ELEMENTI DI DINAMICA DELLE COSTRUZIONI · Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà ... Misura...

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ELEMENTI DI DINAMICA DELLE COSTRUZIONI

prof. ing. Giorgio SERINODipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale

Università degli studi di Napoli Federico II

CORSO DI AGGIORNAMENTOSULLA NUOVA NORMATIVA SISMICA (OPCM 3274/2003 e 3431/2005)

Napoli, 9 novembre 2005 – Comune di Napoli

Univ. di Napoli Federico II

2

SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (1)

Parte I

Dinamica dei sistemi ad un solo grado di libertà

I.1 Descrizione del modello ed equazione del motoI.2 Oscillazioni libere (periodo proprio e smorzamento)I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)I.4 Risposta al sisma (spettri di risposta elastici)

I.5 Comportamento non-lineare (duttilità, spettri di progetto)

3


Parte II

Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà

I.1 Modellazione ed equazioni del motoI.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)I.4 Analisi modale con spettro di risposta

I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano

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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà

I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto

Sistema ad un g.d.l.: il più semplice modello dinamico

IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA

5




IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA

6




IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA

7




IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA

8



Oscillazioni libere al rilascioNella realtà le oscillazioni sono sempre smorzate (sono numerose le possibili fonti di

dissipazione di energia) ed è necessario introdurre nel modello un elemento smorzatore

IMPALCATO RIGIDO

COLONNESENZA MASSA

spos

tam

ento

tempo

9



Parametri del modello• massa m (inerzia)

• rigidezza k (elasticità)

• smorzamento c (dissipazione)

Il caso della forzante esterna agente

Equazione del moto

)()()()( tptftftf SDI =++

)()()()( tptkutuctum =++ &&&

massa, mforzanteesterna,p (t )

rigidezzalaterale, k

coefficiente di smorzamento, c

(a) modello idealizzato della costruzione

(b) equilibrio delle forze

(c) colonne (d) smorzatore

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Spostamento totale (rispetto ad un sistema di riferimento inerziale):

Il caso del moto sismico alla base

)()()( tututu gt +=

Equazione del moto

0)()()( =++ tftftf SDI

0)()()]()([ =+++ tkutuctutum g &&&&&

)()()()( tumtkutuctum g&&&&& −=++

11


I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)

0)()( =+ tkutum &&

Spostamento a t = 0:Velocità a t = 0: )0(u&

)0(u

Equazione e condizioni iniziali del moto

0)()( 2 =ω+ tutu&&

propria pulsazione :cui in ==ωmk

tempo, t

spos

tam

ento

, u

Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5

ampiezza

12



)cos(cos)0(sen)0()( ψ−ω=ω+ωω

= tAtututu&

Soluzione[ ] =+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ω

= 22

)0()0( uuA&

nioscillaziodelleampiezza=

tempo, t

spos

tam

ento

, u


ampiezza

13



sistema del naturale) (o proprio periodo2=

ωπ

=T

sistema del naturale) (o propria frequenza2

1=

πω

==T

f

tempo, t

spos

tam

ento

, u


ampiezza

14


I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)

0)()()( =++ tkutuctum &&&

Spostamento a t = 0:Velocità a t = 0: )0(u&

)0(u

Equazione e condizioni iniziali del moto

0)()(2)( 2 =ω+ξω+ tututu &&&

osmorzament di rapporto2

:cui in ==ξkmc

tempo, t

spos

tam

ento

, u

Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA

STRUTTURASMORZATA

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)cos(cos)0(sen)0()0()( ψ−ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+ω

ωξω+

= ξω−ξω− tCetutuuetu Dt

DDD

t &

Soluzione (per ξ<1)

smorzato sistema pulsazione1 :cui in 2 =ξ−ω=ωD

tempo, t

spos

tam

ento

, u


STRUTTURASMORZATA

16



smorzato sistema del periodo1

22=

ξ−=

ωπ

=TT

DD

smorzato sistema del frequenza11 2 =ξ−== fT

fD

D

tempo, t

spos

tam

ento

, u


STRUTTURASMORZATA

17



Influenza dello smorzamento sulla frequenza naturale

rapp

orto

di s

mor

zam

ento

, ξ

VALORI DI ξASSUNTI NEICASI REALI

18



Oscillazioni libere per diversi valori dello smorzamento

1: ξ=0% 2: ξ=1% 3: ξ=2% 4: ξ=5%

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πξ

+≈ 2

1e

i

i

uu

πξ≈=δ+

2log :ologaritmic decremento1i

i

uu

πξ≈δ⋅=+

2jlog juu

ji

i

tempo, t

spos

tam

ento

, u

20



Prove di rilascio per la determinazione di T e ξ

Procedura

1. Imporre u (0) e rilasciare la struttura

2. Registrazione della risposta al rilascio

3. Individuazione del periodo T(distanza fra due massimi successivi)

4. Misura ampiezza di due picchi: ui e ui+1

5. Calcolo diji

i

uu

j +

=δ log1

6. Calcolo di πδ=ξ 2

spos

tam

ento

, u

tempo, t

21


I.3. Risposta a forzante armonica

tptkutuctum o ω=++ sen)()()( &&&

Equazione del moto

( ) ( )θ−ω+ω+ω= ξω− tDutBtAetu stDDt sencossen)(Soluzione (per ξ<1):

44444 344444 21

e)rapidament esaurisce (sismorzata libera Risposta

444 3444 21

o)stazionari (statoregime a Risposta

tutututu st ωω=ω+ξω+ sen)()(2)( 22 &&&

:cui inkpu o

st =

massa, m

rigidezzalaterale, k

coefficiente di smorzamento, c

forzanteesterna,p (t )

22



( )θ−ω= tDutu st sen)(444 3444 21

o)stazionari (statoregime a Risposta

( ) ( )222 21

1:ioneamplificazdiFattore

ξβ+β−=D

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β−ξβ

=θ 212tanarc

:fase di Angolo

Concetto di risonanza

23



Valutazione dello smorzamento: metodo della larghezza di banda

21

:smorzatosistemaPulsazione

ξ−ω=ωD

221

:risonanzadiPulsazione

ξ−ω=ωR

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Prove con vibrodina per la determinazione di T e ξ

Procedura

1. Individuazione della frequenza propria come frequenza di risonanza

2. Misura della larghezza di banda ω∆

3. Valutazione di 2/ω∆=ξ

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I.4. Risposta al sisma

)()()()( tumtkutuctum g&&&&& −=++

Equazione del moto

)()()(2)( 2 tutututu g&&&&& −=ω+ξω+

[ ] ττ−ω⋅τω

−= ∫ τ−ξω− dteutut

Dt

gD

)(sen)(1)(0

)(&&


444444 3444444 21Duhamel di Integrale

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I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)

)()()()(

:tempoalbaseallaTaglio2 tumtkutftV

t

so ω===

)()()(

:tempoalribaltanteMomento

tVhtfhtM

t

oso ==

max, max,

max,max, )(max

:sisma il durante massimi alori

oo

dso

VhM

SktukfV

V

=

===

ospostament dello risposta di spettro)(max == tuSd

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I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)

)(max

:ospostament dello risposta di pettro

tuS

S

d =

22

2max 2

121

21

:sisma il durante sistema nelmax nergia

vv

d mSSkkSE

E

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω

==

ddv ST

SS

Sπ

=ω=2

:velocità-pseudo della risposta di pettro

dva SSS

S2

:oneaccelerazi-pseudodellarispostadipettro

ω=ω=

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I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)

Mensola in acciaio: comportamento oltre il limite elastico

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Oscillatore non-lineare: comportamento a spostamento controllato

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Oscillatore non-lineare: comportamento ciclico sotto sisma

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I.5. Comportamento non-lineare (duttilità)

Individuazione modello elasto-plastico perfetto equivalente

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yuumax

:duttilitàdiFattore

=µ

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Confronto risposta al sisma oscillatore elastico ed elasto-plastico

equivalenza in spostamento equivalenza energetica

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Terremoto di Imperial Valley(18 maggio 1940)

registrazione di El Centro NS

Oscillatore elasto-plastico:spettri a duttilità

controllata (ξ = 10%)

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LETTURE CONSIGLIATE

• Roberto Ramasco, “Dinamica delle strutture”, CUEN, Napoli, 1993.

• Carlo Gavarini, “Dinamica delle strutture”, ESA, Roma, 1978.

• Anil K. Chopra, “Dynamics of structures: a primer”, EERI, Berkeley, 1980.

• Anil K. Chopra, “Dynamics of structures: theory and applications to earthquakeengineering”, 2nd edition, Prentice Hall, New York, 2001.

• Ray W. Clough & Joseph Penzien, “Dynamics of structures, 2nd edition, McGraw-Hill International, 1993.

• Alberto Castellani ed Ezio Faccioli, “Costruzioni in zona sismica: metodi di analisi e criteri di progetto, applicazioni, aspetti normativi”, Hoepli, Milano 2000

• Miroru Wakabayashi, “Design of earthquake-resistant buildings”, McGraw-Hill International, 1986.

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SISTEMA A 1 G.D.L.: EQUAZIONE DEL MOTO

CFxmxxFxcxm gR −+−=++ &&&&&& ...),,(

gtRt xxxFCxxFxcxm +==+++ :essendo ,...),,( &&&&

37

∫∫∫∫∫ =+++ttt

R

tt

t FdxCdxdxxxFdxxcdxxm00000

...) ,,( &&&&

gtgt dxdtxdxdxdx −=−= & :cuiin

∫∫∫∫∫∫ −=−=−=t

gtt

t

gt

t

tt

t

gt

t

tt

t

t dxxmtxmdxxmxdxmdxxmdtxxmdxxm0

2

00000)(

21

&&&&&&&&&&&&&&

{

∫∫∫∫∫ +=+++tt

gt

tt

R

t

t FdxdxxmCdxdxFdxxctxm00000

2 )(21

&&&&

[ ] )()()()()()()( tEtEtEtEtEtEtE FI

SI

CIHEK +=++++ ξ

SISTEMA A 1 G.D.L.: BILANCIO ENERGETICO

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STRATEGIE DI PROGETTAZIONE

:azione)dell' termineal quietedie(condizion Per qtt ≥

FI

SI

CIH EEEEE +=++ξ

• Ridurre l’energia di ingresso FI

SI EE +

• Incrementare l’energia viscosa dissipata ξE

• Incrementare l’energia dissipata per isteresi HE

• Incrementare l’energia dissipata dalla forza di controllo CIE

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Parte II

Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà

I.1 Modellazione ed equazioni del motoI.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)I.4 Analisi modale con spettro di risposta

I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano

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Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà

II.1. Modellazione ed equazioni del moto

Edificio “shear type”

1. Masse concentrate ai piani (m1, ..., mN)

2. Colonne prive di massa (le loro masse sono riportate ai piani)

Ipotesi di comportamento

3. Impalcati e travi infinitamente rigidi

4. Colonne deformabili a flessione ma rigide assialmente

5. Terreno infinitamente rigido (si trascura

l’interazione suolo-struttura)

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II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)

)()()( :impalcato 2

)()()( :impalcato 1

222

111

tptftf

tptftf

SI

SI

=+°

=+°

[ ][ ] )()()( )(

)()()()()(

212222

12121111

tptutuktum

tptutuktuktum

=−+

=−++

&&

&&

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

0

0

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1

tp

tp

tu

tu

kk

kkk

tu

tu

m

m

&&

&&

)()()( ttt pkuum =+&&

Edificio di due piani

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II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

N

j

m

m

m

m

00

000

00

00

2

1

O

Om

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

tu

tu

tu

tu

t

N

j

M

Mu

)()()()( tttt pkuucum =++ &&&

Edificio multipiano

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

tp

tp

tp

tp

t

N

j

M

Mp

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅⋅

⋅⋅⋅

−+−

−+−

−+

=

NN

N

kk

k

kkkk

kkkk

kkk

0000

000

000

00)(0

000)(

0000)(

4433

3322

221

k

43


II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)

[ ] [ ]

[ ] [ ] 0)()( )()(

0)()()()()(

12222

2121111

=−++

=−+++

tutuktutum

tutuktuktutum

g

g

&&&&

&&&&

)()()( tutt g&&&& m1kuum −=+

Edificio di due piani

)()()(

)()()(

22

11

tututu

tututu

gt

gt

+=

+=

0)()(

0)()(

22

11

=+

=+

tftf

tftf

SI

SI

[ ]

[ ] )()()( )(

)()()()()(

212222

12121111

tumtutuktum

tumtutuktuktum

g

g

&&&&

&&&&

−=−+

−=−++

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II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)

)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum −=++

Edificio multipiano

Forze equivalenti al moto sismico(forze di trascinamento)

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II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)

Oscillazioni libere al rilascio (deformata iniziale generica)

46



Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 1° modo)

47




48




49


II.2. Frequenze e modi propri di vibrazione

Frequenze e dei modi propri di vibrazione (in assenza di smorzamento)

mΦkΦ 2 :autovalori degli problema del isoluzione ω=R

212 :smorzato) (sistema esimo modo del Periodo

iDiDi

TTi-ξ−

=ωπ

=

21 :smorzato) (sistema esimo modo del Pulsazione iiDii- ξ−ω=ω

Influenza dello smorzamento

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II.3. Risposta a forzante armonica

Una volta esaurito il transitorio iniziale:

tttt o ω=++ sen)()()( pkuucum &&&

Edificio multipiano

( )jjjstj tDutu θ−ω= sen)( ,

444 3444 21

o)stazionari (stato

regime a Risposta

51


II.3. Risposta a forzante armonica

ist

ij u

uD

,

max,=

Fattore di amplificazione

(piano i -esimo):

52


II.4. Risposta al sisma (analisi modale)

Edificio multipiano

)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum −=++

Disaccoppiamento delle equazioni del moto:

)()()(2)( 2 tuMLtYtYtY g

n

nnnnnnn &&&&& −=ω+ωξ+

∑∑==

Φ=Φ=N

jjnjn

N

jjnjn mMmL

1

2

1

e :cui in

[ ] ττ−ω⋅τω

−= ∫ τ−ωξ− dteuMLtY

t

Dnt

gDnn

nn

nn )(sen)(1)(0

)(&&


53



La risposta si ottiene combinando i contributi dei singoli modi:

∑∑==

Φ==N

njnn

N

njnj tYtutu

11

)()()( :piani ai oSpostament

∑=

==N

n

ttt1

)()()( :iequivalent statiche Forze nfkuf

∑=

=N

non tVtV

1o )()( :base alla Taglio

∑=

=N

non tMtM

1o )()( :ribaltante Momento

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55


II.4. Risposta al sisma (utilizzo degli spettri di risposta)

I valori massimi relativi al singolo modo si ottengono con gli spettri di risposta:

),()(max :esima modale coordinata della massimo Valore max, nndn

nnn S

MLtYYn- ξω⋅==

jnnndn

njnjn S

MLtuunj Φ⋅ξω⋅== ),()(max :) modo o(contribut piano al oSpostament max,

La somma dei massimi è eccessivamente cautelativa∑=

≤N

njnj uu

1max,max,

Una buona stima è data da: (metodo SRSS)∑=

≈N

njnj uu

1

2max,max, )(

Se periodi differiscono < 10%: ∑∑ ρ≈n jnjmmnmj uuu max,max,max,

2222

2/32

)1(4)1()1(8

mnmnmn

mnmnmn β+βξ+β−

ββ+ξ=ρin cui e (metodo CQC)

n

mmn ω

ω=β

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II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano

Effetto della rotazione dei nodi e

della deformazione assiale delle colonne

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II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano

Modello spaziale dell’edificio

Necessario in presenza di:

1. significative eccentricità fra il centro di massa ed il centro delle rigidezze degli impalcati;

2. frequenze proprie traslazionali e rotazionali molto prossime fra loro;

3. eccentricità accidentali (inevitabili);

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