Elementi di Meccanica CelesteAppunti del corso della professoressa Anna Maria Nobili Anno accademico 2011/2012

Daniele Serra Aggiornamento: 22 dicembre 2011

INDICE

1 Il problema dei due corpi1.1 Richiami di meccanica classica 1.1.1 1.2 Principio di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulazione del problema e riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Integrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Passaggio a coordinate polari piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 2 3 4 5 6 8 10 11 11 12 13 16 18 19 21 23 23 24 25 25 27

Descrizione delle orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 Orbite ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orbite paraboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orbite iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le orbite dei corpi di partenza

L'energia come integrale del moto Leggi di Keplero

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Legge oraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 1.4.2 L'equazione di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcolo dell'istante di passaggio dal pericentro . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

L'orbita nello spazio 1.5.1 1.5.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Elementi kepleriani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ritorno al sistema inerziale di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

Algoritmo per il problema dei due corpi 1.6.1 1.6.2 Schema dell'algoritmo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Il problema dei tre corpi ristretto circolare2.1 2.2 2.3 Formulazione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'equazione del moto per il terzo corpo L'integrale di Jacobi 2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

3333 35 37 37

Un nuovo integrale primo

II2.3.2 2.4

INDICERegioni ammissibili di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 42 42 43 45

Calcolo del primo punto di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 2.4.2 Forze mareali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raggio d'inuenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Criterio di stabilit di Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Le maree3.1 Potenziale mareale 3.1.1 3.1.2 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso di assetto sso Caso corotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4949 49 52 54 54 57 59 59 60 60 64 64 65 66

Forze di marea 3.2.1 3.2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caso ad assetto sso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso corotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Eetti mareali 3.3.1 3.3.2 3.3.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caso ad assetto sso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso corotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il caso della Terra

3.4

Attrito delle maree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 3.4.2 3.4.3 Caso della rotazione veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caso della rotazione lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alcune conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 La Terra come corpo rigido4.1 4.2 4.3 Il potenziale di uno sferoide oblato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La Terra come sferoide oblato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moti della Terra come corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 4.3.2 4.3.3 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6969 73 78 78 80 81

Precessione libera della Terra rigida

Precessione lunisolare dell'asse di rotazione della Terra . . . . . . . . . . .

A Moti del Sole, della Terra e della Luna

87

CAPITOLO 1 IL PROBLEMA DEI DUE CORPI

In questo capitolo formuleremo e risolveremo analiticamente il classico problema dei due corpi. Daremo una descrizione esplicita e dettagliata delle orbite e mostreremo come ottenere la legge oraria a partire dalle condizioni iniziali. Illustreremo anche un algoritmo per la soluzione del

problema dei due corpi e riporteremo un esempio di programma.

1.1 Richiami di meccanica classicaIn questa sezione riprendiamo le denizioni fondamentali di meccanica newtoniana. Innanzitutto, ricordiamo il

Principio di inerziaDefinizione

Un corpo puntiforme di massa

m,

non soggetto a forze, non

cambia la propria velocit.

1.1 -

Un sistema di riferimento inerziale su

R3

il dato di una base ortonormale

= (ex , ey , ez ),le distanze.

per cui vale il principio di inerzia.

Assumeremo che in un sistema di riferimento inerziale potremo sempre misurare il tempo e

Sar fondamentale la

Legge di Newtonvale la legge

Per un corpo puntiforme di massa

m,

soggetto alla forza

F,

F = ma,dove

a3

l'accelerazione del corpo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

Ogni punto di se

R3

pu essere scritto in termini di un sistema di riferimento inerziale ssato

:

P (t) R

, allora esistono funzioni

x, y, z : R R

che chiamiamo

coordinate

di

P (t)

rispetto

al sistema di riferimento

,

tali che

P

sia rappresentato dal vettore

r(t) := x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez = (x(t), y(t), z(t))t .1

2Definizione

Il problema dei due corpi 1.2Sia assegnato in

punto in movimento. Chiameremo

velocit

R3

un sistema di riferimento inerziale di

.

Sia

P R3

un

P

il vettore

v := r(t) := x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez = (x(t), y(t), z(t))t , dove abbiamo indicato con L'

accelerazione

del punto

f(t) la derivata P il vettore

di una funzione

f

della variabile

t.

a := r(t) := x(t)ex + y (t)ey + z (t)ez = ((t), y (t), z (t))t . x Ricordiamo adesso alcune quantit fondamentali della meccanica.

Definizioneil vettore

1.3 -

Chiameremo

quantit di moto lineare p := mr.

del corpo puntiforme

P

di massa

m

La

quantit di moto angolare

(o

momento angolare ) del punto P J := r p = mr r.

il vettore

Il

momento di una forza F

applicata al punto

P

il vettore

N := r F .Osservazione

1.4

-

Con queste notazioni, la legge di Newton diventa:

F = p.La terza ed ultima propriet fondamentale della meccanica newtoniana la seguente

Equazione di bilancioDefinizione

N = J.

1.5 -

Un

integrale primo del moto una funzione reale che assume valore costantea, b, c R3 ,allora

durante il moto. Ricordiamo, inne, una ricorrente propriet del prodotto vettore: se

a (b c) = c (a b) = b (c a).

1.1.1 Principio di equivalenzaFinora abbiamo parlato semplicemente di

massa

di un corpo, senza specicare nulla. In linea di

principio, ogni corpo dotato di due tipi di massa:

una

massa inerziale mi ,

che rappresenta l'inerzia che ogni corpo oppone all'azione di

una forza.

In altre parole, il coeciente di proporzionalit tra forza e accelerazione

nell'equazione di Newton;

una

massa gravitazionale mg ,

che esprime la capacit di un corpo dotato di massa di

attrarre gravitazionalmente un altro corpo. , quindi, la massa che compare nella formula della forza di attrazione gravitazionale:

F =

Gmg mg 1 2 r. r3

1.2 Formulazione del problema e riduzioneIn tutto il primo capitolo, ammetteremo la validit del seguente

3

Principio di equivalenzavale

Per ogni corpo, di qualsiasi massa e/o composizione,

mi = +1. mg

Vediamo subito una conseguenza del principio di equivalenza.

1.6 - L'accelerazione di caduta libera nel campo gravitazionale terrestre la stessa per tutti i corpi, indipendentemente dalla loro massa e/o composizione.Proposizione

Dimostrazione.e

R

corpo per eetto delle forza di attrazione gravitazionale, l'equazione di Newton per il moto del corpo

Consideriamo un corpo di massa inerziale

mi

e massa gravitazionale

mg ;

se

M

sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra, e

g

l'accelerazione acquisita dal

mg=

i

Gmg M R2

.

Per il principio di equivalenza, questa equivalente alla

GM g= R2

,

per cui l'accelerazione gravitazionale non dipende dalla massa del corpo.

Osservazione

1.7

-

In realt il principio di equivalenza un'ipotesi, che sta alla base della

teoria della gravitazione di Newton e della teoria della Relativit Generale di Einstein. Tutt'ora sono in corso veriche sperimentali di tale principio, che attualmente valido al livello di una parte su

1013 .

1.2 Formulazione del problema e riduzioneNel resto del capitolo supporremo sempre assegnato un sistema di riferimento inerziale sso

.

Il problema dei due corpi consiste nello scrivere e risolvere le equazioni del moto per due corpi puntiformi di masse

m1

e

m2

in

R3

soggetti esclusivamente alla mutua interazione gravitazionale.

Supponiamo che questi due corpi siano rappresentati (gura 1.1), nel sistema di riferimento inerziale ssato, dai vettori

1 , 2 .

Si tratta di determinare le componenti di questi due vettori

al variare del tempo, quindi abbiamo sei incognite. Indichiamo con

r

il vettore di

posizione relativa

dei due corpi, cio

r := 2 1 .Deniamo il

centro di massa

del sistema dei due corpi come quel punto rappresentato dal vettore

RCM :=

m1 1 + m2 2 . m1 + m2

4

Il problema dei due corpi

m1 CM 1 r 2 m2

Figura 1.1: Il problema dei due corpi e il sistema del centro di massa.

1.2.1 IntegrabilitCerchiamo di individuare alcuni integrali primi del sistema.

Proposizione

1.8 - La quantit di moto totale del sistema si conserva durante il moto.isolato,abbiamo che la risultante delle forze esterne

Dimostrazione.

Essendo il sistema

Fest

nulla. Poich le forze esterne che agiscono su tutto il sistema possono essere pensate come forze che agiscono unicamente sul centro di massa, allora abbiamo che

0 = Fest = Mtot RCM ,cio

Mtot RCM = p = cost.

Osservazioni

1.9

-

- Essendo

p

un vettore, esso fornisce tre integrali primi del moto.

- La forza gravitazionale non dissipa energia, dunque l'energia del sistema costituisce un quarto integrale primo. - La forza gravitazionale una

forza centrale

(, cio, parallela al vettore a cui applicata).

Per le propriet del prodotto vettore, ne consegue che il suo momento nullo, da cui

J = cost.Ci lascia supporre che abbiamo trovato altri tre integrali primi del moto, per un totale di sette, uno in pi rispetto alle incognite. In realt, si pu dimostrare che tali integrali

1.2 Formulazione del problema e riduzione

5

r M r Mtot

Figura 1.2: Il sistema la cui equazione del moto rappresentata dall'equazione (1.1). Il corpo nell'origine sso.

primi non sono tutti indipendenti , ma lo sono solo sei di essi. Pertanto, per il teorema di Liouville-Arnold-Yost, il problema integrabile.

1

1.2.2 L'equazione del motoScriviamo l'equazione del moto per il sistema. Mettiamoci nel sistema del centro di massa che, muovendosi di moto traslatorio a velocit costante, ancora un sistema di riferimento inerziale (gura

1.1).

Sia

ri := i r

per

i = 1, 2

e osserviamo che

r2 r1 = r,cio la loro mutua distanza espressa dallo stesso vettore. Le equazioni del moto sono:

m1 r1 = Gm1 m2 r r3 Gm1 m2 m2 r2 = r. r3Moltiplicando la prima per

m2 , la seconda per m1 m1 m2 r =

e sottraendo la prima alla seconda, otteniamo:

Gm1 m2 (m1 + m2 ) r. r3m1 m2 m1 +m2 e otteniamo l'equazione

Deniamo la

massa ridotta

del sistema

M :=

Mr = 1 In

GMMtot r. r3

(1.1)

un senso che pu essere denito rigorosamente.

6Osservazione

Il problema dei due corpi 1.10La

(1.1) rappresenta l'equazione del moto di un sistema di due corpi Mtot , soggette alla mutua attrazione gravitazionale, con il corpo di massa Mtot sso nell'origine del sistema di riferimento e quello di massa M che si muove a distanza r dal primo (gura (1.2)).puntiformi di masse

M

e

Vale la pena osservare che quello appena ottenuto un altro problema, chiamato che, nel caso in cui

problema ridotto,2

m2 0e

e = 1,

e [0, 1),

Osservazione

1.21 -

Uguagliando le due espressioni dell'energia di cui disponiamo, otteniamo

v2 = GMtot

2 1 r a

.

(1.9)

Siamo cio, in grado di calcolare la velocit del vettore di mutua distanza, note le sue coordinate. In particolare, nel caso

a0

2 /GMtot

E=0 rmax

rmin

r

E 0 molto grande, prossimo all'innito. La curva a per cui anche sar prossimo all'innito. Ci avviene in uno dei

tre casi discussi precedentemente, cio pu essere che: -

(1 )/r1 /r2

, che ci d una circonferenza di centro il primario e raggio

(1 )/II ;(si osservi

che questo valore pi piccolo di -

II , che ci d una circonferenza di centro il secondario e raggio /II (1 )/II ); II ,che ci d una circonferenza di centro l'origine e raggio

(x2 + y 2 )/2

2II .

Queste curve dividono il piano in quattro componenti connesse: due sono i dischi delimitati dalle prime due circonferenze, una l'aperto illimitato che ha per bordo la terza circonferenza, e la quarta la restante. Poich il valore di

si vede facilmente essere maggiore di

II

nelle prime tre componenti connesse, allora il moto pu avvenire solo in uno dei primi

tre aperti.

Esempio

2.9

-

Supponiamo di avere un asteroide le cui condizioni iniziali (posizione e

velocit) diano luogo ad un valore dell'integrale di Jacobi pari a

II .

Supponiamo, inoltre,

che la sua posizione iniziale sia all'interno della circonferenza attorno al secondario, sia, cio, un

satellite

del secondario; grazie al discorso precedente, l'asteroide vincolato a

restare in quella regione di spazio e rester un satellite del secondario per tutti i tempi. 2. Consideriamo il caso di

0 < I =: III < II ,

ma comunque grande.

La situazione

topologicamente la stessa di prima: le curve a velocit zero sono ancora tre circonferenze, con la dierenza che i raggi delle prime due sono pi grandi dei raggi di quelle ottenute al livello stesse. 3. A mano a mano che diminuiamo il valore di secondario si allargano.

II 4 ,

mentre il raggio della terza pi piccolo. Le conclusioni sul moto sono le

I,

le circonferenze attorno al primario e al

ragionevole pensare che esista un certo valore di

I,

diciamo

I,3 4 Si

che dia una situazione limite in cui queste circonferenze si toccano in un punto, dando

origine ad una curva a forma di 8. Eettivamente tale punto esiste, ed un punto a forzacome se fosse un bambino fermo su una giostra: per noi osservatori esterni, il bimbo possiede una velocit osservi che, se

non nulla, ovviamente.

II > III ,

allora

(1 )/II < (1 )/III .

2.3 L'integrale di Jacobi

41

L3

m1

L1

m2

L2

x

Figura 2.4: distinte.

Graco della funzione

(x, 0)

e livelli corrispondenti a curve topologicamente

zero, che chiameremo

primo punto di Lagrange

e che indicheremo con

L1 5 .

Per valori dell'integrale di Jacobi minori di varia; descriviamo alcuni di questi casi:

I,

la topologia delle curve di livello molto

- incontriamo dapprima una curva semplice chiusa attorno alla binaria; in questo caso il terzo corpo pu essere sia un satellite del primario, sia uno del secondario, sia entrambi e non possiamo stabilire a priori - senza metodi di integrazione numerica - quale sia la sua condizione; - diminuendo il valore di

I,

la curva appena descritta si aprir in un punto

L2

che si

trova oltre il secondario; in questo caso il moto possibile sia attorno alla binaria che arbitrariamente lontano da essa; - per valori ancora minori di

I,

esiste un punto

L3 ,

oltre il primario, in cui la curva si

spezza in due curve semplici chiuse attorno a due punti,

L4

e

L5 ,

tali che

m1 m2 L4

e

m1 m2 L5Osservazionemuoversi in

siano triangoli equilateri: il moto si svolge all'interno di queste curve.

2.10

-

Vale la pena sottolineare che, sebbene abbiamo fatto un discorso pu-

ramente bidimensionale, in realt il ragionamento identico nel caso in cui il terzo corpo possa

R3 .

In questo caso, le circonferenze attorno al primario e al secondario saranno sfere

che delimitano le regioni ammissibili di moto per l'asteroide. Per intuire quali sono le curve di livello della funzione riporta il graco nel piano

si pu osservare la gura 2.4, che

xz

della funzione

(x, 0).

evidente che i punti

L1 , L2 , L3

sono

punti in cui il numero di curve di livello cambia: per valori molto piccoli di

a mano a mano che aumenta le curve passano a due (in corrispondenza di corrispondenza di

I ci sono tre curve, L1 ), poi a una (in

L2

e

L3 ).L1e di

5 Ci

occuperemo del calcolo di

I

nella prossima sezione.

42

Il problema dei tre corpi ristretto circolare

A M

d O m

B

x

D

Figura 2.5: Forze mareali del corpo

M

sui punti

A, O, B

di

m.

2.4 Calcolo del primo punto di LagrangeIl punto

L1

un punto di equilibrio nel sistema rotante: rappresenta, dunque, il punto in cui la

risultante delle forze in gioco nulla. Ponendo, in questo resterebbe in

L1 , un punto massa con velocit iniziale nulla,

L1

poich non soggetto ad alcuna forza.

fondamentale osservare che, poich siamo in un riferimento non inerziale, non abbiamo soltanto le forze di attrazione gravitazionale del primario e del secondario, ma anche la forza centrifuga dovuta alla rotazione del riferimento. Prima di calcolare la posizione di il concetto di forze mareali.

L1 , conveniente chiarire

2.4.1 Forze marealiIn questa sezione diamo una prima esposizione del concetto di forze di marea, che verr ripresa pi approfonditamente nell'apposito capitolo. In particolare, tratteremo qui solo il caso di due corpi di masse

M, m

posti a distanza

gravitazionale. Supporremo anche che con il centro di massa del corpo pi velocit angolare

D l'uno dall'altro e soggetti alla mutua forza d'attrazione M >> m, cosicch il centro di massa del sistema coincida massivo, e che m abbia orbita circolare attorno a M (con

n).

Lavoriamo nel sistema di riferimento non inerziale con origine nel centro

di massa e solidale al corpo orbitante.

Definizioneniamo la

forza di marea del corpo M sul punto P di mMin

2.11

-

Sia

P

un punto del corpo

m

che si trova sulla congiungente

M m.

De-

la dierenza vettoriale tra la forza

d'attrazione gravitazionale di attorno a

P

e la forza centrifuga in

P

dovuta alla rotazione di

m

M. Msu alcuni punti di

Calcoliamo le forze di marea di

m. msia puntiforme. La terza legge

Supponiamo, in prima approssimazione, che il corpo di massa di Keplero risulta essere

n D = GM ,

2

3

da cui otteniamo

n2 D =cio la forza d'attrazione gravitazionale di attorno a

GM , D2

M

si bilanciano esattamente in

Consideriamo, pi in di raggio

d norb ,

allora si ha l'evoluzione descritta nel paragrafo 3.4.1: il pianeta rallen-

ter la sua rotazione propria e i due corpi si allontaneranno, no ad una situazione stabile

3.4 Attrito delle mareenale in cui si ha

67spin,pian = spin,sat = norb .

Un tale sistema si dice

sincrono ;

ad oggi, l'unico esempio di sistema sincrono conosciuto

nel Sistema Solare quello costituito da Plutone e Caronte.

se

spin,pian < norb ,

allora il momento

N

porter ad aumentare la velocit di rotazione

propria del pianeta, avvicinare i pianeti e, dalla terza legge di Keplero, ad aumentare la velocit di rotazione orbitale. Questo modicher lo stato di rotazione del satellite,

portandolo nella condizione di rotazione lenta. L'eetto complessivo un avvicinamento sempre pi rapido del satellite al pianeta, no alla sua distruzione. la situazione in cui si trovano Marte e il suo satellite Phobos.

La marea del Sole nel Sistema SolareGli eetti principali della marea del Sole sono due.

Il Sole ancora abbastanza vicino alla Terra da impedire che il sistema Terra-Luna arrivi allo stato

sincrono.

Mercurio e Venere non possono avere satelliti. Vediamo il caso di Mercurio: questo pianeta caratterizzato da un'orbita molto eccentrica (e

norb,spin, norb,sat

0.2), 3 , 2

e ci porta ad avere

cio una rotazione propria molto lenta. Se Mercurio avesse avuto un satellite con

Nell'evoluzione successiva, per non avere distruzione del satellite, si sarebbe dovuto avere

spin,sat >

(altrimenti sarebbe andato distrutto), questo sarebbe arrivato alla corotazione.

spin, > norb,sat

, ma questo non possibile per la lentezza di Mercurio .

3

3 Si pu calcolare esplicitamente quale dovrebbe essere la velocit di rotazione di un satellite attorno a Mercurio:basta calcolare il raggio di Hill di Mercurio e poi usare la (1.9).

68

Le maree

CAPITOLO 4 LA TERRA COME CORPO RIGIDO

Finora abbiamo studiato fenomeni astronomici in cui non interveniva la particolare forma dei corpi celesti. Anzi, abbiamo sempre supposto che questi fossero puntiformi o, se estesi, a simmetria sferica. Quando parliamo dei fenomeni che interessano la Terra, per, non possiamo pi trascurare il fatto che questa ben lontana dall'essere perfettamente sferica: le correzioni apportate al potenziale gravitazionale terrestre che tengono conto di ci sono anche dell'ordine del millesimo, quindi non ignorabili. In questo capitolo studieremo la forma eettiva della Terra, analizzando le cause della sua non sfericit, e vedremo a quali fenomeni d origine.

4.1 Il potenziale di uno sferoide oblatoCome giusticheremo nel seguito, la Terra approssimabile ad uno

sferoide oblato :

un oggetto

tridimensionale ottenuto ruotando un ellisse attorno al suo semiasse minore.

A tal proposito,

sar fondamentale avere a disposizione la forma del potenziale gravitazionale generato da un tale oggetto. Quello che faremo in questa sezione procurarci uno sviluppo in serie di tale potenziale troncato ad un'opportuno termine.

M , con il centro di massa posto nell'origine di un sistema di riferimento di Sia P := (x, y, z) il generico punto in cui vogliamo calcolare il potenziale e r il suo vettore posizione; sia il vettore posizione del generico punto dello sferoide (gura 4.1). Supporremo /r ,

quindi non sarebbe corretto

utilizzarla per

R = ;

in realt si pu dimostrare che non stiamo commettendo alcun errore.

4.2 La Terra come sferoide oblatopoich possiamo parametrizzarla come

77y = r cos e

z = r sin

(gura 4.3), otteniamo

r2 =

b2 a2 (1 e2 ) = . b2 sin2 + (1 e2 ) cos2 sin2 + 2 cos2 a (1 e2 ) = b2 = (1 )2 , a2

fondamentale osservare che

perci

r=

a(1 ) sin2 + (1 )2 cos2

= a(1 )(sin2 + cos2 2 cos2 + a(1 )(1 2 cos2 ) 2 a(1 )(1 + cos2 ) a(1 (1 cos2 )) = a(1 sin2 ).Deniamo1

2

cos2 ) 2

1

:= sin2 , C A,

per cui

trascureremo i termini dell'ordine di centrifugo e

r = a(1 ). Nel sostituire quest'ultima equazione nella (4.10), 2 , ma anche i termini in cui moltiplica il potenziale

essendo queste quantit molto piccole; inoltre, i termini costanti li portiamo

a secondo membro. Procediamo:

1 G(C A) GM (3 sin2 1) + 2 a2 (1 )2 cos2 = cost. a(1 ) 2a3 (1 )3 2 GM G(C A) 1 (1 + ) (1 + 3)(3 sin2 1) + 2 a2 (1 2) cos2 = cost. a 2a3 2 G(C A) GM 1 ( 1 +) (3 sin2 1 + 9 sin2 3 ) + 2 a2 (1 2 ) cos2 = 3 a 2a 2

cost.

cost.

trasc.

trasc.

cost.

trasc.

3 G(C A) 1 GM sin2 2 a2 sin2 = 0. 3 a 2 a 2

(4.11)

Nell'ultimo passaggio abbiamo posto la costante del potenziale uguale a il potenziale denito a meno di costante. Dalla (4.11), otteniamo:

0:

ci legittimo perch

=da cui, ricordando la denizione di

2 3 3(C A) a + 2M a2 2GM

sin2 ,

, J2

e

m, 3 1 J2 + m. 2 2(4.12)

=Osservazionecaso

4.3

-

Se

J2 = 2/5

, da cui

costante, la precedente si riconduce alla (4.9): infatti, in quel

=

3 m 5 + = = m. 5 2 4

78 Dati numerici

La Terra come corpo rigido

Nel caso della Terra, possibile misurare i parametri che abbiamo denito.

Parametro

Valore per la Terra

m J2

1/298.2 3.46 103 1.08 103 a = 6.378 106 m.

I valori presenti nella precedente tabella si riferiscono ad un raggio equatoriale , inoltre, possibile misurare il valore

(C A)/A: C A A 3.27 103 .

4.3 Moti della Terra come corpo rigidoIn questo paragrafo descriveremo due importanti moti di precessione che interessano la Terra: il primo il moto di precessione libera, che non tiene conto dell'interazione gravitazionale con altri corpi celesti; il secondo il moto di precessione luni-solare che, al contrario del primo, causato dalla presenza del Sole e della Luna. Avremo prima bisogno di scrivere le equazioni di Eulero per un corpo rigido con un punto sso.

4.3.1 Equazioni di EuleroIn questo paragrafo daremo per buone le nozioni di corpo rigido e di sistema di riferimento solidale al corpo rigido. Siano

,

due sistemi di riferimento, sia

la velocit angolare di

rispetto a

.

Vale la

seguente relazione:

du dt

=

du dt C

+ u.e che

(4.13)

Supponiamo adesso di avere un corpo rigido con origine nel centro di massa di

sia un sistema di riferimento inerziale

C,

mentre

sia solidale a

C.

Proposizione

4.4 - Esiste una matrice I tale che il momento angolare L del corpo rigido soddisfa la seguente relazione:L = I,(4.14)

dove la velocit angolare del corpo rigido.

4.3 Moti della Terra come corpo rigidoDimostrazione.masse Supponiamo che il corpo rigido sia formato da posizioni

79Npunti materiali

P1 , . . . , P N

di

m1 , . . . , m N ,

r1 , . . . rN L=

e velocit

v1 , . . . , vN .

Il momento angolare totale risulta

N

mi ri vii=1 N

=i=1 N

mi (ri ( ri ))2 mi (ri ( ri )ri ). i=1

=In componenti, abbiamo:

N

N 2 mi (ri x2 ) y i

N

Lx = xi=1

mi xi yi zi=1 i=1 2 2 mi (ri yi ) z

mi xi ziN

N

N

Ly = xi=1 N

mi xi yi + yi=1 N

mi yi zii=1

N

Lz = xi=1

mi xi zi yi=1

mi yi zi + zi=1

2 2 mi (ri zi ).

evidente che le precedenti sono relazioni lineari in tale che

,

per cui possibile denire una matrice

I

L = I.

Osservazioni

4.5I

-

- La precedente proposizione vale anche nel caso di un corpo rigido

continuo: basta sostituire le somme con integrali. - La matrice detta

tensore di inerzia

del corpo rigido ed evidentemente simmetrica. Si

pu dimostrare che anche denita positiva nel caso in cui esistano almeno tre punti del corpo rigido non allineati. Ci ci garantisce che esiste un sistema di riferimento ortonormale in cui la matrice

riferimento principale d'inerzia ; i corrispondenti autovalori sono i momenti principali d'inerzia.I diagonale: un tale sistema di riferimento viene detto

Siamo pronti a scrivere le equazioni di Eulero per un corpo rigido con un punto sso. Indichiamo con

Ne

il momento delle forze esterne che agiscono su

C.

4.6 (Equazioni di Eulero) - Sia un sistema di riferimento principale d'inerzia per il corpo rigido C solidale ad esso e supponiamo che in tale riferimento i vettori e e e , N e abbiano rispettivamente componenti x , y , z e Nx , Ny , Nz ; siano I1 , I2 , I3 i momenti principali d'inerzia in . Valgono le seguenti equazioni:Proposizionee Nx = I1 x (I2 I3 )y z e Ny = I2 y (I3 I1 )x z e Nz(4.15)

= I3 z (I1 I2 )x y .

80Dimostrazione.rigido. In Sia

La Terra come corpo rigido un sistema di riferimento inerziale con origine nel centro di massa del corpo dL dt

vale l'equazione cardinale

= N e.

Inoltre, dalla (4.14),

dL dtScriviamo la (4.13) con

=I

d dt

.

u = L: Ne = dL dt dL +L dt d =I +L dt d =I + I. dt =

La precedente, scritta in coordinate, d esattamente le (4.15).

4.3.2 Precessione libera della Terra rigidaPer la descrizione del moto di precessione libera supporremo che la Terra sia un corpo rigido della forma di uno sferoide oblato non soggetto a forze esterne. Osserviamo che un qualsiasi sistema di riferimento solidale alla Terra

nel piano equatoriale, un sistema di riferimento principale d'inerzia. Se

ex , ey sono I1 , I2 , I3 sono i momenti principali d'inerzia rispetto agli assi x, y, z , allora abbiamo che I1 = I2 < I3 . Supponiamo che la Terra ruoti con velocit angolare non parallela all'asse z e siano x , y , z le componenti di rispetto al riferimento .con origine nel centro di massa e in cui

= ex , ey , ez

Proposizione

attorno all'asse z .

4.7

-

Il vettore velocit angolare descrive, nel riferimento , un conoPoich la Terra

Dimostrazione.

Scriviamo le equazioni di Eulero per la Terra in questo caso.

non soggetta a forze esterne, allora

N e = 0:

I1 x = y z (I1 I3 )

I = x z (I1 I3 ) 1 y I = 0. 3 zLa terza equazione ci dice che

z

costante, per cui possiamo porre

:= z (I1 I3 )/I1 , ottenendo

x = y y = x . Le precedenti possono essere disaccoppiate ottenendo le equazioni di due oscillatori armonici di soluzione

x = A sin(t)

= A cos(t) y = B z

4.3 Moti della Terra come corpo rigidoz

81

y

x

Figura 4.4: Precessione libera della Terra rigida.

con

A, B

costanti che dipendono dalle condizioni iniziali. Si conclude osservando che le precedenti

sono equazioni parametriche per un cono di asse coincidente con

z.ed la

Osservazioni

4.8

-

- La quantit

frequenza con cui gira

in verso opposto alla rotazione della Terra. - Per la Terra abbiamo che

chiamata

velocit angolare di precessione

. Osserviamo che

< 0,

per cui il moto di precessione avviene

(I1 I3 )/I1 3.3 103 , da cui ricaviamo che il periodo di precessione libera di circa 300 giorni. In realt si osserva che il periodo eettivo di circa 427 giorni; la dierenza dovuta all'elasticit della Terra.

- Il fenomeno che si osserva in un riferimento inerziale il cosiddetto Chandler wobble, dal nome dello scienziato che per primo ne misur il periodo. Un problema aperto quello di determinare la ragione per cui non si verica uno smorzamento della precessione libera.

4.3.3 Precessione lunisolare dell'asse di rotazione della TerraIl Sole non si trova sul piano equatoriale della Terra, ma su un piano, detto

ca,

piano dell'eclitti-

inclinato rispetto a questo di un angolo

= 23, 5 .

Se la Terra non avesse una rotazione

propria, l'attrazione gravitazionale del Sole tenderebbe a spostare la Terra, no a far coincidere il piano equatoriale con quello dell'eclittica. Poich la Terra ruota, l'attrazione gravitazionale

82Z

La Terra come corpo rigido

Rr

r

R

O

Y

XFigura 4.5: Riferimento inerziale della Terra.

del Sole riesce solo a far descrivere un cono all'asse di rotazione terrestre attorno alla perpendicolare al piano dell'eclittica, causando la cosiddetta descriveremo quantitativamente questo fenomeno.

precessione lunisolare.

In questo paragrafo

con origine nel centro di massa della Terra XY Z , con Z asse di simmetria della Terra4 . Sia R la posizione del Sole, di coordinate (X, Y, Z) (gura 4.5). Supponiamo che la Terra ruoti attorno all'asse Z con velocit angolare , trascurando cos il moto di precessione libera. Su ogni elemento di massa dm della TerraConsideriamo un sistema di riferimento inerziale e di assi agisce una forza elementare esercitata dal Sole di intensit

dF =

GM dm(R r)3

.

Rr

Osserviamo che nel calcolo di questa forza possiamo trascurare la rotazione della Terra, grazie alla simmetria dello sferoide oblato. Al solito, supponiamo che

R >> r,

per cui, sviluppando e

4 Possiamo

pensare al piano

XY

come al piano dell'equatore celeste e

Z

in direzione del Polo Nord Celeste.

4.3 Moti della Terra come corpo rigidotrascurando termini di ordine superiore a

83

r/R:3

3

Rr

= (R2 + r2 2R r) 2 =R3

r2 Rr 1+ 2 2 2 R R Rr 12 2 R 1+3 Rr R23 2

3 2

R

3

R3La forza, quindi, diventa:

.

dF =

GM dm R3

1+3

Rr R2

(R r).ricaviamo prima il momento Il

Calcoliamo, adesso, il momento della forza esercitata dal Sole:

elementare della forza e poi integreremo sul corpo rigido per ottenere il momento totale. momento elementare

dK : = r dF GM dm R3mentre il momento totale

1+3

Rr R2

(r R),

K

GM R3

1+3

Rr R2

(r R) dm.

Osserviamo che l'addendo

(r R)dm

uguale a

( rdm) R

che a sua volta nullo perch

r dmriduce a

sono le coordinate del centro di massa, che abbiamo posto nell'origine. Il momento si

K

3GM R5dati da:

(r R)(r R) dm.

Osserviamo adesso che il riferimento prescelto un riferimento principale d'inerzia, con associati momenti principali d'inerzia

A, B, C

A= B= C=

(y 2 + z 2 ) dm (x2 + z 2 ) dm = A (x2 + y 2 ) dm.

84 Z

La Terra come corpo rigido

Y

XFigura 4.6: Il riferimento della Terra e dell'eclittica.

Esplicitiamo le componenti di

K:

se

r = (x, y, z),

abbiamo che

KX

3GM (xX + yY + zZ)(yZ zY ) dm R5 3GM = Y Z (y 2 z 2 ) dm R5 3GM = (C A)Y Z. R5

Un conto analogo mostra che

KY KZ semplice vericare che

3GM (C A)XZ R5 3GM (B A)XY = 0. R5che

K

diretto lungo l'asse

K R = 0. Questo, unito al fatto X , perci tender a far precedere il

KZ = 0 ,

ci fa concludere che

vettore velocit angolare

descriver un cono attorno all'asse perpendicolare al piano dell'eclittica. Calcoliamo, adesso, la velocit angolare di precessione. piano dell'eclittica e sia con Mettiamo coordinate

, che

X,

sul

l'asse perpendicolare (gura 4.6). In questo riferimento, che denotiamo

,

il Sole avr coordinate

R = (R cos , R sin , 0),

4.3 Moti della Terra come corpo rigidodove

85Kavr coordinate date da

la longitudine del Sole. Inoltre, il vettore

K 1 K = 0 K 0

0 cos sin

sin2 cos 0 KX 3GM (C A) sin sin cos cos . sin KY = R3 KZ cos sin cos sin

Il suo modulo dipende da

C A

e dall'inverso del cubo della distanza: l'eetto che si avr sar

piccolo rispetto alla rotazione principale della Terra, quindi il periodo di precessione sar lungo. Supponiamo che

Tprec >> 1yr

( un'ipotesi che vericheremo a posteriori, ma ragionevole).

L'eetto che apprezziamo ha un periodo molto lungo, dunque non scorretto pensare al Sole in una posizione media rispetto a quelle che occupa sull'eclittica durante l'anno: possiamo calcolare l'eetto di precessione

mediando

sulla posizione del Sole in un anno. In questo modo, otteniamo

K = K = 0

e

K =Per il momento angolare

3 GM (C A) sin cos . 2 R3

L = C

, vale l'equazione fondamentale

dL dtSia, ora,

= K.

il sistema di riferimento solidale con la Terra che descrive il moto dell'asse

Z.

Tale

sistema di riferimento avr una velocit angolare

prec = prec , + prec L.

che soddisfa, per la (4.13):

dL dtNel riferimento

=

dL dt

il vettore

L

fermo, dunque la precedente equazione diventa, tenendo conto

dell'equazione fondamentale,

K = prec L.Da questa ricaviamo:

K = (prec L) = prec L = prec L sin .Concludiamo che

prec = Osservazione

K 3 GM = L sin 2 R3

C A C

1 cos .

4.9

-

Abbiamo studiato il moto di precessione nel caso della Terra e del Sole,

ma nulla cambia se si considera la Terra e la Luna: difatti, gli eetti dei due corpi vanno sommati per ottenere il periodo eettivo della precessione lunisolare. Possiamo distinguere:

prec,

GM 3 prec, = 2 d3 = 3 GM 2 d3

C A C C A C

1 cos

1 cos .

86

La Terra come corpo rigido

Polo Nord Celeste

2

Figura 4.7: La Sfera Celeste e il riferimento dell'eclittica.

Come accade per le maree, l'eetto della Luna pi importante dell'eetto del Sole di un fattore

2.2:

= M d prec, M d3 prec,3

2.2. lunisol = 3.2prec,

Pertanto la velocit angolare di precessione lunisolare calcoli, tenendo conto che lunisolare

(C A)/C

3.27 10

3

, si trova che il periodo della precessione

. Facendo i dovuti

Tlunisol

26000 yr.

APPENDICE A MOTI DEL SOLE, DELLA TERRA E DELLA LUNA

La Terra, oltre il moto di rivoluzione attorno al Sole, ruota attorno a se stessa compiendo la cosiddetta

rotazione propria.

fondamentale, nello studio delle maree e dei fenomeni astronomici1

in generale, conoscere la durata di questa rotazione propria. Spesso, per, sar importante riferire questa rotazione non alle stelle sse , ma al Sole o alla Luna. Lo scopo di questa appendice denire questi diversi tipi di

giorni

e calcolarne la durata.

Giorno sidereo e giorno solareIl giorno sidereo il periodo di rotazione propria della Terra rispetto alle stelle sse.

Definizionecio

A.1 -

Si denisce

giorno sidereo

l'intervallo di tempo che intercorre tra due pas-

saggi successivi di un medesimo astro su un certo meridiano. Un giorno sidereo dura

23h 56m 0.4s ,

86160s .

Da questo otteniamo che la velocit angolare media della Terra di rotazione propria

= 86160s .

2

La vita di tutti i giorni regolata dal Sole, per cui perfettamente legittimo considerare il giorno riferito al Sole.

Definizione

A.2

-

Il

giorno solare

il periodo di tempo che intercorre tra due passaggi

successivi del Sole su un certo meridiano. Il giorno solare non coincide col giorno sidereo, ma pi lungo: ci dovuto al fatto che, durante la sua rotazione propria, la Terra si spostata lungo la sua orbita attorno al Sole, per cui dovr ruotare ancora un po' attorno a se stessa anch il Sole ritorni sul medesimo meridiano (gura A.1). l'angolo Inoltre, poich la velocit angolare di rotazione attorno al Sole non costante,

spazzato in un giorno sidereo non sempre lo stesso. Sapendo, per, che in

365d

la

1 Consideriamo

stelle sse

quegli astri che, grazie alla loro grande distanza dalla Terra, non mutano la loro

posizione in tempi brevi.

87

88

Moti del Sole, della Terra e della Luna

A

A

Figura A.1: Giorno solare della Terra.

Terra fa un giro completo, cio spazza

360 ,

possiamo assumere che in un giorno essa spazzi

1 .

Tale angolo lo stesso che la Terra deve spazzare nella rotazione attorno a se stessa perch il Sole torni sullo stesso meridiano (gura A.1). A questo punto semplice calcolare qual il tempo supplementare di rotazione della Terra: se

t

questo tempo, si deve avere

t da cui

= 360 ,24h .

2

t = 4m .

Ne consegue che un giorno solare dura circa

Mese sidereo e mese sinodico della LunaDefinizione

A.3

-

Il

mese sidereo

della Luna il periodo di rotazione della Luna attorno

alla Terra, rispetto alle stelle sse. Esso dura

27.32166d .

Possiamo, quindi, calcolare la velocit angolare media di rotazione della Luna attorno alla Terra

n

:

n =

2 27.32166 86400s

Cos come abbiamo fatto con la rotazione della Terra, possiamo riferire al Sole la rotazione della Luna:

Definizione

A.4

-

Il

mese sinodico

l'intervallo di tempo dopo il quale la Luna, nella sua

rotazione attorno alla Terra, assume la stessa posizione rispetto al Sole.

89

Figura A.2: Mese sinodico della Luna

Osservazione

A.5 27

Il mese sinodico il periodo rispetto al quale si rispettano le fasi lunari.

Analogamente a quanto accade per la Terra, il mese sinodico pi lungo del sidereo: infatti, mentre la Luna ruota attorno alla Terra, quest'ultima si sposta attorno al Sole spazzando un angolo

di circa

(gura A.2).

Questo lo stesso angolo che la Luna deve spazzare per

ritornare nella stessa posizione rispetto al Sole, impiegando un tempo supplementare

t

tale che

n t = 27 abbiamo, quindi, t

2 ; 360 29.53059d .

2d .

Precisamente, abbiamo che il mese sinodico della Luna dura

Giorno sinodico della LunaPer lo studio delle maree dovute alla Luna e della loro periodicit, fondamentale considerare il giorno sinodico della Luna.

Definizione

A.6

-

Il

giorno sinodico lunare

il tempo che intercorre tra due passaggi

consecutivi della Luna sul medesimo meridiano terrestre. Il giorno sinodico lunare pi lungo di un giorno sidereo perch, dopo un giorno sidereo, la Luna si mossa lungo la sua orbita attorno alla Terra: per ritrovare la Luna sullo stesso meridiano, la Terra dovr spazzare un angolo

attorno a se stessa pari all'angolo spazzato dalla

Luna in un giorno sidereo (gura A.3). Poich lungo di un giorno sidereo di un tempo

13 ,

allora il giorno sinodico lunare sar pi

t

pari a

t

86400s 27

53m .

Concludiamo che un giorno sinodico lunare dura

24h 50.4m .

90

Moti del Sole, della Terra e della Luna

A A n

Figura A.3: Giorno sinodico lunare.

TAVOLA DELLE COSTANTI

Masse dei corpi celesti

= 1.98 1030 Massa di Mercurio m = 3.3 1023 Massa della Terra m = 5.97 1024 Massa della Luna m = 7.33 1022 Massa di Giove m = 1.89 1027mkg kg

Massa del Sole

kg kg

kg

1/80 m m

10

3

Raggi dei corpi celesti

= 6.37 106 Raggio della Luna R = 1.37 106 Raggio di Mercurio R = 2.44 106R

Raggio della Terra

m

m m

Distanze relative tra corpi celesti

= 1.49 1011 = 1 Distanza Terra-Luna d = 3.84 108 Distanza Sole-Giove d = 11.3 Semiasse maggiore di Mercurio a = 0.38dm m UA 91

Distanza Terra-Sole

UA

UA