ELEMENTI DI ACUSTICA

P. Calvini

March 2, 2015

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dell’INFN

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GENERALITA

In presenza di suono alla pressione atmosferica P◦ si sovrapponela pressione sonora p(x, y, z, t) per dare la pressione totale

P (x, y, z, t) = P◦+ p(x, y, z, t) . (1)

Nel S.I. le pressioni si misurano in Pascal (Pa) [P ] = Pa. Disolito i valori della pressione sonora sono molto minori di P◦ epertanto la pressione sonora va considerata come una piccolaperturbazione dell’ambiente.

La pressione acustica rappresenta un termine fluttuante, ora po-sitivo, ora negativo (valore medio zero) che costringe l’aria arapidi movimenti di oscillazione avanti e indietro intorno alla po-sizione di equilibrio. Al movimento dell’aria associamo la velocitadel mezzo u(x,y,z,t). E un vettore di modulo u(x, y, z, t).

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4

Il suono sara generato da una sorgente sonora che produce le

fluttuazioni di pressione e velocita nelle sue vicinanze. Queste

vibrazioni inducono analoghe fluttuazioni negli strati d’aria adia-

centi ed attraverso questo meccanismo si realizza la propaga-

zione dell’onda sonora nell’ambiente. Si pensi ai cerchi che si

formano sulla superficie dell’acqua di uno stagno quando vi si

getta un sasso.

La propagazione dell’onda sonora in un mezzo e influenzata dalle

proprieta elastiche e dall’inerzia del mezzo stesso. L’onda si

propaga con una velocita che indicheremo con c e che non va

confusa con la velocita u di vibrazione del mezzo.

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6

LA VELOCITA DEL SUONO

Se si attiva la sorgente sonora all’istante t = 0, si puo deter-

minare a che distanza x dalla sorgente la perturbazione sara

arrivata al tempo t. Si constata che il rapporto

c =x

t(2)

non dipende dal lasso di tempo t trascorso. Questo fatto per-

mette di definire c come velocita del suono nel mezzo in cui e

stato eseguito l’esperimento (aria o altro). Il valore ottenuto per

c risulta ampiamente indipendente dalla potenza dalla sorgente

sonora e da un valore che e ben maggiore dei valori assunti da u,

la velocita di vibrazione del mezzo. I valori di u dipendono dalla

potenza della sorgente sonora.

7

Come gia accennato, la velocita del suono deve dipendere dalle

proprieta elastiche e di inerzia del mezzo. La densita ρ ne de-

termina le proprieta di inerzia. In merito alle proprieta elastiche

si deve distinguere tra gas, liquidi e solidi. In tutti i casi si fa

l’ipotesi di adiabaticita, ossia che le vibrazioni siano cosı rapide

da non permettere scambi di calore tra le zone riscaldate (com-

presse) e le zone raffreddate (rarefatte).

Nel caso dei gas, se si usa il modello di gas perfetto, si ottiene

come parametro elastico γ P◦. Nel caso dell’aria, che e composta

prevalentemente da gas biatomici, vale γ = 75. Per la velocita

del suono nell’aria si ottiene l’espressione

ca =

√γ P◦ρ◦

. (3)

8

La (3) puo essere riformulata in maniera da contenere una sola

variabile termodinamica, la temperatura. Usando la legge dei

gas perfetti P◦ V◦ = n R T◦ (dove R = 8.314 J mole−1 K−1) ed

introducendo il peso molecolare M del gas, si arriva alla relazione

cgas =

√γ R T◦M

, (4)

la quale mostra che la velocita del suono in un gas dipende dal suo

peso molecolare M e dalla temperatura assoluta T◦. Sostituendo

per l’aria il peso molecolare medio M = 28.8 g/mole = 2.88 ·10−2 kg/mole e per T◦ = 273.15 K (ossia 0 ◦C) si trova

ca = 332 m/s . (5)

9

Nel caso dei liquidi il parametro elastico e dato dal modulo di

compressione uniforme (adiabatica) B definito mediante la re-

lazione

−(

∆V

V

)adiab

=p

B(6)

dove l’incremento di pressione p produce la variazione di volume

∆V del volume V del liquido ([B] = Pa e a grandi valori di B

corrispondono mezzi molto resistenti alla compressione). Una

volta definito B, la velocita del suono nei liquidi e data da

c =

√B

ρ. (7)

10

Nel caso dell’acqua, con B = 2.1 · 10+9 Pa e ρw = 1000 kg/m3,

si ha

cw∼= 1450 m/s . (8)

Nei solidi possono esistere onde elastiche sia longitudinali che

trasversali. Queste ultime non si trasmettono nell’aria e nei li-

quidi, mentre le onde longitudinali rappresentano nei solidi l’e-

quivalente delle onde sonore. La velocita delle onde longitudinali

nei solidi e data da un’espressione analoga alla (7), dove pero al

posto di B compare un altro parametro elastico.

11

L’IMPEDENZA CARATTERISTICA DI UN MEZZO

Per un assegnato mezzo le grandezze p e u dell’onda sonora non

sono indipendenti, ma sono collegate da una quantita specifica

del mezzo che viene chiamata impedenza caratteristica del mezzo

(o impedenza acustica del mezzo). L’impedenza caratteristica

Z di un mezzo di densita ρ e velocita del suono c e data da

Z = ρ c (9)

e collega p e u tra di loro mediante la seguente relazione

p

u= Z . (10)

12

Valori di c e di Z

mezzo c in m s−1 Z in kg m−2 s−1

aria 333 430

acqua 1450 1.45 · 106

muscolo 1590 1.70 · 106

grasso 1480 1.40 · 106

sangue 1560 1.61 · 106

osso (1) 2200 3.90 · 106

osso (2) 3300 6.00 · 106

ferro 5100 4.00 · 107

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L’INTENSITA

Le perturbazioni sonore, e piu in generale tutti i fenomeni on-dosi, trasportano sempre energia. Vi e un flusso di energia dallasorgente verso l’esterno.

Nel caso acustico si definisce intensita sonora I l’energia cheattraversa una superficie unitaria (disposta perpendicolamente)nell’unita di tempo. [I] = J m−2 s−1 = W/m2 (W sta per Watt)

Si puo dimostrare che l’intensita I puo essere scritta come

I = p u =p2

Z= Z u2 , (11)

dove le ultime due relazioni sono state ricavate utilizzando la(10).

14

ONDE PIANE E ONDE SFERICHE

In generale tanto p quanto u dipendono da x, y, z e t. Nel caso

particolare in cui non vi sia dipendenza ne da y, ne da z ed il

vettore u abbia la sola componente x, allora si puo parlare di

onda piana. Quindi si ha onda piana se vale

p = p(x, t) ; ux = u(x, t) ; uy = 0 ; uz = 0 . (12)

La situazione descritta come onda piana corrisponde, per esem-

pio, al suono che si propaga in un condotto a sezione costante.

A rigor di termini, in questo caso si dovrebbe parlare di porzione

di onda piana.

15

L’onda sferica viene prodotta da una sorgente sonora di piccole

dimensioni e che emette suono in maniera isotropa. In tal caso,

presa la posizione della sorgente come centro ed indicata con r

la distanza dal centro, l’onda sonora viene caratterizzata da

p = p(r, t) ; ur = u(r, t) , (13)

dove il vettore velocita u ha direzione radiale e ur ne indica

la componente lungo detta direzione. Il concetto di porzione di

onda piana viene invece spesso usato come un’adeguata approssi-

mazione di una piccola porzione di onda sferica avente dimensioni

limitate rispetto alla distanza dalla sorgente. In tal caso si puo

trascurare la divergenza dei raggi.

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LEGGE 1/r2 PER L’INTENSITA

In un’onda piana, l’intensita della perturbazione non dipende

dalla distanza dalla sorgente della perturbazione in quanto la

potenza emessa dalla sorgente attraversa sezioni di area costante.

Invece, nel caso delle onde sferiche la potenza della sorgente

nel suo allontanamento dal centro attraversa superfici sferiche

di area via via crescente. L’intensita I(r) dell’onda puo essere

calcolata in base alla sua definizione come

I(r) =Power

4 π r2, (14)

dove Power e la potenza sonora emessa dalla sorgente.

17

ONDE PIANE SINUSOIDALI

Considerato che il concetto di onda piana puo risultare applicabilein una grande varieta di situazioni, risulta conveniente concen-trarsi su di una particolare categoria di onde piane, le cosiddetteonde sinusoidali dette anche onde armoniche.

Un’onda acustica sinusoidale piana propagantesi nel verso posi-tivo dell’asse x e caratterizzata da una pressione sonora che varianel tempo e nello spazio secondo la seguente legge

p(x, t) = p◦ cos(2π t/T − 2π x/λ+ φ) (15)

dove p◦, T e λ sono opportune costanti il cui significato verraspiegato tra poco. L’argomento del coseno dicesi in toto fase(complessiva) mentre con φ si indica la fase (addizionale).

18

Studiamo il comportamento dell’onda armonica in un punto fisso

dello spazio al passare del tempo. E il punto di vista del naufrago.

Non si perde in generalita ponendo x = 0. Si ha la legge

p(0, t) = p◦ cos(2π t/T + φ) (16)

che dice come varia la pressione sonora al passare del tempo.

La pressione p varia da −p◦ a +p◦ e la quantita p◦ si chiama

ampiezza della perturbazione sonora.

La quantita T e chiamata periodo della perturbazione armonica

e corrisponde al tempo necessario affinche si svolga un intero

ciclo di oscillazione.

19

Infatti la funzione coseno assume lo stesso valore quando il suo

argomento incrementa di 2 n π (n = numero intero) e si vede

dalla (16) che cio avviene quando il tempo incrementa di un

numero intero di intervalli di durata T .

Vi sono due grandezze collegate al periodo T : la frequenza ν e la

pulsazione ω. La frequenza ν indica il numero di cicli che hanno

luogo in un secondo ed e data da ν = 1/T . [ν] = s−1 = Hz

dove Hz e l’abbreviazione di Hertz. La pulsazione ω e data da

ω = 2 π ν = 2 π/T .

20

Studiamo ora l’andamento spaziale dell’onda armonica ad un

istante fissato. E il punto di vista del fotografo. Non si perde in

generalita ponendo t = 0. Si ottiene una funzione di x la quale,

se si tiene conto che cos(−x) = cos(x), puo essere riscritta come

p(x,0) = p◦ cos(2π x/λ− φ) . (17)

Anche nello spazio la pressione p varia da −p◦ a +p◦ con anda-

mento periodico e la minima distanza che separa profili identici

e λ, che viene chiamata lunghezza d’onda. La lunghezza d’onda

specifica la periodicita spaziale dell’onda. Infatti aggiungendo

un numero intero di lunghezze d’onda a x, si ottiene un grafico

sovrapponibile a quello della (17). La quantita k = 2 π/λ viene

chiamata numero d’onda.

21

RELAZIONE FONDAMENTALE

Se si richiede nella (15) che l’argomento del coseno resti costanteal passare (crescere) del tempo, si osserva che anche la x deveaumentare. Si ottiene per la x una legge di crescita lineare deltipo

x =λ

Tt+ costante , (18)

legge che rappresenta un moto a velocita costante λ/T . Dettomoto corrisponde, ad esempio, al moto di avanzamento di unacresta d’onda e quindi ne condivide la velocita c. Quindi si deveimporre

c =λ

T. (19)

22

Questa relazione puo essere riscritta come

λ = c T =c

ν(20)

oppure come

c = λ ν . (21)

La lunghezza d’onda di un suono con ν = 1000 Hz e λ ∼= 0.33 m

in aria mentre sara λ ∼= 1.45 m in acqua.

23

24

IL TEOREMA DI FOURIER

Le perturbazioni sinusoidali del tipo (16), che spesso vengono

anche denominate perturbazioni armoniche o toni puri, costi-

tuiscono un insieme di “mattoni” con cui si puo costruire una

perturbazione di andamento temporale qualsiasi. Il teorema di

Fourier (applicato all’acustica) dice che una qualunque pertur-

bazione sonora e sempre rappresentabile come sovrapposizione

di un numero finito o infinito di toni puri del tipo (16), ciascuno

caratterizzato da un opportuno valore di ampiezza, frequenza e

fase.

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Consideriamo il caso in cui la perturbazione sonora sia periodicacon periodo T . Questo equivale a dire che per ogni istante t eper ogni intero n varra

p(t+ n T ) = p(t) . (22)

Sotto queste ipotesi il teorema di Fourier afferma che la funzionep(t) (a valore medio nullo) puo essere espressa dalla seguentesomma

p(t) =∞∑k=1

pk cos(2πkt/T + φk) =∞∑k=1

pk cos(2πνkt+ φk) (23)

dove νk = kT . Il termine per k = 1 rappresenta il contributo della

cosiddetta armonica fondamentale mentre i termini successividanno il contributo delle armoniche superiori, cui corrispondonofrequenze multiple intere della frequenza fondamentale ν1.

27

L’insieme dei pk rappresenta i contributi per ogni frequenza k-

esima alla formazione del segnale complessivo. I pk costituiscono

una successione che puo essere rappresentata con un grafico

(valori dei pk in ordinata e frequenze corrispondenti in ascissa),

grafico che viene denominato spettro di frequenza. Eseguire

l’analisi di Fourier di una perturbazione sonora significa ricavarne

le frequenze componenti, i corrispondenti pk (e le fasi φk).

Nel caso che la perturbazione sonora non sia periodica (ad esem-

pio il rumore stradale), l’analisi di Fourier porta ad un insieme

di infinite frequenze infinitamente fitte (insieme non numerabile,

cioe non ricavabile dai numeri interi). In questo caso si parla di

spettro di potenza continuo.

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Torniamo a parlare di perturbazioni sonore periodiche. In questo

caso le frequenze vengono ricavate dai multipli interi di una fre-

quenza fondamentale e si parla di spettro discreto.

Quando uno strumento musicale emette una nota di frequenza

ν1, il contributo di p1 e di solito grande relativamente ai succes-

sivi. Quante e quali delle ampiezze relative alle armoniche su-

periori contribuiscono apprezzabilmente al segnale emesso dallo

strumento caratterizza il timbro. Differenze di timbro, ossia dif-

ferenti contributi delle armoniche superiori, distinguono come si

sente la stessa nota se suonata da strumenti diversi.

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IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

Il principio di sovrapposizione (detto anche di linearita) riveste

un’importanza fondamentale per lo studio e l’indagine su quei

sistemi meccanici, acustici ed elettrici che obbediscono a leggi

lineari e permette appieno di sfruttare le potenzialita dell’analisi

di Fourier.

Se un sistema obbedisce a leggi lineari, saremo sicuri che appli-

cando ad esso una perturbazione armonica, la sua risposta sara

sicuramente armonica ed avra la stessa frequenza presente in

ingresso.

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Se noi investighiamo come reagisce un sistema lineare ad un in-

sieme di frequenze diverse e registriamo come il sistema risponde

a ciascuna di esse, saremo allora in grado di prevedere la risposta

ad un segnale qualsivoglia.

Infatti potremo applicare l’analisi di Fourier al segnale di in-

gresso, decomporlo nelle frequenze componenti (questo significa

conoscere per ogni frequenza l’ampiezza e la fase), convertire

ampiezze e fasi in base alla conoscenza della risposta che il si-

stema da frequenza per frequenza ed, infine, ricostruire il segnale

in uscita per somma dei vari termini (sintesi di Fourier).

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E in base a tale principio che gli audiometristi esaminano il fun-zionamento dell’orecchio studiando solo come esso risponda aduna serie prefissata di armoniche e che i costruttori di amplifi-catori per alta fedelta caratterizzano i loro prodotti indicando laloro risposta solo a sollecitazioni armoniche.

In generale tutte le caratteristiche acustiche di sistemi acusticicome microfoni, altoparlanti, ecc. ecc. vengono indicate sem-plicemente dando un grafico in cui si riporta la risposta del sis-tema quando viene sollecitato da perturbazioni armoniche (MTF= Modulation Transfer Function).

E ancora il principio di sovrapposizione che consente al nostrocervello di isolare suoni particolari in mezzo ad altri suoni come,ad esempio, il suono di un cellulare in una rumorosa stazioneferroviaria o la voce di un amico in una strada molto trafficata.

33

Il principio di sovrapposizione e applicabile solo ai sistemi linea-

ri, cioe a quei sistemi che sono governati da equazioni lineari.

I sistemi acustici passivi (condotti, canalizzazioni, orifizi, fendi-

ture, ecc) presentano un comportamento generalmente lineare.

I sistemi attivi (per esempio gli amplificatori) hanno prestazione

lineare fino a quando l’intensita del suono da amplificare non

supera una certa soglia. Al di sopra si hanno effetti di non li-

nearita che danno distorsioni, ad esempio con la generazione di

frequenze inesistenti nel segnale in ingresso.

L’ orecchio umano si comporta in maniera lineare per intensita

che vanno da 10−12 W/m2 fino a quasi 1 W/m2. Oltre quella

soglia di intensita l’orecchio si comporta come un sistema non

lineare e questo proteggere alquanto l’orecchio da danni.

34

L’ORECCHIO E L’ANALISI DI FOURIER

A questo punto risulta interessante accennare brevemente a co-

me l’orecchio trasforma il segnale acustico che entra nel condotto

uditivo nel segnale nervoso che viene inviato al cervello. La

perturbazione sonora pone in vibrazione il timpano, il quale a

sua volta trasmette la vibrazione all’orecchio interno mediante la

catena degli ossicini (orecchio medio).

Nell’orecchio interno si trova la coclea, un organo particolare

arrotolato a mo’ di conchiglia (da cui il suo nome). In detto

organo viene eseguita un’analisi in frequenza del suono ricevuto

e, per ogni frequenza, ne viene individuata la corrispondente

intensita sonora.

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Il funzionamento della coclea e basato sul fatto che al suo in-

terno si trova una membrana chiamata membrana basilare. Ogni

piccola porzione di membrana basilare viene messa in vibrazione

da una specifica frequenza grazie ad un fenomeno di risonanza

ed il corrispondente segnale di ampiezza viene recepito da spe-

ciali cellule in contatto con la membrana ed inviato al cervello

tramite fibre nervose.

Il cervello quindi riceve il risultato di questa analisi di Fourier

analogica eseguita dall’orecchio interno ed interpreta il suono

sulla base dello spettro di frequenza fornitogli.

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DUE MEZZI DIVERSI: RIFLESSIONE E RIFRAZIONE

Si abbiano i mezzi 1 e 2 separati da un’interfaccia piana. Ilcomportamento di un’onda sonora che dal mezzo 1 incide sull’in-terfaccia e governato dalle leggi della riflessione e rifrazione (leggidi Snell), leggi che valgono per qualunque tipo di onde.

Sia θi l’angolo di incidenza, ossia l’angolo che il raggio dell’ondaincidente forma con la normale all’interfaccia (nella figura allapagina successiva la normale e orizzontale e l’interfaccia e ver-ticale). In generale l’onda incidente in parte verra riflessa ed inparte rifratta (trasmessa nel mezzo 2). La prima legge di Snelldice che l’angolo θr con cui l’onda viene riflessa (angolo tra ilraggio riflesso e la normale) e uguale all’angolo θi di incidenza.Varra

θr = θi . (24)

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La seconda legge di Snell da l’angolo con cui l’onda trasmessaviaggia nel mezzo 2. Indicato con θt l’angolo che il raggiotrasmesso fa con la normale, vale la seguente relazione

sin θisin θt

=c1c2

(25)

dove c1 e c2 sono le velocita dell’onda nei mezzi 1 e 2 rispetti-vamente.

L’onda incidente avra un’intensita I, la quale si ripartira in un’in-tensita Ir dell’onda riflessa e un’intensita It dell’onda trasmessa.Si possono definire i coefficienti R e T , rispettivamente di rifles-sione e trasmissione in intensita che danno

Ir = R I ; It = T I con Ir + It = I ; R+ T = 1 . (26)

42

Indicate con Z1 e Z2 le impedenze caratteristiche rispettivamente

dei mezzi 1 e 2, si puo dimostrare che vale

R =

(Z1 − Z2

Z1 + Z2

)2

; T =4 Z1 Z2

(Z1 + Z2)2 . (27)

Si puo vedere che se Z1 e Z2 sono molto diverse, l’intensita viene

prevalentemente riflessa in quanto si ha R ∼= 1. Pertanto nel caso

di una forte differenza di impedenze caratteristiche la riflessione e

il fenomeno dominante. Il suono non passa facilmente ne dall’aria

all’acqua, ne viceversa in quanto c’e un cattivo adattamento di

impedenze.

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Dipendenza di T e R da r = min(Z1/Z2, Z2/Z1). Se Z1 e Z2 sonomolto diversi (= cattivo accoppiamento di impedenze), r e quasinullo e si ha R ∼= 1. La trasmissione entra apprezzabilmente ingioco se Z1 ∼ Z2.

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Qualora si voglia migliorare l’adattamento di impedenze per fa-

cilitare il passaggio del suono da un mezzo ad un altro, si puo

inserire uno strato intermedio m avente impedenza caratteristica

intermedia tra Z1 e Z2. Usualmente si cerca un materiale avente

un valore di impedenza caratteristica Zm tale da approssimare il

valore√Z1 Z2 fornito dalla media geometrica tra Z1 e Z2.

Si ricorre a questo espediente in ecografia quando si vuole mas-

simizzare la trasmissione di segnale tra la sonda ecografica e il

corpo umano.

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INFRASUONI, SUONI E ULTRASUONI

I suoni propriamente detti sono costituiti dalle onde sonore per-cepibili dal nostro orecchio. L’orecchio in stato di buona per-formance percepisce frequenze che vanno da circa 20 Hz fino acirca 20 kHz. Le onde acustiche associate a frequenze inferiori aquesto intervallo diconsi infrasuoni mentre le onde acustiche chesi collocano oltre l’intervallo di udibilita si chiamano ultrasuoni.

Nell’intervallo di frequenze tra 2000 Hz e 6000 Hz e massima lacapacita dell’orecchio di percepire toni puri di intensita bassis-sima e la soglia dell’udibile si colloca a circa 10−12 W/m2. Laperformance dell’orecchio resta ragionevolmente costante e nonintroduce distorsioni in frequenza fino ad intensita dell’ordine di1 W/m2. A quel punto si e vicini alla soglia del dolore e la catenadegli ossicini smorza l’energia incidente come naturale meccan-ismo di difesa.

46

I DECIBEL

L’intervallo tra il minimo udibile e la soglia di dolore e di ben

dodici ordini di grandezza in intensita e risulta necessario capire

come il cervello classifica l’intensita dei suoni.

Studi sulla percezione acustica dimostrano che la risposta del

cervello agli stimoli acustici e di tipo logaritmico e che il cervello

finisce per classificare come sostanzialmente uguali tutti i suoni la

cui intensita differisce di meno del 30% e che quindi, ad esempio,

i suoni (della stessa frequenza) la cui intensita cade nell’intervallo

[1.0 · 10−12 W/m2,1.3 · 10−12 W/m2] risultano di fatto indistin-

guibili. Classifichiamo questo intervallo come il primo livello

sonoro. Il secondo livello sonoro conterra suoni con intensita

contenuta nell’intervallo [1.3·10−12 W/m2, (1.3)2 ·10−12 W/m2].

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Quante volte dobbiamo moltiplicare per 1.3 per arrivare al valore

superiore di 1 W/m2 ? L’equazione nell’incognita N

10−12 (1.3)N = 1 (28)

da N ∼= 105, da cui si conclude che il cervello umano classifica i

suoni in intensita in circa un centinaio di livelli.

Alla luce di queste considerazioni viene utilizzata una scala che

gradua in livelli discreti l’intensita sonora quale viene percepita

dal cervello umano (legge di Weber-Fechner).

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SCALA SIL

Un suono di intensita I viene classificato in base alla formula

nSIL = 10 log

(I

10−12 W/m2

)(29)

della quale si prende il valore arrotondato all’intero piu vicino e

se ne esprime il valore in decibel (dB).

Un valore di intensita I = 2.5 · 10−6 W/m2 inserito nella (29)

fornisce il valore nSIL = 63.979. La classificazione di tipo SIL

(acronimo di Sound Intensity Level) che si da di quel suono e

di 64 dB. Si ritiene che questo tipo di valutazione quantifichi

correttamente anche ai fini normativi e legislativi l’impatto di

suoni di nota intensita sull’individuo.49

SCALA SPL

Essendo la misura della pressione acustica piu praticabile rispetto

alla misura di intensita, e invalsa l’abitudine di misurare i livelli di

sensazione sonora utilizzando al posto del SIL il cosiddetto SPL,

acronimo di Sound Pressure Level. Per definizione il livello di

percezione sonora misurata in decibel SPL e dato dalla relazione

nSPL = 20 log(

p

2 · 10−5 Pa

)(30)

dove p e la pressione sonora ed il valore 2 · 10−5 Pa corrisponde

alla pressione sonora che si ha in aria con un’intensita minima di

10−12 W/m2 (si assume Zaria = 400 kg m−2 s−1).

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Infatti dalla (11) si ricava la relazione

p =√Z I (31)

che fornisce il valore 2 ·10−5 Pa per la minima pressione acustica

percepibile. La stessa relazione (sempre in aria con Zaria =

400 kg m−2 s−1) calcolata per Imax = 1 W/m2 da il valore pmax =

20 Pa di pressione acustica prossima alla soglia del dolore.

Si noti che quest’ultimo valore, pur rappresentando una soglia

di pericolo di tipo acustico, risulta comunque molto minore della

pressione atmosferica P◦ ∼= 105 Pa.

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SCALA DELLE FREQUENZE

Il tipo di risposta del cervello a molte categorie di stimoli quali le

sensazioni visive, tattili, dell’odorato e del gusto sono di tipo log-

aritmico, alla stessa stregua della percezione di intensita sonora.

Non fa eccezione neppure la reazione del cervello alle variazioni

di frequenza di toni puri. Questo fatto e ben noto ai musicisti

che da secoli utilizzano scale di frequenza logaritmiche e che

ragionano spesso utilizzando in modo involontario dei concetti

tipici del calcolo logaritmico.

I musicisti dividono in dieci ottave l’intervallo delle frequenze

udibili che ricordiamo va da 20 Hz a 20000 Hz. Ogni ottava

corrisponde ad un raddoppio di frequenza.

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Come esempio, la prima ottava va da 20 Hz a 40 Hz, la seconda

va da 40 Hz a 80 Hz, la terza va da 80 Hz a 160 Hz e cosı

via fino alla decima che va da 10240 Hz fino a 20480 Hz (si

ricordi che 210 = 1024). Ogni ottava viene poi suddivisa in sei

intervalli e per passare da un intervallo al successivo la frequenza

deve aumentare di un fattore 6√

2 = 1.12246.

L’intervallo delle frequenze udibili viene cosı suddiviso in circa

60 toni a ciascuno dei quali corrisponde un aumento di fre-

quenza di un fattore 1.12246. Si noti incidentalmente che detto

valore praticamente coincide con l’incremento in ampiezza che

corrisponde ad 1 dB. Infatti l’imporre 20 log(p2/p1) = 1 da

p2/p1 = 100.05 = 1.12201.

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