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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Applicazioni della legge di AmpèrePotenziale Vettore

Lezione n. 23 – 20.3.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 70

Filo di raggio a percorso da corrente• Consideriamo un filo percorso da corrente• Non trascuriamo il raggio del filo• Supponiamo che la corrente sia dovuta

ad una densità di corrente uniformesulla sezione del filo

• Data la simmetria del problema le linee di campo sono delle circonferenze concentriche al filo• Possiamo utilizzare la legge di Ampère per calcolare il campo magnetico• All'esterno del filo r > a

• Uguagliando

• All'interno del filo r < a

2

SI d JS J aπ= ⋅ = =∫ J a

0S

d dμΓ

⋅ = ⋅∫ ∫B l J a 0Iμ= ( )2d rB rπΓ

⋅ =∫ B l

( ) 02 rB r Iπ μ= ( ) 0

2I

B rr

μπ

=

I

I

( ) 0 2

0

IJ r a

aJ rr a

π

⎧⎪⎪ = ≤⎪⎪= ⎨⎪⎪ >⎪⎪⎩

20

Sd J rπ⋅ =∫ J a ( )

20 0

2J r

B rr

μ ππ

= 002J r

μ= ( ) 0

22r

B r Ia

μπ

=

r

a

ra


Filo di raggio a percorso da corrente• Riepilogando

• Scriviamo adesso il campo in forma vettoriale

( ) 0

2I

B rr

μπ

= ( ) 022r

B r Ia

μπ

=r > a r < aI

r

a

x

y

φ

( ) 0 0

sin

ˆcos2 2

0

I Ir r a

r r φ

φμ μ

φπ π

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B e

( ) 0 02 2

sin

ˆcos2 2

0

Ir Irr r a

a a φ

φμ μ

φπ π

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = <⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B e

B


La spira "cosφ"• Consideriamo adesso il campo generato da due fili percorsi da corrente• La corrente nei due fili circola in senso opposto

• Consideriamo adesso i due fili sovrapposti• Nella regione di sovrapposizione la densità di corrente è nulla• Una regione vuota, senza materiale• Le densità di corrente che non si annullano sono come in figura• Trasportano una densità di corrente uniforme ma con versi opposti• Hanno una forma tale che la densità di corrente J varia come cosφ

• Consideriamo un punto nella regione J = 0• Dimostriamo che in questa regione il campo B ha solo la componente y• Inoltre il campo ha modulo costante• Ricordiamo che i campi dei due fili sono

a

r

I a

r

I

02sin

2x

IrB

aμ

φπ

= ∓ 02cos

2y

IrB

aμ

φπ

= ±


La spira "cosφ"

• Consideriamo in dettaglio la regione interna

• Campo uniforme diretto verso il basso

02sin

2x

IrB

aμ

φπ

= ∓ 02cos

2y

IrB

aμ

φπ

= ±

1 2x x xB B B= +

01 1 12

sin2x

IB r

aμ

φπ

=

02 2 22

sin2x

IB r

aμ

φπ

= −

( )01 1 2 22sin sin

2x

IB r r

aμ

φ φπ

= −

1 1 2 2sin sinr rφ φ=

0xB =

1 2y y yB B B= +

01 1 12

cos2y

IB r

aμ

φπ

= −

02 2 22

cos2y

IB r

aμ

φπ

=

( )02 2 1 12cos cos

2y

IB r r

aμ

φ φπ

= −

1 1 2 2cos cosr r dφ φ− =

022y

IB d

aμπ

= −

1r

1φ

2r

2φ

d

B


I dipoli di LHC

I

56 mm


I dipoli di LHC


Operatore ∇ applicato due volte• Le relazioni viste nella diapositiva contengono solo derivate prime• Applicando due volte l'operatore ∇ si ottengono espressioni

con derivate seconde• Una "derivata prima" costruita con ∇ può essere• Uno scalare costruito con la divergenza ∇⋅A• Si può calcolare il gradiente ∇(∇⋅A)• Un vettore costruito con un gradiente ∇φ• Si può calcolare la divergenza ∇⋅(∇φ) • Si può calcolare il rotore ∇×(∇φ)• Un vettore costruito con un rotore ∇×A• Si può calcolare la divergenza ∇⋅(∇×A)• Si può calcolare il rotore ∇×(∇×A)

• L'elenco esaurisce tutte le possibilità• Alcune espressioni le abbiamo già incontrate• Nello studio dell'elettrostatica• Il gradiente della divergenza è poco utile in fisica• Le ultime due si possono facilmente calcolare in coordinate

cartesiane utilizzando la definizione esplicita di ∇• Con ∇2A si intende l'applicazione di ∇2 a ogni componente di A

= ∇2φ= 0

= 0= ∇(∇⋅A) − ∇2A

2

2 2

2

x

y

z

A

A

A

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

A∇

∇ ∇∇

113655


Operatore ∇ applicato due volte• Verifichiamo la relazione

• Ricordiamo le componenti di ∇×A

• Calcoliamo la divergenza

( ) 0⋅ × =A∇ ∇

( ) yzx

AAy z

∂∂× = −

∂ ∂A∇ ( ) x z

y

A Az x

∂ ∂× = −

∂ ∂A∇ ( ) y x

z

A Ax y

∂ ∂× = −

∂ ∂A∇

( )⋅ ×A∇ ∇ yzAA

x y z

⎛ ⎞∂∂∂ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠x zA A

y z x

⎛ ⎞∂ ∂∂ ⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠y xA A

z x y

⎛ ⎞∂ ∂∂ ⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠22yzAA

x y x z

∂∂= −

∂ ∂ ∂ ∂

2 2x zA A

y z y x∂ ∂

+ −∂ ∂ ∂ ∂

2 2y xA Az x z y

∂ ∂+ −

∂ ∂ ∂ ∂

22z yA

xAx y z

∂−=

∂ ∂∂ ∂∂ 22

x zAy

Ay z x

∂−+

∂ ∂∂ ∂∂ 22

y xAz

A

z x y∂

−+∂ ∂∂ ∂

∂

( ) 0⋅ × =A∇ ∇


Il potenziale vettore• In elettrostatica l'osservazione che la circuitazione di E era nulla ha permesso di introdurre il potenziale elettrostatico• Ricordiamo la proprietà

• Assumiamo che il campo elettrico E abbia la forma

• Sottolineiamo che φ è determinato a meno di una costante• L'equazione di campo è automaticamente soddisfatta

• In magnetostatica si può procedere in modo analogo• Abbiamo visto che il campo magnetico B soddisfa l'equazione

• Questa equazione è soddisfatta automaticamente ponendo

• Il campo A prende il nome di Potenziale Vettore• Il campo A non è univocamente definito (è definito a meno di un gradiente)• Tutti i campi A → A + ∇φ producono lo stesso campo B

φ= −E ∇

0⋅ =B∇

= ×B ∇ Α

( ) 0φ× =∇ ∇

×E∇ ( ) 0φ× == −∇ ∇


Il potenziale vettore• Continuiamo il parallelo fra elettrostatica e magnetostatica• In elettrostatica, dopo avere posto E = −∇ φ, la legge di Gauss portava

all'equazione per il potenziale φ

• La legge di Gauss definisce il legame fra il campo E e la sua sorgente (la carica elettrica)

• Ripetiamo gli stessi passi nella magnetostatica• Esprimiamo B tramite il potenziale vettore

• Utilizziamo la legge di Ampère in forma differenziale

• Sostituendo B = ∇×A

• Nella diapositiva abbiamo visto che

( )0

ρφ

ε⋅ = −∇ ∇φ= −E ∇

0

ρε

⋅ =E∇ 2

0

ρφ

ε= −∇

= ×B ∇ Α

0μ× =B J∇

( ) 0μ× × =A J∇ ∇

( ) ( ) 2× × = ⋅ −A A A∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ( ) 20μ⋅ − =A A J∇ ∇ ∇

78877


Il potenziale vettore

• Abbiamo già notato che il potenziale vettore A non è univocamente definito• Si può sommare un campo che è il gradiente di un campo scalare, ∇f(r), e

ottenere lo stesso campo B• Si può dimostrare che è sempre possibile trovare una funzione f(r) tale che

• Possiamo pertanto utilizzare la non univocità del potenziale vettore per imporre che ∇⋅A = 0 ed eliminare il primo termine dell'equazione• Pertanto l'equazione per A diventa

• Ribadiamo il significato di questa notazione (in coordinate cartesiane)• L'operatore laplaciano viene applicato indipendentemente a ciascuna delle tre componenti di A

• Matematicamente abbiamo tre equazioni di Poisson• Conosciamo le soluzioni

( ) 20μ⋅ − =A A J∇ ∇ ∇

( ) 0f⋅ + =A∇ ∇

20μ− =A J∇

20x xA Jμ= −∇ 2

0y yA Jμ= −∇ 20z zA Jμ= −∇

( ) ( )0

4k

k

JA dV

μπ

′′=

′−∫r

rr r

( ) ( )0

4dV

μπ

′′=

′−∫J r

A rr r


Il potenziale vettore

• L'integrale è esteso a tutto lo spazio• La condizione per la sua convergenza è che la densità di corrente J tenda a

zero all'infinito

• La densità di corrente tende a zero più velocemente di 1/r2• Il potenziale vettore risulta meno utile del potenziale elettrico• È una grandezza vettoriale (tre componenti; il potenziale elettrico solo una)• Comunque in casi particolari si può definire un potenziale magnetico scalare che ha qualche utilità per problemi con materiali magnetici

• Tuttavia il potenziale vettore è di fondamentale importanza• Come strumento teorico nello sviluppo dell'elettrodinamica• Nella trattazione dei problemi con forze elettromagnetiche in meccanica

quantistica• Per un circuito con un filo …

( ) ( )0

4dV

μπ

′′=

′−∫J r

A rr r

( )2 0r r→ → ∞J r

( ) 0

4 C

dI

μπ

′=

′−∫ rA r

r r( )

C

d dd I

′ ′⋅ ′′ →

′ ′− −∫ ∫J r a r

rr r r r


Teorema di Helmholtz• Vale la pena sottolineare alcuni aspetti matematici• Abbiamo trovato delle equazioni differenziali per i campi E e B• In entrambi i casi le equazioni definiscono il rotore e la divergenza del campo

• È legittimo chiedersi se matematicamente il problema è ben posto• Il teorema di Helmholtz assicura che quanto asseriamo è matematicamente consistente

Teorema di HelmholtzSia dato un campo vettoriale F(r) tale chea) ∇⋅F = ρ(r)b) ∇×F = J(r)c) Le funzioni ρ(r) e J(r) si annullano all'infinito più velocemente di 1/r2Sotto queste condizioni il campo F(r) è univocamente determinato e ha la forma

dove

U= − + ×F A∇ ∇

( ) ( )14

U dVρ

π

′′=

′−∫r

rr r

( ) ( )14

dVπ

′′=

′−∫J r

A rr r

irr sol≡ +F F

irr 0× =F∇sol 0⋅ =F∇Componente solenoidale

Componente irrotazionale


Il potenziale vettore• Abbiamo già notato che il potenziale vettore è di scarsa utilità per i problemi elementari che trattiamo in questo corso• Vogliamo tuttavia familiarizzare un po' con questa nuova grandezza• Purtroppo il calcolo del potenziale vettore del filo infinito con la formula

introdotta nella diapositiva non è possibile• La corrente non va a zero all'infinito• Anche il calcolo del potenziale vettore per una spira circolare è di poca

utilità• È semplice solo sull'asse della spira• Non è sufficiente per calcolarne il rotore e quindi il campo B

• Tuttavia cerchiamo di capire la forma del potenziale vettore in alcuni semplici casi senza l'uso della formula integrale citata• Faremo il percorso inverso: noto il campo B troveremo il potenziale A !• Il caso più semplice è quello del potenziale vettore di un

campo magnetico B costante• Assumiamo B lungo l'asse z: Bz = B0, Bx = By = 0

79381

0yzx

AAB

y z

∂∂= − =

∂ ∂0x z

y

A AB

z x∂ ∂

= − =∂ ∂ 0

y xz

y

A AB B

x

∂ ∂= − =

∂ ∂


Potenziale vettore di un campo costante

• Una possibile scelta potrebbe essere

• Una scelta alternativa

• O anche la media delle due soluzioni trovate

• Con una formulazione indipendente dall'orientamento di B

• Si verifica facilmente che

0yzx

AAB

y z

∂∂= − =

∂ ∂0x z

y

A AB

z x∂ ∂

= − =∂ ∂ 0

y xz

y

A AB B

x

∂ ∂= − =

∂ ∂

00 0x y zA A B x A= = =

0 0 0x y zA B y A A= − = =

0 0

1 10

2 2x y zA B y A B x A= − = =

0 0

1 12 2

= × = − ×A B r r B

0⋅ =A∇ 0× =A B∇


Potenziale vettore di un filo• Consideriamo un filo di raggio a percorso dauna corrente i• All'interno del filo la densità di

corrente J è uniforme e vale

• Ricordiamo la formula per il potenziale vettore

• Si vede immediatamente che

• Sfortunatamente per la densità di corrente data la formula per Az diverge• Tuttavia, matematicamente, Az è identico al

potenziale elettrostatico di un filo infinito di raggio a e densità lineare λ data da• Il potenziale è

( ) ( )101

14dV

μπ

=−∫

J rA r

r r

20 0x y z

iJ J J

aπ= = =

0 0x yA A= = ( ) ( )101

14z

z

JA dV

μπ

=−∫

rr

r r

20 0

02 2 2zJ a iμ μλ

ππε π π

= =

( )0

ln2

ra

λφ

πε′

= −r

2 2r x y′ = +

( ) 0 ln2z

rA i

aμπ

′= −r

x

y

zi

0x yJ J= =


Potenziale vettore di un filo

• Calcoliamo il campo magnetico• La componente Bz è nulla (Ax = Ay = 0)

• Calcoliamo le componenti Bx e By

( ) 0 ln2z

rA i

aμπ

′= −r

yzx

AAB

y z

∂∂= −

∂ ∂x z

y

A AB

z x∂ ∂

= −∂ ∂

y xz

A AB

x y

∂ ∂= −

∂ ∂

2 2r x y′ = +

0=

zx

AB

y∂

=∂

0 12

rir y

μπ

′∂= −

′ ∂0 12

yir r

μπ

= −′ ′

0 1 sin2ir

μφ

π= −

′

zy

AB

x∂

= −∂

0 12

rir x

μπ

′∂=

′ ∂0 12

xir r

μπ

=′ ′

0 1 cos2ir

μφ

π=

′

x

y B

φr ′

x

y

z

B

i

BB

0 1 ˆ2ir φ

μπ

=′

B e


Potenziale di una spira• Calcoliamo infine il potenziale vettore di una spira• Facciamo un calcolo utile per il futuro del nostro studio• Una formula approssimata per distanze grandi dal centro della spira• Analogo alla forma del dipolo elettrico• Sarà utile nello studio dei campi magnetici nella materia

• Utilizziamo una derivazione matematica utilizzando i vettori

• Sviluppiamo il denominatore

• Approssimando al primo ordine di r1/r

• Otteniamo

( ) 0 1

14C

dI

μπ

=−∫ r

A rr r

( )12

1 2 21 2 1 12r r

−−− = + − ⋅r r r r

1 11 2 2

11

r r

− ⎛ ⎞⋅ ⎟⎜− ≈ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠r r

r r

( ) 0 01 1 13

( )4 4C C

I Id d

r rμ μπ π

= + ⋅∫ ∫A r r r r r

1121

x

x≈ +

−

xy

zr

1r

122

1 12 2

11 2r

r r r

−⎛ ⎞⋅ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠r r


Potenziale di una spira

• Il primo termine è nullo• Sviluppiamo l'integrando del secondo termine• Utilizziamo l'identità A×(B×C) = B(A⋅C) – C(A⋅B)

• Inoltre

• Sommiamo le due equazioni• I termini r1(r⋅dr1) si elidono

• Utilizziamo la relazione trovata nel secondo integrale di A(r)

( ) 0 01 1 13

( )4 4C C

I Id d

r rμ μπ π

= + ⋅∫ ∫A r r r r r

( ) ( ) ( )11 11 1 1d d d× × = ⋅ − ⋅rr r r r rr rr

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1d d d⋅ = ⋅ + × ×r r r r r r r r r

( ) ( ) ( )11 1 1 1 1dd d⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⋅ +r r rrr r r r r

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1d d d⎡ ⎤⋅ = ⋅ − ⋅⎣ ⎦r r r r r r r r r

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12d d d⎡ ⎤⋅ = ⋅ + × ×⎣ ⎦r r r r r r r r r

ordine scambiato


Potenziale di una spira

• Il primo integrale è ancora una volta un differenziale esatto• L'integrale su un cammino chiuso è nullo

• Definiamo il momento magnetico m del circuito

• Otteniamo l'espressione finale per il potenziale vettore di una spira (dipolo)

• Sottolineiamo che si tratta di una formula approssimata• Valida solo per r molto maggiore delle dimensioni del circuito• Approssimazione di dipolo• Il termine di monopolo è nullo

( ) 01 134 C

Id

rμπ

= ⋅∫A r r r r ( ) ( )01 1 1 13

14 2 C C

Id d

rμπ

⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ + × ×⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫r r r r r r

( ) ( )01 13

14 2 C

Id

rμπ

= × ×∫A r r r r( ) ( )01 13 2

14 C

drIμ

π×= ×∫ rr rA r

1 12 C

Id= ×∫m r r

( ) 034 r

μπ

= ×r

A r m

1 0Cd =∫ r


Il momento di dipolo magnetico

• Cerchiamo adesso di comprendere meglio il significatodella definizione di momento magnetico della spira • Specializziamolo al caso di una spira circolare

• Pertanto il momento magnetico è

• Il momento magnetico m è un vettore• Perpendicolare al piano che contiene la spira• Il modulo è uguale al prodotto della corrente per la superficie della spira

1 12 C

Id= ×∫m r r

xy

z

θ 1dr1ra I

1 ˆ ˆcos sinx ya aθ θ= +r e e

11d

d dd

θθ

=r

r ( )ˆ ˆsin cosx y adθ θ θ= − +e e

1 1d×r r ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx y x ya adθ θ θ θ θ= + × − +e e e e

( )2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆcos sinx y y x a dθ θ θ= × − ×e e e e ( )2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆcos sinx y x y a dθ θ θ= × + ×e e e e 2ˆza dθ= e

2ˆ2 zC

Ia dθ= ∫m e 2ˆ2

2 z

Iaπ= e 2ˆ

zI aπ= e

m

312

d= ×∫m r J r1 1

12 CJS d= ×∫ r r 1J r


Esempio 2: una spira non piana• Consideriamo adesso la spira in figura• La corrente della spira è I• Supponiamo che tutti i segmenti abbiano la

stessa lunghezza w• Metà della spira giace nel piano x−z• L'altra metà della spira giace nel piano y−z

• La spira è equivalente a due spire piane• Le due correnti evidenziate in rosso e in blu

si elidono quando si combinano le due spire pianeper formare la spira iniziale

• Il momento magnetico delle due spire è semplice• Per la spira 1• Per la spira 2

• Il momento magnetico della spira composta dallespire 1 e 2 è pertanto

• Un vettore nel piano z−y, inclinato di 45o rispetto all'asse x e di modulo

x

y

z

x

y

z

w

w

I

12

1 ˆyw I=m e 1m

2m

m

1 2= +m m m ( )2 ˆ ˆy zw I= +e e

22 ˆzw I=m e

22w I=m

2


Potenziale di una spira• Specializziamo al caso di un circuito con momento magnetico diretto lungo l'asse z• Ad esempio la spira dell'esempio precedente

• Le componenti del potenziale vettore sono

• Le linee di campo di A(r) sono circonferenze concentriche con l'asse z

( ) 034 r

μπ

= ×r

A r m 03

ˆ4 z rμπ

= ×r

m e

ˆ ˆ ˆx y zx y z= + +r e e e

xy

z

φ⊥r

mr

A

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz z x y zx y z× = × + +e r e e e e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz z x z yx y× = × + ×e r e e e e ˆ ˆy xx y= −e e

034x

yA

rμπ

= − m

034y

xA

rμπ

= m

0zA =

ˆ ˆx yx y= +e e

03sin

4rr

μφ

π⊥= − m

03

cos4

rr

μ φπ

⊥= m

( ) 03ˆ

4rr φ

μπ

⊥=A r m e

( ) 02

sinˆ

4 r φ

μ θπ

=A r m e

θ


Il campo magnetico del dipolo• Possiamo adesso calcolare il campo magnetico• È conveniente fare il calcolo in coordinate sferiche• Il potenziale vettore ha solo la componente Aφ

• Ricordiamo l'espressione del rotore in coordinate sferiche

• La componente Bφè nulla (Aθ = Ar = 0)

• Da confrontare con il campo del dipolo elettrico

( ) 02

sinˆ

4 r φ

μ θπ

=A r m e

( ) ( )1 1 1 1ˆ ˆ ˆsin

sin sinr r

r

A A AA rA rA

r r r r rθ

φ φ θ θ φθθ θ φ θ φ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥× = − + − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦A e e e∇ +

( )1sin

sinrB Ar φθ

θ θ∂

=∂

03

2 sin cos4 sin rμ θ θπ θ

= m 03

2 cos4 rμ θπ

= m

( )1B rA

r rθ φ

∂= −

∂0

2

1 sin4r

r r rμ θπ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠m 0

2

1 1sin

4r rμ

θπ

⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠m

03

sin4

Brθ

μ θπ

= m 03

2 cos4rB rμ θπ

= m ( )3

0

1ˆ ˆ2 cos sin

4 rp

rθθ θ

πε= +E e e


Il campo magnetico del dipolo• Le linee di campo sono come in figura

• Sottolineiamo che le formule dannoil campo a grandi distanze• A piccole distanze i campi sono molto

differenti

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