUVWAdi (x0, y0, z0) si haF(x, y, z) = G(x, y, z) = 0 se e solo se x = k(y, z) e G(k(y, z), y, z) = 0,87conkfunzionediclasseC1taleche,inV W,ky(y, z) = Fy(k(y, z), y, z)Fx(k(y, z), y, z) , kz(y, z) = Fz(k(y, z), y, z)Fx(k(y, z), y, z) .Postopoi (y, z)=G(k(y, z), y, z), si verichi chevericain(y0, z0)leipotesi del teorema1.9.2; senededucacheinUVWsi haF(x, y, z)=G(x, y, z)=0seesolosex=k(y, z)ey=h(z), conhopportunafunzionedi classeC1. Innesi ricavi latesi conlahgi`atrovataecong(z) = k(h(z), z).]5. SiaF : R3R2denitadaF(x, y, z) = (sin x + sin y + sin z 1, cos x + cos y + cos z 1)eponiamoZ= (x, y, z) R3:F(x, y, z)=0. Siprovicheilpunto_0,56,6_appartieneaZecheinunintornodi questopuntosi haZ= (y, z) : y =f(x), z =g(x)per opportunefunzioni f, g. SiscrivanoleequazionidellarettatangenteaZnelpunto_0,56,6_.6. Si verichi che lapplicazione F :]0, [RR R3(0, 0, 0), denitadaF(, , ) = ( sin cos , sin sin , cos )`e localmente invertibile nel punto (1, /4, 3) e se ne scriva linversa inunintornoditalepunto.7. PostoF(x, y)=(x2 y2, 2xy), inqualipuntidi R2laF`elocalmenteinvertibile?IntalcasosiscrivaF1.8. PoniamoF(t) =_t, 1 + t