Energia cinetica

Per far acquistare ad un corpo fermo una determinata velocità v, si può applicargli una forza F per un determinato intervallo di tempo.

Cioè occorre compiere un lavoro sul corpo.

Calcoliamo il lavoro necessario per portare un corpo fermo, di massa m, alla velocità v utilizzando una forza costante F. Il corpo si muove su un piano orizzontale e in assenza di attrito. Il suo moto sarà uniformemente accelerato.

s

viniz = 0 vfin = v

Applichiamo al corpo di massa m la forza costante F.

F

F

La forza compie un lavoro….

L = F • s = F s cos0° = F s.

Calcoliamo il lavoro che la forza F ha compiuto.

s

F F

Il lavoro svolto risulta positivo.

Per definizione si ha:

Esprimiamo il lavoro compiuto dalla forza in termini della massa e della velocità impressa al corpo.

Ricorrendo alla formula di Torricelli relativa al moto rettilineo uniformemente accelerato:

vf2= vi

2 + 2as

nel nostro caso, con viniz = 0 e vfin = v, si ha:

v2= + 2as

da cui: as = ½ v2 .

Per la seconda legge della dinamica: F = ma

L’espressione del lavoro diventa:

L = Fs = mas = ½ mv2.

Una volta che il corpo ha raggiunto la velocità v desiderata, la forza applicata viene soppressa. Da questo istante il corpo prosegue di moto rettilineo uniforme (per l’ipotesi dell’assenza di attrito).

Ci chiediamo se il lavoro svolto va perduto oppure no.

Per poter arrestare il corpo in moto con velocità v, occorre

applicare una forza Fa d’arresto cioè di verso contrario a

quello della velocità.

Tale forza determina un moto rettilineo uniformemente

decelerato. Il corpo si ferma dopo aver percorso un certo

spazio d’arresto sa ; a questo punto la forza viene eliminata.

Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza Fa per arrestare il

corpo.

s

viniz = v vfin = 0

L = Fa • sa = Fasa cos180° = -Fasa.

Calcoliamo il lavoro che la forza compie.

Per definizione si ha:

1clic

Il lavoro svolto risulta negativo.

F

Anche in questo caso esprimiamo il lavoro compiuto dalla forza in termini della massa e della velocità posseduta al corpo.

La formula di Torricelli relativa al moto rettilineo uniformemente decelerato è:

vf2= vi

2 - 2as

nel nostro caso, con viniz = v e vfin = 0, si ha:

v2 = 2asa

L’espressione del lavoro diventa:

L = Fsa = masa = ½ mv2.

Si constata che il lavoro, speso per far acquistare ad un corpo fermo una velocità v, non va perduto: il corpo in moto è in grado di compiere un determinato lavoro contro una forza.

Riassumendo …

viniz = 0 vfin = v viniz = v vfin = 0

Applicando una forza costante la velocità del corpo passa da viniz = 0 a vfin= v .

La forza compie il lavoro positivo:

L = Fs = ½ mv2

Se si applica una forza frenante costante la velocità del corpo passa da viniz = v a vfin= 0.

La forza “subisce” il lavoro negativo:

L = -Fs = -½ mv2

Il moto è rettilineo uniformemente accelerato.

Il moto è rettilineo uniformemente decelerato.

Osservazione. Da quanto detto sinora si può concludere che un corpo in moto, rispetto ad un sistema di riferimento, è in grado di compiere lavoro in tale sistema.

Questo fatto si esprime dicendo che il corpo possiede energia cinetica rispetto a quel sistema.

m

sistema A

sistema B

v

Consideriamo la massa m. Per l’osservatore che si trova nel sistema A essa non possiede energia cinetica.

Per l’osservatore nel sistema B invece possiede energia cinetica.

La trattazione viene generalizzata considerando un corpo che si sta muovendo di moto rettilineo uniforme con velocità v1 e al quale si applica, per un tratto s, una forza costante F di direzione identica a quella della velocità. Dopo l’azione della forza il corpo procederà con velocità v2.

Il lavoro della forza (compiuto o subito) è dato da:

L = ½ m (v22 – v1

2)

Se tale lavoro risulta positivo, cioè è compiuto dalla forza, allora esso va ad aumentare l’energia cinetica del corpo.

Invece se è negativo, cioè subito dalla forza, allora ciò avviene a spese dell’energia cinetica del corpo che, quindi, decresce.

La relazione scritta sopra esprime il teorema dell’energia cinetica (anticamente “delle forze vive”).

Fine energia cinetica.

Energia potenziale.

Una persona solleva un corpo di peso P

all’altezza h. Egli compie un lavoro, contro la

forza peso, espresso da mgh (essendo m la

massa del corpo).

h

Una persona solleva un corpo di peso P all’altezza h. Egli compie un lavoro, contro la forza peso, espresso da mgh (essendo m la massa del corpo).

h

Il corpo, in questa posizione, ha acquistato una capacità di compiere del lavoro: se lo si lascia cadere, la forza peso compie un lavoro pari a mgh.

Si esprime questo fatto dicendo che il corpo, durante il sollevamento, ha acquistato energia potenziale.

m

piano 1

piano 2

L’energia potenziale del corpo di massa m dipende dal livello di riferimento:

Rispetto al livello del tavolo, l’energia potenziale è nulla.

Rispetto al livello del piano 1 l’energia potenziale vale mgh1 :

Rispetto al livello del piano 2 l’energia potenziale vale mgh2.

h1

h2

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Lancio verticale verso l’alto

Trattiamo dal punto di vista energetico il problema del lancio

verticale, verso l’alto, di un corpo.

Una persona lancia verticalmente verso l’alto un corpo, imprimendogli

una forza verso l’alto superiore al peso.

Il corpo parte da fermo e, accelerato dalla forza di spinta, acquista

all’atto del rilascio una velocità v, con la quale inizia la salita.

Fase di lancio: azione di una forza verticale contraria al peso e superiore ad esso. Moto Rett. Unif.nte Accelerato

Fase di lancio verso l’alto………

h=0

F

F

P

Fase di lancio: azione di una forza verticale contraria al peso e superiore ad esso. Moto Rett. Unif.nte Accelerato

Inizio salita. Il corpo viene lasciato.

velocità di lancio: vin = v

Fase di lancio verso l’alto………

h=0P

Punto d’arresto: vfin = 0

Fase di lancio: azione di una forza verticale contraria al peso e superiore ad esso. Moto Rett. Unif.nte Accelerato

Fase di salita: azione della forza peso. Moto Rett. Unif.nte Decelerato

Fase di lancio verso l’alto………

h=0

Inizio salita. Il corpo viene lasciato

velocità di lancio: vin = v

P

Velocità di ritorno: vfin = v

Inizio del ritorno: v in = 0

Fase di discesa: azione della forza peso. MRUA

Fase di ricaduta verso il basso 1clic

Di qui era iniziata la salitah=0

½ mv2

mgh

Lanciando un corpo di massa m verticalmente verso l’alto, con velocità iniziale v, sappiamo che questo si muove di MRUD (moto rettil. unif.nte decelerato) fino a fermarsi ad una certa altezza. 1clic Il corpo inizialmente possiede

l’energia cinetica ½ mv2; al termine della salita possiede l’energia potenziale mgh.

Sappiamo che l’altezza raggiunta è data da:

h

v2

h =2g

Se si sostituisce h in mgh si ottiene:

v2

mg = ½ mv2

2g

Cioè l’energia potenziale acquistata è pari a quella cinetica che il corpo ha ricevuto nel lancio.

Con questa considerazione si constata che l’energia cinetica impressa al corpo, nel lanciarlo in alto, si è integralmente trasformata in energia potenziale. Non c’è stata sottrazione né aggiunta di energia. In una qualunque posizione, nel moto verso l’alto o nella discesa, la quantità totale di energia è sempre la stessa.

hvx

x

h-x

Dopo aver percorso in discesa lo spazio x, il corpo ha acquistato una velocità vx; quindi in quell’istante possiede energia sia potenziale che cinetica.

L’energia complessiva vale allora:

E = mg(h-x) + ½ mvx2

ma per la formula di Torricelli:

vx2= 2gx

Quindi si ha:

E = mg(h-x) + ½ mvx2.= mg(h-x) + ½ m2gx

da cui:

E = mgh - mgx + mgx = mgh.

Cioè la quantità di energia del corpo è sempre uguale a quella ricevuta inizialmente nel lancio verticale.

(in realtà l’energia è associata al sistema corpo+Terra)

Nota bene:

Quando si parla di energia potenziale ci si deve riferire sempre ad un sistema di corpi che interagiscono tra loro: non è corretto parlare di energia potenziale di un corpo.

Nell’esempio presentato in realtà l’energia potenziale non è associata al solo corpo sollevato, ma al sistema corpo-Terra.

Infatti il peso del corpo è dovuto all’interazione che esso ha con la Terra.

La persona nel sollevare un peso, in realtà agisce sul sistema Terra + corpo, nel senso che egli aumenta la distanza tra il corpo e la Terra, agendo su entrambi i corpi. 1clic

Naturalmente l’effetto sulla Terra è del tutto trascurabile.

Il lavoro speso per allontanare i due corpi va ad incrementare l’energia potenziale di tale sistema.

Stato iniziale: Energia potenziale Uin .

Stato finale: Energia potenziale Ufin .

Azione dell’agente esterno: Lavoro.

Lavoro