TOMOGRAFIA

Il termine tomografia deriva dal Greco antico e significa rappresentazione di un corpotridimensionale (3D) mediante una serie di sue sezioni trasverse bidimensionali (2D).Nell’imaging medico con il termine tomografia s’intende una serie di tecniche di acqui-sizione di dati che attraverso opportune tecniche ricostruttive portano a realizzare, conobiettivi diagnostici, mappe 3D di grandezze fisiche all’interno del corpo umano. Letecniche comunemente intese come tomografiche utilizzano radiazioni ionizzanti.

TIPI DI TOMOGRAFIA

Esistono diversi tipi di tomografia. La distinzione principale e tra tomografia trasmissivae tomografia emissiva.

Nella tomografia trasmissiva, usualmente detta tomografia a raggi X, la sorgente diradiazione e esterna al corpo e la grandezza fisica su cui si basa l’imaging e il coefficientedi attenuazione lineare µ per gli X. La distribuzione spaziale del coefficiente µ rispecchiala struttura anatomica del corpo umano, con la possibilita di localizzare e differenziarei vari tipi di tessuto. Il tipo di imaging prodotto e di tipo anatomico-strutturale epuo essere realizzato anche su oggetti/strutture inanimati, nei quali cioe non esisteattivita metabolico-funzionale. Il tomografo che esegue questo tipo di imaging vieneassociato all’acronimo TAC (Tomografia Assiale Computerizzata). Nella letteraturaanglosassone la tomografia trasmissiva viene usualmente contraddistinta dall’acronimoTCT (Transmission Computed Tomography).

Nella tomografia emissiva la sorgente di radiazione e interna al corpo umano e vienesomministrata al paziente sotto forma di radiofarmaco, usualmente per via endovenosa.Il radiofarmaco consiste di una sostanza dotata di un determinato tropismo nei confrontidi particolari siti anatomici o di processi metabolico-funzionali. Detta sostanza vienemarcata con un qualche elemento radioattivo, che emette radiazione penetrante con untempo caratteristico di dimezzamento T1/2.

Dall’acquisizione dei dati relativi alla radiazione che esce dal corpo del paziente sirisale alla mappa 3D di captazione del radiofarmaco e questo fornisce informazionefunzionale di utilita diagnostica. L’applicabilita di questa tecnica di indagine e basatasull’attivita metabolico-funzionale dell’organismo e, pertanto, la tecnica non puo essereapplicata ad oggetti inanimati. I tomografi che eseguono questo tipo di indagini sonodi tipo SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) oppure di tipo PET(Positron Emission Tomography).

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CAMPIONAMENTO DEL VOLUME DA RICOSTRUIRE

In tutti i tipi di tomografia e sempre identificabile un asse, detto asse tomografico. Alladirezione dell’asse tomografico corrisponde l’asse di rotazione di eventuali parti mobilidel tomografo o, nei casi in cui nulla ruota, l’asse di simmetria del sistema, come, adesempio, l’asse di simmetria degli anelli di rivelatori nella PET. Il volume da ricostrui-re viene usualmente sezionato in fette (slices, in inglese), le quali sono perpendicolariall’asse tomografico (fette trasverse). Esse hanno uno spessore b, detto spessore dellafetta. Ogni fetta e suddivisa mediante una griglia cartesiana 2D in pixel quadrati di latow. Poiche alla fetta si associa lo spessore b, i pixel diventano voxel. Un voxel e pertantoun parallelepipedo a sezione quadrata (lato w) nel piano della fetta e di altezza b nelladirezione dell’asse tomografico.

L’obiettivo della ricostruzione dei dati tomografici e la determinazione dei valori che lagrandezza fisica oggetto di imaging assume in ogni voxel. In determinate situazioni sipuo arrivare a decine di milioni di valori. Ad esempio, con 200 fette del torace, ciascunacon 300 · 300 voxel, si arriva a 1.8 · 10+7 valori.

In merito alla complessita matematica della ricostruzione, si devono distinguere duecasi. Nel primo caso la modalita di acquisizione dati e 2D o quasi 2D. Questo significache il cross-talk tra il segnale acquisito in fette adiacenti e inesistente o trascurabile.In questo caso l’onerosita computazionale della ricostruzione e molto ridotta in quantosi tratta di effettuare una sequenza di ricostruzioni indipendenti 2D di tante fette.L’eventuale parallelizzazione del calcolo in questo caso e banale. Alla fine il volumericostruito puo essere ottenuto per impilamento delle singole fette 2D (slice stacking).

Nei casi in cui l’acquisizione e intrinsecamente 3D o nelle situazioni in cui, per effetti

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parassiti, esiste e non e eliminabile il cross-talk tra fette vicine, la ricostruzione deveessere 3D con la conseguente onerosita computazionale ed allungamento dei tempi dicalcolo. Questo e dovuto al fatto che la ricostruzione deve trattare contemporanea-mente come incognite tutti i valori dei voxel contenuti nel volume da ricostruire. Inquesti casi scorciatoie 2D nell’algoritmo di ricostruzione portano a fastidiosi artefatti dainterslice blur.

TOMOGRAFIA ASSIALE COMPUTERIZZATA (TAC)

Si tratta del tipo piu comune e diffusi di tomografia trasmissiva. Il primo tomografo araggi X fu installato nel 1971 a Wimbledon (U.K.) ed il suo ideatore, G.H. Hounsfield,ricevette nel 1979, assieme a A. Cormack, il premio Nobel in Medicina. Dagli anni ’70dello scorso secolo almeno quattro generazioni di tomografi TAC si sono succedute.

Nella prima generazione una sorgente colli-mata di raggi X invia un sottile pennellofine di raggi X sulla sezione del paziente. Iraggi trasmessi vengono raccolti e misuratidal detector situato in posizione oppostaalla sorgente. La sorgente e il detector, traloro solidali, traslano orizzontalmente sino araggiungere la posizione indicata con le li-nee tratteggiate, eseguendo in questo modol’acquisizione di una vista angolare. Suc-cessivamente ruotano di piccolo angolo (ungrado o poco piu) dalla posizione 1 alla 2 pereseguire, mediante traslazione, l’acquisizionedella vista angolare successiva.

La scansione e completata quando la rotazione complessiva ammonta a 180 gradi. Lageometria di acquisizione e del tipo parallel-beam. Il tempo occorrente per ricoprireun’intera sezione risulta quindi di parecchi minuti (anche un quarto d’ora). La tendenzadelle generazioni successive e orientata verso acquisizioni sempre piu veloci con riduzioneal minimo della dose assorbita dal paziente e degli artefatti da movimento del paziente econseguente aumento dell’utilizzo dello scanner in termini di numero di esami eseguiti.

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Nella seconda generazione il movimento della sorgente e del detector e simile a quellodella prima generazione con traslazione e rotazione. La differenza sta nel detector che emultiplo. Se il detector e fatto di 30 detectors spostati di 1 grado, per ogni traslazionesi ottengono 30 vedute simultanee (geometria fan-beam mista). Se la rotazione dallaposizione 1 a quella 2 e di 30 gradi, bastano sei rotazioni per fare l’intera scansione di180 gradi della sezione, in un tempo che varia dai 10 ai 60 secondi.

Nella terza generazione la traslazione viene eliminata ed il detector e largo tanto daintercettare tutto il fascio che attraversa la sezione del paziente (geometria fan-beam).La rotazione diventa di 360 gradi per ottenere tutta l’informazione necessaria. Il tempodi acquisizione dell’intera sezione scende a pochi secondi.

Nella quarta generazione i detectors sono fissi e piazzati a ricoprire l’angolo giro di 360gradi mentre solo la sorgente ruota con tempi dell’ordine del secondo. Se si costruisce

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una sorgente X con un anodo circolare intorno al paziente, l’invio dei raggi X e con-trollato elettronicamente e ruota rapidamente di 360 gradi. I tempi di scansione cosıottenuti variano da 33 a 100 millisecondi. In questo modo si possono ottenere immagininitide e ferme di un cuore in movimento.

Sinistra: fetta trasversa (sezione assiale) di un’immagine TAC dell’encefalo ottenutacon un tomografo recente. Destra: fantoccio digitale ricavato da immagine di risonanzamagnetica (RM) del fantoccio 2D di Hoffman (= involucro di plastica con cavita cherispecchiano l’anatomia di una sezione orizzontale alta 1 cm dell’encefalo all’altezza deinuclei della base). Per generare il contrasto in RM il fantoccio di plastica fu riempito dilatte. Nell’immagine digitale e stato aggiunto uno scalpo a forma ellittica per maggioresomiglianza con le corrispondenti immagini cliniche.

L’ACQUISIZIONE DEI DATI NELLA TAC

Nella radiografia tradizionale i livelli di grigio che sono impressi sulla lastra fotograficasono il risultato della differente attenuazione che i raggi X subiscono nell’attraversarei diversi tessuti del paziente. La direzione di incidenza e unica e pertanto l’immaginerisulta appiattita, in quanto manca l’informazione sulla profondita. Solo l’esperienzadel radiologo riesce (quasi) sempre a supplire per questa mancanza di informazione e adare la corretta interpretazione dell’immagine radiografica.

Se si pensa il volume suddiviso in voxel, come descritto precedentemente, il livel-lo di impressionamento di un singolo pixel della lastra fotografica sara il risultatodell’attenuazione incontrata da quei raggi X che, emessi dalla sorgente, andranno acolpire quel pixel. Presumibilmente una colonna di n voxel sara interessata e con-tribuira all’attenuazione dell’intensita I◦ del fascio incidente. Sia It l’intensita del fasciotrasmesso, quello cioe che colpisce la lastra o il rivelatore.

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La legge di Beer nella forma

It = I◦ exp(−n∑

i=1

µi w) (1)

stabilisce per un’assegnata intensita incidente I◦ il valore dell’intensita trasmessa It dopol’attraversamento degli n voxel di larghezza w e caratterizzati ciascuno dal proprio valoreµi del coefficiente di attenuazione lineare. Sulla base della conoscenza di I◦ e di It la (1)permette di risalire solo al valore medio µ nella forma

µ =1

n

n∑i=1

µi =1

n wln

(I◦It

). (2)

Con un solo dato rappresentato dal rapporto I◦It

non si possono ricavare le n incognite inquanto e stata scritta una sola equazione. Per avere almeno una stima dei valori dellen incognite si devono ottenere equazioni in numero confrontabile con n e quindi si deveacquisire un numero corrispondente di dati.

Per ottenere questo risultato si irraggia il tessuto da angolazioni diverse, come sug-gerito dalle figure seguenti. Per ogni angolo si ottiene per scansione traslazionale unset di dati chiamato vista angolare (o proiezione) e con un numero adeguato di visteangolari opportunamente acquisite si e in grado di risalire ai valori µi dei coefficienti diattenuazione o, almeno, ad una loro stima.

In generale risulta opportuno acquisire un numero di dati confrontabile, come ordine digrandezza, con il numero di voxel da ricostruire. Pertanto, se si vuole ottenere una slicedi 300 · 300 voxel, si dovranno acquisire circa 300 viste angolari, ognuna con passo dicampionamento traslazionale di 300 pixel. Per ottenere veramente tutta l’informazione

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necessaria e necessaria la completa copertura angolare. Questo, nel caso di geometriadi acquisizione tipo parallel-beam, richiede l’acquisizione delle viste angolari su 180◦,mentre in altre geometrie di scansione puo essere necessaria l’acquisizione su 360◦. Perridurre al minimo la dose D per il paziente ed il tempo di occupazione dello scanner,viene evitata l’acquisizione di dati ridondanti, ma a questo provvede (di solito) il softwaredella macchina.

TRASFORMATA-ANTITRASFORMATA DI RADON

Dal punto di vista matematico, un’acquisizione dei dati TAC relativi ad una fetta cor-risponde a misurare i valori della trasformata di Radon della funzione µ(x, y), funzioneche assegna il coefficiente di attenuazione lineare nel piano della fetta. Infatti, per unadata direzione n di incidenza del fascio di X nel piano della fetta si ha

pn = ln

(I◦It

)=

∫nµ[x(l), y(l)] dl , (3)

dove a secondo membro compare l’integrale di linea del coefficiente di attenuazione lungola direzione n. In un formalismo matematico completo si presenta la proiezione pn, unafunzione di due variabili (l’ascissa traslazionale e l’angolo di vista), come la trasformatadi Radon della µ(x, y). A questa trasformata e stato attribuito il nome del matematicotedesco Johann Radon, il quale per primo (nel 1917) ha proposto un metodo di soluzioneper l’antitrasformata: come ricavare la µ(x, y) se e nota la pn.

Nella pratica la ricostruzione della distribuzione 2D del coefficiente di attenuazione inuna fetta a partire dalle proiezioni (dette anche sinogramma) viene eseguita al calcola-tore con efficienti metodi numerici. La stessa acquisizione dati (proiezione) a partire daun’assegnata distribuzione puo essere simulata al calcolatore e, di fatto, la ricostruzionee essenzialmente basata sulla versione ribaltata (retroproiezione) del meccanismo di ac-quisizione dati. Le due vignette seguenti mostrano il meccanismo di funzionamentodella versione discretizzata della proiezione applicata ad una matrice 4× 4 di attivita.

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Nella figura di sinistra la riga ad angolo 0 del sinogramma (proiezione ad angolo 0)viene ottenuta riportando in basso le somme per colonna dei valori della distribuzione diattivita. Nella figura di destra si calcola la riga ad angolo 90◦ del sinogramma (proiezionead angolo 90◦) riportando in basso le somme per colonna dei valori della distribuzionedi attivita dopo che questa e stata ruotata di 90◦ in senso orario (proiettore a rotazioneo, scherzosamente, a girarrosto).

Il funzionamento dell’algoritmo della retroproiezione viene illustrato nelle due vi-gnette successive. In questo caso viene generata una matrice di attivita mediante accu-mulo progressivo dei valori delle proiezioni. Si parte da una matrice di attivita nulla.Si esegue la prima retroproiezione (angolo 0) usando la corrispondente riga del sino-gramma (vignetta di sinistra). Nella vignetta di destra si illustra come viene eseguitala retroproiezione ad angolo 90◦. Ad ogni retroproiezione si sommano nuovi valori aquelli preesistenti nella matrice di attivita. Si ruota di 90◦ la matrice di attivita rispettoall’orientamento normale e si esegue la retroproiezione per colonne dei valori del sino-gramma relativo a 90◦, aggiornando per somma i valori della matrice. Successivamente sideve riportare la matrice nell’orientamento normale prima di eseguire le retroproiezionisuccessive, ognuna delle quali, a sua volta, richiede la preliminare rotazione della matriceprima dell’aggiornamento.

Se, a partire da un’assegnata matrice di attivita, si ottengono i dati simulati usandol’algoritmo di proiezione (proiettore) precedentemente illustrato e, poi, si retroproiet-tano questi dati, non si ottiene la matrice di partenza, ne qualcosa che sia ad essaproporzionale. Per ottenere la matrice di partenza si deve preventivamente applicareai dati il cosiddetto filtro a rampa, il quale puo essere applicato o nel contesto dellatrasformata di Fourier oppure usandone la versione digitalizzata di G. N. Ramachandran& A. V. Lakshminarayanan (filtro RaLa).

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Questa procedura rappresenta l’algoritmo abitualmente usato per la ricostruzionedei dati tomografici TAC e porta il nome di retroproiezione filtrata (FBP dall’ingleseFiltered Back-Projection).

Seguono due esempi di distribuzioni di attivita (sorgente puntiforme fuori centro eun oggetto piu complicato) con a destra i corrispondenti sinogrammi su 360◦.

Segue il fantoccio 2D di Hoffman. il relativo sinogramma su 360◦ e, sotto, la cor-rispondente ricostruzione ottenuta con la FBP.

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Lo schema della FBP e annessi.

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