Circuito di Chua

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Caos: comportamento aperiodico duraturo nel tempo delle traiettorie di un sistema deterministico che presenta dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali per le quali non raggiungono punti di equilibrio e non si chiudono in cicli limite, ma continuano a muoversi nello spazio di stato presentando oscillazioni non periodiche non determinabili a priori. Questo comportamento non è dovuto a fattori forzanti esterni, ma è una proprietà intrinseca del sistema. Il caos rappresenta quindi una forma “ordinata” del disordine.

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• Il circuito di Chua è un semplice oscillatore che mostra una varietà di comportamenti dinamici.

• Matsumoto nel 1984 mostrò che il circuito di Chua simulato al computer mostrava un attrattore double scroll.

• Zhong et al. ebbero conferma sperimentale nel 1985.

• Presenta i 3 requisiti minimi per la presenza di caos: 1. Dinamica almeno del terzo ordine, quindi almeno tre componenti dinamici indipendenti.

2. Almeno un componente non lineare

3. Almeno un componente attivo

• Tutti i resistori reali sono eventualmente passivi

per v o i sufficientemente grandi la potenza assorbita

è positiva caratteristica nel I e III quadrante.

3

NRC – realizzazione - I stadio

I=(V-Esat)/R1

4

I=-V/R3

-Esat/R1

Caratteristica ad anello aperto

LKC

LKV (partitore di tensione)

Se R2=R1

Se R3 è piccola rispetto alla tensione applicata l’op amp non è in grado di rispondere

correttamente alla richiesta di corrente.

Una volta in saturazione la tensione all’uscita del operazionale rimane fissata alla

tensione di saturazione e la corrente nel dipolo non lineare sarà pari a

I=(V-Esat)/R1 Saturazione

che non è niente altro che la caratteristica tensione-corrente di una resistenza

positiva traslata.

3

32

0

32

3

0

R

RRVV

RR

RVV

5

Uscita variabile con l’ingresso

Zona di funzionamento lineare

NRC – realizzazione - Due stadi in parallelo

6

I stadio

II stadio

v

Entrambi in zona attiva

Quando uno satura

(due resistori in parallelo)

Se entrambi saturano

41

11

RRV

I

7

La conduttanza vista in ingresso sarà pari a

Realizzare il II stadio del diodo di Chua e visualizzare la caratteristica i,v e la tensione in uscita rispetto alla tensione in ingresso.

DC sweep

Start value -3

End value +3

Increment 0.01

Realizzare il I stadio del diodo di Chua

DC sweep

Start value -10

End value +10

Increment 0.01

Realizzare il diodo di Chua

Realizzare il circuito di Chua e visualizzare vc1 e vc2 al variare del tempo ed il ritratto di fase nel piano vc1 vc2 al variare della resistenza R scelta come parametro di biforcazione.

Transient

Final time 0.3

Step ceiling 10-5

Indicare con ‘1’ il nodo a cui è connesso C1 e con ‘2’ il nodo a cui è connesso C2

• R=2k equilibrio

• R=1.88k orbita periodica che esegue un solo giro intorno al punto di equilibrio instabile (Ciclo limite 1 )

• R=1.85k l ’orbita di esegue 2 giri attorno alla instabilità (Ciclo limite 2 - biforcazione di duplicazione del periodo ).

• I cicli diventano poi 4, 8, 16, 32 e così via fino a raggiungere, al limite, infiniti cicli dell’orbita. Questa situazione corrisponde ad uno strano attrattore, detto “Strano attrattore a spirale di Chua” con

R=1.79k. Esso rappresenta l’esempio più semplice nello spazio delle fasi di un regime caotico.

• R=1.74k l’orbita esegue un fissato numero di giri attorno al suo punto instabile poi passa nella zona interna della linearità dell’elemento non lineare dove compie a sua volta una spirale attorno alla sua instabilità per poi ritornare nella zona di partenza. Le due spirali si uniranno pertanto nel formare questo nuovo tipo di attrattore chiamato “Attrattore Double Scroll”.

• R=1.49k Attrattore Double Scroll

• R=1.3k largo ciclo limite 8

Qui la saturazione potrebbe non vedersi in laboratorio perché la tensione

disponibile dal gen. di funzione non è sufficiente (ad ex. ELVIS fornisce solo 9Vpp per un’onda sinusoidale)

Ritratto delle fasi al variare di R

Double scroll Double scroll Ciclo limite

Ciclo limite

Ciclo limite Ciclo limite Attrattore a spirale

Equilibrio

9

Pspice Cursor assignment

• Left-click the analog trace symbol. Associate the first cursor with the selected trace.

• Right-click the analog trace symbol. Associate the second cursor with the selected trace.

Cursor movement

• Left-click in the display area. Move the first cursor to the closest trace segment at the X position (da tastiera oppure ).

• Right-click in the display area. Move the second cursor to

• the closest trace segment at the X position (da tastiera shift oppure )

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Librerie

port.slb per GND_EARTH (terra)

eval.slb per ua741 (opamp)

Convenzioni Pspice usa la convenzione degli utilizzatori (anche

per i generatori).

La sonda di corrente misura la corrente entrante nel morsetto in cui si trova la sonda.

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TL082

mA741

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Circuito di Antoniou

R7=1.8k

R8,9,10=1k

C=0.01mF

L=18mH

(ELECTRONICS LETTERS 9th November 2000 Vol. 36 No. 23)

(Leq=18mH)

Come misurare L: Alimentare la serie di R=100 e L con una tensione sinusoidale (1 Vpp, f=1kHz). Posizionare la sonda dell’oscilloscopio per misurare la tensione sull’induttore, riducendo la f dell’ingresso fino a che la tensione sull’induttore vale 0.5 Vpp.

3

5.022

RL

LR

L

V

V

in

L

k8.1k1