elettromagnetismo 2 (2017-2018);8.pptm [Read-Only]ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Lezione...

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Potenziali per una carica puntiformeQuantità di moto elettromagnetica

Radiazione. Dipolo oscillante

Lezione n. 38 – 5.06.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 434

Campo di una carica con v costante• Specializziamo la formula al caso di una carica che si muove con moto rettilineo uniforme• Abbiamo già analizzato questo problema con altri metodi (vedi )• Se la carica non accelera il campo di accelerazione è nullo Ea = 0

• Consideriamo la traiettoria della particella in moto• Consideriamo un punto di osservazione (r,t)• Al tempo t la posizione della particella è r0(t) = vt• Al tempo tr la particella è nella posizione r0(tr) = vtr• Il tempo ritardato tr è la soluzione dell'equazione

• Abbiamo pertanto

• Rappresentiamo i vettori

842124

2

3 20 ret

ˆ(1 )( )1( , )

ˆ4 (1 )

qt

R

βπε

⎡ ⎤− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− ⋅⎣ ⎦

nE r

nβ

β

( , )tr

0 rr

( )tt t

c

−= −

r rr( )R t

tc

= − rr

( )R tt t

c− = r r( ) ( )t t R t− =v β

0( )tr0 r( )tr

ˆ( ) ( )R t tnr rˆ( ) ( )R t tn

r r( ) ( )t t R tΔ = − =s v β

Δsr rˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )R t t R t t= Δ +n s n


Campo di una carica con v costante• Otteniamo pertanto

• Useremo questa relazione per sviluppare il numeratore del campo• Consideriamo ancora il grafico• Calcoliamo la proiezione AB di Δs su AC

• Inoltre

• Consideriamo il triangolo rettangolo BCD

rr

ˆ( ) ( )ˆ( )

( )R t t

tR t

− =n

n β

r r rˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R t t R t R t t= +n nβ

( , )tr

0( )tr0 r( )tr

ˆ( ) ( )R t tnr rˆ( ) ( )R t tn

r( )R tΔ =s β

r rˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )R t t R t t= Δ +n s n

A

B

C

α θrˆ( )AB t= Δ ⋅s n r rˆ( ) ( )R t t= ⋅ nβ

r r rˆ( ) ( ) ( )BC R t R t t= − ⋅ nβ

r rˆ( )[1 ( )]R t t= − ⋅ nβ r r( ) ( )R t g t=

D

r( )sinBD R tβ α=2 2 2 2 2 2

r r r( )sin ( ) ( ) ( )R t R t g t R tβ α + =

r( )sin ( )sinR t R tα θ= 2 2 2 2 2 2r r( )sin ( ) ( ) ( )R t R t g t R tβ θ + =

2

3 20 ret

ˆ(1 )( )1( , )

ˆ4 (1 )

qt

R

βπε

⎡ ⎤− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− ⋅⎣ ⎦

nE r

nβ

β


Campo di una carica con v costante

• Otteniamo

• Pertanto

• Inseriamo nell'espressione del campo2

3 20 ret

ˆ(1 )( )1( , )

ˆ4 (1 )

qt

R

βπε

⎡ ⎤− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− ⋅⎣ ⎦

nE r

nβ

β

2 2 2 2 2 2r r( )sin ( ) ( ) ( )R t R t g t R tβ θ + =

2

3 20 ret

ˆ(1 )( )1( , )

ˆ4 (1 )

qt

R

βπε

⎡ ⎤− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− ⋅⎣ ⎦

nE r

nβ

β

r rˆ( ) [1 ( )]g t t= − ⋅ nβ2 2 2 2 2r r( ) ( ) (1 sin )g t R t R β θ= −

3 3 3 2 2 3/2r r( ) ( ) ( )(1 sin )g t R t R t β θ= − r

r

ˆ( ) ( )ˆ( )

( )R t t

tR t

− =n

n β

2

3 30 r

(1 ) ( )1( , )

ˆ4 (1 ( ) ) ( )

tqt

t R t

βπε

−=

− ⋅ r

RE r

n β2

2 2 3/2 30

(1 ) ( )( , )

4 (1 sin ) ( )

tqt

R t

βπε β θ

−=

−R

E r Identico al risultatoottenuto in 853133

ricordiamo


Potenziali di una carica con v costante• Calcoliamo adesso i potenziali di una carica che si muove con velocità v costante• Ricordiamo

• Per il potenziale φ(r,t)

• Per il potenziale A(r,t)

0 0 r r r

1 1( , )

ˆ4 ( ) 1 ( ) ( )q

tt t t

φπε

=− − ⋅

rr r nβ

ˆ( ) 1 ( ) ( )g t t t= − ⋅ nβ

0 ˆ( ) ( ) ( ) ( )t t R t t= − =R r r n

rr

( )R tt t

c= −3 3 3 2 2 3/2r r( ) ( ) ( )(1 sin )g t R t R t β θ= −

( , )tr

0( )tr0 r( )tr

ˆ( ) ( )R t tnr rˆ( ) ( )R t tn

β

2 2 1/20

1 14 ( )(1 sin )

qR tπε β θ

=−

r

0 0 r r r

( ) 1 1( , )

ˆ4 ( ) 1 ( ) ( )

q tt

t t tπε=

− − ⋅v

A rr r nβ 2 2 1/2

0

1 14 ( )(1 sin )

qR tπε β θ

=−

v

( )R t t= −r v

0( )t t=r v

2 2 1/2r r( ) ( ) ( )(1 sin )g t R t R t β θ= −

θ


Terza legge di Newton• Possiamo riprendere l'esempio della diapositiva relativo alla violazione della terza legge di Newton†

• Abbiamo una carica q1 ferma, supponiamo a r1 = 0• Una carica q2 che si muove con velocità v verso destra• La sua posizione è r2(t) = vt = d• La carica q1 genera il potenziale φ1(r) indipendente dal tempo

• La carica q2 genera i potenziali φ2(r,t), A(r,t)

• Calcoliamo la forza F2 esercitata da q1 su q2: F2 = q2E1(r2)• Il campo E1 è un campo elettrostatico

• †Vedi Zangwill A. – Modern Electrodynamics CUP 2012 p. 511

1074383

x

y

2q1q v0=v

d

11 2 2 2 1/2

0

1( )

4 ( )

q

x y zφ

πε=

+ +r

22 2 2 1/2 2 2 2 1/2

0

1 1( , )

4 (1 sin ) (( ) )

qt

x vt y zφ

πε β θ=

− − + +r

22 2 1/2 2 2 2 1/2

0

1 1( , )

4 (1 sin ) (( ) )

qt

x vt y zπε β θ=

− − + +v

A r

2 2 1 2( )q=F E r 2 1q φ= − ∇ 1 22

0

ˆ

4rq q

rπε=

e 1 22

0

ˆ

4xq q

dπε=

e

2F


Terza legge di Newton• Calcoliamo la forza F1 sulla carica q1

• È generata dalla carica q2 in movimento

• Calcoliamo il gradiente di φ2

• Osserviamo preliminarmente che il calcolo finale andrà fatto per r = 0

• Si verifica facilmente che

• Otteniamo pertanto

• Osserviamo che il modulo di questo contributo a F1 è uguale a quello di F2

1 1 2 1( )q=F E r x

y

2q1q v0=v

d

1 2 1q qt

φ∂

= − −∂A∇

22 2 2 1/2 2 2 2 1/2

0

1 1( , )

4 (1 sin ) (( ) )

qt

x vt y zφ

πε β θ=

− − + +r

1 21 2 2 2 2

0 0

ˆ

4 ( )r

r

q qq

x vt y zφ

πε =

− =− + +

e∇ 1 2

2 20

ˆ

4xq q

v tπε= −

e

2 2 1 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )t f f f fφ = +r r r r r∇ ∇ ∇

1 2( ) ( )f f≡ r r

1 0( ) 0f

==

rr∇ 1( ) 1f =0


Terza legge di Newton• Riassumendo

• La terza legge di Newton sembra violata• Alla forza corrisponde una variazione di quantità di moto

• Concludiamo che per ripristinare la terza legge di Newton (e con essa la conservazione della quantità di moto) dobbiamo ipotizzare l'esistenza di una ulteriore quantità di moto pEM tale che

• E infine

• A questo stesso risultato si può giungere a partire dalla definizione†

• Nel sistema di riferimento in cui una delle cariche è a riposo,utilizzando il gauge di Coulomb e integrando su tutto lo spazio

• †Vedi Zangwill A. – Modern Electrodynamics CUP 2012, §15.5.3, p. 514

EM 1q=p A

1 2 mech

ddt

+ =F F p

1 2 1q t∂

+ = −∂A

F F1 22 2

0

ˆ

4xq q

dπε=

eF 1 2

1 12 20

ˆ

4xq q

qtv tπε

∂= − −

∂e A

F

mech EM( ) 0ddt

+ =p p EM mech 1

d dq

dt dt t∂

= − =∂A

p p

1c

=g S


Radiazione• Quando una carica subisce un'accelerazione si genera una perturbazione elettromagnetica che si disaccoppia dalle sorgenti che l'hanno generata• La perturbazione generata viaggia allontanandosi dalla sorgente• Trasporta energia e quantità di moto• La potenza (Joule al secondo) al tempo t della radiazione è data dal flusso del vettore di Poynting attraverso (ad esempio) la superficie A di una sfera di raggio r

• La potenza al tempo t deve essere uguale alla potenza emessa dalla sorgente al tempo precedente t0 = t – r/c• Abbiamo pertanto

• Il flusso del vettore di Poynting su una sfera di raggio r vale circa

0

1μ

= ×S E B ( ) ( )0

1,

A

P r t dμ

= × ⋅∫ E B a

( ) ( )source 0 ,P t P r t= 0,r

P r tc

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( ) 2

0

14

A

P d S rπμ

= × ⋅∫ E B a ∼

Il limite per r → ∞ deve essere ugualea Psource(t0) e quindi indipendente da r

2

1S

r∼costP =


Radiazione• Il ragionamento precedente ci dice che i campi statici o quasi statici che conosciamo non possono essere campi di radiazione• Ad esempio, per un campo statico

• I campi derivati dai potenziali ritardati hanno dei termini che dipendono dalla derivata rispetto al tempo delle sorgenti e che variano come 1/r• Ad esempio consideriamo il campo elettrico

• Contiene termini che hanno la dipendenza da 1/r corretta• Per studiare la radiazione pertanto occorre• Studiare la soluzione per i campi a grande distanza dalla sorgente• Trascurare i termini che vanno a zero all'infinito più velocemente di 1/r• Questi termini si annullano per grandi distanze• In particolare diventa nullo il flusso di energia attraverso una superficie

rad 2

1S

r∼

2

1E

r∼

2

1B

r∼

4

1S

r∼

( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 2 2

0

, , ,1,

4r r r

V

t t tt dV

cc

ρ ρ

πε

⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′− −⎢ ⎥ ′= + −⎢ ⎥′−⎢ ⎥′ ′− −⎣ ⎦∫

r r r r r r J rE r

r rr r r r


Radiazione di dipolo elettrico• Consideriamo un sistema composto da due piccole sfere collegate da un cavo collegato ad un generatore di corrente. Il sistema è orientato lungo l'asse z• Al tempo t le due sfere hanno carica

• Il generatore fornisce pertanto una corrente

• Calcoliamo il potenziale ritardato dovuto alle due cariche (v. diapositiva )

• Matematicamente la densità di carica è data da

• Inseriamo nella formula del potenziale

( ) 0 cosq t q tω± = ±

dqI

dt=

è un dipolo

0 sinq tω ω= −

( ) 0ˆ coszt p tω=p e∼

( )q t+

d 0 0p q d=

( )q t−ˆ .zId I dz≡l e

( ) ( )0

,1,

4r

V

tt dV

ρφ

πε

′′=

′−∫r

rr r rt t

c

′−= −

r r1096424

( ) ( ) ( )ˆ ˆ, , ,2 2z z

d dx y z t q t q tρ δ δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠r e r e

( )( ) ( ) ( ) ( )

0

ˆ ˆ/ 2 / 21,

4r z r z

V

q t d q t dt dV

δ δφ

πε

⎡ ⎤′ ′− +⎢ ⎥ ′= −⎢ ⎥′ ′− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

r e r er

r r r r


Radiazione di dipolo elettrico

• L'integrale è molto semplice per la presenza della funzione δ

• Otteniamo

• Fino a questo punto il calcolo è stato esatto• Applichiamo adesso tre approssimazioni• La prima che la dimensione del dipolo oscillante sia molto piccola d r

ˆ2zd′ → ±r e

rt tc

′−= −

r r

ˆ2zd

r±′− → =r r r e∓ 2 2 / 4 cosr d rd θ= + ∓

( ) ( ) ( )0

0

cos / cos /,

4

t r c t r cqt

r r

ω ωφ

πε+ −

+ −

⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦r

1 cos2d

r rr

θ±

⎛ ⎞⎟⎜≈ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∓ 1 1

1 cos2d

r r rθ

±

⎛ ⎞⎟⎜≈ ± ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

coscos cos

2r r d

t tc c c

θω ω±⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ≈ − ±⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

coscos

2r d

tc c

ω θω⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎟⎜⎢ ⎥= − ±⎟⎜ ⎟⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

cos coscos cos sin sin

2 2r d r d

t tc c c c

ω θ ω θω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∓

( )( ) ( ) ( ) ( )

0

ˆ ˆ/ 2 / 21,

4r z r z

V

q t d q t dt dV

δ δφ

πε

⎡ ⎤′ ′− +⎢ ⎥ ′= −⎢ ⎥′ ′− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

r e r er

r r r r



• La seconda approssimazione assume che il dipolo sia piccolo rispetto alla lunghezza d'onda della radiazione: d λ

• Inseriamo nell'equazione del termine oscillante

• Ritorniamo all'espressione del potenziale

cos coscos cos cos sin sin

2 2r r d r d

t t tc c c c c

ω θ ω θω ω ω±⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥− = − −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∓

2 cπλ

ω=

2 cd

πω 2

dc

ωπ

coscos 1

2dc

ω θ≈

cos cossin

2 2d dc c

ω θ ω θ≈

coscos cos sin

2r r d r

t t tc c c c

ω θω ω ω±⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥− ≈ − −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∓

( ) ( ) ( )0

0

cos / cos /,

4

t r c t r cqt

r r

ω ωφ

πε+ −

+ −

⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦r

( ) ( ) ( )0

0

, cos / 1 cos cos / 1 cos4 2 2q d d

t t r c t r cr r r

φ ω θ ω θπε + −

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟⎜ ⎜⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦r

1 11 cos2d

r r rθ

±

⎛ ⎞⎟⎜≈ ± ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠


Radiazione di dipolo elettrico• Riassumiamo i risultati ottenuti

• Introduciamo le approssimazioni nella formula di φ

• Il primo termine varia come 1/r, come atteso per la radiazione

( ) ( ) ( )0/ /

0

, cos 1 cos cos 1 cos4 2 2c c

q d dt t r t r

r r rφ ω θ ω θ

πε + −

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟⎜ ⎜⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦r

coscos cos sin

2r r d r

t t tc c c c

ω θω ω ω±⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥− ≈ − −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∓

( ) 0

0

coscos sin 1 cos

2 2,cos4 cos sin 1 cos2 2

r d r dt t

q c c c rtr d r dr t tc c c r

ω θω ω θ

φω θπε ω ω θ

⎡ ⎤⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎢ ⎥+ − − − +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦= ⎢ ⎥⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥− − + − −⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎣ ⎦ ⎦

r

( ) 0

0

cos cos, sin cos

4q d r d r

t t tr c c r c

ω θ θφ ω ω

πε

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= − − + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦r

( ) 0

0

cos 1, sin cos

4q d r r

t t tr c c r cθ ω

φ ω ωπε

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= − − + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦r



• Applichiamo adesso la terza approssimazione• La distanza dal dipolo è molto maggiore della lunghezza d'onda

• In conclusione il potenziale scalare è

• Riassumiamo le approssimazioni usate: d λ r• Calcoliamo adesso il potenziale vettore

( ) 0

0

cos 1, sin cos

4q d r r

t t tr c c r cθ ω

φ ω ωπε

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= − − + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦r

2 cr

πλ

ω=

12r c cω ωπ

< Il secondo termine è trascurabile

( ) 0

0

cos, sin

4p r

t trc c

ω θφ ω

πε

⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠r

0 0q d p=

( ) ( )0

,,

4r

V

tt dV

μπ

′′=

′−∫J r

A rr r

( )20

2

,4

d

rdS

dzt da

μπ

+

−

′ ′=′−∫ ∫ J r

r rx

y

z2d

+

2d

−( )( )20

2

ˆ,

ˆ4

d

r z

dz

I t dzt

z

μπ

+

−

′=

′−∫e

A rr e



• Applichiamo le approssimazioni• La dimensione del dipolo molto minore della distanza d r

• La corrente del dipolo è (vedi diapositiva )

• Assumiamo che |z′|<d sia molto minore della lunghezza d'onda λ

• Otteniamo

( )( )20

2

ˆ,

ˆ4

d

r z

dz

I t dzt

z

μπ

+

−

′=

′−∫e

A rr e

2 cd

πω

2

2ˆ 1 2 cos (1 cos )z

z z zz r r

r rrθ θ

′ ′ ′′− = + − ≈ −r e

( ) ( )0 sin /rI t q t cω ω ′= − − −r r ( )0 sin / cos /q t r c z cω ω ω θ⎡ ⎤′≈ − − +⎣ ⎦

1100440

2 cπλ

ω= 2

dcω

π Si può trascurare l'ultimo termine

( ) ( )0 sin /rI t q t r cω ω≈ − −

( ) ( ) 20 0

2

ˆ, sin /4

d

z d

qt t r c dz

r

μ ωω

π

+

−

′= − − ∫A r e ( ) ( )0 0 ˆ, sin /4 z

q dt t r c

r

μ ωω

π= − −A r e


Radiazione di dipolo elettrico• In previsione della derivazione dei campi E e B esprimiamo A in coordinate sferiche• Ricordiamo che

• I potenziali sono pertanto (usiamo V invece di φ per evitare confusione)

• Calcoliamo il gradiente di V

• Trascuriamo i termini 1/r2 rispettoa ω/rc (approssimazione tre)

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sinˆ ˆ ˆsin cos

r x y z

x y z

x z

θ

φ

θ φ θ φ θθ φ θ φ θφ φ

= + += + −= − +

e e e ee e e ee e eˆ ˆ ˆcos sinz r θθ θ= −e e e

( ) ( ) ( )0 0 ˆ ˆ, , cos sin sin /4 r

pr t t r c

r θ

μ ωθ θ θ ω

π= − − −A e e

( ) 0

0

cos, , sin

4p r

V r t trc c

ω θθ ω

πε

⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

1 1ˆ ˆ ˆ

sinr

V V VV

r r rθ φθ θ φ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

e e e∇

( ) ( ) ( )02 2

0

1 sinˆ ˆcos sin / cos / sin /

4 r

pt r c t r c t r c

c rcr rθ

ω ω θθ ω ω ω

πε

⎧ ⎡ ⎤ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥= − − − − − − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎭e e

( )2

02

0

cosˆ cos /

4 r

pV t r c

rc

ω θω

πε= −e∇



• Inoltre

• Otteniamo infine il campo elettrico

• Per il campo magnetico

( ) ( ) ( )2

0 0 ˆ ˆ, , cos sin cos /4 r

pr t t r c

t r θ

μ ωθ θ θ ω

π∂

= − − −∂

A e e

( )2

02

0

cosˆ cos /

4 r

pV t r c

rc

ω θω

πε= −e∇

Vt

∂= − −

∂A

E ∇

( ) ( ) ( )2 2

0 0 0 0cosˆ ˆ ˆcos / cos sin cos /

4 4r r

p pt r c t r c

r r θ

μ ω μ ωθω θ θ ω

π π= − − + − −e e e

( ) ( )2

0 0 sinˆ, , cos /

4

pr t t r c

rθ

μ ω θθ ω

π= − −E e

= ×B A∇

( ) ( ) ( )sin1 1 1 1ˆ ˆ ˆ

sin sinr r

r

A rA rAA A A

r r r r rφ φ θθ

θ φ

θ

θ θ φ θ φ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦e e e+

( )( )1

ˆ, , rrA A

r tr r

θφθ

θ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= −⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦B e

020

1c

με

=



• Calcoliamo le derivate

• Il secondo termine va come 1/r2 ed è trascurabile rispetto al primo• Concludiamo

• Come previsto la soluzione è un'onda elettromagnetica che si propaga in direzione radiale• I campi E e B sono perpendicolari alla direzione di propagazione• Inoltre sono perpendicolari fra di loro e E/B = c• Non sono onde piane bensì onde sferiche

( )( )1

ˆ, , rrA A

r tr r

θφθ

θ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= −⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦B e( ) ( ) ( )0 0 ˆ ˆ, , cos sin sin /

4 r

pr t t r c

r θ

μ ωθ θ θ ω

π= − − −A e e

( ) ( )2

0 01 sincos /

4

rA pt r c

r r c rθ μ ω θ

ωπ

∂= − −

∂( )

20 0

2

1 sinsin /

4rA p

t r cr c r

μ ω θω

θ π∂

= −∂

( ) ( )2

0 0 sinˆ, , cos /

4

pr t t r c

c r φ

μ ω θθ ω

π= − −B e

( ) ( )2

0 0 sinˆ, , cos /

4

pr t t r c

r θ

μ ω θθ ω

π= − −E e


Energia radiata dal dipolo oscillante• Calcoliamo in vettore di Poynting

• L'intensità dell'onda si ottiene mediando su un ciclo

• L'intensità dipende dall'angolo polare• A distanza r fissata dall'origine l'intensità ha l'andamento• La lunghezza del vettore è proporzionale a <S>

( ) ( )2

0 0 sinˆ, , cos /

4

pr t t r c

c r φ

μ ω θθ ω

π= − −B e

( ) ( )2

0 0 sinˆ, , cos /

4

pr t t r c

r θ

μ ω θθ ω

π= − −E e

0

1μ

= ×S E B

( )2 2

4 20 02

sinˆcos /

4 r

pt r c

c r

μ θω ω

π

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠e

2 240 0

2 2

sinˆ

32 r

p

c r

μ θω

π=S e

=

2sinS A θ=


Energia radiata dal dipolo oscillante• La potenza radiata attraverso una superficie sferica di raggio r si trova calcolando il flusso del vettore di Poynting

• In definitiva

A

P d= ⋅∫ S a

ˆrd da=a e 2 sinda r d dφ θ θ=2 2

40 02 2

sinˆ

32 r

p

c r

μ θω

π=S e

2 2 24 20 0

2 20 0

sinsin

32p

P d r dc r

π π μ θφ ω θ θ

π= ∫ ∫

24 20 0

0

sin sin16p

dc

πμω θ θ θ

π= ∫

( )1

2 2

0 1

sin sin 1d x dxπ

θ θ θ+

−

= −∫ ∫ 223

= −43

=

240 0

12p

Pcμ

ωπ

=


Il fattore 1 − β⋅n• Per comprendere meglio il significato del fattore consideriamo il seguente problema• Una barra si muove da sinistra verso destra con velocità v = 0.8 c

• Una macchina fotografica riprende l’immagine quando l’estremità sinistra della barra bassa per la posizione x = 0 di un metro • La fotografia sviluppata mostra che l’estremità destra della barra coincide con la lettura L′ = 0.9 m del metro. • Metro e macchina fotografica sono a riposo. Quanto è lunga la barra ?

• Chiamiamo L la lunghezza reale della barra e L′ la lunghezza apparente• La luce che segnala che l’estremità destra della barra è nella posizione

L′ = 0.9 m deve partire prima della luce che segnala la posizione 0.Poiché la luce deve percorrere L′ sarà partita Δt secondi prima

ˆ1− ⋅ nβ

fotografia0x = 0.9mL′ =

0.8v c=

Lt

c

′Δ =


Il fattore 1 − β⋅n

• Nello stesso tempo la barra (in particolare l’estremità di destra) si sposta verso destra di Δx = v Δt

• La lunghezza della barra è pertanto la somma• Della lunghezza apparente misurata dalla macchina fotografica: L′• Dello spazio percorso dalla barra nell'intervallo di tempo che la luce emessa a L′ = 0.9 m impiega per raggiungere l'obbiettivo: vΔt

• La relazione fra lunghezza reale L e lunghezza apparente L′ è pertanto

• Sottolineiamo che non si tratta della contrazione di Lorentz• È simile all'effetto Doppler

x v tΔ = Δ

L L v t′= + ΔL

L vc

′′= + (1 )L β′= +

1L

Lβ

′ =+

0.9 (1 0.8) 1.62mL = ⋅ + =


Il fattore 1 − β⋅n• Se la barra si muove in direzione opposta il fattore diventa 1 − β• Infatti in questo caso la lunghezza apparente L′ è maggiore

• In questo caso una barra lunga L = 0.18 m viene fotografata come una barra lunga L′ = 0.9 m

• In entrambi i casi trattati la velocità della sorgente e il vettore dalla sorgente al punto di osservazione sono paralleli o antiparalleli

• Se il vettore R e la velocità v non sono paralleli (o antiparalleli) le derivazioni precedenti sono ancora valide a condizione di usare le proiezioni delle lunghezze nella direzione di v: Lcosθ, L′cosθ

• Il fattore diventa pertanto

1L

Lβ

′ =−

P n̂v

R

v

PR

θ n̂

ˆ1− ⋅ nβ


Il fattore 1 − β⋅n• Per finire osserviamo la differenza fra i due integrali• L'integrale della densità di carica funzione del tempo "normale" t

• L'integrale della densità di carica funzione del tempo "ritardato" tr

• Il secondo integrale presuppone la definizione di un punto di osservazione (r,t)

3( , )t d qρ ′ ′ =∫ r r

3r

r

( , )ˆ1 ( ) ( )

qt d

t tρ ′ ′ =

− ⋅∫r

r rnβ

elettromagnetismo 2 (2017-2018);8.pptm [Read-Only]ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Lezione...

Documents

Transcript of elettromagnetismo 2 (2017-2018);8.pptm [Read-Only]ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Lezione...