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Statistica ebiometria

D. Bertacchi

BernoulliDensità

Valore atteso

Varianza

BinomialeDensità

Esempio

Valore atteso

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Valore atteso

Varianza

IndipendenzaEsempi

Proprietà

ApprofondiamoVarianza in funzionedi p

Il valore atteso diB(n, p)

La varianza diB(n, p)

Il modello di Bernoulli

DEFINIZIONE DI V.A. B(p)

Una v.a. di Bernoulli di parametro p è una v.a. che può assu-mere solo i valori 0 e 1, e per cui la probabilità di assumereil valore 1 è pari a p, e quella di assumere il valore 0 è pari a1 − p.

Ricordiamo: di una v.a. (discreta) interessano

• i valori che può assumere;

• la funzione di densità.

Per la Bernoulli B(p)

L’insieme dei valori possibili è V = {0, 1}; fX (0) = 1 − p efX (1) = p.


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IndipendenzaEsempi

Proprietà




La densità

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

10

B(0.1)

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

10

B(0.3)

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

10

B(0.7)

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

10

B(0.9)


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Il caso equiprobabile

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

10

B(0.5)

Qui le due barre sono alte entrambe 1/2. Questo è il casoad esempio dell’esito del lancio di una moneta (equilibrata)dove “testa”= 1 e “croce”= 0.


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Utilizzo della Bernoulli

Si usa in tutte gli esperimenti (aleatori) in cui posso averesolo due esiti, ad esempio:

• lancio di una moneta: esito testa oppure croce;

• screening di malattie: l’individuo o è sano oppure èmalato;

• ricerca di presenza di antigeni: o l’antigene c’è, oppureno,

• esperimento per sintetizzare una proteina (un ormone,etc): o la sintesi avviene oppure no.

Nomenclatura

Il valore 0 è anche detto insuccesso e il valore 1 è dettosuccesso.


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Esperimento di Bernoulli

Definizione

Un esperimento aleatorio che può avere solo due esiti èdetto esperimento di Bernoulli (o anche prova di Bernoulli).

Gli esperimenti che abbiamo appena citato come esempisono quindi esperimenti di Bernoulli.


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Il valore atteso della B(p)

Sia X una v.a. di Bernoulli di parametro p, in simboli:X ∼ B(p) ∗

E(X ) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p.

Teorema

Per la Bernoulli il valore atteso coincide con la probabilità delsuccesso (dunque col parametro p).

∗Il simbolo “∼” in X ∼ B(p) NON SI LEGGE “CIRCA”!

Si legge “X è una v.a. di Bernoulli di parametro p”.


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La varianza della B(p)

Sia X ∼ B(p), calcoliamo Var(X ): X 2 assume valori 0 e 1,con probabilità 1 − p e p rispettivamente

E(X 2) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p,

quindi

Var(X ) = E(X 2) − (E(X ))2 = p − p2 = p(1 − p).

Teorema

Per la Bernoulli la varianza coincide con p(1 − p).


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Il processo di Bernoulli

Definizione di processo di Bernoulli di parametro p

Una sequenza (finita o infinita) di prove di Bernoulli, tuttecon lo stesso parametro p e fra loro indipendenti∗, è dettaprocesso di Bernoulli di parametro p.

Dato un processo di Bernoulli è naturale porsi due tipi didomande:

• se faccio n prove, qual è la probabilità che si abbiano ksuccessi?

• qual è la probabilità che il successo appaia per la primavolta alla j-esima prova?

∗ non abbiamo ancora dato la nozione di v.a. indipendenti


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La v.a. binomiale

Definizione di v.a. B(n, p)

La v.a. che conta il numero di successi in n prove di un pro-cesso di Bernoulli di parametro p è detta v.a. binomiale diparametri n e p.

Per la binomiale B(n, p)

L’insieme dei valori possibili è V = {0, 1, 2, . . . , n};

fX (k) =

(

nk

)

pk(1 − p)n−k .


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La densità

Alcuni esempi di densità binomiali.

0.10

0.30

0.50

0 2 51 3 7 9 104 86

B(10,0.3)

0.10

0.30

0.50

0 2 51 3 7 9 104 86

B(10,0.7)


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Il caso equiprobabile

0.10

0.30

0.50

0 2 51 3 7 9 104 86

B(10,0.5)


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Esempio

Un test a risposta multipla ha 10 domande, ognuna con 4 risposte (di cuiuna sola corretta).

Se rispondiamo a caso, qual è la probabilità di dare 6 risposte corrette e4 errate?

Se X è la v.a. che conta le risposte corrette, X ∼ B(10, 0.25) e mi sichiede

P(X = 6) =

106

!

0.256· 0.754

=10!

6!4!0.256

· 0.754

=10 · 9 · 8 · · · 2 · 16 · 5 · · · 1 · 4 · · · 1

0.256· 0.754

=10 · 9 · 8 · 7

4 · 3 · 20.256

· 0.754 = 0.01622.


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Esempio

Sempre nel test a crocette: qual è la probabilità di dare almeno 8risposte corrette? e di darne almeno 2?

P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

= calcolo con la densità come prima

= 0.00004158.

P(X ≥ 2) = P(X = 2) + · · · + P(X = 9) + P(X = 10)

= 1 − P(X < 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)

= 1 −

100

!

0.7510−

101

!

0.25 · 0.759

= 1 − (0.7510 + 10 · 0.25 · 0.759) = 0.22525406.


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Valore atteso di B(n, p)

Teorema

Se X ∼ B(n, p), allora

E(X ) = np.

Esempi.

• Se lancio 10 volte una moneta equilibrata, qual è lamedia teorica del numero totale di teste? Risposta:5 = 10 · 0.5.

• Nel test a risposta multipla, qual è la media teorica delnumero totale di risposte corrette? Risposta:2.5 = 10 · 0.25.


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Varianza di B(n, p)

Teorema

Se X ∼ B(n, p), allora

Var(X ) = np(1 − p).


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La v.a. geometrica

Definizione di v.a. G(p)

La v.a. che dice in quale prova di un processo di Bernoulli diparametro p si ha il primo successo è detta v.a. geometricadi parametro p.

Per la geometrica G(p)

L’insieme dei valori possibili è V = {1, 2, . . .} = N;

fX (k) = p(1 − p)k−1.


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La densità

Alcuni esempi di densità geometriche.

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

0 2 51 3 7 9 104 86

G(0.3)

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

0 2 51 3 7 9 104 86

G(0.7)

0.10

0.30

0.50

0.70

0.90

0 2 51 3 7 9 104 86

G(0.5)


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Esempio

Maria gioca al lotto tutte le settimane, giocando sempre lostesso numero sulla stessa ruota (i numeri che possonoessere estratti sono 90), con l’intenzione di smettere nonappena vincerà. Qual è la probabilità che vinca la prossima

settimana?

Ogni estrazione per Maria è una B(1/90) ed è logicopensare che le estrazioni siano indipendenti, quindi si trattadi un processo di Bernoulli. La probabilità che vinca la

prossima settimana è 1/90.

Qual è la probabilità che iniziando la prossima settimanavinca alla quinta giocata? Qual è la probabilità che iniziandola prossima settimana vinca entro 10 giocate?


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Esempio

La v.a. che dice qual è la settimana della vincita èX ∼ G(1/90), quindi la probabilità che iniziando la prossimasettimana Maria vinca alla quinta giocata è

P(X = 5) = p(1 − p)4 =190

·

(

8990

)4

= 0.0106.

La probabilità che iniziando la prossima settimana vincaentro 10 giocate è

P(X ≤ 10) =10∑

i=1

190

·

(

8990

)i−1

= 0.1057.


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Formula utile

Se X ∼ G(p)

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)k .

Basta sommare

P(X ≤ k) =k

X

i=1

p · (1 − p)i−1

= pk−1X

i=0

(1 − p)i = 1 − (1 − p)k.

(Un aiuto può venire dal libro di matematica, capitolo sulla serie geometrica...).

Ma bastava anche ragionare sul complementare:

P(X ≤ k) = 1 − P(X > k) = 1 − (1 − p)k,

dato che la probabilità che i primi k tentativi siano insuccesso è proprio (1 − p)k

(usiamo l’indipendenza, vedi più avanti...).


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Valore atteso di G(p)

Teorema

Se X ∼ G(p), allora

E(X ) =1p

.

Esempi.

• Lanciando una moneta equilibrata, qual è la mediateorica del numero di lanci da fare per vedere la primatesta? Risposta: 2 = 1

0.5 .

• In un test (infinito) a risposta multipla, qual è la mediateorica del numero di risposte da dare per vedere laprima corretta? Risposta: 4 = 1

0.25 .


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Varianza di G(p)

Teorema

Se X ∼ G(p), allora

Var(X ) =1 − p

p2 .


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Indipendenza di v.a. discrete

Diamo ora la nozione di v.a. indipendenti.DEFINIZIONE DI V.A. DISCRETE INDIPENDENTIDate n v.a. X1, X2, . . . Xn, esse si dicono indipendenti se valel’uguaglianza

P(X1 = v1, X2 = v2, . . . , Xn = vn)

= P(X1 = v1) · P(X2 = v2) · · ·P(Xn = vn),

per ogni scelta di v1 possibile valore per X1, v2 possibilevalore per X2, . . . vn possibile valore per Xn.

P(X1 = v1, X2 = v2, . . . , Xn = vn) significa “probabilità checontemporaneamente X1 assuma il valore v1, X2 il valore v2,etc.


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Esempio

Lanciamo due dadi: X = numero sul primo dado, Y =numero sul secondo dado. Allora X e Y sono indipendenti.

Infatti per ogni i e j in {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(X = i , Y = j) = P(esce la coppia (i , j)) =136

,

d’altra parte

P(X = i)P(Y = j) =16·

16

=136

,

quindi l’uguaglianza della definizione è verificata.


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Esempio

Lanciamo due dadi: X = numero sul primo dado, Y =numero sul secondo dado, Z = somma dei due dadi =X + Y . Allora X e Z non sono indipendenti.

InfattiP(X = 1, Z = 12) = 0,

(non ci sono coppie con primo dado = 1 e somma =12!!!).D’altra parte

P(X = 1) =16

e P(Z = 12) =1

36,

quindi

P(X = 1)P(Z = 12) =1

6 · 36,

e l’uguaglianza della definizione NON è verificata.


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Proprietà

Teorema

Se X e Y sono v.a. indipendenti, allora

1 il valore atteso del prodotto è il prodotto dei valori attesi:

E(X · Y ) = E(X ) · E(Y );

2 la varianza della somma è la somma delle varianze:

Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ).


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La varianza della B(p)

Per quale p la varianza è massima? Ricordiamo: lavarianza è una misura della dispersione o anchedell’incertezza dell’esito della v.a.

Se riguardiamo i grafici di densità ci accorgiamo chel’incertezza per una B(p) o per una B(n, p) è minore se p èvicino a 0 oppure a 1; mentre per una G(p) l’incertezzadiminuisce più p è vicino a 1.


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La varianza di B(p)

La varianza (funzione di p) coincide con p(1 − p): è unaparabola.

0,1

0,60

0,40,20

y

p

0,5

1

0,4

0,3

0,8

0,2


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La varianza di B(n, p)

La varianza (funzione di p) coincide con np(1 − p): è unaparabola. Ad esempio per n = 10:

1

0,60

0,40,20

y

p

5

1

4

3

0,8

2


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La varianza di G(p)

La varianza (funzione di p) coincide con 1−pp2 :

20

0,60

0,40,20

y

p

100

1

80

60

0,8

40


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Il calcolo di E(B(n, p))

Dimostrazione

Il trucco sta nell’osservare che se X ∼ B(n, p)), si puòpensare

X = Y1 + Y2 + · · · + Yn,

dove Yk vale 1 se la k-esima prova è un successo, 0 al-trimenti. Ma è lo stesso che dire che Y1, Y2, . . . , Yn sono

le n v.a. di Bernoulli corrispondenti alle prime n prove delprocesso. Allora

E(X ) = E(Y1) + E(Y2) + · · ·+ E(Yn) = p + p + · · ·+ p = np.

(Abbiamo usato la linearità del valore atteso).


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Il calcolo di Var(B(n, p))

Dimostrazione

Scrivendo ancora

X = Y1 + Y2 + · · · + Yn,

dove Y1, Y2, . . . , Yn sono le n v.a. di Bernoulli corrispondentialle prime n prove del processo, abbiamo

Var(X ) = Var(Y1) + Var(Y2) + · · · + Var(Yn)

= p + p + · · · + p = np.

(Abbiamo usato la proprietà della varianza di una somma div.a. indipendenti).

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