empirica 1. cati nanziari rendimenti 6 · MQMF acini iovisione test A .y-Fullerstima...

MQMFGallo Pacini

La distribuzione empirica

Stima non parametrica

Struttura temporale dei . . .

Il processo ARMA(1,1)

Le generalizzazioni

La stima

Come riconoscere la forma . . .

Il test Augmented Dickey-Fuller

Previsione

Le anomalie di calendario

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Metodi quantitativi per i mercatifinanziari

Capitolo 6

Analisi dei rendimenti

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• Ipotesi che i rendimenti siano realizzazioni di unprocessowhite noisegaussiano troppo restrittiva

• Caratteristiche empiriche delle serie osservate deirendimenti:

– alternanza di periodi con varianza piu piccola aperiodi nei quali la variabilita e maggiore

– presenza di osservazioni le cui deviazioni dallamedia sono molto piu elevate di quelle che ci sipossono attendere per unwhite noisegaussiano

• Necessario caratterizzare le proprieta del processoteorico ipotizzabile come generatore delleosservazioni dei rendimenti che sia in grado diriprodurre le caratteristiche osservate

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Confronto grafico fra i rendimenti dell’indiceDow Jonese una serie simulatawhite noisegaussiana con la stessavarianza non condizionata - 29 dic. 1995 - 27 mar. 1998

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1. La distribuzione empirica

Istogramma

• Strumento di facile costruzione e semplice dainterpretare

• Il campo di variazione dei valori osservati vienesuddiviso in classi (della stessa ampiezza o diampiezza diversa tra loro)

• Ad ogni classe viene associata la densita di frequenzarilevata (calcolata come rapporto tra la frequenza el’ampiezza di classe)

• Stima grezza della funzione di probabilita sottostante,sia per la sua natura di funzione a gradini sia per ladipendenza della forma risultante dalla suddivisionein classi scelta di volta in volta

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Istogramma della serie dei rendimenti dell’indiceDowJonescon statistiche descrittive e test di Jarque-Bera per

la verifica di normalita - 29 dic. 1995 - 27 mar. 1998

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Indicatori sintetici: misure di posizione

• Rendimento medio come stima del valore atteso delladistribuzione dei rendimenti: media aritmeticasemplice dei valori della serie osservata

r =1

T

T∑t=1

rt

• Buona stima del valore atteso se il processo stocasticosottostante presenta determinate proprieta (processoergodico)

• Mediana: valore centrale della serie ordinata in sensonon decrescente

• Misura di tendenza centrale alternativa alla media concaratteristiche di maggior robustezza (meno sensibilealla presenza di rendimenti anomali)

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Indicatori sintetici: misure di dispersione

• Deviazione standard dei rendimenti:

sr =

√√√√ 1

T − 1

T∑t=1

(rt − r)2

• Il rendimento medio osservato e il quadrato delladeviazione standard sono stimatori corretti deicorrispondenti parametriµ eσ2 della distribuzione diprobabilita delle variabili casualirt

• Media e deviazione standard consentono di descriverecompletamente la distribuzione di probabilita qualoraquesta sia di tipo gaussiano

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Indicatori sintetici: la forma della distribuzione

• Skewness

sk =1

T

T∑t=1

(rt − r

sr

)3

• Se la distribuzionee simmetrica loskewnessrisultapari a zero, per un valore maggiore di zero parliamodi asimmetria positiva (la distribuzione appare conuna coda piu lunga a destra), asimmetria negativa perun valore inferiore a zero

• Curtosi

ku =1

T

T∑t=1

(rt − r

sr

)4

• Leptocurtosise la distribuzionee piu appuntita dellanormale e con code piu pesanti (ku maggiore di 3),platicurtosise piu appiattita della normale (kuminore di 3)

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Esempio di distribuzione con asimmetria positiva MQMFGallo Pacini





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Esempio di distribuzione leptocurtica (linea tratteggiata).Confronto con la normale (linea continua)

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Test di normalit a

• Statistica test di Jarque-Bera (1980), basata sulcalcolo della differenza fra valori diskewnessecurtosi della serie osservata ed i valori che si hannoper una distribuzione gaussiana (skewnesspari a zeroe curtosi pari a 3):

JB =T

6

(sk2 +

1

4(ku− 3)2

)• Sotto l’ipotesi nulla di normalita la statistica test si

distribuisce asintoticamente come una variabilecasualeχ2

2

• Se il valore osservato supera il valore teoricocorrispondente alχ2

2 per un preassegnato livello disignificativita, l’ipotesi di gaussianita e rifiutata

• Osservazione: la procedura none costruttiva ed anchein caso di mancato rifiuto si tratta di un test basato susimmetria e curtosi e non sull’intera distribuzione

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Altri test di normalit a

• Test di Kolmogorov-Smirnov: distanza tra funzionedi ripartizione empirica e funzione di ripartizioneteorica sotto l’ipotesi nulla

• Test di Shapiro e Wilks: statistica test

W (r) =[∑T

t=1 αtr[t]]2

[∑T

t=1(rt − rt)2]

conr[t] la t-esima osservazione del campione ordinatoe con pesiαt opportunamente tabulati per diversivalori di T

• In entrambi i casi distribuzione della statistica testnon standard (valori ottenibili mediante simulazione)

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Grafico Quantile-Quantile

• Si riportano sull’asse delle ascisse i quantili calcolatisulla distribuzione empirica e sull’asse delle ordinatei quantili della distribuzione teorica da mettere aconfronto (nel caso in questione la normale)

• Quantili della distribuzione empirica: realizzazionicampionarie che suddividono la serie osservata,ordinata in senso non decrescente, inq serie parzialicontenenti ciascuna laq-esima parte della numerositacomplessiva

• Quantili della distribuzione teorica: valori della v.c.normale che suddividono l’area sottesa alla curva inq

(usualmente 100) parti equivalenti

• Quanto piu la rappresentazione si discosta dallabisettrice tanto maggioree la deviazione delladistribuzione osservata dalla teorica

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Grafico Quantile-Quantile della serie dei rendimentidell’indiceDow Jones. Periodo 29 dic. 1995 - 27 mar.

1998

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2. Stima non parametrica

• Metodi non parametrici di approssimazione locale:medie locali opportunamente ponderate per stimare lafunzione di densita di probabilita dei rendimenti

• Forma piu semplice: istogramma della distribuzioneempirica

f (rt∗) =dF (rt∗)

drt∗= lim

h→0

F (rt∗ + h/2)− F (rt∗ − h/2)

h

f (rt∗) =(#{rt ≤ rt∗ + h/2})− (#{rt ≤ rt∗ − h/2})

hTrapporto tra la frequenza relativa di osservazioni checadono in un certo intervallo di ampiezzah el’ampiezza stessa dell’intervallo

• Perh elevato le stime risultano distorte, mentre perh

piccolo aumenta la variabilita delle stime

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• Generalizzazione dell’istogramma→ stimatoreKernel:

f (rt∗) =1

Th

T∑t=1

k

(rt − rt∗

h

)• h (positivo) parametro dismoothingo bandwidth

• k funzionekernelfunzione di ponderazione che deveavere le seguenti caratteristiche minimali:

• Esempio: k funzione di densita uniforme definitasull’intervallo [−1/2, 1/2]

k(u) = 1I(|u| ≤ 1/2)

stesso peso a tutte le osservazioni interne ad unintervallo di ampiezzah centrato surt∗: la stima cheotteniamoe l’istogramma

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• Possibili diverse scelte di funzione di ponderazione:

– kerneltriangolare:(1− |u|)1I(|u| ≤ 1)

– kernelgaussiano:(2π)−1/2 exp(−1/2u2)

– kerneldi Epanechnikov:34(1− u2)1I(|u| ≤ 1)

– kernelquartico:1516(1− u2)21I(|u| ≤ 1)

• Misure di errore di stima, quali l’errore quadraticomedio EQM

E[(f (r∗t )− f (r∗t ))2]

e l’errore quadratico medio integrato EQMI (integraledell’EQM su tutti i possibili valori dirt), sono piusensibili alla scelta dih che alla funzione diponderazionek

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Propriet a dello stimatore di densita

• Asintoticamente corretto perh→ 0

• La sua varianza si riduce al crescere dih

• Affinche la stima sia consistente deve essere che, perT →∞, h→ 0 eTh→∞

• Metodi di selezione automatica ellabandwidthottimale basati sull’ottimizzazione di una funzioneobiettivo

• Regola empirica suggerita da Silverman (1986) conriferimento ad una stima di densita conkernelgaussiano

hopt = 0.9min(sr, R/1.34)T−1/5

h dipende da una misura di variabilita della serieosservata e dal numero di osservazioni

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Stima non parametrica della funzione di densita deirendimenti dell’indiceDow Jones. Kernelgaussiano (A)eKerneluniforme (B). Periodo 29 dic. 1995 - 27 mar.

1998

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Confronto dibandwidthdiverse nella stima di funzioni didensita di probabilita dei rendimenti sull’indiceDowJonescon funzionekerneluniforme. Periodo 29 dic.

1995 - 27 mar. 1998. (A)h = 13; (B) hopt = 0.349; (C)h = 0.03

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3. Struttura temporale deirendimenti

• Caratteristiche rilevate empiricamente sulle serie deirensimenti: deviazione dall’ipotesi di normalita,eccesso di curtosi e moderata asimmetria

• L’assunzione che i rendimenti siano generati da unprocessowhite noisegaussianoe messa in discussione

• Inoltre, none detto che le variabili casuali chedescrivono il processo siano fra loro indipendenti e/oidenticamente distribuite

• Ricerca di possibili legami temporali fra osservazioni:come modellare questa dipendenza nel tempoall’interno della classe di processi stocastici stazionari

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Il processo AR(1)

• Processo autoregressivo del primo ordine(Auto-Regressive of order 1 - AR(1))

rt = φrt−1 + εt

conεt i.i.d. con media 0 e varianza costante

• perφ = 1 il processoe unrandom walk

• perφ > 1 il processo diventa esplosivo (realizzazionisuccessive vengono amplificate)

• perφ minore di uno in valore assoluto il processoestazionario

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Esempi di processi autoregressivi esplosiviφ = 1.01 MQMFGallo Pacini





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Esempi di processi autoregressivi stazionari

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• Per sostituzioni successive dirt−1, rt−2, . . . etc. nellart = φrt−1 + εt si ottiene

rt = φ (φrt−2 + εt−1) + εt

= εt + φεt−1 + φ2rt−2

= . . .

= εt + φεt−1 + φ2εt−2 + . . . + φτ−1εt−τ+1 + φτrt−τ ,

che converge a

rt =

∞∑τ=0

φτεt−τ

dato chelimτ→∞ φτrt−τ = 0 per|φ| < 1

• Sotto questa condizione il processoe stazionario incovarianza

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• Il valore attesodi una combinazione lineare divariabili casualie pari alla combinazione lineare deivalori attesi di ciascuna variabile casuale:

E(rt) =

∞∑τ=0

φτE(εt−τ ) = 0

• La varianzadi una combinazione lineare di variabilicasuali indipendentie pari alla combinazione linearedelle varianze delle singole variabili (tutte uguali traloro) con coefficienti elevati al quadrato

V ar(rt) = V ar(∞∑τ=0

φτεt−τ ) =

∞∑τ=0

φ2τV ar(εt−τ )

= σ2∞∑τ=0

φ2τ =σ2

1− φ2≡ γ0

• Anche lacovarianzafra due termini generici delprocessort e rt−s dipende solo dalla distanzas e nondal tempot di riferimento

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Dimostrazione

Dato che i valori attesi dirt e di rt−s sono uguali a zero

Cov(rt, rt−s) = E ((rt − E(rt)) (rt−s − E(rt−s)))

= E (rt rt−s)

sostituendo all’indietro,rt puo essere scritto come

rt = εt + φεt−1 + . . . + φs−1εt−s+1 + φsrt−s

che, moltiplicato perrt−s, da un valore attesoE (rt rt−s)

pari a

E(εtrt−s + φεt−1rt−s + . . . + φs−1εt−s+1rt−s + φsr2

t−s)

Tutti termini sono uguali a zero in valore atteso (siriferiscono a prodotti di variabili casuali indipendenti fraloro) tranne l’ultimo chee uguale aφsE(r2

t−s), quindi

E (rt rt−s) = φsγ0 ≡ γs

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Autocovarianza e autocorrelazione

• Come funzione dis, s = 0, 1, 2, . . ., γs prende il nomedi funzione di autocovarianza

γs = φsγ0 =φsσ2

1− φ2.

• Dividendo tutti i termini della funzione diautocovarianza perγ0 si ottiene la cosiddettafunzionedi autocorrelazione

ρs =γsγ0,

che, per un processo AR(1), risulta uguale aφs edecresce esponenzialmente cons

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Teorema di Wold

• Qualunque processo stazionarioxt e scomponibile inuna parte puramente deterministica ed una partecasuale rappresentabile come un processo MA(∞)

xt = µ +

∞∑τ=0

ψτεt−τ

conψ0 normalizzato ad 1 e∑∞

τ=0 ψ2τ <∞

• Nel caso AR(1) si haψτ ≡ φτ , ∀ τ

• Formulazione alternativa utilizza il cosiddettooperatore di ritardoL

xt = µ +

∞∑τ=0

ψτLτεt

∑∞τ=0 ψτL

τ e un polinomio infinito nell’operatore diritardoL e viene denotato comeψ(L) ≡ 1 + ψ1L + ψ2L

2 + . . .

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Operatore di ritardo L

Si tratta di unoperatore linearedefinito nel seguentemodo:

Lxt = xt−1

le cui proprieta derivano dall’algebra degli operatori:

• L2x=L(Lxt) = L(xt−1) = xt−2 e, in generale,Lτxt = xt−τ

• L0xt = 1xt = xt per convenzione

• L(cxt) = cLxt

• L(xt + yt) = Lxt + Lyt

• (a + bL)xt = axt + bxt−1

• (a + bL)Lxt = (aL + bL2)xt = axt−1 + bxt−2

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• Il processo AR(1) puo essere riscritto come

rt = φLrt + εt ⇔ (1− φL)rt = εt ⇔ φ(L)rt = εt.

• Il processo AR(1)e stazionario se la soluzione(radice) dell’espressione (detta equazionecaratteristica)

φ(z) = 0 ⇔ (1− φz) = 0

(conz appartenente in generale al campo dei numericomplessi) risulta essere maggiore di uno in modulo

• La soluzionee z = 1/φ dalla quale deriviamo lacondizione gia vista|φ| < 1

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Il processo MA(1)

• Processo detto a media mobile del primo ordine(Moving Average of order 1, MA(1))

rt = εt + ψεt−1

il valore corrente della variabile casualert edeterminato dalla combinazione di due termini didisturbo i.i.d. a media zero e varianza costante

• Deriviamo media e varianza del processo

E(rt) = E(εt) + ψE(εt−1) = 0

V ar(rt) = V ar(εt) + ψ2V ar(εt−1) + 2ψCov(εt, εt−1)

= σ2(1 + ψ2)

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Esempi di processi MA(1)MQMF

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Funzione di autocovarianza e autocorrelazione

In generale abbiamo

Cov(rt, rt−s) = E(rt rt−s) = E((εt+ψεt−1)(εt−s+ψεt−s−1))

che, per l’indipendenza fra gliεt, e sempre uguale a zero,tranne quandos = 1

Cov(rt, rt−1) = E((εt + ψεt−1)(εt−1 + ψεt−2)) = ψσ2

Quindi possiamo scrivere

γs =

{ψσ2 quando s = 1

0 quando s > 1

ρs =

ψ

1 + ψ2quando s = 1

0 quando s > 1.

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Previsione



• Un processo MA (anche di ordine superiore a 1)esempre stazionario: varianza e funzione diautocovarianza non dipendono dal tempo

• La rappresentazione MA(∞) secondo il teorema diWold si ha ponendo

ψs =

1 quando s = 0

ψ quando s = 1

0 quando s > 1

• Corrispondentemente,e possibile rappresentare unprocesso MA come processo autoregressivo

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Previsione



Consideriamort = εt + ψεt−1 da cui ricaviamo

εt = rt − ψεt−1

εt−1 = rt−1 − ψεt−2

Sostituendo nella prima uguaglianza

rt = εt + ψ(rt−1 − ψεt−2) =

= εt + ψrt−1 − ψ2εt−2

Continuando a sostituire espressioni successive perεt−jche fanno apparire corrispondenti terminirt−τ , si ha

rt = εt +

∞∑τ=1

(−1)τ+1ψτrt−τ ≡∞∑τ=1

φτrt−τ + εt

chee la rappresentazione autoregressiva infinita delprocesso MA(1)Condizione di invertibilita del processo:|ψ| < 1

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4. Il processo ARMA(1,1)

• Combinazione della caratteristiche di un AR(1) e diun MA(1)

rt = φrt−1 + εt + ψεt−1

oppure, utilizzando l’operatore di ritardoL,

(1− φL)rt = (1 + ψL)εt

• Seφ = −ψ risulta definito un processowhite noise

• Il processo ARMA(1,1)e stazionario se|φ| < 1 einvertibile se|ψ| < 1

• Le caratteristiche del processo sono determinate dallasomma dei parametriφ + ψ

• Il processo puo essere riscritto in forma MA(∞) o informa AR(∞)

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Esempi di processi ARMA(1,1) conφ + ψ =−0.5 , 0,0.5, 0.9

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La forma MA( ∞) di un ARMA(1,1)

Riprendiamo l’espressione

rt = φrt−1 + εt + ψεt−1

dato che

rt−1 = φrt−2 + εt−1 + ψεt−2

rt−2 = φrt−3 + εt−2 + ψεt−3

. . . . . . . . .

per sostituzione si ha

rt = φ(φrt−2 + εt−1 + ψεt−2) + εt + ψεt−1

= φ2rt−2 + φεt−1 + φψεt−2 + εt + ψεt−1

= φ2rt−2 + εt + (φ + ψ)εt−1 + φψεt−2

= φ3rt−3 + εt + (φ + ψ)εt−1 + φ(φ + ψ)εt−2 + φ2ψεt−3

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Le generalizzazioni

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Previsione



Dato chelimτ→∞ φτrt−τ = 0 e limτ→∞ φ

τ−1ψεt−τ = 0

otteniamo per sostituzioni successive

rt = εt + (φ + ψ)εt−1 + φ(φ + ψ)εt−2 + . . . +

+φs−1(φ + ψ)εt−s + . . .

= εt + (φ + ψ)

∞∑τ=1

φτ−1εt−τ

= εt + (φ + ψ)

∞∑τ=1

φτ−1Lτεt

= εt

(1 + (φ + ψ)

∞∑τ=1

φτ−1Lτ

)che puo essere scritta come l’usuale media mobile infinita

rt =∑∞

τ=0 ψτεt−τ conψτ =

{1 se τ = 0

φτ−1(φ + ψ) se τ ≥ 1

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Previsione



La forma MA( ∞) mediante l’operatore ritardo L

rt = (1+ψL)(1−φL) εt e dato che 1

1−φL =∑∞

τ=0(φL)τ

rt = (1 + ψL)∞∑

τ=0

(φL)τ

εt

= εt

( ∞∑τ=0

φτLτ + ψ

∞∑τ=0

φτLτ+1

)

= εt

(1 +

∞∑τ=1

φτLτ + ψ

∞∑τ=0

φτLτ+1

)

= εt

(1 +

∞∑τ=1

φτLτ + ψ

∞∑τ=1

φτ−1Lτ

)

= εt

(1 + φ

∞∑τ=1

φτ−1Lτ + ψ

∞∑τ=1

φτ−1Lτ

)

= εt

(1 + (φ+ ψ)

∞∑τ=1

φτ−1Lτ

)

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5. Le generalizzazioni

Il processo AR(p)

La variabile casuale corrente dipende linearmente dap

ritardi temporali sulla variabile casuale che rappresenta irendimenti

rt = φ1rt−1 + φ2rt−2 + . . . + φprt−p + εt

o, in forma piu compatta,(1− φ1L− φ2L

2 − . . .− φpLp)rt = εt

che puo essere riscritta come

φ(L)rt = εt

nella qualeφ(L) denota il polinomio completo di ordinep, (1−

∑pj=1 φjL

j)

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Le generalizzazioni

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• La stazionarieta del processoe assicurata se le radicidell’equazione caratteristica (non solo reali ma anchecomplesse coniugate)φ(z) = 0 sono tuttemaggiori diuno in modulo

• Sotto le condizioni di stazionarieta il Teorema diWold assicura che esiste una rappresentazioneMA(∞) ricavabile come inversione del polinomioφ(L),

rt = φ(L)−1εt,

ma notevolmente piu complesso definire i coefficientiψτ a partire dai vari coefficientiφi, i = 1, . . . , p

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Previsione



Esempio: rappresentazione MA(∞) di un AR(2)

rt = φ1rt−1 + φ2rt−2 + εt

rt−1 = φ1rt−2 + φ2rt−3 + εt−1

rt−2 = φ1rt−3 + φ2rt−4 + εt−2

. . . . . . . . .

Per sostituzioni successive

rt = φ1rt−1 + φ2rt−2 + εt(φ1rt−2 + φ2rt−3 + εt−1) + (φ1rt−3 + φ2rt−4 + εt−2)

(φ1rt−3 + φ2rt−4 + εt−2)

e mettendo in evidenza i termini di disturbo avremo

rt = εt+φ1εt−1+(φ21+φ2)εt−2+altri termini in rt−3 e rt−4

I coefficientiψτ sono complicate espressioni non linearidi φ1 eφ2

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Previsione



Caratteristiche del processo AR(p)

• A partire dalla rappresentazione MA(∞) si dimostrache il valore atteso del processoe ancora uguale azero, in quanto combinazione lineare di valori attesidi ε, tutti uguali a zero

• La varianza ha la seguente espressione

V ar(rt) ≡ γ0 = σ2∞∑τ=0

ψ2τ

• Le autocovarianze sono date da

Cov(rt, rt−s) ≡ γs = σ2∞∑τ=0

ψτψs+τ

• Ottenere espressioni esplicite come funzione diφ1, φ2, . . . , φp e diσ2 none immediato

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Previsione



La funzione di autocorrelazione di un AR(p)

• Piu semplice derivare le espressioni per leautocorrelazioniρ1, ρ2,. . ., ρp ed esprimere leautocovarianze comeγs ≡ ρsγ0

• Equazioni di Yule-Walker: le autocorrelazioni diritardos sono esprimibili in funzione dellepautocorrelazioni di ritardos− 1, . . . , s− p,s = 1, 2, . . . , p

ρs = φ1ρs−1 + . . . + φpρs−p, s = 1, 2, . . .

ρ0 = 1 per definizione

la funzione di autocorrelazionee una funzione pariper cuiρ(s) = ρ(−s)

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Esempio: funzione di autocorrelazione di un AR(2)

E(r2t ) ≡ γ0 = φ1γ1 + φ2γ2 + σ2 = φ1ρ1γ0 + φ2ρ2γ0 + σ2

=σ2

1− φ1ρ1 − φ2ρ2

chee funzione delle autocorrelazioniρ1 eρ2. Dato che

ρs = φ1ρs−1 + φ2ρs−2

ρ1 = φ1 + φ2ρ1 → ρ1 =φ1

1− φ2

ρ2 = φ1ρ1 + φ2 =φ2

1

1− φ2+ φ2

Per la varianza del processo otteniamo:

γ0 =(1− φ2)σ

2

(1 + φ2) ((1− φ2)2 − φ21)

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Il processo MA(q)

Il valore presente della variabilert dipende dal valorecorrente e daq valori passati del termine di disturbo

rt = εt + ψ1εt−1 + . . . + ψqεt−q

oppure, in forma compatta, utilizzando l’operatore diritardoL

rt = εt(1 + ψ1L + ψ2L2 + . . . + ψqL

q) ≡ ψ(L)εt

nella qualeψ(L) denota il polinomio completo di ordineq nell’operatore di ritardoL

(1 +

q∑τ=1

ψτLτ )

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Le generalizzazioni

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Previsione



• La stazionarieta del processoe assicurata dal fatto cheil processo MA(q) puo essere visto come untroncamento di un MA(∞) associato ad un processostazionario

• L’invertibilit a e assicurata quando le radicidell’equazione caratteristicaψ(z) = 0 sono tuttemaggiori di uno in modulo (perq > 1 si possonoavere radici complesse coniugate)

• La rappresentazione AR(∞) puo essere scritta come

ψ(L)−1rt = εt

con coefficientiφj funzione piuttosto complessa deglioriginali ψτ

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Caratteristiche del processo MA(q)

• La media di un processo MA(q)e uguale a zero

• La varianzae pari a

V ar(rt) = σ2(1 +

q∑τ=1

ψ2τ )

• Per l’autocovarianza si consideri il caso1 ≤ s ≤ q

γs = E(rtrt−s)

= E(εt + . . . + ψsεt−s + . . . + ψqεt−q)

(εt−s + . . . + ψq−sεt−q + . . . + ψqεt−s−q)

= σ2∑q

τ=s ψτψτ−s

Pers > q l’autocovarianzae uguale a zero (nessunasovrapposizione fra termini di disturbo inrt e in rt−s)

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio: il caso MA(2)

• La varianza di un processo MA(2)e uguale a

γ0 = σ2(1 + ψ21 + ψ2

2)

• Le autocovarianze di ordine 1 e 2 sono pari a

γ1 = σ2(ψ1 + ψ1ψ2)

γ2 = σ2(ψ2)

• Le autocorrelazioni risultano rispettivamente uguali a

ρ1 =ψ1 + ψ1ψ2

1 + ψ21 + ψ2

2

ρ2 =ψ2

1 + ψ21 + ψ2

2

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Il processo ARMA(p,q)

Rappresentazione piu generale

rt = φ1rt−1+φ2rt−2+. . .+φprt−p+εt+ψ1εt−1+. . .+ψqεt−q

Utilizzando l’operatore di ritardoL possiamo scrivere

(1− φ1L− . . .− φpLp) rt = (1 + ψ1L + . . . + ψqL

q)εt

φ(L)rt = ψ(L)εt

• Le condizioni di stazionarieta riguardano il polinomioφ(L)

• Le condizioni di invertibilita il polinomioψ(L)

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



La costante

• Finora abbiamo ipotizzato che il processo abbia unamedia pari a zero

• Generalizziamo al caso con media diversa da zerointroducendo un termine costante nell’equazione, cheindichiamo conα

φ(L)rt = α + ψ(L)εt,

• Esempio: un processo ARMA(1,1) con terminecostantee

rt = α + φrt−1 + εt + ψεt−1,

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



6. La stima

• Per poter utilizzare i processi generatori dei dati comemodelli adatti a descrivere la serie storica osservatadobbiamo poter attribuire dei valori numerici aiparametri incogniti: questa procedura va sotto il nomedi stima

• Le variabili casuali che definiscono il processostocastico hanno una funzione di densita diprobabilita congiunta

f (r1, r2, . . . , rT |θ)

che si suppone nota nella forma a meno dellaconoscenza dei parametriθ

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Ipotesi dirt indipendenti e identicamente distribuiti inmodo gaussiano:

f (r1, r2, . . . , rT |θ) = f (r1|θ)f (r2|θ) . . . f (rT |θ)

per l’indipendenza tra v.c.

=1√

2πσ2e− 1

2σ2 (r1−µ)2. . .

1√2πσ2

e− 1

2σ2 (rT−µ)2

per l’ipotesi di normalita

=

T∏t=1

(1√

2πσ2e− 1

2σ2 (rt−µ)2)

per l’ipotesi di identica distribuzione

=(2πσ2

)−T2 e

− 12σ2

∑Tt=1(rt−µ)2

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



La funzione di verosimiglianza

• La conoscenza diµ eσ2 nella la funzione di densitadi probabilita congiunta consente di valutare laprobabilita che ciascunrt sia compreso all’interno diun qualunque intervallo di interesse

• Ribaltiamo il ragionamento e consideriamo la stessafunzione di densita come funzione dei parametriθcondizionata alle realizzazioni delle variabili casualir1, . . . , rT nel campione osservato(

2πσ2)−T

2 e− 1

2σ2∑T

t=1(rt−µ)2= L(θ|r1, . . . , rT )

che definiamofunzione di verosimiglianza

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



La stima di massima verosimiglianza

• Ricerca dei valori dei parametri incogniti che rendonomassimo il valore della funzione di verosimiglianza

• Usuale passaggio al logaritmo naturale della funzionedella verosimiglianza (log-likelihood): in quantomonotona crescente, la trasformata logaritmica nonaltera i punti di massimo e minimo di una funzione

maxµ, σ2

lnL = maxµ, σ2

(−T

2ln(2πσ2

)− 1

2σ2

T∑t=1

(rt − µ)2

)

• rt − µ = εt consente di sfruttare le proprieta i.i.d.delle innovazioni

lnL =

(−T

2ln(2πσ2

)− 1

2σ2

T∑t=1

ε2t

)

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Caso in cuirt v.c. dipendenti

• La funzione di densita di probabilita congiunta puoessere scomposta nel prodotto tra la funzione didensita di rT condizionata alle realizzazioni dirT−1, . . . , r1, e la funzione di densita di probabilitacongiunta delle stesserT−1, . . . , r1:

f (r1, r2, . . . , rT |θ)

= f (rT |rT−1, . . . , r1; θ) f (rT−1, . . . , r1|θ)

• Ripetiamo l’operazione condizionandorT−1 ai valoriassunti dalle v.c. nei periodi precedenti

f (rT−1, . . . , r1|θ)

= f (rT−1|rT−2, . . . , r1; θ) f (rT−2, . . . , r1|θ),e cosı via

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Prediction error decomposition

• Prodotto di funzioni di densita di probabilita di unav.c. ad un certo istante condizionata ai valori assuntidalle v.c. precedenti e della funzione di densita diprobabilita congiunta di un numero ridotto (es.p) div.c. riferite ai periodi iniziali

f (r1, . . . , rT |θ) = f (rT |rT−1, . . . , r1; θ) . . . f (rp, . . . , r1|θ)

• Ciascunaf (rt|rt−1, . . . , r1; θ) e la funzione di densitadi probabilita di εt = rt − E(rt|rt−1, . . . , r1; θ)

• f (rp, . . . , r1|θ) usualmente omessa nella stima inquanto i valori iniziali possono essere consideraticostanti

• Funzione di verosimiglianza condizionatanel casogaussiano

lnLc = −T − p

2ln(2πσ2

)− 1

2σ2

T∑t=p+1

ε2t

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



La stima dei parametri di un processo AR(1)

• rt = φrt−1 + εt, t = 1, 2, . . . , T, 4

Gli εt sono i.i.d., ma non glirt, t = 1, 2, . . . , T

• rt − φrt−1 = εt, t = 2, . . . , T sono i.i.d. einterpretabili come differenza frart ed il suo valoreatteso, condizionato al valore assunto dalla variabilecasuale al periodo precedente

rt − φrt−1 = rt − E(rt|rt−1;φ, σ2) = εt

• La funzione di densita di rt condizionata a tutti ivalori precedentirt−1, . . . , r1 si riduce alla funzionedi densita di rt condizionata al solort−1

• La funzione di densita marginale dir1 data lastazionarieta e la densita di una generica v.c.rt convalore attesoE(r1) = 0 (= E(rt)) e varianzaV ar(r1) = σ2/(1− φ2) (= V ar(rt))

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Possiamo esprimere la funzione di densita diprobabilita congiuntaf (r1, . . . , rT |φ, σ2) delle v.c.che descrivono il processo come

f (rT |rT−1;φ, σ2)f (rT−1|rT−2;φ, σ

2) . . .

f (r2|r1;φ, σ2)f (r1|φ, σ2)

• Nell’ipotesi di εt i.i.d. normali che la funzione didensita congiunta puo essere scritta come

1√2πσ2

e− 1

2σ2 (rT−φrT−1)2× . . .× 1√

2πσ2e− 1

2σ2 (r2−φr1)2

× 1√2πσ2/(1− φ2)

e−1−φ2

2σ2 r21

• Escludiamo l’ultimo termine (equivalente aconsiderare costante il valore assunto dar1)

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Otteniamo la distribuzione di probabilita di r2, . . . , rTcondizionata ar1, f (r2, . . . , rT |r1;φ, σ2)

= f (rT |rT−1;φ, σ2) . . . f (r2|r1;φ, σ2)

=

T∏t=2

1√2πσ2

e− 1

2σ2 (rt−φrt−1)2

• Funzione di verosimiglianza (condizionata ar1)

L(φ, σ2|r2, . . . , rT ; r1) =

=

(1√

2πσ2

)T−1

e− 1

2σ2∑T

t=2(rt−φrt−1)2

e passando ai logaritmi

l(φ, σ2|r2, . . . , rT ; r1) =

= −T − 1

2ln(2πσ2)− 1

2σ2

T∑t=2

(rt − φrt−1)2

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Massimizzando rispetto aφ e aσ2 otteniamo

φ =

∑Tt=2 rtrt−1∑Tt=2 r

2t−1

(soluzione della stima dei minimi quadrati ottenibileregredendort surt−1) e

σ2 =1

T − 1

T∑t=2

(rt − φrt−1)2

• Lo stimatoreφ, data la stazionarieta, presenta unadistribuzione standard (normale)

• La statistica test per la verifica dell’ipotesi nullaφ = 0

t =φ

s.err.(φ)

si distribuisce come una v.c.t di Student conT − 2

gradi di liberta

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



La stima dei parametri di un processo MA(1)

• rt = εt + ψεt−1

• rt − ψεt−1 = εt, t = 1, . . . , T

possiamo sfruttare le proprieta di i.i.d. delleinnovazioni

• Supponiamoε0 = 0: il primo termine del processoer1 = ε1 (→ ε1 e osservabile)

• Per sostituzioni successive

ε1 = r1 − ψε0 = r1

ε2 = r2 − ψε1 = r2 − ψr1

ε3 = r3 − ψε2 = r3 − ψ(r2 − ψr1) = r3 − ψr2 + ψ2r1

. . . . . .

εt = rt − ψεt−1 =

t−1∑τ=0

(−ψ)τrt−τ

. . . . . .

εT = rT − ψεT−1 =

T−1∑τ=0

(−ψ)τrT−τ

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• La funzione di verosimiglianza (perεt i.i.d. gaussiani)

L(ψ, σ2|r1, . . . , rT ; ε0 = 0) = f (r1|ψ, σ2, ε0 = 0)

×f (r2|r1;ψ, σ2, ε0 = 0)× . . .

×f (rT |rT−1, . . . , r1;ψ, σ2, ε0 = 0)

=

(1√

2πσ2

)Te− 1

2σ2∑T

t=1 ε2t

=

(1√

2πσ2

)Te− 1

2σ2∑T

t=1(∑t−1

τ=0(−ψ)τ rt−τ)2

• Passando alla trasformazione logaritmica

l(ψ, σ2|r1, . . . , rT ; ε0 = 0)

= −T2

ln(2πσ2)− 1

2σ2

T∑t=1

(t−1∑τ=0

(−ψ)τrt−τ

)2

• Impossibile derivare un’espressione per lo stimatoreψ in forma chiusa

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Assumiamoσ2 noto e quindi da non stimare

• Il problema di trovare un valore diψ che massimizzila funzione di log-verosimiglianza puo essere vistocome quello di trovare un valore diψ che siasoluzione dell’equazione che uguaglia a zero laderivata prima

• Tecniche disoluzione numericaforniscono soluzioni,basate su algoritmi opportunamente programmati, cherendono le condizioni del primo ordineapprossimativamente valide

• Si tratta di procedure iterative: a partire da unacondizione iniziale suggeriscono soluzioni parzialiche diminuiscono via via il grado di approssimazionefino a che esso non raggiunga una soglia definitaaccettabile dall’utilizzatore

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Si consideri la derivata prima come una genericafunzioneg(ψ) ed una sua espansione in serie diTaylor per un valore inizialeψ0:

g(ψ) ≈ g(ψ0) + g′(ψ0)(ψ − ψ0)

• g(ψ) deve essere uguale a zero nel punto di massimoperl(ψ)

0 ≈ g(ψ0)+g′(ψ0)(ψ−ψ0) = g(ψ0)+g

′(ψ0)ψ−g′(ψ0)ψ0

e, quindi,ψ ≈ ψ0 − g(ψ0)

g′(ψ0)

• La procedura iterativa suggerisceψ1 = ψ0 − g(ψ0)

g′(ψ0)

• Affinche ψ sia un massimog(·) deve esseredecrescente (condizione del secondo ordine)

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Seψ0 e a sinistra diψ, g(ψ0) > 0 eg′(ψ0) < 0 → ψ0

sara incrementato di una quantita positiva

• Seψ0 e a destra diψ, g(ψ0) < 0 eg′(ψ0) < 0 → ψ1

sara piu vicino alla soluzione in quanto piu piccolo diψ0

• La procedura puo essere ripetuta fino a quando ladifferenza fra stime successive non siasufficientemente piccola→ si e raggiunta laconvergenza e l’ultimo valore ottenutoψn e la stimadi massima verosimiglianza

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di procedura iterativa per la stima di un unicoparametro

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Procedura iterativa per la stima del coefficienteψ in unprocesso MA(1) generato casualmente secondol’espressionert = εt − 0.3εt−1 conσ2 = 4 e ε0 = 0

Iter. ψ g(ψ) g′(ψ) −g(ψ)/g′ψ Log-ver.

0 0.000 −29.74 −81.76 −0.363 −211.2171 −0.363 2.145 −83.31 0.025 −205.9722 −0.337 . . . . . . . . . −205.953. . . . . . . . . . . . . . .7 −0.3442 0.0107 −80.05 0.000134 −205.951738 −0.3441 . . . . . . . . . −205.95173. . . . . . . . . . . . . . .13 −0.344166 5.8E− 05 −79.79 7.2E− 07 −205.9517314 −0.344165 . . . . . . . . . −205.95173

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



La stima dei parametri di un ARMA(p,q)

• La procedura di stima per un processo ARMA(p,q)euna generalizzazione di quanto visto finora

• Nel caso di un AR(p) (vale a dire un ARMA(p,0)) laprocedura piu semplice da adottaree una regressionedi rt sup ritardi rt−1, . . . , rt−p che utilizza ilcondizionamento della funzione dilog-verosimiglianza ai primip elementi del processo

• Le stime numeriche ottenute saranno diverse daquelle derivanti dalla regressione, ma equivalenti dalpunto di vista delle loro proprieta statistiche

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



7. Come riconoscere la forma di unprocesso

• Calcolo della funzione diautocorrelazione empirica(empiricalACF) come controparte stimata dellafunzione di autocorrelazione teorica

• Sulla base della varianzaγ0 =∑T

t=1(rt−r)2T

l’autocovarianza empirica di ordineτ e data da

γτ =

∑Tt=τ+1(rt − r∗)(rt−τ − r∗∗)

T − τ,

con r∗ media sulle ultimeT − τ osservazioni er∗∗

calcolata sulle primeT − τ , da cui l’autocorrelazioneempirica

T − τ

Tρτ =

∑Tt=τ+1(rt − r∗)(rt−τ − r∗∗)∑T

t=1(rt − r)2

T − τ ≈ T per campioni sufficientemente grandi

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• La funzione di autocorrelazione teorica risulta pari azero per alcuni ritardi dipendentemente dalleproprieta del processo

• Nella controparte empirica si sottopone a verifica perciascun coefficiente l’ipotesi nullaH0 : ρτ = 0, τ = 1, 2, . . .

lo standard errordello stimatore sottoH0 e pari a1/√T → la regione di accettazione al livello di

significativita del 5%e circa±2/√T

• I valori delle autocorrelazioni empiriche (calcolateper un numero di ritardi approssimativamente pari aT/4) possono essere riportati graficamente infunzione di valori crescenti diτ nelcorrelogramma

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di correlogramma: osservazioni simulate da unprocesso AR(1) con parametro0.8

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di correlogramma: osservazioni simulate da unprocesso AR(1) con parametro−0.8

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di correlogramma: osservazioni simulate da unprocesso MA(1) con parametro0.8

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di correlogramma: osservazioni simulate da unprocesso MA(1) con parametro−0.8

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di correlogramma: osservazioni simulate da unprocesso ARMA(1,1) con parametri0.4 e 0.1

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di correlogramma: osservazioni simulate da unprocesso ARMA(1,1) con parametri−0.7 e−0.1

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Esempio di correlogramma: osservazioni simulate da unprocessowhite noise

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Interpretazione

Lo strumento dell’autocorrelazione empirica, mediante ilconfronto con la funzione di autocorrelazione teoricatipica di determinati processi, costituisce un primo ausilionella scelta dell’ordine del processo:

• Andamento descrescente (in modo graduale) delleautocorrelazioni empiriche (significativamentediverse da zero) al crescere diτ → processogeneratore dei dati autoregressivo

• Autocorrelazione empirica non significativamentediversa da zero da un certo ordineq in poi risulta nonsignificativamente diversa da zero→ processogeneratore dei dati a media mobile di ordineq

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Test di Ljung-Box

• Per gruppi di coefficienti (ad esempio le primesautocorrelazioni) si sottopone a verifica l’ipotesiH0 : ρ1 = ρ2 = . . . = ρs = 0: statistica test diLjung-Box

QLB(s) = T (T + 2)

s∑τ=1

ρ2τ

T − τ.

• La statistica test nel campione assume sempre valorimaggiori di zero (somma di valori positivi) e risulterapiu lontana da zero se esisteranno alcuneautocorrelazioni empiriche fra 1 es di una certadimensione

• SottoH0, perT sufficientemente grande, la statisticatest si distribuisce come una variabile casualechi-quadrato cons gradi di liberta

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



La funzione di autocorrelazione parziale

• Il correlogramma da chiare indicazioni nel caso di unprocesso a media mobile, mentre i vari processi ARsono indistinguibili quanto a comportamento

• Ulteriore strumento che, grazie ad un comportamentospeculare rispetto alla funzione di autocorrelazione,consente di confermare e arricchire le ipotesi sullecaratteristiche del processo generatore dei dati:funzione di autocorrelazione parziale(partial ACF)

πτ =E(rtrt−τ |rt−1, . . . , rt−τ+1)

γ0

• La covarianza fra due variabili casuali appartenenti alprocesso, e riferite a diversi istanti temporali noncontigui, viene depurata dall’influenza delle variabilicasuali del processo a tempi intermedi

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Esempio: per un processo AR(1) avremo

π2 =E(rtrt−2|rt−1)

γ0

=E((φrt−1 + εt)rt−2|rt−1)

γ0

=φrt−1E(rt−2) + E(rt−2εt)

γ0= 0

dato che il valore atteso dirt−2 = 0 e chert−2 e εtsono incorrelati

• L’autocorrelazione parziale di un processo AR(1)euguale a 0 per tutti i ritardi superiori al primo

• Il risultato si estende a qualsiasi ordine del processo:per un AR(p) le autocorrelazioni parziali sonoidenticamente uguali a zero per ritardi superiori ap

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Nel caso di un processo MA(1),rt = εt + ψεt−1, persostituzioni successive fino al secondo ritardo, si ha

rt = εt + ψrt−1 − ψ2rt−2 + ψ3εt−3

Moltiplicando ambo i membri perrt−2 e calcolando ilvalore atteso condizionato art−1

E(rtrt−2|rt−1)

= E((εt + ψrt−1 − ψ2rt−2 + ψ3εt−3)rt−2|rt−1

)= E

((εtrt−2 + ψrt−1rt−2 − ψ2r2

t−2 + ψ3εt−3rt−2)|rt−1

)= 0 + 0− ψ2γ0 + ψ3E (εt−3(εt−2 + ψεt−3)|rt−1)

= −ψ2γ0 +ψ4σ2 = −ψ2(σ2(1+ψ2))+ψ4σ2 = −ψ2σ2

e quindiπ2 6= 0

• Perπ3 e seguenti l’autocorrelazione parziale nonemai zero, ma decresce esponenzialmente conl’aumentare del ritardoτ

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• L’autocorrelazione parziale di ordineτ e data dalcoefficiente di regressione associato art−τ nelmodello in cui il rendimentort e regredito surt−1, . . . , rt−τ piu una costante:

rt = β0 + β1rt−1 + . . . + βt−τ+1rt−τ+1 + πτrt−τ + εt

e, quindi, una misura della relazione lineare esistentetra rt e rt−τ al netto dell’influenza delle variabiliintermediert−1, . . . , rt−τ+1

• Le autocorrelazioni empiricheπτ sono date dallestime dei minimi quadrati dei coefficienti diregressione:

rt = β0 + β1rt−1 + . . . + βt−τ+1rt−τ+1 + πτrt−τ + εt

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Procedura da seguire

• A partire dal correlogramma (totale e parziale) dellaserie originaria si osservano quali siano leautocorrelazioni significative e si formula una ipotesidi modello

• Si osserva il correlogramma dei residui di stima delprimo modello specificato

1. il correlogramma della serie dei residuie tuttoall’interno della regione di accettazione→ laprocedura puo essere ripetuta provando un numeroinferiore di ritardi (sulla parte AR e/o la parte MA)

2. il correlogramma presenta ancora alcuneautocorrelazioni significative: emergonoindicazioni su dove inserire ulteriori ritardi oppuresi procede incrementando entrambi i ritardi eripetendo la procedura

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Criteri informativi

• La minimizzazione della varianza residua deve esserecontrobilanciata dal numero di parametri presentinella specificazione→ si valuta se il guadagno invarianza sia o meno superiore al “costo” dovutoall’incremento di parametri stimati

• Akaike Information Criterion(AIC)

AIC = ln

(∑Tt=1 ε

2t

T

)+

2(p + q)

T

• Schwartz Information Criterion(SIC)

ln

(∑Tt=1 ε

2t

T

)+

(p + q) lnT

T

• I due criteri, da minimizzare, non sono confrontabili:AIC tende a preferire unasovraparametrizzazione

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Correlogramma totale e parziale dei rendimentidell’indice Nikkei per il periodo 27/02/92-31/12/98

MQMFGallo Pacini





Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Risultato EVIEWS della stima di un modello AR(2) sullaserie dei rendimenti dell’indice Nikkei. Periodo

03/03/92-31/12/98

MQMFGallo Pacini





Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Correlogramma dei residui di stima del modello AR(2)sui rendimenti dell’indice Nikkei MQMF

Gallo Pacini





Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Risultato EVIEWS della stima di un modello alternativoARMA(2,1) sulla serie dei rendimenti dell’indice Nikkei

MQMFGallo Pacini





Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Correlogramma dei residui di stima del modelloARMA(2,1) sui rendimenti dell’indice Nikkei MQMF

Gallo Pacini





Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Rendimenti incorrelati ed efficienza

• L’assenza di correlazione nei rendimenti caratterizzala terza tipologia di processorandom walk

• La verifica dell’ipotesi di assenza di correlazione sibasa sullo studio della correlazione tra osservazionidella stessa serie a date diverse

• H0: i coefficienti di autocorrelazione delle differenzeprime logaritmiche dei prezzi a vari ritardi temporalisono congiuntamente pari a zero

• Tra gli strumenti a disposizione abbiamo l’esame delcorrelogramma e il calcolo della statistica Ljung-Box

• Strumento alternativo: statistica test calcolata comerapporto fra varianze (variance-ratio test)

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



Variance-ratio test

• Rapporto tra la varianza della somma di duerendimenti consecutivi e due volte la varianza delrendimentort:

V R(2) =V ar(rt + rt−1)

2V ar(rt)=

2γ0 + 2γ1

2γ0= 1 + ρ1

• Nell’ipotesi di rendimento i.i.d., dal momento chel’autocorrelazione del primo ordinee nulla, ilrapporto risulta pari a1

• In presenza di autocorrelazione positiva il rapportosara superiore a uno e inferiore in caso di rendimentinegativamente correlati

• Generalizziamo alla somma dis rendimenticonsecutivi

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



V R(s) =V ar(rt + rt−1 + . . .+ rt−s+1)

sV ar(rt)

=V ar(rt) + . . .+ V ar(rt−s+1)

sV ar(rt)

+2Cov(rt, rt−1) + . . .+ 2Cov(rt−s+2, rt−s+1)

sV ar(rt)

+2Cov(rt, rt−2) + . . .+ 2Cov(rt−s+3, rt−s+1)

sV ar(rt)

+ . . .+2Cov(rt, rt−s+1)

sV ar(rt)

=sγ0 + 2 ((s− 1)γ1 + . . .+ 2γs−2 + γs−1)

sγ0

= ρ0 + 2

(s− 1

sρ1 +

s− 2

sρ2 + . . .+

2

sρs−2 +

1

sρs−1

)= 1 + 2

s−1∑τ=1

(s− τ

s

)ρτ = 1 + 2

s−1∑τ=1

(1− τ

s

)ρτ

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Se i rendimenti sono incorrelati il rapporto travarianze osservato nel campione tende all’unitaall’aumentare del numero di osservazioni

• Le caratteristiche della sua distribuzione (inparticolare la varianza) dipendono dalla naturadell’eteroschedasticita presente

• Lo e MacKinlay (1988) suggeriscono√T (V R(s)− 1)√

4∑s−1

τ=1

(1− τ

s

)2δτ

(1)

dove

δτ =T∑T

t=τ+1 ε2t ε

2t−τ(∑T

t=1 ε2t

)2

• Per campioni di dimensione sufficientemente elevatasi distribuisce come una v.c. normale standardizzata

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Le generalizzazioni

La stima



Previsione



• Nel caso dis = 2, la statistica test diventa√T (V R(2)− 1)√

δ1=

V R(2)− 1√∑Tt=2 ε

2t ε

2t−1 /

(∑Tt=1 ε

2t

)2

• Esempio: variazioni mensili deiFederal Funds

ρ1 = 0.374 e V R = 1.374

La statistica test standardizza la differenza (0.374)con il valore dellostandard errorstimato (0.0938),fornendo il risultato 3.986 che, avendo unp-valuedi0.0003 risulta altamente significativo→ per la seriel’ipotesi delrandom walkviene quindi rifiutata pertutte le caratterizzazioni possibili del processo delleinnovazioni

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Previsione



8. Il test Augmented Dickey-Fuller

• Scarsa potenza del test di Dickey-Fuller se il processodelle innovazionie un processo non indipendentecome, per esempio, un AR(1) o un MA(1)

• Phillips e Perron suggeriscono una modifica dellastatistica test che tiene conto di una generica presenzadi autocorrelazione

• Il test di Dickey-Fuller puo essere modificato perprendere in considerazione l’eventualita che

pt = pt−1 + rt

conrt generato da un processo ARMA(p,q)→ in talcasopt segue un processo ARIMA(p,1,q)

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Le generalizzazioni

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Previsione



• La rappresentazione ARIMA(p,1,q) puo essereapprossimata da un ARIMA(n,1,0) conn ordine dellacomponente autoregressiva

• Il testAugmented Dickey-Fullersi basasull’equazione modificata

rt = γpt−1 + φ1rt−1 + . . . + φnrt−n + εt

conH0 : γ = 0 contro un’ipotesi alternativaH1 : γ < 1

• Lo stimatore diγ non ha una distribuzione standard

• La statistica testγ

s.e.(γ)

ha gli stessi valori critici derivati per via disimulazione per il test di Dickey-Fuller

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Le generalizzazioni

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Previsione



Augmented Dickey-Fuller Testsulla serie deiFederalFunds Rates. Dati mensili: luglio 1954-ottobre 2001.Fonte: FRED Database http://www.stls.frb.org/fred

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Previsione



9. Previsione

• Consideriamo il caso di un processo AR(1)

• Il problema della previsione puo essere interpretato intermini di valutazione del valore atteso condizionatodi rT+τ , τ > 0, ad una data successiva all’ultimoperiodo utilizzato per la stimaT , disponendo diinformazioni solo fino al tempoT

E(rT+τ |IT ) = E(φrT+τ−1|IT ) + E(εT+τ |IT )

= φE(rT+τ−1|IT )

• La previsioneτ periodi in avanti dipende,evidentemente, dalla previsione fatta inT perτ − 1

periodi in avanti

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Previsione



• Riformuliamo l’espressione come

E(rT+τ |IT ) ≡ rT+τ |T = φ rT+τ−1|T

• Quattro fonti di incertezza nella previsione dirT+τ :

1. la corretta specificazione del modello

2. la stimaφ del parametroφ

3. la previsionerT+τ−1|T invece del valore osservatorT+τ−1

4. l’uso del valore atteso diεT+τ chee uguale a zero

• Definiamoerrore di previsionela differenza fra valorerealizzatorT+τ e il suo valore atteso condizionato adun insieme informativo

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Previsione



Previsioneτ periodi in avanti per un AR(1)

• Proceduraricorsiva, a partire da una previsione unperiodo in avantirT+1|T = φ rT e, per sostituzionisuccessive,rT+2|T = φ rT+1|T = φ2 rT

• La previsioneτ periodi in avanti in funzione dirTsara uguale a

rT+τ |T = φτ rT

• Per un AR(p) la previsione al periodoT + τ sarafunzione delle previsioni ai tempiT + τ − 1, . . . , T + τ − p

• Esempio: p = 5 e τ = 3

rT+3|T = φ1rT+2|T +φ2rT+1|T +φ3rT +φ4rT−1+φ5rT−2

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Previsione



Previsioneτ periodi in avanti per un MA(1)

• Nel caso di un MA(1) si ha

rT+τ |T = εT+τ |T + ψ εT+τ−1|T ;

• Le due espressioni a destra dell’equazione sonouguali a zero perτ > 1 in quanto qualunque futurainnovazione ha valore atteso uguale a zero

• Perτ = 1 si ha invece

rT+1|T = ψ εT ,

conεT osservabile in funzione del rendimentorT edei rendimenti passati

• Nel caso MA(q) le previsioni saranno funzione delleinnovazioni qualora esse siano osservabili ed espressein termini dei rendimenti nel periodo campionario(τ ≤ q), mentre per orizzonti superiori le previsionisaranno uguali a zero

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Previsione



• Differenza fra le previsioni ottenute da un processoAR e un processo MAτ periodi in avanti (cf.autocorrelazioni totali):

– le prime decrescono esponenzialmente a partiredal valore determinato dalle osservazioni suirendimenti fino al tempoT

– le seconde saranno diverse da zero fino allaconcorrenza dell’orizzonteτ con l’ordine delprocesso e poi saranno uguali a zero

• Finora abbiamo parlato diprevisione dinamica: sipresuppone che l’informazione a disposizione siadisponibile su un periodo campionario fisso (da 1 aT ) e che l’orizzonte di previsione sia ad essosuccessivo (previsioneex ante) → situazione che siriscontra nella realta quando la disponibilita di nuovainformazionee subordinata al passaggio del tempo

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Previsione



Confronto tra serie osservata e previsione dinamica per irendimenti dell’indice Nikkei

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Previsione



Previsione ex post

• Al fine di valutare della capacita del modello e la suacorretta specificazione ci possiamo porre nellasituazione in cui il periodo usato per la stima nonesaurisce le informazioni a disposizione→ previsioneex post

• Consiste nel suddividere l’insieme di osservazioni indue sottoinsiemi, uno da1 aT (periodo campionario)da utilizzare per la stima del modello ed un altro, daT + 1 aT ∗ (periodo di previsione), per il quale ladisponibilita di osservazioni consente il confronto frale previsioni prodotte dal modello e le realizzazionidel processo per il periodo di previsione

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Previsione



Previsione statica

• Un diverso modo di procederee quello di effettuareuna previsione cosiddettaone-step aheado statica:modello stimato sul periodo campionario da1 aT cheviene risolto sul periodo di previsione daT + 1 aT ∗,sostituendo nella parte destra dell’equazione diprevisione i valori osservati disponibili

• Esempio: per un modello AR(1) utilizziamo il valoreosservato un periodo prima del periodo di previsione

rT+τ |T+τ−1 = φrT+τ−1

la stimaφ e ottenuta sulla base del periodocampionario e non viene aggiornato con i dati fino aT + τ − 1 → previsione piu accurata (si elimina unafonte di incertezza)

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Previsione



Esempio di previsione statica per i rendimenti dell’indiceNikkei

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Le generalizzazioni

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Previsione



Misure dell’errore di previsione

Nell’ipotesi di modello stimato con osservazionir1, r2, . . . , rT e previsione dei rendimenti daT + 1 aT ∗

• l’ errore assoluto medio(MAE)

1

T ∗ − T

T ∗∑s=T+1

|rs − rs|

media aritmetica semplice degli errori di previsione invalore assoluto

• la radice dell’errore quadratico medio(RMSE)√√√√ 1

T ∗ − T

T ∗∑s=T+1

(rs − rs)2

la radice quadrata della media aritmetica semplicedegli errori di previsione al quadrato (maggiore pesoagli errori piu consistenti)

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Previsione



• l’ indice di Theil√1

T ∗−T∑T ∗

s=T+1(rt − rt)2√1

T ∗−T∑T ∗

s=T+1 r2t +√

1T ∗−T

∑T ∗s=T+1 r

2t

assume valori tra zero e uno, segnalando in tal modole due situazioni estreme di adattamento perfetto(valore dell’indice pari a zero) o pessimo (valore paria uno)

• Perplessita sulla capacita di questo indice di ordinarecorrettamente, per valori intermedi, le previsioni sullabase della distanza dai valori osservati

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Previsione



10. Le anomalie di calendario

• Rendimenti anomali associati a momenti di passaggiodalla fine dell’anno all’inizio del nuovo, alcambiamento di settimana o mese di contrattazione

• Possibili spiegazioni: meccanismi noti cometax-losssellingdi fine anno ecash-flowdi fine mese

• A fine anno le imprese chiudono i loro bilanci, gliindividui devono far fronte al pagamento di imposte,contributi pensionistici o piu in generale ad unanecessita di maggior liquidita

• Questione di immagine: alcuni gestori preferisconodisfarsi di titoli ritenuti “imbarazzanti” per evitare cheappaiano nei rendiconti di fine anno, ricomprandoli inuna fase successiva

• Andamento al rialzo dei rendimenti all’inizio delnuovo anno: inversione di tendenza e riacquisto titoli

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Previsione



Esempio di effetto gennaio

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Previsione



Possibili spiegazioni alternative

• Titoli azionari a bassa capitalizzazione (small-capstocks)presentano rendimenti piu elevati rispetto adattivi ad alta capitalizzazione nel periodo da finedicembre a fine gennaio

• La diffusione di notizie negative durante il weekendconsente di spiegare l’effetto weekend, con riaperturaal ribasso all’inizio della settimana successiva

• Anomalie di calendario connesse con punti di svoltaconvenzionali nel decorrere del tempo, che non hannoin realta un particolare significato economico ma acui gli investitori attribuiscono una particolareimportanza (motivazione psicologica)

• Motivazioni del fatto che regolarita nelcomportamento dei mercati, ormai note ed accettatedal pubblico, non siano tuttora oggetto di arbitraggio:costi di transazione, rischi troppo elevati

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