elettromagnetismo 2 (2017-2018);6 - mi.infn.itragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Prof....

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Onde elettromagneticheEquazione dell'onda

Soluzione dell'equazione dell'ondaOnde piane. Polarizzazione

Lezione n. 34 – 15.05.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 345

Corrente superficiale• Una densità di corrente superficiale infinita genera un campo magnetico parallelo al piano della corrente e perpendicolare alla direzione della stessa• La legge di Biot e Savart implica che B non possa

essere parallelo a K e quindi By = 0• La componente Bx deve essere nulla per simmetria

• Infatti se u → −u deve anche essere B → −B• Ma la trasformazione della velocità può essereottenuta da una rotazione di π intorno all'asse x• Non cambia il segno di Bx e quindi Bx = 0

• Pertanto il campo magnetico è diretto lungo l'asse z• Sempre utilizzando la legge di Biot e Savart ci

si può convincere che

• Utilizziamo la legge di Ampère

x

y

z

K σ= u

x

z

L

02

ˆ4d

d ir

μπ

×=

l rB

ˆ 0zB x= − >B e ˆ 0zB x= + <B e

02BL KLμ=0

0

ˆ 02

ˆ 02

z

z

Kx

Kx

μ

μ

⎧⎪⎪− >⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪+ <⎪⎪⎪⎩

eB

e

BB

BB


Un'onda elettromagnetica• Consideriamo ancora l'esempio precedente

• Ignoriamo il campo elettrico generato dal piano di carica • Possiamo sempre immaginare che ci sia un altropiano di densità −σ che si muove con velocità –u

• Il piano è fermo per t < 0, inizia a muoversi a t = 0• Per t < 0 il campo magnetico è nullo• Per t > 0 il campo diventa B = μ0K/2

• Tuttavia per distanze x > vt il campo deve essere nullo• Chiamiamo v la velocità di propagazione del campo magnetico

• Visto dall'alto il campo magnetico appare come in figura• La regione di transizione fra B ≠ 0 e B = 0è determinata dal modo in cui il pianodi carica passa dallo stato di quiete al moto• Se l'accelerazione è molto rapida

la transizione è più netta

x

y

z

K σ= u

x

y

vtvt

BB

0=B0=B

xΔB−

0B =0zB

x∂

>∂

entranteuscente

vt v t= Δ


Un'onda elettromagnetica• Nella regione di transizione c'è una variazionedel campo magnetico nello spazio e nel tempo• Studiamo la transizione con l'equazione di Maxwell

• Il rotore ha una sola componente non nulla• Le componenti Bx e By sono nulle

• Pertanto nella regione di transizione compareun campo elettrico

x

y

z

K σ= u

BB

0 0 tε μ

∂× =

∂E

B∇

( ) yzx

BBy z

∂∂× = −

∂ ∂B∇

( ) x zy

B Bz x

∂ ∂× = −

∂ ∂B∇

( ) y xz

B Bx y

∂ ∂× = −

∂ ∂B∇

( ) zy

Bx

∂× = −

∂B∇

0 0y zE Bt x

ε μ∂ ∂

= −∂ ∂

0

t

yy

EE dt

t

Δ∂

=∂∫

xΔB−

0B =

vt v t= Δ

0 0 0

1x

zB dxx vε μ

Δ∂

= −∂∫

0 0

1y zE B

vε μ= −

E

0 0

1yE B

vε μ= − Δ

J ≠ 0 solo per z = 0

00 0

1 B

zdBvε μ

Δ

= − ∫0 0 0

1t

zB dtxε μ

Δ∂

= −∂∫


Un'onda elettromagnetica• Possiamo utilizzare anche l'altra equazione di Maxwell

• Dato che solo la componente z di B è diversa da zero → solo (∇×E)z ≠ 0

• La componente Ex potrebbe essere costante. La assumiamo nulla• Tutto il nostro ragionamento è definito a meno di campi costanti

• Possiamo calcolare il campo magnetico

• La variazione del campo elettrico genera a sua volta un campo magnetico• Le due relazioni trovate devono essere compatibili

• La velocità di propagazione è determinata dalle costanti ε0 e μ0

t∂

× = −∂B

E∇

( ) y xz

E Ex y

∂ ∂× = −

∂ ∂E∇ zB

t∂

= −∂

yE

x

∂=

∂y zE Bx t

∂ ∂= −

∂ ∂

0

tz

z

BB dt

t

Δ ∂=

∂∫0

tyE dtx

Δ ∂= −

∂∫0

xyE dxx v

Δ ∂= −

∂∫0

1 E

ydEv

Δ

= − ∫

1z yB E

v= −

1yEv

= −

0 0

1y zE B

vε μ= −

0 0

1v

vε μ= 2

0 0

1v

ε μ=


Un'onda elettromagnetica• Riassumiamo quanto abbiamo capito

• Il passaggio dallo stato di quiete allo stato di motodel piano di carica genera un'onda elettromagnetica• L'onda viaggia con velocità

• Nelle immediate vicinanze della corrente superficiale il campo magnetico è generato dalla corrente superficiale

• Allontanandosi dalla sergente i campi sono generati dalle loro variazioni spazio-temporali

• Le variazioni del campo B generano localmente il campo E (Faraday)• Le variazioni del campo E generano localmente il campo B (Maxwell)

• I campi sono perpendicolari fra di loro• Perpendicolarità imposta dalle equazioni di Maxwell (introdotta dal rotore)

• I campi sono perpendicolari alla direzione di propagazione• Vedremo che dipende dalle equazioni ∇⋅E = 0 e ∇⋅B = 0

x

y

z

K σ= u

B

E

0 0

1v

ε μ=

t∂

× = −∂B

E∇ 0 0 tμ ε

∂× =

∂E

B∇

v risulta essere lavelocità della luce

0 0

1c

ε μ=


Un'onda elettromagnetica• Supponiamo che dopo un tempo T lo strato di carica venga arrestato

• L'andamento della corrente nel tempo è stato come in figura• La corrente non genera più il campo magnetico• Si forma una zona senza campo

• Il campo generato nell'intervallo 0 ≤ t ≤ Tcontinua a viaggiare nelle due direzioni

• Complessivamente il fenomeno è stato• La corrente ha generato un'onda elettromagnetica

• Radiazione• Il campo si è disaccoppiato dalla sorgente

• I campi E e B si sostengono a vicenda• Propagazione

• Nelle regioni in cui i campi sono diversida zero è immagazzinata energia

• Questa energia proviene dal lavoro fatto per generare l'onda• Nello "spingere" la carica si deve vincere una "resistenza" di radiazione

x

y

cTcT ctct

t

K

T

20

2EU E dVε

= ∫ 2

0

12MU B dVμ

= ∫


Equazione dell'onda• Scriviamo adesso l'equazione di propagazione dei campi E e B dopo che l'onda è stata generata• Utilizziamo le equazioni di Maxwell nel vuoto con ρ = 0 e J = 0

• Si tratta di un sistema di equazioni differenziali accoppiate• Per disaccoppiare i campi E e B calcoliamo il rotore delle ultime due

equazioni• Utilizziamo l'identità (diapositiva )

• Applichiamola alla terza equazione

• Utilizziamo la quarta equazione

• È una forma compatta per indicare le tre equazioni

0⋅ =E∇t

∂× = −

∂B

E∇0⋅ =B∇2

1tc

∂× =

∂E

B∇

( ) ( ) 2× × = ⋅ −A A A∇ ∇ ∇ ∇ ∇78877

( ) ( ) 2× × = ⋅ −E E E∇ ∇ ∇ ∇ ∇ 2= − E∇t

∂= − ×

∂B∇

t∂ ×

= −∂

B∇

2

t∂ ×

− = −∂

BE

∇∇2

22 2

1c t

∂=

∂E

E∇

22

2 2

1 xx

EE

c t∂

=∂

∇2

22 2

1 yy

EE

c t

∂=

∂∇

22

2 2

1 zz

EE

c t∂

=∂

∇

0 0ε μ


Equazione dell'onda• Si può dimostrare che anche le componenti Bx, By, Bz del campo magnetico soddisfano la stessa equazione

• Inoltre verificheremo in seguito che anche il potenziale vettore A e il potenziale scalare φ soddisfano la stessa equazione dell'onda

• Da un punto di vista matematico si tratta di una equazione differenziale alle derivate parziali di tipo iperbolico

• Per risolverla occorre definire le condizioni iniziali

• Ad esempio nel caso unidimensionale

22

2 2

1c t

∂=

∂B

B∇

22

2 2

10

ffc t

∂− =

∂∇

( ) ( )1, 0f h=r r( ) ( )2

0

,

t

f th

t=

∂=

∂

rr

x( ), 0f x1h

2 2

2 2 2

10

f fx c t

∂ ∂− =

∂ ∂x

( ), 0f x′2h


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Le equazioni trovate sono una generalizzazione a tre dimensioni dell'equazione dell'onda in una dimensione

• Com'è noto nel caso unidimensionale la soluzione generale è

• Naturalmente la funzione Ey = −μ0cKRT(x−ct) soddisfail nostro problema della corrente superficiale infinita

• Per correnti parallele ai piani x−y e x−z le soluzioniavrebbero potuto essere

• La caratteristica saliente di queste soluzioni è che il campo è costante sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione• Nel caso in cui la direzione di propagazione sia arbitraria

( ) ( )22

2 2

,1,

f tf t

c t

∂=

∂

rr∇

( ) ( )2 2

2 2 2

, ,1f x t f x t

x c t

∂ ∂=

∂ ∂

( ), ( ) ( )f x t u x ct v x ct= − + + u,v sono funzioni continue (con derivata continua)

t

TR

T

( )0x TE cKR z ctμ= − − ( )0z TE cKR y ctμ= − −

ˆx ct ct− → ⋅ −k r x

y

z k̂

1


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Cerchiamo le soluzioni dell'equazione dell'onda uni-dimensionale utilizzando la trasformata di Fourier• La trasformata di Fourier è definita come

• Le formule precedenti sono facilmente generalizzabili al caso di una funzione di due variabili

• Calcoliamo le derivate di f(x,t)

• Introduciamo nell'equazione

( ) ( )2 2

2 2 2

, ,1f x t f x t

x c t

∂ ∂=

∂ ∂

( ) ( ) i tF f t e dtωω+∞

−

−∞

= ∫

2

1( , ) ( , )

(2 )ikx i tf x t F k e e dkdωω ω

π

+∞+ +

−∞

= ∫( , ) ( , ) ikx i tF k f x t e e dxdtωω+∞

− −

−∞

= ∫

1( ) ( )

2i tf t F e dωω ω

π

+∞+

−∞

= ∫

22

2 2

1( , ) ( , )

(2 )ikx i tf x t k F k e e dkd

xωω ω

π

+∞+ +

−∞

∂= −

∂ ∫2 2

2 2 2 2

1 1( , ) ( , )

(2 )ikx i tf x t F k e e dkd

c t cωω

ω ωπ

+∞+ +

−∞

∂ −=

∂ ∫

( ) ( )2 2

2 2 2

, ,10

f x t f x t

x c t

∂ ∂− =

∂ ∂

22

2 2

1( , ) 0

(2 )ikx i tk F k e e dkd

cωω

ω ωπ

+∞+ +

−∞

⎛ ⎞⎟⎜− + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Pertanto la trasformata di f(x,t) deve soddisfare la seguente relazione

• Significa che

• D'altro canto

• Vediamo che ha proprietà simili a quelle di δ(x)• È quasi sempre nulla• Il suo integrale è finito• È una funzione singolare

• Utilizziamo la proprietà della funzione δ(x)

22

2 2

1( , ) 0

(2 )ikx i tk F k e e dkd

cωω

ω ωπ

+∞+ +

−∞

⎛ ⎞⎟⎜− + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫2

22

( , ) 0k F kcω

ω⎛ ⎞⎟⎜ − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( , ) 0F k ω = escluso il caso2

22

0kcω⎛ ⎞⎟⎜ − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

nel qual caso può essere qualsiasi

2

1( , ) ( , )

(2 )ikx i tf x t F k e e dkdωω ω

π

+∞+ +

−∞

= ∫

22

2( , ) ( , )F k F k k

cω

ω ω δ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )

( )l

ll

x xp x

p xδ

δ−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ′∑ ( ) 0lp x =

F

F

deve essere ( , ) 0F k ω ≠


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Applichiamo al nostro caso

• Otteniamo

• Poniamo

• Integriamo in dω

( )( )

( )l

ll

x xp x

p xδ

δ−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ′∑

22

2k

c

ωδ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

22

2( )p k

c

ωω = −

1 kcω =

2 kcω = −( ) 2lp kω′ =

( ) ( )2

22

1 12 2

k kc kck kc

ωδ δ ω δ ω⎡ ⎤⎢ ⎥− = − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )1( , ) ( ) ( )

2ikx i tf x t U k kc V k kc e e dkdωδ ω δ ω ω

π

+∞+ +

−∞

⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦∫2

1 1( , ) ( ) ( )

2(2 )ikx ikct ikctf x t e U k e V k e dk

kπ

+∞+ −

−∞

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫( ) ( )1

( , ) ( ) ( )2

ik x ct ik x ctf x t U k e V k e dkπ

+∞+ + + −

−∞

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫( , ) ( ) ( )f x t u x ct v x ct= + + −

( ) ( )1( , )

2F k kc kc

kω δ ω δ ω⎡ ⎤− + +⎣ ⎦ ( ) ( )1

( , ) ( , )2F k kc kc F k kc kc

kδ ω δ ω⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦

1 1( ) ( , )

2 2U k F k kc

kπ=

1 1( ) ( , )

2 2V k F k kc

kπ= −


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Esaminiamo la soluzione trovata

• La soluzione generale dell'equazione è la somma di due onde• Un'onda che propaga nel senso positivo delle x• Un'onda che propaga nel senso negativo delle x

• È facile verificare che per una arbitraria funzione h(x), due volte continua h(x ± ct) è soluzione dell'equazione delle onde

• Inoltre osserviamo che le funzioni exp[±ik(x ± ct)] sono soluzioni dell'equazione delle onde• Sono funzioni sinusoidali

• I parametri ω e k non sono indipendenti ω = ± kc• Dette anche onde monocromatiche di frequenza ω = kc

• La soluzione generale, espressa sotto forma di trasformata, è una sovrapposizione (integrale) di onde sinusoidali

( ) ( )1( , ) ( ) ( )

2ik x ct ik x ctf x t U k e V k e dk

π

+∞+ + + −

−∞

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫( , ) ( ) ( )f x t u x ct v x ct= + + −


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Per finire determiniamo U(k) e V(k) in funzione delle condizioni iniziali

• Abbiamo

• Inoltre

• Otteniamo

( ) ( )1, 0f x h x=

( ) ( )2

0

,

t

f x th x

t=

∂=

∂

( ) ( )1( , ) ( ) ( )

2ik x ct ik x ctf x t U k e V k e dk

π

+∞+ + + −

−∞

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫1

( , 0) ( ) ( )2

ikxf x U k V k e dkπ

+∞+

−∞

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫

1 1( ) ( ) ikxH k h x e dx+∞

−

−∞= ∫

2 2( ) ( ) ikxH k h x e dx+∞

−

−∞= ∫

1( ) ( ) ( )H k U k V k= +

( ) ( )1( , ) ( , ) ( ) ( )

2ik x ct ik x ctf x t f x t ikc U k e V k e dk

t π

+∞+ + + −

−∞

∂ ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦∂ ∫1

( , 0) ( ) ( )2

ikxf x ikc U k V k e dkπ

+∞+

−∞

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ 2( ) ( ) ( )H k ikc U k V k⎡ ⎤= −⎣ ⎦

21

( )1( ) ( )

2H k

U k H kikc

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

21

( )1( ) ( )

2H k

V k H kikc

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1

1( ) ( )

2ikxh x H k e dk

π

+∞+

−∞= ∫

2 2

1( ) ( )

2ikxh x H k e dk

π

+∞+

−∞= ∫


Onde piane e monocromatiche• Ritorniamo alle onde elettromagnetiche

• Abbiamo visto che i campi E e B soddisfano le equazioni

• In coordinate cartesiane le 6 componenti dei campi soddisfano le equazioni dell'onda

• Una soluzione dell'equazione dell'onda non soddisfa necessariamente le equazioni di Maxwell

• La richiesta che le soluzioni soddisfino anche le equazioni di Maxwell restringe le soluzioni accettabili: onde elettromagnetiche• Le equazioni ∇⋅E = 0 e ∇⋅B = 0 impongono che E e B sianoperpendicolari alla direzione di propagazione

• Le equazioni del rotore impongono che i campi E e B siano perpendicolarifra loro e i loro moduli collegati

• Consideriamo soluzioni del tipo E(r,t) = E0 e−i(kx – ωt)

• Un'onda che propaga lungo l'asse x• I campi E(r,t) e B(r,t) hanno lo stesso

valore sui piani perpendicolari all'asse x• Un'onda di questo tipo si chiama onda piana

22

2 2

1c t

∂=

∂E

E∇2

22 2

1c t

∂=

∂B

B∇ 2

0 0

1c

ε μ=

x

y

z

E B


Soluzioni: onde piane • In un'onda piana i campi E e B non cambiano spostandosi sul piano

• Non necessariamente il piano deve essere perpendicolare ad un asse coordinato• I campi dipendono solo dalla lunghezza ζ della proiezione di r nella direzione della normale al piano

• Il fatto che il campo dipenda solo da ζ implicache le derivate abbiano una forma particolare

• Espressioni analoghe per le altre derivate• Specializziamo queste considerazioni all'operatore ∇ applicato a un'onda

piana (in coordinate cartesiane) o a una sua componente f(ζ)

( ) ( ), ,t tζ=E r E ( ) ( ), ,t tζ=B r B

ˆζ = ⋅r k x y zk x k y k z= + +

( ) ( ), ,t t

x x

ζ∂ ∂=

∂ ∂

E r E ( ),t

x

ζ ζζ

∂ ∂=

∂ ∂

E ( ),x

tk

ζ

ζ

∂=

∂

E

ˆ ˆ ˆx y zx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

e e e∇ ˆ ˆ ˆx x y y z zk k kζ ζ ζ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

e e e ˆζ∂

=∂

k∇

x

y

z

ˆ =k

kk

r ζ

ζ è la distanza del piano dall'origine

k̂


Soluzioni: onde piane • Utilizzando l'espressione dell'operatore ∇ trovata per l'onda piana possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell nel vuoto

• Ricaviamo adesso la proprietà di trasversalità dell'onda piana • Moltiplichiamo per la quarta equazione

• Analogamente per la prima equazione si ha• Sommando le due equazioni

• Il differenziale dE è la variazione del campo elettrico se ci si muove nella direzione di propagazione o se varia il tempo• L'onda è trasversale alla direzione di propagazione

ˆζ∂

=∂

k∇

0⋅ =E∇t

∂× = −

∂B

E∇0⋅ =B∇2

1tc

∂× =

∂E

B∇

ˆ 0ζ

∂⋅ =∂E

k ˆ 0ζ

∂⋅ =∂B

k ˆtζ

∂ ∂× = −

∂ ∂E B

k2

1ˆtcζ

∂ ∂× =

∂ ∂B E

k

k̂

2

1ˆ ˆ ˆtcζ

⎛ ⎞∂ ∂⎟⎜⋅ × = ⋅⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠B E

k k k ˆ 0t

∂⋅ =∂E

k ˆ 0dtt

∂⋅ =∂E

k

ˆ 0dζζ

∂⋅ =∂E

k

ˆ 0dt dt

ζζ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜⋅ + =⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠E E

k

ˆ 0d⋅ =k E

d dt dt

ζζ

∂ ∂= +

∂ ∂E E

Edefiniamo


Soluzioni: onde piane • Analogamente dalla seconda e dalla terza equazione si ricava

• Il significato di queste equazioni è il seguente• In un'onda piana le variazioni dE e dB dovute a

spostamenti lungo ζ e/o a variazioni nel tempo sono perpendicolari a • È possibile verificare la condizione anche per campi con componente lungo ζ

• Ad esempio, il campo E può avere una componente lungo ζ uniforme

• Implica che anche

• Non sono onde che si propagano• Quindi i campi E e B di un'onda giacciono sul piano perpendicolare a

• Utilizziamo un sistema di riferimento locale ξ−η• I campi possono essere scomposti nelle componenti Eξ e Eη, Bξ e Bη

• Verifichiamo adesso che queste componenti soddisfano l'equazione dell'onda

ˆ 0d⋅ =k B ˆ 0d⋅ =k E

x

y

z

k̂r ζ

ξ

ηk̂

k̂

ˆ 0ζ

∂⋅ =∂E

k 0Eζ

ζ

∂=

∂inoltre 0

E EdE dt d

tζ ζ

ζ ζζ

∂ ∂= + =

∂ ∂

0E

tζ∂=

∂Significa che sono anche campi statici

ricordiamo la precedente


Soluzioni: onde piane • Ricaviamo l'equazione dell'onda nella coordinata ζ

• Utilizziamo la terza e la quarta equazione• Moltiplichiamo vettorialmente la terza per

• Deriviamo rispetto a ζ l'equazione ottenuta e rispetto a t la quarta

• Eliminiamo B

• Analogamente per il campo B

k̂

ˆ ˆ ˆtζ

⎛ ⎞∂ ∂⎟⎜× × = − ×⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠E B

k k k

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆζ ζ ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜× × = ⋅ − ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠E E E

k k k k k k

ˆ 0ζ

∂⋅ =∂E

k ˆ 0ζ

∂⋅ =∂B

k ˆtζ

∂ ∂× = −

∂ ∂E B

k2

1ˆtcζ

∂ ∂× =

∂ ∂B E

k

ζ∂

= −∂E

2 2

2ˆ

t ζζ∂ ∂

= ×∂ ∂∂

E Bk

2 2

2 2

1ˆt c tζ∂ ∂

× =∂ ∂ ∂

B Ek

2 2

2 2 2

1c tζ

∂ ∂=

∂ ∂E E

ˆt

∂= − ×

∂B

k

Ci siamo ricondotti all'equazionedell'onda unidimensionale


Soluzioni: onde piane • Le equazioni trovate sono quelle dell'onda unidimensionale

• Utilizziamo le soluzioni trovate precedentemente (vedi diapositiva )

• Pertanto ci sono due soluzioni che descrivono• Un'onda che viaggia verso "destra": kζ−ωt• Un'onda che viaggia verso "sinistra": kζ+ωt

• Per ciascuno dei due tipi di onda esistono ancora due soluzioni e±i(…)

• La soluzione generale sarà data da

• Le costanti A e B sono scelte in modo che la soluzione sia reale: B = A*• Definiamo ρ = |A| = |B| e δ = arg(A) = − arg(B)

• Sia la fase δ che l'ampiezza ρ sono arbitrarie (ρ o 2ρ è la stessa cosa)• Una differenza di π/2 in δ fa passare da un seno a un coseno

• Le soluzioni sono pertanto onde sinusoidali che viaggiano in due direzioni

( )( , ) i k tf t e ζ ωζ ± ±=

i iAe Beφ φ+ −+ φ può essere kζ−ωt oppure kζ+ωt

i i i i i iAe Be e e e eφ φ δ φ δ φρ ρ+ − + + − −+ = + ( ) ( )i ie eφ δ φ δρ + + − +⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦( )2 cosρ φ δ= +

( )sin k tρ ζ ω δ± + ( )cos k tρ ζ ω δ± + sono anche monocromatiche

1294357


Soluzioni: onde piane • Abbiamo visto che le soluzioni sono onde sinusoidali

• Tuttavia è molto più semplice utilizzare gli esponenziali• Per tale motivo si indica la soluzione nella forma• La costante A è in generale complessa: contiene eventuali sfasamenti δ• Alla fine del calcolo si prende la parte reale

• Usiamo il vettore d'onda• La soluzione diventa

• Ritornando alla soluzione per il campo elettrico troviamo

• Le costanti E1ξ e E2ξ sono complesse• Per la componente Eη del campo si trova una soluzione analoga

• In forma vettoriale

• Il simbolo ∼ (tilde) utilizzato per i vettori sottolinea che si tratta di grandezze complesse

( )i k tAe ζ ω±

ˆk=k k( )i tAe ω⋅ ±k r

( ) 1 2, i i t i i tE t E e E eω ωξ ξ ξ

+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rr

( ) 1 2, i i t i i tE t E e E eω ωη η η

+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rr

( ) 1 2, i i t i i tt e eω ω+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rE r E E

x

y

z

k̂r ζ

ξ

η

ˆζ = ⋅r k x y zk x k y k z= + +


Soluzioni: onde piane • Per il campo magnetico si trova una soluzione analoga

• Troviamo una relazione fra i vettori E1 e E2 e i vettori B1 e B2

• Utilizziamo l'equazione (vedi diapositiva )

• Calcoliamo le derivate

• Introduciamo nell'equazione di Maxwell

• Uguagliamo i coefficienti dei due esponenziali (ricordiamo ω = kc)

( ) 1 2, i i t i i tt e eω ω+ ⋅ − − ⋅ −= +k r k rB r B B

ˆtζ

∂ ∂× = −

∂ ∂E B

k

1036361

( ) 1 2, ik i t ik i tt e eζ ω ζ ω+ − − −= +E r E E

1 2ik i t ik i tik e ik eζ ω ζ ω

ζ+ − − −∂

= −∂E

E E

ricordiamo il campo E

( )1 2ik i t ik i ti e e

tζ ω ζ ωω + − − −∂

= − +∂B

B B

( )1 2ˆ ik i t ik i tik e eζ ω ζ ω+ − − −× −k E E ( )1 2

ik i t ik i ti e eζ ω ζ ωω + − − −= +B B

1 1ˆik iω× =k E B 1 1

1 ˆc

= ×B k E 2 2ˆik iω× = −k E B 2 2

1 ˆc

= − ×B k E

2 2ˆc= ×E k B1 1

ˆc= ×E k B


0tω =

x

zy

2t

πω =

z

x

y

Soluzioni: onde piane • Consideriamo un'onda che viaggia nella direzione positiva z

• Il vettore E1 è nella direzione x• Il vettore B1 punta nella direzione y

• Il periodo dell'onda

• La lunghezza d'onda

ˆzk=k e

1 ˆxE=E e

1 1

1 ˆc

= ×B k E ˆ ˆz x

Ec

= ×e e ˆyEc

= e ( ) 1, ikz i tt e ω+ −=E r E

2T

πω

=

cTλ = Tkω

=2kω π

ω=

2kπ

λ =

2k

πλ

=


Lo spettro delle onde elettromagnetiche


Lo spettro visibile


Polarizzazione dell'onda• L'onda che abbiamo visto ha il vettore campo elettrico che oscilla parallelamente alla direzione x• L'onda è polarizzata linearmente• Naturalmente il vettore E può puntare in qualsiasi direzione• La direzione del vettore E è la direzione in cui è polarizzata l'onda

• Ad esempio polarizzazione "orizzontale", "verticale" oppure "obliqua"

• Si può costruire un'onda dalla sovrapposizione di altre due onde • Ad esempio due onde con polarizzazione diversa

• Scegliamo i due vettori Ea e Eb nel modo seguente (polarizzazione obliqua) ( ), ikz i t

at e ω+ −=E r E ( ), ikz i tbt e ω+ −=E r E

ˆa xE=E e ˆb yE=E e


Polarizzazione dell'onda• Sommiamo le due onde

• Calcoliamo la parte reale

• Un onda di questo tipo è polarizzata linearmente• Consideriamo ad esempio

• È l'andamento temporale delcampo sul piano z = 0• La direzione del vettoreè sempre la stessa

• La lunghezza del vettoreoscilla

( ), ikz i t ikz i ts a bt e eω ω+ − + −= +E r E E ( )ˆ ˆikz i t ikz i t

x yE e eω ω+ − + −= +e e

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, Re , cos cosx yz t z t E kz t kz tω ω⎡ ⎤= = − + −⎣ ⎦E E e e

( ) ˆ ˆ0, cosx yt E tω⎡ ⎤= +⎣ ⎦E e e


Polarizzazione dell'onda• Utilizziamo adesso altre due onde

• Il vettore Eb ha una parte immaginaria• Sommiamo le due onde

• Calcoliamo la parte reale

• In questo caso la polarizzazione è circolare• Studiamo il campo sul piano z = 0

• Il vettore E ruota in senso antiorario: polarizzazione sinistra • Se lo sfasamento è −π/2 E ruota in senso orario: polarizzazione destra

( ) ( )/2ˆ ˆ, ikz i t ikz i t is x yz t E e eω ω π+ − + − += +E e e

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, Re , cos cos / 2s x yz t z t E kz t kz tω ω π⎡ ⎤= = − + − +⎣ ⎦E E e e

( ) ( ) ( )ˆ ˆ, cos sins x yz t E kz t kz tω ω⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦E e e

( ), ikz i t ikz i ts a bz t e eω ω+ − + −= +E E E 2ˆ ˆ

iikz i t ikz i tx yE e e e

πω ω+ − + −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠e e

ˆa xE=E e /2ˆib yE e π=E e

( ) ˆ ˆ0, cos sins x xt E t tω ω⎡ ⎤= +⎣ ⎦E e e


Polarizzazione dell'onda• Se le lunghezze di Ea e Eb sono differenti la polarizzazione è ellittica

• Calcoliamola parte reale

( ), ikz i t ikz i ts a bz t e eω ω+ − + −= +E E E /2ˆ ˆikz i t ikz i t i

x x y yE e E eω ω π+ − + − += +e e

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, Re , cos cos / 2s x x y yz t z t E kz t E kz tω ω π= = − + − +E E e e

( ) ( ) ( )ˆ ˆ, cos sins x x y yz t E kz t E kz tω ω= − − −E e e

( ) ˆ ˆ, cos sins x x y yt E t E tω ω= +E e e

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