7/25/2019 Equazione Di Bernoulli

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Equazione di Bernoulli

p1

A1h1

v1 t s1=

v2 t s 2=

p2

h2A2

v1

v2

Equazione di Bernoulli.

Influidodinamica, l'equazionedi Bernoullirappresentaun modello semplificato diflusso inviscido. L'equazionedi Bernoulli si deriva mediante l'omonimo teoremadall'integrazione dell'equazione di Eulerodella quantitdi moto lungo unalinea di flusso, e descrive il moto di unfluidolungo tale linea.

L'equazione descrive matematicamente l'effetto Ber-noulli, percuiinun fluido ideale su cui non viene applica-to unlavoro, per ogni incremento dellavelocit di derivasi ha simultaneamente una diminuzione dellapressioneo un cambiamento nell'energia potenzialedel fluido, non

necessariamente gravitazionale. Prende il nome da DanielBernoulli, nonostante fosse gi noto in precedenza ad altristudiosi, fra cuiEulero.

Il campo pi generale di validit del teorema di Bernoullinon in realt solo quello di fluido inviscido, ma suffi-ciente che sia nulla la risultante delle azioni viscose lega-te alrotoredellavorticit: quindi basta che il fluido siaincomprimibile, irrotazionale (potenziale) e stazionario(derivata parziale temporale della velocit nulla).

In queste ipotesi, le equazioni di Eulero possono es-sere integrate lungo una linea di flusso, conducendoall'equazione di Bernoulli, nella forma:

p + u2

2 + gh =costante

in cui:

ladensitdel fluido.

urappresenta lavelocit di derivalungo la linea diflusso,

g ilcampo medio, nelle applicazioni pi frequenti

diventa l'accelerazione di gravit,

h la quota potenziale media della sezione,

p rappresenta lapressionedi tipo statico lungo lalinea di flusso,

1 Spiegazione semplificata

Il teorema di Bernoulli pu essere spiegato senza ricorrereal calcolo integrale.

Il lavoro compiuto dalle forze di superficie per spostare il

fluido di un trattol pari a

L1 = p1S1l= p1V1

dove p1 la pressione agente sulla sezioneS1, eV1 ilvolume di fluido che ha attraversatoS1.

Analogamente sar necessario un lavoro per spostare ilfluido presente in una sezione a valle di S2. Tale lavorosar:

L2 = p2V2

Ne segue che il lavoro totale compiuto dalle forze disuperficie :

LS=L1+ L2 = p1V1 p2V2

Il lavoro compiuto dalle forze di volume per spostareil fluido dall'altezza h1 all'altezza h2 corrisponder allavariazione di energia potenziale gravitazionale:

LV =mgh1 mgh2

La somma di LSedLV, sar uguale alla variazione dienergia cinetica:

LS+ LV = 1

2mu22

1

2mu21

da cui segue che:

p1V1 p2V2+ mgh1 mgh2 = 1

2mu2

2

1

2mu2

1

che equivale a:

1

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2 2 APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI BERNOULLI

p1V1+ mgh1+1

2mu21 = p2V2+ mgh2+

1

2mu22

dividendo quindi ambo i membri per il volume si ottiene:

p1+ gh1+1

2u21 = p2+ gh2+

1

2u22

che equivale a dire:

p + gh +1

2u2 =costante

in cui:

p la pressione

la densit (costante) del fluido u la velocit di deriva

g l'accelerazione di gravit

h l'altezza.

2 Applicazioni del teorema di Ber-

noulli

2.1 Legge di TorricelliL'applicazione pi famosa del teorema di Bernoulli la deduzione della velocit di fuoriuscita di un fluidoda un recipiente in un campo uniforme (per esempiogravitazionale).

Si consideri un recipiente di forma qualsiasi riempito diun fluido, su cui stato praticato un foro all'altezzah0 =0 . Considerando come A1 la sezione del recipiente, hl'altezza relativa adh0 a cui si trova la superficie liberadel liquido eA2la sezione del foro si ottiene:

p1+ gh +1

2u21 = p2+ gh0+

1

2u22

map1 = p2quindi:

gh +1

2u21= gh0+

1

2u22

Dal momento cheh0 = 0

gh +1

2

u21=1

2

u22

Siccome il flusso costante,u1 trascurabile rispetto au2(poichA1 A2), per cui:

gh =1

2u2

2

da cui segue

u22 = 2gh

o

u2 =

2gh

anche detta legge di Torricellipoich Torricelli giunse allostesso risultato nel1644prima dei lavori di Bernoulli.

2.2 Portanza

L'equazione di Bernoulli anche in grado di quantifica-re (entro certi limiti) laportanza, ovvero la componentedella forzanormaleal moto del fluido che agisce su uncorpo immerso.

La portanza data infatti dalla differenza di velocit dideriva che si ottiene volutamente dalla particolare formadell'ala, che costruita in modo da rendere la velocitdell'aria sulla faccia superiore maggiore di quella sullafaccia inferiore. Questa tecnica permette di generare unaforza diretta verso l'alto data da una pressione sulla faccia

inferiore maggiore di quella sulla faccia superiore.

pi+1

2u2i =ps+

1

2u2s

pi:pressionedell'aria sulla faccia inferiore

ui:velocitdell'aria sulla faccia inferiore

ps:pressionedell'aria sulla faccia superiore

us:velocitdell'aria sulla faccia superiore

Quindi la differenza di pressione tra la faccia inferiore esuperiore dell'ala sar:

(pi ps) =1

2u2s

1

2u2i

Questa differenza di pressione ( pi ps ) ha semplice-mente l'effetto di una pressionep della stessa intensit di (pips): infatti viene prodotta unaforza che direttamen-te proporzionale alla superficie inferiore dell'ala. Infatti,perdefinizione:

p=F

A

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quindi la forza risultante sar:

F =pA

Il principio di Bernoulli non basta tuttavia per spiega-

re il fenomeno della portanza; si deve considerare anchel'effetto della curvatura delle linee di corrente sul profiloe la deviazione di esse verso il basso (Effetto Coand).

2.3 Altri effetti spiegabili con l'equazione

di Bernoulli

Ci sono molti fenomeni della vita di tutti i giorni che sonospiegabili tramite l'equazione di Bernoulli:

il distacco e la distruzione deitettidelle costruzio-

ni che vengono colpite da venti molto forti (duranteuraganio eventi atmosferici molto violenti): infattiin questi casi le costruzioni, che sono al loro internoapprossimativamente isolate rispetto all'esterno, so-no sottoposte ad una grande differenza di pressionecausata dalla forte velocit dell'aria esterna, che pro-duce una diminuzione della pressione esterna, men-tre la pressione all'interno della casa rimane invaria-ta. La forza esercitata sulla superficie del tetto dalladifferenza di pressione (che va dal basso verso l'alto) capace di scoperchiarlo;

l'aterosclerosi una malattia provocata

dall'accumulo di materiale lipidico(grasso) nellostrato pi interno delle arterie. Per l'equazione diBernoulli (o pi semplicemente per l'Equazione dicontinuit) ad una diminuzione della sezione dellacavit dove scorre il liquido (in questo caso sangue)corrisponde un aumento di velocit di deriva diquest'ultimo il quale provoca un abbassamento dellapressione interna in quel punto. Di conseguenza lapressione esterna sar maggiore di quella internae tender a schiacciare l'arteria cos da diminuireulteriormente il flusso di sangue;

la chiusura di una porta in una stanza attraversata dalvento, anche nel caso in cui il vento soffi nella dire-zione in cui la porta dovrebbe aprirsi: questo perchla velocit dell'aria causa una depressione cheinduceil movimento della porta stessa.

Nei casi citati possibile trascurare il termine gravita-zionale dell'equazione di Bernoulli, in quanto le linee diflusso a cui si fa riferimento hanno approssimativamentela stessaenergia potenziale.

3 Voci correlate

Aerodinamica

Daniel Bernoulli

Equazione di Bernoulli instazionaria

Equazione differenziale di Abel

Effetto Venturi

Fluidodinamica

Flusso potenziale

Flusso laminare

Legge di Torricelli

Principio di Archimede

Teorema di Kutta-ukovskij

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