Elementi di Cinematica

La cinematica studia il moto dei corpi indipendentemente dalle cause che lo determinano

In generale le grandezze necessarie per la descrizione geometrica del moto di un corpo sono:- posizione (dei punti del corpo in un determinato istante)- posizione (dei punti del corpo in un determinato istante)- tempo (insieme degli istanti a cui riferire la posizione- variazioni nel tempo della posizione (velocità, accelerazione, etc.)

Lo studio del moto dei sistemi complessi può risultare piuttosto impegnativo

Approccio semplificato con gradi di approssimazione crescenti (punti, corpi approssimazione crescenti (punti, corpi estesi rigidi o deformabili, etc.)

PUNTO (MATERIALE)

CORPO RIGIDO

SISTEMA ARTICOLATO(corpi rigidi)

CORPI DEFORMABILI

...

Elementi di Cinematica- cinematica del punto

La posizione del punto è definita rispetto ad un sistema di riferimento.

Si consideri il moto nel piano, e si consideri il punto O come un punto fisso nel

piano piano stesso.

La posizione A del punto ad un certo istante t sarà identificata dal vettore

piano del moto

La posizione A del punto ad un certo istante t sarà identificata dal vettore

posizione r = r(t)

(t)rr A(t) (posizione del punto)

traiettoria del punto durante il motoO

rr

Elementi di Cinematica

Dopo un certo intervallo di tempo Dt il punto avrà percorso un tratto di traiettoria

lungo DS per portarsi nel punto A’.

il vettore posizione del punto all’istante t+Dt sarà r’

lo spostamento sarà DDDDr=r’-r (N.B.: in genere |DDDDr|≠ DS)lo spostamento sarà DDDDr=r’-r (N.B.: in genere |DDDDr|≠ DS)

da cui r’= r +DDDDr

A’ (t+∆t)

DSrr'rrrr

∆+= rr

∆

piano del moto

traiettoria

DSrr'rrrr

∆+= rr

∆

O

rr A(t)

Elementi di Cinematica

VM è quindi un vettore la cui direzione e verso sono quelli di DDDDr=ed il modulo è

pari a |VM|= | DDDDr|/Dt

La velocità media del punto nell’intervallo di tempo Dt è definta come

t

rVM

∆

∆r

r=

pari a |VM|= | DDDDr|/Dt

Per valutare la velocità della particella in ciascun punto della traiettoria occorre

passare al calcolo infinitesimale: Dt�0

A’ (t+∆t)

DSrr'rrrr

∆+= rr

∆

piano del moto

La velocità istantanea del punto materiale diventa allora

dt

rd

t

rlimvlimv

0tM

0t

rrrr ===

→→ ∆

∆

∆∆

traiettoria

DSrr'rrrr

∆+= rr

∆

O

rr A(t)

dtt∆

Elementi di Cinematica

Quando Dt�0

DDDDr tende a diventare tangente alla traiettoria

|DDDDr| tende a diventare uguale a DSdt

dS

dt

rdVV ===

rr

V è quindi SEMPRE TANGENTE ALLA TRAIETTORIA

A’ (t+∆t)

DSrr'rrrr

∆+= rr

∆

piano del moto A’piano del moto

Vr

'Vr

traiettoria

DSrr'rrrr

∆+= rr

∆

O

rr A(t)

traiettoriaO

A

V

Elementi di Cinematica

Durante il moto del punto lungo la sua traiettoria il vettore velocità può variare in

modulo, direzione e verso.

Analogamente a quanto fatto per la

velocità si definisce:'Vr

A’

A

Vr

t

VaM

∆

∆r

r= accelerazione media

Il vettore accelerazione a è il risultato della variazione sia del modulo della

dt

vd

t

vlimalima

0tM

0t

rrrr

===→→ ∆

∆

∆∆

traiettoriaO

della variazione sia del modulo della velocita che della variazione della direzione

'Vr

Durante il moto del punto lungo la sua traiettoria il vettore velocità può variare in

modulo, direzione e verso.

Analogamente a quanto fatto per la

velocità si definisce:

Elementi di Cinematica

A

Vr

V'-VVrrr

=∆

'Vr

t

VaM

∆

∆r

r= accelerazione media

Il vettore accelerazione a è il risultato della variazione sia del modulo della

dt

vd

t

vlimalima

0tM

0t

rrrr

===→→ ∆

∆

∆∆

traiettoriaO

della variazione sia del modulo della velocita che della variazione della direzione

Elementi di Cinematica

Le notazioni appena viste sono sempre vere, ma spesso non sono comode per la

determinazione delle grandezze cinematiche in casi pratici.

É possibile esprimere le grandezze cinemetiche in diversi sistemi di riferimento (SDR).

La scelta del SDR più opportuna dipende dalle caratteristiche del problema da La scelta del SDR più opportuna dipende dalle caratteristiche del problema da

affrontare.

COORDINATE CARTESIANE

COOORDINATE LOCALI

COORDINATE POLARI

Lo scopo della cinematica è la descrizione della geometria del movimento di un Lo scopo della cinematica è la descrizione della geometria del movimento di un

sistema meccanico

Elementi di Cinematica

COORDINATE CARTESIANE

In un sistema di riferimento cartesiano piano (2D) il vettore posizione del punto

materiale che si muove lungo la sua traiettoria (appartenente al piano) può essere

espresso in funzione delle sue componenti lungo gli assi x e y.

jyixrrr yx

rrrrr+=+=

jy(t)ix(t)rr(t)r yx

rrrrr⋅+⋅=+=

Durante il moto, il vettore posizione cambia nel tempo:

rr

P(x,y)y

Y

rr

xir

jr

O Y

Elementi di Cinematica

COORDINATE CARTESIANE

In un sistema di riferimento cartesiano piano (2D) il vettore posizione del punto

materiale che si muove lungo la sua traiettoria (appartenente al piano) può essere

espresso in funzione delle sue componenti lungo gli assi x e y.

rr

y

YVr

xVr

yVr

jyixrrr yx

rrrrr+=+=

jy(t)ix(t)rr(t)r yx

rrrrr⋅+⋅=+=

Durante il moto, il vettore posizione cambia nel tempo:

Derivando il vettore posizione rispetto al rr

xir

jr

O Y

xV

jyixvvjvivv

jdt

dy(t)i

dt

dx(t)

dt

rdv

yxyx

r&

r&

rrrrr

rrr

r

⋅+⋅=+=+=

=⋅+⋅==

Derivando il vettore posizione rispetto al tempo, si ottiene l’espressione della velocità nel sistema cartesiano

Elementi di Cinematica

COORDINATE CARTESIANE

In un sistema di riferimento cartesiano piano (2D) il vettore posizione del punto

materiale che si muove lungo la sua traiettoria (appartenente al piano) può essere

espresso in funzione delle sue componenti lungo gli assi x e y.

rr

y

Y

jyixrrr yx

rrrrr+=+=

jy(t)ix(t)rr(t)r yx

rrrrr⋅+⋅=+=

Durante il moto, il vettore posizione cambia nel tempo:

Derivando due volte il vettore posizione

xar

ar ya

r

rr

xir

jr

O Y

jyixaajaiaa

jdt

y(t)di

dt

x(t)d

dt

rda

yxyx

2

2

2

2

2

2

r&&

r&&

rrrrr

rrr

r

⋅+⋅=+=+=

=⋅+⋅==

Derivando due volte il vettore posizione rispetto al tempo, si ottiene l’espressione dell’accelerazione

Elementi di Cinematica

COORDINATE LOCALI

Si associa un sistema di riferimento O,tttt,,,,n al punto P:

- l’origine O coincide con il punto P (e lo segue durante il moto lungo la traiettoria)

- L’asse tttt è costantemente tangente alla traiettoria nel punto P

- L’asse n è costantemente normale alla traiettoria nel P, con verso positivo diretto

verso il centro di curvatura.PO ≡

τr

nr

nr

τr

τr

nr

PO ≡

PO ≡

'Vr

τr C = centro di curvatura

ϑd

A’

A

Vr

ϑddS ⋅= ρ

ρ

τ

τr

C

C = centro di curvaturar = raggio di curvaturadS = arco di traiettoria sotteso da dq

τϑ

ϑϑ

r&r

&r

⋅=

=⋅==

ρ

ρρ

v

dt

d

dt

dsv

nr

nr

Elementi di Cinematica

COORDINATE LOCALI

Si associa un sistema di riferimento O,tttt,,,,n al punto P:

- l’origine O coincide con il punto P (e lo segue durante il moto lungo la traiettoria)

- L’asse tttt è costantemente tangente alla traiettoria nel punto P

- L’asse n è costantemente normale alla traiettoria nel P, con verso positivo diretto

verso il centro di curvatura.PO ≡

τr

nr

nr

τr

τr

nr

PO ≡

PO ≡

τr

rrrd)d(VVd ⋅

ar

τr&V

V2r

ϑd

A’

A

Vr

ϑddS ⋅= ρ

ρ

τ

τr

C

τρ

τρτ

τττ

2

r&rr

r&r

&r&r

&r

r&

rrrr

VnV

a

VnVnVa

Vdt

dV

dt

)d(V

dt

Vda

2

+=

⋅+⋅=⋅+⋅=

⋅+=⋅==

ϑϑ

nV2

r

ρ

nr

Elementi di Cinematica

COORDINATE LOCALI

τρ

r&

rr⋅+⋅= vn

va

2

τϑ r&& ⋅= ρv la velocità è costantemente diretta lungo il vettore tttttangente alla traiettoria

L’accelerazione presenta una componente tangenziale ed una componte normale diretta verso il centro di curvatura ρ componte normale diretta verso il centro di curvatura (accelerazione centripeta) e che tiene conto della variazione della direzione della velocità.accelerazione

centripeta

τr

ar

τr&V

V2r

ϑd

A’Vr

ϑddS ⋅= ρ

ρ

τ

τr

C

nV2

r

ρ

nr

Elementi di Cinematica

DERIVATA DI UN VERSORE [Ferraresi, Raparelli “Meccanica applicata” CLUT, 2007]

Elementi di Cinematica

COORDINATE POLARI

La posizione (variabile nel tempo) del punto P è definita dalla sua distanza r

dall’origine O (detto POLO) del SDR e dall’angolo qqqq che il vettore posizione forma

con un’asse di riferimento X: P = P(r,q); P(t) = P[r(t),q(t)];

rr P(r,q)

λrr

⋅= rr vettore posizione

(t)

r(t)r

ϑϑ ==

La legge del moto diventa:

µλλ

λr&

r&

rr

rr

⋅+⋅=⋅+⋅== rrdt

dr

dt

dr

dt

rdv ϑλ

rµr

rr P(r,q)

O X

qLa velocità ha una componente lungo il vettore posizione ed una componoente normale ad esso.

Si ricordi che il vettore v è comunque sempre tangente alla traiettoria

µλ µλ

rrr⋅+⋅= vvv

Elementi di Cinematica

COORDINATE POLARI

La posizione (variabile nel tempo) del punto P è definita dalla sua distanza r

dall’origine O (detto POLO) del SDR e dall’angolo qqqq che il vettore posizione forma

con un’asse di riferimento X: P = P(r,q); P(t) = P[r(t),q(t)];

rr P(r,q)

λrr

⋅= rr vettore posizione

λrµ

r

(t)

r(t)r

ϑϑ ==

La legge del moto diventa:

µλλ

λr&

r&

rr

rr

⋅+⋅=⋅+⋅== rrdt

dr

dt

dr

dt

rdv ϑ

vr

µλ

r&r

⋅= ϑrv λλ

r&

r⋅= rv

rr P(r,q)

O X

qµλ µλ

rrr⋅+⋅= vvv

La velocità ha una componente lungo il vettore posizione ed una componoente normale ad esso.

Si ricordi che il vettore v è comunque sempre tangente alla traiettoria

Elementi di Cinematica

COORDINATE POLARI

La posizione (variabile nel tempo) del punto P è definita dalla sua distanza r

dall’origine O (detto POLO) del SDR e dall’angolo qqqq che il vettore posizione forma

con un’asse di riferimento X: P = P(r,q); P(t) = P[r(t),q(t)];

[ ] [ ]

( ) µϑϑλϑ

λϑϑµϑµϑµϑλ

µϑλ

r&&&&r

&&&r

r&&r&&r&&

r&&r

&&r

r&r

&r

r

⋅++⋅=

⋅−+⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅==

)2(

)(

2 rrr-ra

rrrrra

dt

)d(r

dt

)rd(

dt

vda

rr P(r,q)

λr

µr

vr

µar

λar

ar

rr P(r,q)

O X

q

Elementi di Cinematica

COORDINATE CARTESIANE

jyixrrrr

⋅+⋅=

jyixvr

&r

&r

⋅+⋅=

jyixar

&&r

&&r

⋅+⋅=

τϑ r&r

⋅= ρv

τρ

r&

rr⋅+⋅= vn

va

2

PO ≡

jyixa &&&& ⋅+⋅=

COOORDINATE LOCALI

( ) µϑϑλϑ r&&&&r

&&&r

⋅++⋅= )2(2 rrr-ra

µλr&

r&

r⋅+⋅= ϑrrv

λrr

⋅= rr

COORDINATE POLARI

ρ

Elementi di Cinematica

MOTO RETTILINEO

COORDINATE CARTESIANE

jyixrrrr

⋅+⋅=

jyixvr

&r

&r

⋅+⋅=

jyixar

&&r

&&r

⋅+⋅=rr

jr

vr

Se il punto è vincolato a muoversi lungo una traiettoria rettilinea, è possibile scegliere un SDR tale che la posizione del punto sia determinata solo dal valore della coordinata x (scalare)

MOTO RETTILINEO UNIFORME

ir

j

O

vr

ar

COSTdt

dx(t)v ==

00

t

t

0 x)t(tv x dtvx(t)v

0

+−⋅=+⋅= ∫

0dt

dv(t)a ==

Elementi di Cinematica

MOTO RETTILINEO

COORDINATE CARTESIANE

jyixrrrr

⋅+⋅=

jyixvr

&r

&r

⋅+⋅=

jyixar

&&r

&&r

⋅+⋅=rr

jr

vr

ir

j

O

Se il punto è vincolato a muoversi lungo una traiettoria rettilinea, è possibile scegliere un SDR tale che la posizione del punto sia determinata solo dal valore della coordinata x (scalare)

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

x(t)ddv(t) 2

vr

ar

20000

t

t

0 )t(ta2

1)t(tvx dtvxx(t)

0

−⋅+−⋅+=⋅+= ∫

COSTdt

x(t)d

dt

dv(t)a

2

2

===

00

t

t

0 v)t(ta dtavv(t)

0

+−⋅=⋅+= ∫

Elementi di Cinematica

MOTO CIRCOLARE: Il punto P è vincolato a muoversi lungo

una traiettoria circonferenziale di raggio r

costante. Conviene esperimere le leggi del

moto in coordinate polari:

( ) µϑϑλϑ r&&&&r

&&&r

⋅++⋅= )2(2 rrr-ra

µλr&

r&

r⋅+⋅= ϑrrv

λrr

⋅= rr

0rr COSTr ==→= &&&

Per identificare la posizione di P è sufficiente conoscere la coordinata angolare qqqqPer identificare la posizione di P è sufficiente conoscere la coordinata angolare qqqq

µr&

r⋅= ϑrv ha solo componente tangenziale

nt2 aarra

rrr&r&&

r+=⋅−⋅= λµ ϑϑ ha componente tangenziale e normale

In genere si indica con la velocita angolare ϑ&ω

µrr

⋅= ωrv nt2 aarra

rrrr&

r+=⋅−⋅= λµ ωω