DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE

FACOLTA’ DI INGEGNERIA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO

Corso di Aggiornamento su Problematiche Strutturali Verona, Aprile - Maggio 2005

INTRODUZIONE ALLA DINAMICA DELLE STRUTTURE

Massimiliano Gei

2

SOMMARIO

• Oscillatore semplice: vibrazioni libere e forzate

• Oscillatore semplice soggetto ad azione sismica • Spettro di risposta elastico

• Calcolo dello stato di sollecitazioni di strutture a 1 e a 2 gradi di libertà

• Confronto tra analisi statica e dinamica

• Simmetria strutturale, baricentro elastico, effetti torcenti

OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE

• Esempi di oscillatore semplice

m k u(t) u(t)

h k=3 EI/h3

m

k/2 k/2

m

h u(t)

m k

k=2 · 12 EI/h3

(2 pilastri) • Equazione del moto

Forza elastica

m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere)

.. Forza d’inerzia

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OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE

u(t)

m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere) (1) ..

4

u(t)+ω2 u(t)=0

m

h ..

k= 12 ⋅ 2 EI/h3 ω= k/m pulsazione (freq. circolare)

(2 pilastri)

T=2 π/ω =2 π m/k periodo proprio

Nelle strutture civili il periodo proprio T è dell’ordine di 0.5÷2 secondi

OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE

• Equazione del moto:

u(t)

m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere) (1) ..

5

u(t)+ω2 u(t)=0 , ω= k/m h

k=3 EI/h3

m

..

• Legge oraria del moto (soluzione dell’equazione 1): spostamento: u(t)=U sin(ωt+φ) max spostamento: umax=U velocità: u(t)=U ω cos(ωt+φ) max velocità: umax=U ω

. .

accelerazione u(t)=−U ω2 sin(ωt+φ) max accelerazione: umax=U ω2

.. ..

OSCILLATORE SEMPLICE: RIGIDEZZA E PERIODO T

Periodo proprio della struttura: T =2 πkm

F

6

Struttura molto rigida, k → alto, T → basso (pochi decimi di secondo)

k/2 k/2

m

h

F

Struttura poco rigida, k → basso, T → alto (nell’ordine del secondo)

k/2 k/2

m

h

OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE

Si applica all’oscillatore una forza di pulsazione costante ω0 e di intensità massima F0

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• Equazione del moto (con smorzamento) u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=F(t)/m k/2 k/2

m

F(t)=F0 sin ω0 t

h .. .

ξ: coefficiente di smorzamento (2÷5 %) D: fattore di amplificazione dinamica: rapporto tra lo spostamento causato dall’azione dinamica e quello provocato dalla forza agente staticamente.

OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE

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• La risonanza si ha per ω0= ω

• Per ω0 » ω, D → 0, la struttura non

risente della forzante

Riduzione Amplificazione (bassi ξ)

Risonanza

STRUTTURE A PIU’ G.D.L.: MODI DI VIBRARE

In una struttura a più Gradi Di Libertà (G.D.L.) l’analisi dinamica mostra l’esistenza di configurazioni privilegiate di vibrazioni, chiamati MODI DI VIBRARE della struttura. I modi di vibrare sono in numero pari ai G.D.L. della struttura. Esempio: struttura a 2 G.D.L. 1° modo, U(1) 2° modo, U(2)

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MODI DI VIBRARE DI STRUTTURE A PIU’ G.D.L.

• Sono in n° pari ai gradi di libertà della struttura • Ogni modo di vibrare è associato ad una pulsazione (o periodo)

ω1 → {U(1)}, ω2 → {U(2)}, ω3 → {U(3)}, ecc.

ω1 ≤ ω2 ≤ ω3 ≤ ecc.

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T1 ≥ T2 ≥ T3 ≥ ecc.

Periodo proprio o fondamentale

Pulsazione naturale o fondamentale

T=ωπ2

T1 ≥ T2 ≥ T3

3 piani, 3 modi di vibrare

1° modo 2° modo 3° modo

MODI DI VIBRARE: PROPRIETA’ (II)

• Una vibrazione generica di una struttura è una combinazione dei modi di

vibrare della struttura (dipende dalle condizioni iniziali). • Se le condizioni iniziali corrispondono ad un modo di vibrare allora la

struttura vibrerà liberamente secondo il modo stesso.

1° modo 2° modo

11

OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZ. FORZATE SMORZ.

u(t) F(t) F(t)

12

t

u(t) t

Impulso elementare m

h

u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=F(t)/m (vibrazioni smorzate forzate) .. .

u(t) ≅ ∫τ

ωt0

1m

)F( exp[−ξ ω (t−τ)] sin [ω (t−τ)] dτ ≅ )V(t,ξ

ω1

V(t): è una velocità = PSEUDO VELOCITA’ (PSV)

vale per bassi valori di ξ (1-5%)

OSC. SEMPLICE: SPOSTAMENTO IMPRESSO ALLA BASE

u(t)

m (u+y)+c u+ k u = 0 .. .. .

u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=−y(t)

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u(t) ≅ V(t)ω1

legge del motoy(t) y(t)

m

h .. .. .

V(t) = ∫ exp[−ξω(t−τ)] sin [ω(t−τ)] dτ τ− t

0 )(y&&

y(t): ACCELEROGRAMMA ..

t

Accelerogramma tipico di un sisma

y(t) ..

ACCELEROGRAMMA

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y(t)

..

g

Componente Nord-Sud dell’accelerazione al suolo per il terremoto di El Centro del 1940

ACCELERAZIONE EFFICACE

u(t)

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Quale forza d’inerzia (m aeff), agendo staticamente, provoca in ogni istante lo spostamento u(t)?

m aeff(t) = k u(t) (2)

y(t) y(t)

m

h

u

m

h

Finerzia = Felastica maeff Le sollecitazioni della struttura sono legate al valore della forza elastica Felastica. Attraverso la relazione (2) si trasforma il problema dinamico in un problema statico. Se conosco aeff max posso calcolare le massime sollecitazioni della struttura indotte dal sisma.

aeff(t)=mk

u(t)=ω2 u(t)= ω V(t)

SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI

Ai fini progettuali è necessario disporre di

aeff max: accelerazione efficace massima,

Vmax=Sve(ω,ξ) Sve(T,ξ)

Spettro di risposta elastico in termini di velocità (Velocità spettrale)

umax: massimo spostamento, Vmax: pseudo-velocità massima

Vmax è la quantità fondamentale.

16

t

y(t) ..

Accelerogr. y(t) applicato ad un oscillatore di pulsazione ω e smorz. ξ

.. V(t;ω,ξ)

ξ crescente Sve

T=2π/ω

SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI

Ottenuto Sve(ω,ξ):

umax= Sde(ω,ξ)=ω1

Sve(ω,ξ) Spostamento spettrale

aeff-max= Sae(ω,ξ)=ω Sve(ω,ξ) Accelerazione spettrale Lo spettro dà il massimo valore della grandezza per un determinato oscillatore e per un determinato accelerogramma. Per uno stesso sito si calcolano gli spettri per diversi sismi

SPETTRI MEDI

T=2π/ω

ξ crescente

T=2π/ω

ξ crescente

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Sde

T=2π/ω

ξ crescente Sae

Sve

CALCOLO AZIONI SISMICHE TRAMITE SPETTRO ELAST.

(1 grado di libertà)

T=2π/ω

a

Sae ma

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m

h m

h

T

Struttura (1 gdl): Calcolo dell’accel. a Calcolo delle sollecit. noti ω (o T) e ξ mediante lo spettro indotte dal sisma medio DIMENSIONAMENTO PROGETTO DI MASSIMA DI DETTAGLIO

SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO (NORMATIVA)

Periodo proprio

DTipologie dterreno di fondazione

Dipende daterreno di fondazione

zona ag

1 0.35 g

Accelerazione max del terreno

g = 9.81 m/s2

Dipende dallo smorzamento

A

el

l

2 0.25 g

3 0.15 g

4 0.05 g

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OSSERVAZIONI SULLO SPETTRO ELASTICO

• i valori dello spettro sono più elevati quanto è minore lo smorzamento

• se la struttura è molto rigida (T → 0), il suo moto coincide con il moto del terreno, e la massima accelerazione subita dalla massa m coincide con la max accelerazione del terreno, per cui

Sae(0,ξ) ≈ ymax

..

• se la struttura è molto deformabile (T > 2 s) la max accelerazione subita dalla massa m è inferiore al valore della massima accelerazione del terreno, per cui

Sae(T,ξ) < ymax

..

• se la struttura ha valori del periodo fondamentale T intermedi (0.1 s < T < 1 s ) la max accelerazione subita dalla massa m supera notevolmente la max accelerazione del terreno

Sae(T,ξ) > ymax

..

20

ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE

E (c.a.)=2000 kN/cm2

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Ipil =304/12=67500 cm4

5 m

q=40 kN/m

3 m Pilastri 30x30 in c.a.

Rigidezza: k = 2 · 12 EIpil/h3 = 24 · 2000 · 67500 / 3003 = 120 kN/cm = 12000000 N/m Massa: m= W / g = 200 / 9.81 ≅ 20 kN s2/m = 20000 kg = 20 t

Periodo: T = 2 π / ω = 2 π km

= 2 π 12000000

20000 =0.26 s

Spettro elastico (da normativa)

Sae(T=0.26 s)=ag S η 2.5 = 0.35 g · 1 · 1 · 2.5 = 0.875 g Fmax = W Sae/g = 200 · 0.875 = 175 kN

ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE, SOLLECITAZIONI

22

+ =

Fmax=175 kN

131

131

64

32

60

q=40 kN/m

100

195

M M

163

kNm kNmkNmM

Carichi Sisma con periodo di Totale Verticali ritorno di circa 500 anni

Esempi di calcolo delle azioni sismiche sulla base dello spettro elastico proposto

nell’Ordinanza 3274/03

5 m

3 m

3 m

q=30 kN/m q=30 kN/m

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ESEMPIO: ANALISI STATICA (I)

Periodo fondamentale: T = 0.36 s

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Peso sismico di ogni piano: W1=W2=150 kN Peso sismico tot: W= W1+ W2 = 300 kN Sae(T=0.36 s)=ag S η 2.5 = 0.875 g Quote dei due piani: z1 = 3 m; z2 = 6 m Azione tagliante totale alla base del fabbricato Fbase = Sae λ W/g = 0.875·1·300 = 263 kN

Pilastri 30x30 in c.a.

0.35 g (zona 1)

massa

5 m

3 m

q=30 kN/m

3 m

q=30 kN/m

λ: coefficiente che dipende dall’altezza della struttura

ESEMPIO: ANALISI STATICA (II)

Quote dei due piani: z1 = 3 m; z2 = 6 m

Forze di piano: Fi = Fbase zi ∑j jj

iWz

W

Σj zj Wj = 3·150+6·150 = 1350 kN m

F2=175 kN

F1=88 kN

F1 = 263·3·1350150

= 88 kN

F2 = 263·6·1350150

= 175 kN

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ESEMPIO: ANALISI STATICA (III)

Sollecitazioni indotte dall’azione sismica 131

175 kN

88 kN

Momento Taglio al p Sforzo nor

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(sui pilastri) Np

Mp

Tp

Np

Tp

175 kN

88 kN

kNm M

197

Mp

al piede (Mp) = 197 kNm iede (Tp) = 132 kN male al piede (Np) = 184 kN

ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (I)

5 m

3 m

q=30 kN/m

3 m

q=30 kN/m u(2)2=−0.618

u(1)1=0.618

u(1)2=1

u(2)

1=1

Pilastri 30x30 in c.a.

I modo II modo T1=0.36 s T2=0.14 s

Coefficienti di partecipazione g1, g2 : (gr=∑

∑

j

j(r)j

(r)jj

(r)jj

uuW

uW)

g1 = 22 0.6181501150

0.6181501150

⋅+⋅

⋅+⋅=1.171, g2 = 22 0.618)1501150

0.618)1501150

−⋅+⋅

−⋅+⋅

((

=0.276

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ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (II)

Ogni modo di vibrare (j) conduce un insieme di forze di piano (indice i) Fji

Fji =

g1Sae(Tj) Wi γ(j)

i γ(j)i = u(j)

i gi: coeff. di distribuzione

Nell’esempio: γ(1)

1 = u(1)1 g1=0.618 ⋅ 1.171 =0.724, γ(1)

2 = u(1)2 g1=1 ⋅ 1.171=1.171

γ(2)

1 = u(2)1 g2=1 ⋅ 0.276 =0.276, γ(2)

2 = u(2)2 g2=−0.618 ⋅ 0.276=−0.171

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ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (III)

SaeS η Spettri elastici Sae(T1)= Sae(0.36 s)= 0.35 g ·1 ·1 ·2.5 =0.875 g Sae(T2)= Sae(0.14 s)= 0.35 g ·1 · (1 + 0.14 ⋅1.5/0.15) =0.84 g Forze di piano T2 T1F1

1 = Sae(T1) W1 γ11/g=0.875 ⋅ 150 ⋅ 0.724 = 95 kN

F1

2 = Sae(T1) W2 γ12/g=0.875 ⋅ 150 ⋅ 1.171 = 154 kN

F2

1 = Sae(T2) W1 γ21/g=0.84 ⋅ 150 ⋅ 0.276 = 34 kN

F2

2 = Sae(T2) W2 γ22/g=0.84 ⋅ 150 ⋅ (−0.171) = −22 kN

29

ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (IV)

30

154 kN 22 kN 156 kN

34 kN 95 kN 101 kN

1° modo 2° modo Azioni totali quadratura Le azioni totali si determinano per quadratura:

Ftot = 2modo2

2modo1 )(F)F °° +(

ESEMPIO: CONFRONTO ANALISI STATICA E DINAMICA

175 kN

88 kN

184

132 197

101 kN

156 kN

171

128 193

Analisi statica Analisi dinamica In questo caso l’Analisi statica si dimostra più cautelativa di quella dinamica

31

32

ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO

33

ANALISI DIN.: TELAIO PIANO, PRIMI MODI DI VIBRARE

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ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO, FORZE DI PIANO

SIMMETRIA STRUTTURALE

Struttura Struttura

doppiamente simmetrica simmetrica

pilastri

solaio di piano

Spostamenti indotti dal SISMA

Spostamenti indotti dal SISMA

Rotazione!

Direzione del SISMA Direzione del SISMA

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BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE DI PIANO

Cey

x

y CG

ex

eccentricità θ G: baricentro della massa Sotto un’azione torcente

del solaio di piano il solaio ruota attorno a C C: baricentro delle rigidezze

∑∑=

i xi

i xiic I

Ixx ,

∑∑

=i yi

i yiic I

Iyy

C corrisponde al baricentro dei

momenti statici dei mom. d’inerzia dei pilastri

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ROTAZIONI TORSIONALI INDOTTA DAL SISMA

Traslazione pura

M=Fin⋅e

≡

e C G

e

Forza d’inerzia Fin=my&&

C G G ≡ C

Forza d’inerzia Fin=my&&

Rotazione indotta da M Traslazione indotta da Fin

37

38

ANALISI DINAMICA: TELAIO SPAZIALE

39

ANALISI DIN.: TELAIO SPAZ., PRIMI MODI DI VIBRARE

40

ANALISI DINAMICA: TELAIO SPAZIALE

41

ANALISI DIN.: TELAIO SPAZ., PRIMI MODI DI VIBRARE

42

ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO, MODI DI VIBRARE

(ultimo piano con massa notevolmente inferiore a quelli sottostanti)

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ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO ISOLATO AL PIEDE