elettromagnetismo 2 (2017-2018);6 -...
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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano
Anno Accademico 2017/2018
Elettromagnetismo
Onde elettromagneticheEquazione dell'onda
Soluzione dell'equazione dell'ondaOnde piane. Polarizzazione
Lezione n. 34 – 15.05.2018
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 345
Corrente superficiale• Una densità di corrente superficiale infinita genera un campo magnetico parallelo al piano della corrente e perpendicolare alla direzione della stessa• La legge di Biot e Savart implica che B non possa
essere parallelo a K e quindi By = 0• La componente Bx deve essere nulla per simmetria
• Infatti se u → −u deve anche essere B → −B• Ma la trasformazione della velocità può essereottenuta da una rotazione di π intorno all'asse x• Non cambia il segno di Bx e quindi Bx = 0
• Pertanto il campo magnetico è diretto lungo l'asse z• Sempre utilizzando la legge di Biot e Savart ci
si può convincere che
• Utilizziamo la legge di Ampère
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 346
Un'onda elettromagnetica• Consideriamo ancora l'esempio precedente
• Ignoriamo il campo elettrico generato dal piano di carica • Possiamo sempre immaginare che ci sia un altropiano di densità −σ che si muove con velocità –u
• Il piano è fermo per t < 0, inizia a muoversi a t = 0• Per t < 0 il campo magnetico è nullo• Per t > 0 il campo diventa B = μ0K/2
• Tuttavia per distanze x > vt il campo deve essere nullo• Chiamiamo v la velocità di propagazione del campo magnetico
• Visto dall'alto il campo magnetico appare come in figura• La regione di transizione fra B ≠ 0 e B = 0è determinata dal modo in cui il pianodi carica passa dallo stato di quiete al moto• Se l'accelerazione è molto rapida
la transizione è più netta
entranteuscente
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 347
Un'onda elettromagnetica• Nella regione di transizione c'è una variazionedel campo magnetico nello spazio e nel tempo• Studiamo la transizione con l'equazione di Maxwell
• Il rotore ha una sola componente non nulla• Le componenti Bx e By sono nulle
• Pertanto nella regione di transizione compareun campo elettrico
J ≠ 0 solo per z = 0
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 348
Un'onda elettromagnetica• Possiamo utilizzare anche l'altra equazione di Maxwell
• Dato che solo la componente z di B è diversa da zero → solo (∇×E)z ≠ 0
• La componente Ex potrebbe essere costante. La assumiamo nulla• Tutto il nostro ragionamento è definito a meno di campi costanti
• Possiamo calcolare il campo magnetico
• La variazione del campo elettrico genera a sua volta un campo magnetico• Le due relazioni trovate devono essere compatibili
• La velocità di propagazione è determinata dalle costanti ε0 e μ0
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 349
Un'onda elettromagnetica• Riassumiamo quanto abbiamo capito
• Il passaggio dallo stato di quiete allo stato di motodel piano di carica genera un'onda elettromagnetica• L'onda viaggia con velocità
• Nelle immediate vicinanze della corrente superficiale il campo magnetico è generato dalla corrente superficiale
• Allontanandosi dalla sergente i campi sono generati dalle loro variazioni spazio-temporali
• Le variazioni del campo B generano localmente il campo E (Faraday)• Le variazioni del campo E generano localmente il campo B (Maxwell)
• I campi sono perpendicolari fra di loro• Perpendicolarità imposta dalle equazioni di Maxwell (introdotta dal rotore)
• I campi sono perpendicolari alla direzione di propagazione• Vedremo che dipende dalle equazioni ∇⋅E = 0 e ∇⋅B = 0
v risulta essere lavelocità della luce
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Un'onda elettromagnetica• Supponiamo che dopo un tempo T lo strato di carica venga arrestato
• L'andamento della corrente nel tempo è stato come in figura• La corrente non genera più il campo magnetico• Si forma una zona senza campo
• Il campo generato nell'intervallo 0 ≤ t ≤ Tcontinua a viaggiare nelle due direzioni
• Complessivamente il fenomeno è stato• La corrente ha generato un'onda elettromagnetica
• Radiazione• Il campo si è disaccoppiato dalla sorgente
• I campi E e B si sostengono a vicenda• Propagazione
• Nelle regioni in cui i campi sono diversida zero è immagazzinata energia
• Questa energia proviene dal lavoro fatto per generare l'onda• Nello "spingere" la carica si deve vincere una "resistenza" di radiazione
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 351
Equazione dell'onda• Scriviamo adesso l'equazione di propagazione dei campi E e B dopo che l'onda è stata generata• Utilizziamo le equazioni di Maxwell nel vuoto con ρ = 0 e J = 0
• Si tratta di un sistema di equazioni differenziali accoppiate• Per disaccoppiare i campi E e B calcoliamo il rotore delle ultime due
equazioni• Utilizziamo l'identità (diapositiva )
• Applichiamola alla terza equazione
• Utilizziamo la quarta equazione
• È una forma compatta per indicare le tre equazioni
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 352
Equazione dell'onda• Si può dimostrare che anche le componenti Bx, By, Bz del campo magnetico soddisfano la stessa equazione
• Inoltre verificheremo in seguito che anche il potenziale vettore A e il potenziale scalare φ soddisfano la stessa equazione dell'onda
• Da un punto di vista matematico si tratta di una equazione differenziale alle derivate parziali di tipo iperbolico
• Per risolverla occorre definire le condizioni iniziali
• Ad esempio nel caso unidimensionale
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Soluzioni dell'equazione dell'onda• Le equazioni trovate sono una generalizzazione a tre dimensioni dell'equazione dell'onda in una dimensione
• Com'è noto nel caso unidimensionale la soluzione generale è
• Naturalmente la funzione Ey = −μ0cKRT(x−ct) soddisfail nostro problema della corrente superficiale infinita
• Per correnti parallele ai piani x−y e x−z le soluzioniavrebbero potuto essere
• La caratteristica saliente di queste soluzioni è che il campo è costante sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione• Nel caso in cui la direzione di propagazione sia arbitraria
u,v sono funzioni continue (con derivata continua)
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 354
Soluzioni dell'equazione dell'onda• Cerchiamo le soluzioni dell'equazione dell'onda uni-dimensionale utilizzando la trasformata di Fourier• La trasformata di Fourier è definita come
• Le formule precedenti sono facilmente generalizzabili al caso di una funzione di due variabili
• Calcoliamo le derivate di f(x,t)
• Introduciamo nell'equazione
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Soluzioni dell'equazione dell'onda• Pertanto la trasformata di f(x,t) deve soddisfare la seguente relazione
• Significa che
• D'altro canto
• Vediamo che ha proprietà simili a quelle di δ(x)• È quasi sempre nulla• Il suo integrale è finito• È una funzione singolare
• Utilizziamo la proprietà della funzione δ(x)
escluso il caso nel qual caso può essere qualsiasi
deve essere
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Soluzioni dell'equazione dell'onda• Applichiamo al nostro caso
• Otteniamo
• Poniamo
• Integriamo in dω
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 357
Soluzioni dell'equazione dell'onda• Esaminiamo la soluzione trovata
• La soluzione generale dell'equazione è la somma di due onde• Un'onda che propaga nel senso positivo delle x• Un'onda che propaga nel senso negativo delle x
• È facile verificare che per una arbitraria funzione h(x), due volte continua h(x ± ct) è soluzione dell'equazione delle onde
• Inoltre osserviamo che le funzioni exp[±ik(x ± ct)] sono soluzioni dell'equazione delle onde• Sono funzioni sinusoidali
• I parametri ω e k non sono indipendenti ω = ± kc• Dette anche onde monocromatiche di frequenza ω = kc
• La soluzione generale, espressa sotto forma di trasformata, è una sovrapposizione (integrale) di onde sinusoidali
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Soluzioni dell'equazione dell'onda• Per finire determiniamo U(k) e V(k) in funzione delle condizioni iniziali
• Abbiamo
• Inoltre
• Otteniamo
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Onde piane e monocromatiche• Ritorniamo alle onde elettromagnetiche
• Abbiamo visto che i campi E e B soddisfano le equazioni
• In coordinate cartesiane le 6 componenti dei campi soddisfano le equazioni dell'onda
• Una soluzione dell'equazione dell'onda non soddisfa necessariamente le equazioni di Maxwell
• La richiesta che le soluzioni soddisfino anche le equazioni di Maxwell restringe le soluzioni accettabili: onde elettromagnetiche• Le equazioni ∇⋅E = 0 e ∇⋅B = 0 impongono che E e B sianoperpendicolari alla direzione di propagazione
• Le equazioni del rotore impongono che i campi E e B siano perpendicolarifra loro e i loro moduli collegati
• Consideriamo soluzioni del tipo E(r,t) = E0 e−i(kx – ωt)
• Un'onda che propaga lungo l'asse x• I campi E(r,t) e B(r,t) hanno lo stesso
valore sui piani perpendicolari all'asse x• Un'onda di questo tipo si chiama onda piana
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Soluzioni: onde piane • In un'onda piana i campi E e B non cambiano spostandosi sul piano
• Non necessariamente il piano deve essere perpendicolare ad un asse coordinato• I campi dipendono solo dalla lunghezza ζ della proiezione di r nella direzione della normale al piano
• Il fatto che il campo dipenda solo da ζ implicache le derivate abbiano una forma particolare
• Espressioni analoghe per le altre derivate• Specializziamo queste considerazioni all'operatore ∇ applicato a un'onda
piana (in coordinate cartesiane) o a una sua componente f(ζ)
ζ è la distanza del piano dall'origine
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 361
Soluzioni: onde piane • Utilizzando l'espressione dell'operatore ∇ trovata per l'onda piana possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell nel vuoto
• Ricaviamo adesso la proprietà di trasversalità dell'onda piana • Moltiplichiamo per la quarta equazione
• Analogamente per la prima equazione si ha• Sommando le due equazioni
• Il differenziale dE è la variazione del campo elettrico se ci si muove nella direzione di propagazione o se varia il tempo• L'onda è trasversale alla direzione di propagazione
definiamo
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 362
Soluzioni: onde piane • Analogamente dalla seconda e dalla terza equazione si ricava
• Il significato di queste equazioni è il seguente• In un'onda piana le variazioni dE e dB dovute a
spostamenti lungo ζ e/o a variazioni nel tempo sono perpendicolari a • È possibile verificare la condizione anche per campi con componente lungo ζ
• Ad esempio, il campo E può avere una componente lungo ζ uniforme
• Implica che anche
• Non sono onde che si propagano• Quindi i campi E e B di un'onda giacciono sul piano perpendicolare a
• Utilizziamo un sistema di riferimento locale ξ−η• I campi possono essere scomposti nelle componenti Eξ e Eη, Bξ e Bη
• Verifichiamo adesso che queste componenti soddisfano l'equazione dell'onda
inoltre
Significa che sono anche campi statici
ricordiamo la precedente
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 363
Soluzioni: onde piane • Ricaviamo l'equazione dell'onda nella coordinata ζ
• Utilizziamo la terza e la quarta equazione• Moltiplichiamo vettorialmente la terza per
• Deriviamo rispetto a ζ l'equazione ottenuta e rispetto a t la quarta
• Eliminiamo B
• Analogamente per il campo B
Ci siamo ricondotti all'equazionedell'onda unidimensionale
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Soluzioni: onde piane • Le equazioni trovate sono quelle dell'onda unidimensionale
• Utilizziamo le soluzioni trovate precedentemente (vedi diapositiva )
• Pertanto ci sono due soluzioni che descrivono• Un'onda che viaggia verso "destra": kζ−ωt• Un'onda che viaggia verso "sinistra": kζ+ωt
• Per ciascuno dei due tipi di onda esistono ancora due soluzioni e±i(…)
• La soluzione generale sarà data da
• Le costanti A e B sono scelte in modo che la soluzione sia reale: B = A*• Definiamo ρ = |A| = |B| e δ = arg(A) = − arg(B)
• Sia la fase δ che l'ampiezza ρ sono arbitrarie (ρ o 2ρ è la stessa cosa)• Una differenza di π/2 in δ fa passare da un seno a un coseno
• Le soluzioni sono pertanto onde sinusoidali che viaggiano in due direzioni
φ può essere kζ−ωt oppure kζ+ωt
sono anche monocromatiche
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 365
Soluzioni: onde piane • Abbiamo visto che le soluzioni sono onde sinusoidali
• Tuttavia è molto più semplice utilizzare gli esponenziali• Per tale motivo si indica la soluzione nella forma• La costante A è in generale complessa: contiene eventuali sfasamenti δ• Alla fine del calcolo si prende la parte reale
• Usiamo il vettore d'onda• La soluzione diventa
• Ritornando alla soluzione per il campo elettrico troviamo
• Le costanti E1ξ e E2ξ sono complesse• Per la componente Eη del campo si trova una soluzione analoga
• In forma vettoriale
• Il simbolo ∼ (tilde) utilizzato per i vettori sottolinea che si tratta di grandezze complesse
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 366
Soluzioni: onde piane • Per il campo magnetico si trova una soluzione analoga
• Troviamo una relazione fra i vettori E1 e E2 e i vettori B1 e B2
• Utilizziamo l'equazione (vedi diapositiva )
• Calcoliamo le derivate
• Introduciamo nell'equazione di Maxwell
• Uguagliamo i coefficienti dei due esponenziali (ricordiamo ω = kc)
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ricordiamo il campo E
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 367
Soluzioni: onde piane • Consideriamo un'onda che viaggia nella direzione positiva z
• Il vettore E1 è nella direzione x• Il vettore B1 punta nella direzione y
• Il periodo dell'onda
• La lunghezza d'onda
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 370
Polarizzazione dell'onda• L'onda che abbiamo visto ha il vettore campo elettrico che oscilla parallelamente alla direzione x• L'onda è polarizzata linearmente• Naturalmente il vettore E può puntare in qualsiasi direzione• La direzione del vettore E è la direzione in cui è polarizzata l'onda
• Ad esempio polarizzazione "orizzontale", "verticale" oppure "obliqua"
• Si può costruire un'onda dalla sovrapposizione di altre due onde • Ad esempio due onde con polarizzazione diversa
• Scegliamo i due vettori Ea e Eb nel modo seguente (polarizzazione obliqua)
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 371
Polarizzazione dell'onda• Sommiamo le due onde
• Calcoliamo la parte reale
• Un onda di questo tipo è polarizzata linearmente• Consideriamo ad esempio
• È l'andamento temporale delcampo sul piano z = 0• La direzione del vettoreè sempre la stessa
• La lunghezza del vettoreoscilla
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 372
Polarizzazione dell'onda• Utilizziamo adesso altre due onde
• Il vettore Eb ha una parte immaginaria• Sommiamo le due onde
• Calcoliamo la parte reale
• In questo caso la polarizzazione è circolare• Studiamo il campo sul piano z = 0
• Il vettore E ruota in senso antiorario: polarizzazione sinistra • Se lo sfasamento è −π/2 E ruota in senso orario: polarizzazione destra