Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Corrente elettricaEquazione di continuità

Legge di ohmModello della conduzione elettrica

Lezione n. 17 – 15.12.2017

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Corrente elettrica• Cominciamo a studiare situazioni in cui le cariche sono in movimento• Per il momento ci limiteremo a movimenti "relativamente lenti"• Velocità piccole rispetto alla velocità della luce• Prima di iniziare a formulare le differenze nelle forze fra le cariche

introduciamo una serie di nuovi concetti necessari per descrivere le cariche in movimento

• Un moto ordinato di portatori di carica costituisce una corrente elettrica• L'espressione "portatori di carica" è da intendere in un senso molto generale• Possono essere elettroni o ioni• Può essere materia "carica", ad esempio goccioline d'acqua nell'atmosfera

• In un filo di materiale conduttore la corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la sezione del filo nell'unità di tempo• La corrente ha un segno: positiva se le cariche positive seguono la freccia• Supponendo che in un tempo Δt la carica ΔQ nel

cilindretto blu attraversi la sezione del filo S (gialla)

• Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della corrente è l'Ampere (A)

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Correnti elettrica• È importante il flusso netto di carica• Definiamo il senso positivo della corrente• La carica rossa (positiva) contribuisce con segno +• La carica blu (negativa) contribuisce con segno +

• Analogamente un atomo o molecola neutri non contribuiscono alla corrente nonostante trasportino carica• La carica rossa (positiva) contribuisce con segno +• La carica blu (negativa) contribuisce con segno −

• La corrente non deve necessariamente essere definita all'interno di un filo conduttore• Per una definizione più generale occorre la densità di corrente• Abbiamo già utilizzato questo concetto discutendo il flusso (diapositiva )• Avevamo discusso il flusso di materia• Avevamo definito il vettore densità di corrente J = ρv• Avevamo visto che la quantità di materia che attraversa un superficie Snell'unità di tempo era data da

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Densità di corrente• Consideriamo una situazione in cui le cariche sianotutte dello stesso segno, uguali e che si muovonotutte con la stessa velocità u• La densità delle cariche è n (numero per

unità di volume)• La corrente elettrica è definita come la quantitàdi carica che attraversa la superficie S nellaunità di tempo• La carica che attraversa la superficie è quella contenuta nel prisma obliquo definito dalla superficie S e dal lato di lunghezza u Δt• Il volume del prisma è

• Possiamo riscriverlo utilizzando i vettori velocitàe normale alla superficie

• Abbiamo pertanto

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Densità di corrente• Naturalmente la situazione in cui tutte le velocità sono uguali è un caso molto particolare• Nel caso generale avremo • n1 particelle con velocità u1 che contribuiscono • nk particelle con velocità uk che contribuiscono• La corrente totale è la somma delle correnti

• Definiamo il vettore densità di corrente

• Le sue dimensioni sono: [ J ] = Q L−2 T−1 (C m−2 s−1)• Utilizzando il vettore J la corrente è

• Specializziamo J al caso in cui i portatori di carica siano elettroni: qk = −e

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Densità di corrente

• Definiamo infine • La densità totale di elettroni, indipendente dalla velocità

• La velocità media degli elettroni

• Otteniamo la seguente espressione per la densità di corrente

• Notiamo che −ene rappresentata la densità di carica ρe degli elettroni• Utilizzando ρe

• Avevamo già incontrato una formula simile quando abbiamo definito la densità di corrente per il flusso di fluido

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Densità di corrente• Quando parliamo di conduttori o di sistemi macroscopici allora anche le grandezze che abbiamo definito e utilizzato vanno intese in senso macroscopico• Sono delle medie su volumi dv infinitesimi su scala macroscopica• Volumi grandi su scala microscopica• In questo caso interpretiamo la formula

• ne è la densità media degli elettroni nel volume dv• è la velocità media degli elettroni nel volume dv• Sia la velocità media che la densità media possono

essere funzione della posizione e del tempo• In questo caso anche J è una funzione della posizione e del tempo J(r,t)• La corrente attraverso una superficie arbitraria (eventualmente ideale,

all'interno di un conduttore) è data da (attenzione ai segni)

• Se J non dipende dal tempo si parla di correnti stazionarie (steady)• Le cariche si muovono ma le proprietà del flusso non variano nel tempo

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Conservazione della carica• Supponiamo adesso di avere una superficie chiusa S chedelimita un volume V• In una regione in cui è presente una densità di corrente J• Calcoliamo il flusso di J

• L'integrale rappresenta la quantità di carica che fluisce nell'unità di tempo attraverso la superficie

• Se dQ/dt ≠ 0 significa che la carica si accumula o fuoriesce dal volume attraversando la superficie

• In una situazione stazionaria la derivata è nulla

• Dal teorema della divergenza, facendo tendere a zero il volume chiuso da S

• Divergenza nulla significa che la carica né si crea né si distrugge dentro V

La normale è verso l'esterno

La carica è all'interno

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Conservazione della carica• Consideriamo adesso un caso non necessariamente stazionario• Dentro il volume V delimitato da S ci sarà una densità

di carica ρ(r,t)• La carica all'interno sarà data dall'integrale di volume

• Nel caso non stazionario QV(t) può variare nel tempo• Inoltre

• Per finire abbiamo visto che

• Da cui discende l'importantissima equazione di continuità

• È una legge di conservazione locale• Sia in forma differenziale che integrale

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Conduzione elettrica• Fino ad ora abbiamo considerato un dato di fatto il movimento dei portatori di carica• In realtà è necessaria una forza perché si muovano• Ad esempio la forza di gravità o gradienti di pressione nell'atmosfera fanno muovere gocce d'acqua cariche• Un altro esempio piò essere la cinghia del generatoreVan de Graaff• Le studieremo in seguito: forze elettromotrici

• Per il momento consideriamo la forza più ovvia permettere in moto cariche elettriche: un campo elettrico• Sottolineiamo che si tratta ancora di campi elettrostatici e quindi di campi conservativi

• In presenza di un campo elettrico E• Le cariche positive si muovono nella direzione del campo• Le cariche negative si muovono nella direzione opposta• La densità di corrente dipende dal campo elettrico• Per un gran numero di sostanze la relazione fra J ed E è molto semplice

• La costante σ è la conduttività

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Conduzione elettrica• Pertanto se consideriamo un filo conduttore• All'interno del conduttore è presente un campo

elettrico che mette in moto le cariche• A questo punto occorre porsi una domanda• Come mai c'è un campo elettrico all'interno

del conduttore• La risposta risiede nel fatto che la condizione non è statica• In particolare deve esistere un meccanismo che agli estremi del filo …• Rimuove la carica che arriva per effetto della conduzione• Fornisce nuova carica per alimentare la conduzione• Ancora una volta, una forza elettromotrice di natura non elettrostatica• In caso contrario si arriverebbe ad una condizione

di accumulo di carica agli estremi• Positiva in alto, negativa in basso• Apparirebbe un campo elettrico che si opporrebbe al movimento fino ad arrestarlo• Si giungerebbe ad un equilibrio con campo elettrico nullo• Stazionario non significa statico• Tuttavia il campo elettrico che stiamo considerando è elettrostatico

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Legge di Ohm• Le dimensioni della conduttività sono [ σ ] = Q2 M−1 L−3 T (C Kg−1 m−3 s)• Una unità che si adopera di solito è (ohm-m)−1

• Come nel caso della densità di polarizzazione la relazione fra J e E può essere più complicata• Può essere non lineare: la conduttività può dipendere dal campo σ(E)

• Il mezzo può essere non isotropo

• Considereremo solo mezzi lineari e isotropi per i quali vale

• La legge enunciata prende il nome di legge di Ohm• I materiali per i quali vale (lineari, isotropi) sono detti "ohmici"

• Nelle applicazione tecnologiche non risulta comodo utilizzare la densità di corrente e il campo elettrico• Si preferisce utilizzare correnti e differenze di potenziale (tensioni)• Ad esempio nei circuiti elettronici

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Legge di Ohm• Per passare alla corrente e alla tensione occorre calcolare• L'integrale di J su una superficie• L'integrale di E lungo una linea• Consideriamo ad esempio un conduttore • La differenza di potenziale fra i suoi estremi

• La corrente che fluisce nel conduttore

• Si definisce la resistenza del conduttore• Si usa spesso la resistività

• La resistività si misura in ohm-m• La resistenza in ohm (Ω)

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Legge di Ohm• Nel ricavare le formule della pagina precedente si sono fatte alcune assunzioni• La densità di corrente J è uniforme sulla sezione S del conduttore• Se J variasse sulla sezione (es. J1 e J2) il campo elettrico sarebbe differente lungo ledue linee e non potremmo definire un'unicadifferenza di potenziale

• Analogamente abbiamo supposto che J fosse uniformelungo la lunghezza del conduttore• In realtà si potrebbero avere condizioni comequelle indicate nelle figure• La formula per la resistenza dipende da questidettagli• Funziona se questi dettagli sono trascurabili

• Infine vale la pena sottolineare che ipotizziamoanche che esista una netta separazione fra il mezzo conduttore e l'ambiente circostante• Significa che possiamo applicare le considerazionifatte anche a conduttori (resistenze) di formearbitrarie

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Legge di Ohm• Abbiamo sempre supposto che σ sia costante e che il mezzo fosse omogeneo,caratterizzato da un'unica conduttività• In una condizione di stazionarietà questo implica che non ci sono densità di

carica nel materiale• Infatti, in condizioni stazionarie• Dato che J = σE

• Viceversa se σ variasse si potrebbero avere densità di carica• Ad esempio consideriamo due conduttori di conduttività diversa σ1 > σ2

• NB: in queste slides σ è la conduttività• In condizioni stazionarie J deve essere lostesso in entrambi i mezzi• In caso contrario ci sarebbe accumulo

di carica sull'interfaccia• Significa che i campi elettrici E1 e E2 sono diversi: E1 < E2

• Il campo ha una discontinuità sull'interfaccia• Sull'interfaccia ci deve essere una densità di carica

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Velocità di deriva• Nella diapositiva abbiamo definito la densità di corrente come

• La velocità è definita come il valor medio delle velocità degli elettroni• Non abbiamo discusso le caratteristiche di questa velocità

• Stimiamo il valore della velocità di deriva con un esempio• Un filo di rame lungo 1 Km è collegato ad un generatore di tensione di 6 V• Calcolare la velocità di deriva in queste condizioni• Quanto tempo impiega un elettrone per percorrere tutto il filo?• Dati: ρ = 1.7 × 10−8 Ω−m ne = 8.0×1028 m−3 e = 1.6×10−19 C

• Determiniamo J

• Utilizzando la definizione di J determiniamo

• Introduciamo i valori numerici

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Velocità di deriva• Rendiamoci conto di cosa vuol dire questo ordine di grandezza• Per percorre il filo lungo 1 Km occorre un tempo

• La termodinamica ci dice che gli atomi e le molecole della materia a temperatura T non sono fermi• Hanno un moto caotico• Ad esempio in un gas o nel caso degli elettroni in un conduttore• Il moto è caratterizzato da un'energia cinetica media dell'ordine di kBT• kB = 1.38×10−23 JK−1 costante di Boltzman• T temperatura assoluta in gradi Kelvin• 300 K la temperatura ambiente• Le velocità delle molecole corrispondenti a questa energia sono dell'ordine di 105 m/s

• Vediamo pertanto che la velocità di deriva è molto più piccola della velocità istantanea degli elettroni

Un po' più di un anno !!

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Modello della conduzione• Abbiamo già visto che per avere conduzione è necessario avere cariche elettriche libere nella materia• Ioni, vale a dire atomi o molecole che hanno perso almeno un elettrone• Elettroni liberi• Normalmente il numero di ioni/elettroni è molto piccolo• Nell'acqua pura la molecola H2O si dissocia in H+ OH−

• In condizioni normali ci sono circa 6×1013 ioni/cm3

• pH = 7 pari a 10−7 moli/litro = 10−10 moli/cm3 e 1 mole = 6×1023

• Gli ioni/elettroni presenti nell'acqua pura sono responsabili della conduttività dell'acqua• Per l'acqua pura la conduttività è σ = 4×10−6 (ohm-m)−1

• Sciogliere un sale nell'acqua aumenta il numero di ioni• Ad esempio aggiungendo NaCl si arriva a circa 1020 ioni/cm3 (Na+ Cl−)• In un conduttore come il rame ci sono circa 8×1022 e/cm3

( vedi diapositiva )• In un gas ci sono pochissimi ioni, virtualmente zero• Una piccola concentrazione di ioni è dovuta alla radioattività naturale

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Modello della conduzione• Consideriamo adesso un gas che contiene ioni liberi di massa m• Supponiamo che la densità sia dell'ordine di 1025 atomi/m3

• Gli ioni si muovono liberamente all'interno della sostanza• Nelle condizioni di densità date la distanza media fra due molecole èdell'ordine di 10−8 m pari a un centinaio di raggi molecolari (10−10 m)

• Nel loro moto caotico urtano con le molecole • Sono troppo pochi per urtare fra di loro• Chiamiamo lk la distanza percorsa fra l'urto k e k+1• Naturalmente sono tutti diversi• Si definisce libero cammino medio λ

• Il libero cammino medio dipende dalla natura del gas e dalle sue condizioni termodinamiche (temperatura, densità …)• Il libero cammino medio di uno ione può essere dell'ordine di 10−7 m• Molto maggiore della distanza media fra molecole

• Abbiamo definito il libero cammino medio seguendo il moto di un singolo ione• Avremmo potuto definire una media a un dato istante su tutti gli ioni